СПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ К КОЛЛОКВИУМУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА А. А. Пожарский 1. Список определений (1) Элементы математической логики и теории множеств. • Высказывание. • Отрицание высказывания. • Конъюнкция высказываний. • Дизъюнкция высказываний. • Импликация высказываний. • Эквивалентность высказываний. • Объединение множеств. • Пересечение множеств. • Разность множеств. • Произведение множеств. • Инъекция. • Сюръекция. • Биекция. • Образ множества при отображении. • Прообраз множества при отображении. • Композиция отображений. • Сужение отображения. (2) Вещественные числа. • Аксиомы сложения. • Аксиомы умножения. • Аксиомы порядка. • Аксиома полноты. • Максимальный (минимальный) элемент. • Верхняя (нижняя) грань. • Точная верхняя (нижняя) грань. • Неограниченное сверху (снизу) множество. • Индуктивное множество. • Множество натуральных чисел. • Конечное множество. • Счетное множество. • Множество мощности континуума. • Множество целых чисел. • Множество рациональных чисел. 2 А. А. Пожарский • Множество иррациональных чисел. • Предельная точка множества. (3) Предел последовательности. • Сходящаяся последовательность и ее предел. • Невозрастающая (неубывающая) последовательность. • Возрастающая (убывающая) последовательность. • Монотонная последовательность. • Определение числа e. • Фундаментальная последовательность. • Бесконечные большие последовательности и их пределы lim xn = +∞, n→∞ lim xn = −∞, n→∞ lim xn = ∞. n→∞ • Подпоследовательность. • Частичный предел последовательности. • Верхний (нижний) предел последовательности. (4) Предел функции. • Функция, область определения и область значения. • Предел функции по Коши. • Предел функции по Гейне. • Левый (правый) предел функции. • Бесконечные пределы. lim f (x) = ±∞, x→±∞ lim f (x) = c, x→∞ lim f (x) = ∞, x→a lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞, x→±∞ lim f (x) = c, x→±∞ lim f (x) = ±∞, x→a x→∞ lim f (x) = c ± 0, x→∞ lim f (x) = ∞, x→a±0 lim f (x) = ±∞, x→∞ lim f (x) = c ± 0, x→±∞ lim f (x) = ±∞, x→a±0 • O-большое. • o-малое. (5) Элементарные функции. • Экспоненциальная функция (вещественный случай). • Натуральный логарифм (вещественный случай). • Показательная функция (вещественный случай). • Степенная функция (вещественный случай). • Множество комплексных чисел. • Сходящаяся последовательность комплексных чисел и ее предел. • Фундаментальная последовательность комплексных чисел. • Экспоненциальная функция (комплексный случай). • Тригонометрические функции (sin и cos). • Аргумент комплексного числа (Arg). • Главная ветвь аргумента комплексного числа (arg). • Логарифм комплексного числа. • Показательная функция (комплексный случай). • Степенная функция (комплексный случай). • Полином и рациональная функции. (6) Непрерывные функции. • Непрерывная в точке функция. СПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ К КОЛЛОКВИУМУ (1 СЕМЕСТР) • • • • • • • 3 Непрерывная справа (слева) в точке функция. Непрерывная на множестве функция. Классификация разрывов функции. Невозрастающая (неубывающая) функция. Возрастающая (убывающая) функция. Монотонная (строго монотонная) функция. Равномерно непрерывная функция. 2. Список утверждений и теорем (все с доказательством) (1) Элементы математической логики и теории множеств. • Метод доказательства от противного. • Ассоциативность композиции отображений. • Обратимость биекции. (2) Вещественные числа. • Однозначность определения множества вещественных чисел (без доказательства). • Единственность максимального (минимального) элемента. • Существование и единственность точной нижней грани. • Корректность определения множества натуральных чисел. • Принцип математической индукции. • Существование максимального (минимального) элемента у конечного множества. • Счетность множества рациональных чисел. • Несчетность множества вещественных чисел. • Принцип вложенных отрезков (Коши—Кантора). • Принцип Бореля-Лебега. • Теорема о предельной точке множества (Больцано — Вейерштрасса) (3) Предел последовательности. • Единственность предела последовательности. • Ограниченность сходящейся последовательности. • Предел суммы (разности) последовательностей. • Предел произведения последовательностей. • Предел частного последовательностей. • Предельный переход в неравенствах. • Теорема о сжатой переменной. • Критерий сходимости монотонной последовательности (Вейерштрасс). • Лемма Бернулли. • Сходимость последовательности (1 + n1 )n . • Ограниченность фундаментальной последовательности. • Критерий Коши сходимости фундаментальной последовательности. • Теорема о предельной точке последовательности (Больцано — Вейерштрасса). • Критерий сходимости последовательности (связь с верхним и нижним пределами). • Связь между пределом последовательности и пределом ее подпоследовательности. (4) Предел функции. • Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши. • Единственность предела функции. • Предельный переход и арифметические операции. • Предельный переход в неравенствах. 4 А. А. Пожарский • Критерий существования предела функции (связь с левым и правым пределами). (5) Элементарные функции. n P xp • Сходимость последовательности xn = для x ∈ R. p! p=0 • Свойства экспоненты (вещественный случай). • Свойства логарифма и показательной функции (вещественный случай). • Существование и единственность решения уравнения xa = bc (вещественный случай). • Оценка модуля комплексного числа через его вещественную и мнимую части. • Критерий сходимостью последовательности комплексных чисел (связь со сходимостью вещественной и мнимой части). • Предельный переход и арифметические операции (комплексные последовательности). • Критерий Коши сходимости комплексной последовательности. • Свойства экспоненты (комплексный случай). • Свойства тригонометрических функций (sin и cos). • Полярная форма комплексного числа. • Формула Муавра. • Теорема о корне полинома. • Основная теорема алгебры (без доказательства). • Разложение полинома на простые множители. • Теорема о комплексных корнях вещественного полинома. • Лемма о выделении главной части рациональной функции в окрестности особой точки. • Разложение рациональной функции на простые дроби. • Разложение рациональной функции с вещественными коэффициентами на простые дроби (без доказательства). (6) Непрерывные функции. • Эквивалентность различных определений непрерывности функции в точке. • Непрерывность и арифметические операции. • Непрерывность композиции функций. • Теорема Больцано-Коши 1 о достаточном условии существования корня непрерывной функции. • Теорема Больцано-Коши 2 о промежуточных значениях непрерывной функции. • Теорема Вейерштрасса 1 об ограниченности непрерывной функции. • Теорема Вейерштрасса 2 о максимуме и минимуме непрерывной функции. • Теорема о характере разрыва монотонной функции. • Критерий непрерывности монотонной функции. • Непрерывная обратимость монотонной функции. • Теорема Кантора о равномерной непрерывности. • Непрерывность элементарных функций.