винтовая линия

e-mail: kvantik@mccme.ru
Издаётся при поддержке Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО)
№3
2014
м а р т
ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
Предельный
СЛУЧАЙ
СОННАЯ
ЛУНАТА
Enter
№ 3| март 2014
Вы можете оформить подписку на «Квантик» в любом отделении
Почты России. Подписаться на следующий месяц можно до 10 числа текущего месяца. Наш подписной индекс 84252 по каталогу
Роспечати.
Почтовый адрес: 119002, Москва, Большой Власьевский пер., д.11,
журнал «Квантик». Подписной индекс: 84252
Первые три выпуска
АльманахА «КВАНТИК»
с материалами номеров 2012 года
и первого полугодия 2013 года,
а также все остальные вышедшие
номера можно купить в магазине
«Математическая книга»
по адресу: г. Москва,
Большой Власьевский пер., д. 11,
http://biblio.mccme.ru
или заказать
по электронной почте:
biblio@mccme.ru
www.kvantik.com
@ kvantik@mccme.ru
kvantik12.livejournal.com
vk.com/kvantik12
Появилась подписка на электронную версию журнала!
Подробности по ссылке: http://pressa.ru/magazines/kvantik#/
Главный редактор: Сергей Дориченко
Зам. главного редакторa: Ирина Маховая
Редакция: Екатерина Антоненко,
Александр Берд­ников, Алексей Воропаев,
Дарья Кожемякина, Андрей Меньщиков,
Максим Прасолов, Григорий Фельдман
Главный художник: Yustas-07
Верстка: Ира Гумерова, Рая Шагеева
Обложка: художник Александра Будилкина
Формат 84х108/16. Издательство МЦНМО
Журнал «Квантик» зарегистрирован в
Федеральной службе по надзору в сфере связи,
информационных технологий и массовых
коммуникаций.
Свидетельство ПИ N ФС77-44928 от 4 мая 2011 г.
ISSN 2227-7986
Тираж: 3000 экз.
Адрес редакции: 119002, Москва,
Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (499)241-74-83. e-mail: kvantik@mccme.ru
По вопросам распространения обращаться
по телефону: (499) 241-72-85;
e-mail: biblio@mccme.ru
Подписаться можно в отделениях связи Почты
России, подписной индекс 84252.
Отпечатано в соответствии
с предоставленными материалами
в ЗАО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь.
www.рareto-print.ru
Заказ №
СВОИМИ РУКАМИ
Винтовая линия. С. Дворянинов
2
ВЕЛИКИЕ УМЫ
Лев Термен. С. Ковалёва
5
СМОТРИ!
Разрезания шестиугольника
на бантики. М. Прасолов
Предельный случай. Г. Фельдман
10
16
ОГЛЯНИСЬ ВОКРУГ
Лесные пожары
в тридевятом царстве. И. Кобиляков
12
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Переправы от Шаповаловых. А. Шаповалов
18
СЛОВЕЧКИ
Сонная луната. С. Федин
21
СТРАНИЧКА ДЛЯ МАЛЕНЬКИХ
Симметрия. Н. Рожковская
24
ОЛИМПИАДЫ
Русский медвежонок
Наш конкурс
27
32
ОТВЕТЫ
Ответы, указания, решения
28
ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ
Торт с глазурью
IV стр. обложки
Разрезания
на бантики
Максим Прасолов
Может ли серьёзная математическая теорема походить на игру в кубики? Давайте проверим!
В формулировке любой теоремы используются
математические объекты, которым необходимо дать
определение. Иначе никто не поймёт, о чём вообще
теорема! Итак,
Определение. Фигуру, составленную из двух одинаковых правильных треугольников, которые прилегают по стороне, назовём бантиком:
Из бантиков мы будем складывать правильные
шестиугольники:
Например, так:
Рис. 1
Или так:
Рис. 2
Вот и представьте, что большой-большой правильный шестиугольник разбит на много одинаковых
бантиков.
Определение. Пусть какие-то три бантика в разбие­
нии правильного шестиугольника образуют маленький шестиугольник, как на рисунке 1 или 2. Будем
говорить, что мы сделали флип, если мы поменяли
расположение этих трёх бантиков внутри маленького
шестиугольника, как на рисунке 3. Сделав флип, мы
получаем новое, немного другое разбиение.
Итак, у нас есть понятия бантик и флип. Теперь
мы готовы сформулировать теорему:
Теорема. Пусть есть два разбиения правильного
шестиугольника на равное количество одинаковых
бантиков. Тогда из одного разбиения можно получить
другое, сделав несколько флипов.
Рис. 3
10
Разбиений бесконечно много и они могут быть
очень сложными. Это делает теорему довольно устрашающей.
Тут приходит на помощь такая идея: разбиение
на бантики – это комната, в которой лежат кубики
(рис. 4). На рисунке 4 изображено то же самое разбиение на бантики, что и на рисунке 3 слева. Грани кубиков – это бантики.
Дальше – лучше! Уберём один кубик из комнаты
(рис. 5). Что произойдёт с разбиением в этом случае?
Конечно, флип! А если добавить кубик? Тоже флип.
Итак, доказательство теоремы могло бы выглядеть
как-то так. Двум разбиениям из условия соответствуют
два расположения кубиков в одной и той же комнате.
(Количество кубиков в этих расположениях может быть
не одинаковым.) По очереди будем убирать кубики первого расположения, пока не получим пустую комнату
(рис. 6). Потом по одному добавим кубики второго расположения (рис. 6). При этом наше разбиение на бантики будет претерпевать флипы, и теорема доказана.
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Конечно, это не строгое доказательство1. Нужно
ещё показать, что действительно каждое разбиение
на бантики получается из некоторого расположения
кубиков в комнате. Также кубики не могут лежать
в комнате как попало – может не получиться разбиение на бантики. Например, если в комнате один
кубик, он должен лежать в углу. Нарисуйте, какое
разбиение на бантики получится. И выкидывать кубики из комнаты нельзя в случайном порядке. Нужно всегда вынимать «крайний» кубик, чтобы всегда
получалось разбиение на бантики.
Задача. Пусть даны два разрезания правильного шестиугольника со стороной N на бантики со стороной 1. Сколько флипов максимум нужно сделать,
чтобы из одного разрезания получить другое?
Полное доказательство смотрите в статье Е. Карпова и
К. Кохася «Разбиение на домино и функция высоты» («Квант»
№6, 2010).
1
Художник Анна Горлач
11
Лесные пожары
в тридевятом царстве
ОГЛЯНИСЬ
ВОКРУГ
Иван Кобиляков
Окончание. Начало в №2
Но не сразу пошёл Иванушка дальше – заметил он цветочки аленькие,
высокие, какие в деревнях собирают, чтобы чай заваривать. Иван-чай цветочки
те называются, или кипрей по-другому.
Нарвал их Иванушка-дурачок и в карман положил. Собрал ещё малины горсть,
которая тут же, рядом росла. Ворона
малиной угостил.
Быстро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Долго Иванушка брёл
вслед за вороном. Через коряги перепрыгивая, продираясь через кусты да сучья,
всю одёжку изодрал. Вдруг со всех сторон
обступили Иванушку-дурачка девицыкрасавицы, стройные да кудрявые, одна
другой краше.
– Кар-кар, – прокричал сверху ворон, –
открой глаза пошире, Иванушка, то
не девицы-красавицы, а деревца молодые.
Берёзки да осинки.
– Что же мне тут бурить, ворон? Неужто берёзку али осинку молодую проткнуть придётся?
Но ворон уже нашёл единственную
на всю округу сосну. Большую и старую.
– Сосну бури, Иванушка. Старше она,
чем осинки да берёзки. Больше помнит.
Взял керн Иванушка и у этой сосны.
***
Остались позади берёзки-красавицы.
Дальше пошёл Иванушка-дурачок вслед
за вороном.
Поменялся лес. Сначала редки были
сосенки, пышными кронами возвышавшиеся над зелёным морем осин да берёзок, а потом вдруг стало их много-много!
В сосновый лес забрался Иванушка.
Достал он из самой стройной да самой высокой сосенки керн и на ворона смотрит.
– Ворон, далеко ли ещё до Горыныча?
А может быть, обманул ты меня? Вот погоди, я в тебя шишкой запущу!
– Кар-кар! Не бранись на меня, Иванушка! Совсем скоро уже на месте будем.
Видишь, лес всё гуще становится? Всё
больше в нём деревьев старых, коряг да
пней? Старый это лес. Не горел никогда.
Скоро придём!
Вдруг откуда ни возьмись, появилась
избушка на курьих ножках. Окна запотели. Дымок из трубы идёт. Как увидел
ворон избушку, так сразу испугался и улетел. А Иванушка-дурачок в калитку вошёл и в дверь избушки громко постучал.
– Чай, не заперто! Войдите! – раздался
хриплый голос из избушки.
Вошёл Иванушка внутрь. Видит – старичок и старушка чай с пряником пьют.
– Присаживайся, добрый молодец!
За какой нуждой ты к нам пожаловал? –
спросила старушка Иванушку-дурачка.
Старичок ничего не сказал.
– Я по делам государственной важности. Пришёл леса от пожаров спасти.
Змея Горыныча вот ищу, чтобы в темницу его отвести. А Василиса Премудрая
вам случайно не внучка?
– Да, внучка. А я – бабушка Яга.
– Яга? Ну надо же!
– А что тут удивительного?
– Расскажите мне, пожалуйста, как по
колечкам древесных кернов определить,
когда пожар был? Без этого мне никак
вину Змея Горыныча не доказать. Подумает царь, что это я его лес поджёг и в темницу меня посадит.
– Ну, слушай, Иванушка, это дело
не хитрое. Когда в лесу случается пожар
и дерево выживает, на нём остаётся рубец. Спустя годы рубец затягивается.
Не знаю, рассказывала ли тебе Василиса
про то, что каждый год у деревьев образуется одно колечко?
– Да, рассказывала, – кивнул головой
Иванушка.
– Обычное колечко, которое образует­
ся за год без пожара, состоит из светлой
ранней древесины и тёмной поздней.
А вот колечко того года, когда был пожар,
выглядит совершенно по-особенному. Оно
полностью тёмное. Дерево навсегда запоминает пожары, которые были в лесу.
Как будто бы пишет летопись. Давай-ка
посмотрим на керны, которые ты принёс.
Иванушка достал из-за пазухи тоненькие деревянные керны и разложил их
перед бабушкой Василисы.
– Сосна, из которой ты свой первый
керн достал, одна в поле стояла?
– Да, бабушка Яга, одна.
– Значит, только она одна после пожара выжила. Если колечки посчитать,
то между корой и чёрным колечком,
которое после пожара осталось, всего
5 здоровых колец помещается. 5 колечек –
это 5 лет. Недавно пожар был. А не было ли
там высокой травы с алыми цветами?
– Как же, была! Иван-чай называется. У нас её в деревне собирают, чтобы чай
заваривать. Вот, возьмите. Может, и вам
пригодится, – Иванушка достал из-за пазухи горсточку кипрея и протянул Василисиной бабушке.
– Спасибо, Ванюша! Это ведь самое
первое растение, которое на гарях появляется. Ещё там наверняка малина была.
Съел малину-то? Не донёс? Ну а про хвощ
лесной да осоку я не спрашиваю. Их ты
совсем не приметил, видно. Всё это самые
первые, если по науке – «пионерные» растения. Ну, давай посмотрим второй керн.
Посчитав колечки на втором керне,
бабушка сказала:
– Ой, какие, Иванушка, там берёзки
красивые были, а?
– И правда, были, бабушка. А вы откуда знаете? Никак бывали в тех местах?
Или у вас блюдечко волшебное есть, в которое вы всё посмотреть можете?
– Нет, ни разу я там не была. И блюдечка у меня нет. Только вижу по керну, что со времени последнего пожара в
том лесу прошло 40 лет. А значит, лес там
скорее всего берёзово-осиновый, густой,
с кустами да травами высокими. Так чаще
всего в природе бывает после того, как
Горыныч всё дотла сожжёт. Вслед за травами да кустарниками на пожарищах лиственные породы начинают расти. Ну что
там у тебя ещё? Сосновый лес остался?
Иванушка-дурачок протянул бабушке третий керн.
– В сосновом лесу часто бывают низовые пожары. Они сжигают валежник и ранят деревья. Но лес продолжает
расти дальше. Видишь, как тёмные
колечки на последнем керне часто повторяются? Пожар – не всегда плохо. Иногда
он очень нужен, чтобы лес снова стал молодым и здоровым.
– Раньше я за этим присматривал, –
подал голос дедушка, дожевав пряник. –
Змей Горыныч не смел и близко к нашему
царству-государству подлетать! Я в лесу
валежник разбирал, за деревьями больными ухаживал. А если вдруг Горыныч
прилетал, то я народ звал и всем миром
мы его прогоняли. Теперь на пенсии вот…
Царь-батюшка сказал, не нужен я больше… Ни один из нас, богатырей-лесников,
не нужен.
Грустно стало в избушке. Даже Баба
Яга погрустнела.
– Вы очень нужны – взволновался
Иванушка-дурачок. – Мне нужны! Государству нужны. Царю-батюшке тоже!
Царь это сразу понял, как его любимый
лес около дворца сгорел. Как я без вас Горыныча поймаю да в темницу посажу?
Пойдёмте, пожалуйста, со мною!
– Ой, не знаю, Ванюша, мы, лесники, теперь дома сидим да чай пьём с пряниками. Но раз царь-батюшка на службу
зовёт, то пойдём.
С этими словами старичок встал из-за
стола и вдруг стал большим-пребольшим.
Плечи у него широкие, голова в потолок
упирается. Морщины у старичка разгладились, щёки порозовели, глаза засияли. И узнал Иванушка-дурачок богатыря
древнерусского, Добрыню Никитича.
Вместе с Добрыней Никитичем забрался Иванушка в самую чащу леса и изловил
Змея Горыныча. Горыныч даже опомниться не успел, как его во дворец привели. Все
улики против него!
Ну а что дальше было – о том все люди
знают. Царь Иванушку-дурачка помиловал. Змея в тюрьму посадил. А когда узнал,
что Иванушке Добрыня Никитич помогал,
то сразу всех богатырей-лесников обратно
на службу взял. С тех пор лесных пожаров
в том царстве-государстве не было.
Художник Виктор Пяткин
наш
КОНКУРС
Приглашаем всех попробовать свои силы в нашем
конкурсе.
Высылайте решения задач, с которыми справитесь, не позднее 5 апреля по электронной почте
kvantik@mccme.ru или обычной почтой по адресу:
119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11,
журнал «Квантик».
В письме кроме имени и фамилии укажите город,
школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный адрес.
Задачи конкурса печатаются в каждом номере,
а также публикуются на сайте www.kvantik.com.
Итоги будут подведены в конце года. Участвовать
можно, начиная с любого тура. Победителей ждут
дипломы журнала «Квантик», научно-популярные
книги, диски с увлекательными математическими
мультфильмами.
Желаем успеха!
III ТУР
11. Профессор написал на доске шесть утверждений:
Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов.
Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов.
Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов.
Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов.
Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов.
Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов.
На лекцию пришло N студентов, после чего
профессор написал для каждого своего утверждения, верное оно или нет. Оказалось, что ровно четыре утверждения оказались неверными. Чему равно N?
Укажите все возможные ответы.
32
наш
КОНКУРС
Авторы:
12. В классе у Коли столько же детей, сколько
в классе у Оли. Коля говорит Оле: «У нас в классе
мальчиков вдвое больше, чем у тебя». А Оля отвечает:
«Зато у нас девочек втрое больше, чем у тебя». Могло
ли такое быть? (Коля и Оля себя тоже посчитали).
13. Перед вами рисунок «капли» – верхняя граница состоит из полуокружности радиуса 2, а нижняя граница – из двух полуокружностей радиуса 1
(одна «смотрит» внутрь капли, а другая – «наружу»).
Разрежьте каплю
а) на две одинаковые части;
б) на три одинаковые части;
в) можно ли разрезать её на 100 равных частей?
14. В таблице 10  10 клетки окрашены в 9 цветов. Если в некоторой строке или в некотором столбце
находятся две клетки одного цвета, то можно перекрасить этот столбец или эту строку в этот цвет. Из любого ли исходного положения можно всю таблицу
перекрасить в один цвет?
15. Бизнесмен заключил с чёртом соглашение:
каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру,
а взамен получает любое число купюр, какое захочет, но меньшего достоинства. Другого источника
купюр у бизнесмена нет. Докажите, что в какой-то момент бизнесмен разорится (сколько бы купюр ни было
у него вначале и как бы он ни менял их у чёрта).
Художник Леонид Гамарц
Григорий Гальперин (11),
Александр Ковальджи (12)
Художник Евгения Константинова