Совершенные раскраски и корреляционно

СОВЕРШЕННЫЕ РАСКРАСКИ И
КОРРЕЛЯЦИОННО-ИММУННЫЕ ФУНКЦИИ В
Q-ЗНАЧНОМ ГИПЕРКУБЕ
В. Н. Потапов
Институт математики им. С. Л. Соболева СОРАН,
Новосибирск, пр. Акад. Коптюга д.4
e-mail: vpotapov@math.nsc.ru
1.
Совершенные раскраски
Пусть Eq = {0, 1, . . . , q−1}. Обозначим через Eqn множество упорядоченных
q-ичных наборов (вершин) длины n (q-значный n-мерный куб ). Расстоянием
Хэмминга d(x, y) между вершинами x, y ∈ Eqn называется число позиций, в
которых наборы x и y различаются. Шаром радиуса ρ с центром в вершине
x ∈ Eqn называется множество Bρ (x) = {y ∈ Eqn | d(x, y) ≤ ρ}. Lρ (x) = {y ∈
Eqn | d(x, y) = ρ} — сфера радиуса ρ.
ρ-Совершенным кодом в Eqn называется такое множество C, |C| ≥ 2, что1
|C ∩ Bρ (x)| = 1 для любого x ∈ Eqn .
Утверждение 1. Если в Eqn имеется ρ-совершенный код, то число
¡ ¢
qn
n!
целое, где nk = (n−k)!k!
.
ν(q, n) = 1+(q−1) n +···+(q−1)
ρ n
(1)
(ρ)
Утверждение 2. Множество C ⊂ Eqn является ρ-совершенным кодом
тогда и только тогда, когда |C| = ν(q, n) и d(x, y) ≥ 2ρ + 1 для любых различных x, y ∈ C.
Заметим, что если d(x, y) ≥ 2ρ + 1 для любых различных x, y ∈ C, то
|C| ≤ ν(q, n).
Рассмотрим множество Eqn как векторное пространство над полем GF (q),
где q = ps — степень простого числа. Код называется линейным, если он
является аффинным подпространством в Eqn .
1
Здесь и далее через |C| обозначается мощность множества C.
1
В. Н. Потапов
Конструкция кода Хэмминга [13]
Пусть q = 2, n = 2t − 1. Пусть βi — двоичная запись длины t числа i,
i ∈ {0, . . . , 2t − 1}. Пусть матрица
Dt = (β1 , . . . , βn ) составлена
из векторов


1 0 1 0 1 0 1
i = 1, . . . , n. Например, D3 =  0 1 1 0 0 1 1 .
0 0 0 1 1 1 1
Утверждение 3. Множество C = {x ∈ E2n | Dt x = 0} является линейным 1-совершенным кодом.
Подобным образом можно построить линейный 1-совершенный код Хэмt
−1
.
минга в Eqn , где q = ps — степень простого, n = qq−1
Заметим, что при нечётном n множество {0, 1} является (n−1)/2-совершенным
кодом в E2n . Такие коды называются тривиальными.
Теорема 1 (Зиновьев, Леонтьев, 1973 [3]; Тиетвайнен, 1973 [18]).
Нетривиальный совершенный код в Eqn при q = ps (p — простое) должен
иметь одни из следующих параметров:
t
−1
1) q = ps , ρ = 1, n = qq−1
;
2) q = 3, ρ = 2, n = 11;
3) q = 2, ρ = 2, n = 23.
Коды с параметрами 2) и 3) построены М. Голеем [12]. Все коды с параметрами 2) и 3) являются линейными.
Проблема. Существуют ли совершенные коды в гиперкубе Eqn , если q
— не степень простого числа?
Через |x| = x1 ⊕ x2 ⊕ · · · ⊕ xn обозначим чётность вершины x ∈ E2n .
Теорема 2 (Васильев, 1962 [2]). Пусть C ⊂ E2m — 1-совершенный код.
Тогда множество Cλ = {(x, x⊕y, |x|⊕λ(y)) | x ∈ E2m , y ∈ C}, где λ : C → {0, 1}
— произвольная функция, является 1-совершенным кодом в E22m+1 .
Доказательство. В соответствии с утверждением 2 достаточно доказать,
2m+1
что |Cλ | = 22m+2 = |C| · 2m и d(z, z 0 ) ≥ 3 для любых z, z 0 ∈ Cλ . Первое сразу
следует из определения кода Cλ , второе нетрудно получить непосредственной
проверкой.
Из теоремы Васильева, сравнив число различных функций λ и число различных аффинных подпространств, нетрудно получить следующее
Утверждение 4. Существуют нелинейные 1-совершенные коды.
2
В. Н. Потапов
Дж. Шёнхейм [16] предложил подобную конструкцию для построения соt
−1
вершенных кодов в Eqn , где q = ps — степень простого, n = qq−1
.
n
Совершенной раскраской куба Eq в k цветов называется отображение
Col : Eqn → {1, . . . , k − 1, 0}, удовлетворяющее следующему условию: мощность пересечения |Col−1 (i) ∩ L1 (x)| зависит только от цветов i и Col(x), но не
от вершины x ∈ Eqn . Каждой совершенной раскраске2 соответствует матрица
параметров S = {sij }, где sij — число вершин цвета j в сфере радиуса 1 с
центром в вершине цвета i.
Утверждение 5. Множество C ⊂ Eqn является 1-совершенным кодом
тогда и только тогда, когда χC — совершенная раскраска куба Eqn в два цвеµ
¶
0
n(q − 1)
3
та с матрицей параметров
.
1 n(q − 1) − 1
Занумеруем вершины куба Eqn . Определим (0, 1)-матрицу M (n, q) = {mij }
так: mij = 1, если i-я и j-я вершины находятся на расстоянии 1, и mij = 0 в
противном случае. Матрица M = M (n, q) называется матрицей
смежности


0 1 1 0
 1 0 0 1 

куба Eqn . Например, матрица смежности для E22 имеет вид 
 1 0 0 1 .
0 1 1 0
По произвольной раскраске Col куба Eqn в k цветов определим матрицу
FCol размера q n × k, в которой i-я строка равна ej , если Col(i) = j. Наоборот,
по любой (0, 1)-матрице размера q n × k с единственной единицей в каждой
строке определяется раскраска куба в k цветов.
Теорема 3 (Августинович [14]). 1) Если Col — совершенная раскраска
куба Eqn с матрицей S, то M FCol = FCol S.
2) Если для некоторой раскраски и матрицы S выполнено равенство
M FCol = FCol S, то раскраска Col совершенная.
Теорему Августиновича можно доказать непосредственной проверкой равенства в п. 1) и проверкой определения совершенной раскраски в п. 2). Теорема верна для произвольного регулярного графа.
Нетрудно доказать следующие утверждения о совершенных раскрасках и
матрицах параметров.
Утверждение 6. Пусть S матрица параметров совершенной раскраски
куба Eqn , тогда n(q − 1) собственное число матрицы S.
2 Совершенные раскраски в два цвета также называются (c , c )-регулярными функци0 1
ями [6].
3 Здесь и далее через χC обозначается характеристическая функция множества C.
3
В. Н. Потапов
Для доказательства утверждения 6 достаточно заметить, что сумма элементов любой строки в матрице S равна мощности сферы |L1 (x)| в Eqn .
Утверждение 7. Пусть S матрица параметров совершенной раскраски
куба Eqn , тогда собственные числа матрицы S являются собственными числами матрицы M смежности куба Eqn .
Доказательство. Пусть v ∈ Ck — собственный вектор матрицы S. Тогда
Sv = λv и M FCol v = FCol Sv = λFCol v, причём FCol v 6= 0, если v 6= 0. Таким
образом, λ — собственное число матрицы M .
¶
µ
a b
Утверждение 8. Пусть
матрица параметров совершенной
c d
n
2 b
целое.
раскраски булева куба E2n . Тогда число b+c
Для доказательства утверждения 8 достаточно заметить, что количества
вершин разных цветов относятся друг к другу как b/c.
Для раскрасок в произвольное число цветов утверждение 8 можно обобщить следующим образом.
Утверждение 9. Пусть S — матрица параметров совершенной раскраски Eqn в k цветов. Тогда найдётся целочисленный вектор b размерности k
удовлетворяющий условиям:
k
P
(1) Sb = n(q − 1)b; (2)
bi = q n ; (3) sij bj = sji bi для любых i, j ∈
{1, . . . , k}.
i=1
µ
¶
a b
матрица параметров совершенной
c d
совершенная
раскраска булева
раскраски булева куба E2n . Тогда существует
µ
¶
a+1
b
n+1
куба E2
с матрицей параметров
.
c
d+1
Утверждение 10. Пусть
Для доказательства утверждения 10 достаточно
µ
a
→ {0, 1} раскраска с матрицей параметров
c
ба E2n+1 с требуемой матрицей параметров можно
f 0 (x1 , . . . , xn , xn+1 ) = f (x1 , . . . , xn ).
E2n
заметить,
что если f :
¶
b
, то раскраску куd
определить равенством
Утверждение 11 (Конструкция удвоения). Пустьµf : E2n¶ → E2
a b
— совершенная раскраска с матрицей параметров S =
. Тогда
c d
2n
g : E2 → E2 , где g(x, y) = f (x ⊕ y), есть совершенная раскраска с матрицей
параметров 2S.
4
В. Н. Потапов
Доказательство утверждения 11 получается непосредственной проверкой.
Утверждение 11 можно обобщить следующим образом.
µ
¶
a b
Утверждение 12. Пусть
матрица параметров совершенной
c d
n
раскраски µ
булева куба
¶ E2 . Тогда существует совершенная раскраска с параta tb
метрами
в E2tn .
tc td
Следующая теорема обеспечивает свойство монотонности реализуемых параметров совершенных раскрасок в два цвета.
Теорема 4 (Августинович, Фрид [7]). Для любой пары натуральных
b+c
чисел b, c таких, что (b,c)
= 2t найдётся такое a0 = a0 (b, c), что матрица
µ
¶
a
b
Пусть
является матрицей параметров совершенной расc a+b−c
краски булева куба если и только если a ≥ a0 .
Теорема 5 (Шапиро, Злотник, 1959 [17]; Кротов, 2011 [14]). Для
любой совершенной раскраски Col : E n → {1, . . . , k − 1, 0} и t ∈ N мощность
пересечения |Col−1 (i) ∩ Lt (x)| зависит только от цветов i и Col(x).
Доказательство. Без ограничения общности считаем, что x = 0. Пусть
rt — число вершин из Lt−1 (0) смежных с одной вершиной из Lt (0); lt — число
вершин из Lt+1 (0) смежных с одной вершиной из Lt (0).
Пусть Mt — матрица смежности расстояний t в кубе Eqn .
Mt M = Mt+1 rt+1 + Mt−1 lt−1 ,
M1 = M , M0 = E, Mt = pt (M ).
Mt FCol = pt (M )FCol = FCol pt (S).
FCol — совершенная раскраска графа расстояний t по теореме 3.
По-существу теорема 5 означает, что совершенная раскраска по расстоянию 1 всегда является совершенной раскраской по любому расстоянию. Из
доказательства теоремы 5 можно извлечь более сильное утверждение.
Утверждение 13. Если две совершенные раскраски по расстоянию 1 имеют одинаковую матрицу параметров S, то они имеют одинаковые матрицы
параметров pt (S) как раскраски по расстоянию t.
5
В. Н. Потапов
Подмножество C ⊆ E2n называется антиподальным, если из x ∈ C следует,
что x ⊕ 1 ∈ C.
Утверждение 14. Любой 1-совершенный код C ⊆ E2n является антиподальным.
Доказательство. Свойство антиподальности означает, что χC является совершенной раскраской по расстоянию n, причём вершины, находящиеся на расстоянии n имеют одинаковый цвет. Таким образом, по утверждению 13 свойство антиподальности достаточно проверить для линейного 1совершенного кода.
Теорема 6 (Августинович, 1995 [1]). Пусть C1 и C2 1-совершенные
коды в E2n . Если C1 ∩ L(n−1)/2 (0) = C2 ∩ L(n−1)/2 (0), то C1 = C2 .
Доказательство. Из утверждения 14 следует, что C1 ∩ L(n+1)/2 = C2 ∩
L(n+1)/2 . Тогда множество C = (C1 ∩ B(n−1)/2 (0)) ∩ (C2 ∩ B(n−1)/2 (1)) является
1-совершенным кодом по определению. Но из антиподальности совершенного
кода имеем
C2 ∩ B(n−1)/2 (1) = C ∩ B(n−1)/2 (1) = C1 ∩ B(n−1)/2 (1),
C2 ∩ B(n−1)/2 (0) = C ∩ B(n−1)/2 (0) = C1 ∩ B(n−1)/2 (0).
Аналогичным образом можно доказать, что любая совершенная раскраска
гиперкуба E2n при нечётном n восстанавливается по раскраске вершин среднего слоя L(n−1)/2 (0).
Средний слой L(n−1)/2 (0) гиперкуба и любое другое удовлетворяющее
условию теоремы 6 называется тестовым для 1-совершенных кодов.
Проблема. Найти тестовое множество меньшей мощности для 1совершенных кодов.
2.
Корреляционно-иммунные функции
Будем рассматривать множество Eq как группу по mod q и куб Eqn как
абелеву группу Eq × · · · × Eq . Для x, y ∈ Eqn определим
hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn ( mod q).
Множество функций f : Eqn → C будем рассматривать как векторное пространство V над полем со скалярным произведением
1 X
(f, g) = n
f (x)g(x).
q
n
x∈Eq
6
В. Н. Потапов
Пусть ξ = e2πi/q . Характером группы Eqn называется φz ∈ V, где φz (x) =
ξ
, z ∈ Eqn . При q = 2 можно рассматривать векторное пространство над R
или Q, поскольку ξ = −1.
Непосредственно из определения характера нетрудно вывести следующие
равенства.
hx,zi
Утверждение 15. 1) φz · φy = φz+y ;
q−1
P kj
2)
ξ = 0 при k 6= 0( mod q);
j=0
P hx,zi
3)
ξ
= 0 при z 6= 0.
x∈Eqn
Из утверждения 15 получаем
Утверждение 16. Характеры образуют ортонормированный базис в V.
Преобразованием Фурье вектора f называется fb(z) = (f, φz ). Тогда f (x) =
P b
f (z)φz (x).
z∈Eqn
евклидовом
PВ любом
P b 2 пространстве справедливо
|f (x)|2 =
|f (z)| .
x∈Eqn
равенство Парсеваля:
z∈Eqn
Гранью размерности k называется подмножество куба Eqn , состоящее из
вершин с одинаковыми фиксированными значениями некоторых n − k координат. В частности, одномерная грань направления i, проходящая через
вершину (a1 , . . . , an ) ∈ Eqn , определяется как множество
{(a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . , an ) | x ∈ Eq }.
Функция f : Eqn → Eq называется корреляционно-иммунной порядка n −
m, если для любого a ∈ Eq величина |f −1 (a) ∩ Γ| не зависит от выбора mмерной грани Γ.
Обозначим через cor(f ) максимальный порядок иммунности функции f и
через wt(x) — число ненулевых координат набора x ∈ Eqn .
Пример. Пусть f (x1 , . . . , xn ) = x1 + · · · + xn ( mod q), тогда cor(f ) = n − 1.
Утверждение 17. Если f — корреляционно-иммунная функция порядка
m, тогда fb(z) = 0 при 0 < wt(z) ≤ m.
Доказательство. Рассмотрим z = (z 0 , 0), wt(z 0 ) ≤ m.
00
1 X
1 X −hx0 ,z0 i X
f (x)ξ −hx ,0i ) =
(ξ
fb(z) = n
f (x)φz (x) = n
q
q
n
0
00
x∈Eq
x
7
x
В. Н. Потапов
=
const X −hx0 ,z0 i
ξ
= 0.
qn
0
x
Утверждение
18. Если f ∈ V такова, что fb(z) = 0 при 0 ≤ wt(z) ≤ m.
P
Тогда
f (x) = 0 для любой грани Γ размерности n − m.
x∈Γ
P
fb(z)φz (x). Если wt(z) > m, то
φz (x) =
P
Доказательство. f (x) =
x∈Γ
wt(z)>m
0 для любой грани Γ размерности n − m.
Утверждение 19. Если f : Eqn → {0, 1} и fb(z) = 0 при 0 < wt(z) ≤ m, то
f — корреляционно-иммунная функция порядка m.
P
Доказательство. Из утверждения 18 следует, что величина
f (x) не
x∈Γ
зависит от выбор грани Γ размерности n − m. Следовательно, число единиц
функции во всех таких гранях одинаково.
Булеву функцию f : E2n → {0, 1} называют уравновешенной, если |f −1 (0)| =
|f (1)|.
−1
Теорема 7 (Фон-Дер-Флаасс, 2007 [11]). Пусть f : E2n → {0, 1}
неуравновешенная и |f −1 (0)|, |f −1 (1)| 6= 0. Тогда cor(f ) < 2n
3 .
Доказательство. Пусть
c = |{x ∈ E2n | f (x) = 0}|, b = |{x½∈ E2n | f (x) = 1}|, c + b = 2n , c 6= b.
−c, при f (x) = 1,
Определим функцию g(x) =
b, при f (x) = 0.
Для любого x ∈ E2n имеем g 2 (x) − (b − c)g(x) − bc = 0.
b(z) = 0 при wt(z) ≤ m и
Пусть fb(z) = 0 при 0 < wt(z) ≤ 2n
3 = m. Тогда g





X
X
X

gb(z)φz (x) 
gb(z)φz (x) = cb + (b − c) 
gb(z)φz (x) ,
wt(z)>m
wt(z)>m
X
wt(z)>m
0
gb(z 0 )b
g (z 00 )(−1)hx,z ⊕z
00
i
= (b − c)
z 0 6=z 00
X
gb(z)(−1)hx,zi .
wt(z)>m
Но wt(z 0 ⊕ z 00 ) ≤ 2n − wt(z 0 ) − wt(z 00 ) < m.
Утверждение 20. Характеры φz (x) являются собственными векторами
матрицы смежности куба Eqn с собственными числами (n − wt(z))(q − 1) −
wt(z).
8
В. Н. Потапов
Доказательство.
M φz (x) =
X
ξ hy−x,zi+hx,zi = ξ hx,zi
n X
X
ξ kzj =
j=1 k6=0
y,d(x,y)=1
= ((n − wt(z))(q − 1) − wt(z))φz (x).
Утверждение 21. Пусть f : Eqn → {0, 1} — совершенная раскраска
µ
¶
a b
b
с матрицей параметров S =
. Тогда f − c+b
есть собственc d
n
ная функция матрицы смежности булева куба Eq с собственным числом
n(q − 1) − (b + c).
Утверждение 21 нетрудно доказать непосредственной проверкой.
Утверждение 22. 1) Если f : Eqn → {0, 1} — совершенная раскраска с
µ
¶
a b
матрицей параметров S =
, то fb(z) = 0 при wt(z) 6= 0, b+c
q .
c d
2) Если fb(z) = 0 при wt(z) 6= 0, s для некоторой функции f : Eqn → {0, 1},
то f — совершенная раскраска.
Доказательство. Пункт 1) следует из утверждений 16, 20 и 21. Докажем пункт 2). Функция g = f + t является собственным вектором матрицы
смежности гиперкуба Eqn для некоторой константы c ∈ Q. Пусть g(x) = t и
b(x) = |L1 (x) ∩ g −1 (1 + t)|. Тогда b(x)(1 + t) + (n(q − 1) − b(x))t = λt, где λ —
собственное число соответствующее характерам φz , wt(z) = s. Таким образом,
число b(x) не зависит от выбора x ∈ Eqn .
Из утверждений 19 и 22 имеем
Утверждение 23. Пусть f f : Eqn → {0, 1} — совершенная раскраска с
µ
¶
a b
матрицей параметров S =
. Тогда cor(f ) = c+b
q − 1.
c d
Из доказательства теоремы 8 видно, что если неуравновешенная булева
функция имеет максимально возможную корреляционную иммунность, то её
преобразование Фурье имеет ненулевые значения только в точках фиксированного веса. Тогда, используя утверждение 22, получаем следующую теорему.
Теорема 8 (Фон-Дер-Флаасс, 2007 [11]). Пусть f : E2n → {0, 1}
корреляционно-иммунная функция порядка cor(f ) = 2n
3 − 1. Тогда f — совершенная раскраска.
9
В. Н. Потапов
раскрасок достигающих границы Фон-Дер-Флаасса:
µ Параметры
¶ µ совершенных
¶
0 3
1 5
,
.
1 2
3 3
С помощью конструкции удвоения (утверждение 11) можно построить совершенные раскраски, достигающие границы Фон-Дер-Флаасса, в гиперкубах
сколь угодно большой размерности.
|{x∈Eqn | f (x)=1}|
Пусть f : Eqn → {0, 1}, будем называть плотностью %(f ) =
.
qn
Теорема 9 (Фридман, 1992 [10]; Биербрауэр, 1995 [8]). Для любой
n(q−1)
функции f : Eqn → {0, 1} справедливо неравенство %(f ) ≥ 1 − q(cor(f
)+1) .
Доказательство. Пусть m = cor(f ), λ(z) — собственное число, соответствующее характеру φz .
X
f (x) = %(f ) +
fb(z)φz (x), (f, f ) = %(f ).
wt(z)>m
0 ≤ (M f, f ) =
+
X
X
λ(z 0 )fb(z 0 )fb(z 00 )(φz0 , φz00 ) = %2 (f )n(q − 1)+
z 0 ,z 00
λ(z)|fb(z)|2 ≤ %(f )n(q −1)+((n−(m+1))(q −1)−(m+1))(%(f )−%2 (f )).
wt(z)>m
(1)
Eqn
→ {1, 0} является
Теорема 10 (Потапов, 2010 [4]). Функции f :
совершенной раскраской с параметром s11 = 0 тогда и только тогда, когда
n(q−1)
справедливо равенство %(f ) = 1 − q(cor(f
)+1) .
Доказательство. Если функция f является совершенной раскраской в
два цвета с параметром s11 = 0, то (M f, f ) = 0. Из утверждений 22 и 23 в
цепочке неравенств (1) имеем равенства. Наоборот, если выполнено равенство
n(q−1)
%(f ) = 1 − q(cor(f
)+1) , то в цепочке неравенств (1) имеем всюду равенства.
Тогда по утверждению 22 функция f есть совершенная раскраска.
µ Граница
¶ Биербрауэра — Фридманаµдостигается¶ на счётчике чётности S =
0 n
0
n
и 1-совершенном коде S =
.
n 0
1 n−1
Частным случаем теоремы 10 является
Теорема 11 (Дельсарт, 1972 [9]; Пулатов, 1976 [5]; Остергард, Поттонен, Фелпс, 2010 [15]). Булева функция f является характеристической
функцией 1-совершенного кода тогда и только тогда, когда cor(f ) = n−1
2 ,
1
%(f ) = n+1
.
10
В. Н. Потапов
Проблема. Обобщить на q-значный гиперкуб теоремы 7 и 8.
Проблема. Существуют
куба¶с матµ
¶лиµсовершенные
¶ µраскраски¶булева
µ
1 23
2 22
3 21
0 25
рицами параметров
,
,
,
?
9 15
10 14
11 13
7 18
Литература
1. Августинович С. В. Об одном свойстве совершенных двоичных кодов //
Дискретн. анализ и исслед. опер. — 1995. — Т. 2, № 1. — C. —4—6.
2. Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Проблемы кибернетики. — 1962. — Вып. 8. — С. 337–339.
3. Зиновьев В. А., Леонтьев В. К. Несуществование совершенных кодов
над полями Галуа // Проблемы управления и теории информации. —
1973. — Вып. 2. — С. 123–132.
4. Потапов В. Н. О совершенных раскрасках булева n-куба и
корреляционно-иммунных функциях малой плотности // Сибирские
электронные математические известия. — 2010. — Т. 7.— С. 372–382.
5. Пулатов А. К. О структуре плотно упакованных (n, 3)-кодов // Дискретный Анализ. — 1976. — Вып. 29. — С. 53–60.
6. Таранников Ю. В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. — 2002. —
Вып. 11 — С. 91–148.
7. Фон-Дер-Флаасс Д. Г. Совершенные 2-раскраски гиперкуба // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48, № 4. — С. 923–930.
8. Bierbrauer J. Bounds on orthogonal arrays and resilient functions //
Journal of Combinatorial Designs. — 1995. — V. 3. — P. 179–183.
9. Delsarte P. Bounds for unrestricted codes by linear programming // Philips
Res. Reports. — 1972. — V. 27. — P. 272–289.
10. Friedman J. On the bit extraction problem // Proc. 33rd IEEE Symposium
on Foundations of Computer Science. — 1992. — P. 314–319.
11. Fon-Der-Flaass D. G. A bound of correlation immunity // Siberian
Electronic Mathematical Reports. — 2007. — V. 4. — P. 133–135.
12. Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proc. IRE. — 1949. — V. 37. —
P. 657.
13. Hamming R. W. Error detecting and error correcting codes // Bell System
Tech. J. — 1950. — V. 29. — P. 147—160.
14. Krotov D. S. On weight distributions of perfect colorings and completely
regular codes // Design, Codes and Cryptography. — 2011. — V. 61, №. 3. —
P. 315–329.
11
В. Н. Потапов
15. Ostergard P. R. J., Pottonen O., Phelps K. T. The perfect binary one-errorcorrecting codes of length 15: Part II-Properties // IEEE Transactions on
Information Theory. — 2010. — V. 56 — P. 2571–2582.
16. Schönheim J. On linear and nonlinear single-error-correcting q-nary perfect
codes // Inform. and Control. — 1968. — V. 12, №. 1. — P. 23–26.
17. Shapiro G. S., Slotnik D. S. On the mathematical theory of error correcting
codes // IBM Journal of Research Development. — 1959. — V. 3 — P. 68–
72.
18. Tietäväinen A. On the nonexistance of perfect codes over finite fields //
SIAM J. Appl. Math. — 1973. — V. 24— P. 88–96.
12