ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ. Введение. К настоящему времени теория ядерных реакций как таковая не создана. Теоретическое описание ядерных реакций базируется на использовании различных моделей и подходов. Различные подходы используются не только для описания различных типов реакций, но и для описания механизмов одной и той же реакции. Формально это связано с тем, что задача о столкновении ядерных частиц является задачей многоканальной и многотельной, и точное ее решение невозможно. В ряде случаев нам неизвестно достаточно хорошо взаимодействие между налетающей частицей и ядром-мишенью. Различные подходы к описанию ядерных реакций различаются степенью их строгости, тем, какие модельные предположения положены в их основу. Предлагаемый курс ставит целью ознакомить слушателей с основами формальной теории рассеяния, методами решения многоканальной задачи. Рассматриваются последовательно различные подходы к описанию механизмов ядерных реакций: резонансная теория ядерных реакций, модели прямых ядерных реакций, статистический подход. Завершает курс изложение микроскопического подхода в теории ядерных реакций. При изложении материала используется аппарат квантовой механики, модельные представления о строении ядра, некоторые результаты, полученные в теории ядра. Глава I. Введение в формальную теорию рассеяния. §1. Формулировка задачи рассеяния, амплитуда рассеяния. 1. Рассмотрим классификацию основных процессов столкновений. В общем случае процесс столкновения двух частиц А и а может быть записан в виде: А + а →В + в + Х (1.1) где Х – обозначен набор частиц. Простейшими называются так называемые бинарные процессы: А + а →В + в (1.2) Описание таких процессов и будет составлять содержание данного курса. В силу закона сохранения энергии будем иметь: ε A + ε a + ε Aa = ε B + ε b + ε Bb (1.3) Здесь ε A , ε a и ε B , ε b , соответственно, энергии возбуждения сталкивающихся и рассеиваемых частиц, ε Aa и ε Bb – энергии их относительного движения. В случае А ≠ В и а ≠ в состав частиц А и а меняется. Такие процессы будем называть процессами с перераспределением частиц. Пусть состав частиц не меняется, тогда вместо (1.2) и (1.3) имеем: А + а → А’ + а’ (1.4) ε A + ε a + ε Aa = ε A' + ε a ' + ε A'a ' (1.5) Формулы (1.4) и (1.5) в общем случае соответствуют неупругому рассеянию. Если ε A = ε A′′ и ε a = ε a′ , то ε Aa = ε A′a′ . В этом случае имеем упругое рассеяние. 2. Введем представление о сечении рассеяния. Пусть в направлении оси OZ на мишень падает поток частиц. Обозначим N число частиц, проходящее за единицу времени через единичную площадку. Эксперимент по наблюдению процесса столкновения состоит в том, что с помощью детектора, расположенного под углом θ к оси OZ, фиксируется поток рассеянных частиц. Детектор расположен достаточно далеко от мишени, так что регистрируются свободные (от взаимодействия с мишенью) частицы. Пусть ∆ N - число частиц, рассеянных в единицу времени под углом θ (будем этот угол называть углом рассеяния) в телесном угле d Ω (см.рис.1.1.). Найдем связь между величинами ΔN и N . Рис. 1.1. Естественно полагать, что ∆ N пропорционально N и d Ω , а коэффициент пропорциональности (обозначим его σ ), вообще говоря, зависит от угла рассеяния θ . В результате будем иметь: ∆ N = σ ( θ )N d Ω (1.6) Функция σ ( θ ), по определению, называется сечением рассеяния или дифференциальным сечением рассеяния. Проинтегрируем σ ( θ ) по всем телесным углам: σ = ∫ σ ( θ )d Ω (1.7) Величина σ является интегральным сечением рассеяния. 3. Основной задачей формальной теории рассеяния является нахождение величин σ ( θ ), σ . Аппарат этой теории основан на формализме квантовой механики.Возможны два подхода к построению теории рассеяния: стационарный и нестационарный. В последнем подходе явно рассматривается зависимость волновой функции от времени и прослеживается изменение квантовомеханического состояния со временем. В стационарном описании не рассматривается в явном виде зависимость волновых функций от времени (за исключением фазового множителя), изучается стационарный поток частиц на мишень, а динамика процесса рассеяния формулируется на языке граничных условий. Было показано, что оба подхода приводят к эквивалентному описанию, но формализм временного подхода более громоздок. Поэтому в настоящем курсе изложение основано на использовании стационарного подхода. Связь между этими подходами отмечается в разделе об S-матрице в связи с введением оператора эволюции. 4. Рассмотрим проблему выделения движения центра тяжести в системе двух сталкивающихся тел. Имеем следующее уравнение Шредингера: " " ∂φ (r1 , r2 , t ) " " " " !2 !2 ∆1 − ∆ 2 + V (/ r1 − r2 /) ] φ (r1 , r2 , t ) =[(1.8) i! ∂t 2m1 2m 2 " Здесь m1, m2 – массы сталкивающихся тел, V (/ r1 − r2 /) - взаимодействие между ними, предполагается центральным. Описание, выходящее за рамки центрального взаимодействия, будет дано ниже. Сделаем замену переменных: " " " " r1 , r2 → R, r " m1 r"1 + m2 r"2 R= m1 + m2 " " " r = r1 − r2 (1.9) (1.10) " " Координаты R и r имеют смысл, соответственно, координат движения центра тяжести системы двух сталкивающихся тел и радиуса-вектора их относительного движения. Подставляя (1.9) и (1.10) в (1.8), будем иметь: " " " " ∂Ф( R, r , t ) ! 2 " ! 2 i! = − ∆R − ∆ r" + V (r ) ⋅ Ф( R, r , t ) (1.11) ∂t 2m 2M M = m1 + m 2 m1 m2 m= m1 + m2 (1.12) (1.13) " " Функциональный вид волновой функции в переменных R и r будет другим, " " поэтому она обозначена Ф. Будем искать Ф( R, r , t ) в виде: "" " " P2 t PR Ф( R, r , t ) = exp{−i[( + E ) ⋅ ]}exp{i (1.14) }⋅ φ (r" ) ! ! 2m " Здесь импульс P относится к движению центра масс. Подставляя (1.14) в (1.11), получаем: 2 " " " ∆ " + V (r )] ⋅ φ (r ) = Eφ (r ) (1.15) 2m r Таким образом, вместо исходного двухчастичного уравнения Шредингера имеем одночастичное уравнение для относительного движения сталкивающихся частиц. Произошло отделение движения центра масс. Уравнение (1.15) удобно записать в следующем виде: " " (1.16) (∆ + k 2 )φ k (r ) = U (r )φ k (r ) " 2m 2m Здесь k 2 = 2 E и U (r ) = 2 V (r ) , индекс r у оператора Лапласа ∆ опущен, ! ! " поскольку в уравнении (1.16) кроме r нет других переменных. 5. Рассмотрим граничные условия в задаче рассеяния. Пусть вдоль оси OZ на мишень падает поток частиц, в результате взаимодействия с мишенью рассеянные частицы движутся под углом θ . Естественно полагать, что на достаточно большом расстоянии от мишени вне зоны взаимодействия поток нерассеянных частиц, описываемых плоской волной, будет складываться с потоком рассеянных частиц, описываемых расходящейся сферической волной. Амплитуда сферической волны будет зависеть от угла рассеяния. Для асимптотики функции " φ k (r ) будем иметь: ikr " 1 ikz + f (θ ) e } φ k (r ) → e { 3 (1.17) r (2π ) 2 " r →∞ В выражении k – модуль волнового вектора (или в единицах ! импульса [− ! 3 относительного движения), (2π ) 2 - нормировочный множитель: " # " " 1 −i ( k ′− k ) r " δ e d r k ⋅ = ( − k ′) (2π ) 3 ∫ Здесь произведено обобщение записи плоской волны: (1.18) 1 3 ⋅ eikz 1 → 3 "" i k ⋅e r " k || OZ (2π ) 2 (2π ) 2 По определению, величина f (θ ) называется амплитудой рассеяния. Она показывает, насколько велика доля частиц, рассеянных в результате взаимодействия с мишенью на угол θ , по отношению к числу частиц, падающих на мишень. 6. Найдем связь между амплитудой рассеяния и сечением рассеяния. Рассмотрим квантовомеханическую плотность тока: " ! j= (φ * ∇φ − φ∇φ *) (1.19) 2mi В соответствии с вышесказанным N = jz, а ∆N = j r ⋅ ds . Представим (1.17) в виде двух слагаемых: ϕ k ( z ) + χ k (r ) = 1 3 ⋅ eikz + 1 (2π ) 2 (2π ) Подставляя ϕ k (z ) в (1.19), для j z будем иметь: 3 2 ⋅ f (θ ) ⋅ eikr r (1.20) ∂ϕ ( z ) ∂ϕ * ( z ) ! ⋅ (ϕ k* ( z ) k − ϕ k ( z) k ) = ∂z ∂z 2mi ! !k 1 −ikz ikz 1 e ike − eikz (− ik )e − ikz = ⋅ = ⋅ 3 2mi (2π ) m (2π ) 3 Отсюда следует, что: v N= (1.21), (2π ) 3 v = !k . где m Аналогично находим ∆N i : jz = ∂χ k (r ) ∂χ k* (r ) ! * χ k (r ) ⋅ ⋅ ds = ∆N = j r ds = − χ k (r ) ⋅ 2mi ∂r ∂r = − f (θ ) ! 1 e −ikr eikr * θ θ f ikf ⋅ − ( ) ( ) { 2mi (2π ) 3 r r !k 1 1 eikr e −ikr ds (−ik ) ⋅ f * (θ ) / f (θ ) / 2 2 + O(r 3 )} ⋅ ds = m r r r (2π ) 3 Таким образом 1 1 ds r 2 (2π ) 3 Подставляя (1.21) и (1.22) в соотношение (1.6), получаем: v 1 1 v / f (θ ) / 2 2 ds = σ (θ ) dΩ 3 r (2π ) (2π ) 3 ∆N = v / f (θ ) / 2 Отсюда с учетом dΩ = ds / r 2 имеем искомые соотношения: σ (θ ) = / f (θ ) / 2 σ = ∫ / f (θ ) / dΩ 2 (1.22) (1.23) (1.24) (1.25) 7. Перейдем к интегральной формулировке задачи рассеяния. Рассмотрим уравнение Шредингера: " " " (∆ + k 2 )φ k (r ) = U (r )φ k (r ) Будем искать его решение в следующем виде: (1.16) " " " φ k (r ) = ϕ k (r ) + f k (r ) " где ϕ k (r ) удовлетворяет уравнению (1.16) без правой части: " (∆ + k 2 )ϕ k (r ) = 0 " а f k (r ) строится с помощью функции Грина: " " " " " " f k (r ) = ∫ G0 (r − r ′) ⋅ U (r ′)φ k (r ′)dr ′ (1.27), Здесь было использовано следующее свойство δ -функции: ∫ f ( x)δ ( x − a)dx = f (a) (1.30) (1.26), (1.28). Одночастичная функция Грина удовлетворяет уравнению: " " " " (∆ + k 2 )G 0 (r − r ′) = δ (r − r ′) (1.29) Проверим, что (1.26) с учетом (1.27) - (1.29) удовлетворяет уравнению (1.16). Подставляя (1.26) с (1.28) в (1.16), будем иметь: " " " (∆ + k 2 )[ϕ k (r ) + f k (r )] = (∆ + k 2 ) ⋅ f k (r ) = " " " " " = (∆ + k 2 ) ∫ G0 (r − r ′)U (r ′)φ k (r ′)dr ′ = " " " " " " " = ∫ δ (r − r ′)U (r ′)φ k (r ′)dr ′ = U (r )φ k (r ) Подставляя (1.28) в (1.26), получаем для волновой функции интегральное уравнение: " " " " " " " φ k (r ) = ϕ k (r ) + ∫ G0 (r − r ′)U (r ′)φ k (r ′)dr ′ (1.31) Интегральная формулировка задачи рассеяния сводится к решению уравнения (1.31) с учетом граничных условий. Эта формулировка имеет ряд преимуществ по сравнению с дифференциальной: 1). Граничные условия, как будет показано ниже, могут быть учтены в записи интегрального уравнения (1.31), 2). К решению уравнения (1.31) могут быть применены хорошо разработанные приближенные методы, 3). Наконец, из рассмотрения интегрального уравнения непосредственно возникает связь между амплитудой рассеяния и потенциалом взаимодействия. 8. Рассмотрим одночастичную функцию Грина в импульсном (энергетическом) и координатном представлении. Из уравнения " " (∆ + k 2 )G0 (r ) = δ (r ) формально получаем: " " 1 δ (r ) G0 (r ) = (1.32) 2 ∆+k " Используя интегральное представление для δ (r ) , будем иметь: " G0 (r ) = 1 1 ⋅ 2 ∆ + k (2π ) 3 ∫ "" " i q e r dq⋅ = 1 (2π ) 3 "" i q e r ∫k 2 −q 2 " dq (1.33) " Здесь учтено также, что ∇ 2 = ∆ . Рассмотрим интеграл по углам вектора q : ∫ "" "" 2 1 " ∞ π iq r 2 i q r e dq = e q dq ⋅ dϕ ⋅ ds ∫∫∫ " " s = cos(r , q ) (1.34) 0 0 −1 Проводя интегрирование в (1.34), получаем: "" −iqr i q r " 2π iqr ∫ e dq = iqr e − e (1.35) " " " Поставляя (1.35) в (1.33) и заменяя r на r − r ′ , будем иметь: ∞ q ⋅e 1 1 ⋅ " " ∫ 2 4π i / r − r ′ / − ∞ При получении выражения (1.36) учтено, что: " " G0 (r − r ′) = ∞ −∫ e −iqr 0 " " iq / r −r ′ / dq k 2 − q2 (1.36) e iqr (1.37) ∫ 2 2 ⋅ qdq k 2 − q2 −∞ k − q Соотношение (1.36) является импульсным представлением для одночастичной свободной функции Грина. Термин “свободная” означает, что функцция Грина соответствует уравнению Шредингера без взаимодействия. Из (1.36), используя (2m 2 ) E = k 2 , можно получить функцию Грина в энергетическом ! представлении: ⋅ qdq = 0 " " iq / r −r ′ / ∞ " " e 1 1 2 2m G 0 (r − r ′) = 2 ⋅ " " ∫ dE ′ q = 2 ⋅ E ′ (1.38) ! 8π i / r − r ′ / 0 E − E ′ Интеграл по q в (1.36) может быть вычислен с помощью теоремы о вычетах. Разлагая в подинтегральном выражении знаменатель на множители, будем иметь: ∞ iqr ∞ iqr qe qe (1.39) ∫−∞ k 2 − q 2 dq = −−∫∞ (q − k )(q + k )dq Для вычисления интеграла выберем контур, включающий полюс q = k и не включающий полюс q = − k (см.рис.1.2а.). Обозначим этот контур С+. Согласно теореме о вычетах получаем: − +∞ iqr qe ikr ∫−∞ (q − k )(q + k )dq = −πie (1.40) Рис.1.2а. Подставляя (1.40) в (1.36), будем иметь: Рис.1.2б. " " ′ " " 1 e ik / r −r / G0( + ) (r − r ′) = − ⋅ (1.41) " " 4π / r − r′/ Можно видеть, что асимптотическое выражение для одночастичной функции (+ ) " " ′ Грина G (r − r ) содержит расходящуюся сферическую волну. Таким образом, 0 правило обхода контура соответствует заданию определенных граничных условий.Аналогично, выбирая контур интегрирования С- (см.рис.1.2б.) , получаем для интеграла по q : iqr +∞ qe dq = −πie −ikr − ∫ q k q k − ∞ ( − )( + ) а для функции Грина , соответственно, выражение: " " (1.42), ′ " " 1 e −ik / r −r / G0( − ) (r − r ′) = − ⋅ (1.43) " " 4π /r − r′/ " " Асимптотическое выражение для G0( − ) (r − r ) содержит сходящуюся сферическую волну. Перепишем уравнение (1.31) в следующем виде: " " (±) " " (±) " (±) " " ′ φ (r ) = ϕ (r ) + ∫ G (r − r )U (r ′)φ (r ′)dr ′ (1.44) k 0 k k (±) " Здесь φ (r ) - волновые функции задачи рассеяния, в асимптотике которых k содержатся, соответственно, расходящиеся (сходящиеся) сферические волны; " ϕ (r ) -плоско волновое решение, поэтому функция не имеет индексов (± ) . В k (+) " задаче о рассеянии на потенциале требуются функции φ (r ) , однако ниже будет k ( −) " рассмотрена задача, в которой используются функции φ (r ) . Формулы (1.41) и k (1.43) дают координатные представления для одночастичной функции Грина. 9. Установим связь между потенциалом взаимодействия и амплитудой рассеяния. (+) " Волновая функция φ (r ) имеет следующий асимптотический вид: k φ 1 (+) " → 3 (r ) k (2π ) 2 " r →∞ Подставим выражение для G (1.44): "" e ikr i k ⋅ {e r + f (θ ) } r (+ ) " " ′ (r − r ) (см. ф. (1.41)) в интегральное уравнение 0 " " "" " (+) " " 1 eik / r −r ′ / i k r ′)φ e U r ( (r ′)dr ′ (1.45) − ⋅ " " ∫ 3 k π 4 ′ 2 − r r / / (2π ) " При достаточно больших r можно положить: 1 1 (1.46) " " ~ / r − r′/ r "" " " "" "" 2r r ′ 2 2 / r − r ′ / = r − 2r r ′ + (r ′) ~ r 1 − 2 ~ r − (n r ′) (1.47) r " " Здесь n - единичный вектор, направленный параллельно вектору r . Подставляя (1.46) и (1.47) в (1.45), получим: "" 3 ikr " " (+) " " 1 (+) " i k r − 1 (2π ) e φ ϕ * (r ′)U (r ′)φ e (r ) ⇒ (r ′)dr ′ (1.48) ∫ 3 3 k k′ k π r 4 2 2 π π (2 ) (2 ) " r →∞ "" " " " 1 ′r ′ i k ′ = nk ϕ ′ (r ′) = k e где , (1.49) ⋅ 3 k 2 (2π ) Сравнивая выражения (1.17) и (1.48), будем иметь: (2π ) 3 (+) ϕ ′Uφ f (θ ) = − (1.50) k k 4π (+) " φ (r ) = k 1 Используя соотношение U = (2m )V , окончательно получаем: !2 (2π ) 2 m (+) f (θ ) = − ⋅ ϕ ′Vφ (1.51) 2 k k ! Для сечения рассеяния будем, соответственно, иметь: (2π ) 4 m 2 σ (θ ) = (1.52) / ϕ k ′ V φ k(+) / 2 4 ! Формулы (1.51) и (1.52) устанавливают связь между потенциалом взаимодействия и амплитудой и сечением рассеяния. Задавая потенциал из физических соображений и решая уравнение задачи рассеяния с определенными граничными условиями, можно построить f (θ ) и σ (θ ) . Сравнение теоретических сечений с экспериментальными дает возможность проверить исходные предположения о характере взаимодействия. 10. Для обобщения предыдущего рассмотрения введем операторную форму записи уравнения Шредингера: (H 0 + V − E) φε = 0 (1.53) Здесь оператор H 0 включает в себя оператор Гамильтона мишени и оператор кинетической энергии налетающей частицы, но не включает оператор взаимодействия между сталкивающимися частицами. Таким образом, H 0 является невозмущенным (взаимодействием) гамильтонианом. В формуле (1.53) V оператор взаимодействия между налетающей частицей и мишенью. Преобразуя уравнение (1.53), получаем: (1.54) (E − H 0 ) φ E = V φ E Введем операторы Грина, координатное и импульсное представление которых, было рассмотрено выше: 1 (±) G E = (1.55) 0 ( ) E − H ± iε 0 Здесь мнимые добавки ± iε соответствуют выбору контуров C + и C − и асимптотическим условиям в виде расходящейся (сходящейся) сферической волны на бесконечности. Действуя формально оператором Грина на правую и левую часть соотношения (1.54), будем иметь: (±) = ϕ φE E + 1 E−H 0 ± iε ⋅V φ (±) E (1.56) Уравнение (1.56) есть операторная запись уравнения Липпмана-Швингера. ϕE Состояния являются собственными состояниями невозмущенного гамильтониана: Ho ϕE = E ϕE (1.57) и переходя в (1.56) Используя свойство полноты состояний ϕ E координатному представлению, получаем: " " (±) " " φ E (r .....r ) = ϕ (r .....r ) + E 1 N N 1 dE ′ " " " " " " " " +∫ ⋅ ∫ ϕ *E ′ ( r1′ ....rN ′ )V ( r ′ ......r ′ )ϕ ( ± ) ( r ′ ....r ′ ) ⋅ dr ′ ......dr ′ ⋅ N E N N 1 1 1 ′ E − E ± iε " " ⋅ ϕ ′ (r ......r ) (1.58) E 1 N к " " Здесь r1 .......rN - координаты всех частиц, входящих в состав сталкивающихся тел. Отметим преимущества использования в теории рассеяния уравнений Липпмана-Швингера по сравнению с уравнениями Шредингера: 1).могут быть описаны не только упругие процессы, 2).может быть применение в представлении вторичного квантования в квантовой теории поля, 3). допустимо использование релятивистского формализма. Сравнение формул (1.58) и (1.44) показывает эквивалентность обоих подходов в случае описания упругого рассеяния. 11. Наряду со свободным оператором Грина (1.55) введем в рассмотрение оператор Грина с учетом взаимодействия: 1 (± ) G (E) = (1.59) E − H ± iε Здесь H - оператор Гамильтона, включающий в себя невозмущенный гамильтониан и оператор взаимодействия: H = Ho +V (1.60) (±) Для получения уравнения, которому удовлетворяет оператор G (E) , рассмотрим операторное соотношение: 1 1 1 1 − = ⋅ ( B − A) ⋅ (1.61) A B B A Положим: A ≡ E − H + iε (1.62) B ≡ E − H o + iε . Подставляя (1.62) в (1.61), будем иметь: 1 1 1 1 − = ⋅V ⋅ E − H + iε E − H o + iε E − H o + iε E − H + iε или 1 1 1 1 = + ⋅V ⋅ (1.63) E − H + iε E − H o + iε E − H o + iε E − H + iε Соотношение (1.63) можно рассматривать, как операторное уравнение для оператора Грина (±) G ( E ) . Используя (1.55) и (1.59), получаем: (+ ) (+) (+) (+) G (E) = G (E) + G (E) ⋅ V ⋅ G (E) (1.64) o o Решая уравнение (1.64) методом последовательных приближений, будем иметь выражение для G ( + ) ( E ) в виде бесконечного ряда: (+ ) (+) (+ ) (+) (+) (+) (+ ) G (E) = G (E) + G ( E )VG (E) + G ( E )VG ( E )VG ( E ) + ..... (1.65) o o o o o o 12. Найдем формальное решение уравнения Липпмана-Швингера. Снова используем соотношение (1.61), положив теперь: A ≡ E − H o + iε (1.66) B ≡ E − H + iε Подставляя (1.66) в (1.61), получим: 1 1 1 1 − =− ⋅V ⋅ E − H o + iε E − H + iε E − H + iε E − H o + iε Применяя (1.55) и (1.59), будем иметь вместо (1.67) : (1.67) (+ ) (+) (+) (+) Go ( E ) = G (E) − G ( E )VG (E) o Перепишем уравнение (1.56) в следующем виде: (+) (+) (+) φE = ϕ +G ( E )V φ E o E Подставляя (1.68) в(1.69), получаем: (+) φE = ϕ E = ϕE + G +G (+) (+) ( E )V φ (1.68) (1.69) (+) (+) (+) (+ ) −G ( E )VG ( E )V φ = E o E (+) (+) (+) ( E )V φ ( E )V φ −G = E o E (+) = ϕE + G ( E )V ϕ (1.70) E Используя (1.59), будем иметь: 1 (+) φE = ϕ + ⋅V ϕ (1.71) E E E − H + iε Соотношение (1.71) и есть искомое формальное решение уравнения ЛиппманаШвингера. Оно является решением поскольку правая часть этого соотношения не (+) содержит вектора состояния φ ( E ) . Это решение является формальным, поскольку для построения φ (+) ( E ) по формуле (1.71) необходимо знать спектр состояний полного гамильтониана, т.е. фактически необходимо решить уравнение Шредингера (1.53).1).Однако, если задать гамильтониан H в рамках некоторой простой модели, позволяющей найти его собственные значения, то соотношение (1.71) дает возможность построить приближенные решения задачи рассеяния. 2). Кроме того, это соотношение полезно для введения в рассмотрение оператора переходов.