Задания конкурса Кенгуру 2003

Задания конкурса Кенгуру 2003
МАЛЫШ (3 и 4 классы)
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 ОЧКА
М1. Вычислите: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 − 3 − 2 − 1 − 0.
A 0 B 2 C 4 D 10 E 16
М2. В первом вагоне имеется 10 ящиков. В каждом следующем вагоне количество ящиков в два раза больше, чем в предыдущем. Сколько ящиков в пятом вагоне?
A 100 B 120 C 140 D 160 E 180
М3. Соня рисует цветочки в следующем порядке: синий, зеленый, красный, черный,
желтый, затем снова синий, зеленый, красный, черный и так далее. В какой цвет
окрашен 17-ый цветочек?
A Синий B Зеленый C Красный D Черный E Желтый
М4. В учительской имеется 6 столов с 4 стульями каждый, 4 стола с 2 стульями каждый,
и 3 стола с 6 стульями каждый. Других стульев нет. Сколько всего стульев в учительской?
A 40 B 25 C 50 D 36 E 44
М5. На столе лежит монета. Какое наибольшее количество таких же монет можно положить на стол так, чтобы они касались первой?
A4 B5 C6 D7 E8
М6. На рисунке расстояния KM = 10, LN = 15,
KN = 22. Найдите расстояние LM.
K
L
M
N
A1 B2 C3 D4 E5
М7. Ежик Марик объяснял своим друзьям: ,,Если бы я мог наколоть на свои иголки
в два раза больше яблок, чем сейчас, то их было бы на 24 больше, чем сейчас“.
Сколько яблок у ежика Марика?
A 48 B 24 C 42 D 12 E 36
М8. Костя построил из красных и синих кубиков одного и
того же размера параллелепипед, показанный на рисунке. Снаружи параллелепипед полностью красный, но все
внутренние кубики –– синие. Определите число синих кубиков.
A 12 B 24 C 36 D 40 E 48
66
Кенгуру 2003
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 ОЧКА
М9. На клетчатой бумаге в клетку 1 × 1 нарисован прямоугольник 4 × 7 со сторонами,
идущими по сторонам клеток. Сколько клеток разбивает на две части диагональ
прямоугольника?
A 8 B 9 C 10 D 11 E 12
М10. В таблице справа показано соотношение между количествами различных сортов цветов в ботаническом саду. Таня
узнала у садовника, что число сортов
азалий в саду равно 35, ирисов –– 50, роз
–– 85. Сколько сортов гербер в саду?
A 95 B 100 C 105 D 110 E 115
Açàëèè
Èðèñû
Ðîçû
Ãåðáåðû
М11. Аня уснула в 9:30 вечера и проснулась в 6:45 утра. Ее брат Максим спал на 1 час 50
минут больше. Сколько часов и минут длился сон Максима?
A 30 ч 5 мин B 11 ч 35 мин C 11 ч 5 мин D 9 ч 5 мин E 8 ч 35 мин
М12. Конструкция на рисунке состоит из одинаковых кубиков
и весит 189 граммов. Сколько граммов весит один кубик?
A 29 B 25 C 21 D 19 E 17
М13. Кенгуру Джампи готовился к Олимпиаде среди животных. Его самый длинный
прыжок во время тренировок был равен 50 дм 50 см 50 мм. На Олимпиаде Джампи выиграл золотую медаль, прыгнув на 123 см дальше. Какова длина победного
прыжка Джампи?
A 6 м 78 см B 5 м 73 см C 5 м 55 см D 11 м 28 см E 7 м 23 см
М14. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 нарисована
буква N (см. рисунок). Какую площадь она занимает?
A 15 B 16 C 17 D 18 E 19
М15. Витя любит вычислять сумму цифр на своих электронных часах. (Например, если
часы показывают 21:37, то Витя получает 2 + 1 + 3 + 7 = 13.) Какова наибольшая
сумма, которую он может получить?
A 24 B 36 C 19 D 25 E 23
М16. В классе 29 школьников. У 12 из них имеется сестра, а у 18 –– брат. У Тани, Бори и
Ани нет ни брата, ни сестры. У скольких школьников в этом классе есть и брат, и
сестра?
A Ни у одного B 1 C 3 D 4 E 6
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 ОЧКОВ
М17. Женя хочет купить несколько баскетбольных мячей. Если бы он купил 5 мячей, то
у него осталось бы еще 10 долларов. Но если бы он захотел купить 7 мячей, то ему
бы не хватило 22 долларов. Сколько стоит один мяч, если известно, что его цена
исчисляется целым числом долларов?
A 11 B 16 C 22 D 26 E 32
Баловник (5 и 6 классы)
67
М18. Я опоясал ниткой деревянный круг (см. рисунок) –– мне хватило a см нитки. Я
опоясал квадрат –– мне хватило b см нитки.
?
Сколько сантиметров нитки мне хватит, чтобы опоясать три изображенных круга
не сдвинув их с места?
A 3a B 2a + b C a + 2b D 3b E a + b
М19. Картинка справа была нарисована на бумаге. Затем
ее вырезали и сложили из нее домик. Какой домик
получился?
A
B
C
D
E
М20. Кенгуренок купил 3 вида конфет: большие, средние и маленькие. Большие конфеты
стоят 4 монеты за штуку, средние –– 2 монеты за штуку, а маленькие –– 1 монету за
штуку. Всего кенгуренок купил 10 конфет и заплатил за них 16 монет. Сколько он
купил больших конфет?
A5 B4 C3 D2 E1
М21. Штрих-код состоит из 17 чередующихся черных и белых полос. Первая и последняя полосы –– черные.
Черные полосы в нем –– двух типов: широкие и узкие.
Все белые полосы –– одинаковые. Найдите число узких черных полос в штрих-коде, если известно, что
число черных широких полос в нем на 3 меньше, чем
число белых полос.
A1 B2 C3 D4 E5
М22. Федя сложил прямоугольный параллелепипед из трех
фигурок, раскрашенных различным образом, причем
каждая фигурка состоит из четырех кубиков. Потом
одну из фигурок он убрал (см. рисунок). Которую?
A
B
C
D
E
М23. В магазине игрушек одна собачка и три медвежонка стоят столько же, сколько стоят
четыре кенгуру. Три собачки и два медвежонка вместе также имеют цену, равную
цене четырех кенгуру. Как соотносятся цена собачки и цена медвежонка?
A Собачка в два раза дороже
B Медвежонок в два раза дороже
C Цены собачки и медвежонка равны
D Медвежонок в три раза дороже
E Собачка в три раза дороже
68
Кенгуру 2003
М24. Изображенная на рисунке доска состоит из 20 клеток
1 × 1. Сколькими способами можно накрыть все 18 ее
белых клеток девятью прямоугольными косточками
1× 2? (Доску вращать нельзя. Два способа считаются
различными, если хотя бы одна косточка положена
по-другому.)
A 2 B 4 C 6 D 8 E 16
БАЛОВНИК (5 и 6 классы)
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 ОЧКА
Б1. Какое из следующих выражений имеет наибольшее значение?
A 2 + 0 + 0 + 3 B 2 × 0 × 0 × 3 C (2 + 0) × (0 + 3) D 20 × 0 × 3
E (2 × 0) + (0 × 3)
Б2. Соня рисует цветочки в следующем порядке: синий, зеленый, красный, черный,
желтый, затем снова синий, зеленый, красный, черный и так далее. В какой цвет
окрашен 17-ый цветочек?
A Синий B Зеленый C Красный D Черный E Желтый
Б3. Сколько целых чисел находится между 2,09 и 15,3?
A 13 B 14 C 11 D 12 E Бесконечно много
Б4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 2, на 3 и на 4?
A 1 B 6 C 12 D 24 E 36
Б5. Сумма чисел в каждом из колец на рисунке справа равняется 55.
X
9
Чему равно X?
A 9 B 10 C 13 D 16 E 18
9
Y
8
11
7
14
13
2
18 cì2
Б6. У Тома 9 стодолларовых банкнотов, 9 десятидолларовых банкнотов и 10 однодолларовых банкнотов. Сколько долларов у Тома?
A 1 000 B 991 C 9 910 D 9 901 E 99 010
Б7. Квадрат разбит на два меньших квадрата и два прямоуголь18 cì2
ника, как показано на рисунке. Найдите сторону (в сантиметрах) большого квадрата.
?
A 9 B 2 C 7 D 11 E 10
81 cì2
Б8. Витя любит вычислять сумму цифр на своих электронных часах. (Например, если
часы показывают 21:37, то Витя получает 2 + 1 + 3 + 7 = 13.) Какова наибольшая
сумма, которую он может получить?
A 24 B 36 C 19 D 25 E 23
Б9. На рисунке расстояние KM = 10, LN = 15,
KN = 22. Найдите расстояние LM.
A1 B2 C3 D4 E5
K
L
M
N
Баловник (5 и 6 классы)
69
Б10. Число 24 имеет 8 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Каково наименьшее число,
имеющее 4 делителя?
A 4 B 6 C 8 D 9 E 10
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 ОЧКА
Б11. На рисунке справа изображен клоун, балансирующий на пирамиде,
составленной из двух шаров и одного куба. Радиус нижнего шара
равен 6 дм, радиус верхнего шара –– в три раза меньше, сторона
куба на 4 дм больше радиуса верхнего шара. На какой высоте (в
дециметрах) над уровнем сцены стоит клоун?
A 14 B 20 C 22 D 24 E 28
?
Б12. Из набора чисел 1, 2, 3, 4, 5 выбираем два различных и складываем. Сколько
различных сумм можем получить таким образом?
A5 B6 C7 D8 E9
Б13. Прямоугольник на рисунке состоит из 7 квадратов,
причем длины сторон некоторых из них указаны. Квадрат K –– самый большой, а квадрат L –– самый маленький. Во сколько раз площадь квадрата K больше
площади квадрата L?
A 16 B 25 C 36 D 49
E Определить невозможно
K
L
2
3
Б14. Я опоясал ниткой деревянный круг (см. рисунок) –– мне хватило a см нитки. Я
опоясал квадрат –– мне хватило b см нитки.
?
Сколько сантиметров нитки мне хватит, чтобы опоясить три изображенных круга
не сдвинув их с места?
A 3a B 2a + b C a + 2b D 3b E a + b
Б15. У Юли есть 20 разноцветных шариков: желтых, зеленых, голубых и красных. Известно, что 17 из них не являются зелеными, 12 не являются желтыми, ровно 5 шариков –– красные. Сколько голубых шариков у Юли?
A 3 B 4 C 5 D 8 E 15
Б16. По дороге от Васиного дома до озера растет 17 деревьев. Однажды, идя к озеру,
Вася отметил мелом некоторые деревья следующим образом. Сначала он отметил
первое дерево, а затем каждое второе до самого озера. На пути обратно Вася снова
отметил первое дерево, а затем каждое третье до самого дома. Сколько деревьев
оказались неотмеченными ни разу?
A4 B5 C6 D7 E8
70
Кенгуру 2003
Б17. Квадрат ABCD состоит из одного внутреннего квадрата и четырех равных прямоугольников (см. рисунок). Периметр каждого
прямоугольника равен 40 см. Какова площадь (в см2 ) квадрата
ABCD?
A 400 B 200 C 160 D 100 E 80
D
C
A
B
Б18. Какая дата будет ровно через 2003 минуты после 20 часов 03 минут 20.03.2003?
A 21.03.2003 B 22.03.2003 C 23.03.2003 D 21.04.2003 E 22.04.2003
Б19. Изображенная на рисунке доска состоит из 20 клеток
1 × 1. Сколькими способами можно накрыть все 18 ее
белых клеток девятью прямоугольными косточками
1× 2? (Доску вращать нельзя. Два способа считаются
различными, если хотя бы одна косточка положена
по-другому.)
A 2 B 4 C 6 D 8 E 16
Б20. Штрих-код состоит из 17 чередующихся черных и белых полос. Первая и последняя полосы –– черные.
Черные полосы бывают двух типов: широкие и узкие. Все белые полосы –– одинаковые. Найдите число
узких черных полос в штрих-коде, если известно, что
число черных широких полос в нем на 3 меньше, чем
число белых полос.
A1 B2 C3 D4 E5
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 ОЧКОВ
Б21. Картинка справа была нарисована на бумаге. Затем ее
вырезали и сложили из нее домик. Который домик получился?
A
B
C
D
E
Б22. Из листа тетради в клетку вырезали квадрат, а затем из квадрата вырезали две из
изображенных фигур. Которые?
1
2
3
4
A 1 и 3 B 2 и 4 C 2 и 3 D 1 и 4 E Так вырезать невозможно
Баловник (5 и 6 классы)
71
Б23. Петя заполнил таблицу, состоящую из пяти столбцов, числами
от 0 до 109 так, как показано на рисунке справа. Какой из следующих фрагментов не может быть частью его таблицы?
A
65
68 B
67
C
78
45
59 E 43
D
59
63
56
0 2 4 6 8
1 3 5 7 9
10 12 14 16 18
11 13 15 17 19
20 22 24 26 28
Б24. Федя сложил прямоугольный параллелепипед из трех фигурок, раскрашенных различным образом, причем каждая фигурка состоит из четырех кубиков. Потом одну
из фигурок он убрал (см. рисунок). Которую?
A
B
C
D
E
Б25. Имеется шесть отрезков, длины которых 1 см, 2 см, 3 см, 2001 см, 2002 см и 2003 см.
Сколькими способами можно выбрать три из этих отрезков так, чтобы из них можно
было составить треугольник?
A 1 B 3 C 5 D 6 E Более 10
Б26. В темнице сидят красные и зеленые драконы. У каждого красного дракона 6 голов,
8 ног и 2 хвоста, а у каждого зеленого дракона 8 голов, 6 ног и 4 хвоста. Все драконы
вместе имеют 44 хвоста. Известно также, что зеленых ног на 6 меньше, чем красных
голов. Сколько красных драконов сидит в темнице?
A 6 B 7 C 8 D 9 E 10
1 cì
1 cì
M
100 cì
Б27. Найдите длину в сантиметрах проволоки (от вершины M квадрата до вершины N), которая изогнута так, как показано на рисунке справа.
A 10 200 B 2 500 C 909 D 10 100 E 9 900
100 cì
Б28. В примере на сложение цифры слагаемых заменили фигурами (см. рисунок). Найдите значение суммы + .
A 6 B 7 C 8 D 9 E 13
Б29. Фигура на рисунке справа состоит из пяти одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников. Найдите их
общую площадь (в см2 ).
A 20 B 25 C 35 D 45 E Определить невозможно
N
+
2 0 0 3
30 cì
Б30. У Ани в коробке 9 карандашей. По крайней мере один из них –– голубой. Среди
любых четырех карандашей не менее двух имеют одинаковый цвет, а среди любых
пяти не более трех имеют одинаковый цвет. Сколько голубых карандашей в коробке?
A 2 B 3 C 4 D 1 E Определить невозможно
72
Кенгуру 2003
КАДЕТ ( 7 и 8 классы)
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 ОЧКА
К1. В зоомагазине было 5 попугаев, средняя цена которых равнялась 6 000 долларов.
Когда самый дорогой попугай был продан, средняя цена оставшихся четырех попугаев стала равной 5 000 долларов. Сколько долларов стоил проданный попугай?
A 1 000 B 2 000 C 5 500 D 6 000 E 10 000
К2. Квадратный лист бумаги сложили дважды и сделали надрезы
так, как показано на рисунке. Что получилось в результате?
A
B
C
D
E
К3. Квадрат 4 × 4 состоит из 16 клеток. Какое наибольшее количество клеток может
разбить на две части прямая?
A3 B4 C6 D7 E8
К4. Площадь изображенного деревянного круга равна a, площадь деревянного квадрата равна b. Ниткой плотно опоясываем три таких круга, не сдвинув их с места.
?
Чему равна площадь, ограниченная ниткой?
A 3b B 2a + b C a + 2b D 3a E a + b
К5. В шестиугольнике (не обязательно выпуклом) максимально возможное количество
внутренних прямых углов равно
A2 B3 C4 D5 E6
К6. Бутылка и стакан вмещают столько же воды, сколько кувшин. Бутылка вмещает
столько же, сколько стакан и кружка. Три кружки вмещают столько же, сколько
два кувшина. Сколько стаканов воды вмещает кружка?
A3 B4 C5 D6 E7
К7. Изображенная на рисунке доска состоит из 44 клеток 1×1.
Сколькими способами можно накрыть все 40 ее белых
клеток двадцатью прямоугольными косточками 1 × 2?
(Доску вращать нельзя. Два способа считаются различными, если хотя бы одна косточка положена по-другому.)
A 8 B 16 C 32 D 64 E 100
К8. В числе, которое имеет не менее двух цифр, последнюю цифру зачеркнули. В результате число уменьшилось в n раз. Какое наибольшее значение может принимать n?
A 9 B 10 C 11 D 19 E 20
К9. Проведены 4 отрезка. Скольких точек пересечения они иметь не могут?
A2 B3 C5 D6 E7
К10. Какое из следующих чисел после умножения на 768 дает произведение, которое
заканчивается наибольшим числом нулей?
A 7500 B 5000 C 3125 D 2500 E 10 000
Кадет (7 и 8 классы)
73
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 ОЧКА
К11. На квадратном прозрачном листе бумаги, который лежит на столе, написана буква . Повернем лист по часовой стрелке на 90◦ , затем перевернем этот лист через
левую сторону, и наконец повернем лист против часовой стрелки на 180◦ . Что мы
увидим?
A
B
C
D
E
К12. Миша из 42 одинаковых кубиков с ребром 1 см собрал прямоугольный параллелепипед. Периметр основания параллелепипеда оказался равным 18 см. Чему ровна
высота построенного параллелепипеда?
A 1 см B 2 см C 3 см D 4 см E 5 см
К13. Женя четырежды бросил по три дротика в мишень. Попадание дротика в определенный круг мишени оценивается соответствующим числом очков. В первой
мишени Женя выбил 29 очков (см. рисунки), во второй –– 43 очка, в третьей –– 47
очков.
Сколько очков выбил Женя в четвертой мишени?
A 31 B 33 C 36 D 38 E 39
К14. Вес грузовика без груза –– 2000 кг. Вес груза первоначально был равен 80% полного
веса грузовика с грузом. На первой остановке грузовик освободился от четверти
груза. Какой процент от полного веса составляет теперь груз?
A 20% B 25% C 55% D 60% E 75%
К15. Два квадрата одного и того же размера покрывают круг радиуса
3 см. Найдите площадь окрашенной части круга (в см2 ).
6π
A 8(π − 1) B 6(2π − 1) C 9π − 25 D 9(π − 2) E
5
К16. Имеется шесть отрезков, длины которых 1 см, 2 см, 3 см, 2001 см, 2002 см и 2003 см.
Сколькими способами можно выбрать три из этих отрезков так, чтобы из них можно
было составить треугольник?
A 1 B 3 C 5 D 6 E Более 10
К17. Сколько натуральных чисел n обладают свойством: среди натуральных делителей
числа n, отличных от 1 и n, наименьший делитель в 15 раз меньше наибольшего?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Бесконечно много
К18. На прямой слева направо отмечены шесть точек K, L, M, N, P , R (в указанном
порядке). Известно, что KN = MR и LN = NR. Тогда
A KL = LM B LM = NP C LN = P R D KL = MN E MN = P R
К19. У Маши есть 6 карточек, на каждой из которых написано одно натуральное число.
Она берет 3 карточки и вычисляет сумму соответствующих чисел. Сделав это всеми
20 возможными способами, она обнаружила, что 10 из полученных сумм равны 16,
а остальные 10 равны 18. Тогда наименьшее число из написанных на карточках
равно
A2 B3 C4 D5 E6
74
Кенгуру 2003
К20. Полина, Галина, Марина, Ирина и Фаина стоят по кругу, причем расстояния между
ними различны. Каждая из них назвала имя той девочки, которая стоит к ней ближе
всех. Имена Полина и Галина прозвучало по 2 раза, а Марина –– 1 раз. Тогда
A Полина и Галина не стоят рядом B Ирина и Фаина не стоят рядом
C Ирина и Фаина стоят рядом D описанная ситуация невозможна
E среди ответов A, B, C и D нет верных
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 ОЧКОВ
К21. Федя сложил прямоугольный параллелепипед из трех фигурок, раскрашенных различным образом, причем каждая фигурка состоит из четырех кубиков. Потом одну
из фигурок он убрал (см. рисунок). Которую?
A
B
C
D
E
К22. В прямоугольнике ABCD точки P , Q, R и S являются
серединами сторон AB, BC, CD и AD соответственно, а
T –– середина отрезка RS. Какую часть от площади прямоугольника ABCD составляет площадь треугольника
P QT ?
5
1
1
1
3
A
B
C
D
E
16
4
5
6
8
D
R
C
T
Q
S
A
B
P
К23. Коля сложил фигуру, изображенную на рисунке, из указанных справа трех- и четырехклеточных фигурок (фигурки можно поворачивать, но переворачивать их нельзя). Какое наименьшее число трехклеточных фигурок
могло при этом ему понадобиться?
A 1 B 2 C 3 D 6 E Сложить фигуру невозможно
К24. На рисунке стороны четырех перекрывающихся квадратов равны 11, 9, 7 и 5. Найдите
разность общей площади серых областей и
общей площади черных областей.
A 25 B 36 C 49 D 64 E 0
7
5
11
9
К25. На книжной полке стоят 50 книг по математике и по физике. Никакие две книги по
физике не стоят рядом, но у каждой книги по математике есть хотя бы одна соседняя
книга по математике. Какое из следующих утверждений не обязательно является
верным?
A Число книг по математике не меньше 32
B Число книг по физике не больше 17
C Имеются 3 книги по математике, стоящих последовательно друг за другом
D Если книг по физике 17, то хотя бы одна из них –– или первая, или последняя
E Среди любых 9 последовательных книг хотя бы 6 –– по математике
Юниор (9 и 10 классы)
75
A
К26. На краях квадратного листа бумаги, разбитого на 25 клеток, отмечены точки A, B, C, D, E, M и N, как показано на
рисунке. Найдите сумму углов MAN, MBN, MCN, MDN и
MEN.
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦ E 90◦
C D
B
E
N
M
B
К27. Дима складывает спираль из одинаковых равнобедренных
треугольников с углом 100◦ при вершине. Он начал с
серого треугольника ABC (под номером 0). Следующие
треугольники (с номерами 1, 2, 3, . . .) прикладываются
боковым ребром к боковому ребру предыдущего треугольника (по кругу против часовой стрелки, как показано на рисунке). Укажите наименьший номер треугольника, который в точности покроет треугольник 0.
A 10 B 12 C 14 D 16 E 18
1
2
0
A
3
C
К28. Сколько существует различных натуральных n таких, что при делении 2003 на n
получается остаток 23?
A 22 B 19 C 13 D 12 E 36
К29. 10 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединены отрезками (каждая точка с каждой). Какое наибольшее число этих отрезков
может пересекать прямая, которая не проходит ни через одну из данных точек?
A 20 B 25 C 30 D 35 E 45
A
К30. В треугольнике ABC (см. рисунок) AB = AC, AE = AD,
∠BAD = 30◦ . Найдите величину угла CDE.
A 10◦ B 15◦ C 20◦ D 25◦ E 30◦
E
B
?
D
C
ЮНИОР (9 и 10 классы)
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 ОЧКА
Ю1. От круглого пирога отрезали 15%, как показано на рисунке. Сколько градусов составляет отмеченный угол?
A 30◦ B 45◦ C 54◦ D 15◦ E 20◦
?
15%
Ю2. Изображенная на рисунке доска составлена из 44 клеток
1 × 1. Сколькими способами можно накрыть все 40 ее белых клеток двадцатью прямоугольными косточками 1 × 2?
(Доску вращать нельзя. Два способа считаются различными, если хотя бы одна косточка положена по-другому.)
A 8 B 16 C 32 D 64 E 100
76
Кенгуру 2003
a
Ю3. Три полоски (1, 2 и 3) на рисунке соединяют две параллельные прямые и имеют равную горизонтальную ширину a. Какая полоска имеет наибольшую
площадь?
A Все три полоски имеют одинаковую площадь
B Полоска 1 C Полоска 2 D Полоска 3
E Невозможно определить, не зная a
1
a
2
a
3
Ю4. Какое из следующих чисел является нечетным при любом целом n?
A 2003n B n2 + 2003 C n3 D n + 2004 E 2n2 + 2003
Ю5. В треугольнике ABC угол C в три раза больше, чем угол A, а угол B в два раза
больше, чем угол A. Тогда треугольник ABC
A равносторонний B равнобедренный C тупоугольный
D прямоугольный E остроугольный
Ю6. Трио певцов исполняет музыкальное произведение. Партия каждого певца состоит
из трех равных частей, разбитых на 4 равных музыкальных фрагмента. Каждый
певец исполняет свою партию без перерывов. Второй певец начинает тогда, когда
первый певец начинает второй фрагмент первой части, а еще через один фрагмент
к ним присоединяется третий певец. Какую часть от времени звучания всего произведения составляет время, в течение которого все три певца поют вместе?
3
4
4
5
7
A
B
C
D
E
5
5
7
7
11
Ю7. Число a = 111 . . . 111 состоит из 2003 цифр 1. Найдите сумму цифр числа, равного
2003 · a.
A 10 000 B 10 015 C 10 020 D 10 030 E 20032
Ю8. Площадь изображенного деревянного круга равна a, площадь деревянного квадрата равна b. Ниткой плотно опоясываем три таких круга, не сдвинув их с места.
?
Чему равна площадь, ограниченная ниткой?
A 3b B 2a + b C a + 2b D 3a E a + b
1
, f (x) = 1, f (x) = x,
2
2
2
2
f (x) = −x удовлетворяют уравнению f (x + y ) = f (x) + f 2 (y)?
A1 B2 C3 D4 E5
Ю9. Сколько функций из пяти данных f (x) = 0, f (x) =
Ю10. В примере на сложение буквы X, Y , Z означают различные цифры, неравные нулю. Какую цифру означает буква X?
A1 B2 C7 D8 E9
XX
+YY
ZZ
ZYX
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 ОЧКА
Ю11. У Ани в коробке 9 карандашей. По крайней мере один из них –– голубой. Среди
любых четырех карандашей не менее двух имеют одинаковый цвет, а среди любых
пяти не более трех имеют одинаковый цвет. Сколько голубых карандашей в коробке?
A 2 B 3 C 4 D 1 E Определить невозможно
Юниор (9 и 10 классы)
77
Ю12. Федя сложил прямоугольный параллелепипед из четырех
фигурок, раскрашенных различным образом, причем каждая фигурка состоит из четырех кубиков. Потом одну
из фигурок он убрал (см. рисунок). Которую?
A
B
C
D
E
Ю13. Когда бочка на 30% пуста, то в ней воды содержится на 30 литров больше, чем когда
она на 30% заполнена. Сколько литров воды вмещает полная бочка?
A 60 B 75 C 90 D 100 E 120
Ю14. Каждый из двоих учеников заменил в числе 888 две цифры и получил новое трехзначное число, по-прежнему делящееся на 8. Какой может быть наибольшая возможная
разность полученных двух чисел?
A 800 B 840 C 856 D 864 E 904
Ю15. На рисунке стороны четырех перекрывающихся квадратов равны
11, 9, 7 и 5. Найдите разность
общей площади серых областей
и общей площади черных областей.
A 25 B 36 C 49 D 64 E 0
7
5
11
9
1 1 1 1 · 1+
· 1+
··· 1 +
?
2
3
4
2003
E 1001
Ю16. Чему равно значение произведения 1 +
A 2004
B 2003
C 2002
D 1002
Ю17. На рисунке показаны четыре полукруга радиуса 1. Их
центры являются серединами сторон квадрата. Найдите
радиус круга, который касается всех четырех полукругов.
√
√
√
√
π
A 2−1 B −1 C 3−1 D 5−2 E 7−2
2
1
Ю18. Рассмотрим все разные четырехзначные числа, которые можно составить, используя цифры числа 2003. Их сумма равна (включая само число 2003)
A 5 005 B 5 555 C 16 665 D 1 110 E 15 555
Ю19. Первые два члена последовательности соответственно равны 1 и 2. Каждый следующий член равен частному от деления предпоследнего члена на последний. Найдите
десятый член последовательности.
A 2−10 B 256 C 2−13 D 1024 E 234
78
Ю20. График функции f (x) состоит из двух лучей и одного отрезка (см. рисунок). Нетрудно убедиться, что −8 является решением уравнения f (f (x)) = 0, ибо f (f (−8)) =
f (−4) = 0. Найдите все решения уравнения
f (f (f (x))) = 0.
A −4; 0 B −8; −4; 0 C −12; −8; −4; 0
D −16; −12; −8; −4; 0 E Решений нет
Кенгуру 2003
y
4
y=
–8
f(
x)
2
4
–4
–4
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 ОЧКОВ
10
B
Ю21. Найдите отношение площади треугольника ADE
(см. рисунок) к площади треугольника ABC.
9
7
4
15
26
A
B
C
D
E
4
3
5
10
9
Ю22. Площадь прямоугольника ABCD на рисунке равна 36 см2 . Окружность с центром O вписана в треугольник ABD. Определите площадь прямоугольника OP CR.
√
A 24 B 6π C 18 D 12 2
E Площадь зависит от отношения AB к AD
x
A
15
26
9
C
D
D
E
R
C
O
P
A
B
Ю23. Малыши K, L, M и N высказали следующие утверждения.
K: L, M и N –– девочки;
L: K, M и N –– мальчики;
M: K и L лгут;
N: K, L и M говорят правду.
Сколько из детей сказали правду?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Определить невозможно
Ю24. Прямоугольный лист бумаги со сторонами 6 и 12, перегнули по диагонали, отрезали части, которые не перекрылись (они на рисунке закрашены), затем развернули
и получили ромб. Определите длину стороны этого ромба. √
7 5
A
B 7,35 C 7,5 D 7,85 E 8,1
2
Ю25. Сколько различных пар чисел (x; y) удовлетворяют уравнению (x + y)2 = xy?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Бесконечно много
Ю26. Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, ни одно из
которых не имеет сумму цифр, кратную 5?
A5 B6 C7 D8 E9
Ю27. На книжной полке стоят 50 книг по математике и по физике. Никакие две книги по
физике не стоят рядом, но у каждой книги по математике есть хотя бы одна соседняя
книга по математике. Какое из следующих утверждений не обязательно является
верным?
A Число книг по математике не меньше 32
B Число книг по физике не больше 17
C Имеются 3 книги по математике, стоящих последовательно друг за другом
D Если книг по физике 17, то хотя бы одна из них –– или первая, или последняя
E Среди любых 9 последовательных книг хотя бы 6 –– по математике
Сеньор (11 и 12 классы)
79
Ю28. Из набора чисел 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 выбираем 3 различных и складываем.
Сколько различных сумм так можем получить?
A 13 B 21 C 22 D 30 E 120
Ю29. Клетчатая доска 2 × 3 окрашена в шахматном порядке, как
на левом рисунке. За один шаг можно перекрасить две
клетки, имеющие общую сторону, причем черную клетку
можно перекрасить только в зеленый цвет, зеленую –– только в белый, а белую –– только в черный цвет. Определите
минимальное число шагов, необходимых для перекраски
ее в доску, как на правом рисунке.
A3 B5 C6 D8 E9
Ю30. Выпишем все натуральные числа до пятизначных включительно, которые записываются лишь цифрами 0 и 1. Сколько раз нам придется написать цифру 1?
A 36 B 48 C 80 D 160 E 320
СЕНЬОР (11 и 12 классы)
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 ОЧКА
С1. У Ани в коробке 9 карандашей. По крайней мере один из них –– голубой. Среди
любых четырех карандашей не менее двух имеют одинаковый цвет, а среди любых
пяти не более трех имеют одинаковый цвет. Сколько голубых карандашей в коробке?
A 2 B 3 C 4 D 1 E Определить невозможно
С2. В прямоугольнике ABCD точки P , Q, R и S являются
серединами сторон AB, BC, CD и AD, соответственно, а
T –– середина отрезка RS. Какую часть от площади прямоугольника ABCD составляет площадь треугольника
P QT ?
5
1
1
1
3
A
B
C
D
E
16
4
5
6
8
D
R
C
T
Q
S
A
P
B
С3. Площадь изображенного деревянного круга равна a, площадь деревянного квадрата равна b. Ниткой плотно опоясываем три таких круга, не сдвинув их с места.
?
Чему равна площадь, ограниченная ниткой?
A 3b B 2a + b C a + 2b D 3a E a + b
С4. Саша вычислил объем шара, но по ошибке вместо радиуса шара взял значение
диаметра. Что он теперь должен сделать с результатом, чтобы получить верный
ответ?
A Разделить на 2 B Разделить на 4 C Умножить на 6 D Разделить на 8
E Умножить на 8
С5. Пусть n –– натуральное число. Чему равно 2n+2003 + 2n+2003 ?
A 2n+2004 B 22n+4006 C 42n+4006 D 42n+2003 E 4n+2003
80
Кенгуру 2003
С6. Для которого набора данных существует треугольник ABC?
A AB = 11 см, BC = 19 см, CA = 7 см
B AB = 11 см, BC = 7 см, ∠BAC = 60◦
C AB = 11 см, CA = 7 см, ∠CBA = 128◦
D AB = 11 см, ∠BAC = 60◦ , ∠CBA = 128◦
E Ни для одного из приведенных
С7. Среднее число принятых в школу учеников за 4 года 1998–2001 было 325. Среднее
число принятых в школу учеников за 5 лет 1998–2002 на 20% больше. Сколько
учеников было принято в школу в 2002 году?
A 650 B 600 C 455 D 390 E 345
С8. Найдите все значения параметра m, при которых кривые x 2 + y 2 = 1 и y = x 2 + m
имеют единственную общую точку.
5
5
5
A − ; −1; 1 B − ; 1 C −1; 1 D −
E1
4
4
4
С9. Изображенная на рисунке доска составлена из 44 клеток
1 × 1. Сколькими способами можно накрыть все 40 ее
белых клеток двадцатью прямоугольными косточками
1 × 2? (Доску вращать нельзя. Два способа считаются
различными, если хотя бы одна косточка положена подругому.)
A 8 B 16 C 32 D 64 E 100
С10. По правилу, схематически записанному ниже слева, заполняем таблицу, в каждую
ее клетку вписывая целое число, большее 1. Которое из приводимых ниже 5 чисел
не может оказаться в закрашенной клетке?
x
y
x´y
A 154 B 100 C 90 D 88 E 60
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 ОЧКА
С11. Площадь треугольника ABC равна 30. Расстояния от внутренней точки D до сторон
треугольника равны e, f и g (см. рисунок). Какое значение принимает выражение 5e + 12f + 13g?
C
5
f
e
g
12
D
13
A
A 120 B 90 C 60 D 30
E Определить невозможно, если не указано точное положение точки D
С12. Федя сложил прямоугольный параллелепипед из четырех
фигурок, раскрашенных по-разному, причем каждая фигурка состоит из четырех кубиков. Потом одну из фигурок он
убрал (см. рисунок). Которую?
A
B
C
D
E
B
Сеньор (11 и 12 классы)
81
С13. Через реку летели 2 белые и 8 серых чаек. Вдруг они в случайном порядке сели
на берег, образуя прямую линию. Какова вероятность, что обе белые чайки сидят
рядом?
1
1
1
1
1
A
B
C
D
E
5
6
7
8
9
С14. Найдите значение выражения
√
1 + 2000 1 + 2001 1 + 2002 1 + 2003 · 2005.
A 2000 B 2001 C 2002 D 2003 E 2004
С15. Длины двух сторон и высоты, опущенной на третью сторону остроугольного треугольника, равны 12, 13, 15 (не обязательно в данном порядке). Определите площадь треугольника.
√
A 168 B 80 C 84 D 6 65 E Определить невозможно
С16. Последовательность образована из седьмых степеней всех натуральных чисел:
17 , 27 , 37 , . . .. Сколько членов этой последовательности заключено между числами 521 и 249 ?
A 13 B 8 C 5 D 3 E 2
С17. Найдите такое наибольшее двузначное число n, чтобы 10n + 1 было кратно числу 101.
A 92 B 94 C 96 D 98 E 99
С18. Сторона большего из изображенных квадратов равна
2, а прилегающего к нему меньшего –– равна 1. Чему
равна площадь√закрашеной области?
A1 B2 C2 2 D4
E Это зависит от положения меньшего квадрата
2
1
С19. Сколько функций из пяти данных f (x) = 0, f (x) = x, f (x) = 1, f (x) = x, f (x) = −x
удовлетворяют уравнению f (x 2 + y 2 ) = f 2 (x) + f 2 (y)?
A1 B2 C3 D4 E5
С20. Дано, что a 4 + x = 4. Найдите a 6 + x.
√
√
√
√
A4 6 B3 6 C6 D5 6 E6 6
ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 ОЧКОВ
С21. Около правильного треугольника описана окружность,
около окружности описан квадрат, около квадрата описана окружность, около окружности описан правильный
пятиугольник (см. рисунок). Продолжим процедуру: около пятиугольника опишем окружность, около окружности опишем правильный шестиугольник и т.д. Остановимся построив правильный 16-угольник. На сколько частей разделена внутренность этого 16-угольника?
A 232 B 240 C 248 D 264 E 272
82
Кенгуру 2003
С22. Точка P (x; y) принадлежит окружности радиуса r с центром в точке M(2; 2). Пусть
x, y и r являются натуральными числами, причем y = r > 2. Каково наименьшее
возможное значение x?
A 2 B 4 C 6 D 8 E 10
С23. Числа A, B, A − B, A + B –– натуральные простые. Тогда их сумма
A четна B делится на 3 C делится на 5 D делится на 7 E простое число
С24. Управляющий магазина получил задание установить цену на кофточки. Отдел изучения рынка предоставляет ему следующую информацию. Если цена кофточки
будет 75 литов, то будет продано 100 кофточек. Эту цену можно повышать или
понижать несколько раз по 5 литов, но при увеличении цены на 5 литов количество
проданных кофточек будет соответственно понижаться на 20 штук, а при снижении
цены на 5 литов количество проданных кофточек будет увеличиваться соответственно по 20 штук. Магазин получает кофточки по 30 литов. Какая продажная
цена кофточки (в литах) принесет наибольшую прибыль?
A 85 B 80 C 75 D 70 E 65
С25. Сколько различных пар (x; y) действительных чисел удовлетворяют уравнению (x + y)2 = (x + 3)(y − 3)?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Бесконечно много
С26. Последовательность a0 , a1 , a2 , . . . определена следующим образом: a0 = 4, a1 = 6,
an
(n 1). Тогда a2003 равно
an+1 =
an−1
3
2
1
1
A
B
C4 D
E
2
3
4
6
С27. В прямоугольнике ABCD (см. рисунок) AB = 16, BC = 12. Пусть E –– такая точка,
что AC⊥CE, CE = 15. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F .
B
C
12
15
16
E
F
A
D
Чему равна площадь треугольника ACF ?
A 75 B 80 C 96 D 72 E 48
С28. Если на конце ребра куба нарисуем стрелку, получим вектор, а если стрелку нарисуем на другом конце –– получим противоположный вектор. Если на каждом ребре
куба нарисуем по стрелке, то получим 12 векторов, а сложив их –– определенную
сумму-вектор. Сколько различных значений суммы можно так получить?
A 25 B 27 C 64 D 100 E 125
С29. Даны 6 точек, являющиеся вершинами правильного шестиугольника, и все отрезки,
соединяющие каждые две из них. Два отрезка назовем дальними, если они не имеют
ни одной общей точки. Сколько имеется пар дальних отрезков?
A 26 B 28 C 30 D 34 E 36
С30. Пусть f –– такой многочлен, что f (x 2 + 1) = x 4 + 4x 2 . Чему равно f (x 2 − 1)?
A x 4 − 4x 2 B x 4 C x 4 + 4x 2 − 4 D x 4 − 4 E Другой ответ