Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó Êðàòíûå èíòåãðàëû è òåîðèÿ ïîëÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, 2-é ìîäóëü, âòîðîé êóðñ, ãðóïïû ÁÏÌ 141, 142, 143; 2015/2016 ó÷åáíûé ãîä Â. Â. Ëåáåäåâ Íà êîëëîêâèóìå ñòóäåíò ïîëó÷àåò äâà âîïðîñà èç ýòîãî âîïðîñíèêà ïî âûáîðó ïðåïîäàâàòåëÿ. Ñòóäåíò äîëæåí çíàòü îïðåäåëåíèÿ è ôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèÿ. Âîñïðîèçâîäèòü äîêàçàòåëüñòâà íå òðåáóåòñÿ. 1. Äàéòå îïðåäåëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ZZ f (x, y)dxdy D îò ôóíêöèè ïî îãðàíè÷åííîé RR ïëîñêîé îáëàñòè. Ïîÿñíèòå åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. ×åìó ðàâåí D 1dxdy ? 2. Çàïèøèòå ôîðìóëó ñâîäÿùóþ âû÷èñëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó. 3. Îïðåäåëèòå ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ϕ : D → R2 ïëîñêîé îáëàñòè D è ïîÿñíèòå åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Çàïèøèòå ôîðìóëó çàìåíû ïåðåìåííîé â äâîéíîì èíòåãðàëå. 4. Âû÷èñëèòå ÿêîáèàí ïåðåõîäà ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì è âû÷èñëèòå ZZ x2 y 2 dxdy. x2 +y 2 ≤1 5. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàññû è êîîðäèíàò öåíòðà òÿæåñòè ïëîñêîé ïëàñòèíû ñ çàäàííûì çàêîíîì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè. 6. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ïî ïëîñêîé êðèâîé l, Z f dl. l Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ìàññà êðèâîé). ×åìó ðàâåí 1 R l 1 dl? 7. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ F ïî ïëîñêîé êðèâîé l, Z (F , dl). l Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ðàáîòà ïîëÿ âäîëü êðèâîé). 8. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî äèôôåðåíöèàëîâ äëèíû dl è dl = |dl| â ñëó÷àå, êîãäà l ãëàäêàÿ êðèâàÿ â R2 , çàäàííàÿ è çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ R ïàðàìåòðè÷åñêè, R èíòåãðàëîâ l f dl è l (F , dl). 9. Çàïèøèòå ôîðìóëó Ãðèíà. 10. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïëîñêîãî ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ è åãî ïîòåíöèàëà. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèå ÷åòûðå óñëîâèÿ (â ñëó÷àå îäíîñâÿçíîé îáëàñòè): à) ïîëå F = (P, Q)ïîòåíöèàëüíî; á) Py0 = Q0x , â) ðàáîòà ïîëÿ F ïî ëþáîìó (ïëîñêîìó) çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ; ã) ðàáîòà ïîëÿ F çàâèñèò ëèøü îò íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êè ïóòè. 11. Ðàññêàæèòå î ìåòîäå âîññòàíîâëåíèÿ ïîòåíöèàëà. 12. Äàéòå îïðåäåëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà ZZZ f (x, y, z)dxdydz D RRR îò ôóíêöèè f ïî (îãðàíè÷åííîé) îáëàñòè D ⊂ R3 . ×åìó ðàâåí 1dxdydz ? D 13. Èçëîæèòå ìåòîä âû÷èñëåíèÿ òðîéíûõ èíòåãðàëîâ ïóòåì ñâåäåíèÿ ê ïîâòîðíîìó. Âû÷èñëèòå ZZZ z dxdydz, D ãäå Dîáëàñòü îãðàíè÷åííàÿ ïîâåðõíîñòüþ x2 + y 2 = z è ïëîñêîñòüþ z = 1. 14. Îïðåäåëèòå ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ϕ : D → R3 îáëàñòè D ⊆ R3 . Êàêîâ åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë? Çàïèøèòå ôîðìóëó çàìåíû ïåðåìåííîé â òðîéíîì èíòåãðàëå. 15. Âû÷èñëèòå ÿêîáèàí ïåðåõîäà ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì è íàéäèòå ZZZ z 2 dxdydz. x2 +y 2 +z 2 ≤1 2 16. Âû÷èñëèòå ÿêîáèàí ïåðåõîäà ê öèëëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì è íàéäèòå ZZZ z 2 dxdydz. x2 +y 2 ≤1; 0≤z≤1 17. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàññû è êîîðäèíàò öåíòðà òÿæåñòè òåëà â R3 ñ çàäàííûì çàêîíîì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè. 18. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ïî êðèâîé l â R3 . R Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë. ×åìó ðàâåí l 1 dl? 19. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà âåêòîðíîãî ïîëÿ F â R3 ïî êðèâîé l ⊂ R3 . Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë. 20. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî äèôôåðåíöèàëîâ äëèíû dl è dl = |dl| â ñëó÷àå, êîãäà l ãëàäêàÿ êðèâàÿ â R3 , çàäàííàÿ è çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ R ïàðàìåòðè÷åñêè, R èíòåãðàëîâ l f dl è l (F , dl). 21. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ïî ïîâåðõíîñòè S â R3 : ZZ f dS S RR Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ìàññà ïîâåðõíîñòè). ×åìó ðàâåí S 1 dS ? 22. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ F ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S ⊂ R3 : ZZ (F , dS). S Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (íà ïðèìåðå ïîëÿ ñêîðîñòè òå÷åíèÿ æèäêîñòè). 23. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî äèôôåðåíöèàëîâ ïëîùàäè dS è dS = |dS| â ñëó÷àå êîãäà S ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü â R3 , çàäàííàÿ è çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ RR ïàðàìåòðè÷åñêè, RR âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ S f dS è S (F , dS). 3