1 С. А. Лавренченко www.lawrencenko.ru Лекция 4 Потенциальные векторные поля 1. Понятие потенциальности Пусть f — скалярная функция двух переменных. Вспомним с лекции 5 (модуль «Функции нескольких переменных»), что ее градиент f определяется как f ( x, y ) f x( x, y ) i f y ( x, y ) j . Таким образом, f есть, в действительности, векторное поле в R 2 и называется векторным полем градиентов. Аналогично, если f — скалярная функция трех переменных, ее градиенты образуют векторное поле в R 3 , определяемое как f ( x, y , z ) f x( x, y , z ) i f y ( x, y , z ) j f z( x, y , z ) k . Определение 1.1 (потенциального векторного поля). Векторное поле F называется потенциальным (или консервативным), если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции, т. е. существует скалярная функция f такая, что F f . Тогда функцию f называют потенциалом векторного поля F . Не все векторные поля потенциальны, но такие поля часто возникают в физике. Например, гравитационные и электростатические поля потенциальны. 2. Формула Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов Вспомним формулу Ньютона-Лейбница из модуля «Интегральное исчисление»: b (1) F ( x) dx F (b) F (a) , a 2 где F предполагается непрерывной на [a, b] . Если вектор градиента f функции f (двух или трех переменных) рассматривать как своего рода производную от f , то следующую теорему можно рассматривать как аналог формулы Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов 2-го рода. Теорема 2.1 (формула Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов). Пусть C — гладкий контур, заданный вектор-функцией r(t ) , a t b . Пусть, далее, f — дифференцируемая функция двух или трех переменных, вектор градиента которой непрерывен на C . Тогда f d r f (r (b)) f (r ( a )) . C Мы ниже докажем эту теорему, но прежде обратим внимание на то, что она позволяет вычислить интеграл от потенциального векторного поля, зная значения у потенциала f лишь в начальной и конечной точках контура C . (В терминах физики, работа потенциального силового поля при перемещении объекта по контуру равна разности значений потенциала в конечной и начальной точках контура.) Более конкретно, если f — функция двух переменных и C — плоский контур с начальной точкой A ( x1 , y1 ) и конечной точкой B ( x2 , y 2 ) , то теорема 1.1 принимает вид: f d r f ( x 2 , y 2 ) f ( x1 , y1 ) . C Если же f — функция трех переменных и C — пространственный контур из A ( x1 , y1 , z1 ) в B ( x2 , y 2 , z2 ) , то f d r f ( x 2 , y 2 , z 2 ) f ( x1 , y1 , z1 ) . C Докажем теорему 2.1 для этого трехмерного случая. Доказательство теоремы 2.1: По формуле для вычисления криволинейного интеграла 2го рода с прошлой лекции получаем: b f d r f (r(t )) r(t ) dt C [расписывая скалярное произведение векторов f и r ] a f dx f dy f dz dt = x dt y dt z dt a b [по правилу дифференцирования сложной функции] b a d f (r(t )) dt dt [по обычной формуле Ньютона-Лейбница (1)] f (r(b)) f (r(a)) . ■ 3 Хотя мы доказали теорему 2.1 для гладкого контура, она также справедлива для кусочно-гладких контуров. В самом деле, достаточно разбить C на конечное число гладких контуров и сложить получающиеся интегралы. 3. Независимость интеграла от формы контура Предположим, что C1 и C 2 — два кусочно-гладких контура, имеющие общую начальную точку A и общую конечную точку B . Хотя в общем случае F dr F dr , C1 C2 в частном же случае, когда поле F потенциально, по теореме 2.1 имеем f d r f d r C1 C2 при условии, что f — непрерывная вектор-функция. В общем случае, если F — непрерывное векторное поле в некоторой области D , будем говорить, что интеграл поля F не зависит от формы контура в D , если F dr F dr C1 C2 для любых двух контуров C1 и C 2 в D , имеющих общие начальную и конечную точки. Теорема 3.1 (критерий независимости интеграла от формы контура). Интеграл поля F не зависит от формы контура в D тогда и только тогда, когда F dr 0 , т. е. C равна нулю циркуляция по любому замкнутому контуру C в D . Доказательство: Часть «только тогда». Предположим, что интеграл поля F не зависит от формы контура в D , и пусть C — любой замкнутый контур в D . Выберем на C любые две точки и обозначим их через A и B . Будем рассматривать C как контур, состоящий из объединения двух контуров: C1 из A в B , и C 2 из B в A . См. рис. 1. Рис. 1. 4 Тогда имеем F dr F dr F dr F dr F dr 0 , C C1 C2 C2 C1 поскольку C1 и C2 имеют общую начальную и конечную точки. Часть «тогда». Предположим, что C F dr 0 для любого замкнутого контура C в D . Мы покажем независимость интеграла поля F от формы контура следующим образом. Возьмем какие-нибудь два контура C1 и C 2 в области D , оба ведущие из A в B . Определим C как контур, состоящий из объединения C1 и C2 . Тогда имеем 0 F dr F dr C и поэтому C1 C1 F dr F dr F dr , C2 C1 C2 F dr F dr . ■ C2 По теореме 2.1 интеграл любого потенциального векторного поля не зависит от формы контура. Следовательно, по теореме 3.1, F dr 0 для любого замкнутого контура C . C Физическая интерпретация этого факта состоит в том, что равно нулю работа, совершаемая потенциальным силовым полем при перемещении объекта по любому замкнутому контуру. 4. Условия потенциальности Следующая теорема утверждает, что независимость интеграла поля F от формы контура достаточна для потенциальности F . Область D в R 2 или R 3 называется открытой, если для каждой ее точки M найдется круг (или шар, если в R 3 ) с центром в M , целиком принадлежащий D . Область D называется замкнутой, если она включает все ее граничные точки (когда таковые существуют). Область D называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в D . Теорема 4.1 (общее достаточное условие потенциальности). Пусть векторное поле F непрерывно в некоторой замкнутой связной области D . Если интеграл поля F не зависит от формы контура в D , то F — потенциальное векторное поле в D , т. е. существует функция f такая, что в f F . Идея доказательства: Пусть A (a, b) — фиксированная точка в D . Для каждой точки ( x, y ) D требуемая функция f определяется как ( x, y ) f ( x, y ) ( a,b) F dr . 5 Поскольку интеграл поля F не зависит от формы контура, то не имеет значения, какой конкретный контур С из (a, b) в ( x, y ) берется для вычисления f ( x, y ) . Для нахождения f требуется «частное интегрирование». Этот метод будет показан на практическом занятии. ■ Остается вопрос: как на практике определить, является ли данное векторное поле F потенциальным? На этой лекции мы рассмотрим случай плоского векторного поля. Предположим, что известно, что поле F P i Q j потенциально, причем функции P и Q имеют непрерывные первые частные производные. Тогда существует функция f такая, что F f , т. е. P f x и Q f . y Значит, по теореме Клеро, Q 2 f 2 f P . x x y y x y Теорема 4.2 (необходимое условие потенциальности плоского поля). Если F ( x, y) P ( x, y) i Q ( x, y) j — потенциальное плоское векторное поле, где P и Q имеют непрерывные первые частные производные в некоторой области D R 2 , то в D справедливо тождество: Q P . ■ x y Обратная теорема верна только при дополнительных ограничениях на (плоскую) область D , а именно, будем предполагать, что D — открытая область и что ограничивающий ее контур является замкнутым и простым (как в формулировке формулы Грина с прошлой лекции). Наконец, будем предполагать, что область D односвязная, т. е. она, во-первых, связная и, во-вторых, удовлетворяет дополнительному условию, что любая простая замкнутая кривая в D ограничивает только точки, принадлежащие D . Последнее условие равносильно тому, что область не имеет «дыр», как, например, кольцо. Теорема 4.3 (достаточное условие потенциальности плоского поля). Пусть F P i Q j — векторное поле в открытой односвязной области D , причем P и Q имеют непрерывные первые частные производные в D , и пусть в D справедливо тождество: Q P . x y Тогда F потенциально в D . Доказательство: Для доказательства потенциальности F достаточно доказать независимость интеграла поля F от формы контура (по теореме 4.1), которая, в свою очередь, последует из равенства нулю циркуляции поля F по любому замкнутому контуру (по теореме 3.1). Для доказательства последнего возьмем сначала любой простой 6 замкнутый контур C в D и обозначим через R область, им ограниченную. Тогда R D . По формуле Грина имеем (2) Q P F d r Pdx Qdy x y dS 0 dS 0 . C C R R Если же замкнутый контур C не является простым, т. е. пересекает сам себя в одной или нескольких точках, его надо разбить на некоторое число простых замкнутых контуров (упражнение 1 для самопроверки). Условие односвязности D гарантирует, что каждый из этих контуров ограничивает область, состоящую только из точек, принадлежащих D , а поэтому для каждого из этих контуров справедливо равенство (2). Складывая эти равенства, получаем, что циркуляция по всему контуру тоже равна нулю. ■ Упражнения для самопроверки 1. Докажите, что если плоский замкнутый контур C не является простым, т. е. пересекает сам себя в одной или нескольких точках, то его можно разбить на некоторое число простых замкнутых контуров. Рис. 2. Замкнутый контур. 2. Замкнутый контур на рис. 2 ограничивает некоторую область. Односвязна ли эта область или нет? Положительна или отрицательна заданная ориентация контура? В основе этого контура лежит спираль Ферма. См.: http://www.oak-soft.com/curves