Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по атомной физике
для студентов физического факультета
Ростов-на-Дону
2006
Методические указания разработаны кандидатом физико-математических
наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.
Ответственный редактор
канд. физ.-мат. наук И.Н. Леонтьев
Компьютерный набор и верстка
инженер Г.А. Колесников
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического
факультета РГУ, протокол № 21 от 25 апреля 2006 г.
2
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
 Формула де Бройля, выражающая связь длины волны  с импульсом p движущейся частицы:
а) в классическом приближении ( v  c , p  m0 v )

2
;
p
б) в релятивистском случае (скорость v частицы сравнима со скоростью света с
в вакууме p  mv  m0 v / 1  v 2 / c 2 )

2
1  v2 / c2 .
m0 v
 Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией К частицы:
а) в классическом приближении  
б) в релятивистском случае  
2
;
2m0 K
2
, где Е0 – энергия покоя частицы
K ( K  2 E0 )
( E0  m0 c ).
 Соотношение неопределенностей Гейзенберга:
а) для координаты и импульса частицы p x x   , где px – неопределенность
проекции импульса частицы на ось х, х – неопределенность ее координаты;
б) для энергии и времени Et   , где Е – неопределенность энергии данного квантового состояния, t – время пребывания системы в этом состоянии.
 В одномерном случае временное и стационарное уравнение Шредингера будут
иметь вид
 2 2m

( E  U )  0 ,
 x2 2

 2  2
i

 U ,
t
2m  x 2
3
i
где i – мнимая единица, m – масса частицы; ( x, t )  A exp ( px  Et) – волно
вая
функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,
А – амплитуда волны де Бройля, p – импульс частицы, Е – полная энергия частицы, U(x) – потенциальная энергия, ψ(х) – координатная часть волновой
функции.
 Для случая трех измерений временное и стационарное уравнение Шредингера
записывается в виде
i

2 2

   U  0 ,
t
2m
2 
2m
( E  U )  0 ,
2
2
2
2


где  
– оператор Лапласа.
 x2  y 2  z 2
2
При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем
пространстве), однозначность, непрерывность самой Ψ – функции и ее производной.
 Вероятность P обнаружить частицу (в одномерном случае) в интервале от х1
до х2
x2
P    ( x) 2 dx .
x1
 Коэффициент прозрачности D потенциального барьера U(x):
 2 x2


D  exp   2m(U ( x)  E )dx  ,
 x



1
где х1 и х2 – координаты точек, между которыми U > E.
4
Задача №1
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел
ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля 
для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 1) U2 = 510 кВ.
Длина
волны де Бройля частицы зависит от ее импульса и определяется
формулой

2
.
p
(1)
Связь импульса p с кинетической энергией К частицы для нерелятивистского (когда К<<mc2) и для релятивистского (когда К~mc2)случаев, выражается формулами:
p  2m0 K ,
(2)
K ( K  2m0 c 2 )
.
p
c
(3)
Тогда (1) с учетом (2) и (3) в нерелятивистском и релятивистском случае примет
вид


2
,
2m0 K
(4)
2с
K ( K  2m0 c )
2
.
(5)
Чтобы решить какую из формул (4) или (5), следует применить для вычисления
дебройлевской длины волны, сравним кинетическую энергию электрона, прошедшего заданные в условии разности потенциалов, с энергией покоя электрона.
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется выражением
5
К  eU .
В первом случае К1 = eU1 =51 эВ, что много меньше энергии покоя электрона mec2 = 0,51 МэВ. Следовательно применяем формулу (4). Подставляя численные значения, получим 1 = 172 пм.
Во втором случае К2 = eU2 = 510 кэВ, т.е. равна энергии покоя электрона.
Следовательно, необходимо применить формулу (5). Произведя вычисления, получим 2 = 1,4 пм.
Задача №2
Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b =2,0мкм. Найти скорость электронов, если
на экране, отстоящем от щели на l = 50 см, ширина дифракционного
максимума x = 0,36 мм.
При дифракции на одной щели условие первого дифракционного максимума имеет вид
b sin    ,
(6)
где b – ширина щели. Поскольку угол дифракции  достаточно мал, то
sin  
x
.
2l
(7)
Подставляя (7) в (6), получаем
bx
.
2l
(8)
Дебройлевская длина волны электронов , падающих на щель, равна

Подставляя (9) в (8), получим
6
2 2
.

p
me v
(9)
bx 2
.

2l
me v
Отсюда
v
4l
= 0,96·106 м/c.
me bx
Задача №3
Найти кинетическую энергию, при которой дебройлевская длина волны
электрона равна его комптоновской длине волны.
Исходя из равенства D  C ,
где D 
C 
2
– дебройлевская длина волны электрона,
p
2
– комптоновская длина волны электрона;
mc
получаем
2 2
.

p
mc
(10)
Из релятивистской механики известно, что
рс  K ( K  2mc 2 ) ,
где К – кинетическая энергия частицы. Подставляя (11) в (10) получим
mc 2  K ( K  2mc 2 ) ,
K 2  2mc2 K  m 2 c 4  0 .
Решая это квадратное уравнение, получим
7
(11)
 2mc 2  8m 2 c 4
К
.
2
Поскольку кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной, то
К  ( 2  1)mc 2 .
Задача №4
Пучок электронов с кинетической энергией К=10 кэВ проходит через
тонкую поликристаллическую фольгу и образует систему дифракционных колец на экране, отстоящем от фольги на l= 10,0 см. Найти межплоскостное расстояние, для которого максимум отражения третьего
порядка соответствует кольцу с радиусом r=1,6 см.
Для решения данной задачи воспользуемся законом Вульфа-Брэгга
2d sin   n ,
где d – межплоскостное расстояние,  – угол дифракции, n – порядок дифракционного максимума,  
2
– дебройлевская длина волны электронов, имею2mK
щих кинетическую энергию К. Тогда
2d sin  
2n
.
2mK
Отсюда
d
n
2mK sin 
.
Поскольку
l2  r2
l
sin  
   1.
r
r
2
8
То
d
n
  l 2 
2mK     1
 r 



= 0,23 нм.
Задача №5
Показать, что измерение координаты x частиц с помощью узкой щели
шириной b вносит неопределенность в их импульсы p x такую, что
xp x  
В момент прохождения частицами
щели у них появляется неопределенность
координаты
x  b ,
вследствие этого появляется неопределенность в значении импульса частиц Δpх. После прохождения щели, вследствие дифракции,
частица будет находиться в пределах
Рис.1
угла 2φ (φ – угол соответствующий
первому дифракционному максимуму), тогда
p x  psin  .
Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму) получающемуся от щели шириной b, соответствует угол φ, для которого
sinφ =

,
b
9
следовательно, p x = p


откуда xp x  bp = pλ .
b
b
Так как дебройлевская длина волны определяется выражением  
xp x 
2
, то
p
2
 2 ,
p
что соответствует принципу неопределенности Гейзенберга
xp x   .
Задача №6
Убедиться, что измерения координаты с помощью микроскопа вносит
неопределенность в её импульс Δpx такую, что px x   . Иметь в виду,
что разрешение микроскопа d   / sin  , где λ-длина волны использованного света.
У фотона, рассеянного на микрочастице, проекция
импульса px будет равна
p x  p sin 
или с учетом того, что p  2 /  получим
px 
2
sin  .

Эта величина будет характеризовать и неопределенность импульса фотона Δpx. Поскольку при рассеивании фотона на микрочастице ей также передается
Рис. 2
импульс px то
и неопределенность её импульса бу-
дет Δpx. Т.к. неопределенность координаты частицы x  d ,то
xpx 
 2
sin   2 ,
sin  
в чем и следовало убедиться.
10
Задача №7
Электрон движется в атоме по первой боровской орбите. Принимая,
что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее
числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае понятие траектории?
Согласно правилу квантования бора
mevr  n .
Т.к. электрон по условию задачи движется по первой (n = 1) боровской орбите, то
v

.
me r
Т.к. v  0,1v ,то
v  0.1

.
me r
Воспользовавшись принципом неопределенностей Гейзенберга xpx  
учетом того, что px  me vx , получим
xpx  xme vx  0,1me x

 .
me r
Отсюда
x  10r ,
т.е. в данном случае понятием траектории пользоваться недопустимо.
11
и с
Задача №8
Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину  спектральной линии излучения атома
при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время  жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а
длину волны  излучения – равной 600 нм.
При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с
тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а
имеет конечную ширину Е. Согласно соотношению неопределенностей, ширина
энергетического уровня Е связана со средним временем  жизни атомов в этом
состоянии соотношением
Е   .
(12)
Поскольку энергия фотона Е связана с длиной волны  соотношением
E   
2c
,

то разбросу энергии Е, при Е<<Е, будет соответствовать разброс длин волн 
( <<)
E 
2c

2
(13)
(знак минус опущен). Выражая теперь из (13)  и подставляя в него Е из (12)
получим
2
= 2·10-14 м
 
2c
это и есть естественная ширина спектральной линии.
12
Задача №9
Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом p в положительном направлении оси x.
Поскольку в данном случае потенциальная энергия частицы равна нулю U(x) = 0,
то уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:
i

 2  2
.

t
2m x 2
(14)
Решение данного уравнения будем искать методом разделения переменных, т.е.
представим  в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты x, а другая – только от времени t.
( x, t )  ( x) f (t ) .
(15)
Подставляя (15) в (14) получим
i( x)
f (t )
2
 2( x)

f (t )
t
2m
x 2
или

f (t )
 2 ( x)
i

,
f (t )
2m  ( x )
(16)
где

f (t ) 
f (t )
,
t
( x) 
 2( x)
.
x 2
Т.к. обе части уравнения (16) являются функциями независимых переменных, то
равенство правой и левой его частей возможно лишь тогда, когда они равны одной и той же константе. Из сравнения уравнения (16) со стационарным уравнением Шредингера можно видеть, что этой константой является E. Тогда
13
( x) 

2mE
( x)  0
2
f (t )  i
E
f (t )  0

Общие решения данных дифференциальных уравнений должны иметь следующий вид (в этом нетрудно убедиться их непосредственной подстановкой):
 ( x)  С1eikx  С2eikx , где k 
f (t )  Сe it ,
где

2mE p
 ;


E
.

Тогда для частицы, движущейся в положительном направлении вдоль оси х, искомое решение уравнения (1) будет иметь вид
( x, t )  Aei (kxt ) .
(17)
Данное решение будет конечным при Е > 0, причем Е в этом случае может быть
любым. Волна, описываемая уравнением (17), имеет вид дебройлевской.
Плотность вероятности местоположения частицы P( x)  *  AA*  const .
Это означает равновероятность нахождения частицы в любой точке пространства
(оси х). Данный вывод хорошо согласуется с соотношением неопределенностей:
при px = 0 x  , т.е. частица «размазана» по всему пространству.
Задача №10
Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные
функции (0 < х < l) имеют вид
En  (22 / 2ml 2 )n
2
 n ( x) 
14
2
nx
sin
,
l
l
n  1,2,3...
Рис.3
Рис.4
Стационарное уравнение Шредингера в одномерном случае имеет вид:
 2  2m

( E  U )  0 .
x 2  2
(18)
В области 0 < х < l потенциальная энергия равна нулю U = 0 (рис. 3), тогда
 2  2m

E  0.
x 2  2
Введя следующее обозначения
2m
E  k 2 , получим
2

 2
 k 2  0 .
2
x
(19)
Полученное дифференциальное уравнение хорошо известно из теории колебаний.
Решение такого уравнения имеет вид:
( x)  Asin( kx  ) .
(20)
За пределами ямы (x) = 0. Поскольку функция (x) должна быть непрерывна, то
она должна обращаться в ноль на границах ямы (0)= (l)=0. Следовательно,
(0)  Asin   0    0
(l )  Asin kl  0  kl  n , где (n = 1, 2, 3…).
(21)
(Случай n = 0 отпадает, потому что тогда   0, т.е. частица нигде не находится).
Учитывая введенное нами обозначение:
2  2 2
En 
n
2ml 2
2m
n 2 2
E  2 , откуда
2
l
(n = 1, 2, 3…)
15
т.е. спектр энергии дискретный. Подставив (21) в (20), получим
 n ( x)  A sin
nx
l
Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки
x1

 n2 ( x)dx 
x2
l
l
nx
2
2 nx
2
dx  A  sin 2
dx  1 .
 A sin
l
l
0
0
На концах интервала ( 0, l ) подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата
синуса на ширину ямы.
1
A2 l  1 ,
2
откуда
A  2/ l.
Т.е. собственные функции в данном случае имеют вид
 n ( x) 
2
nx
sin
l
l
n = 1, 2, 3…
Задача №11
Частица находиться в одномерной прямоугольной потенциальной яме
шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти вероятность пребывания частицы в области l/3<x<2l/3 а) если частица находиться в основном состоянии; б) если частица находиться в возбужденном состоянии (n = 3). Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения частицы в данном состоянии.
16
а)  - функция в основном состоянии (n = 1) имеет вид:
 ( x) 
2
x
sin .
l
l
Тогда искомая вероятность
2l
x2
p    ( x)dx 
2
x1
2l
1

l
3

l
3
3

l
2 2 x
2
sin
dx 
l
l
l
2l
3
2l
1 3
2x
1
dx   cos
dx  x
ll
l
l
2l
l
3
3
3

l
1
2x
(1  cos
)dx 
2
l
3
1 l
2x

sin
l 2
l
3
2l
l
3

3
1 2l l
1
4
2
 (  )  (sin
 sin )  0.61 .
l 3 3 2
3
3
Графически плотность вероятности обнаружения частицы в данном состоянии
изображена на рис. 5
б) в данном случае  -функция будет иметь следующий вид
3 (3) 
2l
x2
p    2 ( x)dx 
x1
3

l
2
3x
sin
l
l
2 2 3x 1
sin

l
l
l
3
2l
3

l
3
2l
1 3
6x
dx   cos
dx 
ll
l
3
1 2l l
1
1
 (  )  (sin 4  sin 2) 
l 3 3 6
3
Графически плотность вероятности обнаружения частицы в данном состоянии
изображена на рис. 6
Рис.5
Рис.6
17
Задача №12
Пси-функция некоторой частицы имеет вид  
A r / a
, где r – расстояe
r
ние от силового центра, а – константа. Найти: а) значение константы А, б) среднее расстояние <r> частицы от центра.
Значение константы А найдем из условия нормировки пси-функции

  (r )
2
dV  1 ,
V
где dV =4r2dr– объем тонкого сферического слоя толщиной dr, находящегося на
расстоянии r от центра. Тогда условие нормировки принимает вид



e2 r / a 2
 a
2
4A  2 r dr  4A  e2 r / a dr 4A2   e2 r / a  2A2a  1 .
0
r
 2
0
0
2
Отсюда
A
1
.
2a
Как известно, среднее значение величины q, зависящей от координат
 2
q   q (r ) dV .
V
Тогда


4r 3 2 r / a
2  2 r / a
2a a
 2
 2
3
r   r (r ) dV   4r (r ) dr  
e
dr   re
dr     .
2
a0
a2 2
V
0
0 2ar
2
18
Задача №13
Частица массы m с энергией равной Е движется в положительном
направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий потенциальный барьер высотой U., причем Е > U (рис.7) Для областей I и
II: а) запишите уравнение Шредингера б) представьте графически качественный вид ψ – функций. Найти коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности этого барьера.
Для данного барьера
0 при
U ( x)  
U при
x0
.
x0
На барьер падает частица массы m энергия которой Е, исходя из волновых представлений на
барьер падает дебройлевская волна
( x, t )  ei(kxt ) .
Рис. 7
Поскольку у всех трех волн (падающей, отраженной и прошедшей) частота одинакова, т.к.   E /  , то ограничимся рассмотрением только координатной части, а
именно (x).
Запишем уравнения Шредингера для областей I и II
x0
x0
 2
 k12  0
2
x
где k1 
2mE
;

2m( E  U )
 2
.
 k22  0 где k2 
2

x
(22)
(23)
Решением этих уравнений будут следующие функции:
1 ( x  0)  a1eik1 x  b1e ik1 x ;
(24)
 2 ( x  0)  a2eik 2 x  b2e ik 2 x ;
(25)
19
Падающая волна характеризуется амплитудой a1, отраженная – b1 , прошедшая – а2. Поскольку в области x > 0 имеется только прошедшая волна, то b2 = 0.
Из условия непрерывности для  и  / в точке x = 0 следует
1 (0)   2 (0)
а1  b1  а2 ,
 /1 (0)   /2 (0)
а1k1  b1k1  а2 k 2 .
Решая совместно эти уравнения, получим
b1 k1  k2
,

a1 k1  k2
a2
2k1
.

a1 k1  k2
(26)
Обычно  - функция нормируется таким образом что а1 = 1, тогда
b1 
k1  k2
k1  k2
a2 
2k1
.
k1  k2
Качественный вид  - функций в областях I
и II показан на рис. 8
Рис. 8
Для определения интересующих нас коэффициентов отражения R и прозрачности
D введем понятие потока плотности вероятности . Скорость распространения
вероятности такого потока совпадает со скоростью частицы
v
p k

.
m m
Таким образом v  k и плотность потока вероятности пропорциональна величине
kψψ*. В соответствии с видом ψ – функции для падающей, отраженной и прошедшей волн имеем
  k1a12
 /  k1b12
 //  k2 а12 .
Учитывая (26) получим следующие выражения для коэффициентов R и D:
2
2
  b   k  k 
R    1    1 2  ,
  a1   k1  k2 
2
  k2  a2 
4k1k2
.
D
   
 k1  a1  (k1  k2 ) 2
20
Отсюда следует, что R + D = 1, что и должно быть по определению. Анализ выражений, полученных для R и D, показывает, что значения R и D не зависят от
направления движения частицы. Заметим, что в классическом случае при Е>U R =
0.
Задача №14
Частица массы m падает слева на потенциальный барьер высотой U.
(рис. 7). Энергия частицы равна Е, причем Е > U. Найти эффективную
глубину хэф проникновения частицы под барьер, т.е. расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности P нахождения частицы уменьшается в е раз. Вычислить хэф для электрона, если
U - E = 1,0 эВ.
В данном случае вид уравнений Шредингера и ψ – функций будет совпадать со
случаем, когда Е > U (см. задача №13 формулы (22) – (25)), однако k2, будет чисто мнимым
k 2  ik ,
где i – мнимая единица, k 
2m(U  E )
,

тогда плотность вероятности P(x) местоположения частицы в области II будет
равна
P( x)   2 ( x) 
2
2k1 2 kx
e .
k1  ik
Плотность вероятности нахождения частицы в точке х = 0
21
P(0)   2 (0) 
2
2k1
.
k1  ik
Отсюда
P( x)  P(0)e 2 kx .
Качественный вид  - функций в областях I
и II показан на рис. 8.
Т.к. эффективная глубина проникновения
частицы определяется как расстояние, на котором плотность вероятности местонахожРис. 8
дения частицы уменьшается в е раз то
2kx эф  1 .
Отсюда
x эф 
1


.
2k 2 2m(U  E )
Подставив численные значения, получим xэф  0,1 нм .
Задача №15
Частица с энергией Е = 50 эВ падает слева на прямоугольный барьер,
бесконечной ширины высотой U = 20 эВ (рис 7). Определите вероятность отражения частицы от этого барьера.
Как было показано в предыдущей задаче, коэффициент отражения R равен
2
k k
R 1 2 ,
k1  k2
где k1 и k2 – волновые числа волн де Бройля в областях I и II.
22
Поскольку
k1 
2mE

k2 
2m( E  U )
.

Отсюда
2
R
 E  E U
2mE   2m( E  U ) 
 
2mE   2m( E  U ) 
 E  E U
2

  0,016 .

Задача №16
Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном направлении
оси х. Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине
барьера d вероятность P прохождения электрона через него будет равна 0,2?
Вероятность P прохождения частицы через
потенциальный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом
прозрачности D. Тогда
 2 x2

P  exp   2m(U ( x)  E )dx  .
 

x1


Рис. 9
Так как для данного барьера (Рис. 9)
U(x) = U, х1 = 0, х2 = d, то (27) примет вид
d
 2

 2d

P  exp 
2m(U  E )  dx   exp 
2m(U  E )  .
 

0
 

Потенцируя это выражение, получим
23
(27)
ln P  
2d
2m(U  E ) .

Отсюда
d 
 ln(1 / P)
.
2 2m(U  E )
Произведя вычисления, получим d = 0.495 нм.
Задача №16
Найти вероятность прохождения частицы массой m с энергией Е сквозь
потенциальный барьер, показанный на рис. 10.
По аналогии с предыдущей задачей
 2 x2

P  exp   2m(U ( x)  E )dx  . (28)
 

x1


В данном случае (рис.10)
E
x
U ( x)  U 0 , , x1 
l х2 = l,
l
U0
Рис.10
тогда (28) примет вид




 2 l

 2 2m l

x
x
P  exp   2m( U 0  E )dx   exp 
( U 0  E )dx  
l
 E
l
  El



l
U0
U0






3 l
 2 2m 2l x

 exp 
( U0  E) 2  
 3U 0 l
E

l
U

0 
24
3
3 


2
3
 4 2 l m   El U 0
4 2 l m
 l
2 
2 .





 exp 

E

U

E
)

exp
U

E


0
U l

 l 0
 3 U

3

U


0 
0
0







ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Постоянная Планка
34

1,0546  10 Дж  с

15

0,6582  10 эВ  с
Скорость света в вакууме
с = 2,998108 м/c
Масса электрона
0,911  10 30 Кг

m e  5,486  10  4 а.е. м.
0,511МэВ

Заряд электрона
19

1,602  10 Кл
e
10

4,807  10 СГСЭ
Электрическая постоянная
Постоянная Ридберга
o = 8,8510-12 Ф/м
1/4o=9109 м / Ф
R  2,067 1016 с 1
25
ЛИТЕРАТУРА
1. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с.
2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов.
– М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с.
3. Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями:
Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк.,
2006. – 591с.
4. Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и
дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с.
5. Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с.
6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с.
7. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. –
271с.
26