Дискретная модель севооборота с учётом затрат

ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
УДК 332
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ СЕВООБОРОТА С УЧЁТОМ
ЗАТРАТ НА ПОДДЕРЖАНИЕ ПЛОДОРОДИЯ
THE DISCRETE MODEL OF CROP ROTATION IN CONSIDERATION
OF COSTS FOR SOIL FERTILITY MAINTENANCE
Ю.Б. Коробочкин,
советник по научно-техническим вопросам
ОАО РХК Земпроект,
кандидат технических наук
E-mail: yk.ikas@yandex.ru
Yu.B. Korobochkin
О.Я. Куцый,
старший преподаватель МГТУ им. Н.Э. Баумана
E-mail: olg9@mail.ru
O.Ya. Kutsiy
В.А. Романенков,
заведующий лабораторией ГНУ ВНИИ агрохимии им. Д.Н. Прянишникова
Россельхозакадемии,
доктор биологических наук
E-mail: geoset@yandex.ru
V.A. Romanenkov
Аннотация. Построена математическая модель оптимизации севооборота заданного
набора сельскохозяйственных культур с учетом затрат на поддержание естественного
плодородия (баланса гумуса). Модель основана на агрономической теории предшественников.
Summary. The mathematical model which calculates the optimal rotation for the given set of
crops was constructed. The model takes into account costs for soil fertility maintenance (humus
balance) and is based on the agronomical theory of forecrops.
Ключевые слова: севооборот, оптимальный севооборот, оптимизация севооборота,
естественное плодородие, баланс гумуса, кадастровая оценка.
Keywords: crop rotation, optimal crop rotation, crop rotation optimization, natural fertility,
humus balance, cadastral valuation.
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
ВВЕДЕНИЕ
Задача оптимизации севооборота является
одной из старейших прикладных задач оптимизации в сельском хозяйстве. Вероятно, впервые
подобная задача была предложена в [1], в варианте задачи оптимизации структуры посевных
площадей. С тех пор колоссальное количество
авторов занималось исследованиями в этой
области. Информация по этим исследованиям
аккумулирована в [2]. В основном, все авторы
придерживались «классической» постановки вопроса, изложенной в [1], заключающейся
в том, что задача нахождения оптимального севооборота (циклически повторяющейся последовательности культур) подменяется задачей
оптимизации структуры посевных площадей,
что далеко не одно и то же. Поясним сказанное.
Дело в том, что не во всех случаях результат
решения задачи оптимизации структуры посевных площадей можно «превратить» в реальный севооборот без потери самих результатов
оптимизации. Во-первых, из-за появления «некратных» процентов, а во вторых, из-за того,
что иногда оказывается так, что полученную
структуру посевных площадей невозможно реализовать по допустимым предшественникам.
В любом случае для того, чтобы получить севооборот, с результатом решения задачи оптимизации структуры посевных площадей приходится
дополнительно работать (вручную) — округлять
полученные проценты до процентов, кратных полям севооборота, что неминуемо (в той
или иной степени) приведёт к потере оптимума. Кроме того, в целом ряде задач необходимо
отыскивать оптимальный севооборот в автоматизированном режиме для значительного числа
почвенных разновидностей и различных соотношений цен реализации сельскохозяйственных культур, а также затрат на их возделывание
и уборку. Например, при выполнении контрактов по государственной кадастровой оценке земель сельскохозяйственного назначения в некоторых субъектах РФ приходится обсчитывать
севообороты для нескольких тысяч почвенных
разновидностей. Понятно, что в этом случае
осуществить полноценную «ручную» доводку
полученных структур посевных площадей до севооборотов практически невозможно. Именно
эти проблемы и заставили авторов попытаться найти способ автоматизированного поиска
оптимального севооборота.
С вычислительной точки зрения задача нахождения оптимального севооборота
32
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
оказывается значительно более сложной,
чем задача оптимизации структуры посевных
площадей. Во-первых, возникающая задача является задачей дискретного программирования
[3, 4], тогда как возникающая при оптимизации
структуры посевных площадей задача является
задачей линейного программирования (что гораздо проще); во-вторых, количество переменных у этой задачи на порядок больше. Однако
современные ПК позволяют решать подобные
задачи достаточно эффективно.
В целом можно достаточно уверенно сказать,
что в случаях, когда результатом решения задачи является не сам севооборот, а та или иная
оценка его эффективности, например, чистый
доход, а решаемая задача оптимизации севооборота является частью какой-либо сложной,
требующей значительных вычислительных
ресурсов и оперативной памяти задачи, имеет
смысл пользоваться традиционным подходом —
оптимизацией структуры посевных площадей,
в противном случае — подходом, предложенным в настоящей статье. Следует также иметь
в виду, что полученная с помощью классического метода оценка эффективности севооборота может оказаться несколько завышенной
(«оптимистичной») по сравнению с реально
достижимой.
В работах [5, 6] задача поиска оптимального
севооборота как циклически повторяющейся
последовательности культур решается методом динамического программирования. Однако
в используемой в этом подходе математической
модели не описываются совокупные затраты
на поддержание естественного плодородия почвы.
Дефицит гумуса пахотных почв является
основной причиной снижения их плодородия,
а в малогумусных почвах — деградации, что,
в свою очередь, влечёт за собой снижение эффективности минеральных удобрений, ухудшение качества сельскохозяйственной продукции
и загрязнение окружающей природной среды.
Приёмы интенсификации сельскохозяйственного производства, такие, как увеличение
объёмов возделывания пропашных культур,
снижение удельного веса многолетних трав,
частые механические обработки, приводят
к снижению уровня гумусированности почв.
В большинстве сельхозпредприятий количество и качество применяемых органических
удобрений не позволяют компенсировать потерю гумуса [7].
Февраль 2013
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
Любое изменение в системе землепользования, севообороте, способах обработки почвы,
дозах удобрений приводит к изменению в составе гумуса. Если совокупный баланс гумуса
отрицательный, его содержание может быть
скорректировано, например, путём внесения
определённых доз органических удобрений,
что влечёт за собой дополнительные расходы.
Если же этот баланс положителен и происходит
накопление гумуса, то дополнительные затраты
будут равны нулю.
Описываемая система управления режимом гумуса пахотных почв является в реальности достаточно сложной, обнаруживая существенные обратные связи между урожаем
культур, количеством поступающих в почву
растительных остатков, структурой севооборота, показателями почвенного плодородия и дозами применяемых удобрений. Значительное
влияние на данный процесс оказывают складывающиеся погодные условия как во время
вегетационного периода, так и перед посевом
культуры, определяющие доступные растениям
влагозапасы [7]. Тем не менее, используемые
на практике во многих странах, например в ФРГ
и Чехии, методы оценки баланса гумуса основаны на определении изменения содержания
гумуса при возделывании определённой культуры или доли основных культур в севообороте,
что корреспондируется с подходами, использованными в настоящей работе [8].
Обсуждаемая ниже математическая модель
севооборота построена с учётом требований
агрономической теории предшественников
в соответствии с затратами на поддержание
бездефицитного баланса гумуса.
ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ
Задан набор из N сельскохозяйственных
культур, каждая из которых характеризуется
следующим набором параметров:
Yi — урожайность культуры (ц / га);
hi — баланс гумуса (ц / га);
Zi — затраты на выращивание и уборку
(руб./ га);
Si — цена реализации (руб./ ц).
Помимо этого, задан «банковский процент» α
и стоимость Ch внесения 1 ц гумуса в почву.
Требуется найти M-летний севооборот (циклически повторяющуюся последовательность
из заданных N культур), обеспечивающий максимальную доходность:
Февраль 2013
F = V − (1 + α )Z .
V — валовый доход; Z — совокупные производственные затраты.
Введём в рассмотрение булеву матрицу севооборота Xij, i = 1, 2.., N, j = 1, 2.., M, такую,
что Xij = 0, если культура с номером i не сеется
в год с номером j, Xij = 1, если культура с номером i сеется в год с номером j.
Очевидно, что булева матрица X удовлетворяет следующим условиям:
N
∑X
ij
= 1, j = 1, 2.., M ,
(1)
i =1
означающим, что в каждый год может быть засеяна ровно одна культура.
Доходность севооборота имеет следующий
вид:
M
N
F (X ) = ∑∑ ⎡⎣Yi Si − (1 + α )Z i ⎤⎦ X ij −
j =1 i =1
⎡
− (1 + α )Ch min ⎢0;
⎣
M
N
∑∑h X
i
ij
j =1 i =1
⎤
⎥.
⎦
(2)
Смысл первого слагаемого очевиден, второе
слагаемое есть не что иное, как затраты на поддержание неотрицательного баланса гумуса по севообороту, увеличенные на банковский процент.
Действительно, если совокупный баланс гумуса
по севообороту X
M
N
H (X ) = ∑∑hi X ij
j =1 i =1
отрицателен, то минимум в формуле (1) равен
H(X), и тогда на поддержание неотрицательного
баланса гумуса будут понесены затраты
M
N
−Ch ∑∑hi X ij ,
j =1 i =1
а если положителен, то гумус вносить не требуется и соответствующие затраты будут равны 0.
На очередность следования культур в севообороте наложен ряд широко известных ограничений, имеющих в агрономии название «теория предшественников» [9]. Мы рассматриваем
4 группы таких ограничений.
1-я группа. Ограничения на предшественников предыдущего года. Эти ограничения задаются в виде булевой матрицы B размерности N:
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
33
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
⎧0, если культура i не может следовать на следующий год за культурой j.
Bij = ⎨
⎩1, если культура i может следовать на следующий год за культурой j.
Если Bij = 0, то для матрицы, описывающей
севооборот, справедливо:
Xi, k + Xj, k–1 = 1 при k = 2, ... , M
(3)
Если Qi > 1, то для матрицы севооборота справедливо:
Xi, k + Xi, [(k + М – m)% M ] = 1 при k = 1, ... , M
и m = 1, ... , Qi .
Xi, 1 + Xj, M = 1.
2-я группа. Ограничения на предшественников предпредыдущего года. Эти ограничения
задаются в виде булевой матрицы D, аналогичной матрице B. Примером культуры с такого
рода ограничениями является озимая пшеница второго года посева, для которой единственным допустимым предшественником предпредыдущего года является чистый пар.
Если Dij = 0, то для матрицы, описывающей
севооборот, справедливо:
Xi, k + Xj, k–2 = 1 при k = 3, ... , M
(6)
Таким образом, задача поиска оптимального севооборота сводится к максимизации нелинейной целевой функции (2) при линейных
ограничениях (1), (3), (4), (5), (6) на булевы переменные Xi, j.
Задача (1)—(6) может быть трансформирована в линейную путём введения одной дополнительной «искусственной» переменной
X NM +1 ∈ R1 , следующим образом:
X NM +1 ≤ 0 ;
(4)
M
N
X NM +1 ≤ ∑∑hi X ij .
Xi, 1 + Xj, M–1 = 1;
(7)
j =1 i =1
(8)
Xi, 2 + Xj, M = 1.
3-я группа. Ограничения на максимальное
количество лет, в течение которых культура может сеяться непрерывно. Задаются в виде вектора L размерности N. Если Li > 1, то это означает, что культура не может быть посеяна более
чем Li раз подряд. Примером культуры с такими ограничениями может служить соя, которую
не рекомендуется сеять более двух лет подряд.
Если Li > 1, то для матрицы севооборота справедливо:
Xi, k + Xi, [(k + М – L – 1)% M ] = 1 при k = 1, ... , M.
i
(5)
Здесь и далее везде через «%» обозначается
остаток от деления одного целого числа на другое.
4-я группа. Ограничения на максимальную частоту, с которой культура может сеяться.
Задаются в виде вектора Q размерности N. Если
Qi > 1, то это означает, что после того, как культура была посеяна в какой-то год, следующий
раз её допустимо сеять не ранее чем через
Qi лет. Примером культуры с таким ограничением может быть подсолнечник, который
не рекомендуется сеять чаще чем 1 раз в 6 лет,
и для которого соответственно Q = 5.
34
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
При этом целевая функция становится линейной:
M
N
F (X ) = ∑∑ ⎡⎣Yi Si − (1 + α )Z i ⎤⎦ X ij −
j =1 i =1
− (1 + α )Ch X NM +1 → max.
(9)
Действительно, если матрица севооборота Xij такова, что совокупный баланс гумуса
H(X) ≥ 0 положителен, то максимум (9) будет
всегда достигаться при XNM+1 = 0. Если же наоборот, H(X) < 0, то максимум (9) достигается при
X NM +1 =
M
N
∑∑h X
i
ij , что
совпадает с (2).
j =1 i =1
Таким образом, задача поиска оптимального севооборота свелась к частично целочисленной (булевой) задаче линейного программирования, с целевой функцией (9) и ограничениями (1), (3)—(8). Реализовано решение
этой задачи методом ветвей и границ [3, 4].
Демонстрационная версия программы для количества культур N ≤ 19 и количества полей
севооборота M = 6, ... , 12 имеется в свободном
доступе на сайте www.progmat.ru
Февраль 2013
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
ПРИМЕР РАСЧЁТА ОПТИМАЛЬНОГО
СЕВООБОРОТА
В качестве примера рассмотрим решение
задачи нахождения оптимального севооборота из заданного набора семи культур: ячмень, пшеница яровая, рожь озимая, картофель, многолетняя трава, однолетняя трава,
овёс. Исходные данные взяты из результатов
длительного стационарного опыта, проводимого на серой лесной почве во Владимирском
Ополье [10]. В опыте с 1991 г. изучается влияние различных систем удобрения на продуктивность 8-польного зернотравянопропашного севооборота со следующим чередованием
культур: занятой пар (вико-овсяная смесь) —
озимая рожь — картофель — овёс с подсевом
трав — травы 1-го года пользования — травы
2-го года пользования — озимая рожь — яровой
ячмень. Использованы данные по варианту навоз 40 т + N340P340K360 за ротацию, рекомендованному на основе исследований как позволяющему стабилизировать плодородие серых лесных
почв Ополья и обеспечить на них высокую окупаемость удобрений. Органические удобрения
вносились под озимую рожь после уборки викоовсяной смеси. Содержание гумуса для расчётов
по модели принято равным 3,1%, что отвечает
усреднённому для трёх полей в пахотном слое
перед закладкой опыта.
Банковский процент примем α = 10%, выход
гумуса из одной тонны навоза во Владимирской
области, в соответствии с [ 11], примем равным
0,5 ц. Исходные данные по стоимости выращенной продукции, затратам на возделывание и уборку, урожайности и балансу гумуса
по каждой из возделываемых культур приведены в табл. 1. Баланс гумуса рассчитан по методике [12].
В табл. 2 и 3 приведены допустимые предшественники для каждой культуры и ограничения
на частоту посева культур и максимально допустимый период, в течение которого культуру
можно возделывать каждый год. Если на пересечении соответствующей строки и столбца
стоит «1», то культуру, соответствующую этому
номеру строки, допустимо сеять на следующий
год после культуры, соответствующей номеру
соответствующего столбца, а если «0» — то недопустимо.
«Многолетняя трава 2–1» означает 2-летнюю многолетнюю траву 1-го года посева,
а «Многолетняя трава 2–2» означает 2-летнюю
многолетнюю траву 2-го года посева.
В табл. 2 введены естественные ограничения на предшественников многолетних трав.
Многолетнюю траву 2–1 нельзя сеять по многолетней траве 2–1, многолетнюю траву 2–2
разрешается сеять только по многолетней траве 2–1.
Как видно из сравнения предложенных моделью севооборотов с принятым в опыте, наиболее близким оказывается севооборот 4, модель воспроизводит следующее звено: озимая
рожь — картофель — овёс — многолетние травы
1-го и 2-го года пользования. При этом доля
зерновых культур соответствует реальному севообороту — 50%, а доля трав оказывается заниженной из-за исключения однолетних трав.
В остальных севооборотах происходит расширение данного звена за счёт включения ячменя
Экономические данные по культурам
Таблица 1
Урожайность (ц / га)
Рыночная цена
(руб./ ц)
Затраты на возделывание
и уборку (руб./га)
Баланс гумуса
( ц / га)
Ячмень
47,8
445
11 261,25
–5,72
Пшеница яровая
42,9
480
13 422,84
–12,95
Рожь
55,3
568
22 191,53
–8,85
Картофель
192,4
609
72 002,72
–14,10
Многолетняя трава
2–1
91,6
210
15 207,46
27,13
Многолетняя трава
2–2
60
210
6596,34
17,77
Однолетняя трава
66,5
240
10 287,61
–2,59
Овёс
53,5
420
12 271,58
–6,39
Культура
Февраль 2013
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
35
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
Таблица 2
Допустимые предшественники
Культура
Ячмень
Пшеница
Рожь Картофель
яровая
Многолетняя Многолетняя
Однолетняя
трава
трава
Овёс
трава
2–1
2–2
Ячмень
0
0
1
1
0
1
1
0
Пшеница
яровая
0
0
1
1
0
0
1
0
Рожь
1
0
0
1
0
1
1
0
Картофель
0
0
1
0
0
0
1
0
Многолетняя
трава 2–1
1
1
0
1
0
1
0
1
Многолетняя
трава 2–2
0
0
0
0
1
0
0
0
Однолетняя
трава
0
0
1
1
0
0
0
1
Овёс
0
0
1
1
0
1
1
0
и озимой ржи (севооборот 1 и 2), а также включения озимой ржи за счёт исключения овса (севооборот 3). Утрированность севооборота 3 проявляется в том, что подсев многолетних трав
проводится под ячмень или овёс — обе культуры
яровые, но не под озимую рожь. Выбор моделью
однолетних трав как предшественника ячменя
в севообороте 1 нельзя признать удачным, поскольку влияние парозамещающей культуры
позволяет возделывать озимую рожь как более
перспективную зерновую культуру, что и реализовано в длительном опыте. Стабильный выбор
картофеля как предшественника овса соответствует полученным в опыте [10] экспериментальным данным, что удобряемые пропашные
культуры являются хорошим предшественником овса с подсевом трав без применения азотных удобрений.
Проверка устойчивости созданного 8-летнего
севооборота в данной версии модели показала
значительное влияние фактора цен на однолетние и многолетние травы. При превышении
цены однолетних над многолетними травами
севооборот представляет следующую последовательность культур: однолетние травы —
ячмень — многолетние травы 1-го и 2-го года
пользования — ячмень — озимая рожь — картофель — овёс. Соотношение зерновых, трав
и пропашных в этом случае отвечает реальному
севообороту полевого опыта. При сравнимых
ценах на однолетние травы севооборот трансформируется в следующий: овёс — многолетние
травы 1-го и 2-го года пользования — ячмень —
озимая рожь — картофель — ячмень — озимая рожь. Модель стабильно выбирает ячмень
с предшественником занятой пар (севообоТаблица 3
Ограничения
Культура
36
Исключить из предшественников лет
Сколько лет подряд можно сеять
Ячмень
1
1
Пшеница яровая
1
1
Рожь
1
1
Картофель
5
1
Многолетняя трава 2–1
1
1
Многолетняя трава 2–2
1
1
Однолетняя трава
1
100
Овёс
3
1
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
Февраль 2013
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
Моделируемые оптимальные севообороты с цикличностью до 12 лет
Севооборот
1-й год
2-й год
3-й год
4-й год
5-й год
6-й год
7-й год
1
ячмень
оз. рожь
картоф.
ячмень
оз. рожь
овёс
одн.
травы
2
ячмень
оз. рожь
картоф.
ячмень
оз. рожь
овёс
мн. травы 2–1
3
ячмень
оз. рожь
картоф.
ячмень
оз. рожь
мн. травы 2–1
мн. травы 2–2
4
ячмень
оз. рожь
картоф.
овёс
мн. травы 2–1
мн. травы 2–2
рот 1) или по пласту трав (севообороты 2–4),
а не по обороту пласта, как принято в опыте.
Преимущественный выбор ячменя в качестве
дополнительной зерновой культуры обусловлен
по сравнению с яровой пшеницей и овсом большей урожайностью и сравнительно меньшими
потерями гумуса (табл. 4). Полученный результат соответствует наблюдаемому увеличению
числа севооборотов зерновой специализации,
происходящих в первую очередь за счёт снижения потребности в кормах при уменьшении
доли животноводства. При возделывании овса
на зелёный корм соотношение культур также
будет отвечать реальному севообороту опыта.
Получить стабильный вариант севооборота при различных ценах на травы возможно
при более жёстких требованиях к предшественникам. При внесении следующих изменений
в табл. 2: разрешение возделывания многолетних трав после однолетних, запрещении возделывания ячменя после однолетних культур
достигается следующая устойчивая последовательность культур: однолетние травы — озимая рожь — ячмень — многолетние травы 1-го
и 2-го года пользования — озимая рожь — картофель — овёс. Рассматриваемое выше устойчивое
звено севооборота здесь трансформировалось
в: озимая рожь — картофель — овёс — однолетние травы. Также для предшественника ячменя
предлагается оборот пласта трав. Тем не менее,
достигнутая стабилизация структуры на практике имеет меньше шансов на реализацию
по сравнению с увеличением зерновых культур
в севообороте. Снижение цены однолетних трав
ниже многолетних приводит к выбору возделывания многолетних трав 2 раза за ротацию (доля трав 50%), что также менее вероятно по сравнению с выбором в пользу зерновых культур.
В длительном опыте [9] показана возможность
Февраль 2013
Таблица 4
8-й год
мн. травы 2–2
сильного иссушения многолетними травами
почвы, что не всегда позволяет реализовать потенциал урожайности озимой ржи, поэтому выбор исходной моделью яровой культуры после
многолетних трав представляется достаточно
обоснованным.
Рассмотрим изменение дохода в зависимости от цены на навоз для оптимальных севооборотов с цикличностью до 12 лет включительно.
Затем проведём сравнение полученного решения с решением, полученным методом оптимизации структуры посевных площадей.
На рис. 1 приведен график изменения дохода
в зависимости от цены на навоз.
При цене внесения навоза до 172,1 руб./т
максимум дохода достигается на севообороте
№ 1, при цене навоза от 172,1 до 269,5 руб./т
максимум достигается на севообороте № 2,
при цене навоза от 269,5 до 332,7 руб./т на севообороте 3, а при цене навоза свыше 332,7 руб./т
на севообороте 4. С увеличением стоимости навоза доля многолетних трав в севообороте увеличивается с 0 до 33%.
График доз вносимого навоза (в т/ га) для поддержания бездефицитного баланса гумуса приведён на рис. 2.
Как видно из рис. 2, севообороты 2–4, в которых 2 года возделываются многолетние
травы, требуют внесения не более 2 т / га навоза ежегодно на 1 га севооборотной площади
для подержания бездефицитного баланса гумуса. Экспериментально в длительном опыте
подтверждена стабилизация содержания гумуса при внесении 5 т навоза на 1 га севооборотной площади и снижение за 8-летнюю
ротацию на 0,04% на вариантах с применением тех же доз минеральных удобрений без навоза [10]. Вероятно, в реальности имеет значение обеспечение положительного баланса
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
37
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
Рис. 1. График изменения дохода (руб./ га) в зависимости от цены навоза
для оптимальных севооборотов с цикличностью до 12 лет
Рис. 2. График доз навоза (в т/ га) для поддержания бездефицитного баланса гумуса
в зависимости от цены навоза для оптимальных севооборотов
38
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
Февраль 2013
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
Ограничения на баланс долей:
7
∑X
i
=1
(11)
i =1
0 ≤ Xi
Решение задачи (10)—(14) при цене навоза
269 руб./т даёт доход 6168 руб./ га, который достигается на следующей структуре посевных
площадей.
0,33
0
0,25
0,16
0,16
0
0,083
i = 1, ... , 7
X1 ≤ [M / 3] / M; X2 ≤ [M / 3] / M;
X3 ≤ [M / 2] / M; X4 ≤ [M / 5] / M;
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Овёс
– X 8 → max. (10)
i
0
0
0
1
−1
1
0
0
−1
−1
−1
Однолетняя
трава
i
−1
−1
−1
−1
1
−1
0
0
−1
0
1
Многолетняя
трава
i
−0,5
0
−0,5
0
0
−0,5
−0,5
−0,5
0
−1
0
Картофель
i
i =1
−1
−1
−1
1
−1
−1
0
0
−1
1
−1
Рожь
∑ ⎡⎣Y S − (1 + α )Z ⎤⎦ X
−1
−1
1
−1
−1
−1
−1
0
1
−1
−1
Пшеница яровая
7
1 0
0 1
−1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
−1 −1
−1 −1
−1 −1
Ячмень
NPK, достигаемого при более высоких дозах
навоза в сочетании с минеральными удобрениями, чем требуется только для бездефицитного баланса гумуса, рассчитываемого моделью.
Решим данный пример методом оптимизации структуры посевных площадей.
Для этого введём в рассмотрение вектор
X ∈ R8 структуры посевных площадей, у которого первые 7 переменных — это доли рассматриваемых культур в общей площади посева, а последняя переменная является аналогом
переменной XNM+1 из (7), (8), и введена для того,
чтобы описать баланс гумуса.
Задача нахождения оптимальной структуры
посевных площадей имеет вид
X6 ≤ [M / 2] / M; X4 ≤ [M / 3] / M.
Здесь через [<*>] обозначена операция взятия
целой части отделения одного числа на другое.
M — количество лет севооборота.
Ограничение на переменную X8
7
X 8 ≤ (1 + α )Ch ∑hi X i ;
(12)
X8 ≤ 0
(13)
i =1
Группа ограничений, соответствующая ограничениям на предшествующие и последующие
культуры:
AX ≤ b,
(14)
b ∈ R8 — вектор, состоящий из нулей;
A ∈ R12×8 — матрица, приведена ниже.
Февраль 2013
Попытаемся трансформировать эту структуру в севооборот. Поскольку у ячменя, ржи и картофеля проценты почти кратны 1 / 6, то вполне
естественно было бы превратить эту структуру посевных площадей в 6-летний севооборот.
Однако многолетняя трава в этом случае должна была бы иметь долю равную 1 / 3. Поэтому исключим овёс из севооборота, а долю ржи уменьшим до 1 / 6. В результате получаем севооборот:
ячмень — рожь — картофель — ячмень — многолетние травы — многолетние травы, с реальным доходом 5164 руб./ га вместо оптимального
5210 руб./ га, который достигается на севообороте 2. Как видно из примера, оценка эффективности 6168 руб./ га (доход), полученная методом
оптимизации посевных площадей, оказалась
слишком оптимистичной, по сравнению с дискретной оптимизацией, а после округления
и подбора севооборота с близкой структурой
посевных площадей оценка эффективности
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
39
ЗЕМ ЛЕ УС ТРОЙС ТВО
оказалась незначительно меньше оптимальной. Однако для получения этого результата
пришлось проводить ряд операций (округление, подбор севооборота) в «ручном режиме»,
что не всегда допустимо или удобно.
ВЫВОДЫ
Предложена математическая модель, позволяющая в автоматическом режиме оптимизировать севооборот для заданного набора
сельскохозяйственных культур с учётом затрат
на поддержание запасов гумуса в почве.
Сопоставление выбора оптимального севооборота с решением задачи оптимизации
структуры посевных площадей показало возможность достижения близкого дохода, но в последнем случае требуется проведение дополнительных расчётов вручную.
Стабилизация структуры посевных площадей при изменении цен на сельхозпродукцию
требует повышения требований к предшественникам в модели. Предлагаемая версия модели
достаточно хорошо описывает усиление зерновой специализации севооборотов Нечерноземья
при снижении востребованности кормов, а также взаимосвязь стоимости навоза и необходимой доли трав в севообороте.
Модель оказывается достаточно чувствительной в определении влияния многолетних трав
в севообороте и внесения навоза для обеспечения бездефицитного баланса гумуса, что может
служить в качестве ориентировочных оценок
эффективности органических удобрений в поддержании почвенного плодородия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Канторович Л. В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. — М.: АН
СССР, 1959.
2. Волков С. Н. Экономико-математические методы и модели в землеустройстве. — М.: Колос, 2007.
3. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное
программирование. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1969.
4. Сигал И. Х., Иванова А. П. Введение в прикладное дискретное программирование. — М.:
Физматлит, 2007.
5. Светлов Н. М. Модели динамического программирования для оптимизации севооборотов //
Тр. Независимого аграрно-экономического
общества России. Вып. I: Проблемы формирования аграрного рынка России. — М.: Издво МСХА, 1997. — С. 467–471.
6. Светлов Н. М. Применение моделей динамического программирования для оптимизации
севооборотов / Моделирование макроэкономических процессов для принятия решений
в сфере АПК. — М., 1996.
7. Романенков В. А, Сиротенко О. Д., Рухович Д. И. и
др. Прогноз динамики запасов органического
углерода пахотных земель европейской территории России. — М.: ВНИИА, 2009. — 96 с.
8. Кубат Я., Липавски Я. Баланс органического вещества в длительных полевых опытах
на территории Чешской Республики // Агрохимия. — 2011. — № 12. — С. 64–70.
9. Окорков В. В., Фенова О. А., Окоркова Л. А. Итоги агрохимических исследований на серых
лесных почвах Владимирского Ополья // Результаты длительных исследований в системе
географической сети и опытов с удобрениями
Российской Федерации. — М.: ВНИИА, 2011. —
С. 176–202.
10. Лошаков В. Г. Севооборот и плодородие почвы. — М.: ВНИИА, 2012. — 512 с.
11. Справочник агроклиматического оценочного зонирования субъектов Российской Федерации. — М.: Маросейка, 2010.
12. Практическое пособие по оценке качества
и классификации земель по их пригодности для использования в сельском хозяйстве. — М.: ФГУП «Госземкадастрсъёмка» —
ВИСХАГИ, 2007.
Читайте в следующем номере
СХЕМЫ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА И ТЕРРИТОРИАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
В связи с намечаемым отказом от деления земельного фонда на категории земель и переходом на территориальное и градостроительное зонирование в статье рассмотрены вопросы разработки схем землеустройства
как документов прогнозного характера и их возможной связи с территориальным планированием.
В.Н. Гречихин
40
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО, КАДАСТР И МОНИТОРИНГ ЗЕМЕЛЬ
Февраль 2013