2. Понятие абстрактной структуры и его роль в математике

2. Понятие абстрактной структуры
и его роль в математике
Новый взгляд на объекты исследования математики,
достаточно ясно определившийся в конце прошлого века,
почти вплотную приводит к понятию абстрактной математической структуры. Как мы видели в предыдущем параграфе, в результате развития математического познания было отчетливо выявлено, что для исследования объектов математики важно знать не их конкретное
содержание, а только те основные свойства, которые являются определяющими для характеристики взаимосвязей
между этими объектами. При этом ни конкретная природа самих объектов, ни конкретное содержание отношений
между ними не играют какой-либо существенной роли
для математического исследования. Как уже отмечалось
раньше, подобный абстрактный взгляд на объекты геометрии был вполне отчетливо сформулирован Д. Гильбертом в конце прошлого века.
Аналогичные представления в алгебре утвердились несколько раньше, но в целом в начале нашего века идея
математической структуры, что называется, носилась в
воздухе. «Возникает искушение признать, что современное понятие «структуры»,— пишет Н. Бурбаки,— в основном сформировалось около 1900 г.; в действительности понадобилось еще тридцать лет изучения, чтобы оно выяви6
лось с полной ясностью» .
Эта нелегкая задача по обообщению и уточнению понятия абстрактной структуры и в особенности построению
на ее основе ряда разделов современной математики была
мастерски решена талантливым коллективом французских
математиков, избравших себе псевдоним Н. Бурбаки.
О них уже не раз упоминалось в той или иной связи на
предыдущих страницах книги. Многие математики признают, что концепция Бурбаки представляет наиболее зна7
чительное явление в современной математике . Акад.
Б. В. Гнеденко подчеркивает, что точка зрения Н. Бурбаки получила довольно широкое признание, поскольку в
математике подавляющая часть ее содержания посвящена исследованию тех или иных структур 8.
6
7
8
Бурбаки Н. Очерки по истории математики, с. 33.
См.: Ляпунов А. А. О фундаменте и стиле современной математики.— Матем. просвещение, 1960, № 5.
См.: Гнеденко Б. В. В. И. Ленин и методологические проблемы
математики. М., 1970. с. 13.
В то время, когда складывалась эта школа, большинству ее участников не было еще тридцати лет, но, несмотря на это, многие из них были уже достаточно известными, чтобы остаться незамеченными, хотя и скрывались за
псевдонимом Н. Бурбаки. Среди них в первую очередь
следует назвать Андре Вейля, редкого в наши дни математика почти с универсальным кругозором и одного из первых основателей школы. Разработке и осуществлению
грандиозной программы школы, а именно построению математики на основе идеи абстрактных структур, в значительной мере способствовали также такие известные математики, как Жан Дьедонне и Анри Картан. Они же
много сделали для пропаганды идей нового движения в
математике, выступая с лекциями в разных университетах, а также со статьями в научных журналах, в том числе популярных.
Главным в деятельности всей школы Бурбаки начиная с 30-х годов были усилия, «направленные целиком на
унифицированное изложение всех основных разделов математики». В качестве исходной идеи для такого изложения была выбрана новая идея математических структур.
Как признает Ж. Дьедонне, это не была оригинальная
идея Бурбаки. «Не приходится и говорить о том,— заявляет он,— что у Бурбаки что-либо было оригинальным...
Бурбаки случалось лишь уточнять и обобщать идеи, появившиеся намного раньше. Начиная с Гильберта и Дедекинда было известно, что большие части математики могут быть изложены и развиты логически исключительно
красиво и плодотворно, исходя из небольшого числа тщательно подобранных аксиом. Иными словами, задавая основу теории в аксиоматической форме, можно развить ее
всю так красиво и понятно, как это невозможно было сделать до этого. Это привело к общей идее математической
9
структуры» .
Опираясь на весь комплекс идей, связанных с понятием математической структуры, Бурбаки заявляет, что
«может построить всю математику сегодняшнего дня; если
существует что-либо оригинальное в моей процедуре, оно
состоит исключительно в том факте, что вместо того, чтобы довольствоваться таким утверждением, я продолжаю
доказывать его тем же самым способом, каким Диоген до9
Дьедонне Ж. О деятельности Бурбаки.— Успехи матем. наук,
1973, т. XXVIII, вып. 3, с. 209.
казывал существование движения, и мое доказательство
станет все более полным, по мере того, как будет продвигаться мой трактат».
Конечно, речь в данном случае шла о построении более
или менее завершенных математических теорий или, как
выражается Дьедонне, скорее о мертвой, чем о живой математике. Там, где теории находились в стадии формирования и развития, чрезвычайно трудно было выделить те
наиболее продуктивные идеи, которые могли стать в качестве аксиом. В этом отношении позиция школы Н. Бурбаки мало чем отличается от точки зрения сторонников
теоретико-множественной математики, уточненной с помощью той или иной системы теоретико-множественных
аксиом. Правда, последние никогда не предпринимали попыток систематического изложения своей программы применительно к конкретным разделам математики.
Заслуга же школы Бурбаки состоит в доказательстве
построения математики на основе аксиоматической теории
множеств. Необходимым условием такого доказательства
является использование формализованного языка или логического формализма. Раньше считали, что каждая математическая дисциплина не может обойтись без своего специфического формализованного языка. Сегодня, пишет
Бурбаки, «нам будет достаточно изложить принципы какого-то одного формализованного языка, рассказать, как
сформулировать на этом языке Теорию множеств, а затем
постепенно, по мере того как наше внимание будет направляться на различные отрасли математики, показывать, как они включаются в Теорию множеств» 10 .
Логика в обычном, содержательном или формализованном виде необходима для построения математики. Но
она представляет лишь метод для выведения одних утверждений из других или же своего рода трансформационный механизм для получения одних знаковых комплексов из других, когда речь идет о формализованных логических системах. Хотя нередко утверждают, что характерная особенность математики состоит именно в ее
дедуктивном методе, благодаря которому ее содержание
сводится к единой цепочке взаимосвязанных утверждений,
но такое поверхностное замечание, по мнению Бурбаки,
не вскрывает ни действительного единства, ни сущности
математики. Во-первых, дедуктивные рассуждения встре10
Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965, с. 25.
чаются не только в математике. Во-вторых, применяемый
в науке метод не может исчерпывающим образом дать
представление о ее специфике.
Никому не придет в голову объединить физику с биологией на том единственном основании, что обе они
используют экспериментальный метод 11 . Поэтому Бурбаки рассматривает способ рассуждения только как внешпюю форму, которую математик придает своей мысли,
орудие, делающее ее способной объединяться с другими
мыслями 12 . Математические доказательства и рассуждения применялись задолго до того, как они стали анализироваться логиками. Трудно установить, не возникла ли
необходимость в систематических доказательствах в связи
с открытием несоизмеримых отрезков, приведшем к кризису в основаниях античной математики. Несомненно
одно: логический анализ исторически не мог предшествовать математическому. Здесь мы обнаруживаем замечательную аналогию между логикой и грамматикой. Логика,
заявляет Бурбаки, не более чем грамматика языка, который мы используем и который должен был существовать
до грамматики 13.
Подчеркивая приоритет содержания над формой в математических рассуждениях, школа Бурбаки не придает
такого решающего значения периодически возникающим
логическим противоречиям в основаниях математики, как
это делает большинство других школ. Такие противоречия
должны, разумеется, устраняться, но «исторически совсем
неверно, что математика свободна от противоречий. Непротиворечивость является целью, которая должна быть
достигнута, а не богом данным свойством, которое пред14
полагается с самого начала» .
Соответственно этому авторы «Элементов математики»
не проявляют особого беспокойства о парадоксах теории
множеств. Поскольку такие парадоксы пока не обнаружены в аксиоматических теориях множеств, по крайней
мере за 40 лет с тех пор, как сформулированы с достаточной точностью эти аксиомы, то они надеются, что противоречия не появятся никогда. «Если бы дело и сложилось
иначе, отмечают они, то, конечно, замеченное противоре11
12
13
14
Бурбаки Н. Очерки по истории математики, с. 247.
Там же, с. 248.
Bourbaki N. Foundations of Mathematics for the working mathematican's J. Symbol. Log., 1949, vol. 14, p. 2.
Ibid., p. 2.
247
чие было бы внутренне присуще самим принципам, положенным в основание Теории множеств, а потому нужно
было видоизменить эти принципы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми
мы наиболее дорожим» 15.
Таким образом, формализация языка математики и его
логический анализ играют в концепции Бурбаки подчиненную роль. Не отрицая важности и полезности уточнения словаря и синтаксиса математики, они тем не менее
настаивают на том, что это только одна сторона аксиоматического метода, и притом наименее интересная 16. И с
этим нельзя не согласиться, поскольку логический вывод
требует определенных посылок, которые служат началом
любого рассуждения. Но чтобы избежать регресса в бесконечность, на каком-то этапе рассуждения мы должны
остановиться и принять некоторые посылки как недоказуемые. Именно такими посылками в математике и служат аксиомы. Вот почему проблема выбора и анализа системы аксиом приобретает такое важное значение для
применения аксиоматического метода в математике.
Выбор аксиом теории представляет важнейшую и вместе с тем наиболее трудную, творческую часть математического исследования. Не существует никаких правил и
рецептов, с помощью которых можно было бы находить
наиболее интересные системы аксиом. Только опыт и глубокое проникновение в проблемы вместе с неожиданно
возникающей интуицией помогают ученому находить наиболее полезные системы аксиом для решения поставленной задачи.
Сторонники школы Бурбаки больше всего подчеркивают именно творческую роль аксиоматического метода в
установлении связи и единства между различными математическими теориями. Действительно, наиболее плодотворные открытия в математике часто появлялись тогда,
когда ученым удавалось применить идеи и методы одной
теории в другой, как это случилось, например, с аналитической геометрией, не говоря уже о современном функциональном анализе, где новейшие идеи геометрии, алгебры
и топологии были с успехом использованы для обобщения и развития основных понятий и принципов классического математического анализа.
15
16
Бурбаки Н. Теория множеств, с. 29.
Вурбаки Н. Очерки по истории математики, с. 248.
248
В чем причина плодотворности такого взаимовлияния
идей и теорий, которые раньше казались весьма далекими
друг от друга?
Внимательный анализ показывает, что во всех этих
случаях ученым удавалось раскрыть более глубокие и существенные свойства объектов, изучаемых различными
теориями. Аксиоматический метод, хотя и не гарантирует
автоматическое нахождение таких существенных свойств,
но заставляет нас находить их, извлекать общие идеи, которые часто заслоняются специфическим содержанием
различных теорий, и формулировать их в виде аксиом.
«Единство, которое доставляет аксиоматический метод математике,— указывает Бурбаки,— это — не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный жизни. Это — питательный сок организма в полном
развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе,
начиная с Гаусса, все великие мыслители-математики...» 17
В современной математике аксиоматический метод
чаще всего выступает в единстве с теоретико-множественными представлениями о природе ее объектов. Как мы
уже видели в 3-й главе, представление специфических
объектов математического анализа, алгебры и геометрии
в виде бесконечных множеств в отвлечении от содержания
и конкретной природы составляющих их элементов давало
возможность анализировать специфические и более сложные понятия математики с помощью более общих и фундаментальных понятий теории множеств.
В неменьшей степени этому же способствовал тот коренной поворот в разработке аксиоматического метода,
который нередко называют революцией в аксиоматике 18.
Суть его состоит в переходе от конкретной, содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной,
а затем к полностью формализованной. В конкретной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют однуединственную систему конкретных объектов, хотя, разумеется, и идеализированных. В противоположность этому
абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика воз
17
18
Там же, с. 259.
Casari E.
Axiomatical and
1974, vol. 27, N 1/2, p. 50.
set-theoretical thinking.— Syntese,
249
никает на основе абстрактной и отличается от нее, во-первых, точным заданием правил вывода и, во-вторых, вместо
содержательных рассуждений она использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в
другие, т. е. в особого рода исчисление.
Благодаря такому коренному изменению взглядов сами
аксиомы стали рассматриваться как некоторые абстрактные формы, которые могут приобретать различное конкретное содержание в зависимости от приданной им интерпретации. Одни и те же аксиомы могут, таким образом,
описывать свойства и отношения самых различных по
своему конкретному содержанию объектов.
Эта фундаментальная идея и лежит в основе понятия
абстрактной структуры, получившего наиболее полное
развитие и обоснование в трудах коллектива Н. Бурбаки.
Чтобы получить более полное представление о математических структурах, рассмотрим основные типы структур, которые играют наиболее важную роль при построении современной математики в «Элементах математики»
Н. Бурбаки.
1. Алгебраические структуры. Наиболее простым примером такой структуры является группа, изучение свойств
которой началось еще в начале XIX в. Особенно важными
в этот период являются исследования знаменитого французского математика Э. Галуа, который с помощью групп
перестановок решил проблему о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. В 30—50-е годы прошлого
века алгебраисты ввели абстрактное понятие закона композиции и тем самым значительно расширили сферу приложения алгебраических методов, и в частности теоретико-групповых. В настоящее время эти методы играют
важную роль не только в математике, но и в теоретической физике, кристаллографии, химии и других науках.
Группой называют множество элементов х, у, z,..., если
определена бинарная операция, которая каждой паре элементов х, у множества ставит в соответствие некоторый
элемент (результат операции), который можно назвать
«произведением» или «суммой» в зависимости от того,
рассматривается ли в качестве бинарной операции «умножение» или «сложение». При этом под «умножением» или
«сложением» понимают не только арифметические операции с числами, но и любые другие операции с математическими объектами, формальные свойства которых совпа250
дают с арифметическими. Ипогда, чтобы подчеркнуть
абстрактный и общий характер групповой операции, предпочитают говорить о композиции.
Формальные свойства группы описываются с помощью
аксиом. Так, если в качестве бинарной операции выбрано
умножение, то эти свойства будут описываться следующими четырьмя аксиомами:
Г 1. х.у является элементом группы (замкнутость по
отношению к определяющей операции).
Г 2. х. (y.z) = (x.y) z (ассоциативный закон).
Г 3. Группа содержит левую единицу Е, такую, что
для каждого элемента х, Е.х=х.
Г 4. Для каждого элемента х из группы существует
(левый) обратный элемент х-1, такой, что х-1*х=Е.
Описывая с помощью аксиом общие свойства группы,
мы совершенно отвлекаемся от конкретной природы ее
элементов. В качестве таких элементов могут быть выбраны и числа, и матрицы, и перемещения, и векторы, и другие математические и даже нематематические объекты.
Важно, чтобы отношения между этими элементами удовлетворяли перечисленным аксиомам группы. Все дальнейшее построение аксиоматической теории групп сводится
к выведепию логических следствий из аксиом, т. е. доказательству теорем.
Структура группы определяется, следовательно, свойствами той алгебраической операции, с помощью которой
характеризуются элементы некоторого множества.
Другими широко распространенными типами алгебраических структур являются кольца и поля, для которых задается уже не одна, а две алгебраических операции,
свойства которых также формулируются с помощью аксиом. В общем случае алгеброй на множестве А объектов
можно назвать совокупность конечноместных операций
19
на А . Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», то соответствующая струк20
тура называется алгебраической .
2. Структуры порядка. Во многих разделах математики часто приходится рассматривать различные типы
структур, определяемых отношением порядка. Например,
натуральные числа, так же как числа рациональные и
действительные, образуют различные виды упорядочен19
20
Кон П. Универсальная алгебра. М., 1968, с. 55.
Bypбаки Н. О ч е р к и по и с т о р и и м а т е м а т и к и , с. 252.
251
ных множеств. В 3-й главе отношение порядка рассматривалось в связи с образованием понятия ординальных
трансфинитных чисел. Обычно различают три вида упорядоченных множеств, находящихся друг к другу в отношении подчинения.
Наиболее общим служит понятие частично упорядоченного множества, которое определяется как множество,
между некоторыми парами элементов которого х, у установлено отношение порядка (правило предшествования),
х<у, такое, что:
1. х<х (рефлексивность);
2. из х<у и y<z, следует x<z (транзитивность);
3. из х<у и у>х следует х=у (антисимметричность).
Если в частично упорядоченном множестве любые пары-элементы сравнимы между собой, т. е., либо х<у или
у>х, то такое множество пазывается линейно упорядоченным, или цепью. Наконец, если в линейно упорядоченном множестве каждое его непустое подмножество имеет
наименьший элемент, то такое множество называют вполне упорядоченным.
Когда задано конкретное отношение порядка в данном
множестве, то говорят, что это множество упорядочено
этим отношением. Так, если в множестве натуральных чисел установить отношение порядка между числами по их
величине, то такое множество будет пе только линейно, но
и вполне упорядочено.
Структуры порядка, как и алгебраические структуры,
относятся к числу базисных структур, так как они лежат
в основе многих математических теорий и дисциплин. Детальный логический анализ структур порядка, как и логики отношений вообще, впервые был осуществлен в трудах
Э. Шредера, Ч. Пирса и особенно Б. Рассела.
3. Топологические структуры. Множество М обладает
топологической структурой, если каждому его элементу
тем или иным способом отнесено семейство подмножеств
из М, называемых окрестностями этого элемента (если эти
окрестности удовлетворяют аксиомам
топологических
структур). Множество, наделенное топологической структурой, называют также топологическим пространством,
а его элементы — точками 21 .
С помощью топологических структур точно определяются такие хорошо знакомые понятия, как окрестность,
21
Бурбаки Н. Общая топология. М., 1968, с. 13.
252
предел и непрерывность, которые стали исследоваться в
связи с обоснованием математического анализа. Создателем топологии считают Б. Римана, хотя начала общей, или
теоретико-множественной, топологии стали разрабатываться позднее, в частности в трудах известного немецкого математика Ф. Хаусдорфа. В настоящее время топология разрослась в разветвленную дисциплину и исследования в разных ее разделах занимают одно из центральных
мест в математике.
Ознакомившись с основными типами структур, используемых в математике, мы можем теперь легко понять то
общее определение, которое дается в программной статье
Н. Бурбаки «Архитектура математики». «Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений,
в которых находятся его элементы... затем постулируют,
что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры).
Построить аксиоматическую теорию данной структуры —
это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений
относительно рассматриваемых элементов (в частности,
от всяких гипотез относительно их «природы»)»22.
Поскольку понятие абстрактной структуры является
исходным при построении математики, то оно, разумеется,
не может быть определено через другие, первичные понятия. Поэтому приведенное определение следует скорее
рассматривать как объяснение процесса образования различных структур в математике. Но в нем не учитываются
еще два других существенных момента.
Во-первых, в математике приходится иметь дело не
только с отношениями между элементами некоторого множества, но и между самим множеством и его подмножествами, а в ряде случаев — и с отношениями между множествами разных типов («лестница» типов).
Во-вторых, кроме перечисленных трех основных типов
структур, которые Н. Бурбаки называет порождающими
структурами, приходится рассматривать также сложные,
или многократные структуры. В такие структуры входят
одновременно несколько порождающих структур, но они
не просто совмещаются или комбинируются друг с другом,
а органически связываются с помощью одной или несколь22
Бурбаки Н. Очерки по истории математики, с. 251.
253
ких объединяющих аксиом. Наиболее простой пример такой сложной структуры представляет множество действительных чисел, в которое одновременно входят три основных порождающих структуры. Можно поэтому сказать,
что это множество наделено трехкратной структурой.
Но даже такой комбинированный подход, как признает
Бурбаки, является во многом схематическим, а самое
главное — статическим.
Схематический и идеализированный характер абстрактных структур проявляется в том, что с их помощью
нельзя представить все богатство и разнообразие постоянно развивающегося математического знания. В некоторых
случаях, как, например, в теории чисел, существуют многочисленные изолированные результаты, которые до сих
пор не удается охватить никакой общей структурой.
В ряде случаев приходится значительно огрублять весьма
тонкие и сложные связи, существующие между математическими понятиями и теориями. Наконец, структурный
подход фиксирует внимание прежде всего на готовых,
сложившихся отношениях между математическими теориями, и поэтому не может достаточно адекватно отобразить динамики развития математического знания.
Разумеется, ни аксиоматический метод, ни структурный подход при правильном их истолковании не приводят
ни к статической, ни к кумулятивной точке зрения на математическое знание. Развитие математики как и любой
другой науки не сводится к простому накоплению информации. Эта информация приводит к пересмотру сложившихся понятий и теорий и к выдвижению новых, более
широких точек зрения и идей, к замене старых теорий новыми, их модификации и уточнению.
Чтобы иметь правильную перспективу относительно
развития математического знания, мы должны с самого
начала признать, что математические структуры не остаются неизменными как по числу, так и в особенности по
содержанию. С развитием математики выявляются новые
виды структур, отображающих некоторые иные аспекты
математических понятий и теорий. Однако гораздо более
важным является обнаружение структур, выражающих
такие глубокие и существенные черты математических
теории, благодаря которым прежние основные структуры
оказываются частными случаями новой, более, абстрактной
и общей структуры. К их числу можно отнести открытую
алгебраистами структуру, которая получила название ка254
тегории, и считающуюся в настоящее время предельно
общим понятием математики. Поэтому в наши дни иногда
пытаются дать глобальное определение математике как
науке, которая занимается «исследованием различных категорий» 23 . Более подробно об алгебраической теории категорий мы будем говорить в следующем параграфе,
а теперь обратимся к общей оценке структурного подхода
в математике.
1. Понятия и методы теории структур значительно облегчают и упрощают процесс применения математики в
других науках, технике и практической деятельности.
Действительно, располагая соответствующими структурами, ученый или практик может ограничиться только проверкой того, удовлетворяют ли исследуемые им предметы
аксиомам рассматриваемой структуры. Вся дальнейшая
работа по выводу следствий из них становится ненужной,
так как он сразу же может воспользоваться всеми теоремами, полученными при математическом исследовании
структуры. Таким образом, структуры можно сравнить с
готовыми орудиями, которые можно использовать при
изучении самых разнообразных явлений и процессов. Нередко техника структур уподобляется индустриальной
массовой продукции с соответствующим единообразием в
продукте. Если стандартные абстрактные схемы скрываются за различными данными, подчеркивает известный
американский ученый Е. Т. Белл, то абстрактная переформулировка проблемы укажет типы машинерии, которая может быть применена к данному индивидуальному
случаю, но в стандартной схеме 24 .
Такая стандартизация, связанная с использованием
существующих абстрактных структур, не только облегчает, по и расширяет область применения математических
методов в разнообразных отраслях человеческой деятельности. Без нее была бы невозможна та все усиливающаяся
тенденция проникновения новых идей и теорий математики в современную науку, которая справедливо получила
название математизации научного знания и которая представляет одну из характерных примет современной научно25
технической революции .
23
24
25
Fang J. B o u r b a k i . T o w a r d s a p h i l o s o p h y of m a t h e m a t i c s . P a i d e a ,
1970, p . 1 3 .
Cм.: Bell E.T. D e v e l o p m e n t of m a t h e m a t i c s . N. Y., 1945, p. 544—545.
См. п о д р о б н е е в к н . : Рузавин Г. И. М а т е м а т и з а ц и я н а у ч н о г о
з н а н и я . М., 1977, с. 7—14, 3 6 — 4 4 .
255
Абстрактные структуры с успехом могут быть использованы как математические модели (или по крайней мере
как части таких моделей), с помощью которых возможно
выявить не только численные (метрические) зависимости
между свойствами и отношениями исследуемых процессов, но и отношения неметрические. Изучение таких неметрических отношений имеет существенное значение для
тех наук, где в силу сложности предмета или неразработанности теории пока невозможно представить результаты
исследования численным путем и поэтому приходится ограничиваться сравнительными понятиями. Именно на этой
стадии исследования весьма эффективным оказывается
использование понятий и методов структур порядка.
Нередко для выявления различных типов отношений,
существующих между индивидуумами и группами в социальных и других коллективах, психологи и социологи
начинают применять теорию ориентированных графов, которая представляет простейший тип алгебраической категории. По-видимому, наибольшие успехи в математизации
таких наук, как биология, психология, экономика и другие социальные науки, следует ожидать скорее всего по
линии использования новейших неметрических методов, и
в частности идей и теорий абстрактных структур.
2. С точки зрения концепции абстрактных структур
как основных форм организации математического знания
становится возможным понять взаимосвязь и единство
этого знания. Громадный поток новых открытий в математике, обобщение ее понятий и методов привели к
такой дифференциации ее дисциплин, разделов и направлений, что возникала реальная угроза потери общности
ее предмета и метода. Другими словами, с расширением и
ростом метаматематического знания, накоплением новой
информации все отчетливее выступала тенденция к превращению математики в ряд автономных дисциплин. Благодаря аксиоматическому методу и основанной на ней
теории абстрактных структур удалось выявить противоположную интегративную тенденцию, «которая упрочила
единство ее различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным
целым, чем когда бы то ни было» 26 .
Раскрывая глубокие внутренние связи между теориями, казавшимися раньше весьма далекими друг от друга,
26
Бурбаки. Н. Очерки по истории математики, с. 247.
256
структурный подход способствует обнаружению единства
между ними, выделяя наиболее существенные идеи, лежащие в их основе и формулируя их с помощью аксиом.
3. Принцип иерархии абстрактных структур дает возможность по-новому подойти к классификации математических теорий. Если раньше за основу такой классификации выбирались какие-либо внешние особенности теорий, то теперь в качестве упорядочивающего принципа
выступает идея иерархии структур, идущих от простого
к сложному, от общего к частному. Благодаря этому
становится возможным перейти от простой координации
знания, т. е. расположения рядом друг с другом теорий,
которые имеют лишь внешнее сходство, к подлинной их
субординации, которая вскрывает глубокую внутреннюю
связь между теориями и показывает, как одни теории
могут быть получены из других. Так, например, если
проводить классификацию теорий по степени их общности, то очевидно, что структура теории групп имеет менее общий характер, чем теории алгебраического поля,
так как последняя характеризуется двумя «законами композиции», в то время как первая лишь одним законом.
В свою очередь, добавляя к основным аксиомам, характеризующим структуру группы, дополнительные, можно
получать более частные, специальные теории групп. Например, если исходная алгебраическая операция будет
удовлетворять условию коммутативности, то полученная
группа будет называться коммутативной, или абелевой.
Если число элементов в такой группе конечно, то рассматриваемая теория конечных абелевых групп будет
иметь еще более частный характер. Разумеется, такой
переход от общих теорий к частным, совершающийся за
счет спецификации аксиом, лежащих в основе структуры,
дает возможность классифицировать сравнительно небольшое количество математических теорий.
Главную же роль при классификации будет играть
переход от простого к сложному, который осуществляется в результате синтеза нескольких основных, или порождающих, структур. Так, например, объединяя структуры, определяемые одним или несколькими «законами
композиции» и одной топологией, мы получим топологическую алгебру, в которой алгебраические операции являются непрерывными функциями элементов, над которыми они производятся. С другой стороны, если элементы
некоторой топологической структуры подчиняются опреде9 Г. и. Рузавин
257
ленным алгебраическим операциям, то полученная структура будет представлять алгебраическую топологию. Путем дальнейшей спецификации могут быть получены другие теории математики. Однако самое главное при таком
подходе состоит в том, что теории, которые раньше считались совершенно автономными, теряют былую самостоятельность и оказываются по существу синтезом основных, или порождающих, структур.
4. Наконец, идея об абстрактных математических
структурах и аксиоматическом методе служит одной из
исходных предпосылок современного структурализма.
Хотя выявление конкретных связей между элементами
той или иной специфической структуры в различных областях науки и культуры, несомненно, составляет задачу
специального исследования, точная их формулировка
обычно достигается с помощью определенных математических структур. Так, например, в структурной этнологии К. Леви-Стросс широко использует методы теории
групп, в частности групп симметричных и асимметричных перестановок, чтобы определить характер обмена
имуществом или брачными партнерами между составными компонентами устойчивых социальных целостностей 27.
В последние годы большое внимание стало уделяться
также критике традиционной рационалистической философии, уходящей своими корнями в системы Платона и
Аристотеля. Эта философия оказалась бессильной перед
лицом новых открытий в математике, таких, как неевклидовые геометрии и абстрактные математические пространства, различные алгебры с любым конечноместным
числом операций и т. п. По мнению Н. Мулуда, структурная математика представляет интерес для теории познания благодаря именно пересмотру и обновлению по28
стулатов рационального мышления . Конечно, мы вряд
ли можем согласиться с утверждением Мулуда, что в
структурной форме математика «демонстрирует возможности открытой и динамичной системы априорных утверждений» 29 , но, безусловно, современные исследования
в области абстрактных структур проливают новый свет
на многие проблемы методологии не только формальных,
но и достаточно развитых эмпирических наук, где широ27
28
29
См.: Myлуд Н. С о в р е м е н н ы й с т р у к т у р а л и з м : Р а з м ы ш л е н и я
м е т о д е и ф и л о с о ф и и т о ч н ы х н а у к . М., 1973, с. 32.
Т а м ж е , с. 49.
Т а м ж е , с. 37.
258
о
ко используются логико-математические методы познания.
Во избежание недоразумений мы должны с самого
начала отметить существенно разный подход к понятию
структуры со стороны математика и специалиста в области естественных или общественных наук. Для математика структура выступает в своей абстрактной форме как
определенная система отношений, конкретное содержание
которых несущественно для целей его исследования.
Именно поэтому здесь все внимание концентрируется на
изучении самих отношений как таковых, вне зависимости
от качественной природы объектов, между которыми существуют эти отношения. Для специалиста конкретной
науки гораздо важнее вскрыть специфический характер
именно этих связей и отношений, поскольку он может
для точной формулировки открытых им соотношений воспользоваться всем арсеналом средств, методов и теорий,
которыми располагает современная математика.
Конечно, такое противопоставление двух разных подходов имеет весьма относительный характер, так как в
реальном процессе научного познания формальные и содержательные аспекты, количественные и качественные
методы исследования выступают во взаимодействии. Поэтому абстрактный структурный подход математики в конечном итоге отнюдь не отрицает, а лишь дополняет конкретный, качественный анализ реальных структур, изучаемых естествознанием и социальными науками.