ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА кинематика точки

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
кинематика точки
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2013 г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
1 / 14
Пространство и время
Абсолютное пространство представляет собой трехмерное, однородное и изотропное неподвижное евклидово пространство.
Абсолютное время считается непрерывно изменяющейся величиной, оно течёт
от прошлого к будущему. Время однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.
Для удобства исследования геометрического характера движения в кинематике можно взять вполне определённое твёрдое тело, т. е. тело, форма которого
неизменна, и условится считать его неподвижным. Движение других тел по отношению к этому телу будем в кинематике называть абсолютным движением. В
качестве неподвижного тела отсчёта обычно выбирают систему трёх не лежащих
в одной плоскости осей, называемую системой отсчёта, которая по определению считается неподвижной (абсолютной) системой отсчёта или неподвижной
(абсолютной) системой координат. За единицу измерения времени принемается
секунда: 1 с = 1/86400 сут.
За единицу длины принимается, например 1 м, 1 см и т. п.
Основные кинематические характеристики движения: положение, скорость,
ускорение.
Момент времени однозначно определяется соответствующим числом t, числом
секунд, прошедшим между начальным и рассматриваемым моментом: −∞ < t <
+∞.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
2 / 14
Материальная точка. Механическая система.
Под материальной точкой понимается частица материи, достаточно малая
для того, чтобы её положение и движение можно было определить как объекта,
не имеющего размеров.
Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется её траекторией.
Если при t1 < t < t2 траектория — прямая линия, то движение точки прямолинейное, в противном случае криволинейное.
Механической системой, или системой материальных точек, или, для краткости, просто системой мы будем называть выделенную каким-либо образом совокупность материальных точек.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
3 / 14
Задачи кинематики
Задать движение точки (системы) — значит дать способ определения положения точки (всех точек, образующих систему) в любой момент времени.
Задачи кинематики состоят в разработке способов задания движения и методов определения скорости, ускорения и других кинематических величин точек,
составляющих механическую систему.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
4 / 14
Векторный способ задания движения
Радиус-вектор r движущейся точки P относительно O можно задать как векторфункцию времени:
r = r(t).
Производная от r
v=
dr
dt
называется скоростью точки P .
Производная от v
w=
dv
d2 r
= 2
dt
dt
называется ускорением точки P .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
5 / 14
Координатный способ задания движения
В ДПСК радиус-вектор r может быть задан тремя скалярными функциями
x(t), y(t), z(t) — координатами точки P :
r = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
Для скорости имеем выражение
dr
v(t) =
= vx i + vy j + vz k,
dt
где vx = ẋ, vy = ẏ, vz = ż – проекции скорости v на оси координат.
Величина скорости v и её направление определяются равенствами
p
v = |v| = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ,
ẏ
ż
ẋ
cos(v, i) = , cos(v, j) = , cos(v, k) = .
v
v
v
Аналогично для ускорения получаем
dv
w(t) =
= wx i + wy j + wz k,
dt
где wx = ẍ, wy = ÿ, wz = z̈ — проекции скорости w на оси координат.
Величина скорости w и её направление определяются равенствами
p
w = |w| = ẍ2 + ÿ 2 + z̈ 2 ,
ẋ
ẏ
ż
cos(w, i) = , cos(w, j) = , cos(w, k) = .
w
w
w
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
6 / 14
Естественный способ задания движения I
Радиус-вектор r движущейся точки P относительно какой-либо фиксированной точки O1 будет сложной функцией времени:
r = r(σ(t)).
Известно, что
τ (σ) =
dr
,
dσ
dτ
1
= n(σ).
dσ
ρ
Тогда, для скорости и ускорения, получаем
v=
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
dr dσ
dr
=
= vτ τ ,
dt
dσ dt
2013 г.
7 / 14
Естественный способ задания движения II
w=
dv
dvτ
d2 σ
v2
dτ dσ
=
τ + vτ
= 2 τ + τ n = wτ + wn .
dt
dt
dσ dt
dt
ρ
Следствие. Ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости.
Если w = 0, то движение точки называется равномерным;
Так как v 2 = vτ2 = σ̇ 2 , то dv 2 /dt = 2σ̇σ̈. Движение будет ускоренным, если
знаки величин σ̇ и σ̈ одинаковы, и замедленным, если их знаки
противоположны;
Если на интервале времени t1 < t < t2 σ̈ = 0, то на этом интервале движение
равномерное.
Если на каком-то интервале wn = 0, а v 6= 0, то на этом интервале движение
прямолинейное (ρ = ∞).
Замечание. Если вместо одной ДПСК возьмём другую ДПСК, неподвижную
относительно первой, то изменится векторное уравнение r = r(t) движения точки
P , но скорость и ускорение не изменятся.
Упражнение. Используя теорему Гюйгенса, определить радиус кривизны эллипса
x2
y2
+ 2 =1
2
a
b
в произвольной его точке.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
8 / 14
Круговое движение
σ = Rϕ
⇒
v = Rϕ̇τ , wτ = Rϕ̈τ , wn =
v2
n = ϕ̇2 Rn.
ρ
Величины ϕ̇ и ϕ̈ называют соответственно угловой скоростью и угловым ускорением радиуса OP . Тогда
w=
p
wτ2 + wn2 = R
p
ε2 + ω 4 , tan β =
|ε|
wτ
= 2.
wn
ω
При равномерном круговом движении ε = 0 и β = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
9 / 14
Скорость и ускорение точки в полярных координатах
Пусть заданы функции r = r(t) и ϕ = ϕ(t). Найдём скорость и ускорение точки
P.
Единичные векторы er и eϕ задают направления двух взаимно перпендикулярных осей: радиальной и трансверсальной соответственно.
er = (cos ϕ, sin ϕ)0 , eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ)0 .
v = (ẋ, ẏ)0 = (ṙ cos ϕ − r ϕ̇ sin ϕ, ṙ sin ϕ + r ϕ̇ cos ϕ)0 ,
w = (ẍ, ÿ) = ((r̈ − r ϕ̇2 ) cos ϕ − (r ϕ̈ + 2ṙ ϕ̇) sin ϕ, (r̈ − r ϕ̇2 ) sin ϕ + (r ϕ̈ + 2ṙ ϕ̇) cos ϕ)0 .
Для проекций скорости и ускорения имеем
0
vr = (v · er ) = ṙ,
2
wr = r̈ − r ϕ̇ ,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
vϕ = (v · eϕ ) = r ϕ̇;
wϕ = r ϕ̈ + 2ṙ ϕ̇.
2013 г.
10 / 14
Криволинейные координаты I
Связь между декартовыми и криволинейными координатами задаётся равенством
r = r(q1 , q2 , q3 ) = xi + yj + zk,
где x, y, z — функции q1 , q2 , q3 , которые считаем дважды непрерывно дифференцируемыми.
r = r(q1 (t), q2 (t), q3 (t)).
Первой координатной линией, проходящей через P0 с координатами q10 , q20 , q30 ,
называется кривая r = r(q1 , q20 , q30 ). Аналогично определяются вторая и третья координатные линии. Касательную к i-ой координатной линии в точке P0
называют i-ой координатной осью, проходящей через P0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
11 / 14
Криволинейные координаты II
Единичный вектор i-й координатной оси может быть записан в виде
∂r
∂x
∂y
∂z
1 ∂r
,
=
i+
j+
k,
Hi ∂qi
∂qi
∂qi
∂qi
∂qi
s
2 2 2
∂r ∂x
∂y
∂z
Hi = +
+
.
=
∂qi ∂qi
∂qi
∂qi
ei =
Здесь производные вычисляются в точке P0 . Величины Hi называют коэффициентами Ламе.
Если векторы e1 , e2 , e3 взаимно ортогональны, то криволинейные координаты
называют ортогональными.
Найдём проекции vqi и wqi (i = 1, 2, 3) скорости v и w точки P на оси криволинейной системы координат.
v=
dr
∂r
∂r
∂r
q̇1 +
q̇2 +
q̇3 = vq1 e1 + vq2 e2 + vq3 e3 ,
=
dt
∂q1
∂q2
∂q3
где vqi вычисляются по формулам
vqi = Hi q̇i
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(i = 1, 2, 3).
2013 г.
12 / 14
Криволинейные координаты III
wqi =
dv
1
· ei =
dt
Hi
d
dt
∂r
∂qi
dv ∂r
·
dt ∂qi
=
=
1
Hi
d
dt
v·
∂r
∂qi
−v·
d
dt
∂r
∂qi
.
∂2r
∂2r
∂2r
q̇1 +
q̇2 +
q̇3 ,
∂qi ∂q1
∂qi ∂q2
∂qi ∂q3
∂v
∂2r
∂2r
∂2r
=
q̇1 +
q̇2 +
q̇3 .
∂qi
∂q1 ∂qi
∂q2 ∂qi
∂q3 ∂qi
r — дважды непрерывно дифференцируемая функция от q1 , q2 , q3 , тогда можно
менять порядок дифференцирования по qk (k = 1, 2, 3) и qi . Поэтому
∂v
∂r
d
=
.
dt ∂qi
∂qi
Кроме того, справедливо равенство
∂r
∂v
=
.
∂qi
∂ q̇i
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
13 / 14
Криволинейные координаты IV
Тогда
wqi =
1
Hi
∂v
∂ q̇i
d ∂T
∂T
−
dt ∂ q̇i
∂qi
d
dt
v·
−v·
∂v
∂qi
.
Пусть T = v 2 /2, тогда
wqi =
1
Hi
(i = 1, 2, 3).
Упражнение. Найдите скорость и ускорение точки в цилиндрической
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z=z
и сферической
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ
системах криволинейных координат.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
14 / 14