КЕНГУРУ 2012

Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija
Kengūros konkurso organizavimo komitetas
VU Matematikos ir informatikos fakultetas
VU Matematikos ir informatikos institutas
Leidykla TEV
КЕНГУРУ 2012
Непоседа
1 и 2 классы
Продолжительность работы 50 минут
Пользоваться калькуляторами запрещается
Задачи, оцениваемые в 3 очка
1. Сколько животных вы здесь
видите?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
2. Который кусок подходит к пустому месту?
A)
B)
C)
D)
E)
3. Сколько ног у всех их вместе?
A) 5 B) 10 C) 12 D) 14 E) 20
4. Лена трижды написала слово МАТЕМАТИКА. Сколько раз ей пришлось написать букву А?
A) 3 B) 12 C) 6 D) 9 E) 10
5. Лука на полоске бумаги все в том же порядке приклеивает четыре
различные наклейки.
Которую наклейку Лука приклеит на десятом месте?
A)
B)
C)
D)
6. Какое число покрывает цветок?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Задачи, оцениваемые в 4 очка
7. Которая из начерченных линий самая длинная?
A) A B) B C) C D) D E) E
E)
8. Бабушка испекла 11 булочек. Из них 6 были с изюмом, а 7 – с медом.
Сколько булочек заведомо было как с изюмом, так и с медом?
A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 11
9. Тринадцать детей играют в прятки. Один из них ищет. Через несколько минут он нашел 9 детей. Сколько ребят еще прячутся?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 9 E) 22
10. Папа во дворе вывешивает белье на веревке. Он хочет исползовать как можно
меньше прищепок. Для трех полотенец
ему понадобились 4 прищепки. Сколько прищепок ему понадобится для девяти полотенец?
A) 9 B) 10 C) 12 D) 8 E) 18
11. Сегодня Беата сложила свой возраст с возрастом своей сестры и получила сумму 10. Какова будет сумма их возрастов через год?
A) 5 B) 10 C) 11 D) 12
E) 20
12. Часы показывают время, когда Степа уходит из школы домой. Обед
в школе начинается на 3 часа раньше.
В котором часу начинается обед?
A) 17 B) 16 C) 12 D) 11
E) 10
Задачи, оцениваемые в 5 очков
13. В сказочном цветнике росли 3 удивительных цветка. Всякий раз, когда цветок срывают, на его месте сразу же вырастают три новых цветка. Садовник сорвал один цветок, а через некоторое время – еще один
цветок. Сколько таких цветков в цветнике теперь?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
14. На игральной доске расположено 10 монет. Сколько монет требуется удалить, чтобы в каждом столбце и в каждом ряду остались 2 монеты?
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
15. В большой коробке лежат 3 коробки, каждая из которых содержит 3
маленьких коробки. Сколько всего имеется коробок?
A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15
16. Сколько из фигур
можно сложить, используя две одинаковые фигурки, имеющие форму
?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
17. Вася купил 4 пироженых, а Петя купил 6 кексов. Каждый из них потратил столько же денег. Все сладости вместе стоили 24 доллара. Сколько
долларов стоит 1 кекс?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12
18. Воробей Неробей прыгает на заборе с одного кола на другой. Каждый
прыжок занимает 1 секунду. После 4 прыжков вперед он делает 1
прыжок назад, потом снова 4 прыжка вперед, один прыжок назад и
т.д. За сколько секунд Неробей от СТАРТА допрыгает до ФИНИША?
Ф
И
Н
И
Ш
С
Т
А
Р
Т
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13
E) 14
© Kengūros konkurso organizavimo komitetas
© TEV, 2012
Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija
Kengūros konkurso organizavimo komitetas
VU Matematikos ir informatikos fakultetas
VU Matematikos ir informatikos institutas
Leidykla TEV
КЕНГУРУ 2012
Продолжительность работы 75 минут
Пользоваться калькуляторами запрещается
Малыш
3 и 4 классы
Задачи, оцениваемые в 3 очка
1. Валя хочет записать на листе бумаги слово МАТЕМАТИКА так, чтобы
разные буквы были записаны фломастерами разного цвета. Сколько всего
фломастеров разного цвета ей понадобится?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
2. Ровно на четырех из следующих пяти фигур ровно половина фигуры белая,
а другая половина черная. У какой фигуры белая и черная части не равны?
A)
B)
C)
D)
E)
3. Мама вешает на веревку белье для сушки,
закрепляя каждый предмет двумя прищепками. При этом она хочет использовать как
можно меньше прищепок. 3 предмета она
может закрепить с помощью всего 4 прищепок, как показано на рисунке. Сколько
прищепок понадобится маме, чтобы так же
закрепить 9 предметов?
A) 9 B) 10 C) 12 D) 8 E) 18
4. В каком из следующих квадратов черными являются
клетки A2, B1, B2, B3, B4, C3, D3 и D4?
A)
1
2
3
4
A B CD
B)
1
2
3
4
A B CD
C)
1
2
3
4
A B CD
D)
1
2
3
4
A B CD
1
2
3
4
E)
1
2
3
4
A B CD
A B CD
5. 13 детей играют в прятки. Один из игроков водит, т.е. ищет остальных,
спрятавшихся, и 9 из них уже нашел. Сколько детей еще остается найти?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 22
6. Майк и Жак играют в дартс. Каждый из них бросил в мишень по 3 дротика
так, как показано на рисунке. Кто выиграл и на сколько очков опередил
проигравшего?
A) Майк, на 3 очка
B) Жак, на 4 очка
C) Майк, на 2 очка
D) Жак, на 2 очка
E) Майк, на 4 очка
Майк
Жак
7. Прямоугольная стена в ванной была покрыта
плитками двух видов, серыми и полосатыми
так, что получилась мозаика, в которой никакие две одинаковые плитки не соприкасались
по стороне. Но несколько плиток отвалилось,
как показано на рисунке. Сколько среди них
оказалось серых плиток?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
8. 2012 год является високосным. Это значит, что в феврале этого года 29
дней. Сегодня, 15 марта 2012 г., утятам, которых разводит мой дедушка,
исполнилось 20 дней. В какой день они вылупились из яиц?
A) 19 февраля B) 21 февраля C) 23 февраля D) 24 февраля E) 26 февраля
Задачи, оцениваемые в 4 очка
9. У Ани много плиток вида
. Сколько из
изображенных справа фигур она может получить, приложив две такие плитки друг к другу?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
10. Три мяча стоят на 12 евро больше, чем один мяч. Сколько евро стоит один
мяч?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
11. Бабушка испекла для своих внуков 20 пирожков. 15 из них она начинила
изюмом, и 15 –– орехами. Какое наименьшее количество пирожков могло
оказаться и с изюмом, и с орехами?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10
12. В каждой клетке таблицы 4 × 4 Петя записал сумму, раз1◊3
1◊1
ность или произведение каких-то двух чисел (некоторые
6–3
6–5
из них см. на рис.). Затем он заменил все выражения их
значениями. Получилось так, что в каждой строчке и ка- 4 – 1 1 + 3
ждом столбце встречаются ровно по одному разу каждое
из чисел 1, 2, 3, 4. Какое число оказалось в черной клетке? 9 – 7
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1 или 2
13. Среди одноклассников Коли девочек в 2 раза больше, чем мальчиков. Какое из следующих чисел может быть числом всех школьников этого класса?
A) 30 B) 20 C) 24 D) 25 E) 29
14. В школе для животных учатся 3 котенка, 4 утенка, 2 гусенка и несколько
ягнят. Учительница Сова подсчитала, что у всех ее учеников вместе 44 ноги.
Сколько ягнят учатся в этой школе?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
15. Среди 496 штук фруктов (груши, яблоки, мандарины и сливы) груш было
в три раза меньше, чем яблок; яблок было в 5 раз меньше, чем мандаринов;
мандаринов было в 7 раз меньше, чем слив. Сколько было слив?
A) 350 B) 315 C) 455 D) 385 E) 420
16. На игральной доске расположено 10 монет. Сколько монет требуется удалить, чтобы в каждом столбце
и в каждом ряду остались 2 монеты?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Задачи, оцениваемые в 5 очков
..
17. Кузнечик хочет подняться по лестнице, состоящей из
3.
большого количества ступенек. Но он может делать
2
прыжки только двух видов: либо на 3 ступеньки вверх,
1
либо на 4 ступеньки вниз. За какое наименьшее число
прыжков кузнечик может оказаться на 22 ступеньке,
Пол
если в начальном положении он находится на полу перед первой ступенькой (см. рис.)?
A) 7 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15
18. Федя построил из домино «змею». Он выкладывал плитки домино одна
за другой так, чтобы соседние плитки соприкасались сторонами клеток с
одинаковым числом точек. Но его брат Жора убрал две плитки домино
(см. рис.). Число точек на всех плитках домино было равно 33. Сколько
точек было на клетке, отмеченной знаком «?»?
?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
19. Гриша составил из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6 два трехзначных числа так, что каждая из этих цифр была использована только один раз и только у одного из
чисел. Какое наибольшее значение могла иметь сумма двух составленных
чисел?
A) 975 B) 999 C) 1083 D) 1173 E) 1221
20. Лена, Валя, Ира и Катя хотят сфотографироваться вместе. Катя и Лена
являются близкими подругами, и поэтому хотят быть на снимке рядом.
Ире нравится Лена, и поэтому Ира хочет стоять рядом с Леной. Сколько
всего существует способов расставить девочек в ряд для съемки, чтобы все
их пожелания были выполнены?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
21. Часы имеют 3 стрелки, но неизвестно, какая из них часовая, какая минутная и какая секундная. Часы идут
точно, и в 12:55:30 стрелки располагались так, как показано на рисунке справа. Как будут располагаться
стрелки этих часов в 8:11:00?
A)
B)
C)
D)
E)
22. Миша задумал некоторое целое число. Затем он умножил его на себя, прибавил 1, умножил результат на 10, прибавил 3 и умножил результат на 4.
У него получилось число 2012. Какое число задумал Миша?
A) 11 B) 9 C) 8 D) 7 E) 5
23. Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 192 мм × 84 мм. Его разрезали
на два прямоугольника так, что один из них оказался квадратом. Затем
неквадратный лист снова разрезали таким же образом, и так разрезали до
тех пор, пока после очередного разрезания не получились два одинаковых
квадрата. Какова длина стороны этих двух квадратов?
A) 1 мм B) 4 мм C) 6 мм D) 10 мм E) 12 мм
24. В футболе победитель матча получает 3 очка, проигравший –– 0 очков.
Если матч заканчивается вничью, то обе команды получают по 1 очку.
Команда сыграла 38 матчей и набрала в общей сложности 80 очков. Какое
наибольшее количество матчей она могла проиграть?
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
© Kengūros konkurso organizavimo komitetas
© TEV, 2012
Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija
Kengūros konkurso organizavimo komitetas
VU Matematikos ir informatikos fakultetas
VU Matematikos ir informatikos institutas
Leidykla TEV
КЕНГУРУ 2012
Продолжительность работы 75 минут
Пользоваться калькуляторами запрещается
Баловник
5 и 6 классы
Задачи, оцениваемые в 3 очка
1. Вася написал лозунг ВИВАТ КЕНГУРУ. Разные буквы он писал красками разного цвета, а
одинаковые буквы –– одинакового цвета. Сколько всего красок ему понадобилось?
A) 8 B) 7 C) 10 D) 9 E) 13
6м
2. Доска в классе имеет ширину 6 метров и состоит из трех
частей (см.рис.). Ширина центральной части равна 3 метра.
Найдите ширину правой части доски, если известно, что она
равна левой части?
A) 1 м B) 1,25 м C) 1,5 м D) 1,75 м E) 2 м
?
3м
?
3. Света может поместить внутрь квадрата построенного из 4-х спичек 4 монеты
так, что они касаются друг друга и сторон квадрата, как показано на рисунке.
Какое наименьшее число спичек ей необходимо, чтобы построить квадрат, в
который можно поместить без наложения друг на друга 16 монет?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16
4. В самолете сиденья расположены рядами, которые пронумерованы числами от 1 до 25. Но
ряд с номером 13 отсутствует. В последнем ряду 4 сиденья, а во всех остальных рядах по 6
сидений. Сколько всего сидений в самолете?
A) 120 B) 138 C) 142 D) 144 E) 150
5. Когда в Лондоне 4 часа после полудня, в Мадриде 5 часов после полудня, а в Сан-Франциско
8 часов утра того же дня. Энни, проживающая в Сан-Франциско, легла спать вчера в 9 вечера.
Какое время в этот момент было в Мадриде?
A) 6 ч вчерашнего утра B) 6 ч вчерашнего вечера C) 12 ч вчерашнего дня
D) 12 ч вчерашней ночи E) 6 ч сегодняшнего утра
6. На рис. справа показана мозаика, состоящая из правильных 6-угольников.
Какой рисунок мы получим, если соединим отрезками центры всех соседних
6-угольников?
A)
B)
C)
D)
E)
7. Если к числу 6 прибавить 3, затем результат умножить на 2 и прибавить 1, то получится:
A) (6 + 3 · 2) + 1 B) 6 + 3 · 2 + 1 C) (6 + 3) · (2 + 1) D) (6 + 3) · 2 + 1 E) 6 + 3 · (2 + 1)
8. Верхняя монета катится без скольжения вокруг неподвижной нижней монеты до указанного на рисунке положения. Какой результат
получится?
A)
E)
B)
C)
D)
Зависит от скорости вращения.
9. Один воздушный шар может поднять корзину с максимальным
грузом, весящим 80 кг. Два таких же шара могут поднять такую же корзину с максимальным грузом 180 кг. Сколько весит
корзина?
A) 10 кг B) 20 кг C) 30 кг D) 40 кг E) 50 кг
10. Бабушка дала Вале и Мише корзину с грушами и яблоками, в
общей сложности их было 25 штук. По дороге домой Валя съела
1 яблоко и 3 груши, а Миша съел 3 яблока и 2 груши. Придя
домой, дети обнаружили, что груш и яблок в корзине осталось
поровну. Сколько всего груш они получили от бабушки?
A) 12 B) 13 C) 16 D) 20 E) 21
Задачи, оцениваемые в 4 очка
80 кг
180 кг
11. Какие из следующих пронумерованных пластинок пазла следует добавить к фигуре на рисунке, чтобы получился квадрат?
1
2
3
4
5
6
A) 1, 3, 4 B) 1, 3, 6 C) 2, 3, 5 D) 2, 3, 6 E) 2, 5, 6
12. У Лизы есть 8 кубиков с буквами A, B, C и D на гранях. У
каждого кубика на всех гранях записана одна и та же буква.
Лиза сложила из кубиков блок так, что кубики соприкасаются
гранями с разными буквами. Какая буква записана на гранях
кубика, который не виден на данном рисунке?
A) A B) B C) C D) D E) E
13. В Стране Чудес 5 городов. Любые два города соединены дорогой: видимой или невидимой. На следующей карте показаны
только видимые дороги. Сколько дорог увидит Алиса, если
посмотрит на карту через волшебное стекло, с помощью которого можно видеть только все невидимые дороги?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 3 E) 2
14. Рената записала натуральные числа фломастерами трех цветов: 1 – красным, 2 – синим, 3 –
зеленым, 4 – снова красным, 5 – синим, 6 – зеленым и так далее. Затем она сложила какое-то
красное число с каким-то синим. Какого цвета мог оказаться полученный ею результат?
A) Невозможно определить B) Красного или синего C) Только зеленого
D) Только красного E) Только синего
15. Фигура на рисунке справа построена из одинаковых квадратов. Ее
периметр равен 42 см. Чему равна площадь этой фигуры?
A) 8 см2 B) 9 см2 C) 24 см2 D) 72 см2 E) 128 см2
16. На рисунке справа показаны две фигуры, каждая состоит из
тех же пяти частей. Одна из частей – прямоугольник 5 см × 10 см,
остальные части – четверти двух различных кругов. Найдите
разность между периметрами этих фигур.
A) 10 см B) 15 см C) 20 см D) 25 см E) 30 см
17. Нужно вписать числа от 1 до 7 в кружочки на рисунке справа так, чтобы суммы трех чисел на каждой из пяти указанных
прямых были одинаковы. Какое число должно быть вписано в
верхнем кружочке?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
18. Резиновый мяч сброшен вертикально вниз с крыши здания, высотой 10 метров. После каждого удара о землю он подпрыгивает на 45 прежней высоты. Сколько раз мяч будет появляться
напротив окна, нижняя часть которого находится в 5 метрах, а верхняя в 6 метрах от земли?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
19. 4 зубчатых колеса соединены последовательно так, как показано на рисунке, и вращаются на фиксированных осях. Первое
колесо имеет 30 зубьев, второе – 15, третье 60, а четвертое 10.
Сколько полных оборотов сделает четвертое колесо, после одного оборота первого колеса?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
20. Лист бумаги в форме правильного 8-угольника был согнут пополам три раза так, как
показано на рисунке. Затем был отрезан
кусок под прямым углом к указанной стороне полученного треугольника. Какой
вид после этого будет иметь лист бумаги
в развернутом виде?
A)
B)
C)
D)
E)
Задачи, оцениваемые в 5 очков
21. Уксусно-винно-водный маринад содержит уксус и вино в отношении 1 : 2, а вино и воду – в
отношении 3 : 1. Какое из следующих утверждений о маринаде верно?
A) Уксуса больше, чем вина
B) Вина больше, чем уксуса и воды вместе
C) Уксуса больше, чем вина и воды вместе
D) Воды больше, чем вина и уксуса вместе
E) Уксуса меньше как воды, так и вина
22. Прямоугольник ABCD разделен на 4 меньших прямоугольника (см. рисунок). Если периметр прямоугольника I равен 20,
а II равен 30, то тогда периметр исходного прямоугольника
ABCD равен
A) 10 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100
B
C
I
II
A
D
23. На вечеринке собралось 12 детей. Каждому из них 4, 6, 7, 8 или 9 лет (каждый из указанных
возрастов имеет хотя бы один участник вечеринки). Четверым было по 6 лет. Больше всего
детей имели возраст 8 лет. Чему равен средний возраст всех детей на вечеринке?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
24. Танго танцует мужчина в паре с женщиной. В танцевальной вечеринке принимало участие
не более 50 участников. В одно время 34 всех участвовавших мужчин танцевало с 45 участвовавших женщин. Сколько человек тогда танцевало?
A) 20 B) 24 C) 30 D) 32 E) 46
25. Кенгуру Вася хочет расположить числа от 1 до 12 по кругу так,
чтобы соседние числа отличались только на 1 или на 2. Какие из
следующих чисел обязаны быть соседними?
A) 5 и 6 B) 10 и 9 C) 6 и 7 D) 8 и 10 E) 4 и 3
26. Кенгуру Петя хочет разрезать прямоугольник 6 × 7 на квадраты с целыми сторонами. Какое
наименьшее число квадратов у него может получиться?
A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 42
27. Некоторые клетки таблицы 4 × 4 были окрашены в красный цвет. Число красных клеток для
каждой строчки и столбца было записано соответственно справа или внизу. Затем красные
клетки перекрасили в исходный цвет. Какой из следующих квадратов мог получиться?
A)
B)
C)
D)
E)
28. Квадратный кусок бумаги имеет площадь 64 см2 . Его согнули дважды, как показано на рисунке. Чему равна сумма
площадей двух серых прямоугольников?
A) 10 см2 B) 14 см2 C) 15 см2 D) 16 см2 E) 24 см2
29. Номер дома Ани состоит из 3 цифр. Если в нем убрать первую цифру, то получится номер
дома Бори. А если в номере дома Бори убрать первую цифру, то получится номер дома Васи.
Сумма этих трех номеров равна 912. Чему равна вторая цифра в номере дома Ани?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
30. Алла и Вася задумали два натуральных числа и сообщили их мне по секрету друг от друга.
Узнав эти числа, я объявил, что они последовательные, т.е. отличаются на 1. После этого
между Аллой и Васей состоялся такой разговор. Алла: «Я не знаю твое число». Боря: «Я
тоже не знаю твое число». Алла: «Тогда я знаю твое число, оно является делителем числа
20». Какое число задумала Алла?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
© Kengūros konkurso organizavimo komitetas
© TEV, 2012
Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija
Kengūros konkurso organizavimo komitetas
VU Matematikos ir informatikos fakultetas
VU Matematikos ir informatikos institutas
Leidykla TEV
КЕНГУРУ 2012
Продолжительность работы 75 минут
Пользоваться калькуляторами запрещается
Кадет
7 и 8 классы
Задачи, оцениваемые в 3 очка
1. Четыре плитки шоколада стоят на 6 евро больше, чем одна плитка. Сколько стоит
одна плитка шоколада?
A) 1 евро B) 2 евро C) 3 евро D) 4 евро E) 1,5 евро
2. 11,11 − 1,111 =
A) 9,009 B) 9,0909 C) 9,99 D) 9,999 E) 10
3. Часы лежат на столе циферблатом вверх так, что минутная стрелка направлена
строго на северо-восток. Через какое наименьшее число минут эта стрелка будет
направлена строго на северо-запад?
A) 45 B) 40 C) 30 D) 20 E) 15
4. У Маши есть 5 вырезанных из бумаги букв, которые изображены в вариантах ответа. Какую из этих букв можно разрезать по прямой так, чтобы она распалась на
наибольшее число кусков?
A)
B)
C)
D)
E)
5. У дракона 5 голов. Если срубить любую его голову, то на ее месте вырастает 5 новых
голов. Богатырь срубил у дракона 6 голов. Сколько голов у дракона в результате
стало?
A) 25 B) 28 C) 29 D) 30 E) 35
6. В каком из следующих выражений можно заменить все числа 8 любым другим ненулевым числом (одним и тем же) так, что значение выражения не изменится?
A) (8 + 8) : 8 + 8 B) 8 · (8 + 8) : 8 C) 8 + 8 − 8 + 8 D) (8 + 8 − 8) · 8 E) (8 + 8 − 8) : 8
7. Каждая из девяти дорожек в парке имеет длину 100 метров. Аня
B
гуляет по парку и хочет пройти из пункта A в пункт B (см. рис.),
не проходя ни по одной дорожке или части ее более одного раза.
Какой наибольшей длины может оказаться ее путь (в метрах)?
A
A) 900 B) 800 C) 700 D) 600 E) 400
8. На рисунке справа изображены два треугольника. Сколько существует способов выбрать одну вершину одного треугольника и одну вершину другого треугольника так, чтобы
прямая, проходящая через выбранные точки, не проходила
через внутренние точки ни одного из этих треугольников?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Более 4
9. Ваня согнул лист бумаги, как показано на рисунке
справа, а затем сделал два прямолинейных надреза
и отбросил вырезанные куски (или кусок). После
этого он развернул лист. Какой результат не мог у
него получиться?
A)
B)
C)
D)
E)
10. Из четырех фигур, окрашенных в разные цвета (каждая состоит из четырех
единичных кубиков) составили параллелепипед, показанный на рисунке
справа. Какую форму имеет белая фигура?
A)
B)
C)
D)
E)
Задачи, оцениваемые в 4 очка
11. Кенгуру Петя составляет два четырехзначных числа из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и
8, используя каждую из них по одному разу. Какое наименьше значение может
принимать сумма двух таких четырехзначных чисел?
A) 2468 B) 3333 C) 3825 D) 4734 E) 6918
12. Мистер Гарднер выращивает горох и клубнику. В
этом году он увеличил одну из сторон прямоугольного горохового участка на 3 метра так, что он стал
квадратным (см. рис.). В результате площадь прямоугольного клубничного участка уменьшилась на 15 м2.
Какова была площадь горохового участка в прошлом
году?
A) 5 м2 B) 9 м2 C) 10 м2 D) 15 м2 E) 18 м2
Прошлый
год
Горох
Этот год
Горох
Клубника
Клубника
10
130
13. Барбара хочет вписать по одному числу в пустые клетки диаграммы
так, чтобы сумма первых трех чисел диаграммы равнялась 100, сумма средних трех
чисел равнялась 200, а сумма последних трех чисел равнялась 300. Какое число
Барбара должна вписать в среднюю клетку диаграммы?
A) 50 B) 60 C) 70 D) 75 E) 100
14. Найдите значение x на рисунке справа.
A) 35◦ B) 42◦ C) 51◦ D) 65◦ E) 109◦
93∞
x∞
∞
100 58∞
15. На одной из сторон каждой из четырех карточек написано число, а на другой фраза.
Числа на карточках: 2, 5, 7 и 12, а фразы: «делится на 7», «простое», «нечетное» и
«больше 100». На каждой карточке утверждение не соответствует числу на обороте
данной карточки. Какое число написано на обороте карточки с фразой «больше
100»?
A) 2 B) 5 C) 7 D) 12 E) Невозможно определить
16. Три одинаковых равносторонних треугольника отрезали от большего равностороннего треугольника со стороной 6 см, как показано на рисунке. Сумма периметров отрезанных треугольников оказалась равна периметру полученного шестиугольника.
Чему равна длина стороны отрезанных треугольников?
A) 1 см B) 1,2 см C) 1,25 см D) 1,5 см E) 2 см
17. На столе лежало много кусков сыра. За день мыши утащили некоторое число кусков
сыра. Кот по кличке Математик, охранявший сыр и хорошо знавший всех мышей в
доме, подсчитал, что каждая мышь утащила менее 10 кусков, никакие две мыши не
утащили одинаковое число кусков, и ни одна мышь не унесла кусков ровно в 2 раза
больше, чем какая-то другая. Какое наибольшее число мышей могло участвовать в
краже сыра?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
18. Прямоугольник ABCD разделен на 5 одинаковых прямоугольников (см. рисунок), периметр каждого из которых равен 20 см.
Какова площадь прямоугольника ABCD?
A) 72 см2 B) 112 см2 C) 120 см2 D) 140 см2 E) 150 см2
D
C
A
B
19. Магический говорящий квадрат изначально имеет сторону длиной 8 см. Но когда
он говорит правду, то его сторона уменьшается на 2 см, а когда врет, его периметр
удваивается. В течение дня квадрат в каком-то порядке сделал 2 правдивых высказывания и 2 ложных. Какое наибольшее значение после этого может иметь его
периметр?
A) 28 см B) 80 см C) 88 см D) 112 см E) 120 см
20. Кубик катится по плоскости, перекатываясь каждый раз через
какое-нибудь ребро. Его нижняя грань занимала последовательно положения 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, как показано на рисунке
справа. Какие две из этих позиций занимала одна и та же грань?
1
A) 1 и 7 B) 1 и 6 C) 1 и 5 D) 2 и 7 E) 2 и 6
6
4
2
7
5
3
Задачи, оцениваемые в 5 очков
21. У Эрика 5 кубиков, среди которых нет одинаковых. Кубики можно расположить
на плоскости друг за другом так, что высоты любых двух соседних кубиков будут
отличаться на 2 см. Высота самого большого кубика равна высоте башни, построенной из двух наименьших кубиков, поставленных друг на друга. Какова высота
башни, построенной из всех пяти кубиков?
A) 6 см B) 14 см C) 22 см D) 44 см
E) 50 см
22. В квадрате ABCD точка M –– середина стороны AD, MN ⊥ AC
(см. рис.). Чему равно отношение площади треугольника MNC
к площади квадрата ABCD?
A) 1 : 6 B) 1 : 5 C) 7 : 36 D) 3 : 16 E) 7 : 40
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
D
C
M
N
A
B
3
На вечере танцев собралось не более 50 человек. В какой-то момент 4 мужчин
танцевали с 45 женщин. Сколько всего людей танцевало в этот момент?
A) 20 B) 24 C) 30 D) 32 E) 46
Дима хочет расставить по кругу числа от 1 до 12 так, чтобы любые два соседних
числа отличались либо на 2, либо на 3. Какие из следующих чисел должны стоять
рядом?
A) 5 и 8 B) 3 и 5 C) 7 и 9 D) 6 и 8 E) 4 и 6
Существуют трехзначные числа, обладающие следующим свойством. Если стереть
первую цифру такого числа, то получится число, которое является полным квадратом. Если стереть последнюю цифру, то также получится полный квадрат. Найдите
сумму всех трехзначных чисел, обладающих таким свойством.
A) 1013 B) 1177 C) 1465 D) 1993 E) 2016
Книга состоит из 30 рассказов, каждый из них начинается с новой страницы. Длины
рассказов: 1, 2, 3, . . . , 30 страниц. Первый рассказ начинается на первой странице.
Какое наибольшее число рассказов могут начинаться на нечетных страницах?
A) 15 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23
Равносторонний треугольник поворачивают вокруг его центра в одном направлении: первый раз на 3◦ , второй раз на 9◦ , третий раз на 27◦ и так далее, n-й раз на
(3n )◦ . Сколько всего различных положений, включая исходное, может занимать
треугольник после поворотов?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 360
Веревку сложили пополам, затем еще раз пополам и еще раз пополам. После этого
сложенную веревку разрезали так, что образовалось несколько кусков. Длины двух
из них –– 5 м и 9 м. Какая из следующих длин не может быть длиной всей веревки?
A) 52 м B) 68 м C) 72 м D) 88 м E) Все предыдущие длины возможны
Треугольник, периметр которого равен 19, разбит тремя отрезками на 4 треугольника и 3 четырехугольника (см. рис.). Сумма
периметров трех четырехугольников равна 25, а сумма периметров четырех треугольников равна 20. Найдите сумму длин отрезков, которыми разбит исходный треугольник на указанные
части.
A) 11 B) 12 C) 13 D) 15 E) 16
В таблицу 3 × 3 нужно вписать положительные числа так, чтобы произведение чисел в каждой строке и каждом столбце равнялось 1, а
произведение чисел в каждом квадрате 2 × 2 равнялось 2. Какое число
должно быть вписано в центральную клетку?
A) 16 B) 8 C) 4 D) 14 E) 18
© Kengūros konkurso organizavimo komitetas
© TEV, 2012
Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija
Kengūros konkurso organizavimo komitetas
VU Matematikos ir informatikos fakultetas
VU Matematikos ir informatikos institutas
Leidykla TEV
КЕНГУРУ 2012
Продолжительность работы 75 минут
Пользоваться калькуляторами запрещается
Юниор
9 и 10 классы
Задачи, оцениваемые в 3 очка
1. Из четырех фигур, окрашенных в разные цвета (каждая состоит из
четырех единичных кубиков) сложили параллелепипед, показанный
на рисунке. Какую форму имеет белая фигура?
A)
B)
C)
D)
E)
2. 11,11 − 1,111 =
A) 9,009 B) 9,0909 C) 9,99 D) 9,999 E) 10
3. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к
боковым сторонам, делят его на три треугольника и один
четырехугольник. Площади треугольников равны 3, 3 и
6. Найдите площадь четырехугольника.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
B
M
?
3
3
N
6
C
A
4. Если Эллис хочет послать секретное сообщение Бобу, она использует известный ему
шифр. Буквы алфавита Эллис заменяет числами: A = 1, B = 2, C = 3, . . . , Z = 26.
Затем она каждое число умножает на 2 и прибавляет 9. Этим утром Боб получил от
Эллис последовательность 25−19−45−38. Что означает эта шифровка?
A) HERO B) HELP C) HEAR D) HERS E) Эллис допустила ошибку
5. Сторона квадрата ABCD равна 4 см. Его площадь равна
E
C
площади треугольника ECD (см. рис.). Найдите расстояние
B
от точки E до
√
√ AB.
прямой
A) 8 см B) 4 + 2 3 см C) 12 см D) 10 2 см
A
D
E) Оно зависит от положения точки E
6. Сумма цифр семизначного числа равна 6. Чему ровно произведение цифр этого
числа?
A) 0 B) 6 C) 7 D) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7
E) 5
7. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Точки K, L и M –– середины
сторон этого треугольника. Найдите периметр треугольника KLM.
A) 10 см B) 12 см C) 15 см D) 20 см E) 24 см
8. В каких-то четырех из следующих выражений каждое число 8 можно заменить любым другим ненулевым числом (одним и тем же), и значение выражения при этом
не изменится. Какое из следующих выражений этим свойством не обладает?
A) (8 + 8 − 8) : 8 B) 8 + (8 : 8) − 8 C) 8 : (8 + 8 + 8) D) 8 − (8 : 8) + 8 E) 8 · (8 : 8) : 8
9. Две стороны четырехугольника равны 1 и 4, а одна из диагоналей равна 2. Она делит
данный четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Найдите периметр
данного четырехугольника.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
10. Оба числа 144 и 220 при делении на n имеют остаток 11. Чему равно n?
A) 7 B) 11 C) 15 D) 19 E) 38
Задачи, оцениваемые в 4 очка
11. Если Коля стоит на столе, а Миша –– на полу, то Коля на 80 см выше Миши. А если
Миша стоит на столе, а Коля –– на полу, то Миша выше Коли на 1 метр. Какова
высота стола?
A) 20 см B) 80 см C) 90 см D) 100 см E) 120 см
12. Денис и Маша по очереди бросают монету. Если выпадает орел, то (независимо от
того, кто бросал) выигрывает Маша, и Денис должен дать ей 3 конфеты. А если
выпадает решка, то выигрывает Денис, и Маша должна дать ему 2 конфеты. После
30 подбрасываний у каждого из них оказалось столько же конфет, как и до начала
игры. Сколько раз выиграла Маша?
A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30
6 cм
13. Шесть соприкасющихся шаров (диаметр каждого равен 2 см)
расположены в форме треугольника (см. рис.). Найдите расстояние между ближайшими точками серых шаров.
√
√
A) 1 см B) 2 см C) 2 3 − 2 см D) π2 см E) 2 см
14. На каждой из четырех стен в комнате Билла висят часы. Все они либо спешат,
либо опаздывают. Одни часы ошибаются на 2 мин, другие –– на 3 мин, третьи –– на
4 мин, а четвертые –– на 5 мин. Однажды Билл решил определить точное время по
показаниям своих четырех часов. В тот момент часы показывали: без 6 минут 3, без
3 минут 3, 3 часа и 2 минуты, 3 часа и 3 минуты. Каково было точное время?
A) 3:00 B) 2:57 C) 2:58 D) 2:59 E) 3:01
15. В прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 вписан
полукруг так, как показано на рисунке. Найдите радиус
этого полукруга.
C) 12
D) 13
E) 17
A) 73 B) 10
3
3
3
3
13
5
12
16. Сколько всего существует 4-значных чисел, у которых цифра сотен равна 3 и сумма
остальных трех цифр также равна 3?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
17. Кенгуру Сеня вписывает в таблицу 3 × 4 числа от 1 до 9 так, чтобы
2 4
2
суммы чисел во всех строках были равны и суммы чисел во всех
3 3
столбцах были равны. Некоторые числа Сеня уже вписал так, как
1
6
показано на рисунке. Какое число он должен вписать в серую клетку?
A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
18. В марафонском беге участвовали ровно три атлета Кен, Гу и Ру. Перед началом соревнований четверо зрителей высказали следующие прогнозы. Первый: «Выиграет
либо Кен, либо Гу». Второй: «Если Гу будет вторым, то Ру выиграет». Третий:
«Если Гу будет третьим, то Кен не выиграет». Четвертый: «Либо Гу, либо Ру будет
вторым». После финиша оказалось, что все четыре прогноза оправдались. В каком
порядке атлеты финишировали?
A) Кен, Гу, Ру B) Кен, Ру, Гу C) Ру, Гу, Кен
D) Гу, Ру, Кен E) Гу, Кен, Ру
19. На рисунке изображены два квадрата со стороной 4 и 5, треугольник площадью 8 и параллелограмм. Найдите площадь параллелограмма.
A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 21
20. Аня подобрала такие натуральные m и k, что 2012 = mm · (mk − k). Чему равно k?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 9 E) 11
Задачи, оцениваемые в 5 очков
21. У ювелира есть 12 пар соединенных друг с другом колец. Он хочет соединить их в
одну цепочку, как показано на рисунке. Чтобы это сделать он должен распилить
(а затем снова спаять) некоторые кольца. Какое наименьшее количество колец ему
необходимо распилить?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
22. Прямоугольный лист бумаги ABCD размером 4 × 16
согнули по линии MN так, что вершина C совпала с
вершиной A (см. рис.). Чему равна площадь пятиугольника ABNMD ?
A) 17 B) 27 C) 37 D) 47 E) 57
D¢
A
M
D
C
B
N
23. Поезд G полностью проходит мимо семафора за 8 секунд, а поезд H –– за 12 секунд.
Поезда G и H при движении во встречном направлении разминаются друг с другом
за 9 секунд. Чему равно отношение длин поездов G и H?
A) 2 B) 1 C)
2
3
D)
1
2
E)
3
2
24. Последняя ненулевая цифра числа K = 259 · 34 · 553 равна
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 9
25. Петя придумал игру «кенгуру» по схеме на слеШкола Ш
Д Дом
дующем рисунке. На старте кенгуру находится в
школе (Ш). По правилам игры кенгуру из любой
позиции, кроме дом (Д), может перепрыгнуть на
Б Библиотека
Стадион С
любую из двух соседних позиций. Сразу, как
только кенгуру окажется в позиции Д, игра заканчивается. Сколько существует
способов закончить игру за 13 ходов?
A) 12 B) 32 C) 64 D) 144 E) 1024
26. Пять ламп соединены так, что при включении/выключении любой из них меняется
статус еще какой-то другой лампы (она включается, если выключена, и выключается, если включена), которая каждый раз выбирается случайным образом, независимо от предыдущих выборов. Вначале все лампы выключены. Затем вы выполняете
какие-то 10 операций включения/выключения. Какое из следующих утверждений
после этого верно?
A) Все лампы не могут быть выключены B) Все лампы будут включены
C) Все лампы не могут быть включены D) Все лампы будут выключены
E) Ни одно из утверждений A–D не верно
27. Дано 6 различных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n. Существует
ровно одна пара этих чисел, такая, что большее число в этой паре не делится на
меньшее. Какое наименьшее значение может принимать n?
A) 18 B) 20 C) 24 D) 36 E) 45
28. Коля выписал все трехзначные числа и для каждого нашел произведение его цифр.
Затем он сложил все найденные произведения. Какой результат он получил?
A) 45 B) 452 C) 453 D) 245 E) 345
29. Числа от 1 до 120 вписаны в 15 строк таблицы так, как показано на рисунке. В каком
столбце (считая слева) сумма чисел наибольшая?
...
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
...
...
...
...
...
...
2
106
107 108 109 110 111 112
...
...
...
...
...
...
. . . 120
A) 1 B) 5 C) 7 D) 10 E) 13
30. В выпуклом 8-угольнике ABCDEF GH выбирается одна из вершин C, D, E, F ,
G, H и соединяется отрезком с A. Еще раз выбирается вершина из тех же шести
и соединяется отрезком с B. Найдите число всех способов выбрать две вершины из указанных шести, при которых построенные два отрезка разбивают данный
8-угольник ровно на 3 части.
A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 16
© Kengūros konkurso organizavimo komitetas
© TEV, 2012
Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija
Kengūros konkurso organizavimo komitetas
VU Matematikos ir informatikos fakultetas
VU Matematikos ir informatikos institutas
Leidykla TEV
КЕНГУРУ 2012
Продолжительность работы 75 минут
Пользоваться калькуляторами запрещается
Сеньор
Задачи, оцениваемые в 3 очка
Уровень воды (cм)
11 и 12 классы
1. Уровень воды в городском порту в течение дня поднимается и опускается, как показано на графике. В течение скольких часов уровень воды в порту выше 30 см?
80
70
60
50
40
30
20
10
0
–10
–20
–30
–40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Время (в часах)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13
√
3 √
2. Число 2 2 равно A) 1 B) 2
C)
√
6
4
D)
√
3
4
E) 2
2
12
3. Вася хочет вписать по одному числу в три пустые клетки таблицы
так, чтобы произведение первых трех чисел равнялось 30, произведение средних
трех чисел равнялось 90, а произведение последних трех чисел равнялось 360. Какое
число он должен вписать в среднюю клетку таблицы?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10
4. Часы имеют 3 стрелки, но неизвестно, какая из них часовая, какая минутная и какая секундная. Часы идут точно и в
12:55:30 стрелки располагались так, как показано на рисунке справа. Как будут располагаться стрелки этих часов в
8:10:00?
A)
B)
C)
D)
E)
5. Прямоугольный лист бумаги ABCD размером 16 см×
4 см согнули по линии MN так, что вершина C совпала с вершиной A (см. рис.). Чему равна площадь
четырехугольника ANMD ?
A) 28 см2 B) 30 см2 C) 32 см2 D) 48 см2 E) 56 см2
D¢
M
A
D
C
B
N
6. Сумма цифр девятизначного числа равна 8. Чему ровно произведение цифр этого
числа?
A) 0 B) 1 C) 8 D) 9 E) 9!
7. Наибольшее целое значение n, при котором n200 < 5300 равно
A) 5 B) 6 C) 8 D) 11 E) 12
8. Какая из следующих функций удовлетворяет равенству f
A) f (x) =
2
x
B) f (x) =
1
x+1
C) f (x) = 1 +
1
x
D) f (x) =
1
x
1
x
=
1
f (x) ?
E) f (x) = x +
1
x
9. Известно, действительное число удовлетворяет неравенствам x 3 < 64 < x 2 . Какое
из следующих утверждений верно?
A) 0 < x < 64 B) −8 < x < 4
C) x > 8
D) −4 < x < 8
E) x < −8
10. Чему равен угол α правильной пятиконечной звезды?
A) 24◦ B) 30◦ C) 36◦ D) 45◦ E) 72◦
α
Задачи, оцениваемые в 4 очка
11. Мой возраст равен двузначному числу, которое является степенью числа 5. А возраст моей тети равен двузначному числу, которое является степенью числа 2. Сумма
всех цифр наших возрастов равна нечетному числу. Чему равно произведение всех
цифр наших возрастов?
A) 240 B) 2010 C) 60 D) 50 E) 300
12. Турагенство организовало для группы туристов 4 тура по Сицилии с минимальной
нормой участия в каждом туре 80 % от числа туристов в группе. Какое наименъшее
(в процентах) количество туристов в группе приняло участие во всех 4-х турах?
A) 80 % B) 60 % C) 40 % D) 20 % E) 16 %
13. Решением неравенства |x| + |x − 3| > 3 является множество
A) (−∞; 0) ∪ (3; +∞) B) (−3; 3) C) (−∞; −3) D) (−3; +∞) E) (−∞; +∞)
14. В школах Словаки действует 5-балльная система оценок, причем, чем меньше баллов, тем лучше оценка. В 4-м классе была проведена контрольная. Результаты
оказались плохими: средняя оценка в классе оказалась равна 4, при этом средняя
оценка у девочек составила 4,2, а у мальчиков 3,6. Какое из следующих утверждений
об учениках этого класса верно?
A) Мальчиков в 2 раза больше, чем девочек
B) Мальчиков в 4 раза больше, чем девочек
C) Девочек в 2 раза больше, чем мальчиков
D) Девочек в 4 раза больше, чем мальчиков
E) Девочек и мальчиков поровну
16 м
15. Клумба, на которой высажены розы, состоит из трех квадратов (два меньших из них равны) и прямоугольного треугольника (см. рис.). И ширина, и длина клумбы равны
16 м. Найдите площадь клумбы.
A) 114 м2 B) 130 м2 C) 144 м2 D) 160 м2 E) 186 м2
16 м
16. Все билеты на места в первом ряду кинотеатра были проданы. Причем, по ошибке
на одно из мест было продано два билета. Места в этом ряду пронумерованы по
порядку, начиная с 1. Сумма номеров мест (в первом ряду) на всех проданных
билетах равна 857. На какое место были проданы два билета?
A) 4 B) 16 C) 25 D) 37 E) 42
c
17. В прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c
a
вписан полукруг, как показано на рисунке. Найдите
радиус этого полукруга.
b
A)
a(c−a)
2b
B)
ab
a+b+c
C)
ab
b+c
D)
2ab
a+b+c
E)
ab
a+c
18. Сторона квадрата ABCD равна 2, точки E и F –– середины сторон AB и AD соответственно. На отрезке CF выбрана точка G, такая, что 3CG = 2GF . Найдите
площадь треугольника BEG.
7
A) 10
B) 45 C) 85 D) 35 E) 65
19. Часы на рисунке имеют форму прямоугольника, но
стрелки в них вращаются как в обычных круглых часах. Расстояние между точками, отмеченными числами 8 и 10, равно 12 см. Найдите расстояние x (в сантиметрах) между точками, отмеченными числами 1 и 2.
√
√
√
√
√
A) 3 3 B) 2 3 C) 4 3 D) 2 + 3 E) 12 − 3 3
20. Кенгуру хочет построить ряд из стандартных кубиков (у которых сумма точек на
противоположных гранях равна 7), прикладывая их друг к другу гранями с одинаковым числом точек. Кенгуру хочет, чтобы сумма точек на всех внешних гранях
оказалась равна 2012. Сколько кубиков для этого ему понадобится?
A) 70 B) 71 C) 142 D) 143 E) Такой ряд построить невозможно
Задачи, оцениваемые в 5 очков
21. Какое наименьшее значение может иметь меньший угол равнобедренного треугольника, имеющего медиану, которая делит этот треугольник на два равнобедренных
треугольника?
A) 15◦ B) 22,5◦ C) 30◦ D) 36◦ E) 45◦
22. У ювелира есть 12 пар соединенных друг с другом колец. Он хочет соединить их в
одну цепочку, как показано на рисунке. Чтобы это сделать, он должен распилить
(а затем снова спаять) некоторые кольца. Какое наименьшее количество колец ему
необходимо распилить?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
23. С дробью разрешается выполнять две операции: 1) увеличить числитель на 8,
2) увеличить знаменатель на 7. С дробью 78 выполнили n таких операций в каком-то
порядке и получили исходную дробь. Какое наименьшее значение может принимать n?
A) 56 B) 81 C) 109 D) 113 E) Такого n не существует
24. Равносторонний треугольник, вращается вокруг вершин квадрата так, как показано
на рисунке.
...
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Какой кратчайший путь опишет отмеченная вершина треугольника, прежде чем и
она, и треугольник снова окажутся в исходном положении?
π C) 8π D) 14
π E) 21
π
A) 4π B) 28
3
3
2
Сколько всего существует различных перестановок ( x1 , x2 , x3 , x4 ) чисел из множества {1, 2, 3, 4}, таких, что x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 делится на 3?
A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 24
На координатной плоскости была построена парабола y = x 2 и 2012 прямых, параллельных прямой y = x, каждая из которых пересекает параболу в двух точках.
Сумма абсцисс всех точек пересечения равна
A) 0 B) 1 C) 1006 D) 2012 E) Невозможно определить
Даны три вершины куба P (3; 4; 1), Q(5; 2; 9) и R(1; 6; 5) Какая из следующих точек
является центром куба?
A) A(4; 3; 5) B) B(2; 5; 3) C) C(3; 4; 7) D) D(3; 4; 5) E) E(2; 3; 5)
В последовательности 1, 1, 0, 1, −1, . . ., где a1 = a2 = 1, a3 = a1 − a2 , a4 = a2 + a3 ,
a5 = a3 − a4 , a6 = a4 + a5 и т.д. Чему равна сумма первых 100 членов этой последовательности?
A) 0 B) 3 C) −21 D) 100 E) −1
Иван выбрал два числа a и b из множества {1, 2, 3, . . . , 26}. Оказалось, что произведение ab равно сумме остальных 24-х чисел. Чему равно значение |a − b|?
A) 10 B) 9 C) 7 D) 2 E) 6
Каждый кот в Стране Чудес либо мудрый, либо глупец. Если мудрый кот окажется
в одной комнате с тремя глупцами, то сам становится глупцом. Если кот-глупец
окажется в одной комнате с тремя мудрыми котами, то он определяется ими, как
глупец. Три кота вошли в пустую комнату. Вскоре в эту комнату вошел 4-й кот,
после чего 1-й кот вышел. Затем 5-й кот вошел в комнату, после чего 2-й кот вышел
и т.д. После того, как 2012-й кот вошел в комнату, впервые оказалось, что один из
котов был определен, как глупец. Какие из следующих котов, вошедших в комнату,
могли оба быть глупцами?
A) 1-й и 2011-й B) 2-й и 2010-й C) 3-й и 2009-й D) 4-й и 2012-й E) 2-й и 2011-й
© Kengūros konkurso organizavimo komitetas
© TEV, 2012