Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет)»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
_______________О.А.Горшков
«____»______________ 2014 г.
ФАКУЛЬТЕТ ПРОБЛЕМ ФИЗИКИ И ЭНЕРГЕТИКИ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
ПРОГРАММА
вступительных испытаний поступающих на обучение по программам
подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
по специальной дисциплине
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ: 03.06.01 ФИЗИКА И АСТРОНОМИЯ
НАПРАВЛЕННОСТЬ: 25.00.29 Физика атмосферы и гидросферы
Форма проведения вступительных испытаний:
Вступительные испытания проводятся в устной форме. Для подготовки
ответов поступающий использует экзаменационные листы.
ЗАВ.КАФЕДРОЙ
(подпись)
“
“
2014 года.
(фамилия)
I. Линейная алгебра
1. Матрицы. Сложение и умножение матриц. Разбиение матриц на клетки.
Диагональные и клеточно-диагональные матрицы. Обратная матрица. Полиномы от
матриц. Характеристический и минимальный полиномы. Соотношение КелиГамильтона. Элементарные преобразования матриц. Разложение матриц.
2. Матрицы специального вида и их свойства. Симметричные, ортогональные,
эрмитовы, унитарные, трехдиагональные, якобиевы, почти треугольные матрицы.
3. Аксиомы линейного пространства. Базис n-мерного пространства. Подпространство,
его размерность, базис, относительный базис. Векторная сумма, прямая сумма и
пересечение подпространств.
4. Линейные операторы в конечномерных пространствах. Представление операторов
матрицей. Ранг оператора. Обратный оператор. Собственные векторы и
собственные значения операторов. Приведение матрицы оператора к диагональной
форме.
5. Каноническая форма Жордана. Инвариантные и корневые подпространства.
Свойства корневых векторов. Разложение пространства в прямую сумму корневых
подпространств. Канонический базис пространства и каноническая форма Жордана
для матриц оператора.
6. Квадратичные формы. Сведение квадратичной формы к каноническому виду.
Пожительно определенная квадратичная форма. Закон инерции квадратичных форм.
Формы Эрмита.
7. Предел векторов и матриц. Нормы векторов. Нормы матриц. Локализация
собственных значений матриц. Круги Гершгорина.
II. Методы вычислительной математики
1. Общие сведения из теории разностных схем: основные и сопряженные операторы,
аппроксимация, счетная устойчивость, теорема сходимости.
2. Методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений.
Вариационные методы в математической физике: метод Ритца, метод Галеркина,
метод наименьших квадратов. Метод интегральных тождеств. Разностные схемы для
уравнений с разрывными коэффициентами, основанные на вариационных
принципах.
3. Методы решения стационарных задач математической физики. Общие понятия
теории итерационных методов. Некоторые итерационные методы и их оптимизация.
Метод расщепления. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений.
4. Методы решения нестационарных задач. Разностные схемы 2-го порядка
аппроксимации с операторами, зависящими от времени. Неоднородные уравнения
эволюционного
типа.
Методы
расщепления
нестационарных
задач.
Многокомпонентное расщепление задач. Общий подход к покомпонентному
расщеплению. Методы решения уравнений гиперболического типа.
5. Некоторые задачи математической физики. Уравнение Пуассона. Уравнение
теплопроводности. Уравнение движения.
III. Гидродинамика
1. Определение жидкого состояния. Объемные и поверхностные силы. Тензор
напряжений.
2. Уравнения идеальной жидкости.
3. Энергетика идеального газа. Симметризация уравнений гидротермодинамики.
4. Кинематика потоков жидкости.
Динамика баротропной жидкости.
Теория безвихревой (потенциальной) баротропной жидкости.
Динамика двумерной несжимаемой идеальной жидкости.
Теория устойчивости течений двумерной баротропной несжимаемой жидкости.
Устойчивость стационарных течений двумерной идеальной несжимаемой жидкости.
Теорема об устойчивости стационарных баротропных потоков двумерной идеальной
жидкости.
11. Уравнения Навье-Стокса.
12. Устойчивость течений вязкой несжимаемой жидкости.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
IV. Физика атмосферы и гидросферы
1. Состав и строение атмосферы.
2. Уравнения гидротермодинамики атмосферы в различных системах координат.
Законы сохранения.
3. Типы волновых движений в атмосфере. Параметр Кибеля-Россби. Масштаб Россби.
Геострофический ветер. β-эффект. Волны Россби. Эваториально-захваченные
волны.
4. Баротропная неустойчивость атмосферных потоков.
5. Бароклинная неустойчивость атмосферных движений. Проблема циклогенеза.
6. Понятие о пограничных слоях в атмосфере. Экмановский пограничный слой.
7. Мезометеорологические пограничные слои.
8. Понятие о доступной потенциальной энергии. Преобразования энергии в атмосфере.
Цикл Лоренца.
9. Перенос излучения в атмосфере.
10. Перенос влажности. Фазовые переходы.
11. Общая циркуляция атмосферы. Ячейки Гадлея и Феррела. Струйные течения.
12. Взаимодействие вихрей с зональными потоками. Теорема Чарни-Дразина.
13. Уравнения крупномасштабной гидротермодинамики океана. Физический смысл
основных приближений и гипотеза Буссинеска, гидростатики, несжимаемости,
"твердой крышки". Простейшая параметризация процессов турбулентного трения.
14. Простейшие модели плоской циркуляции в океане. Формирование пограничных
слоев у западных берегов океана. Задачи Стоммела, Манка. Краевая задача для
уровенной поверхности океана. Формулировка граничных условий на открытых и
твердых участках граничного контура.
15. Длинные волны в стратифицированном океане в линейном приближении. Уравнения
для давления и Y-компоненты скорости. Метод разделения переменных.
Вертикальная структура движений в простейших случаях линейной и
экспоненциальной стратификаций. Горизонтальная волновая структура: два
основных типа волн и их свойства.
16. Обзор и анализ диагностических расчетов течений. Расчеты уровенной поверхности
и скорости течений, диагностические расчеты методом К.Брайена.
17. Основные механизмы крупномасштабной циркуляции вод Мирового океана.
V. Модели и методы геофизической гидродинамики
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Системы уравнений геофизической гидродинамики.
Перенос примесей в атмосфере и океане. Монотонные схемы.
Динамика баротропной невязкой несжимаемой жидкости.
Баротропные волны Россби в атмосфере.
Инерционно-гравитационные волны в бароклинной атмосфере.
Бароклинная неустойчивость атмосферы.
Решение трехмерных уравнений гидротермодинамики атмосферы.
8. Методы решения по времени системы уравнений гидротермодинамики.
9. Метод сопряженных уравнений в задачах геофизической гидродинамики.
10. Динамика планетарных баротропных волн в океане.
11. Крупномасштабные инерционно-гравитационные волны в баротропном океане.
12. Методы решения задачи о баротропной циркуляции в океане.
13. Динамика стратифицированного океана.
14. Численное моделирование общей циркуляции океана.
VI. Методы математической статистики
1. Случайные события. Аксиомы теории вероятностей. Условная вероятность.
Формула Байеса. Полная вероятность.
2. Случайные события и их распределения. Числовые характеристики случайных
величин. Моменты распределения. Математическое ожидание. Дисперсия.
Случайные векторы. Моменты случайных векторов.
3. Характеристические функции и их свойства. Предельные теоремы.
4. Постановка задач математической статистики. Выборки. Функции выборок. Оценки
параметров распределения.
5. Методы редукции.
6. Проверка статистических гипотез. Постановка задачи. Теория. Некоторые важные
распределения. Анализ выборочной дисперсии.
7. Критерии проверки гипотез. t-критерий. F-критерий. Критерий ξ-квадрат.
8. Разложение случайных полей по естественным ортогональным базисам. Постановка
задачи. Нахождение естественных ортогональных векторов. Некоторые основные
свойства разложения случайных полей по естественным ортогональным векторам.
9. Изучение связи между двумя случайными скоррелированными полями. Постановка
задачи. Разложение матрицы по сингулярным базисам. Нахождение
скоррелированных гармоник. Оптимальные базисы сингулярного разложения.
10. Канонический корреляционный анализ. Классический канонический анализ.
Оптимальный базис канонического разложения. Канонический корреляционный
анализ с предварительной фильтрацией.
Литература
1. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.Л.:ГИФМЛ, 1963.
2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
4. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в
геофизической
гидродинамике
и
численные
методы
их
реализации.
Л.:Гидрометеоиздат, 1987.
5. Казакевич Д.И. Основы случайных функций в задачах гидрометеорологии.
Л.:Гидрометеоиздат, 1989.
6. Саркисян А.С. Моделирование динамики океана. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991.
7. Дымников В.П., Филатов А.Н. Устойчивость крупномасштабных атмосферных
процессов СПб.: Гидрометеоиздат, 1992.
8. Дымников В.П. Избранные главы гидродинамики. М.: ИВМ РАН, 1998. 97 с., 6 ил.
9. Чавро А.И., Дымников В.П. Методы математической статистики в задачах физики
атмосферы. 2000.
10. Матвеев Л.Т. Физика Атмосферы.
11. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1 и 2. М.: Мир.
12. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 1. М.: Мир.