Билет № 9 1. Теорема о средней линии треугольника. 2. Формула площади круга. Запись, вывод. Вопрос № 1 Теорема о средней линии треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке MN – средняя линия ∆ АВС, так как AM = MB и BN = NC. Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. B Дано: ∆ АВС, MN – средняя линия. М 1 N Доказать: MN || AC, MN = 1 AC. 2 2 A C Доказательство Рассмотрим ∆ BMN и ∆ BAC. В треугольниках ∠ В – общий, а BM BN 1 = = , так как MN – средняя линия. Следовательно, ∆ BMN ~ ∆ BAC по BA BC 2 II признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу, заключённому между ними). В подобных треугольниках соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны, поэтому ∠ 1 = ∠ 2 и MN 1 = . AC 2 Так как ∠ 1 = ∠ 2 и они являются соответственными углами, образованными при пересечении прямых MN и AC секущей АВ, то MN || AC по признаку параллельности прямых, согласно которому, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. А так как MN 1 1 = , то MN = AC. AC 2 2 Итак, средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Ч.т.д. Вопрос № 2 Формула площади круга. Запись, вывод Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R. Выведем формулу для нахождения площади круга. Для этого рассмотрим правильный nугольник А1А2…Аn вписанный в окружность, ограО ничивающую круг (рис. 1). Площадь S данного кру• An га больше площади S n-угольника А А …А , так как A3 n 1 2 n R n-угольник полностью содержится в круге, а плоrn щадь Sn′ круга, вписанного в n-угольник, меньше Sn, так как этот круг полностью содержится в n-угольнике, A2 A1 то есть Sn′ < Sn < S. Рис . 1 ° , где rn – радиус Известно, что rn = R cos 180 n вписанной в n-угольник окружности. Будем неограниченно увеличивать число ° → 0, тогда cos 180° → 1, поэтому r → R. Знасторон n-угольника. При n → ∞ 180 n n n чит, при неограниченном увеличении числа сторон n-угольника вписанная в него окружность «стремиться» к описанной окружности, то есть Sn′ → S при n → ∞. Известно, что Sn = 12 Pnrn, где Sn − площадь правильного n-угольника, Pn − его периметр, rn – радиус вписанной окружности. Учитывая, что , rn → R, Pn → С, где С – длина окружности, ограничивающая круг, то есть Pn → 2πR, а Sn → S при n → ∞, получаем, что S = 12 ⋅2πR ⋅ R = πR2. Итак, для вычисления площади S круга радиуса R получили формулу S = πR 2 . Так как D = 2R, то получаем формулу для вычисления площади круга диаметра D: πD 2 S= . 4 Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга (рис. 2). Выведем формулу для нахождения площади кругового сектора S радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой α. α 360° 1° α S πR2 πR 2 360° πR 2 α 360° Итак, площади кругового сектора S радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой α, вычисляется по формуле πR 2 S= α. 360 Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости (рис. 3).Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле πR 2 S= α ± SΔ , 360 где α − градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а S∆ – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «−» надо брать, когда α < 180°, а знак «+» надо брать, когда α > 180°. O O • A • • Рис . 2 O • B • A • • B A • • B Рис . 3 Замечание. В течение многих веков математики решали задачу о квадратуре круга: построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга, но лишь в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно.