§5 Пространство Lp Пусть E - измеримое множество, число p 1 Определение 1. Множество всех измеримых на E функций f(x), для которых функции p f(x) суммируемы на E, называется пространством Lp(E). Норма в пространстве Lp(E) вводится по формуле f(x) Lp(E) f(x) ( f(x) dx )1/p . p p E Если f(x) p 0 , то f(x) ~ 0, поэтому в этом пространстве элементы считаются равными, если они эквивалентны. Остается проверить аксиому треугольника для таким образом введенной нормы. В случаи = 1 это очевидно, в случаи p > 1 сначала докажем неравенство Гельдера, а затем неравенство Минковского. Если p > 1, число q связано с числом p по формуле 1 1 1, f(x) Lp(E), g(x) Lp(E) , то функция f(x)g(x) суммируема на E и справедливо p q неравенство Гельдера. f(x)g(x) dx f(x) Lp(E) g(x) Lp(E) . E Для доказательства введем в рассмотрение на множестве x > 0 функцию (x) x α αx, α (0,1) . Производная ' (x) αx α1 α α(x α1 1) функции (x) больше нуля при x (0,1) и меньше нуля при x > 1. Следовательно, функция (x ) достигает максимума при x = 1. Запишем неравенство ( x) (1) в виде x α αx 1 α и положим a x , где a 0, b 0 . Получим соотношение a α b1α αa (1 α) , справедливо для всех b 1 1 чисел . Если α , то 1 α ; В результате выведем неравенство Юнга p q a 1 p 0, b 0 1 q a b . p q В случаях f(x) ~ 0 или g(x) ~ 0 неравенство Гельдера очевидно. Пусть f(x) ~ 0, g(x) ~ 0, p q f(x) g(x) положим a . В результате неравенство Юнга примет вид ,b p q f(x) p g(x) q a b q f(x) p g(x) f(x)g(x) f(x) p g(x) q . p f(x) p q g(x) q p q Правая часть соотношения суммируема на множестве E, поэтому в силу мажорантного признака суммируема на E и левая часть, то есть функция f(x)g(x). Интеграл от функции, стоящий в скобках в правой части, равен единице. В итоге неравенство Гельдера доказано. p Если p 1, f(x), g(x) Lp(E) , то функция f(x) g(x) суммируема на множестве E и справедливо неравенство Минковского f(x) g(x) Lp(E) f(x) Lp(E) g(x) Lp(E) . Суммируемость функций f(x) g(x) вытекает из очевидного неравенства p a b 2 p ( a b ) , справедливо для любых чисел a и b. Также мы отметили p p p справедливость неравенства Минковского при p = 1. Проведем доказательство для случая p > 1, воспользуемся неравенством Гельдера. p/q Если f(x) g(x) Lp(E) , то f(x) g(x) Lp(E) Запищим сначала неравенство Гельдера, заменив функцию g(x) на f(x) g(x) f(x) f(x) g(x) p/q dx f(x) Lp(E) f(x) g(x) Lp(E) p/q , , а затем f(x) на g(x),а g(x) снова на E f(x) g(x) p/q , g(x) f(x) g(x) p/q dx g(x) Lp(E) f(x) g(x) Lp(E) E Используя выведенные соотношения в следующей цепочке неравенств f(x) g(x) p f(x) g(x) dx f(x) g(x) f(x) g(x) p Lp(E) E f(x) g(x) p/q dx E 1 1 , из выведенной p оценки получим неравенство Минковского, которое и подтверждает справедливость аксиомы треугольника в пространстве Lp(E) f(x) Lp(E) g(x) Lp(E) p/q Lp(E) Учитывая равенство p Последовательность { f n } элементов нормированного пространства называется фундаментальной, если числовая последовательность f m f n стремится к нулю при m, n . Последовательность { f n } элементов нормированного пространства называется сходящейся, если в этом пространстве существует элемент а такой, что lim f n f 0 . n Определение 2. Нормированное пространство называется полным(банаховым), ели любая фундаментальная последовательность в этом пространстве является сходящийся. Теорема 1. Пространство Lp(E), E , p 1 , является полным(банаховым) пространством. Доказательство. Пусть {f n (x)} - произвольная фундаментальная последовательность в Lp(E). Для любого натурального числа k существует номер n k такой, что для всех 1 m n k , n n k выполняется неравенство f m(x) f n(x) k . Можно считать, что 2 1 n 1 n 2 n 3 ... , тогда f n k 1 (x) f n k (x) k . В силу неравенства Гельдера: 2 1 q q 1 1/q f (x) f (x) dx f (x) f (x) 1 dx k E . n n k 1 n E n k 1 p 2 E Из этого соответствия следует оценка 1 1/q 1/q f (x) f (x) dx E E , которая по теореме 8(Б.Леви) из §4 гарантирует n k 1 n k k 1 E k 1 2 сходимость почти всюду на E ряду f k 1 n k 1 (x) f n (x) и тем более ряда f n1 (x) f n k 1 (x) f n k (x) . Но это означает, что какая то частичная сумма этого ряда, k 1 равна f n k 1 (x) сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x). Далее, для любы ε 0 существует номер N такой, что для всех номеров m N, n k N выполняется неравенство f m (x) f n k (x) p ε , а поскольку последовательность f m (x) f n k (x) сходится почти всюду на E к функции f m (x) f (x) при k , то по теореме 9(Фату) из §4 f m (x) f (x) Lp(x) и выполняется неравенство f m (x) f (x) p ε для всех m N . Отсюда в силу неравенства Минковского следует принадлежность функции f(x) пространству Lp(E) и сходимость последовательности { f n (x)} к функции f(x) в метрике Lp(E). Теорема доказана. Измеримая функция F(x) на измеримом множестве E называется простой, если она принимает f(x) = C k , если x E k , причем C k может быть равным . 1, x E Характеристической функцией множества E называется функция χ E (x) . 0, x E Очевидно, что всякая простая функция f(x) имеет вид f(x) C k χ E n (x) ,причем в этой k 1 сумме при каждом x отличном от нуля лишь одно слагаемое. Ясно, что функция χ E (x) измерима тогда и только тогда, когда множество E-измеримо. Лемма 1. Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существует неубывающая последовательность {f n (x)} простых неотрицательных функций f n (x) таких, что lim f n (x) f(x) в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная на n множестве конечных значений функции f(x). k 1 k Доказательство. Введем в рассмотрение множество E (n) , k E n f(x) 2 n 2 n = 1,2,…, k =0,1,2,…, E 0 Ef(x) . Ясно, что при любом натуральном n множество E представимо в виде объединения попарно не пересекающихся множеств k , если x E (n) E E (n) k E 0 . Определим f n (x) следующим образом: f n (x) k , если n 2 k 0 ( n 1) E 2( nk 11) , так как f n (x) f(x) на E 0 . При переходе от n к (n+1) множество E (n) k E2k k k 1 2k 2k 1 2k 1 2k 2 (n 1) 2n , 2n 2n 1 , 2n 1 2n 1 , 2n 1 . На множестве E 2k выполняется равенство 2k 2k 1 k 1 1 f n 1 (x) n 1 f n (x) , а на E (n2k1)1 : f n 1 (x) n 1 n n 1 f n (x) n 1 f n (x) . Кроме 2 2 2 2 2 1 этого справедливо соответствие 0 f(x) - f n ( x) n для всех точек x E \ E 0 . Лемма 2 доказана. Следствие. Последовательность {g n (x)} , в которой функции g n (x) определяются f ( x), f n ( x) n, по формуле g n (x) n обладает свойством: lim g n (x) f(x) для любой точки n n, f n ( x) n, x E , g n (x) m( n) C k 1 k Ek ( x) , по равномерной сходимости на E \ E0 может и не быть. Теорема 2. Пусть E-ограниченное измеримое множество, p 1 . Тогда пространство непрерывных на E функций С(E) плотно в Lp(E). Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции f (x) Lp(E) и для любого числа ε 0 найдется непрерывная на E функция (x ) такая, что f(x) (x) p ε . Так как f(x) f (x) f (x) , то теорему достаточно доказать для случая f n (x) 0 . Принадлежность f(x) классу Lp(E) означает, что функция f(x) почти всюду конечна на E и множеством E0 Ef(x) можно пренебречь. В силу следствия к лемме 1 существует неубывающая последовательность f n (x) простых неотрицательных функций f n (x) превращающих каждое число значение такое, что lim f n (x) f(x) Lp(E) . Поэтому n согласно теореме 8(Б. Леви) из §4 для любого ε 0 найдется номер N такой, что для всех n N выполняется равенство f n (x) f(x) p ε . Таким образом достаточно установить существование функции ( x) C ( E ), удовлетворяющий для любого ε 0 неравенству f N (x) (x) m p ε , для f N (x) Ck E k ( x) -произвольная простая функция, принимающая k 1 конечное число значений. Для каждого множества Ek существует, содержащийся в нем замкнутое множества Fk , и такое, что Ek \ Fk ε pk , где ε k -любое положительное число. При этом выполняется соотношение χ E k (x) χ Fk (x) p E k \ Fk 1/p ε k . Обозначим через rk (x) ρ(x, Fk ) -функцию расстояния от точки x E до множества Fk . Ясно, что функция rk (x) является непрерывной на E. Характеристическую функцию множества Fk можно представить в виде 1, x Fk 1 ( n) (n) 1 . Последовательность k(n) (x) не Fk ( x) lim k где k , x F n k 1 nrk (x) 1 nrk (x) возрастает с номером n, причем справедливо соотношение χ Fk (x) k(n) 1 , и в силу теоремы 8(Б. Леви) из §4 будет выполнятся неравенство χ Fk (x) k(n) ε k , если n p велико. Заметим, что все (x) непрерывны на E и даже во всем R n . (n) k m Далее, определим функцию (x) C k k(n) (x) справедливо цепочка неравенств: m k 1 f N (X) (x) p Ck χ Fk (x) k(n) χ E k (x) χ (n) Fk k 1 p достаточно выбрать из неравенства 0 k 2 C ε m p k 1 k k ε , поэтому ε k 1 . Теорема доказана. 2 Теорема 3. (Непрерывность в метрике Lp). Пусть E - ограниченное измеримое множеств, p 1 . Тогда любая функция f(x) Lp(E) непрерывна в метрике Lp, то есть для любого ε 0 найдется число 0 такое, что справедливо неравенство f(x h) f(x) p ε , ели h , а функция f(x) считается продолженной нулем на все K 1 Ck пространство R n . Доказательство. Пусть множество E содержится в шаре B0 (R) радиуса R с центром в точке x = 0. обозначим E1 B0 (R 1) и воспользуемся теоремой 2.Тогда для любого ε 0 существует (x) C(E1 ) и даже по замечанию в тексте доказательства (x) C(E1 ) такая, что ε . Пусть h 1 ,тогда при x E тоже x h E1 и справедлива 3 цепочка неравенств: f(x h) f(x) Lp(E) f(x h) (x h) Lp(E) (x h) (x) Lp(E) f(x) (x) Lp(E) f(x) (x) Lp(E1 ) 1 / p E ε ε 1/p (x h) (x) C( E ) E ε . Неравенство (x h) (x) C( E ) при 3 3 3 достаточно малых значениях h имеет место в силу равномерной непрерывности непрерывной на E1 функции (x ) . Теорема доказана. §6 Метрические и нормированные пространства. Определение 1. Множество M называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлены в соответствия неотрицательное число (x, y) , удовлетворяющее условиям: 1) (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y(аксиома тождества); 2) (x, y) = (y, x) (аксиома симметрии); 3) (x, z) (x, y) (y, z) (аксиома треугольника). Число (x, y) называется расстоянием между элементами x и y, а перечисленные три условия - аксиомами метрики. Любое множество можно сделать метрическим пространством, если ввести метрику по закону: (x, y) = 0, если x = y, (x, y) = 1, если x y . Определение 2. последовательность x n элементов метрического множества M называется фундаментальной, если lim ρ(x m , x n ) = 0. n m Последовательность x n элементов метрического множества M называется сходящейся, если существует x M и такой, что Lim ρ(x n , x) = 0. Если n последовательность x n точек множества пространства M сходится к точке x M , то и любая подпоследовательность x n k последовательности x n сходится к этой же точке. Фиксируем произвольное число ε 0 . Ели ρ(x n , x) ε для n N( ) , то и ρ(x n k , x) ε для n k N( ) . Последовательность точек x n метрического пространства M может сходиться не более, чем к одному пределу. Пусть x n x , yn y . Тогда ρ(x, y) ρ(x n , x) ρ(y, x n ) ε при любом ε 0 для достаточно больших номеров n, но это возможно лишь в случае (x, y) = 0, то есть x = y. Если последовательность x n точек из метрического пространства M сходится к точке x M , то эта последовательность ограничена в том смысле, что числа (x n , ) ограничены для любой фиксированной точки из M. Действительно, по аксиоме треугольника для любого номера n имеем ρ(x n , ) ρ(x n , x) ρ(x, ) a ρ(x, ) K , ибо последовательность (x, y)ограничена как сходящаяся числовая последовательность и, следовательно, числа (x n , x) не превосходят постоянной a. Назовем шаром B(a,r) (замкнутым шаром B(a, r) ) с центром в точке a M и радиусом r совокупность точек x метрического пространства M, удовлетворяющих неравенству (x, a) r ( (x, a) r ). Окрестностью точки x назовем любой шар с центром в этой точке. Множество, лежащее целиком внутри некоторого шара, называется ограниченным. Пусть дано множество X метрического пространства M. Точка a M называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точке а содержит хотя бы одну точку множества X \ {a}, то есть B(a, r) X \ a для любого r. Множество, полученное присоединением к X всех его придельных точек, называется замыканием множества X и обозначается X . Множество X называется замкнутым, если X = X . Множество Y называется открытым, если его дополнение M \ Y замкнуто. Множество X называется всюду плотным в пространстве M, если X = M. Множество X называется нигде не плотным в пространстве M, если каждый шар этого пространства содержит в себе шар, свободный от точек множества X. Определение 3. Если в метрическом пространстве M каждая фундаментальная последовательность является сходящейся, то пространство M называется полным. Фиксируем число p 1 . Рассмотрим множество числовых последовательностей x i таких, что i 1 p i . Это множество обозначается p . Метрика для элементов x i и y i вводится по формуле 1/ p p (x, y) i i i 1 Справедливость аксиомы треугольника для таким образом введенного расстояния проверяется по схеме, изложенной в §5 для доказательств неравенств Гельдера и Минковского (здесь фактически имеет место дискретный аналог этих неравенств). Докажем полноту пространства p . Для этого рассмотрим фундаментальную последовательность x n i( n ) этого пространства, то есть последовательность, у которой для любого ε 0 выполняется неравенство 1/ p p (x n , x m ) i( n ) i( m) i 1 для всех n , m N( ) . Отсюда следует, что для любого индекса i имеет место i(n) i(m) при n, m N( ) . Фиксируем число i. Последовательность i(n ) фундаментальная, поэтому она сходится к некоторому пределу i , или lim i( n ) i . n Обозначим x i . Для любого натурального числа k справедливо неравенство k i 1 (n) i p i( m ) p . Переходя к пределу при m , получим k i 1 (n) i i p p при n N . В свою очередь, переходя к пределу при k , будем иметь i 1 (n) i i p p при n N . Отсюда следует, что x - x n p . Кроме того, (x n , x) 0 при n , и полнота пространства p доказана. Теорема 1(о вложенных шарах). Пусть дана в полном метрическом пространстве M последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга (то есть таких, что каждый последующий шар содержится внутри предыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует и притом единственная точка, принадлежащая всем этим шарам. Доказательство. Обозначим рассматриваемые шары следующим образом: B1 (a1 , 1 ), B2 (a 2 , 2 ),..., Bn (a n , n ),... . По условию теоремы B1 B2 ... Bn ... . Рассмотрим последовательность центров этих шаров: a1 , a 2 ,..., a n ,..., a n p ,... . Так как Bn p Bn , то a n p Bn (an , n ) . Поэтому (a n p , a n ) n . Следовательно, (a n p , a n ) 0 при n независимо от номера p, т.е. последовательность центров сфер является фундаментальной. В силу того, что пространство M - полное, эта последовательность сходится в некоторому пределу a M . Возьмем любой шар Bk . Тогда точки a k , a k1, a k2 ,... принадлежат этому шару. В силу замкнутости шара Bk предельная точка а этой последовательности также принадлежит Bk . Таким образом, a lim a n n принадлежит всем шарам. Допустим, что существует еще одна точка b, принадлежащая всем шарам и отличная от точки a, так, что (a, b) 0 . Так как a и b Bn , то (a, b) (a, a n ) (a n , b) 2 n , что невозможно, ибо n 0 при n . Теорема доказана. Определение 4. Множество X называется множеством 1-ой категории, если она может быть представлено в виде суммы конечного или счетного числа нигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством 1ой категории, называется множеством второй категории. Теорема 2(Бэра о категориях). Полное метрическое пространство есть множество 2-ой категории. Доказательство. Предположим противное и допустим, что полное пространство M M n , где множества Mn нигде не плотны. Возьмем шар B(a,1) n 1 с центром в произвольной точке a и радиусом, равным единице. Так как M1 нигде не плотно, то внутри шара B(a,1) найдется шар B(a 1 , r1 ) радиуса r1 1, не содержащий точек множества M1 . Так как M2 нигде не плотно, то внутри шара 1 B(a 1 , r1 ) найдется шар B(a 2 , r2 ) радиуса r2 , не содержащий точек множества M2 2 и так далее. Мы получили последовательность замкнутых шаров B1 (a1 , r1 ), B2 (a 2 , r2 ),..., Bn (a n , rn ),... , каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар B(a n , rn ) не содержит точек множеств M1, M2 ,..., Mn . По теореме 1 существует точка a 0 M , принадлежащая всем шарам. С другой стороны, эта точка a0 не принадлежит ни одному из множеств Mn , поэтому a 0 M . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему. Если рассмотреть числовую прямую R1 с обычной евклидовой нормой как метрическое пространство, то множество рациональных точек на R1 представляет собой множество 1-ой категории, а множество иррациональных точек является множеством 2-ой категории. Теорема 3 (принцип сжатых отображений). Пусть в полном метрическом пространстве M задан оператор A, переводящий элементы пространства M в элементы этого пространства. Пусть, кроме того, (A(x), A(y)) (x, y) , где 1 , а x и y - любые элементы M. Тогда существует и притом единственная точка x 0 M и такая, что A(x 0 ) x 0 . Эта точка называется неподвижной точкой оператора A, который, в свою очередь, называется сжатым (сжимающим) отображением. Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент x M и положим x1 A(x) , x 2 A(x1 ) , … , x n A(x n -1 ) ,… . Покажем, что последовательность x n является фундаментальной. В связи с этом, заметим (x1, x 2 ) (A(x), A(x1 )) (x, x1 ) (x, A(x)) (x 2 , x 3 ) (A(x 1 ), A(x 2 )) (x1 , x 2 ) 2 (x, A(x)) , …, (x n , x n1 ) n (x, A(x)) , … . Далее, (x n , x np ) (x n , x n1 ) (x n1, x n2 ) ... (x np-1, x np ) n n1 ... np--1 (x, A(x)) n n p n ( x, A( x)) ( x, A( x)) . 1 1 Из этой оценки следует, что (x n , x n p ) 0 , то есть x n - фундаментальная последовательность. В силу полноты M существует элемент x 0 M , x 0 lim x n . n Докажем, что x 0 A(x 0 ) . В самом деле, (x 0 , A(x 0 )) (x 0 , x n ) (x n , A(x 0 )) (x 0 , x n ) (A(x n -1 ), A(x 0 )) (x 0 , x n ) (x n -1, x 0 ) . Но при достаточно больших значениях n выполняются неравенства: (x 0 , x n ) , 2 (x 0 , x n-1 ) , следовательно (x 0 , A(x 0 )) для произвольного числа ε 0 . 2 Поэтому (x 0 , A(x 0 )) 0 или x 0 A(x 0 ) . Докажем единственность неподвижной точки. Предположим, что существуют два элемента x 0 , y0 M такие, что x 0 A(x 0 ) , y0 A(y 0 ) . Тогда (x 0 , y0 ) (A(x 0 ), A(y 0 )) (x 0 , y0 ) , а это возможно при 1 только в случае (x 0 , y0 ) 0 . Теорема доказана. Рассмотрим пример на применения принципа сжатых отображений из теории интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Пусть K(s,t) - функция, b b определенная и измеримая на квадрате a s, t b и такая, что K 2 ( s, t )dsdt . a a Пусть, кроме того, f (s) L2 (a, b) . Тогда интегральное уравнение b x( s) f ( s) K ( s, t ) x(t )dt имеет при каждом достаточно малом значении a параметра единственное решение x(s) L2 (a, b) . b Введем оператор A( x) f (s) K (s, t ) x(t )dt . Покажем, что этот оператор a действует из L2 (a, b) в L2 (a, b) . Для этого достаточно доказать выполнение b b a a указанного свойства для оператора A0 ( x) K ( s, t ) x(t )dt . Пусть y( s) K ( s, t ) x(t )dt . Тогда согласно неравенству Коши - Буняковского: 2 b b b 2 y ( s) K ( s, t ) x(t )dt K ( s, t )dt x 2 (t )dt . a a a Следовательно, в силу теоремы Фубини и мажорантного признака, функция y 2 ( s) интегрируема на интервале (a,b) , причем 2 b y b b 2 b ( s)ds K ( s, t )dtds x 2 (t )dt . 2 a a a a Оценим теперь (A(x), A(z)) . Имеем: 1/ 2 2 b b b ( A( x), A( z )) K ( s, t ) x(t )dt K ( s, t ) z (t )dt ds a a a 1/ 2 2 b b K ( s, t )x(t ) z (t )dt ds a a 1/ 2 b b 2 K ( s, t )dsdt a a 1/ 2 2 b x(t ) z (t ) dt a 1/ 2 b b K 2 ( s, t )dsdt a a ( x, z ) . 1 Если , то мы находимся в условиях применения принципа 1/ 2 b b 2 K ( s, t )dsdt a a сжатых отображений. Определение 5. Пусть X - линейное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. X называется линейным нормированным пространством, если каждому его элементу x поставлено в соответствие вещественное число x , называемое нормой этого элемента, причем выполнены следующие аксиомы: 1) x 0, x 0 x 0 , 2) x x , - число из поля, 3) x y x y . Сходимость последовательности x n из линейного нормированного пространства отождествляется со сходимостью в метрике ( x, y) x y , причем полное линейное нормированное пространство называется банаховым. Примеры: 1) R n - n мерное евклидово пространство, банохово пространство с нормой 1/ 2 n x xi2 , где x (x1,..., x n ) ; i1 2) C[0,1] - пространство непрерывных на [0,1] функций с нормой x max x(t ) , t[ 0 ,1] отвечающий равномерной сходимости, поэтому С[0,1] также банохово пространство: 1/ p p 3) p (E) , p 1 . E x x(t ) dt E теоремы 1 из §5; , p (E) - банохово пространство в силу 1/ 2 p 4) p , p 1 , x i , x (1 ,..., n ,...) , p - банохово пространство (доказательство в i 1 начале этого параграфа) ; 5) C m [0,1] - пространство на [0,1] функций, имеющих непрерывную производную m порядка m x max x ( k ) (t ) , C m [0,1] - банохово пространство. k 0 t[ 0 ,1] Определение 6. Линейное многообразие L линейного нормированного пространства X называется подпространством, если множество L замкнуто относительно сходимости по норме. Отметим, что из x n x 0 при n следует x n x , так как x y x y в частности, если последовательность x n - ограниченная числовая последовательность. Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть L - подпространство линейного пространства X, L X . Тогда для любого ε (0,1) существует элемент y X \ L , y 1 и такой, что x y 1 для x L . Доказательство. Фиксируем произвольный элемент y0 X \ L и обозначим d inf y0 x . Тогда d > 0, ибо если d = 0, то xL y0 lim Xn и y0 L (в силу замкнутости X n L L), что невозможно. Для любого ε 0 существует x 0 L такой, что d y0 x 0 d dε . Положим y y0 - x 0 ; y 0 L , так как в противном случае y0 L , что невозможно, y0 - x 0 y 1 . Далее, y x y0 ( x0 x y0 x0 ) y0 x0 d x 1 1 . y0 x0 y0 x0 d d 1 Теорема доказана. §7. Линейные операторы. Пусть X и Y – линейные нормированные пространства над полем действительных или полем комплексных чисел. Определение 1. Отображение A:X Y (y = Ax), то есть оператор А, определяемый на X с областью значений в Y, называется линейным оператором, если для любых элементов x1 , x 2 X и любого числа λ справедливы равенства: а) A( x1 + x 2 ) = A x1 + A x 2 , б) А(λ x1 )= λА x1 Определение 2. Оператор A:X Y непрерывен в точке x 0 X если для любой последовательности x n , сходящейся к соответствующая последовательность образов Ax n сходится к элементу А x 0 , то есть для любого ε 0 существует δ 0 и такое, что как только выполняется неравенство x n x 0 X δ будет выполняться неравенство Ax n Ax0 Y Теорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Х тогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке x 0 X. Доказательство. Действительно, пусть x X – любая точка и x n x . Тогда x n x x 0 x и в виду непрерывности А в точке x 0 : А x 0 = lim A(x n x x 0 ) = n lim Ax n Ax Ax0 , то есть lim Ax n Ax . n n Примеры: 1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы. 2) X=C[0,1], x(t ) C max x(t ) , t[ 0 ,1] Оператор А, действует из Х на числовую прямую R1 по закону Ах(t) = x(0). Рассмотрим непрерывность А в нуле x n (t) 0 C 0 , или x n (t) C 0 при n . Тогда Ax n (t) 0 R x n (0) 0 , так как x n (t) 1 C 0 означает равномерную сходимость к нулю по t [0,1]. Следовательно, оператор А – непрерывен. 3)Пусть теперь норма для оператора А из пункта 2) вводится по формуле 1 x(t ) L1 x(t ) dt . Рассмотрим последовательность x n (t ), которая вычисляется по 0 n3 2 2 2 формуле x n (t) 2 t , t 0, 2 ; x n (t) =0, t 2 ,1 . В этом случае 2 n n n 1 x n (t) 0 L x n (t) L 0 , при n . Но Axn (t ) 0 R xn (0) n не стремится к 1 1 1 n 0, то есть оператор А не является непрерывным. Определение 3. Оператор А называется ограниченным, если существует постоянная М такая, что оценка Ax M x выполняется для всех x X. Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства X в ограниченное множество пространства Y. Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы А был ограничен. Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен. Тогда существует последовательность x n , для членов которой выполняется 1 1 неравенство Ax n n x n . Положим ξ n , ξ n 0 ,так как ξ n . Но n n xn 1 Axn 1 , то есть Aξ n не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор n xn А не является непрерывным. Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть Ax n M x n . Если x n x , An или x n x 0 при n , то из неравенства Ax n Ax M x n x следует Ax n Ax , значит А – непрерывен. Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию Ax M x для линейного ограниченного оператора А называется нормой оператора А и обозначается A . Другими словами A Sup x 0 Ax . x Покажем, что норму линейного ограниченного оператора А можно вычислить по формуле A Sup Ax . Действительно, если x 1 , то x 1 Ax A x A и Sup Ax A . Но для любого ε 0 существует x ε такой, что x 1 Ax ε A ε x ε . Положим ξ ε A ε A ε , а так как Ax ε xε , тогда Aξ ε xε xε xε ξ ε 1 , то Sup Ax A A . Из этой оценки в силу произвольности ε вытекает x 1 неравенство Sup Ax A . x 1 Совокупность всех линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство Х в линейное нормированное пространство Y, образует линейное пространство LX Y . Если А и В – линейные ограниченные операторы, то равенство A Bx Ax Bx определяет сумму операторов, а λAx λAx - умножение оператора на число. Нулем этого пространства является оператор 0x=0 для любого х Х. В LX Y можно ввести норму A Sup Ax : x 1 1) если A 0 , то Ax 0 для любого х Х, то есть A=0; 2) λA Sup λAx λ A ; x 1 3) A B Sup Ax Bx Sup Ax Sup Bx A B x 1 x 1 x 1 Таким образом LX Y – линейное нормированное пространство. Если линейный ограниченный оператор действует из линейного нормированного пространства Х на числовую прямую R1 , то такой оператор называется линейным функционалом f (x) . Совокупность всех линейных функционалов, действующих из Х называется сопряженным пространством к Х и обозначается X LX R1 . Норма функционала вычисляется по формуле Ax lim An x M x . n Теорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банахово пространство (полное линейное нормированное пространство), то пространство L X Y также будет полным, то есть банаховым. Доказательство. Пусть последовательность операторов An фундаментальна в L(X Y), An x Am x An Am x 0 , n, m , следовательно, A n x A m x 0 , n, m ,а, значит последовательность An фундаментальная, то есть ограниченная: An M для всех номеров n. Отсюда An x M x и Ax lim An x M x , что и означает ограниченность оператора А. n Докажем формулу A lim A n в смысле A A n 0, n . Действительно, для любого n ε 0 существует N Nε такой, что при всех n N и любом натуральном p для всех х Х, x 1 , выполняется неравенство A n p x A n x ε , переходя пределе при p , получим Ax An x ε для любого n N и любого х Х, x 1 . Но тогда A n A Sup A n A x ε , то есть A lim A n в смысле сходимости по норме x 1 n пространства L(X Y). Теорема доказана. Следствие. Пространство X , сопряженное к линейному нормированному пространству X - банахово, так как R1 - банахово пространство. Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномерной ограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства. Если An L X Y и последовательность An x ограничена для любого, то найдется постоянная С A ограничена. Доказательство. Предположим, что последовательность A неограниченна, тогда множество A x неограниченно на любом замкнутом шаре такая, что An C , то есть числовая последовательность n n n Bx 0 , ε , x 0 X , ε 0 . В самом деле, если бы неравенство A n x C выполнялось для всех номеров n и всех x Bx 0 , ε , то, взяв, любой элемент ξ X, ξ 0 , мы ε получим элемент x ξ x 0 Bx 0 , ε . Для этого элемента A n x C , или ξ ε ε Anξ An x0 A n ξ A n x 0 A n x C , следовательно, ξ ξ C An x0 2C 2C , что противоречит предложению. ξ ξ и An ε ε ε Если теперь Bx 0 , - любой замкнутый шар, то на нем множество An x Anξ неограниченно. Тогда существуют номер n1 и элемент x1 B0 такие, что A n 1 x1 1. В силу непрерывности оператора A n 1 неравенство A n 1 x 1 выполняется и в некотором шаре B1 x1 , ε1 B0 . На B1 множество An x также неограниченно и существуют номер n2 и элемент x2 B1 такие, что A n 2 x 2 2 и по непрерывности оператора A n 2 это неравенство выполнено в некотором замкнутом шаре B2 x 2 , ε 2 B1 и так далее. Можно считать, что n1 n 2 n 3... и ε n 0 . Тогда по теореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка x Bn x n , n для всех номеров n . В этой точке A n k x k , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана. Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства, An L X Y , существует последовательность xn такая, что xn 1 и lim A n x n . Тогда n существует x0 X , x 0 1 и lim A n x 0 . n Пусть это не так, то есть для всех x X , x 1 последовательность ограничена. Если 0, то x A x n A ξ имеет норму x 1 и A n x n . Значит, ξ последовательность An x ограниченна для любого X и по теореме 4 существует постоянная С такая, что A n C , но и An x n An x n C , что противоречит стремлению последовательности An x к . Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурье расходиться. Пусть f x C π, π , f π f π , f x ~ π a0 a k cos(kx) b k sin kx , 2 k 1 π 1 1 a k f(t)cos(kt )dt , bk f(t)sin(kt )dt . π π π π Преобразуем частичную сумму ряда Фурье π π n a0 n 1 1 Sn (f, x) a k cos(kx) bksin kx f(t)dt f(t)cosk(t x)dt 2 k 1 2π π k 1 π π 1 sin n t x 1 2 f(t) dt . tx π π 2sin 2 1 1 ; g(t) непрерывная на , функция, если ее Положим х=0 и g(t) t t 2tg 2 доопределить нулем в точке. 1 t t sin n t sin(nt)cos cos(nt)sin 2 2 2 sin(nt) cos(nt) t t t 2 2sin 2sin 2tg 2 2 2 sin(nt) cos(nt) g(t)sin(nt ) t 2 π 1 sin(nt) Таким образом, Sn f,0 f(t) dt O(1) , O (1) 0 при n . Рассмотрим π π t π π 1 sin(nt) оператор A n f f(t) dt - линейный оператор из пространства f(x) C π, π , π π t f( π) f(π( в пространстве R1 , ставящий с точностью до O (1) в соответствие f (x ) ее частичную сумму ряда Фурье в точке x 0 . Пусть f n (t ) sgn t sin( nt ) , f n (t ) C 1 , π π πn πn πn πn 1 sin 2 (nt) 2 sin 2 (nt) 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 dt 1 cos2y Anfn dt dt dy dy dy π π t π0 t π0 y π1 y π1 t π1 y 1 ln( πn( O(1) так как интеграл π cos 2 y dy сходится по признаку Дирихле-Абеля. y 1 Итак, An f n при n и согласно следствию к теореме 4 существует f 0 (x) C π, π, f 0 (π) f 0 (ππ для которой ряд Фурье расходится в точке t 0 . §8 Обратный оператор. Пусть оператор А действует из множества Х на множество Y, R(A) Y - область значений оператора А. Если для любого элемента y R(A) уравнение Ax = y имеет единственное решение, то говорят, что оператор А имеет обратный оператор А 1 , то есть х = А 1 y. Очевидно, что х = А 1 Ах и y = АА 1 y, или операторы I х = А 1 А, I y = АА 1 - тождественные операторы в Х и Y. Если А – линейный оператор, то и А 1 линейный оператор. Пусть х = А 1 ( α1 y 1 + α 2 y 2 ) - α1 А 1 y 1 - α 2 А 1 y 2 , тогда Ах = АА 1 ( α1 y 1 + α 2 y 2 ) - α1 АА 1 y 1 - α 2 АА 1 y 2 = α1 y 1 + α 2 y 2 - α1 y 1 - α 2 y 2 = 0, и поэтому х = А 1 (Ах) = 0. Теорема 1. Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, причем существует постоянная m>0 такая, что ||Ах|| m||x|| для всех х из Х. Тогда существует А 1 - линейный ограниченный оператор. Доказательство. Прежде всего докажем, что уравнение Ах = y, y R(A), имеет единственное решение. Предположим, их два: х 1 и х 2 : Ах 1 = y, Ах 2 = y, тогда А(х 1 - х 2 ) = 0 и m||х 1 - х 2 || ||A(х 1 - х 2 )|| = 0. Значит, х 1 = х 2 и существует А 1 - линейный оператор. Этот оператор ограничен, ибо 1 1 ||А 1 y|| ||AА 1 y|| = ||y|| для всех y Y. m m Теорема 2 (Теорема Неймана). Пусть А – линейный ограниченный оператор, отображающий банахово пространство Х на себя и ||A|| q < 1. Тогда оператор I-A имеет обратный линейный ограниченный оператор (I-А) 1 . Доказательство. Определим степени оператора А: k А = А(А k-1 ), k = 1,2,3,…, А 0 = I – тождественный оператор. Ясно, что 1 ||А k || ||A|| k q k . Далее || A k || q k = , пространство L(X X) – 1- q k 0 k 0 банахово, значит сумма A k представляет собой линейный ограниченный k 0 оператор. Для любого натурального числа n имеют место соотношения n (I-A) A k = k 0 n (I - A)A k = k 0 n (A k A k 1 ) = I - A n1 , причем I - A n1 I при n , ибо k 0 ||A n || ||A|| n 0. Следовательно, (I-A) A k = I, то есть (I-A) 1 = k 0 A k , причем k 0 1 . 1- q Замечание. Пусть А, В L(X X). Тогда определен оператор АВ L(X X) по формуле АВх = А(Вх), причем ||AB|| ||A|| ||B||. Действительно, ||ABx|| ||A|| ||Bx|| ||A|| ||B|| ||x|| для любого х Х. Теорема 3. Пусть оператор А L(X X), где Х – банахово пространство, имеет обратный оператор А 1 и существует линейный ограниченный оператор Δ А 1 такой, что || Δ А||< . Тогда оператор В = А + Δ А, то есть возмущение || A -1 || ||(I-A) 1 || || ΔA || || A-1 ||2 . 1 - || ΔA || || A-1 || Доказательство. Представим оператор В в виде А + Δ А = А(I + А 1 Δ А) и так как по условию ||A 1 Δ A|| ||A 1 || || Δ A|| < 1, то оператор I + A 1 Δ A имеет по теореме Неймана обратный оператор (I + A 1 Δ A) 1 . Произведение (I + A 1 Δ A) 1 А 1 является обратным оператором к оператору В и ||B 1 - A 1 || = ||(I + A 1 Δ A) 1 А 1 - A 1 || ||(I + A 1 Δ A) 1 - I|| ||A 1 || || A 1ΔA |||| A 1 || || ΔA || || A-1 ||2 . Теорема доказана. || A -1ΔA ||k || A 1 || = 1 || A 1ΔA || 1 - || ΔA || || A-1 || k 1 Теорема 4 (теорема Банаха об обратном операторе). Если линейный ограниченный оператор А отображает банахово пространство Х на банахово оператора А, имеет обратный оператор В 1 , причем ||B 1 - А 1 || пространство Y взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор А 1 , обратный к оператору А, отображающий Y на Х. Доказательство. По условию линейный оператор А устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами Х и Y. По доказанному выше обратный оператор А 1 , отображающий Y на Х, также является линейным. Остается доказать ограниченность оператора А 1 . Обозначим через Y n множество элементов y Y таких, что ||A 1 y|| n||y||. Каждое из множеств Y n не пусто, так как, например, нулевой элемент пространства Y принадлежит всем Y n . Кроме того, всякий элемент y Y, y 0, попадает в множество Y n , если в качестве n взять любое целое число, || A 1y || . Поэтому можно записать Y = Yn . n 1 || y || Ввиду того, что полное пространство Y не может быть объединением счетного числа нигде не плотных множеств (теорема Бэра категориях из §6), по крайней мере, одно из множеств Y n 0 не является нигде не плотным. превосходящее Следовательно, существует шар В(y,r), в котором множество В(y,r) Y n 0 всюду плотно. Рассмотрим шар В(y1 , r1 ) , лежащий целиком внутри В(y,r) и такой, что y 1 Y n 0 . Возьмем любой элемент y с нормой ||y|| = r 1 . Элемент y+y 1 В(y1 , r1 ) , ибо ||(y + y 1 ) - y 1 || = r 1 . Так как В(y1 , r1 ) Yn 0 , то найдется последовательность элементов {z (k) } из Y n 0 В(y1 , r1 ) и такая, что z (k) y+y 1 при k , Эта последовательность может быть стационарной, если y+y 1 Y n 0 . Обозначим y (k) = z (k) -y 1 y; при этом можем считать, что r1 ||y (k) ||, и, кроме того, 2 ||y (k) || r 1 . Так как z (k) и y 1 Y n 0 , то ||A 1 y (k) || = ||A 1 z (k) - A 1 y 1 || ||A 1 z (k) || + ||A 1 y 1 || n 0 (|| z (k) || + ||y 1 ||). Далее, ||z (k) || = ||y (k) + y 1 || ||y (k) || + ||y 1 || r 1 + ||y 1 ||. 2n 0 (r1 2 || y1 ||) || y k || . Поэтому имеем оценку ||A 1 y (k) || n 0 (r 1 + 2||y 1 ||) r1 2n 0 (r1 2 || y1 ||) Обозначим через N наименьшее целое число, превосходящее . r1 Для элементов последовательности {y (k) } справедливо неравенство ||A 1 y (k) || N||y (k) ||, откуда следует, что все y (k) Y N . Итак, любой элемент y с нормой, равной r 1 , можно аппроксимировать элементами r из Y N . Пусть теперь y – любой элемент из Y. Рассмотрим элемент y’ = 1 y, || y || (k) ||y’|| = r 1 . По доказанному найдется последовательность {y’ } элементов из Y N , || y || сходящаяся к y’. Тогда y (k) = y’ (k) y и справедливы соотношения r1 || y || || y || ||A 1 y (k) || = ||A 1 y’ (k) || N||y’ (k) || = N||y (k) ||. r1 r1 Отсюда следует, что y (k) Y N , то есть множество Y N всюду плотно в Y. Рассмотрим снова произвольный элемент y Y. Пусть ||y|| = . Выберем y 1 Y N такой, что ||y - y 1 || , ||y 2 || . 2 Это можно сделать, так как B (0, ) Y N всюду плотно в В(0, ) и y B (0, ). Найдем далее элемент y 2 Y N такой, что ||(y - y 1 ) - y 2 || 2 , ||y 2 || ; 2 2 возможность выбора обеспечена тем, что B (0, ) Y N всюду плотно в B (0, ) и 2 2 y - y 1 B (0, ). Продолжая этот процесс, построим элементы y n Y N такие, что 2 ||y – (y 1 + … + y n )|| n , ||y n || n-1 . 2 2 В итоге получим представление y lim n n y k 1 k . Обозначим х k = А 1 y k , тогда N . Последовательность {S n }, где S n = 2 k 1 сходится к некоторому пределу x E, так как n p N ||S n p - S n || = || x k || < n 1 2 k n 1 и Х – полное пространство. Следовательно, ||x k || N||y k || n k 1 k 1 n x k 1 k , при n x lim x k x k . n Далее Ax A( lim n n x k 1 n k n ) lim Ax k lim y k y . n n k 1 n Отсюда || A 1y |||| x || lim || x k || lim n k 1 n n k 1 N 2N 2N || y || . k 1 n k 1 2 n || x k || lim k 1 Так как y – любой элемент из Y, то ограниченность оператора A 1 доказана. §9 Линейные функционалы Выше мы определили линейные функционалы f(x) как линейные непрерывные операторы со значениями в R 1 . Теорема 1(теорема Хана-Банаха). Любой линейный функционал f(x) , определённый на линейном многообразии L X линейного нормированного пространства X, можно продолжить на всё пространство X с сохранением нормы, то есть существует линейный функционал F(x) , определённый на всём X и такой, что F(x) f(x) для любой точки x L , F x f L Доказательство. Пусть x 0 L и L 0 (L, x 0 ) - множество элементов вида u x tx 0 , где x L , а t – любое действительное число. Множество L 0 - линейное многобразие и каждый его элемент однозначно представим в таком виде. Пусть x x2 u x 1 t 1 x 0 x 2 t 2 x 0 ; если t 1 t 2 , то x1 x2 ; если t 1 t 2 , то 1 x0 и x0 L , t 2 t1 что невозможно. Выберем любые два элемента x1 и x 2 из L. Справедливы соотношения f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 2 x1 ) f x 2 x1 f ( x 2 x 0 x1 x 0 ) , из которых вытекает неравенство f(x 2 ) f x 2 x 0 f(x 1 ) f x1 x 0 , а в силу произвольности элементов x1 и x 2 имеет место оценка sup{f(x) f x x 0 } c inf {f(x) f x x 0 } . xL xL Пусть u – любой элемент из L. Введём функционал (u ) на L0 по правилу (u ) f ( x) tc . На L имеет место равенство f , так как t 0 . Очевидно, что (u ) -линеен; покажем ограниченность функционала (u ) и равенство f . x многообразию L и t неравенства для постоянной с справедливы соотношения x x (u) t[f( ) - c] t f x 0 f x tx 0 f u , итогом которых является неравенство t t x x 1 1 (u) f u . При t 0 имеем f( ) c f x 0 f x tx 0 f u , а, значит, t t t t Если t 0 , то из принадлежности элемента x 1 t t элемент u на (-u), получим - (u) f u , в совокупности (u) f u . Мы доказали (u) t[f( ) - c] t * f u f u , то есть (u) f u . Заменяя в этих рассуждениях неравенство f , но так как (u) есть продолжение f (x ) , то его норма не может быть уменьшена; следовательно, L0 fL . Закончим доказательство теоремы в случае сепарабельного пространства X, то есть такого пространства, в котором существует счётное всюду плотное множество элементов x 1 , x 2 , … X . Пусть эти элементы линейно независимы и не попали в L 0 . Продолжая функционал (u) с многообразия L 0 на многообразия L1 (L 0 , x 1 ) , L 2 (L1 , x 2 ) , …, мы построим линейный функционал , ^ ψ(x) определённый на всюду плотном в X линейном многообразии L L n , n 1 причём ψ L f L . Доопределим ψ(x) на всё пространство X по непрерывности. ^ ^ ^ Если x L , то существует последовательность {x n } элементов из L и x n x при n , причём ψ(x m ) ψ(x n ) ψ x m x n 0 . Следовательно, последовательность { (x n )} имеет предел F(x) , однозначно определяющая функционал F(x) на X. Этот функционал линеен в силу линейности ψ(x) и линейности операции предельного перехода. Ограниченность F(x) вытекает из того, что следствием неравенства (x n ) ψ x n является неравенство F(x) ψ x . Итак, F x ψ ^ f L , а так как F(x) -продолжение функционала f(x) , L то его норма не может быть уменьшена. Мы доказали формулу F x f L , завершив тем самым доказательство теоремы. Следствие 1. Пусть X – линейное нормированное пространство, x0 X , x0 0 . Тогда в X существует линейный функционал такой, что f 1 , f ( x0 ) x0 . Доказательство. Пусть L {tx 0 }, t R . На линейном многообразии L определим функционал (x) : если x tx0 , то ( x) t x0 . Ясно, что (x0 ) x0 , (x) t x 0 x , то есть ( x) 1 . Продолжая функционал (x) на всё пространство X с сохранением нормы, получим требуемый функционал. Замечание. Это следствие доказывает существование в любом линейном нормированном пространстве X нетривиальных линейных функционалов, то есть f(x) 0 . С другой стороны из следствия 1 вытекает, что если для некоторого элемента x 0 X выполнено равенство f(x 0 ) 0 для всех f(x) X * , то x 0 0 . Следствие 2. Пусть X – линейное нормированное пространство, x 1, x 2 X, x 1 x 2 . Тогда в X существует линейный функционал такой, что f(x 1 ) f(x 2 ) . Следует положить x 0 x 1 x 2 и воспользоваться утверждением следствия 1. Обсудим вопрос об общем виде линейного функционала в различных нормировнных пространствах. n 1) Если X R n -конечномерное и e1, ..., e n - ортонормированный базис, то x ξ i e i . i 1 n n i 1 i 1 Тогда любой линейный функционал f(x) ξ i f(e i ) ξ i f i однозначно определяется числами f i f(e i ), i 1, n 2) Если X l p , p 1 -бесконечномерное пространство элементов x (ξ1 , ξ 2 ,...) p 1 p таких, что x l ( ξ i ) . Пусть e1 , e 2 ,... -ортонормированный базис l p , тогда p i 1 i 1 i 1 i 1 x ξ i e i , f(x) ξ i f(e i ) ξ i f i . Выясним свойства чисел c i , i 1,2,... . Рассмотрим последовательность элементов x n { k(n ) } , где c k q 1 k( n ) n f(x n ) c k k 1 sgn c k , k n 1 1 , 1 Справедливы соотношения p q 0, k n q f xn n lp f ( c k (q 1)p k 1 1 q n 1 ) p f ( c k ) p , откуда в сиду произвольности k 1 q 1 q числа n следует неравенство ( c k ) f или c l f . С другой стороны в сиду q k 1 неравенства Гёльдера f(x) ξ c i 1 i i 1 q 1 p ( c i ) ( ξ i ) c l x l , или f c l . i 1 q p i 1 q p q Значит, f c l , то есть l*p l q . Заметим также, l*p* l*q l p -рефлексивно. q 3) Если X L p (E), p 1, E . Можно показать, что f(x) x(t) y(t)dt, x(t) L p (E), α(t) L q (E) -однозначно определяемая функция по E функционалу f(x) , причём f α(t) Lq (E) , L*P L q , L*P* L P 4) Если X C[0,1] . Справедлива теорема Расса, в которой утверждается, что 1 любой линейный функционал f(x) на C[0,1] имеет вид f(x) x(t)dh(t) , где 0 x(t) C[0,1] , h(t) - фиксированная функция с ограниченным изменением: n 1 f {h(t)} sup h(t i ) h(t i 1 ) , где точная верхняя грань берётся по 0 T i 1 всевозможным разбиениям T {t i },0 t 0 t 1 ... t n 1 Непосредственным следствием теоремы Банаха-Штейнгаузена для функционалов являются её следующие аналоги. Теорема 2. Пусть {x n } -последовательность элементов из банахового пространства X такая, что последовательность {f(x n )} ограничена для любого функционала f(x) X * . Тогда существует постоянная M 0 и такая, что x n M , то есть последовательность {x n } ограничена в X. Теорема 3. Пусть X – банахово пространство, f n X * , числовая последовательность {f n (x)} ограничена в X * , то есть f n M . Определение 1. Последовательность {x n } элементов линейного нормированного пространства X называется слабо сходящейся к элементу x 0 X , если для любого линейного функционала f(x) X * числовая последовательность {f n (x)} сходится к f(x 0 ) . В силу замечания к следствию 1 из теоремы 1 слабый предел единственен. Из теоремы 2 вытекает ограниченность слабо сходящейся последовательности. Сильная сходимость влечёт за собой слабую сходимость, так как f(x n ) f(x 0 ) f x n x 0 . Обратное неверно. Рассмотрим l p , p 1 и последовательность {x n } элементов из l p , x n (0,...,0,1,0,...) , единица стоит на месте с номером n, f(x n ) C n . Так как ряд q C n сходится, то C n 0 при n n 1 и, значит, {f(x n )} сходится к f(0) 0 , или x n 0 слабо. Однако, xm xn p 2, m n , и последоватеьность {x n } не фундаментальна. Теорема 4. Последовательность {x n } линейного нормированного пространства X сходится сильно тогда и только тогда, когда последовательность {f(x n )} сходится равномерно в единичном шаре f 1, f X* . Доказательство. Необходимость. Если x n x сильно, то из неравенства f(x n ) f(x) f x n x x n x следует равномерная сходимость {f(x n )} в шаре f 1. Достаточность. Пусть последовательность {f(x n )} сходится равномерно в шаре f 1 , то есть ε 0 существует N N(ε( , что f(x n ) f(x) f(x n x) ε для всех n N и всех f X* , f 1. Отсюда следует sup f(x n x) ε . Воспользуемся f 1 следствием 1 к теореме Хана-Банаха, обозначив x 0 x n x . Мы имеем функционал f 0 (x), f 0 1, f 0 (x 0 ) x 0 или f 0 (x n x) x n x , причём выбор функционала f 0 (x) зависит от разности x n x . Итак, x n x f 0 (x n x) sup f(x n x) ε для всех n N , что и означает f 1 сильнуюсходимость {x n } к элементу x. Теорема доказана. §10. Гильбертовы пространства Определение 1. Гильбертовым пространством H называется множество элементов x, y, z, … со свойствами: 1) H – линейное пространство над полем действительных (комплексных) чисел; 2) каждой паре x, y H поставлено в соответствие действительное ( x, y ) , называемое скалярным произведением и (комплексное) число удовлетворяющее условиям: а). (x, y) (y, x) , б). (x z, y) (x, y) (z, y) , в). (λλxy) λ(x, y) для любого λ R (λ C) , г). (x, x) 0 , причем (x, x) 0 тогда и только тогда, когда x 0 , x (x, x) - норма элемента x в H; 3). H – полное в метрике ρ(x, y) x y , то есть является банаховым пространством; 4). H – бесконечномерное, то есть для любого натурального числа n существует n линейно независимых элементов. Комплексное пространство L2 - гильбертово пространство, если скалярное произведение в нем ввести по формуле (x, y) ξ i ηi , i 1 где x (ξ1, ξ 2 ,...), y (η1, η2 ,...) . Сходимость ряда следует из неравенства Коши-Буняковского. Аналогично, пространство L2 (E) - гильбертово пространство со скалярным произведением (x, y) x(t) y(t)dt . E Поговорим о свойствах скалярного произведения. Первые два (x, y z) (x, y) (x, z) и (x, λy) λ(x, y) проверяются тривиально. Неравенство Коши (x, y) x y при y 0 очевидно. Пусть y 0 - любой элемент из H, λ - любое число из С: 0 (x λy, x λy) (x, x) λ(x, y) λ(y, x) λ (y, y) ; 2 полагая здесь λ (x, y)/(y, y) , получим 2 (x, y) (x, x) 0, (y, y) откуда и следует неравенство Коши. Неравенство x y x y доказывается на основе неравенства Коши: треугольника x y (x y, x y) (x, x) (x, y) (y, x) (y, y) x 2 x y y . 2 2 2 xy xy 2 x 2 y Равенство параллелограмма следует следующих соотношений: 2 2 2 2 2 2 x y x 2Re(x, y) y , x y x 2Re(x, y) y . 2 2 2 2 π Замечание. Пространство C[0, ] не является гильбертовым: 2 x(t) cost, y(t) sint, x y 1 , из π x y max cost sint max 2 sin(t ) 2 , π π 4 t[0, ] t[0, ] 2 2 π x y max cost sint max 2 sin(t ) 1 , π π 4 t[0, ] t[0, ] 2 2 следовательно, равенство параллелограмма не выполнено. Теорема 1. Замкнутое выпуклое множество W в гильбертовом пространстве H содержит элемент содержит элемент с наименьшей нормой, и причем только один. Доказательство. Пусть d inf x и пусть {x n } - минимизирующая xW последовательность, то есть x n W, x n d при n . Так как W – выпукло, то 1 (x n x m ) W , поэтому x n x m 2d . Согласно равенству параллелограмма 2 2 2 2 2 0 x n x m 2( x n x m ) x n x m 0 при n, m , ибо вычитаемая величина 4d 2 , а уменьшаемое стремится к 4d 2 . В силу того, что H – полное, а W – замкнуто, существует x 0 lim x n , x 0 W , n причем x 0 lim x n 1 , то есть x 0 - элемент с наименьшей нормой. Докажем n единственность элемента x 0 : пусть x1 - еще один элемент из W и такой, что x1 d . Тогда x 0 x1 x 0 x1 2( x 0 x1 ) 4d 2 . 2 Так как 2 2 2 x 0 x1 W, 2 то x 0 x1 1 2 ( x 0 x1 ) d , или x 0 x1 4d 2 . 2 2 равенству параллелограмма для x 0 и d Возвращаясь к x1 , имеем x 0 x1 0 , то есть x 0 = x1 . Теорема доказана. Определение 2. Два элемента x, y H называются ортогональными ( x y ), если (x, y) = 0; говорят, что элемент x H ортогонален множеству L H , если x y для любого y L . Теорема 2 (теорема Б. Леви). Пусть L – подпространство H. Каждый вектор x H допускает единственное представление x y z, y L, z L , причем элемент y осуществляет наилучшее приближение вектора x в подпространстве L, то есть x y min x u . uL Доказательство. Обозначим множество W {x u; u L} , которое замкнуто в силу замкнутости L и, очевидно, выпуклое. По теореме 1 существует единственный элемент z W с минимальной нормой, z x y, y L , или y x z . Покажем, что z L . Пусть v 0 - любой вектор из L, а λ - произвольное 2 2 комплексное число. Так как z λv W , то z λv z , поэтому z (z λv, z λv) z λ(v, z) λ(z, v) λ v . 2 Полагая 2 2 2 λ (z, v) x 2 , получим (z, v) x 2 2 0 , или (z, v) = 0, а так как v – любой элемент из L, то z L . Докажем теперь единственность разложения. Пусть y z y1 z1 , где y, y1 L, z, z1 L , тогда y y1 z1 z , то есть y y1 L , другими словами, y y1 ортогонален самому себе. Следовательно y y1 и z z1 . Второе утверждение теоремы следует из определения W и теоремы 1. Предел последовательности элементов, ортогональных подпространству L, ортогонален L. Поэтому элементы, ортогональные к L, образуют подпространство, которое называется ортогональным дополнением к L и обозначается L . Так как любой элемент x H равен x y z, y L, z L , то говорят, что пространство H разлагается в прямую сумму подпространств L и L . Записывают этот факт в виде H L L . Элемент y называется ортогональной проекцией элемента x на подпространство L, а оператор P, действующий по закону y = Px, то есть каждому элементу x H ставящий в соответствие его проекцию y, называется оператором ортогонального проецирования или ортопроектором. Нетрудно проверить справедливость равенства (L ) L . Рассмотрим линейный ограниченный оператор, действующий из гильбертова пространства H на комплексную плоскость C. Этот оператор мы также будем называть линейным функционалом. Обозначим через ker f = {x H : f(x) 0} - множество, называемое ядром функционала f(x). Очевидно, что ker f – подпространство H. Лемма 1. Коразмерность пространства ker f, то есть ортогонального дополнения к ядру, любого линейного функционала f(x) в h, не равного тождественно нулю, равна 1: dim(ker f) 1 . Доказательство. Пусть x1 , x 2 (ker f) . Докажем, что x1 и x 2 - линейно зависимы. Положим x (fx 1 )x 2 f(x 2 )x1, f(x 1 ) 0, f(x 2 ) 0 , тогда f(x) = 0, то есть x ker f . С другой стороны, x (ker f) , следовательно x x . Получаем x = 0 и, значит, x1 и x 2 - линейно зависимы. Теорема 3 (теорема Рисса - Фреше). Любой линейный функционал f(x) в гильбертовом пространстве H представим в виде скалярного произведения f(x) = (x, y), где элемент y однозначно определяется по функционалу f(x), причем f y . Доказательство. Если f(x) 0 , то y = 0. Если f(x) 0 , то обозначим через e – единичный вектор, ортогональный ядру f(x). Согласно лемме 1 и теореме 2 любой элемент x H представим в виде x = Px + (x, e)e, где P – ортопроектор на ядро ker f. Отсюда f(x) f(Px) (x, e)f(e) (x, f (e), e) , так как Px ker f . Полагая y f (e)e , получаем f(x) = (x, y) для любого x H . Докажем единственность элемента y. Пусть существует вектор y1 такой, что f(x) (x, y) (x, y1 ) для любого x H , или (x, y y1 ) 0 . Для x y y1 получим (y y1 , y y1 ) y y1 0 , 2 то есть y y1 . По поводу нормы заметим f(x) (x, y) x y f y , но f(y) y f y , 2 следовательно f y . Теорема доказана. Лемма 2. Для того, чтобы линейное многообразие M было всюду плотно в H, необходимо и достаточно, чтобы в H не существовало элемента, отличного от нуля и ортогонального M. Необходимость. Пусть M H . Ясно, что из условия x M следует x M , но M H и x H . В частности x x , следовательно x = 0. Достаточность. Пусть M не всюду плотно в H, то есть M H . Поэтому существует x 0 M , x 0 H . Так как M также подпространство, то по теореме 2 x 0 y z , где y M, z M , причем z 0 и z M . Это противоречит условию. Определение 3. Система {e n } элементов гильбертова пространства H 1, i j называется ортонормированной, если (e i , e j ) σ ij , где σ ij . 0, i j Определение 4. Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно независима. Лемма 3. Любую систему {h n } линейно независимых элементов можно сделать ортонормированной с помощью процесса ортогонализации Шмидта. Доказательство. Полагаем h e1 1 ; h1 пусть g 2 h 2 c21e1 , подберем c21 так, чтобы g 2 e1 , то есть c21 (h 2 , e1 ) . Получаем g e2 2 , g 2 0 , g2 ибо в противном случае g 2 0 и элементы h1 и h 2 - линейно зависимы, что невозможно. Пусть e1,..., em 1 уже построены, вводим элемент m 1 g m h m c mi ei i 1 и подберем числа c mi так, чтобы gm ei , i 1,2,..., m 1. Для этого надо взять cmi (h m , ei ) ; полагаем g em m , g m 0 gm и так далее. Если совокупность степеней 1, t, t 2 ,... ортогонализировать в пространстве L 2,ρ (a, b) с весом ρ(t) , то есть в пространстве со скалярным произведением b (x(t), y(t)) ρ(t)x(t)y( t)dt , a мы придем к системе полиномов. При ρ(t) 1, a 1, b 1 получим полиномы Лежандра; при ρ(t) e t , a , b получим полиномы Чебышева – Эрмита, при ρ(t) e t , a 0, b получим полиномы Чебышева – Лагерра. Пусть L – подпространство, порожденное ортонормированной системой {en } 2 и x L . Тогда для любого ξ 0 существует линейная комбинация n α e i 1 i i такая, что 2 n x α i ei ξ. i 1 Но n x α i ei 2 n n n i 1 i 1 i 1 x αi (x, ei ) αi (ei , x) αi 2 i 1 n n n i 1 i 1 i 1 2 = x α i ci α i ci α i , 2 2 где ci (x, ei ) - коэффициенты Фурье элемента x. Перепишем последнее представление в виде n x α i ei 2 n 2 i 1 n x c i α i ci , 2 i 1 2 i 1 откуда следует, что выражение n x α i ei 2 i 1 достигает минимального значения при αi ci . В этом случае n 0 x ci ei 2 n x ci 2 i 1 2 i 1 и так как ξ 0 - любое, то в итоге получаем x lim n n c e c e , i 1 i i i i i 1 Причем c i 1 Пусть теперь x – x y z, y L, z L . Тогда 2 i x 2 любой (равенство Парсеваля). элемент из H. y ci ei , ci (y, ei ) (x, ei ) и c i 1 В силу равенства y z x 2 2 2 имеем c i 1 2 i Согласно i 1 x 2 i 2 теореме 2: y . 2 (неравенство Бесселя). Определение 5. Ортонормированная в H система {e n } называется полной, если в H не существует никакого элемента кроме нуля, ортогонального каждому члену en системы {e n } . Система называется замкнутой, если подпространство L, порожденное этой системой, совпадает с H. По доказанному выше ряд Фурье по замкнутой системе, построенный для любого элемента x H , сходится к нему сильно, то есть по норме, и выполняется равенство Парсеваля c i 1 2 i x . 2 Определение 6. Замкнутая ортонормированная система называется ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве H. Легко проверяется справедливость следующих двух утверждений. В гильбертовом пространстве H полнота и замкнутость ортонормированной системы совпадают. Любая ортонормированная система {e n } в гильбертовом пространстве слабо сходится к нулю. Лемма 1. Пусть Х – банахово пространство. Если последовательность элементов xn X сходится слабо к элементу x0 X, то xn x0 сильно. Доказательство. Пусть это не так: тогда существует ε 0 и последовательность номеров nk такие, что x n k x 0 . Так как xnk компактна, то она содержит последовательность элементов ~ x x , которая сходится сильно к n nkl xn сходится слабо к некоторому элементу y0 X. Тем более последовательность ~ x0 и поэтому x0=y0. Итак имеем ~ xn x0 и ~ xn x0 0 при n , что невозможно. Лемма доказана. Теорема 3. Пусть X и Y – баноховы пространства. Любой вполне непрерывный оператор А, действующий из X в Y, переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в X в сильно сходящуюся в Y. Доказательство. Пусть xn x0 слабо, тогда xn c и, значит, {Axn}- компактна. Кроме того, Axn Ax0 слабо в Y, так как, взяв произвольный функционал φ Y*, получим φ(Axn)=f(xn), где f X*, φ(Ax0)=f(x0). Из слабой сходимости {xn} к x0 следует f ( xn ) f ( x0 ) , или ( Axn ) ( Ax0 ) . Таким образом, последовательность {Axn} сходится слабо к Ax0. По лемме 1 эта последовательность сходится сильно к Ax0. Теорема доказана. Если оператор А – вполне непрерывен, а В – ограничен, то операторы АВ и ВА – вполне непрерывные. Теорема 4. Если А – вполне непрерывный оператор, действующий из гильбертова пространства Н в Н, то оператор А* также вполне непрерывен. Доказательство. Пусть xn x0 слабо. Докажем, что A * ( xn x0 ) 0 сильно. Действительно, A * ( xn x0 ) =(A*(xn-x0),A*(xn-x0))=(xn-x0,AA*(xn2 x0)) xn x0 AA* ( xn x0 ) 0 , так как xn x0 c , АА* - вполне непрерывен и по теореме 4 AA * ( xn x0 ) 0 сильно. Поскольку любое в Н ограниченное множество – слабо компактно, то оператор А* переводит ограниченное множество в компактное, то есть является вполне непрерывным. §13. Теорема фредгольма. В связи с вопросом об однозначной разрешимости интегральных уравнений вида x(t ) K (t , s ) x( s )ds f (t ) , E , f(x) L2(E), K(t,s) L2(E×E) рассмотрим теорию уравнений (I-A)x=f, где I – тождественный оператор, А – вполне непрерывный оператор, действующий из Н в Н f H. Обозначим L I A и наряду с уравнением Lx=f будем рассматривать однородное уравнение Lx=0, а также сопряженные уравнения L*y=h и L*y=0. Лемма 1. Многообразие ImL – замкнуто, где ImL={y H: y=Lx}. Доказательство. Докажем, что Im L Im L , то есть, если yn ImL и yn y H , то y ImL. По условию yn=Lxn=xn-Axn y. Будем считать, что xn KerL , ибо в противном случае перейдем к xn-Pxn, где P – ортопроектор на KerL, причем L(Pxn)=0. Покажем, что xn C . Если это не так, то существует подпоследовательность x'n последовательности {Xn}: x'n . По условию yn y , значит yn C1 , что приводит к соотношению x' n Ax'n x' n y 'n x' n 0 . Так как x ' А – вполне непрерывный оператор, а последовательность n ограничена, то x ' n существует подпоследовательность x' 'n последовательности x'n такая, что Ax' ' n последовательность сходится. Но когда сходится и последовательность x' ' n x' ' n {zn}, где z n . Пусть z lim z n и в силу z n 1 имеет место z n 1. С другой n x' ' n стороны Lz n 0 и из сходимости z n z следует Lz L( z z n ) Lz n 0 при n , то есть Lz=0 и, значит, z KerL. Однако все xn KerL , поэтому lim x' 'n z KerL , n или элемент z ортоганален самому себе. Это возможно только если z=0 и мы получили противоречие с равенством z 1 . Итак, xn C , а поэтому существует xn . Отсюда следует сходимость сходящаяся подпоследовательность A~ ~ x x H . В пределе получим Lx=y, то подпоследовательности x , причем lim ~ n n n есть y ImL. Теорема доказана. Лемма 2. H KerL ImL * , H KerL * Im L . Непосредственным следствием леммы 2 является следующая Теорема 1 (1-я теорема Фредгольма). Уравнение Lx=f разрешимо тогда и только тогда, когда f KerL * , то есть элемент f ортоганален любому решению уравнения L*y=0. Для любого натурального числа k положим Hk=ImLk, в частности, H0=H=ImL0, где L0=I, H1=ImL и так далее. По лемме 1 все Hk – замкнуты и очевидно H H 1 H 2 ... , причем L(Hk)=Hk+1. Лемма 3. Существует номер j такой, что Hk+1=Hk при всех k j . Доказательство. Если это не так, то все подпространства Hk различны, поэтому по теореме Леви можно построить ортонормированную систему {xk} так, что xk Hk и xk H k 1 . Пусть l>k: Axl-Axk=-xk+(xl+Lxk-Lxl). Выражение в скобках принадлежит Hk+1 и xk H K 1 , поэтому Axl Axk xk 1 , то есть из последовательности {Axk} нельзя выделить сильно сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А. Лемма 4. Если KerL=0, то ImL=H. Если KerL*=0, то ImL*=H. Доказательство. Если KerL=0, то оператор L отображает H на Н взаимно однозначно, а при ImL≠H цепочка Hk состоит из различных подпространств. По лемме 3 их конечное число, то есть если x0 H\H1 и номер k такой, что Hk=Hk+1, тогда Lkx0 Hk и существует y H: Lkx0=Lk+1y, или L(Lk-1x0-Lky)=0. Так как KerL=0, то Lk-1x0=Lky и так далее. В итоге получим x0=Ly, что означает x0 H1. Полученное противоречие доказывает равенство ImL=H. Аналогично устанавливается соотношение ImL*=H, если KerL*=0. Лемма доказана. Лемма 5. Если ImL=H, то KerL=0. Так как ImL=H, то по лемме 2 KerL*=0, но тогда по лемме 4 ImL*=H. Снова применяя лемму 2, получим KerL=0. Из лемм 4 и 5 непосредственно следует Теорема 2 (2-я теорема Фредгольма или альтернатива Фредгольма). Либо уравнение Lx=f имеет единственное решение при любой правой части f H, либо уравнение Lx=0 имеет ненулевое решение. Теорема 3 (3-я теорема Фредгольма). Однородные уравнения Lx=0 и L*y=0 имеют одно и то же и при том конечное число линейно независимых решений. Доказательство. Пусть dim KerL, dim KerL * . Если , то в подпространстве KerL существует счетная ортонормированная система {xk}. Из Lxk=0 следует равенство Axk=xk, причем при l≠k: Axl Axk xl xk 2 , то есть из последовательности {Axk} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А. Таким образом , . Докажем равенство . Пусть i и j – ортонормированные базисы соответственно в KerL и KerL*. От противного, предположим . Получим Sx Lx ( x, j ) j . j 1 Так как оператор S получается сложением оператора L и конечномерного оператора, то все результаты для оператора L справедливы и для S. Покажем, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение. Итак, Lx ( x, j ) j 0 . j 1 По лемме 2 ( Lx, j ) 0 , значит ( x, j ) 0 для всех j 1,2,..., . Поэтому Lx=0, то есть x KerL и одновременно x KerL , следовательно x=0. Из утверждения о том, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение по 2-ой теореме Фредгольма следует существование элемента y, для каждого справедливо равенство Ly ( y, j ) j 1 . j 1 Умножая это равенство скалярно на 1 , получим слева 0, а справа 1, ибо Ly ImL, а Im L KerL * . Противоречие означает, что . Заменив теперь в наших рассуждениях L на L*, докажем неравенство . Таким образом и теорема доказана. Теорема 4. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, то есть полная ортонормированная система. Доказательство. Пусть G = { g , g , …} – счетное и всюду плотное в 1 2 g гильбертовом пространстве H множество G =H ( g n 0 ). Положим e1 1 и g1 обозначим через L1 - подпространство, порожденное e1 . Выберем g n 2 - первый по счёту элемент, не принадлежащий L1 и рассмотрим h 2 - его проекцию на L1 H Ө L1 . Так как h 2 0 , то e 2 h2 , а через L 2 обозначим подпространство, h2 порождённое e1 и e 2 . Пусть g n 3 L 2 - первый по счёту за g n 2 и h 3 его проекция на L2 H Ө L 2 . Так как h 3 , то e 3 h3 h3 и так далее. Получим ортонормированную систему { e i } и в силу того, что любой элемент g n 2 L m по построению, то замыкание линейной оболочки системы { e i } совпадает с H, то есть эта система образует базис. Теорема доказана. Теорема 5. Любое комплексное (вещественное) сепарабельное гильбертово пространство изоморфно и изометрично комплексному (вещественному) пространству l 2 , то есть все комплексные (вещественные) сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны и изометричны между собой. Доказательство. Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и { e i } – ортонормированный базис в нём. Если x – любой элемент из H, то ~ x (c1 , c 2 ,...) , c i (x, e i ) и так как c i 1 2 i ~ x 2 l2 x 2 H , то ~ x l 2 . Пусть x, y H , α и β - числа из поля. Ясно, что αx βy H , α~ x β~ y l 2 , αx βy H α~ x β~ y l2 , следовательно отображение H l 2 сохраняет линейную операцию и расстояние. n Обратно, пусть ~ z (1 , 2 ,...) l 2 . Рассмотрим в H последовательность z n = ∑ξ iei . i =1 Так как zm zn 2 n ξ i m 1 2 i 0 при n,m , то последовательность { z n } – фундаментальная. В силу полноты H имеет место z n z H , а имея в виду (z, ei ) = lim (z n , ei ) = ξ i , получаем для любого ~ z ∈l2 элемент ~z ∈H , где ξ i n →∞ коэффициенты Фурье. Таким образом отображение взаимно однозначно, а из рассуждений выше следует, что оно изометрично и изоморфно. Теорема доказана. Непосредственным следствием из теоремы 5 является Теорема 6 (теорема Рисса-Фишера). Пространства L 2 ( E) и ∞ l 2 изоморфны и изометричны, причём f ( x ) dx = ∑ci , ∫ 2 E 2 где i =1 ci = ∫ f ( x )ei ( x )dx = (f , ei ) . E Теорема 7. В сепарабельном гильбертовом пространстве H ограниченная последовательность { x n } содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Пусть x n ≤C и так как Н – сепарабельно, то в нём существует ортонормированный базис { e i }. В силу ( x n k , e1 ) ≤ x n ≤C по теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность { x n k } для которой ( x n k , e1 ) сходится. Так как ( x n k , e 2 ) ≤ x n ≤C то существует подпоследовательность { x n k } для которой ( x nk , e2 ) сходится и так далее. Возьмём диагональную l l последовательность { ~ x n }, то есть последовательность, где элемент ~ x n равен n-му члену подпоследовательности для базисного элемента en . Для неё (~ x n , ek ) m сходится при n → ∞ и также сходится (~ x n , ψ) , где ψ = ∑αi ei - любая линейная i =1 комбинация из элементов ортонормированного базиса. Докажем сходимость последовательности (~ x n , z) для любого элемента z ∈H . Пусть ε > 0 - любое наперёд заданное число. Тогда существует линейная m ε комбинация ψ = ∑αi ei такая, что выполняется неравенство z - ψ < . 2C + 1 i =1 Выберем номер N=N( ε ), для которого при всех n,m ≥N выполняется неравенство ε (~ xm - ~ x n , ψ) < . Тогда (~ x m , z) - (~ x m , z) ≤(~ xm - ~ x n , z - ψ) + (~ xm - ~ x n , ψ) ≤ 2C + 1 ε ε ε ≤( ~ xm + ~ xn ) z - ψ + < 2C + =ε, тем самым сходимость 2C + 1 2C + 1 2C + 1 последовательности (~ x n , z) доказана для любого z ∈H . Покажем, что существует слабый предел x 0 последовательности {x n } . Обозначим f (z) = lim (~ x n , z) - линейный функционал на H. По теореме Рисса-Фреше n →∞ f (z) = ( x , z) , то есть lim (~ x , z) = ( x , z) , а, значит, x - слабый предел для {~ x }. 0 n →∞ n 0 0 n Теорема доказана. §11.Сопряжённый оператор. Введём понятие сопряжённого оператора A* . Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, или y=Ax. Если φ ( y ) - любой линейный функционал, определённый на Х: f (x) = φ(Ax ) ≤φ Ax ≤φ A x . Таким образом любому линейному функционалу φ ∈Y* ставится в соответствие линейный функционал f ∈X* , то есть построен оператор, определённый на Y* со значениями в X* . Этот оператор обозначим A* и назовём сопряжённым: f = A*φ . Если записать значение функционала f ( x ) = (f , x ) , то можно написать * (A φ, x) = (φ, Ax ) . Легко проверяется свойство сопряжённого оператора: если А и В – линейные ограниченные операторы, то (αA + βB)* = αA* + β B* . Теорема 1. Пусть A ∈Z(X → Y) . Тогда существует A* ∈Z(Y* → X* ) , то есть A* - линейный ограниченный оператор, причём A = A* . Доказательство. Из определения оператора следует цепочка соотношений A φ(x) = f (x) = φ(Ax ) ≤φ Ax ≤φ A x , откуда сначала следует неравенство * f ≤φ A , а затем оценка A* ≤A . Далее, пусть x 0 - любой элемент пространства Х. По первому следствию из теоремы Хана-Банаха существует линейный функционал φ 0 ∈Y* такой, что φ 0 = 1 и φ 0 (Ax 0 ) = Ax 0 . Тогда Ax 0 = φ 0 (Ax 0 ) = f 0 ( x 0 ) ≤f 0 x 0 = A*φ0 x 0 ≤ A* φ 0 x 0 = A* x 0 . Отсюда в силу произвольности элемента x 0 получаем оценку A ≤A* , а, затем, и равенство A = A* . Теорема доказана. Оператор A* сопряжён к линейному непрерывному оператору A , действующему в гильбертовом пространстве Н, если для любых элементов x , y ∈H выполняется равенство (Ax, y) = (x, A* y) . b k ( t , s) x (s)ds , где В пространстве L2 (a, b) рассмотрим оператор Ax ( t ) = ∫ a k(t, s) ∈L2 (П) , где П = (a , b) × (a , b) . Произвольный линейный функционал φ ( x ) , b x ( t )h ( t ) t , где h(t ) ∈L2 (a, b) действующий в L2 (a, b) , имеет вид φ( x ) = ( x , h ) = ∫ a b b b h ( t )( ∫ k ( t , s) x (s)ds)dt = ∫ x (s)g (s)ds , однозначно определяется по φ . Поэтому φ(Ax ) = ∫ a a a b k ( t , s)h ( t )dt , то есть g = A*h . Переход к сопряженному оператору где g (s) = ∫ a означает переход к транспонированному ядру, другими словами у переставляются аргументы. k ( t , s) Пусть A ∈Z(H → H) . Обозначим Im A = {y ∈H : y = Ax} - образ оператора А, KerA = {x ∈H : Ax = 0} - ядро оператора А. Если А – ограничен, то KerA подпространство. Теорема 2. Если A ∈z(H → H) , H - гильбертово пространство, то H = Im A ⊕KerA* . Доказательство. Так как Im A - подпространство, то H = Im A ⊕(Im A)⊥. По теореме 1 существует линейный ограниченный оператор A* . Покажем, что KerA* = (Im A )⊥. Если x ∈KerA* , то A * x = 0 и для любого y ∈H справедливо равенство ( y, A*x) = (Ay, x ) = 0 , то есть x ⊥Ay , при x ⊥Im A . Отсюда следует, что x ⊥Im A , а потому x ∈( Im A )⊥. Обратно x ∈( Im A )⊥, следовательно, x ⊥Im A , или даже x ⊥Im A . Значит (Ay, x ) = 0 для всех x и y из H . Но (Ay, x ) = ( y, A*x ) = 0 , или полагая y = A*x , получим A*x = 0 , A * x = 0 , то есть x ∈KerA* Теорема доказана. §12. Вполне непрерывные операторы. Определение 1. Множество M линейного нормированного пространства X называется компактным, если любая последовательность его элементов содержит фундаментальную подпоследовательность. Очевидными являются следующие факты: компактное множество ограничено, любое ограниченное множество в конечномерном пространстве является компактным, единичная сфера в бесконечномерном пространстве – множество ограниченное, но не компактное ( из последовательности, состоящей из элементов ортонормированного подпоследовательности). базиса, нельзя выделить сходящейся Определение 2. Линейный оператор A , действующий из линейного нормированного пространства X в линейное нормированное пространство Y , называется вполне непрерывным (компактным), если он всякое ограниченное множество переводит в компактное. Любой ограниченный оператор переводит ограниченное множество в ограниченное и компактное в компактное. Вполне непрерывный оператор является ограниченным, а любой ограниченный оператор в конечномерном пространстве – компактным. В бесконечномерном пространстве единичный (тождественный) оператор – ограничен, но не компактен. Пусть E - ограниченное замкнутое множество в R n , C(E) - множество непрерывных на У функций. Теорема 1 (критерий компактности в C(E) ). Для того, чтобы множество K было компактным в C(E) необходимо и достаточно выполнение условий: множество K 1) - равномерно ограничено в C(E) , то есть существует постоянная M такая, что x(t ) C( E ) ≤M для любой функции x ( k ) ∈K ; множество K - равностепенно непрерывно в C(E) , то есть для любого ε > 0 найдётся δ = δ(ε) > 0 и такое, что как только h < δ , 2) x , x + h ∈E , будет выполняться неравенство x(t + h) - x(t) C( E ) <ε для любой функции x ( t ) ∈K . Теорема 2 (критерий компактности в L p (E ) ). Для того чтобы множество K ⊂L p (E ) , p ≥1 , E < +∞, было компактно в L p (E ) необходимо и достаточно, чтобы это множество было равномерно ограничено в L p (E ) и равностепенно непрерывно в L p (E ) . 1 Пусть X = Y = C[0,1] , y( t ) = Ax ( t ) = ∫ K( t, s) x(s)ds , где K (s, t ) - непрерывная 0 функция на квадрате П = {( t , s) : 0 ≤t , s ≤1} . Покажем, что A - вполне непрерывный 1 оператор. 1) Если x ( t ) C ≤r , то 1 y( t ) ≤ ∫ K(s, t ) x (s) ds ≤K ∫ x (s) ds ≤Kr , 0 где 0 K = max K ( t , s) . 2) По теореме Кантора любая непрерывная на замкнутом ( t , s )∈П ограниченном множестве в R n функция является равномерно непрерывной. Потому для любого ε > 0 найдётся δ = δ(ε) > 0 такой, что как только t1 - t 2 < δ , то ε будет выполняться неравенство K ( t1 , s) - K(t 2 , s) < для всех (t1, s), (t 2 , s) ∈П и r 1 t1 - t 2 < δ . Следовательно, ε y( t1 ) - y(t 2 ) ≤∫ K( t1 , s) - K(t 2 , s) x (s) ds < • r = ε . Условия r 0 теоремы 1 выполнены. Пусть X = Y = H = L2 (E) , E < +∞, y( t ) = Ax ( t ) = ∫ K( t, s) x (s)ds , где E K ( t , s)dtds < +∞. ∫∫ 2 Тогда A также вполне непрерывный оператор. Следует ExE использовать теорему 2, непрерывности в метрике L p . неравенство Коши-Буняковского и теорему §14. Элементы спектральной теории. Пусть X – банахово пространство над полем комплексных чисел. Оператор A L(X X) , то есть линейный ограниченный оператор, действующий из X в X. Определение 1. Резольвентное множество ρ(A) оператора A есть множество комплексных чисел λ , для которых существует (I - A) -1 - ограниченный оператор, определенный на всем X. Спектром σ(A) оператора A называется дополнение к множеству ρ(A) на комплексной плоскости, то есть σ(A) C \ ρ(A) . Определение 2. Операторнозначная функция ρ(λ, A) (I - A) 1 , определенная на множестве ρ(A) , называется резольвентой оператора A, а λ ρ(A) называется регулярным значением оператора A. Таким образом, λ - регулярно, если: 1. Ker(I A) {0} ; 2. Im( I A) X ; 3. (I A) -1 . В конечномерном пространстве либо Ker(I A) {0} , то есть λ - собственное значение, либо λ - регулярное значение. В бесконечномерном пространстве возможно, что Ker(I A) {0} , но обратный оператор действует не на всем пространстве, так как в случае Im( I A) X по теореме Банаха мы имели бы существование ограниченного оператора (I - A) -1 . Кроме того, при несовпадении образа оператора (I - A) и пространства X оператор (I - A) -1 может быть и неограничен. Рассмотрим в качестве примера оператор A : x(t) tx(t) , действующий в пространстве C[0;1] . Из равенства (I - A) (λ - t)x(t) 0 следует x(t) 0 для любого x(t) и, λ C , то есть KerA {0} . Обратный оператор задается равенством (I - A) -1 x(t) λ-t очевидно, действует не на всем пространстве C[0;1] при λ [0;1] . Таким образом, спектр этого оператора равен отрезку σ(A) [0;1] . Определение 3. Комплексное число λ называется собственным значением оператора A, если Ker(I A) {0} , а любой не равный нулю элемент x Ker(I A) называется собственным элементом, отвечающим собственному значению λ . Теорема 1. Резольвентное множество ρ(A) - открыто. Доказательство. Пусть λ - фиксированное число из ρ(A) , а μ - любое комплексное число такое, что μ R( λ, A) 1 . Покажем, что λ μ ρ(A) . Введем в рассмотрение k 0 k 0 оператор s(μ ) (μ) k ( λI A) (k 1) (μ ) k (R (λ, A)) k 1 . Так как по условию μ R( λ, A) 1 , то ряд сходится сильно (по норме в L(X X) ). Далее, (( λ μ )I A)s(μ ) (λI A)s(μ) μs(μ ) {( μR (λ, A)) k (μR (λ, A)) k 1 } I , то k 0 есть s(μ ) R(λ μ, A) - ограниченный оператор и λ μ ρ(A) . Теорема доказана. Следствие. Спектр σ(A ) - замкнут. Теорема 2. Пусть X - банахово бесконечномерное пространство и A – вполне непрерывный оператор в нем. Тогда 0 σ(A ) , то есть λ 0 не является регулярным значением. Если бы 0 ρ(A ) , то оператор A имел бы ограниченный обратный оператор и оператор AA -1 I являлся вполне непрерывным, что невозможно. Теорема 3 (теорема Гильберта-Шмидта). Пусть A A * - вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда любой элемент x ImA представим в виде ряда Фурье x (x, e λ k 0 k )e k по собственным элементам e k оператора A, образующим ортонормированную систему. Замечание. Для всякого самосопряженного вполне непрерывного оператора A в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис пространства H, состоящий из собственных векторов этого оператора. Для этого достаточно систему из теоремы 3 дополнить произвольным ортонормированным базисом из KerA .