модель самоорганизации торговых сетей в экономике с

Гуриев С.
МОДЕЛЬ САМООРГАНИЗАЦИИ ТОРГОВЫХ СЕТЕЙ
В ЭКОНОМИКЕ С НЕСОВЕРШЕННОЙ
ИНФРАСТРУКТУРОЙ
О
дной из отличительных черт экономики переходного периода как в России, так и в других странах является
предпочтительное положение торгового сектора, в котором сосредотачиваются как значительный капитал, так и квалифицированные кадры.
Некоторые экономисты и предприниматели полагают, что ускоренное
развитие торговли благоприятно для переходной экономики, некоторые, напротив, считают, что гипертрофированный рост торговой сферы происходит в ущерб товаропроизводителям, однако нельзя не признать, что в децентрализованной переходной экономике процесс опережающего развития торговли действительно имеет место.
По-видимому,
значительные
транзакционные
издержки,
неразвитая торговая инфраструктура и высокая степень неопределенности
экономической ситуации приводят к тому, что в торговом секторе образуются длинные цепочки посредников и высокие прибыли, что привлекает в торговлю новые ресурсы и способствует ее дальнейшему
развитию.
Отметим, что в российской экономике в большей степени,
чем в других переходных экономиках, формирование частной торговли
происходит практически "с нуля", при очень низком уровне торговой
инфраструктуры.
Под
несовершенством
инфраструктуры
мы
понимаем
большое количество времени, которое необходимо затратить, для того,
40
чтобы
купить
товар
(включая
время
на
получение
информации,
оформление покупки, транспортировку и т.д.).
В настоящей работе исследуется модель, при помощи которой
можно
исследовать
влияние
несовершенства
инфраструктуры
на
процессы самоорганизации систем торговых связей и на структуру торговых сетей, формирующихся в экономике переходного периода.
Вопросы
функционирования
и
самоорганизации
торговых
сетей так или иначе рассматривались в литературе. В первую очередь,
следует
выделить
работы,
посвященные
процессам
ценообразования
в
децентрализованных торговых системах (например, [1]-[4]). В отличие
от
ситуации
централизованной
торговли
(общеизвестной
модели
вальрасовского аукциона), когда в каждый момент времени на рынке купля-продажа происходит только по одной цене, в модели децентрализованной
торговли
предполагается,
что
существует
несколько
локальных
рынков, на каждом из которых устанавливается своя цена. В моделях
пространственного равновесия и других моделях равновесия на графе
[]],[2]
изучаются
проблема
существования
и
свойства
равновесия
в
децентрализованных
торговых
системах
при
различных
предположениях. Кроме того, в [1] предлагаются алгоритмы для вычисления равновесия на графе. В работах [3],[4] рассматривается механизм формирования цен при парных встречах продавцов и покупателей. Встречи
происходят
в
соответствии
с
заданным
стохастическим
процессом.
Встретившись,
покупатели
и
продавцы
начинают
последовательные
торги, максимизируя ожидаемую полезность с учетом имеющейся у
них информации (предполагается, что агенты имеют совершенную память) и своих внутренних характеристик. Авторы исследуют сходимость такого процесса парных встреч к вальрасовскому равновесному
состоянию.
Существует также ряд работ, в которых рассматривается агломерация
торговых
посредников
и
самоорганизация
торговых
центров. В [6] торговцы и покупатели перемещаются в пространстве, максимизируя свои целевые функции, и при условии, что выгоды от взаимной близости окупают затраты на перемещение, формируют локальный рынок (market place). В [7] рассматривается популяция, состоящая из нескольких классов, и исследуется вопрос, при каких ус-
41
ловиях в данном классе выделяются так называемые менеджеры рынка
(market managers) - агенты, ответственные за формирование локального рынка в данном классе. Формирование локального рынка сопряжено с некоторыми затратами, однако в отсутствие локального рынка
агенты данного класса вынуждены пользоваться рынками других классов, что также невыгодно. В работе показано, что при низких трансакционных издержках в экономике существуют устойчивые торговые
структуры. Кроме того, оказывается, что если богатство одного класса
существенно
превосходит
богатство
остальных
классов,
этот
класс
формирует монопольный рынок. Таким образом, в [7] авторы исследуют проблему эндогенного формирования (иначе говоря, самоорганизации) торговой инфраструктуры, однако в работе рассматривается
только равновесное состояние системы - эволюционно устойчивое состояние ESS [8], подобно моделям равновесия на графе [1],[2].
В настоящей работе используется другая методология, позволяющая исследовать не только статические, но и динамические свойства
системы.
Данный
подход,
чаще
всего
называемый
"эмерджентными вычислениями", описан, например, в [9], [10] и широко применяется в настоящее время для построения динамических
моделей в экономике, экологии, социологии, а также в других отраслях знания. В [9], [10] предполагается, что информация, отсутствующая на уровне индивидуальных агентов, может возникать на уровне
коллективных
взаимодействий.
Обычно
метод
эмерджентных
вычислений используется для исследования систем, состоящих из некоторого
множества
агентов,
следующих
определенным
инструкциям
(локальным программам) при отсутствии единого управляющего центра и при наличии способности агентов к адаптации и обучению.
Взаимодействие
агентов
согласно
инструкциям,
установленным на микроуровне, приводит к возникновению феноменов на уровне
системы в целом, например, к образованию устойчивых структур или
схем поведения. Таким образом, объектом исследования является нелинейная динамическая система, которая может, вообще говоря, кроме
устойчивых состояний равновесия иметь устойчивые циклы, странные
аттракторы, хаотическое поведение и т.д. Для достаточно сложных
систем полностью исследовать получающуюся динамику аналитически,
42
как правило, не удается, и проводятся вычислительные эксперименты.
Данный подход показал свою эффективность при исследовании самых
разных проблем, в том числе при моделировании "пузырей" на финансовых рынках [11] и описании динамических аспектов кооперативного
поведения [12]. В [13] рассматривается взаимодействие между производителями, использующими невыпуклые технологии. Показано, что
благодаря существенной нелинейности взаимодействий малые независимые возмущения в системе могут не гасить друг друга, а, наоборот,
усиливать.
В работах [14] и [15] подход эмерджентных вычислений применяется для изучения динамики торговой сети. Отметим, однако, что
хотя работа [14] близка настоящей работе и по объекту, и по методологии исследования, цели работ существенно различны. В работе [14]
на примере торговой сети рассматриваются свойства механизма отсроченного выбора и отказа в многопериодной дилемме, заключенного с
несколькими участниками, внимание акцентируется на свойствах различных методов адаптации. В [15] рассматривается самоорганизация
рынка при наличии затрат на передачу информации. Предлагается
конкретная модель порождения и удовлетворения заявок на покупку
товара. Обучение и адаптация агентов также описываются при помощи
генетических алгоритмов. Результаты показывают, что данный подход
позволяет выявить некоторые содержательно интересные свойства
процесса самоорганизации.
В настоящей работе подход эмерджентных вычислений применяется для исследования торговых сетей в экономике с несовершенной инфраструктурой и возможностью возникновения дефицитов. Мы
рассматриваем взаимодействия торговцев, производителей и потребителей на распределенном рынке однородного продукта. Как это принято в эмерджентных вычислениях, мы стремимся максимально упростить принципы поведения индивидуальных агентов,1 уделяя основное
внимание изучению эмерджентных свойств системы, возникающих
вследствие взаимодействия агентов.
43
1. Описание модели
1.1. Структура модели
Будем
рассматривать
взаимодействие
экономических
агентов
трех типов: конечные потребители, производители (поставщики) и
торговцы (посредники). Для агентов каждого типа существует набор
свойственных этому типу характеристик и правил функционирования
на рынке.
Обозначим множества потребителей, производителей и тортели могут покупать единицу однородного товара у производителей
или торговцев, а торговцы - у производителей или друг у друга. Будем
rij , которое мы будем называть торговым расстоянием2.Торговое, расстояние есть время, необходимое покупателю i для покупки единицы
товара у продавца j. В экономике с развитой инфраструктурой затраты времени на покупку товара малы и обычно не принимаются во
внимание, однако в экономике с несовершенной инфраструктурой,
будь-то западноевропейская экономика в XV-XVIII веках или современная российская экономика, торговые расстояния значительны, и,
как показано ниже, могут оказать существенное влияние на макроскопические свойства торговой сети и структуру торговых связей.
Помимо торговых расстояний (затрат времени на поездку за
товаром) будем рассматривать и транспортные издержки (затраты денег на поездку), как в моделях пространственного равновесия [1]. Положим
транспортные
издержки
пропорциональными
торговым
расстояниям К ij = кirij, с коэффициентом пропорциональности
ki (затраты денег на единицу пути).
44
Каждый покупатель имеет профиль предпочтений сел aij, каждое из которых есть вероятность того, что, желая купить
набор
чи-
товар, покупатель i отправится именно к продавцу j. Естественно
считаются
экзогенными
переменными.
Такое
предположение
соответствует, например, описанию рынка потребительских импортных товаров в России. В этом случае цены поставщиков заданы, причем государство может изменять их введением импортных тарифов.
Потребители и торговцы являются активными агентами, то
есть могут изменять свое поведение во времени. Поведение агентов
определяется переменными двух типов, которые мы будем называть
быстрыми и медленными управлениями агента. Для покупателей и
продавцов быстрые управления включают решения, сколько покупать
и сколько продавать, а медленные управления - у кого покупать
(профиль предпочтений) и за сколько продавать) (цены), соответственно. Быстрые управления определяются в каждый момент времени
из условия выполнения материального или финансового баланса агента
и могут изменяться скачком, а медленные управления непрерывно изменяются агентом таким образом, чтобы увеличить значение целевой
функции. Мы принимаем следующее соотношение характерных времен изменения переменных: медленнее всего изменяются цены, при
заданных ценах покупатели адаптируют свои профили предпочтений,
при заданных ценах и профилях предпочтений в системе быстро устанавливаются физические потоки товара. Таким образом, мы реализуем
схему Бертрана [17]: торговцы устанавливают цены, наблюдают поведение покупателей при заданных ценах, изменяют цены с целью мак-
45
симизации прибыли, наблюдают реакцию покупателей на изменившиеся цены и т.д.
Агенты принимают решения на основе имеющейся у них информации. Покупателю известны цены и вероятности дефицита у всех
продавцов, и расстояния до каждого из них. Продавцу известен спрос
на его товар во все прошедшие моменты времени.
Рассмотрим поведение потребителей и торговцев по очереди.
1.2. Модель поведения потребителей
Будем описывать поведение потребителя управляемым марковским процессом [18]. Потребитель может находиться в одном из следующих состояний: w - работа, с - потребление, j - покупка у j-го
продавца. Во время работы потребитель получает заработную плату Si
в единицу времени. Время, в течение которого потребитель находится
в состоянии w, является реализацией случайной величины, имеющей
пуассоновскую
плотность
распределения
Λ iехp{- Λ it}dt с частотой
Λ i. Частота Λ i является управлением потребителя - если потребитель хочет увеличить среднее время работы, он уменьшает Λ i.
Закончив работу, потребитель выбирает продавца в соответствии со своим профилем предпочтения, то есть с вероятностью α ij
переходит в состояние j (отправляется к продавцу j за товаром). Процесс поездки за товаром является пуассоновским с частотой I/rij.(тo
есть среднее время, затрачиваемое на поездку, равно rij). В процессе
поездки за товаром потребитель расходует ki,- денег в единицу времени, а по окончании поездки либо сталкивается с дефицитом и ничего
не покупает с вероятностью 1- ßj-, либо приобретает единицу товара
по pj цене с вероятностью ßj. В первом случае он переходит в состояние w и вновь приступает к работе, а во втором - переходит в состояние с и начинает потреблять купленный товар.
Процесс потребления также является пуассоновским
той 1 /τ i (то есть потребление единицы товара в среднем занимает
46
с
часто-
время τi). Величина τi, как и заработная плата Siи коэффициент ki,·,
является внутренней характеристикой потребителя.
Потребитель
выбирает
Λi
(быстрое
управление,
определяющее, сколько времени работать и, следовательно, сколько тратить на
покупки) таким образом, чтобы математическое ожидание разности
между его доходами и расходами в стационарном состоянии равнялось
нулю. Как показано в Приложении А, в этом случае его потребление в
единицу времени равно
В случае необщего положения, когда существует несколько таких j*,
будем для определенности считать, что потребитель делит свой спрос
между ними поровну
47
Графически
выбор j* может быть
представлен следующим
образом (Рис.1). На плоскости (q,p) изобразим точки (q ij ,p j ), где
полученного множества точек и проведем к ней касательную с углом
наклона Si + ki. Точка касания и будет определять j* (в случае необщего положения точек касания может быть несколько). Если потребители с различными доходами Si расположены в одной и той же точке
(так что расстояния rij одинаковы), тогда распределение потребителей
по s разобьется на несколько сегментов (отрезков на оси s), причем
каждый из сегментов будет обслуживаться ровно одним торговцем из
Рис.
1. Выбор продавца покупателем. Слева показан выбор потребителя и
торговца без дефицита, tg φ = Si + ki, справа - выбор торговца с дефицитом.
48
каждый
момент
времени
t
имеющийся
профиль
предпочте-
ний α jj (t), вообще говоря, отличается от целевого α ij (t). в этом
случае агент изменяет свой профиль
целевому, со скоростью адаптации Ц,:
предпочтений,
aij(t + ∆) = αij(t )+ µi∆α*ij (t) –αij(t)) .
приближая
его
к
(3)
Здесь ∆ - шаг по времени. Мы будем считать ∆ достаточно малым по
сравнению с 1 / µi, так что µi∆ ≤ 1 . Величина 1 / (µi∆) показывает,
за сколько шагов потребитель адаптируется к внешним изменениям.
Для
исследования
поведения
торговцев нас будет интересовать
не только фактическое потребление, но и средний спрос i-го потребителя на товар j-го торговца в единицу времени:
1.3. Модель поведения торговцев
В рассматриваемой модели торговец является и продавцом, и
покупателем,
следовательно,
в
данном
разделе
необходимо
описать
принятие торговцем решений о том, сколько и у кого покупать и
сколько и по какой цене продавать. Сначала мы рассмотрим определение торговцем быстрых управлений, затем - профиля предпочтений,
и, наконец, изменение цены.
Торговцы
также
описываются
управляемыми
марковскими
процессами. Будем считать, что торговец может находиться или в свободном состоянии I, или в одном из связанных состояний j(j Z i).
Находясь в свободном состоянии, торговец может принять решение
купить единицу товара. В этом случае торговец покидает состояние
i и
с вероятностью
αij
переходит в состояние j поездки за товаром к продавцу j. Процесс выхода из свободного состояния является пуассоновским с частотой
Λi,. Частота
Λi, является быстрым управлением торговца и определяет в конечном счете объем покупок.
4-236
49
Как и в модели описания потребителя, процесс поездки
товаром является пуассоновским с частотой 1 / rij, в процессе поездки
за
за товаром торговец расходует ki ,денег в единицу времени, а по окончании поездки либо ничего не покупает с вероятностью 1 — βj, либо
приобретает единицу товара по цене рj с вероятностью βj.В обоих
случаях торговец возвращается в свободное состояние i . Из свободного
состояния торговец может вновь отправиться за товаром.
Рассмотрим теперь поведение торговца как продавца. Будем
считать, что к торговцу приходит
покупателей в единицу времени, которым торговец продает товар по
цене pj с вероятностью βi и отказывает с вероятностью 1-βi, вне
зависимости от того, в каком состоянии находится торговец. Величина
βi также является быстрым управлением торговца и определяет объем
продаж.
В
отличие
от
потребителя,
поддерживающего
финансовый
баланс и максимизирующего поток продукта, торговец стремится выполнить
условие
материального
баланса
(математическое
ожидание
разности покупок и продаж в стационарном состоянии равно нулю) и
максимизировать прибыль (среднее превышение доходов над расходами). В Приложении С показано, что условие материального баланса
состоянии) должна быть неотрицательной.
Как показано в Приложении
единицу времени равна
50
С,
средняя
прибыль
торговца
в
Таким образом, торговец максимизирует функционал (7), вы-
личины (6). Тогда возможны три случая.
1. Дефицит. Спрос слишком велик
так что торговец не успевает обслужить свой спрос и вынужден отказывать некоторым своим покупателям. Объем неудовлетворенного
спроса определяется из условия равенства (6) нулю (торговец моментально покидает состояние i):
3. Граница дефицита.
допустимому значению
51
Спрос
в точности равен максимально
Может показаться, что третий случай не является случаем общего положения. Однако ниже показано, что медленные переменные (αij)
настраиваются таким образом, что это такой же случай общего положения, как и первые два.
Таким образом, быстрые управления определены:
Теперь мы также можем вычислить спрос i-гo торговца на товар j-гo
Подставляя (9) в (7), получаем выражение для прибыли
продавца в единицу времени
что поведение торговца существенно различается в зависимости от
величины спроса λi·. Если спрос достаточно мал, то торговец может
обслужить всех своих покупателей βi = 1. В этом случае торговец
выбирает продавца по критерию максимальной прибыли на единицу
товара j*= argmax j -p i -p j -k i r ij / β j . Графически выбор j* в
этом случае совпадает с выбором потребителя при si Z 0: на Рис. 1
нужно провести касательную к выпуклой оболочке Λ с углом наклона
ki. Если ki = 0, то торговец выбирает продавца с наименьшей ценой.
Если
же
спрос
достаточно
велик,
то
торговец
отказывает
некоторым своим покупателям βi < 1. В этом случае торговец максимизирует прибыль в единицу времени j = argmax j (pi-p j )βj/r i j .
52
ходимо провести касательную из точки (O,p i ) (Рис.1). Чем больше
p i , тем больше p j и меньше q ij . Легко показать, что прибыль торговца (pi — pj) / qij равна наклону касательной и, в силу выпуклости
В первом случае (см. Приложение D) торговец будет стремиться покупать по низким ценам у удаленных продавцов, а во втором
- по более высоким ценам у близлежащих продавцов. Возможна и
промежуточная ситуация, когда, покупая только по низким ценам у
удаленных продавцов, торговец не успевает обслужить свой спрос, а
покупая у близлежаших по высоким - удовлетворяет его с избытком. В
этом случае торговец диверсифицирует свои покупки - он покупает
как у одного удаленного продавца по низким ценам, так и у одного
близлежащего по высоким, стремясь удовлетворить свой спрос полностью; при этом βi = 1 и 1 / λi- = 0. В Приложении D показано, что
все три случая являются случаями общего положения.
Как и для потребителя, в каждый момент времени t имеющийся профиль предпочтений αij(t), вообще говоря, отличается от целевого α*ij(t). В этом случае торговец изменяет свой профиль предпочтений, приближая его к целевому, со скоростью адаптации
µi, в соот-
ветствии с формулой (3). Скорость адаптации торговца мi будем такжесчитать удовлетворяющей условию µ i ∆ ≤ 1 .
Теперь опишем изменение торговцем цены pj. Цена входит в
выражение для прибыли (12) как прямо, так и косвенно - прибыль
зависит от величины спроса Λi·, которая в свою очередь зависит от
цены в силу (4), (5) и (10). Если бы торговец знал все внутренние параметры и текущее состояние всех своих покупателей и других торговцев и обладал неограниченными вычислительными возможностями,
тогда он смог бы в точности определить зависимость спроса от цены
Λi(pi), и, следовательно, в каждый момент времени мог бы определить цену pi., при которой его прибыль была бы максимальной. Однако более реалистичным является предположение, что способность
53
торговца получать, хранить и обрабатывать информацию ограничена, и
при прогнозировании спроса торговец использует только наблюдаемую
величину спроса на свой товар в прошлом. Мы предполагаем, что после каждого изменения цены торговец в течение некоторого времени
оставляет цену неизменной и измеряет средний спрос на свой товар в
ляется ценой pi(t), которая на этом отрезке времени постоянна. Таким образом, используя данные о величине спроса в прошлом, торговец может локально оценить производную спроса по цене
Здесь Fi функция прогноза чувствительности спроса по значениям
спроса и цены в прошедшие моменты времени. Примером такой
функции может служить
спроса и, следовательно, прибыль торговца зависят не только от его
собственного поведения, но и от поведения других торговцев. Поэтому,
если позволить скачкообразное
изменение
цены для моментального
достижения предполагаемого максимума прибыли, то в системе будут
54
возможны незатухающие колебания с очень большой амплитудой, обусловленные
взаимозависимостью
торговцев
и
несовершенством
информации.
Вот
почему
предположение
о
перманентном
пересмотре
стратегии в рамках малого интервала (аналог скользящего планирования в непрерывном времени) предпочтительнее.
Кроме того, чтобы устранить возможность появления колебаний,
обусловленных
особенностями
вычислительного
эксперимента,
мы полагаем, что моменты пересмотра цены торговца не детерминированы, а случайны и наступают в соответствии с пуассоновским процессом с частотой 1 / ∆i (как в [19]).
Заметим, что характерные времена пересмотра цен ∆i должны быть больше, чем 1 / µi; покупателей, так как только в этом случае
торговцы действительно наблюдают, по крайней мере, частично, влияние изменения цены на спрос. Если ∆i слишком малы, то продавцы
просто не успевают заметить реакцию покупателей на изменение цены, не получают никакой информации об истинной функции спроса и
изменяют свои цены практически спонтанно.
2.
Динамические
свойства
торговых сетей
процессов
самоорганизации
2.1. Равновесия и колебания
Таким образом, мы описали изменения во времени быстрых и
медленных управлений продавцов и покупателей: при заданных медленных
управлениях
быстрые
управления
потребителей
определяются
формулой (14), быстрые управления торговцев - формулами (б) и (9),
медленные управления покупателей определяются формулой (3), процедура адаптации цены подробно описана в предыдущем разделе. Следовательно,
мы
полностью
описали
динамическую
систему,
текущее
состояние
которой
задается
набором
медленных
переменных
всех
агентов αij,pj . В этом разделе мы изучим ее динамические свойства.
Во-первых, введем
его существования.
55
определим
состояние
равновесия
и
обсудим
вопрос
спрос покупателей определяется выражениями (4), (5), и (10), а покупательские предпочтения оптимальны при данных ценах αi =αji*. (13)
Определение 2. Состояние {α ij .р j } называется состоянием
равновесия, если профили предпочтений всех покупателей оптимальны
(13) и цены всех торговцев доставляют локальные максимумы соответствующим функциям прибыли.
Чтобы исключить из данного определения ситуации, когда
торговец имеет нулевой спрос и имеет возможность снизить цену для
привлечения покупателей, доопределим функции прибыли следующим
Предложение 1. Предположим, что распределение потребителей по заработной плате и торговым расстояниям таково, что функция
прибыли любого торговца вогнута, каковы бы ни были цены остальных торговцев. Тогда состояние системы является состоянием равновесия тогда и только тогда, когда оно есть равновесие по Нэшу [20] в
тегии участников - их цены р i , функции выигрыша - определенные
выше функции прибыли Пi(рi ).
Предложение 2. Если заработные платы и торговые расстояния ограничены sups i < ∞ ,supr ij < ∞ , тогда если в заданной выше
игре существуют равновесия по Нэшу, то хотя бы в одном из них все
цены торговцев принадлежат отрезку
Следовательно, в предположениях Предложений 1 и 2 равновесие по Нэшу можно искать для игры с компактными множествами
стратегий. По теореме Нэша, в игре с вогнутыми функциями выигры-
56
ша и компактными множествами стратегий существует равновесие по
Нэшу, которое также является и равновесием в нашей модели.
Все сделанные предположения являются вполне естественными, за исключением предположения о вогнутости функций прибыли.
Если торговец j находится в ситуации дефицита βj < 1, то его функция прибыли Пj(Pj) возрастает и вогнута. Однако, если дефицита
нет βj = 1, то все зависит от распределения потребителей по доходу
и в пространстве. В этом случае прибыль, получаемая от удовлетворения спроса потребителя i , является возрастающей дробно-линейной
максимальная цена, при которой потребитель i предпочитает торговца
j всем остальным продавцам. Следовательно, в отсутствие дефицита
при увеличении цены прибыль торговца увеличивается на величину
дополнительной прибыли от тех потребителей, которые продолжают
покупать у него, и уменьшается на величину полной прибыли, которую
он получил бы от потребителей, которые по мере увеличения цены
уходят к другим продавцам. Если распределение потребителей равномерное (примерно одинаковое количество потребителей с каждым
уровнем дохода), то прибыль с ростом цены сначала медленно растет
и затем медленно падает, и может быть вогнутой и иметь единственный локальный, он же и глобальный, максимум. Но если распределение существенно неравномерно (сингулярно), то торговец при увеличении цены теряет потребителей не непрерывно, а целыми кластерами
(Рис.2), при этом малое увеличение цены приводит к уменьшению
прибыли на конечную величину за счет потери конечного количества
потребителей, и лишь к малому приросту прибыли от оставшихся потребителей. Следовательно, точки потери кластеров являются точками
локальных максимумов функции прибыли. Функция прибыли не вогнута, так что равновесие по Нэшу может не существовать. Однако и в
этом случае может существовать равновесие в описанной модели, причем равновесий может быть даже несколько.
Наличие нескольких локальных максимумов у функции прибыли позволяет объяснить природу колебаний, имеющих место в системе. Так как положение и высота локальных максимумов функции
57
прибыли торговца зависят от цен других торговцев, изменение цены
торговцем j1 может привести к тому, что торговец J2 переключится с
нащупывания одного локального максимума на поиск другого, что
приведет к значительному изменению цены торговца j2, что, в свою
очередь, изменит соотношение и расположение локальных максимумов
функции прибыли торговца j1 и заставит торговца j2 вновь изменить
свою стратегию и т.д. На Рис. 3 показана зависимость суммарной прибыли торговцев от времени в процессе перехода от одного локального
максимума к другому. Верхний локальный максимум оказался неустойчивым, и торговцы в конце концов вернулись в те локальные максимумы, где они находились изначально. Отметим, что разрывность
зависимости прибыли от времени является следствием одновременного
перехода потребителей от одних продавцов к другим и обусловлено
сингулярностями в распределении потребителей.
Другой
источник
нестабильности,
обуславливаемый
наличием
кластеров
в
распределении
потребителей,
возможность
внезапных
дефицитов. Этот эффект имеет место, когда потребители изменяют
свои предпочтения слишком быстро (большие µ i ). Если большая
группа потребителей расположена в одном и том же месте и имеет
одинаковый доход, то малое изменение цены pj1 может заставить их
всех направиться одновременно к другому торговцу J2. Если идентичj2 прежде не имевных потребителей достаточно много, то торговец
ший дефицита, окажется в ситуации конечного дефицита, и его привлекательность для потребителей упадет на конечную величину. Затем
вся группа вернется к ставшему более привлекательным торговцу j1 и
создаст дефицит уже у него и т.д. Заметим, что если потребители достаточно инерционны и
µi
малы, то возникший дефицит будет сначала
не так уж и велик, и торговец сможет успеть справиться с ним при
помощи повышения цены.
58
Profit
Producer's price
Price
Рис. 2. Функция прибыли в случае наличия кластеров в распределении потребителей.
0.005
Time, steps
Рис.3. Зависимость совокупной прибыли торговцев от времени при наличии
нескольких локальных максимумов у функций прибыли торговцев.
59
При этом у торговца возникает иллюзия непрерывной функции спроса. При сингулярном распределении потребителей зависимость спроса от цены в действительности разрывна (малое увеличение
цены приводит к конечному падению спроса), но из-за инерционности
потребителей при увеличении цены торговец теряет спрос не моментально, и ему кажется, что функция спроса убывает по цене непрерывно. При этом торговец, максимизируя свою прибыль в силу кажущейся непрерывной функции спроса, может не продолжать повышать
цену, пытаясь достичь следующий локальный максимум функции прибыли, а успеть снизить цену и вернуть своих покупателей.
Вычислительные
эксперименты
с
моделью
подтвердили
возможность существования устойчивых и неустойчивых равновесий, а
также незатухающих колебаний.
2.2. Влияние несовершенства инфраструктуры
Таким образом, важную роль в поведении покупателя (как
потребителя, так и торговца) играет величина q{ - среднее время, затрачиваемое на покупку единицы товара. В выражение (11) для qx
входят вероятности дефицита βj, которые определяются в результате
взаимодействия агентов, и торговые расстояния rij.-, которые являются
параметрами системы. Чем больше rij, тем больше торговцы и потребители тратят на осуществление акта покупки, поэтому естественно
считать rij мерой несовершенства инфраструктуры.
Чтобы
исследовать
влияние
несовершенства
инфраструктуры
на процессы самоорганизации, мы будем сравнивать системы, в которых все торговые расстояния различаются ровно в ρ раз. То есть мы
предположим,
что
матрица
торговых
расстояний
пропорциональна
некоторой фиксированной матрице rij = ρRij, и будем изучать свойства процессов самоорганизации в зависимости от коэффициента пропорциональности ρ, при условии, что все остальные параметры зафиксированы, кроме ki~Ki / ρ. Последнее необходимо для отделения
эффектов, обусловленных несовершенной инфраструктурой, от по-
60
следствий увеличения транспортных издержек (увеличение затрат на
транспортировку вызывает рост торговых наценок и розничных цен,
однако не приводит к качественным изменениям в системе).
1.20
Time, steps
Рис.4. Сходимость к равновесию при почти совершенной инфраструктуре. На
графике показана зависимость средней цены торговцев от времени. Цены всех
производителей равны 1.
этом случае система быстро сходится к равновесию, которое обладает
следующими свойствами.
Предложение 3. Допустим, что
•
коэффициенты транспортных затрат всех агентов одинаковы
ki=k.
61
Тогда в равновесии торговец
i
будет покупать у другого торговца только тогда, когда q i λ i = 1 . В противном случае q i λ i < 1
торговец i будет покупать только у производителей.
Предложение 3, по сути, утверждает, что если все торговцы
обладают одинаковыми технологиями транспортировки товара, то торговые
цепочки
возникают
только
благодаря
наличию
дефицита
(неравновесное состояние q i λ i > 1 ) или опасности его появления
(qiλi = 1 ). Доказательство Предложения основывается на том факте,
что в отсутствие дефицита, когда торговцы максимизируют значение
присущего конкурентному равновесию критерия прибыли на единицу
товара, посредники не могут извлекать положительную прибыль. Действительно, допустим, что торговец 1 покупает товар у продавца 0 и
продает его торговцу 2. Тогда условие положительности прибыли
П 1 >0 имеет вид p1 —р0 >k1r 10, откуда в силу неравенства треугольника и условия k1 = k2 получаем p1 + k2r21 > p0 + k2r20· поэтому торговцу 2 выгодно покупать непосредственно у продавца 0, не
пользуясь услугами посредника 1.
В дальнейшем мы будем предполагать, что условия Предложения 3 выполнены. Тогда, если ρ
достаточно мало, и в системе не возникает дефицита, то потребитель покупает либо у производителя напрямую, либо у торговца, который покупает у производителя, и не
возникает цепочек торговцев.
62
1 / τi. В зависимости от а увеличение р может привести или не привести в конце концов к возникновению дефицитов q i λ i > 1 .
Таким образом, при ухудшении инфраструктуры в системе
происходят качественные изменения. На Рис.5 показаны результаты
вычислительных экспериментов при различных значениях параметра
ρ
Когда р мало, дефицита не возникает, и длинных цепочек
торговцев не образуется. Система быстро сходится к почти совершенному равновесию, в котором торговые наценки и прибыли пропорциональны ρ (прямой пропорциональности соответствует наклон 45° в
левой части графика), то есть также малы. При этом уровень потребления потребителей стремится к максимально возможному (в соответствии с теоремой благосостояния).
Рис.5. Фазовый переход при ухудшении инфраструктуры. На графике показана средняя прибыль торговцев
П в зависимости от параметра несовершенства инфраструктуры ρ в логарифмическом масштабе.
63
Однако при увеличении р происходит фазовый переход: по мере
увеличения величин qiλi в системе могут возникать дефициты. Конечно, в равновесии дефицитов не бывает βi = 1, но нужно различать
равновесия с βi = 1,1 / λi > 0 (случай почти совершенной инфраструктуры) и с βi = 1,1 /λi = 0. Последний случай более характерен
для больших ρ. В этом случае торговец покупает у двух продавцов,
один из которых - близлежащий торговец, так что могут образовываться длинные торговые цепочки. Это приводит к тому, что при фазовом переходе совокупная торговая прибыль резко возрастает (см.
Рис.5).
Отметим, что в данном случае торговцы покупают друг у друга
даже в условиях Предложения 3 - торговые структуры возникают и без
технологических различий между торговцами.
Кроме того, в отличие от предыдущего случая, в равновесии второго вида β i = 1,1 / λi = 0 торговец находится на грани дефицита.
При небольшом изменении поведения других торговцев торговец может оказаться в ситуации дефицита. Заметим, что раз уж в системе, в
которой многие торговцы находятся на фани дефицита, дефицит возникает, избавиться от него может быть нелегко. В этом случае дефицит распространяется по цепочке: дефицит у одного торговца приводит к появлению дефицита у другого, который покупает товар у первого. Торговцы и затем потребители начинают менять партнеров, что
приводит к перетоку неудовлетворенного спроса и, следовательно, дефицита уже не по цепочке, а по всему графу торговых связей. Таким
образом
эволюция
системы
сопровождается
регулярным
вспышками
дефицита, которые торговцы все же в конце концов погашают. Но
затем, нащупывая равновесие, в котором многие торговцы будут находиться на грани дефицита qiλi = 1 , торговцы вновь порождают
всплеск дефицита и т.д. (Рис.6).
Дальнейшее ухудшение инфраструктуры приводит к неспособности торговцев обслужить всех потребителей, так что потребители с
низкими Si ("бедные") будут покупать напрямую у производителей 3.
Торговцы будут обслуживать только верхний сегмент распределения
64
потребителей, причем цены торговцев будут намного выше, чем исходные цены производителей.
2.3. Образование торговых структур и схем поведения
В данной системе торговые связи не задаются экзогенно, а
возникают в результате взаимодействия экономических агентов. Так
как поведение агентов изменяется со временем, структуры торговых
связей в системе также перестраиваются, мы будем изучать в первую
очередь структуры связей, соответствующие равновесиям и предельным циклам.
Как отмечается выше, структура торговых связей существенно
зависит от степени несовершенства инфраструктуры. В случае почти
совершенной торговой инфраструктуры (ρ мало) наблюдаются следующие устойчивые структуры связей (Рис.7): некоторые потребители
покупают у торговцев, которые покупают непосредственно у производителей, остальные потребители, расположенные ближе к производителям, покупают у производителей. Некоторые торговцы вообще не
участвуют в торговле. 4
5-236
65
Рис. 7. Структуры торговых связей при почти совершенной инфраструктуре
ρ —> 0. На Рис. 7-9 производители обозначены квадратами, потребители кругами, торговцы - ромбами. Связи представлены стрелками от покупателя к
продавцу.
Торговые
расстояния
пропорциональны
двумерным
евклидовым
расстояниям между агентами.
Рис
8.
Структуры
(большие ρ —> 0).
66
торговых
связей
в
закритическом
состоянии
При закритических значениях параметра ρ (Рис.8) большинство
торговцев находятся на грани дефицита, и устойчивые структуры действительно включают более длинные торговые цепочки и иерархии.
Некоторые потребители покупают напрямую у производителей.
При критических значениях параметра не возникает устойчивых структур (Рис.9). Спонтанно образуются и распадаются длинные
торговые цепочки; время от времени торговые связи даже меняют направление на противоположное.
Рис. 9. Структуры торговых связей в критическом состоянии.
В отличие
от равновесных
структур, структуры, соответствующие
предельным
циклам,
очень
разнообразны,
поэтому
ограничимся
лишь
важным частным случаем иерархической структуры. На Рис.10 показана
простейшая
многоуровневая
структура,
иллюстрирующая
роль
иерархии. Потребители на нижнем уровне
D
покупают у торговцев на
уровне С, те - у оптового торговца В, тот, в свою очередь, у производителя А. Как показано выше, при достаточно большой скорости
5*
67
адаптации потребителя D2 на нижнем уровне могут происходить колебания - в то время как потребители D1 и D3 покупают у торговцев С1
и С2, соответственно, потребитель D2 покупает то у С1, то у С2, создавая по очереди дефицит у торговцев уровня С. При этом тот торговец, у которого в данный момент нет дефицита, покупает у производителя А, а торговец с дефицитом вынужден покупать по более дорогой
цене у посредника В. При этом так как оба торговца имеют по очереди дефицит, спрос на товар В (и, следовательно, спрос самого В) более стабилен, чем спрос на товары торговцев С1 и С2. Таким образом,
колебания нижнего уровня гасят друг друга на следующем уровне В. С
другой стороны, если бы р было бы достаточно малым, так что дефицита бы не было, то в соответствии с Предложением 3 торговцы С1 и
С2 покупали бы напрямую у А.
Рис.10. Стабилизирующая роль иерархии. На нижнем уровне происходят незатухающие колебания, которые гасят друг друга на высшем уровне, при этом
торговец В получает прибыль.
Таким образом, торговец В получает прибыль только при наличии
колебаний на нижнем уровне. Можно сказать, что процессы самоорганизации привели к возникновению специального вида торговца - опто-
68
Boro торговца, зарабатывающего на гашении колебаний нижнего уровня.
На Рис.8 видно, что торговцы среднего уровня, вообще не участвующие в торговле при докритических значениях параметра, при
ухудшении инфраструктуры становятся оптовыми торговцами.Наряду с
эмерджентной ролью оптового торговца, вычислительные эксперименты
с
моделью
показали
возникновение
схемы
поведения
"дестабилизирующий спекулянт", характерной для критических значений Z. Допустим, что в распределении потребителей имеются кластеры, и в системе существует неэффективный торговец, т.е. торговец,
расстояние от которого до ближайшего производителя существенно
больше, чем разность расстояний от потребителей до других продавцов и до самого торговца. Это означает, что в то время как при малых
ρ торговец имеет ненулевой спрос со стороны ближайших к нему
потребителей, по мере увеличения ρ потребители начинают переходить к другим продавцам, так что при больших ρ спрос на его товар в
равновесии равен нулю. Однако, в соответствии с правилами изменения цены, установленными для индивидуальных агентов, неэффективный торговец начинает быстро снижать цену, стремясь привлечь потребителей.
Так как потребители начинают действительно переходить к неэффективному торговцу, другие торговцы вынуждены снижать цену,
пытаясь их удержать. Однако, если неэффективный торговец снижает
цену достаточно быстро (больше делать ему нечего), он успевает привлечь значительное число потребителей своей низкой ценой и изначальным отсутствием дефицита. Но после того, как приход целого
кластера
потребителей
вызывает
дефицит,
неэффективный
торговец
вынужден повышать цену. В конце концов он вновь теряет весь свой
спрос, который возвращается к остальным торговцам. Но последние
уже адаптировались к низкому спросу и возвращение потребителей
может вызвать дефицит уже у них; остальным торговцам также приходится повышать цену. Таким образом, в системе образуются колебания
цен и регулярные всплески дефицита (Рис.11). Особенно примечателен
тот факт, что неэффективный торговец получает в среднем за цикл
положительную прибыль. Кроме того, так как он следует "впереди
69
тренда", его прибыль может быть даже выше, чем прибыль эффективных торговиев.
Рис. 11. Колебания во времени: цены дестабилизирующего спекулянта (тонкая
линия, левая шкала), средней цены остальных торговцев (жирная линия, правая шкала). Среднее время пересмотра цены - 5 единиц времени.
Получается,
что
организация
колебаний
отвечает
интересам
неэффективного торговца, который как бы сознательно играет на понижение и повышение. Отметим, что период колебаний значительно
больше характерных времени пересмотра медленных переменных торговцев, что позволяет считать схему поведения дестабилизирующего
спекулянта не заданной локальными правилами поведения, а возникающей из коллективных взаимодействий и общего состояния всей
системы.
Заключение
В настоящей работе рассматривается модель, которую можно использовать для исследования процессов эволюции торговых сетей с
несовершенной инфраструктурой. В частности, модель пригодна для
исследования процессов в розничной торговле импортными товарами,
причем в качестве производителей рассматриваются внешние постав-
70
щики, поведение которых не зависит от процессов в российской экономике.
Основным результатом как аналитического исследования модели,
так и вычислительных экспериментов является качественная зависимость характера эволюции торговых сетей от степени несовершенства
инфраструктуры
ρ. В случае почти совершенной инфраструктуры
система быстро сходится к равновесию, которое отличается от конкурентного равновесия с совершенной инфраструктурой количественно
(торговые наценки и прибыли пропорциональны степени несовершенства инфраструктуры), а не качественно. Однако при дальнейшем
ухудшении инфраструктуры происходит фазовый переход: возникают
длинные цепочки посредников (отсутствующие при совершенной и
почти совершенной инфраструктуре), быстро растут цены и торговые
прибыли,
наблюдаются
систематические
вспышки
дефицита.
После
критического значения параметра ρ торговцы перестают обслуживать
более бедных потребителей, которые начинают покупать напрямую у
производителей. Таким образом, рынок из конкурентного (с почти
нулевыми прибылями) становится монопольным (с завышенными ценами и нежеланием обслуживать всех потребителей).
Обсуждаются
следующие
факторы,
определяющие
стабильность
системы: неоднородность потребителей, скорость адаптации агентов и
структура торговых расстояний. Отметим, что быстрая сходимость
системы к эффективному равновесию при ρ → О доказывает адекватность выбранных процедур принятия решений и адаптации агентов для
экономики с почти совершенной инфраструктурой, хотя эти процедуры могут быть менее приемлемыми в случае более несовершенной
инфраструктуры. Данное обстоятельство позволяет отдельным торговцам извлекать дополнительную прибыль: в случае несовершенной инфраструктуры возникают оптовые торговцы, получающие прибыль от
гашения колебаний на более низком уровне, и дестабилизирующие
спекулянты, живущие за счет игры на повышение/понижение. Интерес
представляет тот факт, что обе эти схемы поведения включают в себя
рациональное поведение на временах гораздо больших, чем горизонты
планирования,
установленные
локальными процедурами принятия
решения.
71
Вычислительные
эксперименты
подтвердили
возможность
существования нескольких равновесий в системе. Были обнаружены случаи,
когда в одном равновесии цены всех торговцев были выше, чем в другом (следовательно, одно равновесие доминировало другое по Парето с
точки зрения вектора полезности потребителей). В этом случае роль
государства заключается в том, чтобы заставить торговую сеть перейти
из равновесия с высокими ценами в равновесие с низкими, устанавливая импортные тарифы соответствующим образом.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Определение быстрых переменных потребителя.
Опуская индекс i, обозначим через Pw, Рс, Pj стационарное распределение
вероятностей
управляемого
марковского
процесса.
Запишем
уравнения баланса входных и выходных потоков вероятности для каждого состояния:5
Запишем баланс доходов и расходов в стационарном состоянии. Математическое ожидание изменения богатства потребителя в единицу
времени равно
72
73
С. Определение быстрых переменных торговца.
Обозначим через Pi,Pj стационарное распределение вероятностей
марковского процесса. Запишем уравнения баланса входных и выходных потоков вероятности для каждого состояния:
Запишем условие материального баланса. Среднее изменение запаса товара в единицу времени равно разности частот покупок и продаж:
Подставляя выражение для P0 и приравнивая нулю, получаем
Теперь мы можем определить прибыль
ность доходов и расходов торговца равна
торговца.
D. Решение задачи максимизации (12) на симплексе.
Введем обозначения
74
Средняя
раз-
При
максимизации
данного
функционала
на
симплексе
всех j. Тогда решением является α * Zi= ek .Если таких k несколько, то
решением является любая выпуклая комбинация векторов ek - в любом
случае
значение
функционала
равно
Ak
/
Bk.
Для произвольного вектора αi имеем цепочку неравенств
Первый случай соответствует ситуации, когда торговец может удовлетворить весь свой спрос. Подставляя Aj и Bj, получаем, что в этом
случае торговец выбирает продавца, максимизируя чистую прибыль на
единицу товара:
всех j Тогда решением является α ij* = ек . Если таких к несколько, то
решением является любая выпуклая комбинация векторов ек. Доказательство аналогично предыдущему пункту.
Этот случай соответствует ситуации, когда спрос лi·, напротив,
слишком велик, и у торговца возникает дефицит β < 1. Подставляя Аj и Сj, получаем, что в этом случае торговец выбирает продавца, максимизируя прибыль в единицу времени - теперь даже в случае
отсутствия транспортных затрат торговец обращает внимание на наличие товара βj и на расстояние r ij:
Легко показать невозможность одновременного выполнения
случаев 1 и 2. Действительно, если существуют k 1 и k 2 удовлетво-
75
условий
что эти неравенства несовместны.
3. Случаи 1 и 2 исключают друг друга, но не исчерпывают всех
возможностей. Если не имеют место ни случай 1, ни случай 2, то
можно показать, что решение задачи лежит в гиперплоскости
является выпуклой комбинацией двух единичных
которые лежат по разные стороны от гиперплоскости Г:
векторов
ek
и
el,
Для решения задачи необходимо перебрать все пары векторов ek и еl
лежащие по разныестороны от Г , и найти такие к* ,*$, при которых
величина Пkl максимальна.
76
а xkl определяется формулой (16). Любая точка выпуклого многогранника может быть представлена в виде выпуклой комбинации его
вершин:
ПРИМЕЧАНИЯ
1
С
одной
стороны,
это
стремление
соответствует
концепции
"ограниченной рациональности" [16], а с другой, - обусловливается
необходимостью уменьшения числа параметров для возможности эффективного анализа результатов вычислительных экспериментов.
2
Торговое расстояние может рассматриваться как аналог географического расстояния и может удовлетворять аксиомами метрики: неравен-
77
3
Именно это происходило в России. Существенная часть импортируемых товаров - по различным оценкам, на сумму более 10 млрд. долларов США в год - ввозится в Россию физическими лицами.
4
Конечно, торговые структуры могут возникать и при малых ρ вследствие различий в ki или нарушения неравенства треугольника. В качестве примера можно рассмотреть наличие экономии от масштаба, когда чем больше оборот торговца, тем меньше затраты времени и денег
на покупку и транспортировку единицы товара. В этом случае даже и
без угрозы дефицита возникают многоуровневые иерархические структуры торговых связей. К сожалению, в модели без явного рассмотрения запасов экономия от масштаба и оптовые скидки не возникают
сами собой, и их приходится задавать экзогенно в виде нарушения
неравенства треугольника.
Поэтому мы
предполагаем,
что условия
Предложения выполнены.
5
В этом и следующем разделах, если не указан индекс суммирования,
ЛИТЕРАТУРА
Naguraey A. Network Economics: A Variational Inequality Approach. Dordrecht etc.: Kluwer, 1993.
Evstigneev I.V. and Taksar M. Stochastic equilibria on graphs, II.
Journal of Mathematical Economics, March 1995, Vol.24, No.4, pp.371381.
Rubinstein, Ariel and Wolinsky, Asher. "Equilibrium in a Market
with
Sequential
Bargaining".
Econometrica,
September
1985,
Vol.53,
No.5,pp.ll33-50.
Wolinsky, Asher. "Information Revelation in a Market with Pairwise
Meetings". Econometrica, January 1990, Vol.58, No.l, pp.l-24.
Stodder, James. "The Evolution of Complexity in Primitive Exchange: Theory" and 'The Evolution of Complexity in Primitive Exchange: The Emprical Tests" Journal of Comparative Economics. 20,
pp.l-31, 190-210, 1995.
78
Baesemann, R.C. "The Formation of Small Market Places in a Competitive Economic Process - the Dynamics of Agglomeration". Econometrica, March 1977, Vol.45, No.2, pp.361-376.
van Raalte, Chris L. and Gilles, Robert P. "Endogeneous Formation
of Trade Center: An Evolutionary Approach". Department of Economics
and CentER, Tilburg University, June 1994.
Maynard Smith, John. Evolution and the Theory of Games. Cambridge: Cambridge University Press, 1982.
Forrest, Stephanie. "Emergent Computation: Self-Organizing, Collective,
and Cooperative Phenomena in Natural and Artificial Computing
Networks". Physica D}, 1990, Vol. 42, No. 1-3, pp.1-11.
Langton, C.G. "Computation at the Edge of Chaos: Phase Transitions
and Emergent Computation". Physica D, 1990, Vol. 42, No. 1-3, pp. 1237.
Youssefmir, Michael, Huberman, Bernardo A. and Hogg, Tad
"Bubbles and Market Crashes". Dynamics of Computation Group. Xerox
Palo Alto Research Center. Palo Alto CA 1994.
Glance, Natalie S. and Huberman, Bernardo A. "Diversity and Collective Action". Interdisciplinary Approaches to Nonlinear Complex Systems. Springer Verlag 1993.
Bak, Per, Chen, Kan, Scheinkman, Jose and Woodford, Michael.
"Aggregate fluctuations from independent sectoral shocks: self-organized
criticality in a model of production and inventory dynamics". Ricerche
Economiche, 1993, Vol. 47, No. 1, pp.
Tesfatsion, Leigh. A Trade Network Game with Endogenous Partner
Selection. Iowa State University, Economic Report Series No.36, June
1995.
Vriend, Nicolaas J. "Self-Organization of Markets: An Example of a
Computational Approach". Computational Economics. 8: 205-231, 1995.
Саймон, Герберт А. "Рациональность как процесс и продукт
мышления". THESIS: Теория и история социальных институтов и
систем, 1993, т.1, вып.З.
Bertrand, Joseph. "Review of Theorie mathematique de la richesse
sociale' and 'Recherches sur les principes mathematiques de la theorie de
la richess`", Journal des Savants, 1883, 499-508.
79
Ховард,
Р.А.
Динамическое
программирование
и
марковские
процессы. М.: Советское радио, 1964.
Huberman, Bernardo A. and Youssefmir, Michael. Clustered Volatility in Multiagent Dynamics. Dynamics of Computation Group. Xerox Palo
Alto Research Center. Palo Alto CA 1995.
Nash, John F., Jr. "Non-cooperative games". Annals of Mathematics,
1951, 45:286-295.
80