4. Демонстрационный вариант экзаменационной работы по

1. Спецификация демонстрационного варианта экзаменационной
работы по дисциплине теория вероятности и математическая
статистика для студентов заочной формы обучения
1. Назначение работы – установить уровень освоения дисциплины
«Теория вероятности и математическая статистика» студентами. Тест может
использоваться для итоговой проверки уровня знаний студентов после
прослушивания курса лекций и проведения практических аудиторных
занятий.
2. Содержание экзаменационной работы определяется на основе
следующих нормативных документов: обязательный минимум содержания
высшего образования по предмету. Учитываются также требования к
подготовке выпускников ВУЗов, представленные в ГОС ВПО.
3. Условия применения
Работа рассчитана на студентов заочной формы обучения, изучивших курс
Теории вероятности и математической статистики, отвечающий
обязательному минимуму содержания высшего образования по данному
курсу.
4. Валидность и надежность работы
Содержательная валидность работы определяется соответствием содержания
заданий обязательным минимумам содержания высшего образования по
дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика». Это
соответствие обеспечивается опорой при определении содержания
проверочных заданий на специально разработанный экспертами в области
математического образования перечень (кодификатор) вопросов содержания.
Валидность работы может быть также обеспечена использованием заданий
из банков проверочных заданий, которые в течение многолетних
исследований созданы рядом организаций.
Надежность работы обеспечивается стабильностью результатов выполнения
включенных в нее заданий, которая должна быть установлена при их
использовании в рамках соответствующих проверок подготовки учащихся.
5. Структура работы
В работе выделяются 3 части (1, 2, 3), различающиеся по назначению, а
также по содержанию и сложности включаемых в них заданий.
Часть 1 содержит только задания базового уровня, соответствующие
минимуму содержания курса "Теория вероятности и математическая
статистика". К части 1 относятся ТЗ 1-ТЗ 13.
Часть 2 включает задания повышенного (по сравнению с базовым) уровня, к
ним относятся ТЗ 14-ТЗ 24.
Часть 3 включает самые сложные задания. ТЗ 25- ТЗ 28.
Выполнение заданий Части 1 позволит зафиксировать достижение
студентом уровня обязательной подготовки по курсу «Теория вероятности и
математическая статистика», наличие которой принято оценивать
положительной отметкой «3». Выполнение заданий Частей 2 и 3 позволит
1
осуществить последующую более тонкую дифференциацию студентов по
уровню подготовки и на этой основе выставить более высокие отметки ("4" и
"5").
6. Число заданий в работе
Работа содержит всего 28 заданий.
7. Время выполнения работы
На проведение предлагается выделить 3 часа (180 минут).
8. Типы заданий
В работе предлагается использовать задания различного типа: с выбором
ответа, с кратким свободным ответом (в виде числа, слова).
К каждому из заданий с выбором ответа достаточно предложить 4-5
вариантов ответов, из которых только один верный. Задание считается
выполненным верно, если студент выбрал (отметил) этот верный ответ.
Задание с кратким ответом считается выполненным верно, если записан
верный ответ или одна из возможных форм верного ответа, которые должны
быть указаны в инструкции по оценке выполнения задания. Задания с
кратким ответом позволяют проверить овладение широким кругом понятий и
умений, их целесообразно использовать и в тех случаях, когда ответы,
предложенные к заданиям, могут служить либо подсказкой, либо вообще
меняют характер задания.
9. Оценка выполнения заданий и всей работы
Проверка ответов студентов к заданиям Частей 1 и 2 выполняется с помощью
компьютера. Ответы к заданиям Части 3 проверяются экспертной комиссией,
в состав которой входят методисты и опытные преподаватели.
Предлагается верное выполнение каждого задания Частей 1 и 2 оценивать 1
баллом. Решение о присвоении того или иного числа баллов за выполнение
заданий Части 3 определяется с учетом сложности заданий.
Аттестационная оценка студента за освоение курса теории вероятности
и математической статистики определяется по 5-балльной шкале на основе
выполнения 28 заданий, составленных на материале этого курса.
При разработке подходов к выставлению аттестационных отметок
предлагается исходить из того, что для получения положительной отметки
"3" достаточно выполнить верно более 50% заданий Части 1 (т.е. не менее 7
из 13 заданий этой части) или не менее 7 любых заданий из всех частей
работы. Для получения отметки "4" необходимо выполнить верно некоторое
число заданий не только из Части 1, но и из Части 2. Для получения отметки
"5" среди заданий, верно выполненных учащимся, должно быть хотя бы одно
задание из Части 3.
2
2. Кодификатор
Кодификатор - содержательная структура учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» (ГОС ВПО направления 050601 (050602) «Прикладная математика».
Код, наименование
дисциплины
и ее основных
дидактических единиц
(разделов, тем) по ГОС
ВПО
1. Основные понятия
теории вероятностей
Наименование дисциплины
и ее разделов, тем и подтем по
рабочей программе
Вид
практических
действий
(умений)1
Проектируемый
уровень
трудности
тестовых
заданий
1
КТ-1
(ТЗ легкие)
1. Основные понятия теории
вероятностей
 Понятие случайного
эксперимента
1.1. Понятие события,
 Случайные события,
виды события.
классификация событий
Определение вероятности
 Классическое, статистическое и
события.
геометрическое определение
вероятности события
1
Классификационный
уровень знаний
Цель (требуемый
результат) изучения
раздела (темы)
Базовый уровень
Знать определения
понятий и понимать их
смысл.
Коды видов практических действий (умений):
1. Анализ конкретных единичных объектов и ситуаций или их конечных групп, их оценка и обследование с использованием общих научных эмпирических и
теоретических знаний.
2. Действия по применению искусственных объектов и методов деятельности.
3. Действия по созданию новых объектов, процессов, способов деятельности.
3
1.2. Пространство
элементарных событий.
Аксиомы теории
вероятности.
 Пространство элементарных
событий. Случайное событие как
множество элементарных событий
 Операции над событиями
 Аксиоматическое определение
вероятности события, основные
свойства вероятностей
 Примеры вероятностных
пространств
2. Простейшие теоремы
теории вероятностей
2. Простейшие теоремы теории
вероятностей
 Теорема сложения. Условная
вероятность. Теорема умножения
2.1. Простейшие теоремы вероятностей. Независимость
событий.
теории вероятностей
 Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
3. Повторные
независимые испытания
Базовый уровень
Базовый уровень
3. Повторные независимые
испытания
4
Знать определения
понятий и понимать их
смысл.
Знать и понимать
математические
способы описания и
выражения.
Уметь применять
понятия и способы
описания при решении
стандартных учебных
задач
1
КТ-1
(ТЗ легкие)
Знать определения
понятий и понимать их
смысл.
Уметь решать задачи
на непосредственное
вычисление
вероятностей
1
КТ-1
(ТЗ легкие)
3.1. Повторные
независимые испытания
 Последовательность независимых
испытаний
 Полиномиальная схема
 Схема Бернулли. Формула
Бернулли.
…
...
 Теорема Пуассона
 Локальная теорема Муавра3.2. Предельные теоремы в Лапласса.
схеме Бернулли
 Интегральная теорема МуавраЛапласса.
Знать определения
понятий и понимать их
смысл.
Знать и понимать
математические
Часть 1:
способы описания и
Базовый уровень.
выражения.
Уметь применять
понятия, правила,
уравнения для решения
задач
Часть 2:
Средний уровень
Уметь применять
понятия и теоремы при
решении задач
Уметь применять
Часть 3:
знания при решении
Системный уровень нестандартных учебных
задач.
5
1
КТ.1 (ТЗ
легкие)
2
КТ.2. (ТЗ средн.
трудности)
3
КТ.3. (ТЗ
трудные)
3. Демонстрационный вариант экзаменационной работы по
дисциплине теория вероятности и математическая статистика для
студентов заочной формы обучения
1. Игральная кость бросается 1 раз. Какова вероятность того, что появится не
менее 5 очков?
1
2
а) ;
б)
1
;
6
в)
2
;
3
г)
1
;
3
д)
5
.
6
2. Монету подбрасывают три раза. Наблюдаемый результат – появление
герба или цифры на верхней стороне монеты. Пространство элементарных
событий состоит из восьми элементарных исходов. Сколько элементарных
исходов будут благоприятствовать событию B={ни разу не выпала
цифра}?
а) 3;
г) 8;
б) 1;
в) 2;
д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
3. Брошены три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два или три
герба?
а) ½;
г) 1/6;
б) 3/8; в) 2/3;
д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
4. Завод в среднем даёт 29% продукции высшего сорта и 63% – первого
сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего
или первого сорта равна
а) 0.08;
г) 0.92;
б) 0.29; в) 0.63;
д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
5. В группе 6 юношей и 18 девушек. По жребию разыгрывается один билет в
театр. Вероятность того, что билет получит девушка
а) 1/6;
б) 1/18;
в) 1/3;
г) 1/4;
д) 3/4.
6. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что это
число окажется составным?
а)
7
;
30
б)
1
;
5
в)
23
;
30
г)
4
;
5
д)
3
.
5
7. На одинаковых карточках написаны в троичной системе счисления все
целые числа от 1 до 15. Наудачу извлекается одна карточка. Какова
6
вероятность того, что выбранное число в своей записи содержит не менее
2 единиц?
1
3
а) ;
б)
8
;
15
в)
2
;
5
2
;
3
г)
д)
4
.
15
8. Автобус ездит с интервалом в 10 минут. Какова вероятность уехать в
течение 3 минут?
а) 0.1;
б) 0.9;
в) 0.3; г) 0.7;
д) 1/3.
9. Внутрь квадрата со стороной 2 наудачу выбрана точка. Найти вероятность
того, что точка окажется внутри вписанной в этот квадрат окружности.
а)

;
4
б)  ;
в)

;
2
г)
2
;
4
д) 2 .
10.При транспортировке из 1000 арбузов испортилось 26. Какова частость
появления испорченных арбузов?
а) 0.26; б) 0.001 ; в) 1000/26;
г) 0.026; д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
11.В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу
отобраны 9 студентов. Какова вероятность того, что среди отобранных
студентов 5 отличников?
5
а) 8 ;
C9
C85
б) 9 ;
C12
C95
в) 8 ;
C12
C85  C44
г)
;
C129
д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
12.В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Какова вероятность того,
что четыре взятые наудачу детали нестандартны?
4
C74
C34
а) ; б) 1  4 ; в) 4 ;
10
C10
C10
1
г) 4 ; д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
C10
13.Из урны содержащей шары белого, чёрного и синего цвета, наудачу
извлекается один шар. События A и B соответственно означают
появление белого и черного шаров. Событию A  B равносильно событие
а) извлечён белый шар;
б) извлечён синий или чёрный шар;
7
в) извлечён чёрный шар;
г) извлечён синий или белый шар;
д) извлечён белый или чёрный шар.
14.Три стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. События А1, А2, А3
означают соответственно попадания в мишень первым, вторым и третьим
стрелками. Событию, состоящему в том, что все стрелки попали в мишень
равносильно событие
а) А1  А2  А3 ; б) А1  А2  А3 ; в) А1  А2  А3 ; г) А1  А2  А3 ;
д) А1  А2  А3 .
15.А и В – некоторые события. Событию  А  В   А равносильно событие
а) А  В ;
б) АВ ;
в) АВ ;
г) А  В ;
д) АВ  А В .
16.Если события A и B совместны и независимы, то
а) P(АВ)=1;
г) P(АВ)=0;
б) P(АВ)=P(А)P(В); в) P(А+В)=P(А)+P(В) ;
д) P(АВ)=P(А)+P(В).
17.Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность
выхода из строя первого элемента при включении прибора – 0.03, второго
– 0.06. Какова вероятность того, что при включении прибора не откажет
ни один элемент?
а) 0.06; б) 0.0671; в) 0.0938 ;
г) 0.0582; д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
1
2
3
4
18.Пусть P(A)= , P(B)= . Тогда события A и B:
а) совместны; б) несовместны; в) зависимы ;
г) независимы; д) образуют полную группу несовместных событий.
19.В магазин вошли три покупателя, каждый из которых может совершить
покупку с вероятностью 0,3.Какова вероятность того, что по крайней мере
два совершат покупки?
а) 0,189;
б) 0,027;
в) 0,343;
г) 0,216;
д) 0,657.
20.Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1
чёрный шар, во втором – 1 белый и 4 чёрных шара. Наудачу выбирают
один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что
вынутый шар окажется белым?
а) 3/10 ;
б) 13/15 ;
в) 2/3;
г) 13/30;
8
д) 3/20.
21.На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%,
вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет
соответственно 5, 4 и 2%. Случайно выбранный из продукции болт
дефектный. Какова вероятность того, что он изготовлен первой машиной?
а) 0.0345;
г) 80/345;
б) 125/345; в) 140/345;
д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
22.Монету подбрасывают 5 раз. Вероятность Р 5 (4) того, что событие
А={выпал герб} наступит ровно 4 раза, равна
а) 1/2;
б) 1/16; в) 5/32;
г) 1/32 ;
д) 1/8.
23.На самолёте имеются четыре одинаковых двигателя. Вероятность
нормальной работы каждого двигателя в полёте равна 0.9. Какова
вероятность того, что в полёте могут возникнуть неполадки в одном
двигателе?
а) 1/4 ; б) 0.1; в) 0.1·0.9 3 ;
г) 4·0.1·0.9 3 ; д) среди указанных вариантов ответов нет правильного.
24.Пусть  ( x) 
1  x2 2
e
– локальная функция Лапласа. Укажите неверное
2
а) φ(0.12)>φ(2.12); б) φ(0.12)≈φ(-0.12); в) φ(0.12)>φ(-2.12);
г) φ(0.12)<φ(-2.12); д) φ(45)≈φ(-40).
x
25.Пусть ( x) 
1
t 2 2
e
dt – интегральная функция Лапласа. Ф(0.9)0.3159,
2 0
тогда Ф(-0.9) приближённо равно:
а) 0; б) 1; в) -0.5; г) 0.5; д) 0.3159;
е) 0.5159; ж) –0.3159; з) 0.585.
26.Случайные величины X и Y независимы, известны их дисперсии D(X)=5,
D(Y)=9, тогда дисперсия случайной величины Z=2X-Y+5 равна
а) 16;
б) 34;
в) 24;
г) 11;
д) 29.
27.Вероятность того, что величина X с плотностью вероятности f x  
e
x
2
примет значения из интервала 0;1, равна …
28. Дисперсия случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке
[ 2 ; 4 ] равна…
9