Принятие решения в одной задаче назначения

Proceedings of IAM, V.2, N.2, 2013, pp.196-202
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НАЗНАЧЕНИЯ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАКАЗОВ*
Р.Г. Гамидов1, Н.К. Аллахвердиева2
1
Бакинский Государственный Университет, Баку, Азербайджан
Резюме. В данной работе рассматривается задача назначения и распределения
заказов между субъектами коллектива. Предлагается алгоритм принятия решения для
организации деятельности коллектива на основе модели Марковица, которая
известна как задача о максимизации полной прибыли.
Ключевые слова: коллективный выбор, назначение заказов, вектор коллективной
полезности, оптимизация, множество Парето, оптимальное решение по Лоренцу.
AMS Subject Classification: 90C31.
1.
Введение
В данной работе рассматривается задача назначения и распределения
заказов между субъектами коллектива. Предлагается алгоритм принятия
решения для организации деятельности коллектива на основе модели
Марковица, которая известна как задача о максимизации полной прибыли. В
работе также дается обобщение поставленной задачи, с помощью которой
моделируются различные важные практические задачи экономического и
технического характера. Проведенная нами процедура организации процесса
принятия решения может быть успешно применена и в этих задачах.
2.
Постановка задачи
Назначение заказов между субъектами исполнителей, адекватных
реалиям и потребностям социально-экономической жизни современного
общества, нередко требует соблюдения справедливости относительно
каждого, кто получает заказы и кто распределяет их.
В данной работе рассматривается ситуация следующего характера:
Имеется коллектив K  1, 2, 3 из трех участников (агентов). Агент 1
и агент 2 после того, как получают объемы заказов от агента 3 организуют
свои деятельности на основе модели Марковица [1] , которая известна, как
задача о максимизации полной прибыли. Объемы заказов представляются с
помощью n- мерных векторов
xio = ( xi10, ... , xin0 ), xir0 ≥ 0, r = 1,...,n, i = 1, 2,
такие, что x10+ x20 = a,
*
Работа была представлена на семинаре Института Прикладной Математики 12.11.2013.
196
Р.Г. ГАМИДОВ, Н.К. АЛЛАХВЕРДИЕВА: ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ …
где a n - мерный вектор распределяемых заказов ai , i = 1,... , n.
Производственная программа агента i, xi(t) = ( x1(i) (t),... ,xn(i) (t) )
определяется по модели Марковица из решения следующей задачи:
dx
(i )
j
(t )
n
  a jr y r(i ) (t ) , 0 ≤ y r(i ) (t )  x r(i ) (t ) ,
dt
r 1
(i )
x (0)  x i 0 ,
Здесь
y r (t )
(1)
t  0, T  .
означает часть продукции x r (t ) которая идет на
расширение производства.
Полная прибыль, которую получает агент i от реализации
производственной программы
x (i ) (t) является оптимальным значением
целевой функции:
n T
f i ( x (i ) (t ))    (( x (ji ) (t )  y (ji ) (t ))dt  max .
(2)
j 1 0
J
Это оптимальное значение обозначим через
передает
i
долю (0≤  i ≤1) прибыли
J
(i )
(i )
( x i 0 ), Агент i
( x i 0 ) агенту 3 в замен
полученного от него объема заказов x ij0  0, j  1,...., n и оставляет для себя
прибыль в объеме u i ( x i 0 ) = (1   i ) J
(i )
( x i 0 ). В результате формируем
вектор коллективной полезности коллектива K :

u ( x )  u ( x 10 , x 20 )  u 1 ( x 10 ) ,
0
u 2 ( x 20 ),

u 3 ( x 10 , x 20 ) ,
где
u 3 ( x10 , x 20 ) 
 1 1 10
2
u (x ) 
u 2 ( x 20 ) .
1  1
12
Числа  1 ,  2 задаются заранее и согласуются между агентами i,
i = 1, 2, 3 . Они могут быть уточнены и в процессе принятия решения.
Рассмотрим множество:

U  u ( x 0 ) x10  x 20  a, x10  0, x 20  0

Множество U принимаем как множество векторов коллективной
полезности. Решения x 1 (t ) и x 2 (t ) , 0≤ t  T , которые считаются
“xорошими“ решениями для каждого агента i, i= 1,2,3 и коллектива в целом
определяют
“хорошее”
решение u   U на множестве векторов
коллективной полезности.
Задача состоит в организации процедуры с целью построения u  .
197
PROCEEDINGS OF IAM, V.2, N.2, 2013
3.
Cхема организации принятия решения
Процесс определения u  следуя [2] организуется в двух этапах. На
первом этапе определяем u 3 решения u  = ( u1 , u 2 , u 3 ). А на втором
этапе определяем координаты u1 и u 2 решения u  .
Описание первого этапа.
Через
u  u1  u 2 , ( u1 , u 2 , u 3 )  U обозначим уровень общего
интереса коллектива {1, 2}, который состоит из исполнителей заказов. Тогда
первое требование, которое налагаем на
u  состоит из следующего:
коллективное решение должно быть компромиссным решением задачи:
u  u1  u 2 → max ,
при
u 3  max ,
( u1 , u 2 , u 3 )  U .
(3)
Решение задачи (3) мы принимаем на Паретовой границе задачи на
основе диалогого алгоритма из [3]. Иллюстрация схемы такого типа
алгоритма на числовом примере приводится в [2].
Описание второго этапа.
После того, как удовлетворяем максимальный интерес агента 3 и
коллектива {1, 2} (пусть это выражается вектором ( u  ,u 3* )) нам следует
определить координаты
u1 ,u 2
вектора u  . Для этого налагаем второе
требование на u  : Агент 3 не может ограничивать коллектив {1, 2} при
выборе наилучшего для себя коллективного решения ( u 1 , u 2 ), если
( u 1 , u 2 , u 3* ) = u * . Отсюда следует, что коллектив {1, 2} может выбирать
решение ( u 1 , u 2 ), как компромиссное решение задачи
u1  max, u 2  max ,
( u1 , u 2 , u 3 )  U
или задачи
J (1) ( x10 )  max ,
J ( 2 ) ( x 20 )  max
x10  x 20  a, x10 , x 20  0.
(4)
Задача (3) и задача (4) обладают общим недостатком. Она связана
отсутствием аналитического представления целевых функций, которых
максимизируются. Эти функции задаются алгоритмическим образом. Как в
конечномерном случае [2], так и здесь, специфика ограничения
рассматриваемых задач позволяет преодолеть эти трудности.
198
Р.Г. ГАМИДОВ, Н.К. АЛЛАХВЕРДИЕВА: ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ …
4.
Аналитическое представление u i , i  1,2,3.
Задачу (1)-(2) перепишем в виде:
n
yr(i ) (t )   arl(i )  yl(i ) ( )d  xri 0 ,
l 1
y r(i ) (t )  0, r  1,....n, t  0, T ,
n T
n
n
T  xli 0    ( arl(i ) (T  t )  1) yl(i ) (t )dt  max .
l 1
l 1 0 r 1
Обозначим:
n
c i (t )   arl(i ) (T  t )  1, c 0  (1,....,1),
r 1
H
(i )
 a
( i ) r 1, n
rl l 1, n
,F
(i )
y
(i )

t
(t )   H (i ) y ( )d , i  1,...n.
0
Тогда в новых обозначениях задача (1)-(2) принимает вид:
y
(i)
J
(i)
 F
(i)
y
( x i0 ) 
(i)
c

(t )  x i0 ,
(i)
y

 
, x ,
(t )  0 ,
( t ) dt  T ( c 0 , x io )  max .
Следуя [4] и [5] максимальное значение
предел
(i)
 
J (i ) ( x i 0 ) определяем как
 
J (i ) ( xi 0 )  lim xi 0 ,  ik  T c 0 , xi 0  xi 0 ,  i  T c 0 , x
k 

 Tc  
0
i
i0

(5)
i0


где
  0,
 i , k 1  max 0, c (i )  F (i )  ik , k  1,2,....
‘ ′ ’ в F  означает знак транспонирования.
Существование предела  i следует из [4], а справедливость равенства
(5) следует из обобщенной теоремы двойственности [1, 5] для динамических
задач линейного программирования.
i0
5.
Случай, когда число исполнителей заказов k>2
Если при выполнении заказов по модели Марковица участвуют не две,
а больше участников, то первый этап процесса принятия решения остается в
силе и решается задача
199
PROCEEDINGS OF IAM, V.2, N.2, 2013
u k  max,
k 1
 ui  max,
i 1
(u1 ,...., u k 1 , u k )  U .
Второй этап решения в случае k>2 усложняется и
анализировать ситуацию, которая выражается следующим образом:
требует
( J 1 ( x10 ),...., J k 1 ( x k 1, 0 ))  max,
k 1
x
i ,0
 a,
i 1
т.е. требуется выбирать коллективное решение из множества
U  (u1 ,...., u k 1 ) u i  J i ( x i 0 ), i  1,....., k  1 .


Здесь мы можем использовать возможность, которую представляет нам
теория выбора коллективного решения [6]. Например, если мы хотим
организовать выбор с помощью коллективного порядка R , который
сокращает неравенства, то выбор достаточно произвести во множестве
оптимальных по Лоренцу решений, являющегося подмножеством множества
Парето решений. В этом случае, иногда успешно может быть применен метод
параметризация множества Парето, предложенный в [7] с целью поиска
окончательного решения в форме диалогого алгоритма.
6.
Обобщение
Задачу (1)-(2) можно считать как содержательный пример для
следующей более общей задачи:
x(t )  F x(t )  b(t ), x(t )  0, t  0, T  ,
T
 c(t ) x(t )dt  max,
(6)
0
t
где
F x(t )  A(t ) x(t )   H (t , ) x( )d ,
0
b(t ), x(t )  L2 0, T , b(t )  0, x(t )  0, A(t )  0, H (t , )  0
T t
2
  H (t , ) dt  .
0 0
С помощью (6) моделируются различные важные практические задачи
экономического и технического характера [5]. Проведенная нами процедура
организации процесса принятия решения может быть успешно применена и в
этих задачах.
200
Р.Г. ГАМИДОВ, Н.К. АЛЛАХВЕРДИЕВА: ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ …
Литература
1. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О., Некоторые вопросы
математической теории процессов управления, М.ИЛ, 1962.
2. Гамидов Р.Г., Аллахвердиева Н.К., Гамидов А.Р., Об одной задаче
распределения ресурсов, Вестник БГУ, серия физ-мат. наук, 2012, №2,
с.70-78.
3. Hamidov R.H., One bicriterian dynamic linear proqram and its solution,
The International Conference on problems of cybernetics and informatics,
Baku, 2006, рp.7-11.
4. Беленкий В.З. О задачах математического программирования,
обладающих минимальной точкой, Доклады АН СССР, т.183, №1,
1968.
5. Мееров М.В., Берщанский Я.М., Решение динамических задач
оптимизации для
линейных многосвязных систем, Препринт М.
Институт проблем управления, 1975.
6. Мулен Э. Кооперативное принятие решений. Аксиомы и модели.
M.:Мир, 1991.
7. Гамидов Р.Г., Фарбер М.Ш., О принятии решения в задачах
многокритериальной оптимизации, Известия АН Азерб. ССР, сер.
физ-техн. и матем. наук, №3, 1978, с.11-16.
İstehsal sifarişlərinin təyinatinin bir məsələsində qərar qəbuletmə
R.H. Həmidov, N.K. Allahverdiyeva
XÜLASƏ
Təqdim olunan işdə sifarişlərin kollektivin subyektləri arasında təyinatı və
bölüşdürülməsi məsələsinə baxılmışdır. Tam gəlirin maksimallaşdırılması məsələsi kimi
tanınan Markovits modeli əsasında kollektivin fəaliyyətinin təşkili üçün qərar qəbuletmə
alqoritmi verilmişdir.
Açar sözlər: kollektiv seçim, sifarişin təyinatı, kollektiv səmərəlilik vektoru,
optimallaşdırma, Pareto çoxluğu, Lorensə görə optimal həll.
201
PROCEEDINGS OF IAM, V.2, N.2, 2013
Decision-making in one problem assignment of production orders
R.H. Hamidov, N.K. Allahverdiyeva
ABSTRACT
In this paper we consider the problem of assignment and allocation of orders
between subjects of collective. Algorithm for decision-making to organize collective action
is proposed, and it”s bazed on the Markowitz model, which is known as the problem of
maximizing of total profit.
Keywords: collective choice, the appointment orders, vector collective utility,
optimization, majority Pareto, optimal solution by Lorentz.
202