6 класс

Школьная олимпиада по математике, 6 класс.
Задания школьной олимпиады по математике рассчитаны на учащихся 6
классов. При подборе заданий олимпиады использовался принцип, при котором из 8
задач 3 задачи должны быть посильны для большинства участников, 3 задачи
повышенной трудности (их может решить половина участников), 2 сложные,
требующие особой математической смекалки и навыков в решении нестандартных
задач.
Задания.
1. В записи * 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 27 вместо знаков «*» поставить знаки «+»
или «-» так, чтобы равенство стало верным.
2. Можно ли разложить гири в 1, 2, 3, …, 21 граммов на две равные по весу кучи?
3. Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в
разные стороны. Через 5 минут Вася решил помириться и стал догонять Петю,
увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю?
4. У Коли на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога,
второму — 1/5 остатка, третьему — 1/4 того, что осталось, четвертому — 1/3 нового
остатка. Последний кусок Коля разделил пополам с пятым другом. Кому достался
самый большой кусок?
5. Цена картофеля повысилась на 20%. Через некоторое время цена понизилась на
20%. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения? Ответ
поясните.
6. Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр,
расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но
в порядке убывания, третье четырехзначное число также составлено из этих четырех
цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300?
7. Предположим, что сейчас угол между часовой и минутной стрелкой такой же,
каким он был два часа назад. Чему равен этот угол?
8. Разрежьте квадрат на
а) 6 квадратов;
б) 7 квадратов;
в) 8 квадратов.
г) На какое количество квадратов можно разрезать квадрат?
Решения.
1. Это можно сделать единственным способом:
1 – 2 + 4 + 8 – 16 – 32 + 64 = 27.
2. Предположим, что гири разложили на две кучи равные по весу. Тогда вес каждой
кучи должен равняться (1 + 2 + ... + 21) : 2 = 115,5 г, что невозможно, так как каждая
гиря весит целое число грамм. Противоречие.
Ответ: нельзя.
3. Если x м/мин — первоначальная скорость ребят, то через 5 минут между ними
будет 10x метров. Когда Вася будет догонять Петю, то скорость их сближения будет
равна 3x – x = 2x м/мин. Тогда, расстояние между ними пропадет через 10x : 2x = 5
мин.
Ответ: 5 минут.
4.Примем весь пирог за 1. Тогда первому другу досталась 1/6 пирога; второму — 1/5
остатка, то есть 1/5 × (1 – 1/6) = 1/6 пирога. Осталось 1 – 1/6 – 1/6 = 4/6 пирога.
Третьему другу Коля отрезал 1/4 × 4/6 = 1/6 пирога, четвертому — 1/3 × (4/6 – 1/6) =
1/6 часть. Осталось 2/6 пирога, которые он разделил поровну между собой и пятым
другом, то есть по 1/6 пирога. Таким образом, все получили по одинаковому куску
пирога.
Ответ: всем досталось поровну.
5. Пусть x рублей — начальная цена картофеля. Цена повысилась на 20%, то есть на
0,2x рублей, после чего стала равной x + 0,2x = 1,2x (руб). Затем цена понизилась на
20% (внимание: цена понизилась на 20% не от первоначальной цены x, а от цены,
полученной после повышения — 0,2x), то есть на 0,2 × 1,2x = 0,24x (руб), и стала
равной 1,2x – 0,24x = 0,96x (руб). Так как 0,96x < x, то картофель стал стоить
дешевле после снижения цены.
Ответ: картофель стоил дешевле после снижения цены.
6. Если одно из этих чисел 1234, то второе – 4321. Тогда третье число равно
12300 – (1234 + 4321) = 6745.
Этот вариант не подходит, так как третье число состоит из других цифр.
Если первое число 2345, то второе – 5432, а третье
12300 – (2345 + 5432) = 4523.
Этот вариант подходит.
В случае, когда первое число 3456, третье будет равно
12300 – (3456 + 6543) = 2301
— не подходит. Если же первое число 4567, то третье
12300 – (4567 + 7654) = 79.
В остальных случаях третье число будет еще меньше, что не удовлетворяет условию
задачи.
Ответ: 2345, 5432, 4523.
7. Решение. Через два часа минутная стрелка будет на том же месте, а часовая
повернется на 60°. Поэтому, искомый угол 60°:2 = 30° или (360° – 60°):2 = 150°.
Первый случай возникает от 11:00 до 13:00, второй — от 5:00 до 7:00.
Ответ: 30° или 150°.
8. Примеры для (а)-(в) показаны на рисунке:
При разрезании квадрата на 4 равных количество квадратов увеличивается
на 3. Таким способом из пунктов (а)-(в) можно получить любое число квадратов,
начиная с пяти.
Критерии оценивания заданий
1. Указан способ, но допущена вычислительная ошибка – 4 балла. Задача
полностью решена – 7 баллов.
2. Дан ответ без обоснования – 1 балл. Указан способ, но допущена
вычислительная ошибка – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов.
3. Допущена вычислительная ошибка – 4 балла. Задача
баллов.
полностью решена – 7
4. Дан ответ без обоснования – 1 балл. Верно подсчитан остаток, но не сделан
вывод – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов.
5. Верно подсчитана стоимость после повышения цены – 1 балл. Верно
подсчитана стоимость после снижения цены, но не сделан вывод – 4 балла. Задача
полностью решена – 7 баллов.
6. Дан ответ без обоснования – 1 балл. Обоснование верное, но допущена
вычислительная ошибка – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов.
7. Допущена вычислительная ошибка – 3 балла. Задача полностью решена – 7
баллов.
8. Рассмотрен один вариант – 1 балл, два или три варианта – 4 балла. Задача
полностью решена – 7 баллов.