Задача формирования оптимального пакета заказов на поставки

Задача формирования оптимального пакета заказов на
поставки однородной и неоднородной продукции и
методы ее решения
Общая постановка задачи формирования оптимального пакета заказов на поставки
однородной продукции состоит в следующем.
Пусть n – общее число рассматриваемых предприятием заказов на поставку
однородной продукции;
i =1,2 , , n ;
pi
Q i – объем поставки продукции в соответствии с i-ым заказом
– цена поставки одного изделия, предлагаемая Заказчиком i-го
v i – рассчитанные экономическими службами предприятия переменные затраты
заказа;
на единицу продукции i-го заказа;
Ci
– дополнительные постоянные затраты,
необходимые для реализации производства и поставки всей партии i-го заказа.
Тогда промежуточная маржинальная прибыль в результате выполнения i-го заказа
составит:
M i = pi – v i Q i – C i
(1)
Поскольку производственные мощности предприятия ограничены, оно, в общем
случае, может оказаться не в состоянии выполнить всю совокупность заказов в течение
планового периода. Поэтому в план должна быть включена такая совокупность заказов, при
которой достигается максимальная дополнительная промежуточная маржинальная прибыль.
Кроме того, для наиболее полной загрузки производственных мощностей, некоторым
Заказчикам может быть предложено пролонгировать исполнение их заказов на последующие
периоды, то есть часть заказа в рамках имеющихся производственных мощностей выполнить
в данном периоде, а остающуюся часть – в последующем.
Пусть I – множество заказов, по которым возможно пролонгированное исполнение. С
формальной точки зрения это означает, что, в общем случае, доля i-го заказа, равная
0 ≤ u i ≤ 1 , должна быть включена в план данного периода, а другая его часть в доле,
составляющей 1−u i , может быть перенесена на следующий период.
В этих условиях задача формирования оптимального пакета заказов может быть
поставлена в следующем виде:
n
M =∑ M i u i  max
i=1
(2)
n
∑ Q i ui
≤ Q
(3)
i=1
0 ≤ ui ≤ 1
u i ∈{0 ;1}
для i ∈I
(4)
для i ∉I
(5)
В общем случае, задача (2)-(5) является задачей целочисленного линейного
программирования и может быть решена с применением стандартных пакетов прикладных
программ.
Если
все
предлагаемые
заказы
могут
быть
пролонгированы,
от
есть
I ={1,2 , , n } , то задача (2)-(5) допускает простое решение, которое может быть
получено на основе следующего алгоритма (А1).
Шаг 1. Положить
Q R=0 . Создать множество
I ={1,2 , , n }
Положить
u i =0 для всех i ∈I .
Шаг 2. Выбрать i =arg max M
Шаг 3. Если
j
j∈ I .
среди всех
Q R Q i ≤Q , то положить
Q R=Q RQ i . Положить
u i =1 .
Исключить i из множества I. Перейти к шагу 2.
В противном случае перейти шагу 4.
Шаг 4. Положить k=i. Положить u k =
Q−Q R
.
Qi
В результате выполнения данного алгоритма будут приняты к полному исполнению в
течении планового периода все заказы, для которых переменная
только заказ k будет принят на условиях пролонгации, когда
ui
установлена в 1 и
u k 100 %
заказа k будет
выполнено в плановом периоде, а 1−u k 100 % заказа k будет перенесено на следующий
период.
Очевидно, что для того, чтобы заказ мог рассматриваться как потенциально
приемлемый для включения в план должно выполняться условие
M i 0 , то есть
промежуточная маржинальная прибыль от реализации заказа должна быть положительна.
Если
M i 0 , то заказ убыточен. Однако для того, чтобы не потерять потенциально
выгодного в будущем клиента, но при этом соблюсти собственные интересы, предприятие в
процессе переговоров может предложить данному Заказчику частично пересмотреть условия
договора. Наиболее простым вариантом может быть предложение увеличить цену до того
уровня, при котором будет обеспечен требуемый уровень рентабельности затрат по данному
заказу.
Пусть r – требуемый уровень рентабельности затрат по заказу. Тогда искомая цена
единицы изделия может быть определена из уравнения:
pi Qi – v i Qi – C i
=r
v i Q i C i
Откуда
рi =
(6)
1r v i Q i C i 
Qi
(7)
Если Заказчика не устраивает цена, определяемая соотношением (7), но предлагаемая
им цена превышает переменные затраты на единицу продукции
 p i v i  , то можно
попытаться предложить ему увеличить объем заказа, учитывая факт дегрессии прямых
постоянных затрат на единицу производимой продукции при росте объема выпуска. Для
этого также можно воспользоваться соотношением (6). Выразив
Qi
через остальные
параметры, получим:
Qi=
1rC i
pi – vi – r vi
(8)
Определяемый по формуле (8) желательный объем поставки
Qi
положителен
только в том случае, если
pi 1r v i
(9)
Это означает, что, если при заданной норме рентабельности затрат по заказу r
неравенство (9) не выполняется, то ни при каких объемах поставки принятие заказа при
данной цене и данных переменных затратах на единицу выпуска нецелесообразно. В этом
случае Заказчику в приеме его заказа надо отказать, либо попытаться договориться о такой
цене, при которой будет выполнено неравенство (9) и при этом включить в условия договора
объем поставки не меньший, чем тот, который определяется по формуле (8), поскольку
только при соблюдении этих условий принятие заказа будет выгодно предприятию и
обеспечит ему рентабельность затрат не меньшую, чем r.
В том случае, если прямые постоянные затраты при выполнении заказа равны нулю,
то он выгоден при любых объемах поставки в случае соблюдения неравенства (9). Если же
это неравенство не выполняется, то заказ следует отвергнуть.
Для решения задачи формирования плана поставок неоднородной продукции
(выполнения работ, оказания услуг) может быть предложена следующая модификация
модели (2)-(5).
Пусть n – общее число рассматриваемых предприятием заказов на поставку
неоднородной продукции (выполнение работ, оказание услуг);
реализации продукции (работ, услуг) в соответствии с i-ым заказом
Ri
– выручка от
i =1,2 , , n ; v i –
рассчитанные экономическими службами предприятия переменные затраты на рубль
выручки от реализации при выполнении i-го заказа;
C i – дополнительные постоянные
затраты, необходимые для выполнения i-го заказа; R – рассчитанная экономистами
предприятия общая оценка возможности выпуска продукции (выполнения работ, оказания
услуг) в денежном выражении.
Если I – множество заказов, по которым возможно пролонгированное в приведенном
выше смысле исполнение, то доля i-го заказа, равная
0 ≤ u i ≤ 1 , должна быть
включена в план данного периода.
Тогда задача формирования оптимального пакета заказов на поставки неоднородной
продукции (выполнение работ, оказание услуг) может быть поставлена в следующем виде:
n
M =∑ M i u i  max
(10)
i=1
n
∑ R i ui
≤ R
(11)
i=1
0 ≤ ui ≤ 1
u i ∈{0 ;1}
Где
для i ∈I
для i ∉I
(12)
(13)
M i =1 – v i  R i – C i - промежуточная маржинальная прибыль от реализации
i-го заказа.
В случае
I ={1,2 , , n } задача (10)-(13) может быть решена на основе
модификации алгоритма А1.
Заказ
является
потенциально
приемлемым,
если
M i 0 . В отличие от
рассмотренной ранее задачи формирования оптимального плана заказов на поставки
однородной продукции, при проведении переговоров с Заказчиком здесь можно попытаться
регулировать только общую выручку по конкретному заказу. Например, за счет
пропорционального увеличения поставки всех входящих в спецификацию заказа видов
продукции или увеличения объема выполнения работ.
Пусть r – требуемый уровень рентабельности затрат по договору. Тогда целевая
выручка может быть определена из уравнения:
R i – vi R i – C i
=r
v i R iC i
Откуда
Ri =
1r C i
1 – vi – r vi
(14)
(15)