Решение задач по математике варианта 2015 года 1 100

Решение задач по математике варианта 2015 года
1. [(200; 100)] 30 % х = 0,3 х; 20 % (х + у) = 0,2 (х + у). Получаем равенство 0,3х = 0,2(х + у), откуда 3х =
2х + 2у или х = 2у. Второе условие даёт равенство 0,06х – 0,1у = 2. Подставляем полученное
соотношение и получаем 0,12у – 0,1у = 0,02у = 2. Откуда у = 100, х = 200. За правильное составление
системы уравнений – 2 балла. За правильное решение системы – 3 балла.
2. [ ]
Так как треугольник АВС – прямоугольный, то центр окружности
находится на гипотенузе АС. Следовательно, треугольник АСЕ также прямоугольный, из чего АВСЕ –
квадрат. Проведём систему координат с началом в точке В так, что А имеет координаты (0; 1), С – (1; 0).
Тогда Е(1; 1). Центр окружности имеет координаты (0,5; 0,5), откуда её уравнение в координатах имеет
вид (x – 0,5)2 + (у – 0,5)2 = 0,5. Прямая BD задаётся уравнением у = 2х. Подставим это соотношение в
уравнение окружности и получим координаты точки F (1,2; 0,6). Прямая CD задаётся уравнением у = х +
1, а прямая AF уравнением
, откуда 3у = – х + 3. Решая систему уравнений, найдём
координаты точки К (1,5; 0,5). Очевидно, что треугольник EKD равнобедренный прямоугольный с
гипотенузой ED = 1. Отсюда EK = . За вычисление радиуса окружности 2 балла. За нахождение длины
АЕ 1 балл. За нахождение точки К (через длину АК или СК или KD) – 4 балла. За нахождение ЕК – 4
балла.
3. [–34]
= 0. Отсюда сумма всех уравнений даёт 20 + 14 + х = 0 или х = –34. Знание и правильное использование
формул сокращенного умножения – 2 балла. Вывод зависимости – 5 баллов. Оставшееся – 4 балла.
4. [никогда] Вычислим сначала среднюю скорость дельфина. Раз периметр равен 54 км, то каждая
сторона равна 18 км. Время прохождения АВ 1,5 часа, ВС – 3 часа, СА – 1,5 часа. Общее время – 6
часов. Средняя скорость 54 : 6 = 9 км/ч (скорость морского котика). Встречаться они могут только в
точках касания окружности со сторонами треугольника. Радиус вписанной окружности равен
,
откуда длина окружности равна
км. Обозначим через К точку касания окружности с АВ,
через М точку касания с ВС и через Т точку касания с СА. Дельфин от точки А до точки К затратит 0,75
часа, от точки К до точки М 0,75 + 1,5 = 2,25 часа, от точки М до точки Т 1,5 + 0,75 = 2,25 часа и от
точки Т до точки К 0,75 + 0,75 = 1,5 часа. Как видно, для дельфина время прохождения через точки
касания всегда будет числом рациональным. Но тогда пройденный морским котиком путь тоже будет
числом рациональным (9 км/ч умножить на рациональное число даёт рациональное). Для того, чтобы
котик оказался в точке касания он должен пройти путь, кратный трети длины окружности, то есть числу
, которое является иррациональным. Так как рациональное и иррациональное числа не могут быть
равными, то дельфин никогда не встретится с морским котиком. За нахождение средней скорости – 2
балла. За нахождение длины окружности – 2 балла. За нахождение времени прохождения отрезков и дуг
– 3 балла. За правильный обоснованный ответ – 4 балла.
5. [5] Просуммируем все числа и получим значение 36. Наименьшее значение суммы в больших кругах
можно получить, если сумма двух общих маленьких кружков будет наименьшей. Мы не можем
поставить в них значения 1 и 2, так как тогда оставшаяся сумма 36 – 3 = 33 будет нечётной и её будет
невозможно распределить поровну. Остаётся случай 1 и 3. Тогда оставшаяся сумма 36 – 4 = 32. Делим
на 2 и получаем 16. Значит В = 16 + 1 + 3 = 20. Максимальная сумма в большом круге может получиться
только в случае, если сумма двух общих маленьких кругов будет наибольшей. Аналогично отбрасываем
вариант с 7 и 8 из-за нечётности и получаем 6 и 8. Оставшаяся сумма равна 36 – 14 = 22. Делим её на 2 и
получаем 11. Тогда А = 11 + 6 + 8 = 25. Находим разность А – В = 5. Нахождение А – 5 баллов.
Нахождение В – 5 баллов. Правильный ответ – 1 балл.
6. [2] В уравнении
нужно найти целое значение а, при котором х также будет
целым и уравнение
превратится в тождество. Значит, в нём все слагаемые,
кроме одной дроби, всегда являются целыми числами. Следовательно, задача имеет решение только
если дробь также будет целым числом. Для этого найдём число всех делителей 36 (положительных и
отрицательных). Разложение даёт 36 = 22 · 32. Число натуральных делителей равно (2 + 1)·(2 + 1) = 9.
Учитывая отрицательные значения, получаем 18 значений х: {–37; –19; –13; –10; –7; –5; –4; –3; –2; 0; 1;
2; 3; 5; 8; 11; 17; 35}. Подставим их и найдём соответствующие значения параметра а:
1369а – 37 = 1369 + 1, откуда а не является целым;
0 + 0 = 0 – 36 не имеет решения;
361а – 19 = 361 + 2, также даёт нецелое а;
а + 1 = 1 – 18 даёт а = –18;
169а – 13 = 169 + 3, аналогично а не целое;
4а + 2 = 4 – 12 даёт 4а = –10; а не целое;
100а – 10 = 100 + 4, также не подходит;
9а + 3 = 9 – 9 даёт 9а = –3; а не целое;
49а – 7 = 49 + 6; аналогично а не целое;
25а + 5 = 25 – 6; аналогично а не целое;
25а – 5 = 25 + 9; аналогично а не целое;
64а + 8 = 64 – 4; аналогично а не целое;
16а – 4 = 16 + 12 даёт 16а = 32, откуда а = 2;
121а + 11 = 121 – 3; аналогично а не целое;
9а – 3 = 9 + 18 даёт 9а = 30; а не целое;
289а + 17 = 289 – 2; аналогично а не целое;
4а – 2 = 4 + 36 даёт 4а = 42; а не целое;
1225а + 35 = 1225 – 1; аналогично а не целое.
Получаем всего два значения а, при которых уравнение имеет целое решение. За получение делителей
числа 36 – 4 балла (за только натуральные делители – 1 балл). За проверку каждого значения – 6 баллов.
За правильный ответ – 1 балл.
7. [2016] Второе условие можно записать в виде
делится нацело на k. Умножив на 2, получаем,
что N(N – 1) делится нацело на 2k. В частности N(N – 1) должно нацело делиться на 16. Подставим
выражение из первого условия и получим а(2а – 1)(2а2 – а – 1) должно делиться на 16. Тогда остаток от
деления числа а на 16 равен либо 0, либо 1. Случай а = 1 противоречит условию N > 1. а не равно 16,
так как а(2а – 1)(2а2 – а – 1) не делится нацело на 7. Также а не может быть 17, так как а(2а – 1)(2а2 – а
– 1) не делится нацело на 9. Следующим возможным значением является а = 32, откуда а(2а – 1)(2а2 – а
– 1) = 25 · 32 · 5 · 7 · 13 · 31, что показывает делимость на все числа 2k, если k = 1; 2; ...; 10. Получаем N
= 32(2 · 32 – 1) = 2016. За упрощение вида суммы – 2 балла. За использование делимости и отсечения
части чисел – 6 баллов. За правильную проверку получаемых результатов на делимость – 6 баллов. За
правильный ответ – 6 баллов.
8. [5] Очевидно, что числа во множестве S представляют собой степени числа 2. А значит, любое
подмножество однозначно представляет собой натуральное число от 1 до 511 в двоичной системе.
Любое подмножество можно представить в виде 9 цифр (нулей и единиц), в которых 0 означает
отсутствие соответствующего числа из множества S, а 1 – его присутствие.
Всего от 1 до 511 полных квадратов 22. Сверхквадратное подмножество представляет собой полный
квадрат, из двоичного представления которого путём замены каких-либо его 0 на 1 нельзя получить
другой полный квадрат.
Выпишем их всех:
000000001
010010000
000000100
010101001
000001001
011000100
000010000
011100001
000011001
100000000
000100100
100100001
000110001
101000100
001000000
101101001
001010001
110010000
001100100
110111001
001111001
111100100
После вычёркивания неподходящих чисел остаются всего 5: 112, 152, 192, 212, 222. За нахождение
представления в бинарном виде – 2 балла. За нахождение соотношения между сверхквадратностью и
числами – 3 балла. За каждое правильно найденное число по 3 балла, за каждое неправильное минус 2
балла (при этом сумма баллов не меньше 0).