Задачи олимпиады для 11 класса

Задачи олимпиады для 11 класса
1 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса,
аналогичная задачам из контрольной работы на пятерку.
Задача 1. Решите уравнение:
𝑥
2011 log𝑥 2011
= (2012)
2012
.
Решение:
Прологарифмируем это уравнение по основанию 2012:
log 2012 (
𝑥
2011
) = log 𝑥 2011 ∙ log 2012 (
2012
log 2012 𝑥 − 1 =
);
2012
log2012 2011
log2012 𝑥
∙ (log 2012 2011 − 1);
(log 2012 𝑥)2 − log 2012 𝑥 − log 2012 2011 ∙ (log 2012 2011 − 1) = 0; х ≠ 1;
(log 2012 𝑥)2 − log 2012 𝑥 + log 2012 2011 ∙ (1 − log 2012 2011) = 0.
Обозначим log 2012 𝑥 = 𝑡,
𝑡 2 − 𝑡 + log 2012 2011 ∙ (1 − log 2012 2011) = 0;
По теореме, обратной теореме Виета,
t = log 2012 2011
или
t = 1 − log 2012 2011,
log 2012 𝑥 = log 2012 2011 ;
log 2012 𝑥 = 1 − log 2012 2011,
x = 2011.
𝑥 = 1 2011.
1
1
Ответ: 1 2011; 2011.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Обоснованно получен правильный ответ
Баллы
2
Способ решения верен, но получен неверный ответ или
решение не закончено ИЛИ обоснованно получен хотя бы
1
один ответ
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
2 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса,
содержит «изюминку», благодаря которой сильный ученик ее решает быстрее и
рациональнее.
Задача 2. Решите неравенство: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 ≤ 2.
Решение.
1 способ. Рассмотрим функцию f (x) = √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3. Ее область определения x ≥ 1.
На этой области функция f (x) строго возрастает как сумма двух возрастающих функций,
определенных в этой области (эти функции возрастают по свойству функции 𝑦 = √𝑥 + 𝑎).
Значит, функция f (x) принимает наименьшее значение при наименьшем значении х из области
определения, то есть в точке х = 1.
f (1) = √1 − 1 + √1 + 3 = 2.
Таким образом, для всех x ≥ 1 √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 ≥ 2, поэтому исходное неравенство
√𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 ≤ 2 выполняется лишь в случае равенства обеих частей 2, то есть при х = 1.
Ответ: 1.
2 способ. ОДЗ x ≥ 1.
По свойствам неравенств, для любого x ≥ 1
x − 1 ≥ 0;
x + 3 ≥ 4;
√𝑥 − 1 ≥ 0;
√𝑥 + 3 ≥ 2,
значит, √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 = 2.
(1)
(2)
Так как для любого x ≥ 1 имеет место (1) , то равенство (2) возможно лишь в случае
{
√𝑥 − 1 = 0;
то есть при x = 1.
√𝑥 + 3 = 2,
Ответ: 1.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Обоснованно получен правильный ответ
Верный ответ получен, но недостаточно обоснованно ИЛИ
Ход решения верен, но допущена незначительная ошибка
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Баллы
2
1
0
3 задача (3 балла). Содержит геометрический материал, доступна большинству учащихся.
Задача 3. Ребра AD и BC пирамиды DABC равны 24 и 10 см. Расстояние между серединами
ребер BD и AC равно 13 см. Найдите угол между AD и BC.
D
Решение.
Обозначим M – середина BD, N – середина АС.
По условию MN = 13 см.
1) Проведем NK параллельно BC, NK является средней
M
линией треугольника АВС, поэтому
1
NK = BC; NK = 5 см.
2
2) К – середина АВ, МК – средняя линия
N
А
треугольника ABD, значит,
1
МК = 2 AD; МК = 12 см.
C
K
3) Так как прямая NK параллельна прямой BC,
B
прямая KM параллельна прямой AD, то угол MKN равен углу
между прямыми AD и BC.
4) В треугольнике KMN имеем: NK = 5 см, МК = 12 см, MN = 13 см.
MN2 = MK2 + NK2 (действительно, 169 = 144 + 25), по теореме, обратной теореме Пифагора,
угол MKN прямой.
Ответ: 900.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
3
Способ решения верен, но получен неверный ответ
2
Ход решения верен, но решение не закончено
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
4 задача (4 балла). Соответствует по уровню задаче, предлагаемой на городском туре,
тема произвольная.
Задача 4. Найдите все натуральные значения n, при которых 4𝑛 + 𝑛4 является простым
числом.
Решение.
Очевидно, n – нечетное число (если бы оно было четно, то сумма 4𝑛 + 𝑛4 была бы четна), то
есть n = 2k + 1. Тогда 4𝑛 + 𝑛4 = 42𝑘+1 + (2𝑘 + 1)4 = 4 ∙ (2𝑘 )4 + (2𝑘 + 1)4 =
Воспользуемся тождеством:
4𝑎4 + 𝑏 4 = (2𝑎2 + 𝑏 2 )2 − 2 ∙ 2𝑎2 ∙ 𝑏 2 = (2𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏) ∙ (2𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏).
Тогда
4𝑛 + 𝑛4 = (2 ∙ 22𝑘 + (2𝑘 + 1)2 − 2 ∙ 2𝑘 ∙ (2𝑘 + 1)) ∙ (2 ∙ 22𝑘 + (2𝑘 + 1)2 + 2 ∙ 2𝑘 ∙ (2𝑘 + 1)).
Но по условию 4𝑛 + 𝑛4  число простое, следовательно, меньший множитель равен 1:
2 ∙ 22𝑘 + (2𝑘 + 1)2 − 2 ∙ 2𝑘 ∙ (2𝑘 + 1) = 1;
2
22𝑘 + (2𝑘 − (2𝑘 + 1)) = 1;
что возможно лишь в случае, когда 22𝑘 = 1 и 2𝑘 − (2𝑘 + 1) = 0, то есть при k = 0.
Отсюда n = 1.
Ответ: 1.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
4
Способ решения верен, но решение недостаточно обосновано
3
Способ решения верен, но получен неверный ответ
2
Ответ правильный, но решение не обосновано
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
5 задача (5 баллов). Соответствует по уровню задаче, предлагаемой на городском туре,
тема произвольная.
Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых длина интервала, являющегося
решением неравенства √2𝑎𝑥 − 𝑥 2 ≥ 𝑎 − 𝑥, равна 2 + √2.
Решение.
Пусть a – x = t, тогда x = a – t. Подставив x = a – t в данное неравенство, приходим к
равносильной задаче: найти все значения параметра а, при которых длина интервала,
являющегося решением неравенства √𝑎2 − 𝑡 2 ≥ 𝑡, равна 2 + √2.
Построим эскизы графиков функций y = √𝑎2 − 𝑡 2 и y = t.
Графиком функции y = √𝑎2 − 𝑡 2 является полуокружность радиуса | a | с центром в начале
координат, расположенная в I и II координатных четвертях.
В прямоугольном треугольнике ОМР ОМ = |a|,
ОР =МР, значит, ОР =МР =
y
|𝑎|√2
2
.
𝑦=
M
𝑎2 − 𝑡 2
Итак, решением данного неравенства является
отрезок [−|𝑎|;
|𝑎|√2
2
], длина которого по условию
0
-|a|
должна равняться 2 + √2.
Имеем:
|𝑎|√2
2
y=t
− (−|𝑎|) = 2 + √2;
|𝑎|(2 + √2) = 2(2 + √2);
|𝑎| = 2; откуда a =  2 или a = 2.
Ответ:  2; 2.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
5
Способ решения верен, но решение недостаточно обосновано
4
Решение в основном выполнено верно, но имеет недочеты
3
Способ решения верен, но получен неверный ответ
2
Ответ правильный, но решение не обосновано
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
P
|a|
t