МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВОЛОКНА В

УДК 677.021.17: 533.6 519.711
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВОЛОКНА
В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ
Э.Ф.БАЛАЕВ, В.М.ЗАРУБИН, Ф.Н.ЯСИНСКИЙ
(Ивановская государственная текстильная академия,
Ивановский государственный энергетический университет)
Аэродинамика
позволяет
осуществлять
новые
текстильные
технологии: безверетенное прядение,
бесчелночное
ткачество,
получение
нетканых
материалов,
очистку
волокнистых сред от сорных включений,
пневмотранспорт и многое другое [1].
Вследствие этого представляет интерес
рассмотрение
механики
полета
одиночного волокна в произвольном
воздушном потоке для использования ее
при
разработке
оптимальных
конструкций
перечисленных
выше
устройств.
Будем рассматривать волокно как
множество точечных масс т, связанных
жесткими поворотными связями длиной l
(рис. 1). Массы пронумерованы по
порядку вдоль волокна. Номера связей
указаны в скобках.
Дифференциальные
уравнения
движения масс запишем в виде [2] (рис.
2):
векторы, определяющие положение масс;




1 
N 1R , N 2 , N 2R , N 3l , N 3R … N nl - реакции
связей. Верхние индексы указывают
соответственно на левые (l) или правые



(R)
связи. F1a ,
F2a … Fna
аэродинамические силы, приложенные к
соответствующим точечным массам.
Уравнения связей возьмем в виде

 2
fs = 1/2[ rs 1  rs   l 2 ] = 0.
(2)
Коэффициент 1/2 взят для удобства.
Воспользовавшись множителями
Лагранжа, уравнения (1) представим в
виде (2):
  
Здесь t - время; r1 , r2 … rn - радиусы -
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999
где λs- множители Лагранжа. С их
помощью реакции связей представим
следующим образом:
Тогда система (3) запишется в виде
Из (2) находим
Рассмотрим аэродинамические силы.
Аэродинамическую силу, действующую
на участок волокна длиной l, можно
разложить на продольную и поперечную
составляющие (рис 3).

Согласно [3] продольную Fa i и
a
поперечную Fnorm
составляющие
i
вычислим так:


 
Рис. 3
( Fa ) i  (C S v rel v rel ) i / 2
a
rel
( Fnorm
) i  (C normSnorm v norm
Здесь ( v rel )ш - вектор относительной
скорости
воздушного
потока
по
отношению к скорости центра i -го
 
участка волокна: vi ; u i - абсолютная
скорость воздуха в середине i -го участка
волокна.



rel
v norm
) i / 2

(7)
Последняя находится как средняя
между скоростями концов i-го отрезка.
Площади Миделя для продольного и
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999
поперечного обтекания волокна Sτ и Snorm
вычисляются как [3]:
Sτ = πdl, Snorm = dl, (10)
а соответствующие аэродинамические
коэффициенты согласно [3] равны
где Re = dvrel/ν - число Рейнольдса; d диаметр волокна; ν - кинематическая
вязкость воздуха.
Эти зависимости получены для
хлопкового
волокна,
обладающего
мелковолновой
извитостью
и
справедливы для Сτ при 0,15 < Rе < 50 и
для Сnorm в диапазоне Rе: 0,3 < Rе < 20. В
этих
пределах
аэродинамические
коэффициенты могут меняться на два
порядка.
Аэродинамические
силы,
действующие на 1-й участок волокна,
переносятся затем на массы, которые этот
участок соединяет:
Для компьютерного моделирования движения волокна предлагается следующая
конечно-разностная схема:
где τ - шаг по времени.
Верхний индекс обозначает номер
момента времени. К (13) нужно
присоединить еще уравнения связей
(13), (14) образуют нелинейную конечноразностную систему, которая может быть
решена итерационным способом с
использованием метода Ньютона. Если
(2) продифференцировать повремени, то
получим
или в конечной форме


Выражая rsk 1 , rsk11 из (13) и
подставляя их в (16), получаем:
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999
Формулы для подсчета As, Bs, Cs, Ds
не приведены здесь для краткости.
Однако они могут быть легко получены,
как указано выше. Существенно, что эти


коэффициенты зависят лишь от ri k и ri k 1
и имеет место неравенство
что обеспечивает быструю сходимость.
Система уравнений (17) легко решается с
помощью метода прогонки [4]. Согласно
этому методу
где Lks , M sk - неизвестные пока
прогоночные коэффициенты. Подставив
(19) в (17), получим формулы для их
вычисления:
Двигаясь
по
узлам
вправо
последовательно, согласно (20) находятся
все Lks , M sk (прямая прогонка). Затем
переходят к формулам (19) и вычисляют,
двигаясь по узлам влево, все λ ks 1
(обратная прогонка). Полученные λ ks 1
подставляются в (13) и из них находят

новые ri k 1 , то есть новое положение и
форму волокна. На каждом шаге по
времени таких итераций приходится
делать 2...3 или можно обойтись на шаге
одной итерацией, но в этом случае нужно
брать достаточно малый шаг по времени.
Естественно, что при каждой итерации
уточняются и аэродинамические силы.
При
конкретных
вычислениях
от
векторных
выражений
приходится
переходить к координатным.
В связи с этим отметим еще
соотношение,
которое
удобно
использовать
при
вычислении
аэродинамических сил (7) (рис. 4):
откуда
В приведенных выкладках для
краткости не учитывается вес волокна
или составляющих его точечных масс.
Однако учет веса не вносит ничего
принципиально нового в предложенный
выше алгоритм.
ВЫВОДЫ
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999
Предложены математическая модель,
разностная
схема
и
алгоритм,
позволяющие
моделировать
на
компьютере
движение
волокон
в
произвольном
воздушном
потоке.
Методика может быть использована при
разработке
аэродинамических
технологических устройств.
ЛИТЕРАТУРА
индустрия, 1975.
2. Космодемьянский А.А. Курс теоретической
механики. - М: Учпедгиз, 1955.
3. Павлов Г.Г. II Изв. вузов. Технология
текстильной промышленности.- 1981, № 5.
С.71...74.
4. Марчук Г.И. Методы вычислительной
математики. - М: Наука, 1977.
Рекомендована
кафедрой
механической
технологии текстильных материалов ИГТА.
Поступила 22.07.98.
_______________
1.
Павлов
Г.Г.
Аэродинамика
технологических процессов и оборудования
текстильной промышленности. - М: Легкая
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999