Взаимодействие оптического излучения с веществом

Федеральное агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра электронных приборов (ЭП)
П.П. Гейко
Взаимодействие оптического
излучения с веществом
Учебное пособие
Томск 2007
Оглавление
Введение.......................................................................................................................4
Рис.2.1. Поглощение и дисперсия в линейной изотропной среде....................28
Здесь мы ограничились линейным членом разложения, предполагая, что импульс является узкополосным, т.е. Δω << ω0. На временном языке это означает,
что длительность импульса много больше периода световых колебаний.
Подставим (10.24) в (2.23) и получим.....................................................................33
I() = (2.25)...............................................................................................................36
3.3. Эллипсоид показателей преломления. Формулы Френеля............................47
Световые поля отраженной и преломленной волн в общем случае имеют вид..60
В принятых обозначениях граничные условия (4.1) принимают вид..............63
Интегрируя это выражение по y в интервале [0, x], получаем...........................104
Рис. 8.2. Схема лазерного термоядерного синтеза...........................................146
9. Взаимодействие сверхкоротких световых импульсов с веществом...............147
Литература................................................................................................................159
Введение
Взаимодействие света с веществом предоставляет широкие возможности
как для управления светом, так и для исследования вещества. Обращаясь к
проблеме взаимодействия оптического излучения с веществом необходимо охарактеризовать как излучение, так и вещество. Под оптическим излучением будем понимать электромагнитные волны оптического диапазона, причём наибольший интерес в плане взаимодействия представляет когерентные источники
излучения.
Классическое описание электромагнитного поля предполагает использование уравнений Максвелла. В принципе, электромагнитные волны можно
рассматривать с позиций квантовой электродинамики, вводя операторы рождения и уничтожения фотонов, и используя гораздо более сложный формализм
описания. Что же касается вещества, то в некоторых случаях проявляется его
квантовая природа – под действием поля излучения происходят переходы между энергетическими уровнями частиц, из которых это вещество состоит. Обычно это имеет место при совпадении частоты излучения с частотой перехода. Такие же эффекты происходят при межзонном поглощении в полупроводниках и
диэлектриках, когда рождаются электронно-дырочные пары, или при примесном поглощении, когда рождается электрон в зоне проводимости или дырка в
валентной зоне. В этом случае приходится прибегать к квантово-механическому описанию. Если же квантовая природа вещества не проявляется, то его гораздо проще рассматривать на основе классического описания, используя макроскопические характеристики, такие как диэлектрическая проницаемость,
магнитная проницаемость, проводимость и т.д. Когда речь идет о взаимодействии излучения с веществом, часто используют полуклассическое описание:
вещество рассматривается как квантовая система и соответствующие физические величины заменяются операторами, а поле излучения рассматривается
классически, на основе уравнений Максвелла.
Именно благодаря взаимодействию электромагнитного излучения с веществом мы можем его обнаруживать, усиливать, генерировать, преобразовывать
и т.д. Нас интересует как выходное излучение, так и процессы, происходящие с
веществом при взаимодействии. Дадим некоторую классификацию эффектов
взаимодействия.
1. Воздействие вещества на излучение – какие-либо характеристики излучения на выходе отличаются от входных. Такие эффекты известны давно,
например отражение света от водной поверхности, преломление света. Разложение белого света с помощью призмы в спектр, двулучепреломление света в
кристалле исландского шпата. Эти примеры можно продолжать бесконечно, поскольку вещество всегда действует на излучение каким-либо образом.
2. Воздействие излучения на вещество – параметры вещества, характеристики вещества, его форма, состояние и т.д. меняются при его облучении. Сфокусированное солнечное излучение может прожечь бумагу, зажечь костер и т.д.
Однако наибольшее развитие эффекты воздействия излучения на вещество, их
исследования и приложения, получили после появления лазеров. Достигаемые
здесь плотности энергии позволяют вызвать в веществе как обратимые, так и
необратимые изменения. К обратимым изменениям относятся динамические голограммы в фотохромных и фоторефрактивных, и т.д., к необратимым - резка,
сварка, сверление отверстий лазерным лучом.
3. Эффекты самовоздействия – излучение действует на вещество, а изменение его свойств приводит к изменению параметров излучения. Примеры:
самофокусировка и самодефокусировка световых пучков, распространения солитонов, и т.д.
В общих чертах взаимодействие излучения с веществом представляется
следующим образом. Электромагнитное поле световой волны воздействует на
заряженные частицы среды, заставляя их совершать вынужденные колебания
на частоте поля. При этом часть энергии светового поля передается частицам световая волна поглощается. Колеблющиеся электроны, в свою очередь, становятся источниками вторичных световых волн. Интерференция этих волн приво-
дит к тому, что скорость распространения световой волны в среде становится
меньше, чем скорость света в вакууме и, кроме того, зависит от частоты света.
Это явление называется дисперсией света. Одно из ярких проявлений дисперсии это разложение белого света в спектр с помощью стеклянной призмы было
продемонстрировано еще Ньютоном. Другой пример изменение формы и длительности светового импульса при его распространении в диспергирующей среде. Очень своеобразные оптические явления происходят и на границе раздела
сред. Здесь вторичное излучение, испускаемое частицами обеих сред, интерферирует таким образом, что имеет место сильное нарушение прямолинейности
распространения света: возникают отраженный и преломленный лучи. На отражении и преломлении света основано действие зеркал, линз и призм. Явление
полного внутреннего отражения позволяет передавать свет по оптическому волокну. Силы светового давления, возникающие при отражении и преломлении,
можно использовать для управления движением микрочастиц.
В анизотропных средах (кристаллах) смещение заряженных частиц под
действием электрического поля световой волны происходит не в направлении
поля, а в направлении, определяемом структурой кристалла. Вследствие этого
распространение света в кристалле имеет ряд специфических особенностей.
Одна из них — двойное лучепреломление света на границе анизотропной среды. Наконец, в сильном световом поле, достигаемом в сфокусированных лазерных пучках, становится существенной нелинейность (ангармонизм) вынужденных колебаний элементарных осцилляторов среды. С нею связан целый класс
новых оптических явлений. Это уже явления нелинейной оптики, общей чертой
которых является сильная зависимость от интенсивности света. К ним относятся такие явления как генерация оптических гармоник, самофокусировка и вынужденное рассеяние света.
1. Физические основы взаимодействия света и вещества
Физическая картина взаимодействия света и вещества представляется
следующим образом. Падающий на среду свет раскачивает колебания электро-
нов в атомах. Отдавая им свою энергию, свет поглощается, однако колеблющиеся заряды сами становятся источниками вторичных световых волн. Световое
поле в среде формируется в результате интерференции падающего излучения и
вторичных световых волн. В обычных условиях число атомов столь велико и
они расположены настолько близко друг к другу, что дискретная структура среды не проявляется. Вещество ведет себя как сплошная среда. Это дает возможность ввести такие характеристики вещества как поляризация (дипольный момент единицы объема среды), электрическая и магнитная индукция. Теория взаимодействия света и вещества строится на основе уравнений электромагнитного поля (уравнения Максвелла) и уравнений, описывающих свойства сред (материальные уравнения).
Открытие принципа квантового усиления и создание на этой базе лазеров
позволили генерировать оптические поля с напряженностью, сравнимой или
даже превышающей напряженность внутриатомного поля. Воздействие такого
оптического излучения на среду приводит к изменению ее оптических свойств.
Это означает, что волна в среде может оказывать влияние на процессы распространения в среде других волн (не только электромагнитных), а кроме того, она
может испытывает самовоздействие. Естественно, в этом случае принцип
суперпозиции уже не является справедливым. Нарушение принципа суперпозиции приводит к возникновению новых, не наблюдавшихся ранее явлений и требует развития новых теоретических подходов. Это область уже новой науки,
называемой нелинейной оптикой. С начала 60-х годов, после создания лазеров,
нелинейно-оптические явления не только стали доступны наблюдению, но и
превратились в серьезный инструмент изучения вещества, явились основой для
создания новых устройств лазерной техники. Поэтому основные уравнения будут формулироваться с учетом нелинейности среды.
1.1. Уравнения Максвелла. Вектор нелинейной поляризации
Хорошо известно, что электромагнитное поле в любой среде при классическом описании определяется заданием векторов напряженностей электриче-
ского E и магнитного H полей, а также векторов электрической D и магнитной
B индукций. Эволюция этих векторов в пространстве - времени описывается
уравнениями Максвелла, которые составляют теоретический фундамент как линейной, так и нелинейной оптики, включая разумеется и кристаллооптику. В
удобной для оптики гауссовой системе единиц уравнения Максвелла имеют вид
rotE  (1/c)B/t  0, divB  0,
rotH  (1/c)D/t  (1/c)J, divD  4,
(1.1)
где J и   плотность тока свободных зарядов и плотность свободных зарядов в
рассматриваемой среде, соответственно. Они связаны между собой законом
сохранения заряда в дифференциальной форме или уравнением непрерывности
/t + divJ  0.
(1.2)
С помощью введения электрической P и магнитной M поляризаций учитывается влияние на электромагнитное поле связанных зарядов, входящих в состав атомов и ионов элементарной ячейки кристалла.
P  (D  E)/4,
M  (B  H)/4.
(1.3)
Уравнения Максвелла (1.1) сами по себе не образуют замкнутой системы,
на основе которой можно было бы проводить расчет полей в кристалле. Эти
уравнения отражают лишь влияние кристалла на распространение в нем электромагнитного излучения. Для получения замкнутой системы их следует дополнить соотношениями, задающими зависимость P, M и J (или D, B и J) от
напряженностей полей E и H  материальными уравнениями.
В наиболее общем виде эта зависимость определяется уравнениями квантовой механики, описывающими воздействие электромагнитного поля на движение зарядов кристалла. Однако решение этих уравнений и отыскание на их
основе функциональной связи между физическими характеристиками кристалла и напряженностями полей представляет собой очень сложную задачу. Поэтому в оптике и электродинамике традиционно применяется феноменологический
путь установления материальных уравнений, т. е. связь между векторами P, M,
J, E и H (или D, B, J, E и H) постулируется на основе физически разумных соображений. При этом, конечно, учитываются общие требования, которым
должны удовлетворять уравнения связи.
Ограничимся рассмотрением немагнитных кристаллов, состоящих из
электрически нейтральных элементарных ячеек или содержащих в своей структуре слабо подвижные ионы. Для таких кристаллов уравнения связи имеют особенно простой вид:
  0, J  0, M  0 (B  H).
(1.4)
В этом случае единственной величиной, характеризующей влияние кристалла на электромагнитное поле, остается вектор электрической поляризации
P. Следовательно, вопрос о материальных уравнениях сводится лишь к установлению зависимости вектора P (или D) от напряженностей E и H.
При описании линейных оптических свойств кристаллов полагаем, что
существует линейная связь поляризации P с напряженностью электрического
поля E световой волны. Это приближение справедливо, если напряженность E
мала по сравнению со значениями, характерными для внутриатомных полей.
Но даже в этих условиях соответствующие малые нелинейные поправки в зависимости P(E) приводят к качественно новым эффектам и потому могут быть существенными.
В общем случае электрическая поляризация кристалла может зависеть
как от E, так и от H. Однако зависимость P от H в v/c  1, (v- скорость движения электрических зарядов в среде) раз слабее зависимости P от E. Поэтому ею
пренебрегают. Зависимость же P(E) всегда существенна в оптическом диапазоне частот.
Для анализа этой зависимости поляризацию P удобно представить в виде
P  PL  PNL,
(1.5)
здесь PL  поляризация, представляющая линейный отклик кристалла на падающее излучение, а PNL  нелинейная поляризация, характеризующая отклонение
полного отклика от его линейной части. При решении конкретных задач кри-
сталлооптики интерес представляет не вся полная поляризация, а лишь та ее
часть, частоты колебаний которой находятся в оптической области.
Практически целесообразно выделение из полной поляризации линейной
части PL. Это объясняется тем, что в очень широкой области интенсивностей
влияние излучения на движение частиц мало. Слабые световые поля вызывают
лишь небольшие изменения этого движения. Поэтому поляризация может быть
представлена в виде ряда по степеням напряженности поля излучения. Конечно, на практике встречаются случаи мощного излучения в резонансной среде, в
которой PNL сравнимо с PL. В таких случаях задачах сильного взаимодействия
света с веществом  необходимо использовать полное нелинейное выражение
для P как функции E.
1.2. Основное материальное уравнение
Существенной особенностью взаимодействия света с кристаллическими
средами является то, что длина световой волны   10  10 см значительно
больше линейного размера a  10 см их элементарных ячеек. В оптической области малый параметр a/ фактически может быть использован для разложения
по нему поляризации и других физических величин. При слабых полях по сравнению с внутриатомными полями такие ряды быстро сходятся.
Воздействие оптических полей во многих случаях не приводит к существенному изменению внутренней структуры кристалла. Действительно, напряженность внутриатомного кулоновского поля порядка Eat  q/a  10 В/см. Такие напряженности могут быть достигнуты в потоках излучения с мощностью
10 Вт/см. Большинство лазерных источников (за исключением систем генерирующих импульсы субпикосекундного и фемтосекундного диапазона длительностей) не способны создать потоки излучения с такой мощностью. В реальной
ситуации чаще наступает разрушение кристалла или оптический пробой лазерным излучением при интенсивностях, превышающих некую критическую интенсивность.
Представим поляризацию P в виде ряда по степеням напряженности светового поля E. Обозначим тензорную функцию линейного отклика как (1)ik, а
тензорные функции нелинейного отклика 2-го, 3-го и т. д. порядка  (2)ikl, (3)iklm,
....,
Pi(r, t)  dtdr(1)ik(r r, t  t; r, t)Ek(r, t) 
+dtdtdrdr(2)ikl(r  r, t  t r  r, t  t;r, t) Ek(r, t)El(r, t) 
(1.6)
+dtdtdtdrdrdr(3)iklm(r  r, t  t r  r, t  t r  r, t  t; r, t) 
 Ek(r, t)El(r, t)Em(r, t)  ...  Pi1  Pi2  Pi3  ...  Pin  ...  PiL  PiNL,
Линейные и нелинейные функции отклика характеризуют реакцию кристалла на оптическое воздействие. Если для кристалла известен отклик (n), то с
помощью уравнений Максвелла (1.1) можно предсказать нелинейно-оптические
эффекты n-го порядка. Эти эффекты отличаются очень большим многообразием, часть из них будет описана далее.
1.3. Нелинейная поляризация в волновом уравнении
Многие задачи нелинейной кристаллооптики сводятся к нахождению
внутреннего светового поля и установлению его связи с полями на границе кристалла. В широкой области интенсивностей падающего излучения нелинейную
поляризацию кристалла можно считать малой и анализ взаимодействия лазерного излучения с веществом проводить с помощью метода последовательных
приближений, начиная с линейного приближения. Перепишем уравнения Максвелла (1.1) с учетом разделения поляризации на линейную и нелинейную части
(1.5) для немагнитного кристалла
rotE  (1/c)H/t  0, divH  0,
rotH  (1/c)E/t  (1/c)[J  PL/t  PNL/t],
divE  4  4div(PL  PNL).
(1.7)
Системе уравнений (1.7) разумно придать форму, близкую к форме с использованием только линейной поляризации. Для этого переопределим вектор
электрической индукции
D  E  4PL.
(1.8)
Очевидно, что в этом случае D зависит только линейно от напряженности E
Di(r, t)  dtik(t  t)Ek(r, t).
(1.9)
Здесь ik  тензорная функция линейного отклика кристалла на электрическое
поле E, которая выражается через линейную восприимчивость. С учетом (1.8)
система (1.7) перепишется:
rotE  (1/c)H/t  0, divH  0,
rotH  (1/c)D/t  (1/c)[J  PNL/t],
(1.10)
divD  4  4divPNL.
При отсутствии в кристалле поглощения (J  0,   0), система уравнений (1.10)
еще более упрощается
rotE  (1/c)H/t  0, divH  0,
rotH  (1/c)D/t  (1/c)PNL/t,
(1.11)
divD   4divPNL.
Наконец, из системы (1.11) легко получить волновое уравнение для поля
E, исключая H из первого соотношения с помощью операции rot,
rotrotE  (1/c)D/t   (1/c)PNL/t.
(1.12)
При условии справедливости разложения поляризации по степеням E, это уравнение совместно с материальным уравнением (1.6) и граничными условиями
полностью определяет распространение электромагнитного излучения в кри-
сталлах в отсутствие поглощения. Из-за своей правой части уравнение является
нелинейным и для его решения приходится использовать различные упрощающие предположения.
1.4. Модели нелинейной поляризации
Линейные и нелинейные восприимчивости характеризуют оптические
свойства кристалла. На микроскопическом уровне они могут быть адекватно
оценены только с помощью квантовомеханического расчета. В этом случае зачастую приходится заменить физические величины соответствующими операторами (проквантовать состояние вещества), применять аппарат статической
физики. Однако для иллюстрации возникновения нелинейной поляризации часто используются простые модели газа свободных электронов и ангармонических осцилляторов. В простейшей модели газа свободных электронов исходят
из уравнения движения без затухания (трения) для отдельного электрона
dr/dt  (q/m)(E  [vB]/c).
(1.13)
Единственным нелинейным членом в этом уравнении является сила Лоренца.
При v  c сила Лоренца оказывается гораздо слабее кулоновской и ее можно
рассматривать как малое возмущение в методе последовательных приближений
для вычисления скорости электрона из уравнения (1.13) с помощью однократного интегрирования по времени. Далее можно выразить плотность тока J через
электронную плотность заряда  однородной плазмы и скорость электрона
J  (v  v  ).
Если взять световое поле в виде
E  Eexp[i(t  kr)]  Eexp[i(t  kr)]  к.с.,
то из (1.13) получаем
v  i{(q/m)Eexp[i(t  kr)]  (q/m)Eexp[i(t  kr)]}  k.c.
(1.14)
v  [q/( + )]{[E[kE]]  [E[kE]]} exp[i( + )t  i(kkr)]} 
k.c. (1.15)
Очевидно, что нелинейный отклик на действие падающей извне световой
волны появляется благодаря наличию в уравнении движения электрона силы
Лоренца.
При более строгом описании электронного газа нужно принять во внимание
пространственное изменение плотности заряда  и скорости v. В этом случае
для описания электронного газа нужны уже два уравнения  уравнение движения и уравнение непрерывности
v/t  (v)v   p/m  (q/m)(E  [vB]/c),
/t  (v)  0, (1.16)
здесь p  давление. Эти уравнения нужно решать совместно с системой уравнений Максвелла, каким либо способом, например, методом последовательных
приближений. Если проделать эту процедуру, то можно убедиться, что кроме
лоренцовского отклика появятся члены, обусловленные неоднородностью электронной плазмы,  неоднородный отклик. Модель газа свободных электронов
может быть использована для описания оптического нелинейного отклика в металлах и полупроводниках, а также в диэлектрических кристаллах в рентгеновском диапазоне электромагнитного спектра.
С помощью модели ангармонического осциллятора можно описывать электрон, связанный с остовом, или активное в ИК поглощении молекулярное колебание. В этой модели среда считается состоящей из классических осцилляторов, плотность которых в единице объема равна N. Уравнение движения с учетом поглощения в одномерном случае имеет вид
dx/dt + Гdx/dt + x + ax  F. (1.17)
Рассмотрим отклик осциллятора на приложенное поле
F  (q/m)[Eexp(it)  Eexp(it)]  к.с. (1.18)
Ангармоническое слагаемое ax обычно считается малым, поэтому решение
уравнения (1.17) можно искать методом последовательных приближений, полагая в качестве возмущения ax,
x  x  x + x +  . (1.19)
Наведенная электрическая поляризация определяется соотношением
P  Nqx. (1.20)
В линейном приближении (первый порядок) из (1.17) находим
x  x()  x()  k.c.,
(1.21)
x(i)  (q/m)Eiexp(iit)/(  i  iiГ).
Приближение второго порядка получается при подстановке в уравнение (1.17)
вместо ax его приближенного значения в первом порядке a[x]:
x  x(  )  x(  )  x(2)  x(2)  x(0)  k.c. ,
x(  )   2a(q/m)EEexp[i(  )t]/ {(    iГ)(    iГ)
[  (  )  i(  )Г]},
(1.22)
x(2i)   a(q/m)Eiexp(i2it)/ [(  i  iiГ)(  4i  i2iГ)],
x(0)   a(q/m) [1/(    iГ)  1/(    iГ)]/.
Аналогичным способом можно найти поправки более высокого порядка. Во
втором приближении благодаря ангармоническому члену в (1.17) появляются
компоненты поляризации на частотах  , 2, 2 и 0. Эти осциллирующие компоненты поляризации становятся источниками электромагнитного излучения на частотах   , 2 и 2. Вот такое простое объяснение в этой
модели среды получают процессы генерации суммарной и разностных частот и
второй гармоники. Возникновение поляризации на нулевой частоте получило
название оптического выпрямления (оптического детектирования). В приближениях более высокого порядка должны появляться компоненты поляризации
на частотах   m m. Возмущение  величина ангармонического слагаемого  определяет силу нелинейного взаимодействия в обсуждаемой модели.
Предположение о малости члена ax равносильно малости величины напряженности E светового поля, поэтому в такой ситуации поляризацию P можно
разложить в ряд по степеням E. Сделаем оценку отношения |P/P|. В нерезонансном случае, когда    и   , из (1.21) и (1.22) имеем
|P/P|  |x/x|  |qaE/m|. (1.23)
В случае электрона, связанного с ионным остовом, при больших смещениях
x, гармоническое x и ангармоническое ax взаимодействия оказываются одного порядка и соответствуют величине силы |qEat|, удерживающей электрон:
|qEat| mx max, или |aqEat| m. (1.24)
Оценка (1.23) в этом случае принимает вид
|P/P|  |E/Eat|. (1.25)
Таким образом, величина |E/Eat| выступает в роли параметра разложения в
методе последовательных приближений. Внутриатомная напряженность имеет
порядок Eat В/см, а амплитуда E лазерного поля с интенсивностью
10 Вт/см составляет примерно 100 В/см. При таких значениях |E/Eat| . В
этом случае нелинейная поляризация значительно меньше линейной. Следовательно, для наблюдения нелинейных оптических эффектов необходимы лазерные пучки достаточно большой интенсивности. Однако и при малых интенсивностях лазерного пучка могут возникнуть новые явления в результате "накопления" эффектов нелинейности за большие промежутки времени и на больших
расстояниях.
Приведенные оценки справедливы для частот, находящихся вдали от резонанса. Вблизи резонанса из-за знаменателей отношение |P/P| может резко
возрастать и быть больше единицы. В этой ситуации разложение по методу теории возмущений уже не справедливо и задача относится к области сильных взаимодействий света с веществом.
1.5. Временная и пространственная дисперсии
В общем случае материальное уравнение (1.6) определяет нелинейную связь
между поляризацией и электрическим полем. Оно в явном виде учитывает
принцип причинности  отклик в виде поляризации Pi(r,t) в момент времени t
определяется полями Ej(r, t) во все предыдущие времена t  t. То обстоятельство, что отклик определяется полем не только в тот же момент времени, но и в
предыдущие (т. е. нелокальная связь во времени между P и E), обуславливает
частотную или временную дисперсию восприимчивостей. Нелокальная же пространственная связь между P и E задает пространственную дисперсию.
Зависимость реакции кристалла от предшествующих данному моменту значений поля объясняется конечностью времени перестройки системы зарядов.
При изменении поля система зарядов в веществе перестраивается, но не мгновенно, а за конечное время, “помня” в данный момент о предшествующих зна-
чениях поля. Фактически такая “память” сохраняется только в течение конечного времени, порядка времени релаксации  зарядов среды. Поэтому функции отклика в (1.6) быстро убывают при t  t  .
Физическая причина зависимости P в точке r от значений поля в соседних
точках пространства r связана с тем, что в данную точку из-за теплового движения могут приходить частицы из соседних областей пространства с другими
значениями полей. Поэтому связь между реакцией кристалла и напряженностью поля оказывается нелокальной и по r. Эффекты нелокальности тем
больше, чем сильнее поле изменяется в пространстве. Обычно с ростом |r  r|
функции отклика  достаточно быстро убывают. Вид этой зависимости  определяется микроскопической моделью кристалла после соответствующего
усреднения.
Явная зависимость  от t и r отражает нестационарность и неоднородность
кристалла. Рассматриваемые нами оптические кристаллы будем считать стационарными и однородными, что математически означает
n)(r  r', t  t'; r, t)  n)(r  r', t  t' ). (1.26)
Подставляя (1.26) в (1.6) и делая преобразование Фурье для Pi(r, t) и Ek(r, t):
Pi(r, t)  ddkPi(k, )exp[i(t  kr)],
Ek(r, t)  ddkEk(k, )exp[i(t  kr )], (1.27)
получаем
ddkPi(k, )exp[i(t  kr)]  ddk{ddr()ik(r, )exp[i(kr  )]}Ek(k,) 
 exp[i(t  kr)]  ... . (1.28)
Из этого соотношения следует связь между фурье-компонентами
Pi(k, )  ()ik(k, )Ek(k, )  ddk()ikl(k, ; k, )Ek(k, )El(k, )  ... 
 Pi(k, )  Pi(k, )  Pi(k, ) + ... , (1.29)
где k  k  k  k  ...  kn,         ...  n и
()ik(k, )  ddr()ik(r, )exp[i(kr  )],
(1.30)
()ikl(k,; k,)  dddrdr()ikl(r, ; r, )exp[i(kr  )]
exp[i(kr )] и т.д.
Величины (n)(k, ) называются тензорами обобщенных восприимчивостей
кристалла. Таким образом, произвольные зависимости полей от r и t описываются нелинейным материальным уравнением в интегральной форме. Фурьекомпоненты поляризации связаны с полем выражением (1.29) посредством тензоров обобщенной восприимчивости.
Зависимость (n)(k, ) от  отвечает временной (частотной) дисперсии, а зависимость от волнового вектора k обусловлена пространственной дисперсией.
В общем случае в силу принципа причинности связь между P и E является
нелокальной. Следствие нелокальности  частотная и пространственная дисперсии. Следует отметить, что проявление пространственной дисперсии относится к редким и тонким эффектам. Частотной же дисперсией обладает
большинство оптических сред.
Обобщенные нелинейные восприимчивости (n)(k, ) удовлетворяют ряду
соотношений, не зависящих от конкретных физических свойств оптической
среды. Из определения
Pi(k, )  ()ikl(k, ; k, )Ek(k, )El(k, ) (1.31)
следует, что в силу перестановочности немых индексов суммирования тензор
нелинейной восприимчивости всегда можно выбрать так, чтобы он удовлетворял условию симметрии
()ikl(k, ; k, )  ()ilk(k, ; k, ). (1.32)
Аналогично для тензора третьего порядка имеют место соотношения
()iklm(k, ; k, ; k, )  ()ilkm(k, ; k, ; k, ) 
()ikml(k, ; k, ; k, )  ... , (1.33)
в которых одновременно переставляются индексы k, l, m и соответствующие им
аргументы.
Условие вещественности поляризации также приводит к ограничениям вида
этих тензоров. В этом случае они должны удовлетворять соотношениям типа
()ikl*(k, ; k, ) ()ikl(k, ; k, )
()iklm*(k, ; k, ; k, )  ()iklm(k, ; k, ; k, ). (1.34)
Закон сохранения энергии для электромагнитного излучения в кристаллах
без поглощения требует выполнения следующей симметрии для тензора
()ikl(; )  ()lik(; )  ()kil(; ), (1.35)
где
      0. (1.36)
В области частот, в которой можно пренебречь частотной дисперсией, из
(1.35) следуют так называемые условия симметрии Клейнмана:
()ikl  ()lik  ()kil, (1.37)
т. е. в случае отсутствия поглощения и дисперсии ()ikl симметричен по всем
своим индексам.
Наконец, из принципа причинности следуют соотношения Кронига Крамерса  для нелинейных восприимчивостей
()ikl(; )  (1/i)d'()ikl('; )/('  ) (1.38)
или
Re()ikl(;)(1/i)d'Im()ikl(';)/('), (1.39)
Im()ikl(;)(1/i)d'Re()ikl(';)/('). (1.40)
Аналогичные дисперсионные соотношения справедливы для частоты  и для
нелинейных восприимчивостей более высокого порядка.
В модели ангармонического осциллятора восприимчивость второго порядка
() (1.22) выражается через восприимчивости первого порядка
(; ) (2am/Nq)( )()(). (1.41)
В случае трех измерений это соотношение
ikl(; )  ii( )kk()ll()ikl (1.42)
называется правилом Миллера, который эмпирическим путем установил, что
множитель ikl обладает слабой дисперсией и почти постоянен для широкого
набора кристаллов. Из (1.42) следует, важный вывод, что кристаллы с большими значениями показателя преломления должны обладать и большими величинами нелинейной восприимчивости.
2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН В ЛИНЕЙНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ И АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
2.1. Электронная теория дисперсии Лоренца.
При рассмотрении распространения света в веществе были феноменологически введены материальные уравнения, связывающие поляризованность
среды P (или электрическую индукцию D) с напряженностью E электрического
поля монохроматической волны, что позволило описать свойства монохроматических плоских волн в веществе. В линейной изотропной среде материальные
уравнения имеют вид
D=ε(ω) E, P=(ω) E, ε(ω)=1+4π(ω) (2.1)
Для обоснования феноменологических материальных уравнений и нахождения
явного вида входящей в них диэлектрической проницаемости ε в той или иной
среде необходимо рассматривать микроскопическую теорию взаимодействия
световой волны с веществом.
Последовательная теория взаимодействия света с веществом должна
строится на основе квантовой механики. Однако основные закономерности распространения света в веществе можно понять, используя классическую модель
среды, согласно которой, среда в представляет собой группу невзаимодействующих между собой атомов (по крайней мере это справедливо для газообразной
среды). В простейшем случае предполагается, что в атоме имеется один электрон, называемый оптическим, связанный с ядром, которое считается неподвижным. В первом приближении предполагается, что сила f, действующая на
этот электрон со стороны ядра линейно зависит от смещения x электрона от положения равновесия (f = - kx, k – коэффициент пропорциональности). Поэтому
можно считать, что под действием света электрон представляет собой линейный осциллятор с массой m и резонансной частотой ω0, а его поведение описывается законами классической механики. Такая модель называется классической осцилляторной моделью атома или моделью Лоренца.
Отметим что в действительности это не так, но, тем не менее, основные
результаты данной модели подтверждаются экспериментом и теорией, основан-
ной на квантовой механике. Классическое описание не противоречит квантовому, а является его предельным случаем.
Далее будем считать вещество линейным, изотропным и однородным.
Оптическую поляризованность среды P, имеющую смысл дипольного момента
единицы объема, можно представить в виде P = Np, p = ex, где N - число атомов
в единице объема, p - дипольный момент отдельного атома, e - заряд электрона,
x - смещение электрона относительно равновесного положения. Так как смещение электрона относительно ядра происходит под действием световой волны,
то x=x(E). Зависимость x=x(E) можно определить, используя классическую осцилляторную модель атома. В этой модели атомы представляют собой гармонические осцилляторы, колебания которых описываются на основе классических представлений и законов Ньютона.
Пусть световая волна является плоской волной, а уравнение движения осциллятора под действием световой волны согласно второго закона Ньютона
имеет вид:
dx/dt + Гdx/dt + x  еЕ/m. (2.1)
Здесь m— масса электрона, ω0=(k/m)1/2 - собственная частота колебаний электрона в атоме; параметр Г описывает затухание колебаний, обусловленное тем,
что колеблющийся электрон сам становится источником излучения и поэтому
его свободные колебания затухают. Уравнение (2.1) после подстановки в него
выражения для плоской волны принимает вид:
dx/dt + Гdx/dt + x =(e/2m) Eexp[i(ωt- kr)]+к.с. (2.3)
Здесь r имеет смысл радиус вектора, который описывает положение электрона.
Поскольку размер атома a много меньше длины световой волны λ, то
kr  ka=2πa/λ 1. Поэтому приближенно атом можно считать точечным и не
учитывать изменение поля в пределах атома. Ищем решение уравнения (2.3) в
виде
x =1/2 x0exp[i(ωt-kr)]+к.с., (2.4)
где x0 - комплексная амплитуда смещения электрона относительно атомного
ядра в состоянии равновесия, т.е. в отсутствие света. Подставляя (2.4) в (2.3) находим
x0 
e
1
2
m  0   2  iГ

(2.5)
Для поляризации среды получаем
P=Nex=(1/2)Nex0exp[i(ωt - kr)]+к.с. (2.6)
В комплексном представлении P=Nex=(1/2)P0exp[i(ωt-kr)]+к.с., из (2.6) следует,
что
Ne 2
1
P0 
E (2.7)
m  02   2  iГ

Учитывая, что P0=(ω)E, находим выражение для линейной оптической восприимчивости и диэлектрической проницаемости среды в модели Лоренца
Ne 2
1
 ( ) 
2
m  0   2  iГ

(2.8)
 p2
1 2
 0   2 i 
Г
(2.9)
4 Ne 2
1
1

ε(ω)=1+4π(ω)=
2
m  0   2  iГ

Параметр ωp=(4πNe2/m)1/2 имеет размерность частоты и его называют
"плазменной" частотой. Оптические свойства среды также характеризуют
комплексным показателем преломления n, который для немагнитной среды связан с диэлектрической проницаемостью соотношением n=(ε(ω))1/2 = n’ – in’’. Реальную часть n’ = Re n называют вещественным показателем преломления, а
мнимая часть n’’ = Im n, ответственна за поглощение световой волны в среде.
Пусть среда является достаточно разреженной, т.е. плотность атомов N
мала. В этом случае ε мало отличается от единицы ( ε =1+α, α 1), и для
n = ε1/2 1+α/2 можно записать
 p2
1
n 1
2  02   2  iГ

 p2  02   2  iГ

1
2
2 2
2 ( 0   )  Г2
2
(2.10)
Эта формула выражает показатель преломления, не только через атомные постоянные, но и показывает как он меняется с частотой света ω. Зависимость показателя преломления от частоты называют дисперсией. Из (2.10) для n и n нетрудно получить следующие выражения
 p2
 02   2
n ( )  1 
 1  n (2.11)
2 ( 02   2 ) 2   2 Г 2
'
 p2
Г
n ( ) 
(2.12)
2 ( 02   2 ) 2   2 Г 2
''
2.2. Дисперсия и поглощение света в линейной изотропной среде.
Взаимодействие света с линейной изотропной средой приводит к двум
основным физическим эффектам: уменьшению фазовой скорости света в среде
и его затуханию за счет поглощения. Так как волновое число k = ωn/c, то, k
тоже комплексное число k=k’ –ik’’, где k’ = ωn’/c, а k’’= ωn’’/c.
Покажем, что мнимая часть волнового числа k, а значит и мнимая часть
показателя преломления n, определяет затухание световой волны (k >0), а действительная часть — фазовую скорость распространения света в среде.
Пусть плоская световая волна падает нормально на границу среды. В среде ее
можно записать в виде
E=1/2E0exp[i(ωt−kz)], (2.13)
где E0— амплитуда поля на границе среды z = 0. Учитывая, что k = k’−ik’’ получаем
E=1/2E0e−k’’zexp[i(ωt−k’z)]. (2.14)
Вычисляя интенсивность, получаем I=I0exp(−αz), где I0 - интенсивность волны
на границе среды, α=2k’’ = 2ωn’’/c показатель поглощения среды. Эта формула
называется законом Бугера и представляет собой закон поглощения света в среде. Таким образом, амплитуда волны по мере распространения в среде уменьшается по экспоненциальному закону - световая волна затухает. Потеря энергии связана с затуханием осцилляторов.
За счет поглощения, в частности, в солнечном спектре возникают темные
линии. Свет, излучаемый поверхностью Солнца, проходит через солнечную атмосферу и атмосферу Земли. Часть света на частотах, совпадающих с резонансными частотами атомов в атмосфере Солнца, сильно поглощается. Наблюдение подобных спектральных линий солнечного света позволило установить
резонансные частоты атомов, и, следовательно, химический состав солнечной
атмосферы. С помощью этих методов обнаружили, что химические элементы
на Солнце и звездах идентичны земным, кстати, так был открыт второй элемент
таблицы Менделеева – гелий.
Перепишем формулу (2.14), подставив в нее выражение для
k’ =k0(1+Δn), (k0=ω/c— волновое число в вакууме)
E=1/2E0e−k’’zexp[−ink0z]exp[i(ωt−k0z)]. (2.15)
Отсюда следует, что среда приводит не только к затуханию амплитуды света,
но и к задержке по фазе падающего на нее светового поля. Фаза запаздывает на
величину Δnk0z, поскольку в экспоненте стоит знак минус.
Такой же вывод вытекает и из того факта, что поляризованость среды является комплексной величиной. Это означает, что колебания поляризованности
происходят со задержкой фазы, зависящей от частоты. Колеблющиеся диполи
вещества сами становятся источниками излучения на той же частоте ω, но со
сдвигом фазы. Переизлученные волны, интерферируя с первичной волной, образуют волну, распространяющуюся в среде. Отставание по фазе вторичных
волн по отношению к первичной волне (зависящее от частоты), приводит к
тому, что фазовая скорость волны в среде отличается от скорости света в вакууме и становится зависящей от частоты.
Bблизи резонанса, при ω0 – ω   ω0, и, следовательно, ω02 _ ω2  2 ω0(ω0 - ω),
выражения для n’, n’’ упрощаются
 p2
0  
n ( )  1 
(2.16)
2
4 0 ( 0   2 ) 2  Г 2 / 4
'
 p2
Г
n ( ) 
(2.17)
4 0 ( 02   2 ) 2  Г 2 / 4
''
Формулы (2.11), (2.12), (2.16), (2.17), полученные с помощью модели Лоренца,
описывают дисперсию и поглощение света в разреженной линейной изотропной среде. В оптике как правило затухание мало, т.е. Г  ω0.
Типичные зависимости n(ω)и α(ω) показаны на рис.2.1. Зависимость показателя
поглощения от частоты называют спектральным контуром линии поглощения.
В рассматриваемой модели среды, состоящей из неподвижных затухающих
атомных осцилляторов, она имеет лоренцеву форму с максимумом при ω=ω0.
Нетрудно убедится, что спектральная линия поглощения имеет ширину (на полувысоте), равную Г. Зависимости показателя преломления от частоты называют дисперсионной кривой.
Рис.2.1. Поглощение и дисперсия в линейной изотропной среде
Показатель преломления n’ заметно отличается от единицы лишь вблизи
полосы поглощения, причем максимальное и минимальное значения он достигает на частоте ω = ω0  Г/2, соответственно. В зависимости от знака производной ∂n/∂ω выделяют две области частот: область нормальной дисперсии, где
показатель преломления возрастает с ростом частоты света (∂n/∂ω > 0), и область аномальной дисперсии, где показатель преломления уменьшается с ростом частоты (∂n/∂ω < 0). Как видно из рис. 2.1, область нормальной дисперсии
расположена за пределами полосы поглощения, т.е. в в области прозрачности
вещества. Здесь ω0 – ω  Г, и для показателя преломления, как это следует из
(2.11), можно записать
p
1
n 1
(2.18)
2 ( 02   2 )
2
Значительно более узкая область аномальной дисперсии расположена
вблизи центра линии поглощение света. Обратим внимание, что при ω>ω0 показатель преломления больше единицы, и в этом случае vp<c. При ω>ω0 показатель преломления становится меньше единицы (n<1), а значит скорость распространения света в веществе больше скорости света в вакууме c. Но это не про-
тиворечит теории относительности, согласно которой скорость любых тел или
сигналов не может превышать скорости света в вакууме, что не имеет никакого
отношения к фазовой скорости монохроматической волны. Физическая причина того, что фазовые скорости могут быть больше c, состоит в следующем. Как
показывает анализ, при ω>ω0 смещение заряда находится в противофазе с
внешней силой eE(t), а поле, образованное смещением заряда, усиливает внешнее поле E(t), что в свою очередь приводит к увеличению возвращающей силы,
и фазовая скорость будет больше скорости света в вакууме.
Изложенные результаты справедливы не только для электронов, но и для
ионов. В последнем случае под m, e и N следует понимать массу, заряд и концентрацию ионов. Отметим, что заряд и масса ионов могут существенно отличаться от заряда и массы электрона (особенно масса иона), поэтому резонансные частот также могут сильно отличаться от резонансных частот атомов.
Опыт показывает, что обычно наблюдается не одна, а несколько линий поглощения даже для одноэлектронных атомов. Чтобы это учесть, в классической
модели принимается, что вещество построено из частиц различного типа - электронов и ионов, которые ведут себя как затухающие осцилляторы с различными собственными частотами. В газах их взаимодействием можно пренебречь и
формула (2.9) принимает вид
4 Ne 2
fk
 ( )  1 
￥
2
m k  0   2  iГ

(2.19)
Величины fk, называют силами осцилляторов, они характеризуют относительные интенсивности различных спектральных линий и удовлетворяют правилу
сумм Σ fk=1.
2.3. Распространение светового импульса в диспергирующей среде
До сих пор, рассматривая распространение света в среде, мы обсуждали
плоские монохроматические волны с определенной частотой и волновым вектором. Однако в реальности излучение не является монохроматическим и часто
имеет вид импульсов. Ограниченная длительность импульса приводит к существованию некоторой конечной полосы частот или длин волн. Всякая среда
обычно характеризуется дисперсией, т.е. монохроматические волны распространяются с различными фазовыми скоростями, зависящими от частоты. В результате различные спектральные компоненты при распространении через
среду приобретают разные фазовые набеги. Так как результат суммирования
колебаний зависит от распределения фаз, то, очевидно, что форма импульса на
выходе из среды, вообще говоря, отличается от формы импульса на входе. Другим словами, в процессе распространения в диспергирующей среде световой
импульс деформируется. Кроме того, скорость переноса энергии световым импульсом, распространяющимся в диспергирующей среде, существенно может
отличаться от фазовой скорости.
Если дисперсия не велика, то деформация формы импульса происходит
медленно, и мы можем следить за перемещением отдельной амплитуды поля в
импульсе, например, максимальной амплитуды поля, и определить скорость, с
которой она переносится. Определенную таким образом скорость, согласно
Рэлею, называют скоростью перемещения импульса или групповой скоростью.
Таким образом, групповая скорость - это скорость движения огибающей волнового пакета или группы волн в диспергирующей среде. В общем случае она отличается от фазовой скорости любой из составляющих его монохроматических
спектральных компонент.
Рассмотрим понятие групповой скорости на примере двух близких по частоте плоских монохроматических волн, распространяющихся в диспергирующей среде вдоль оси z
E1,2(z,t)=Asin(ω1,2t - k1,2z). (2.20)
Здесь ω1,2и k1,2=k1,2(ω1,2) - частоты и соответствующие им волновые векторы;
Суммарное колебание имеет вид
E(z,t)=E1(z,t)+E2(z,t)=2Acos(Δωt - Δkz)sin(ω0t− k0z), (2.21)
где ω0=(ω2+ω1)/2; k0=(k1+k2)/2; Δk=(k1-k2)/2; Δω=(ω2 - ω1)/2; |Δk|<<k0, |Δω|<<ω0.
Бигармоническая волна, описываемая формулой (2.21) показана на
рис.2.2, она представляет собой колебания на средней (несущей) частоте ω0,
промодулированные с частотой Δω<<ω0. Его амплитуда a=2Acos(Δωt - Δkz)
(или огибающая) меняется во времени и в пространстве медленно по сравнению с несущей частотой ω0. Такие колебания называются биениями.
Рис. 2.2. Фазовая и групповая скорости в бигармонической световой волне
Для нахождения групповой скорости vg запишем условие постоянства амплитуды Δωt - Δkz=const. Дифференцируем по t: Δω-Δk(dz/dt)=0. Откуда для групповой скорости получаем следующее выражение vg=dz/dt= Δω/Δk = dω/dk
Используя связь волнового числа с показателем преломления k(ω)=(ω/c)n(ω),
для групповой скорости можно записать
νg 
νp
ω dn . (2.22)
1
n dω
Поскольку понятие групповой скорости применимо к областям нормальной дисперсии, где ∂n/∂ω>0, то из (10.22) следует, что vg < vp. Это означает, что
модуляция световой волны перемещается медленнее, чем несущая. Различие
между фазовой и групповой скоростью тем больше, чем больше дисперсия
dn/dω. В отсутствие дисперсии vp = vg. Это выполняется лишь для вакуума, где
свет на любой частоте распространяется с постоянной скоростью. Понятие
групповой скорости, введенное на примере двух волн, остается справедливым и
в случае, когда мы имеем дело с импульсом, состоящим из большого числа
спектральных составляющих. Действительно, всякий импульс E(z,t) можно
представить в виде Фурье разложения
[ω(k)t-kz]
E(z,t)=A(k)ei
dk, (2.23)
где A(k)— амплитуда плосковолновой составляющей с волновым числом k (Фурье образ E(z,t)). Согласно принципу суперпозиции, интеграл (2.23) удовлетворяет уравнениям Максвелла, так как плоские волны являются их решением. Параметры ω и k связаны дисперсионным соотношением k=n(ω)ω/c. Отметим, что
в изотропной среде ω(-k)=ω(k).
Световой импульс характеризуют центральной частотой ω0 (или волновым числом k0) и шириной полосы частот Δω с центром ω0. Рассмотрим эволюцию такого импульса во времени. Разложим ω(k)в ряд Тейлора в окрестности k0
  k   0 
d
dk
 k  k   ... (10.24)
0
0
Здесь мы ограничились линейным членом разложения, предполагая, что импульс является узкополосным, т.е. Δω << ω0. На
временном языке это означает, что длительность импульса
много больше периода световых колебаний. Подставим (10.24) в
(2.23) и получим
E  z , t   exp i   0t  k0 x 
A  k  exp i

d
 exp i   0t  k0 x  E[ z 
dk
d
dk
t  z  k  k0  dk 
0
(2.24)
t ].
0
Здесь E[z- (dω/dk)0t]— огибающая импульса.
Рис. 2.3 Эволюция светового импульса
Значит, импульс распространяется с сохранением своей формы (рис.2.3) с
групповой скоростью vg=(dω/dk)0. Это приближение имеет место, когда A(k)
имеет ярко выраженный пик при k0, а частота является медленно меняющейся
функцией k. В противном случае необходимо учитывать следующие члены разложения в (2.23), но при этом форма импульса при распространении уже не будет сохраняться.
Итак, огибающая импульса перемещается с групповой скоростью, при
этом с течением времени ее профиль остается неизменным. Отметим, что понятие групповой скорости имеет смысл лишь для узких световых сигналов, распространяющихся в прозрачных средах. В резонансных условиях, когда импульс сильно искажается, понятие групповой скорости не применимо. В отличие от фазовой скорости волны, характеризующей скорость смещения точки
волны, имеющей фиксированное значение фазы, групповая скорость отражает
скорость переноса энергии в волне, т.е. скорость передачи взаимодействия.
2.3. Рассеяние света
Изменение какой-либо характеристики потока оптического излучения
при его взаимодействии с веществом называют рассеянием света. Электрическое поле световой волны распространяющейся в веществе раскачивает входящие в состав атомов и молекул электроны, и они становятся центрами вторичных сферических волн, излучаемых во все стороны. Поэтому распространение
света в веществе должно, казалось бы, всегда сопровождаться рассеянием. Однако, в прозрачной однородной среде свет распространяется прямолинейно.
Это связано с взаимным интерференционным гашением вторичных сферических волн, идущих от разных точек пространства, согласно принципа Гюйгенса. Такое гашение имеет место для всех направлений, кроме прямого, что и обуславливает прямолинейность светового пучка.
Рис. 2.4. Механизм рассеяния света
С макроскопической точки зрения рассеяние света может быть обусловлено только неоднородностями среды. При слабых нарушениях однородности
рассеянный в стороны свет составляет лишь малую долю первичного пучка.
Параллельный пучок света в высококачественном стекле или чистой воде почти
не виден при наблюдении сбоку, т.е. свет почти не рассеивается в стороны. В то
же время пучок света отчетливо виден со всех сторон, если в воде содержатся
мельчайшие пузырьки воздуха или капельки другой нерастворимой жидкости,
находящиеся во взвешенном состоянии. Такие среды называют мутными.
Основные закономерности рассеяния света в мутных средах были впервые экспериментально исследованы Тиндалем в 1869 г. Рассеяние света происходит и
тогда, когда сами частицы имеют размеры, меньшие длины волны видимого
света.
Если среда может рассматриваться как непрерывная, то рассеяние будет
происходить на её оптических неоднородностях. В этом случае диэлектрическая проницаемость среды (показатель преломления) является функцией координат    (r ) или n =n(r). Тогда электромагнитная волна в среде будет определяться суперпозицией падающей и рассеянной волн: E = E0 + E′ и Н = H0 + H′.
Для сплошной среды рассеяние по своему физическому содержанию сводится к
дифракции волн на неоднородностях среды. Рассеяние в чистом веществе, как
правило, слабое, но, тем не менее, оно представляется принципиально важным
явлением. Физическая причина оптической неоднородности в идеально чистых
средах была указана польским физиком М. Смолуховским в 1908 г.
Из-за хаотического характера теплового движения молекул в среде возникают флуктуации плотности и, следовательно, флуктуации показателя преломления. Такой тип рассеяния света называют молекулярным. Упругое рассеяние,
т.е. такое, при котором рассеянный свет характеризуется той же частотой, что и
падающее излучение. Различают несколько типов рассеяния, при этом характер
рассеяния зависит от соотношения между длиной волны света λ и линейным
размером частиц a.
1) Рэлеевское рассеяние - размеры частиц малы по сравнению с длиной волны:
a
1
 , это рассеяние называют также молекулярным рассеянием.
15
2) Если a 
1
 - рассеяние Ми, иногда его называют аэрозольным рассеянием
15
3)Рассеяние на оптических неоднородностях. Например, случай рассеяния на
оптических неоднородностях, создаваемых звуковой волной, т.е. под ее воздействием возникает гармоническое распределение оптической неоднородности. В
результате наблюдается дифракция света на акустической волне, при этом наблюдается изменение частоты дифрагированного света. Это – явление
Мандельштама – Бриллюэна является по сути следствием доплеровского изменения частоты при отражении от акустической волны.
4)Рамановское или комбинационное рассеяние характеризуется изменением частоты рассеянного света по сравнению с падающим. Это рассеяние носит квантовый характер.
5)Многократное рассеяние – рассеяние состоящее из последовательных актов
однократного рассеяния. Результат рассматривается как сумма однократных
рассеяний с учетом их статистических характеристик.
Элементарным рассеивателем среды является квазиупругий электрон в поле
электромагнитной волны. Используя модель Лоренца для среды можно получить плотность потока рассеянной энергии от одного элементарного излучателя
16 4 sin 2
e2
I(  ,  ) =
4
m( 02   2 )
2
 4 sin 2
e2
S0 
c4
m( 02   2 )
2
S0 (2.25)
Рассмотрим Рэлеевское рассеяние, т.е. рассеивающая частица мала по
сравнению с длиной волны . Пусть в частице N0 рассеивателей, все они излучают когерентно, тогда интенсивность от одной частицы равна Il = N 02 I ( ,  )
Если в среде N частиц в единице объема (N - концентрация), они рассеивают
некогерентно, тогда интенсивность рассеяния в единице объема I =NN 02 I ( ,  )
Выразим дисперсионный множитель через показатель преломления
n 1=
2
4NN 0 e 2
m( 02   2 )
(2.26)
Здесь NN0 - полное число рассеивателей в единице объема. Тогда интенсивность рассеяния на одну частицу равна:
Il =
 2 Sin 2
2 4
N 
(n 2  1) 2 S 0 (2.27)
Для среды более точной является формула Лоренц - Лоренца:
n2 1
n2  2

4 N  N 0 e 2
(2.28)
3 m( 02   2 )
Тогда получаем,
2
9 2 Sin 2  n 2  1 

,

S 0 (2.29)
I1 (
)=
 n2  2 
N 2 4


Полная интенсивность (во все стороны) определяется из интегрирования по
телесному углу:
24 3 n 2  1
I1 = I1 ( , ) d W  2 4 2
N  n 2
2
S0 (2.30)
В итоге, получили закон Рэлея, гласящий, что интенсивность рассеяния
света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. Именно этим
законом объясняется голубой цвет неба. Так как отношение длин волн голубого
и красного цвета λb/λr = 4500/6500  0.69, то интенсивность рассеиваемого синего света примерно в 4 раза больше, чем красного. Кроме того, солнечное излучение, рассеянное молекулами воздуха, поляризовано. В этом можно убедиться,
если посмотреть в солнечный день на голубое небо через поляроид. Вращая поляроид, вы увидите, как возникают темные полосы, возникновение которых и
свидетельствует поляризации рассеянного света.
3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНЫХ КРИСТАЛЛАХ
3.1 Оптическая анизотропия и основные эффекты кристаллооптики.
Некоторые кристаллы обладают необычными оптическими свойствами.
Например, кристалл исландского шпата (кальцит) преломляет свет по-разному
в зависимости от того, с какой стороны падает свет на кристалл. В этом кристалле есть одно направление, вдоль которого при нормальном падении луч
света проходит прямолинейно. В других направлениях луч, проходя через кристалл, раздваивается и образуется два пучка примерно одинаковой интенсивности. Луч, который проходит прямо называют обыкновенным лучом (о), а другой — необыкновенным (е) (рис.3.1). Анализ поляризации лучей с помощью
поляроида показывает, что оба луча, вышедших из кристалла, линейно поляризованы, причем направления поляризации в них взаимно ортогональны. Это явление называется двойным лучепреломлением, а зависимость оптических
свойств, например, показателя преломления, от направления в кристалле называют оптической анизотропией.
РИС. 3.1. Двойное лучепреломление света в кристалле исландского шпата
Причиной оптической анизотропии является анизотропия структуры среды. Анизотропия среды может быть обусловлена как анизотропией составляющих ее частиц, так и характером их расположения.
Оптическая анизотропия среды характеризуется различной по разным
направлениям способностью реагировать на действие падающего света. Реакция эта состоит в смещении электрических зарядов под действием поля световой волны. В анизотропных средах величина смещения заряда в поле данной
напряженности зависит от ее направления. Это приводит к тому, что диэлектрическая проницаемость, а, значит, и показатель преломления среды различны
для разных направлений электрического вектора световой волны.
Таким
образом, в анизотропных кристаллах показатель преломления среды и, соответственно, скорость света в среде зависят от направления распространения световой волны и плоскости ее поляризации. Поэтому для анизотропной среды волновая поверхность отлична от сферической. Анизотропные свойства наблюдаются у кристаллов, но отсутствуют у газов, жидкостей (кроме жидких кристаллов), пластмасс и стекол. В некоторых случаях оптическая анизотропия может
возникнуть и в изотропной среде в результате какого-либо воздействия на нее,
например, механического напряжения, внешнего электрического поля и другие.
В частности, двулучепреломление может возникать под действием постоянного
электрического поля (эффект Керра). Аналогичное явление наблюдается и в
переменном электрическом поле, а также в поле мощного лазерного импульса.
Еще одним проявлением анизотропии является дихроизм или анизотропное поглощение. Это явление состоит в том, что в некоторых кристаллах световая волна с определенной ориентацией вектора Е поглощается сильнее, чем
волны с другой ориентацией электрического поля. Например, кристалл турмалина толщиной около 1 мм практически полностью поглощает обыкновенную
волну и почти не поглощает необыкновенную. Такими же свойствами обладают
поляроидные пленки, у которых сильный дихроизм проявляется уже при толщине порядка 0.1 мм.
Механизм анизотропного поглощения можно пояснить следующим образом. Анизотропия структуры турмалина приводит к тому, что электроны имеют возможность двигаться преимущественно в одном направлении относительно кристалла. Если поляризация падающей световой волны совпадает с этим
направлением, то световое поле вызывает сильную раскачку электронов и передает им свою энергию, а те, в свою очередь, передают энергию кристаллической решетке. В результате световая волна поглощается. Если же поляризация
падающей волны перпендикулярна направлению возможного движения электронов в кристалле, то колебания электронов практически не возбуждаются,
либо электроны колеблются с небольшой амплитудой, отдавая свою энергию
вторичному излучению, а не решетке кристалла. В этом случае световая волна
испытывает лишь незначительное поглощение. Именно поэтому при облучении
неполяризованным (естественным) светом на выходе из кристалла образуется
линейно поляризованный свет: турмалин пропускает свет лишь той поляризации, которая ортогональна направлению возможного движения электронов в
кристалле.
3.2. Структура световой волны в анизотропном кристалле
Структура плоской монохроматической световой волны в линейной анизотропной, однородной и прозрачной среде определяется уравнениями Максвелла.
Для плоских монохроматических волн в комплексном представлении эти уравнения имеют вид
[k,E] = H/c, [k,H] = - D/c, (k,D) = 0, (k,H) = 0,
(3.1)
где E, H и D - комплексные амплитуды электрической и магнитной составляющих световой волны, и электрической индукции, соответственно; ω - частота, k
-волновой
вектор.
На
рис.
3.2.
приведена
ориентация
векторов
E , H , D и N . Так как H перпендикулярен всем остальным векторам (их концы
которых соединены пунктирной линией), то последние лежат в одной плоскости, перпендикулярной ему. Отметим, что вектор N сонаправлен с волновом
вектором k.
Рис. 3.2 Взаимная ориентация векторов E , H , D и N в анизотропном кристалле.
Из (3.2) видно, что вектор векторы H, D, k образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов, вектор E перпендикулярен вектору H и лежит в плоскости векторов D и k, но вообще говоря, не параллелен вектору D.
Направление переноса энергии в световой волне определяется вектором
Пойнтинга S = (c/4π)[E,H]. Для характеристики этого направления введем единичный вектор s = S/|S |, ориентированный вдоль вектора S. Его называют лучевым вектором, так как направление переноса энергии - это и есть направление лучей. Ясно, что вектор Пойнтинга S перпендикулярен векторам E и H и ,
следовательно, лежит в плоскости векторов k, E, D, но он не параллелен вектору k. Это означает, направление лучевого вектора s в анизотропном кристалле
может не совпадать с направлением k, т.е с направлением нормали к волновому
фронту световой волны. Угол β между векторами k и S равен углу между векторами D и E и называется углом анизотропии. Плоскость равных фаз перемещается вдоль вектора k с фазовой скоростью v. Скорость u перемещения этой
плоскости вдоль луча s называется лучевой скоростью. Когда k и s не совпадают, лучевая и фазовая скорости не равны и связаны соотношением v = u cosβ =
u(ks).
Именно непараллельность векторов D и E обусловливает своеобразные
оптические свойства анизотропных кристаллов. Причина этого явления состоит
в следующем. При распространении световой волны на электроны действует
внешняя сила, направленная вдоль вектора E волны. Однако смещение электронов происходит не в направлении этой внешней силы, а в направлении, определяемом структурой кристалла. В результате вектор поляризации среды P
оказывается непараллельным вектору E. В свою очередь вектор электрической
индукции D = E + 4π P также не параллелен вектору E.
Важнейшим свойством анизотропной среды является то, что подвижность
оптических электронов по отношению к различным направлениям в кристалле
неодинакова, т.е в одних направлениях они могут смещаться под действием
света довольно свободно, а в других нет. Поэтому связь между поляризованностью и напряженностью световой волны имеет вид
Pα = αxEx + αyEy + αzEz (3.2)
Уравнения (3.2) принято записывать в сокращенной форме Pα = αβEβ,
здесь α,β = ( x , y , z ) , а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование; αβ ( ω ) является тензором. В анизотропной среде связь между поляризованностью и полем имеет тензорный характер, а восприимчивость представляет
собой тензор. Физически (3.2) означает, что x-компонента вектора P зависит в
общем случае как от x-компоненты вектора E, так и от y и z-компонент. То же
самое касается и других проекций вектора P.
Так как D = E+4πP или в декартовых координатах Dα = Eα + 4πPα, то используя (3.2), получаем Dα = Eα + 4π αβ ( ω ) Eβ или Dα = εαβ(ω)Eβ,где
εαβ (ω) = δαβ + 4 παβ (ω) - тензор диэлектрической проницаемости линейной анизотропной среды, δαβ - символ Кронекера. В прозрачной среде тензоры линейной оптической восприимчивости и диэлектрической проницаемости симметричны, т.е. αβ = βα, εαβ = εβα, β , α = x , y , z . Тензор εαβ записывается как
 xx xy xz
 yx yy yz (3.3)
 zx zy zz
Компоненты тензора εαβ определяются структурой конкретного кристалла, a также зависят от выбора системы координат.
Можно выбрать направления осей декартовой системы координат так, что
симметричный тензор εαβ будет диагональным. В этой системе координат тензор
имеем вид диагональной матрицы. Эта матрица соответствует следующей связи
между D и E
Dx = εxxEx, Dy = εyyEy, Dz = εzzEz.
(3.4)
Существуют три направления в кристалле, такие, что если вектор E совпадает с одним из этих направлений, то вектор D (и P) будет ему коллинеарен.
Направления x , y , z в кристалле, для которых выполняются равенства (3.4), называются главными направлениями или главными осями координат, а величины εxx, εyy, εzz - главными диэлектрическими проницаемостями анизотропного
кристалла. В общем случае они не равны друг другу. В прозрачной среде им соответствуют три главных показателя преломления nx, ny и nz. Это значит, что
волна, в которой E параллелен оси x, распространяется с фазовой скоростью vx
= c/nx, соответственно, волны, в которых колебание поля происходит параллельно осям y и z, имеют фазовые скорости vy = c/ny и vz = c/nz. Кристаллы, у которых три главных показателя преломления различны, т.е. nx  ny  nz, называются двуосными. В таких кристаллах существует два направления, при распро-
странении вдоль которых световой луч не раздваивается. Эти направления называют оптическими осями.
Если одинаковы два из трех главных показателей, т.е. nx = ny  nz, то кристалл называется одноосным. В этом случае ось z называют оптической осью
кристалла. Подчеркнем, что оптическая ось - это не фиксированная прямая в
кристалле, а направление, т.е. любая прямая параллельная оси z, является оптической осью кристалла. Показатель преломления nz обычно обозначают ne, а показатели nx = ny = no. Кристаллы, у которых ne > no называют положительными
(кварц), а при ne < no - отрицательными (исланский шпат). Отметим, что приведение тензора εαβ к диагональному виду означает поворот системы координат.
Такому тензору может быть поставлена в соответствие поверхность второго порядка которую называют эллипсоидом диэлектрической проницаемости или с
учетом того, что ε = n2 эллипсоид показателя преломления
x2
nx2

y2
n 2y

z2
nz2
1
(3.5)
Здесь nx,ny и nz - главные значения показателя преломления. В сечении этого эллипсоида плоскостью, перпендикулярной направлению распространения света,
получим эллипс. Главные полуоси этого эллипса и будут значением показателя
преломления для двух взаимно перпендикулярно поляризованных компонент.
Основная особенность распространения света в анизотропном кристалле
состоит в том, что световая волна с произвольным состоянием поляризации
распадается на две линейно поляризованные волны с ортогональными поляризациями, бегущие с разными фазовыми скоростями. В анизотропном кристалле
произвольная световая волна неустойчива - она распадается на две линейно поляризованные волны с ортогональными направлениями поляризации, которые
бегут в одном и том же направлении, но с разными фазовыми скоростями. Эти
состояния поляризации называют собственными состояниями поляризации световой волны в анизотропном кристалле. Найдем эти собственные состояния поляризации, если световая волна распространяется в произвольном направлении
в одноосным кристалле.
В одноосном кристалле nxx = nyy = n0  nzz = ne, поэтому главная ось z физически выделена, еe называют оптической осью кристалла. Любая световая
волна, распространяющаяся вдоль оптической оси, сохраняет свою поляризацию, при этом скорость волны не зависит от ее поляризации. В одноосном кристалле такое направление только одно.
Пусть плоская монохроматическая световая волна распространяется в одноосном анизотропном кристалле в некотором направлении, характеризуемом
волновым вектором k. Допустимые состояния поляризации волны определяются следующими обстоятельствами. С одной стороны, из-за анизотропии кристалла векторы D и E световой волны, вообще говоря, не параллельны друг
другу. С другой стороны, в силу уравнений Максвелла векторы D, E и k должны лежать в одной плоскости, т.е. должны быть компланарными.
Первое из этих условий (неколлинеарность векторов D и E) математически выражается формулами, которые для одноосного кристалла могут быть записаны в виде
Dx = n20Ex, Dy = n20Ey, Dz = n2eEz.
(3.6)
Условие компланарности векторов D , E и k можно представить в виде равенства нулю смешанного произведения векторов
(k,[E,D]) = 0
(3.7)
Уравнения (3.6) и (3.7) являются независимыми: (3.6) представляют собой
материальные уравнения среды, а (3.7) есть следствие уравнений Максвелла.
Все вместе они могут выполняться не для всякой поляризации волны, а лишь
для некоторых избранных поляризаций, которые и называются собственными
поляризациями световой волны в анизотропном кристалле. Так как вектор [E,D]
перпендикулярен оси z, то смешанное произведение
(z0,[E,D]) = 0,
(3.8)
т.е. векторы z0, D и E должны быть компланарны. Условия (3.7), (3.8) определяют
возможные состояния поляризации световой волны в одноосном кристалле. Оба
указанных условия выполняются в двух случаях. Во-первых, если вектор D E
и, следовательно, [E,D] = 0.
Во-вторых, если вектор D лежит в плоскости век-
торов z0 и k, что можно записать в виде равенства (z0,[k,D]) = 0.
Оба полученных условия удобно выразить, если ввести понятие главной плоскости
- плоскость, в которой лежат волновой вектор световой волны k и оптическая
ось z0 одноосного анизотропного кристалла.
Условие [E,D] = 0 выполняется для волны, поляризованной перпендикулярно
главной плоскости. Такую волну называют обыкновенной (о-волна). Вектор поляризации этой волны перпендикулярен оптической оси кристалла, векторы Dо и
Eо = Dо/n20 параллельны, скорость обыкновенной волны v0 не зависит от направления распространения в кристалле. Обыкновенные волны в кристаллах ведут
себя, как волны в изотропных средах. Поэтому волновые поверхности излучения
точечного источника являются сферами. Отсюда и название - обыкновенная волна. Условие (z0,[k,D]) = 0. выполняется для волны, поляризованной в главной
плоскости. Такая волна называется необыкновенной (e-волна). Вектор индукции этой волны не перпендикулярен оптической оси кристалла, а векторы De и Ee
= Dо/n2e не параллельны друг другу, скорость распространения необыкновенной
волны ve зависит от направления в кристалле. Векторы Dо и De взаимно перпендикулярны.
Итак, в одноосном анизотропном кристалле для любого направления k существует два разрешенных ("собственных") направления поляризации световой волны. Одно из них перпендикулярно главной плоскости, другое ей параллельно. Волна
с произвольным состоянием поляризации при распространении в кристалле распадается на две линейно поляризованные волны со взаимно ортогональными ("собственными") направлениями поляризации. Скорости распространения этих волн различны. Скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения и
равна v0 = c/n0. Скорость необыкновенной волны зависит от направления распространения в кристалле и лежит в диапазоне между c/n0 и c/ne. Последнее означает, что показатель преломления для необыкновенной волны зависит от направления распространения (от угла между волновым вектором световой волны k и
оптической осью кристалла z0).
Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси n0 = ne, v0 = ve, т.е.
вдоль оптической оси существует только одна скорость распространения света.
Именно различие между v0 и ve для всех направлений, кроме направления оптической оси, обуславливает явление двойного лучепреломления света в одноосных
кристаллах.
3.3. Эллипсоид показателей преломления. Формулы Френеля
Определим скорость необыкновенной волны для заданного направления распространения в кристалле k. Предположим, что необыкновенная волна распространяется в некотором направлении k, не совпадающим ни с одной из главных осей
одноосного анизотропного кристалла. Из уравнений Максвелла для плоских волн,
вытекает дисперсионное уравнение
[k,[k,E]] + (ω/c)2D = 0, или (k,E)k - k2E + (ω/c)2D = 0
(3.9)
Так как для обыкновенной волны имеем D = n2о E и (k, E) = 0, то согласно уравнению (3.9), получаем k = (ω/c)nо, v0 = c/nо вне зависимости от направления k. Введем единичный вектор m = k/k и показатель преломления для необыкновенной n,
связанный с ее волновым числом формулой k = (ω/c)n. С учетом этого второе
уравнение (3.9) запишем в виде:
E-
1
D = (m,E)m (3.10)
n2
Для одноосного анизотропного кристалла компоненты вектора индукции D связаны с компонентами вектора напряженности электрического поля световой
волны формулами (3.10). Переходя к декартовым компонентам, получим
Dx 
(m,E)my
(m,E)mx
(m,E)mz
D

D

(3.11)
z
y
no2  n 2
ne2  n 2
no2  n 2
где nо и ne - главные показатели преломления одноосного кристалла. Поскольку
(m, D) = 0 или mxDx + myDy + mzDz = 0, то (3.11) можно записать в виде
mx2  my2
mz2

 0 (3.12)
no2  n 2 ne2  n 2
Это уравнение называется уравнением нормалей Френеля, оно позволяет рассчитать показатель преломления необыкновенной волны n для любого направления m в кристалле. Уравнение Френеля удобно записать в более компактном
виде, если направление распространения световой волны в кристалле характеризовать не вектором m, а углом  между волновым вектором и оптической
осью кристалла z (рис.3.3). Учитывая, что m2x+m2y+m2z = 1, где
mz = cos, m2x+m2y = sin2, уравнение (3.12) можно записать в виде
sin 2 
cos 2 

 0 (3.13)
no2  n 2 ne2  n 2
Решая это уравнение, получим
n( ) 
no ne
ne2 cos 2   no2 sin 2 
(3.14)
Таким образом, зная главные показатели преломления одноосного кристалла nо
и ne, и направление распространения можно вычислить показатель преломления
необыкновенной волны и ее скорость для любого направления в кристалле. В
плоскости главного сечения зависимость n() имеет вид, показанный на рис.3.3.
РИС. 3.3. Эллипс и эллипсоид показателя преломления. Оптическая ось совпадает с направлением оси z.
Она имеет вид эллипса с полуосями nо и ne. Значение показателя преломления
необыкновенной волны n, распространяющейся в некотором направлении k,
равно длине отрезка, выделенного жирной линией. Из-за осевой симметрии одноосного кристалла поверхность показателя преломления в трехмерном пространстве имеет вид эллипсоида вращения с полуосями nо и ne Его называют эллипсоидом показателя преломления.
Отметим, что поверхность показателя преломления для обыкновенной
волны представляет собой сферу радиуса nо. Сфера и эллипсоид показателей
преломления соприкасаются в направлении оптической оси кристалла. При
этом для положительного одноосного кристалла (nо < ne) сфера лежит внутри
эллипсоида, а для отрицательного кристалла (nо > ne), наоборот, эллипсоид лежит внутри сферы (рис.3.4)
РИС. 3.4. Сфера и эллипсоид показателя преломления для положительного
(а) и отрицательного (б) одноосных анизотропных кристалов
При распространении света вдоль оптической оси (ось z) обыкновенная и
необыкновенная волны распространяются с одинаковой скоростью v0 = c/ nо.
При распространении в направлении, перпендикулярном к оптической оси,
о-волна имеет по-прежнему скорость v0 = c/nо, а необыкновенная ve = c/ne. Для
всех других направлений скорость распространения е-волны зависит от угла
между направлением распространения волны и оптической осью, при этом
направления фазовой и лучевой скоростей также не совпадают.
3.4 Двойное лучепреломление света на границе с анизотропной средой.
Преломление света на границе анизотропного кристалла имеет ряд особенностей. Во-первых, попадая в кристалл, световой испытывает эффект двойного лучепреломления. Во-вторых, независимо от состояния поляризации падающего света оба преломленных луча оказываются линейно поляризованными
во взаимно перпендикулярных направлениях, причем один из преломленных
лучей
может
не
лежать
в
плоскости
падения.
В-третьих, преломление луча имеет место даже при нормальном падении света
на границу анизотропного кристалла.
Для объяснения этих особенностей рассмотрим преломление света на
границе одноосного анизотропного кристалла. Граничные условия для электромагнитного поля требуют непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей: E1t = E2t и H1t = H2t. Как и в случае изотропных
сред, отсюда следует равенство тангенциальных компонент волновых векторов
для падающей, отраженной и преломленной волн. Так как показатели преломления для обыкновенной и необыкновенной волн в анизотропном кристалле,
вообще говоря, различны, закон преломления следует записывать отдельно для
обыкновенной и необыкновенной волн:
n1 sin θ 1 = no2 sinθ2, n1 sinθ1 = ne2 sin θ2,
(3.15)
причем углы преломления θ2o,e для обыкновенной и необыкновенной волн также различны (рис. 3.5.). Оптическая ось лежит в плоскости падения (показана
пунктиром), ne < n 0, k10 - волновые вектора падающей и отраженной волн; k(о,е)2
- волновые вектора преломленной обыкновенной и необыкновенной волн. Для
необыкновенной волны направление луча, задаваемое направлением вектора
Пойнтинга S = (c/8π)[E,H], в общем случае также не совпадает с направлением
волнового вектора. Это и объясняет эффект преломления света в анизотропном
кристалле при нормальном падении (рис. 3.6).
РИС. 3.5. Преломление света на границе одноосного анизотропного кристалла.
РИС. 3.6. Картина двойного лучепреломления для обыкновенной и необыкновенной волн.
Пусть плоская монохроматическая световая волна с волновым вектором
k1 падает нормально на границу одноосного анизотропного кристалла так, что
оптическая ось кристалла, показанная на рисунке пунктиром, лежит в плоскости падения. Так как при нормальном падении k1x = k0x = k2x (ось x направлена
вдоль границы раздела), то волновые векторы преломленных волн в кристалле
направлены также как и вектор падающей волны, по нормали к границе разде-
ла. Такое же направление имеет луч So (вектор Пойтинга) обыкновенной волны.
В то же время необыкновенный луч Se отклоняется от нормали, приводя к эффекту двойного лучепреломления.
В рассмотренных примерах предполагалось, что оптическая ось одноосного анизотропного кристалла лежит в плоскости падения световой волны на
границу кристалла. В этом случае преломление света происходит в плоскости
падения. Если же плоскость падения и плоскость главного сечения не совпадают, то преломленный необыкновенный луч не будет лежать в плоскости падения, так как отклонение этого луча от волнового вектора происходит в главной
плоскости, т. е. в направлении оптической оси кристалла. Таким образом, преломление света в анизотропном кристалле происходит не обязательно в плоскости падения.
3.5. Наведенная анизотропия: электро- и магнитооптические эффекты.
Свойства анизотропной среды могут приобретать и изотропные материалы, если они подвергаются "анизотропному" внешнему воздействию. Жидкости, пластмассы, стекла демонстрируют оптическую анизотропию под воздействием механического напряжения, внешнего электрического поля или мощного поляризованного лазерного импульса. Эти явления называют наведенной
или искусственной анизотропией.
Некоторые вещества, состоящие из анизотропных молекул и не обладающие собственным дипольным моментом, приобретают анизотропию под действием внешнего электрического поля. Этот эффект называют эффектом Керра. Анизотропия этих молекул проявляется в том, что дипольный момент, который приобретает молекула во внешнем электрическом поле, зависит от направления поля: в некотором направлении молекула поляризуется внешним полем
легче, чем в других. Это направление называют осью наибольшей поляризации.
Хаотическая ориентация анизотропных молекул в пространстве (в жидкостях и газах) приводит к тому, что оптическая анизотропия не проявляется: ни
одна из ориентации молекул не является преимущественной, поэтому макроскопически среда оказывается оптически изотропной, и характер распространения света не зависит от его направления и поляризации. Однако, если такое вещество поместить во внешнее электрическое поле, то возникающий при этом
момент силы, действующей на индуцированный полем диполь, заставляет молекулу повернуться таким образом, чтобы ось наибольшей поляризуемости сориентировалась преимущественно вдоль поля. В результате хаотическая ориентация осей наибольшей поляризуемости молекул сменяется частично упорядоченной ориентацией, и среда становится оптически анизотропной, подобно одноосному кристаллу, в котором направление оптической оси совпадает с
направлением поля.
Световой волне, в которой вектор E совпадает с направлением ориентирующего внешнего поля (т. е. необыкновенной волне), соответствует показатель преломления ne и фазовая скорость ve = c/ne, а волне, в которой вектор E
перпендикулярен направлению внешнего поля (обыкновенная волна), соответствует показатель преломления no, т.е. среда во внешнем поле приобретает
свойства положительного кристалла. Анизотропия, возникающая во внешнем
электрическом поле отрыта Керром в 1875 г. Опыт показывает, что разность
фаз обыкновенной и необыкновенной волн в среде равна
∆ = (2π /λ) (ne-no)d=2πBdE2, (3.16)
где d - путь проходимый лучом света в среде. Квадратичная зависимость разности фаз от напряженности поляризующего поля указывает на независимость
знака разности ne - no от направления поля. Константа B называется постоянной
Керра. Особенно заметно эффект Керра проявляется в нитробензоле, который
обладает большим значением B: на расстоянии 10 см и напряженности поля E
= 1,5 · 106 В/м разность фаз близка к значению π/2 (луч света распространяется
в среде перпендикулярно приложенному полю).
Для наблюдения эффекта Керра между двумя скрещенными поляризаторами P1 и P2 помещается “ячейка Керра”, представляющая собой конденсатор,
заполненный исследуемым веществом. При отсутствии напряжения на конденсаторе, луч света не проходит через систему, что указывает на то, что среда при
отсутствии поля изотропна. При приложении разности потенциалов между пластинами конденсатора среда становится оптически анизотропной, поэтому линейно-поляризованная первым поляризатором P1 волна, пройдя через среду,
становится эллиптически поляризованной и частично проходит через второй
поляризатор.
Отметим исключительно малую инерционность эффекта Керра: при
включении поля анизотропия вещества проявляется уже через время порядка
10-12 с. Подавая на обкладки конденсатора переменное напряжение, можно использовать это устройство для модуляции лазерного пучка вплоть до частот порядка
109 Гц. На этом принципе основаны высокочастотные оптические затворы.
Электрическое поле может изменять не только оптические характеристики
жидкостей и газов, оптически изотропных в отсутствие поля, но также и оптические свойства кристаллов. Если поместить одноосный кристалл в электрическое
поле и направить вдоль оптической оси z луч света, в котором поле E может
иметь только х и у-компоненты, то фазовые скорости волн Ex и Ey становятся различными (в отсутствие поля обе компоненты имеют равные скорости vx = vy = с/no.
Это явление называется эффектом Поккельса. Малая инерционность позволяет
использовать эффект для высокочастотной модуляции света. В отличие от эффекта
Керра, разность фаз волн Ex и Ey в кристалле оказывается пропорциональной первой
степени напряженности поля. Изменение показателя преломления ∆n при эффекте
Поккельса происходит за счет смещения электронов в кристалле в сторону того
или иного иона, при этом за счет изменения электронной конфигурации меняется поляризуемость, а с ней и показатель преломления. В силу линейности эффект
Поккельса может наблюдаться лишь в кристаллах, не обладающих центром симметрии. Поскольку при изменении направления ориентирующего поля на противопо-
ложное, должен измениться на противоположный и знак ∆n. Это невозможно в
кристаллах с центром симметрии, поскольку для них оба взаимно противоположных направления поля физически эквивалентны. Оба эффекта - Керра и Поккельса
- могут проявляться как в изменении свойств оптически анизотропных сред, так и в
наведении искусственной анизотропии в среде, изотропной в отсутствие внешнего
воздействия. При прохождении света через вещество, помещенное в магнитное
поле, наблюдается поворот плоскости поляризации линейно-поляризованной волны. Этот эффект называется эффектом Фарадея. Угол поворота  =lН ,где  постоянная Верде, l - длина среды, Н - напряженность магнитного поля.
Рассмотрим качественное объяснение этого эффекта в рамках классического
подхода. Линейно-поляризованную волну можно представить в виде суперпозиции
двух волн с левой E_ и правой E+ круговой поляризацией. В отсутствие магнитного поля эти волны распространяются в среде с одинаковой скоростью. В этом
случае при вращении векторов E_ и E+ их сумма E_ + E+ все время остается на
линии проходящей через линию АА (рис.3.7 а), так как их суперпозиция дает
линейно поляризованную волну проходящую через AA.
РИС. 3.7. Направление поляризации в точке z = 0 (AA) и в точке z = l (BB)
Магнитное поле приводит к анизотропии показателей преломления для
левой и правой поляризованных волн, т.е. n-  n+. Пройдя в такой среде путь l,
волны E_ и E+ приобретают набег фазы, равный  = kl, который и определяет
положение векторов E_ и E+ в момент времени t. Как видно из рис. 3.7 б, суммарный вектор E повернут относительно первоначальной вертикальной ориентации на угол  = ½ (+ - _) = /2c (n+ - n_)l и колебания происходят вдоль
направления ВВ.
В чем же причина анизотропии показателя преломления для левой и правой круговой поляризации? С точки зрения классической физики молекулы и
атомы это системы с круговым движением электронов, создающих магнитный
момент с частотой обращения с 0. Известно, что в магнитном поле электронная
орбита прецессирует с частотой Ω << 0. При этом возможна прецессия как
совпадающая с направлением движения электронов, так и противоположная.
Поэтому в спектре атома, помещенного в магнитное поле, появляются две характерные частоты + = 0 + Ω и - = 0 - Ω. Частота + соответствует право-, а
- - левополяризованному кругу излучению. Это приводит к отличию показателей преломления n+ и n_ на указанных частотах, т.е. n+ - n_ = ∆n.
Для наблюдения эффекта Фарадея исследуемое вещество помещается
между полюсами электромагнита, расположенный между двумя скрещенными
поляризаторами (рис. 3.8).
Рис. 3.8 Схема наблюдения эффекта Фарадея
В сердечнике магнита просверлен канал, через который пропускается пучок линейно-поляризованного света, распространяющийся вдоль направления
магнитного поля. При отсутствии магнитного поля (ток в обмотке электромагнита выключен) через второй поляризатор свет не проходит. При включении
магнитного поля происходит поворот плоскости поляризации на угол у, пропорциональный пройденному светом пути и величине магнитного поля. В результате свет частично проходит через второй поляризатор. Поместив исследуемое вещество между двумя зеркалами, можно существенно увеличить проходимый светом путь (за счет многократных отражений) и, тем самым увеличит
угол поворота.
Существуют среды, при распространении в которых линейно поляризованного света происходит поворот его плоскости поляризации в отсутствии
внешнего магнитного поля. Это явление называют естественным вращением
плоскости поляризации или естественной активностью, или гиротропией. Вещества, в которых это происходит, называют гиротропными или естественно
оптически активными (киральными). Естественная активность была открыта
Араго в 1811 г. для кристаллов кварца. Позднее Био обнаружил поворот плоскости поляризации света в растворах сахара.
Для наблюдения этого эффекта вещество помещают между скрещенными
поляризаторами. Проходящий свет можно погасить поворотом одного из поляризаторов. Это значит, что свет остается линейно поляризованным, но его
направление поляризации повернуто на некоторый угол относительно первоначального. Угол поворота зависит от длины волны света и пропорционален толщине слоя l активного вещества.
Опыт показывает, что при изменении направления распространения света
на противоположное поворот плоскости поляризации происходит в обратную сторону. Этим естественное вращение отличается от эффекта Фарадея. Активную среду
называют правовращающей, если для наблюдателя, смотрящего навстречу световому лучу поворот происходит по часовой стрелке, и левовращающей в противоположном случае. Поворот плоскости поляризации объясняется тем, что в оптически
активной среде волны с правой и левой круговой поляризацией имеют различные
фазовые скорости, т.е. различные показатели преломления, как и в случае эффекта
Фарадея.
Направление вращения плоскости поляризации у различных веществ зависит
от природы вещества. Как правило, оптически активные вещества существуют в
одной из двух модификаций: право- или левовращающие. Но есть вещества, обладающие обеими модификациями одновременно. Например, кварц встречается в природе в виде право- и левовращающего. Обе модификации кристалла отличаются друг
от друга внешней формой и внутренней кристаллической структурой. Они обладают
зеркальной симметрией. Для оптически активных жидкостей эффект вращения
обусловлен асимметричным строением строением молекул. Оптическая активность
возникает тогда, когда в веществе преобладают молекулы только одной модификации. Отметим, что свойством оптической активности обладают все органические
молекулы живых организмов, причем они существуют в одной их двух модификаций: либо правые, либо левые. Например, все молекулы ДНК имеют свойства правой спирали. Почему это так, объяснения о сих пор еще нет.
Теоретическое объяснение различия фазовых скоростей для левой и правой
круговых поляризацией основано на учете структуры и конечного размера молекул. При этом существенно, что действующее на электроны поле световой волны
E(f,t) для каждого момента времени в разных точках протяженной молекулы
различно, т.е. необходимо учитывать пространственную неоднородность светового
поля, действующего на молекулы или, другими словами, необходимо учитывать пространственную дисперсию. Влияние неоднородности поля волны на индуцированный дипольный момент молекулы с макроскопической точки зрения означает, что поляризованность среды в каждой точке зависит не только от значения поля в данной точке, но и от значений поля в соседних точках в области молекулярных размеров. Это означает, что связь между поляризованностью и полем имеет нелокальный характер. Таким образом, оптическая активность по сути есть проявление пространственной дисперсии.
4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА СРЕД
4.1. Отражение и преломление света на границе раздела сред
Известно, что луч света, падающий на границу раздела двух различных
оптических сред, разделяется на два луча: отраженный и преломленый
(рис.4.1), направления которых хорошо описываются геометрической оптикой.
РИС. 4.1. Отражение и преломление плоской волны на границе раздела двух
сред
Однако, такие свойства как поляризация, интенсивность отраженного и
преломленного света можно понять только на основе электромагнитной теории
света. Именно эти свойства отражения и преломления находят широкое применение в различных устройствах - линзах, призмах, зеркалах, которые позволяют фокусировать свет и формировать оптические изображения, осуществлять
спектральное разложение света, получать полностью поляризованный свет и т.
п. Явление отражения света используется в лазерных резонаторах и интерферометрах. Количественная теория отражения и преломления света строится на
основе уравнений Максвелла и граничных условий для электромагнитного
поля. Как известно из электродинамики, на границе раздела диэлектриков
должны быть непрерывны тангенциальные (т. е. параллельные поверхности
раздела) компоненты напряженности электрического и магнитного поля, т.е.
Е 1t = Е2t, Н 1t = Н2t
(4.1)
Пусть на плоскую границу раздела двух сред (рис.4.1) падает плоская монохроматическая линейно поляризованная световая волна
 = 1/2 E
1
1
exp[i(ω1t−k1r)] + к.с
(4.2)
Световые поля отраженной и преломленной волн в общем случае имеют вид

0,2
= 1/2 E0,2 exp[i(ω0,2t−k0,2r)] + к.с,
(4.3)
где индексы 0 и 1 соответствуют отраженной и преломленной волне, соответственно. Угол θ1 между нормалью к границе раздела n и волновым вектором k
падающей называют углом падения; угол θ0,2 - углом отражения и углом преломления; ε12 - комплексные диэлектрические проницаемости сред. Направим
ось z по нормали к границе раздела, ось x вдоль границы раздела, а y перпендикулярно плоскости рисунка. Граничное условие (4.1) в плоскости границы раздела z = 0, запишем в виде:
E1t exp [i(ωt - k1r)] + E0t exp [i(ω0t - k0r)] = E2t exp [i(ω2t - k2r)], (4.4)
Соотношение (4.4) должно выполняться в любой момент времени t и для всех
точек r, лежащих на границе раздела. Поэтому частоты отраженной и преломленной волн должны быть равны частоте падающей волны. Значит,
ωt - k1r = ωt - k0r = ωt - k2r или k1r = k0r = k2r. (4.5)
Переходя к декартовым координатам, перепишем второе соотношение (4.5)
k1xx + k1yy = k0xx + k0yy = k2xx + k2yy. (4.6)
Эти условия должны выполняться для любых x и y. В частности, полагая x = 0
и y = 0, получим, соответственно k1y = k0y = k2y, k1x = k0x = k2x. Отсюда следует,
что волновые векторы отраженной и преломленной волн лежат в одной плоскости, проведенной через волновой вектор падающей волны и нормалью к границе раздела, называемую плоскостью падения. Если плоскость xz совпадает с
плоскостью падения, то
k1x = k0x = k2x, k1y = k0y = k2y = 0, (4.7)
где
k1x = k1sinθ1, k0x = k0sinθ0, k2x = k2sinθ2, (4.8)
k1 = k0 = n1/c, k2 = n2/c, (4.9)
n12 - комплексные показатели преломления первой и второй сред. Так как
k1x = k0x, то из первых двух формул (4.8) следует, что
θ0 = θ1, (4.10)
т.е. угол падения равен углу отражения - закон отражения света.
Полагаем теперь, что обе среды прозрачны, т.е. показатели преломления
n1 и n2 действительны. Подставляя k1 и k2 из (4.9) в выражения для k1x и k2x (4.8)
и учитывая, что k1x = k2x, получаем
n1sinθ1 = n2sinθ2 (4.11)
Эта формула связывает между собой угол падения и преломления света.
Они выражает закон преломления, или закон Снеллиуса. Подчеркнем, что отклонение луча есть следствие изменения скорости света в разных материалах.
Рассмотрим случай, когда световой луч пересекает границу раздела, переходя из оптически более плотной среды в менее плотную, т.е. n1 > n2. Согласно
закону Снеллиуса, угол преломления будет больше угла падения θ2 > θ1. Если
угол падения составляет величину
θ1кр = arcsin(n2/n1),
(4.12)
то по формуле (4.11) получаем θ2 = π/2 и, следовательно, преломленный луч не
проникает во вторую среду, а распространяется вдоль границы раздела. Если
же θ1 > θ1кр, т.е. угол падения превышает критический, то преломленный луч отсутствует, и свет полностью отражается от границы раздела. Этот эффект называется полным внутренним отражением света. Угол падения, определяемый
формулой (4.12), называется предельным углом полного отражения. Например,
для границы стекло-воздух (n1 = 1.5, n2 = 1) этот угол составляет около 40°.
Полное внутреннее отражение позволяет передавать свет на большие расстояния по оптическому волокну.
4.2 Формулы Френеля
Определим соотношение между энергиями отраженного и преломленного
лучей. Для этого необходимо вычислить амплитуды отраженной и преломленной волн. Будем считать падающую, отраженную и преломленную световые
волны плоскими и монохроматическими, где ω = ω0 = ω2). Среды, образующие
границу раздела, также будем считать линейными и изотропными и характеризовать комплексными диэлектрическими проницаемостями ε12.
Пусть падающая, отраженная и преломленная волны являются плоскими
монохроматическими волнами. Уравнения Максвелла имеют вид:
[k,E] = H /c, [k,H] = - εE /c,
(4.13)
где E,H- комплексные амплитуды электрического и магнитного поля.
Величина тангенциальной компоненты поля зависит от состояния поляризации падающей световой волны. Рассмотрим случаи, когда вектор E перпендикулярен и параллелен плоскости падения, поскольку волну с произвольной по-
ляризацией можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн указанных типов E = E + E 
Пусть вектор E падающей волы перпендикулярен плоскости падения. В
этом случае отраженная и преломленная волны будут также поляризованы перпендикулярно плоскости падения. Векторы H для магнитного поля всех трех
волн будут лежать в плоскости падения. Используя систему координат, показанную на рис. 4.1, можно записать
Et = Ey = E, Ht = Hx.
(4.14)
В принятых обозначениях граничные условия (4.1) принимают вид
E1 + E0 = E2, H1x + H0x = H2x.
(4.15)
Выразим H0x, H1x через E01, соответственно, а H2x через E2, используя первое соотношение в (4.13)
H0,1x = - (c/)kzE0,1, H2x = - (c/)kzE2.
(4.16)
Подставляя (4.16) во вторую формулу (4.15) и учитывая, что k0z = - k1z, получаем
k1z ( E1 - E0) = k2zE2
(4.17)
Введем комплексные коэффициенты отражения (r) и преломления (t) света
r = E0/E1, t = E2/E1
(4.18)
Используя (4.18), первое соотношение (4.15) и (4.17) можно переписать в виде
1 + r = t, k1z(1 - r) = k2zt (4.19)
Решая алгебраическую систему уравнений (4.19), получаем
r 
k1z  k2 z
2k1 z
, t 
(4.20)
k1z  k2 z
k1 z  k2 z
Формулы (4.20) устанавливают связь между амплитудами падающей, отраженной и преломленной световых волн. Аналогичным образом рассматривается
случай, когда вектор падающей световой волны параллелен плоскости падения
E = E . В этом случае граничные условия (4.1) имеют вид
H1 + H0 = H2, E1x + E0x = E2x (4.21)
Выразим Ex через H, используя второе соотношение в (4.13)
Ex = kzHc/ε, (4.22)
Подставляя (4.22) во второе соотношение (4.21), получим уравнение
(k1z /ε1) (H1-H0) = (k2z/ε2) H2 (4.23)
Определим коэффициенты отражения и преломления формулами r = H0/H1 и t=
H2/H1. Используя это, первое соотношение (4.21) и (4.23) можно представить в
виде
1 + r = t , 1- r  = t  (k2zε1)/(k1z ε2) (4.24)
Из (4.24) несложно определить искомые величины
rP 
k1 z / 1  k2 z /  2
2k1z / 1
, tP 
(4.25)
k1z / 1  k2 z /  2
k1z / 1  k2 z /  2
Предположим теперь, что обе среды прозрачны, т.е. проницаемости ε1,2, а также
показатели преломления сред n1,2 действительные величины. Нормальные
компоненты волновых векторов падающей и преломленной волн выражаются
формулами: k1z = - k1cosθ1, k2z = - k2cosθ2, волновые числа k1,2 = (ω/c)n1,2. Используя это для коэффициентов отражения r и r  можно записать
r 
n1 cosq1  n2 cosq 2
n cosq1  n1 cosq 2
, , rP  2
, (4.26)
n1 cosq1  n2 cosq 2
n2 cosq1  n1 cosq 2
Принимая во внимание закон Снеллиуса (4.12), эти выражения нетрудно преобразовать к виду
r 
sin(q1  q 2 )
tg (q1  q 2 )
, rP 
(4.27)
sin(q1  q 2 )
tg (q1  q 2 )
Формулы Френеля (4.27) определяют амплитудные коэффициенты отражения
света на границе раздела линейных изотропных прозрачных сред. Из закона
сохранения энергии следует, что r2 + t2 = 1, r 2 + t2 = 1
4.3 Эффект Брюстера.
Из второй формулы (4.27) следует, что при определенных условиях коэффициент отражения r  обращается в ноль, когда знаменатель стремится к бесконечности. Это имеет место, если сумма углов падения и преломления удовлетворяет условию:
q1 + q2 = /2
(4.28)
Таким образом, если падающая световая волна поляризована в плоскости
падения и выполняется соотношение (4.28), то отраженная волна отсутствует.
Этот эффект называют эффектом Брюстера. Угол, при котором это происходит,
называют углом Брюстера. Используя (4.28) и закон преломления, нетрудно
вычислить величину этого угла.
qб = arctan (n2/ n1)
(4.29)
Например, для границы раздела "воздух-стекло" qб = 56°40. Брюстеровский угол называют также углом полной поляризации. Действительно, если
падающий под этим углом свет неполяризован, то отраженный пучок света линейно поляризован перпендикулярно плоскости падения. Таким образом, эффект Брюстера можно использовать для получения линейно поляризованного
света. Это явление объясняется следующим образом. Отраженный луч света
представляет собой переизлучение диполей второй среды. При выполнении
условия (4.29) отраженный и преломленный лучи оказываются взаимно перпендикулярными. При этом диполи второй среды, колеблющиеся параллельно
вектору Е преломленной волны и, следовательно, перпендикулярно преломленному лучу, не испускают свет в направлении отраженного луча, так как это
направление совпадает с направлением колебаний диполей. В результате отраженный луч отсутствует, и вся энергия света передается преломленному лучу.
Отсюда следует, что эффект Брюстера возможен лишь при поляризации падающего луча в плоскости падения. Если же падающий луч поляризован перпендикулярно плоскости падения, то отраженный луч должен наблюдаться при любом угле падения.
Из формул для коэффициентов отражения и пропускания (4.25) следует,
что если обе среды прозрачны, то амплитудные коэффициенты пропускания
действительные положительные числа. Это значит, что фаза преломленной волны совпадает с фазой падающей волны на границе раздела. Амплитудные коэффициенты отражения также действительны, но могут быть как положительными, так и отрицательными. Следовательно, в зависимости от условий, фаза отраженной волны может либо совпадать с фазой падающей волны на границе
раздела, либо отличаться от нее на . Если θ1 = 0, то несложно получить, что
r  
n2  n1
n n
, rP  2 1 (4.30)
n1  n2
n2  n1
т.е., при нормальном падении r = - r. Смысл этого результата состоит в том,
что при отражении назад один из векторов E или H световой волны должен изменить свое направление на обратное. Только в этом случае векторы E, H и k
как в падающей, так и в отраженной волне образуют правую тройку векторов в
соответствии с требованием уравнений Максвелла. При n2 > n1 можно показать,
что r < 0, r > 0 и, следовательно, при отражении вектор H сохраняет свое
направление, а вектор E меняет направление на противоположное. т.е. его фаза
меняется на π. При отражении от от менее плотной среды (n2 < n1) все происходит наоборот, т.е. фаза E - волны сохраняется, а H - волны меняется на π. Об
этом обычно говорят как о потере полуволны при отражении. Для преломленной волны фазы обеих волн не меняются.
Отношение потока энергии отраженной волны к потоку падающей называют энергетическим коэффициентом отражения. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то, очевидно, что он связан с амплитудными коэффициентами R = r2 . Тогда,
n cosq1  n2 cosq 2
R  1
n1 cosq1  n2 cosq 2
2
,
n cosq1  n1 cosq 2
RP  2
n2 cosq1  n1 cosq 2
2
(4.31)
Если падающий пучок света линейно поляризован, а вектор E составляет угол
ψ с плоскостью падения, коэффициент отражения будет равен
R = Rcos2 ψ + R sin2 ψ. (4.32)
Для неполяризованного света (4.32) следует усреднить по всем углам ψ,
R = (R + R)/2.
4.4 Отражение света от поверхности металла.
Формулы Френеля, описывающие отражение и преломление света от диэлектриков, справедливы и для металлов. Однако имеются существенные отличия при отражении света от поверхности металлов по сравнению с диэлектриками. Они обусловлены дисперсионными свойствами диэлектрической проницаемости металлов.
В металлах некоторые из электронов не связаны с каким-либо определенным атомом. Такие электроны называют "свободными". Они ответственны за
электрическую проводимость металла. В отличие от оптических электронов в
атомах диэлектрика на свободные электроны не действует “квазиупругая” сила,
удерживающая их около какого-то атома, но сила трения характеризующая сопротивление движению электрона, остается. Следовательно уравнение классической теории дисперсии и все следствия из него можно применить к свободным электронам, положив обусловленную квазиупругой силой собственную частоту ωо равной нулю. Поэтому формула для диэлектрической проницаемости
применима и для металлов, но в ней необходимо положить ωо = 0:
 p2
 ( )  n  1  2
 0  iГ

2
(4.32)
Здесь плазменная частота ωp=(4πNe2/m)1/2 имеет обычный вид, но под N понимают концентрацию свободных электронов. Формула (4.32) для показателя преломления в металлах предсказывает совершенно разный характер распространения волн в металлах в областях низких и высоких частот. В случае высоких
частот, удовлетворяющих неравенству ω » Г, в формуле (4.32) можно пренебречь мнимым слагаемым iωГ, и для диэлектрической проницаемости получается вещественное выражение
 p2
 ( )  n  1  2 (4.33)

2
Из этой формулы видно, что плазменная частота ωp, имеет смысл своего рода
критической частоты. При ω < ωp диэлектрическая проницаемость отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый. Это значит, что волны с ω < ωp (но
ω > Г) не могут распространяться в металле из-за сильного затухания, причем
это затухание не связано с поглощением (т.е. диссипацией) энергии. Физически
это означает, что происходит полное отражение падающей волны от среды. При
нормальном падении
n2  n1
n 1
(n'  1)  in ''

 '
r = - r = 
(4.34)
n2  n1
n 1
( n  1)  in ''
где n = n2/n1 = n' - in" - относительный показатель преломления. Для энергетического коэффициента отражения получаем
2
( n'  1) 2  in ''2
(n '  1)  in ''
R  '
= '
(4.35)
(n  1) 2  in ''2
(n  1)  in ''
Отсюда видно, что при чисто мнимом показателе преломления (n' = 0) коэффициент отражения равен единице. При ω > ωp показатель преломления становится вещественным, а металл — прозрачным для излучения. Обычно плазменная
частота у металлов попадает в область рентгеновских лучей, но для некоторых
металлов область прозрачности начинается с ультрафиолетовых лучей. Например, у натрия длина волны, соответствующая граничной частоте ωp, составляет
210 нм. Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра
была обнаружена Вудом в 1933 г. При низких частотах, когда ω << Г, и, следовательно, ω2 << 2Гω, из (4.32) получаем
 p2
 ( )  n  1  i
(4.36)
2 Г
2
Концентрация свободных электронов в металлах такова, что ωp >> Γ, поэтому
ωp2/2Гω >>ωp2 /2Г2 >>1, т.е. мнимая часть много больше действительной. Для
показателя преломления получаем
n;
 p2
1 i p
(4.37)
i

2 Г
2 2 Г
Отсюда следует, что показатель преломления является комплексным с
одинаковыми вещественной и мнимой частями n' = n" = ωp /(2Γω)1/2 >> 1.
Таким образом, амплитуда волны уменьшается по мере проникновения в металл. Глубина проникновения z ~ 1/α, где α коэффициент поглощения. Такие
волны проникают вглубь металла на расстояние, которое много меньше длины
волны в вакууме (скин-эффект). При нормальном падении коэффициент отражения R, определяемый действительной частью показателя преломления для
них близок к единице: R = [( n' - 1)/(n' + 1)]2 >> 1 и волна практически полностью отражается от поверхности.
Для промежуточных частот ω ≈ ωp нужно пользоваться полным выражением (4.32), а не его предельными формами. В этом случае у показателя преломления отличны от нуля зависящие от частоты вещественная и мнимая части.
Это значит, что волны разных частот при распространении в металле по-разному затухают. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для видимого света.
Например, тонкий слой золота, полученный напылением в вакууме на стеклянную подложку, пропускает видимый свет, но сильно поглощает инфракрасное
излучение.
Отметим, что в общем случае при отражении света от металла коэффициенты отражения вообще говоря, комплексны, т.е. имеют место скачки фаз. Если
падающий свет поляризован под углом к плоскости падения, то отраженный
свет будет поляризован эллиптически. Исследуя эллиптическую поляризацию
отраженного света, можно определять оптические постоянные металла n' и n".
Уравнения (4.32) или (4.33) применимы также и к свободным электронам в
плазме, например в ионосферной плазме. Их можно использовать для объяснения характера распространения радиоволн в ионосфере Земли. Граничная частота здесь попадает в радиодиапазон, поэтому волны длиной порядка 10 м и
более отражаются ионосферой, что широко используется для радиосвязи, тогда
как ультракороткие (УКВ) свободно проходят сквозь нее. Это обстоятельство
открывает возможность радиолокации Луны и планет и важно для радиоастрономии, использующей технику ультракоротких волн. Исследование частотной
зависимости отражения радиоволн дает хороший метод изучения ионосферы.
5. НЕЛИНЕЙНО- ОПТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕТА С
КРИСТАЛЛАМИ
5.1. Симметрия кристаллов. Квадратично- и кубично- нелинейные кристаллы
Нелинейные свойства кристаллов описываются тензорами нелинейных восприимчивостей. Свяжем с кристаллом декартову систему координат. Подвергнем координатную систему какому-либо ортогональному преобразованию.
Компоненты тензора относительно новой системы координат, вообще говоря,
не равны одноименным его компонентам относительно старой системы. Однако, если данное преобразование входит в точечную группу симметрии кристалла, то компоненты тензора нелинейной восприимчивости относительно новой
системы координат совпадут с его компонентами относительно старой. Действительно, если две системы координат связаны между собой преобразованием симметрии кристалла, их расположение относительно кристалла, в сущности, одинаково. Следовательно, тензор нелинейной восприимчивости кристалла
должен быть инвариантен относительно всех преобразований симметрии этого
кристалла.
Отсюда следует, что тензор нелинейной восприимчивости кристалла, обладающего определенной симметрией, не может быть произвольным, а должен
подчиняться определенным требованиям. Очевидно, что для кристаллов, обла-
дающих центральной симметрией, все компоненты тензора ijk равны нулю. На
практике очень часто вместо тензора ijk используют тензор dijk, определяемый
равенством
dijk ijk/2. (5.1)
Ранее было отмечено, что в случае симметрии по перестановке индексов
число компонент тензора ijk и, следовательно, dijk сводится к 18 независимым
компонентам. С учетом симметрии кристалла таких компонент становится еще
меньше. Наличие только 18 независимых элементов позволяет упростить форму записи индексов. В случае сокращенной записи используют следующие
обозначения Фойгта (dijk  dikj):
d  d, d  d, d  d, d  d, d  d, d  d;
d  d, d  d, d  d, d  d, d  d, d  d; (5.2)
d  d, d  d, d  d, d  d, d  d, d  d.
Таким образом, тензор нелинейной восприимчивости 2-го порядка можно
представить в виде матрицы, состоящей из 3 строк и 6 столбцов. Однако не следует забывать, что в действительности этот тензор является тензором третьего
ранга и преобразуется по соответствующим правилам для тензоров такого ранга. Для ряда кристаллографических классов компоненты dij приведены в табл.
5.1.
Таблица 5.1 Компоненты тензора dij
Классы
dij
0 0 0 d d 0
Классы
dij
dd0 0 0 d
4и6
0 0 0 d d 0
6
dd0 0 0 d
4 комп.
dd d 0 0 0
0 0 0 d 0 0
2 комп.
000000
dd0 d d d
422 и 622
0 0 0 0 d 0
3
dd0 d d d
1 комп.
4mm и 6mm
000000
0 0 0 0 d 0
6 комп.
dd d 0 0 0
dd0 d 0 0
3 комп.
0 0 0 d 0 0
32
0 0 0 0 d d
dd d 0 0 0
0 0 0 0 0 d
2 комп.
000000
0 0 0 d d 0
4
0 0 0 d d 0
4 комп.
dd0 0 0 d
0 0 0 d 0 0
6m2
1 комп.
dd0 0 0 0
000000
0 0 0 0 d d
3m
dd0 d 0 0
42m
0 0 0 0 d 0
4 комп.
dd d 0 0 0
2 комп.
0 0 0 0 0 d
Кристаллы с ikl  0 называются квадратично-нелинейными. В них возможны нелинейные оптические эффекты низшего порядка. Взаимодействие волн в
квадратично-нелинейных кристаллах приводит к их смешению. В результате
генерируются волны на суммарных и разностных частотах.
Физическая интерпретация явления генерации суммарной частоты заключается в следующем. Лазерные пучки с частотами  и , взаимодействуя в нелинейном кристалле, генерируют нелинейную поляризацию P(   ). Она
служит источником излучения волны на частоте    . В общем случае
излучение суммарной частоты может происходить во всех направлениях. Поле
излучения зависит от коррелированного по фазе пространственного распределения нелинейной поляризации P(. Выбором геометрии эксперимента можно сформировать острый пик излучения в определенном направлении. Это
направление определяется условием фазового синхронизма.
Для эффективной перекачки энергии из волн накачки на частотах  и  в
генерируемую в процессе сложения частот волну с  должны быть одновременно выполнены условия сохранения энергии и импульса. Закон сохранения
энергии требует, чтобы    , а из закона сохранения импульса следует,
что k  k  k. Излучение на суммарной частоте наиболее эффективно генери-
руется в так называемом направлении синхронизма, определяемом из условия k

 k  k. Если длина взаимодействия волн L конечна, то достаточно потребо-
вать выполнения условия сохранения импульса с неопределенностью порядка
1/L.
Процесс генерации разностной частоты с теоретической точки зрения не
сильно отличается от генерации суммарной частоты. Интерес к генерации разностной частоты в прикладной нелинейной оптике связан с возможностью генерации мощного когерентного излучения в дальнем ИК диапазоне спектра.
Трехволновое взаимодействие в квадратично-нелинейных кристаллах сопровождается передачей энергии от двух полей с меньшими частотами к полю
суммарной частоты, и наоборот, например, при генерации разностной частоты.
Процесс генерации разностной частоты может происходить и при наличии
лишь одного поля накачки на суммарной частоте. В этом случае он называется
параметрическим преобразованием. Параметрическое усиление и генерация
позволяют создать перестраиваемые в широком диапазоне источники когерентного ИК излучения, принцип действия которых основан на управляемом расщеплении частоты накачки.
Оптические свойства кристаллов могут меняться во внешнем электрическом
или магнитном поле. Изменение показателя преломления приводит ко многим
электрооптическим или магнитооптическим эффектам. Хотя эти эффекты были
известны задолго до появления лазера, их относят к нелинейным эффектам оптического смешения, когда одна из волн имеет нулевую или близкую к нулевой
частоту. В нецентросимметричном кристалле в электрооптическом эффекте доминирует вклад, связанный с нелинейной восприимчивостью . Это явление
называется эффектом Поккельса, а явление, обусловленное ,  эффектом
Керра в постоянном поле. Индуцированные полем добавки к показателю преломления вызывают линейное двулучепреломление.
С физической точки зрения электрооптические эффекты обусловлены искажением электронного облака, вызванным приложенным электрическим полем.
Если наведенное изменение показателя преломления составляет порядка 10,
то кристалл длиной 1 см уже сможет внести для видимого света фазовый сдвиг,
превышающий /2. Поэтому электрооптические эффекты получили широкое
распространение при создании модуляторов света.
Генерация постоянной электрической поляризации интенсивным световым
пучком, распространяющимся в кристалле, называется процессом оптического
выпрямления. Величину эффекта определяет нелинейная восприимчивость 
(   ).
В кубично-нелинейных кристаллах отлична от нуля нелинейная восприимчивость третьего порядка iklm. В отличие от процессов второго порядка процесс третьего порядка разрешен во всех кристаллах, как обладающих, так и не
обладающих центром симметрии. Однако процессы третьего порядка обычно
во много раз слабее, чем разрешенные процессы второго порядка из-за убывания величины нелинейной восприимчивости с ростом порядка (/ 1/Eat),
но их перечень большой. В кристаллах, обладающих центром симметрии по отношению к операции инверсии, нелинейность третьего порядка является нелинейностью низшего порядка, разрешенной в электродипольном приближении.
5.2. Эффективные нелинейные коэффициенты, волновая расстройка
Обсудим классификацию процессов 2-го порядка для одноосных кристаллов, которые могут быть как оптически положительными (no  ne), так и отрицательными (no  ne). Для обыкновенной волны, поляризация которой перпендикулярна плоскости главного сечения, показатель преломления no не зависит от
направления распространения. На рис.5.1. изображены сечения показателей
преломления для обыкновенной и необыкновенной волны в одноосном отрицательном кристалле на частоте ω и 2ω. Теперь можно найти направления (конус
направлений), вдоль которых n0(ω)=ne(2ω)
Для необыкновенной волны, поляризованной в плоскости главного сечения,
показатель преломления ne(q) зависит от угла q между волновой нормалью и
оптической осью
ne(q)  none/(nosinq  necosq). (5.3)
При q  /2 ne(/2)  nе называется главным значением показателя преломления
необыкновенной волны.
В общем случае для процессов смешения частот 2-го порядка имеем
   , k k  k  k. (5.4)
Рис. 5.1. Поверхности показателей преломления для обыкновенного и
необыкновенного лучей в отрицательном одноосном кристалле (no>ne)
Величину k называют волновой или фазовой расстройкой. Эффективность
любого процесса смешения частот оптического излучения зависит от степени
рассогласования фазы между волной поляризации и генерируемой электромагнитной волной. Для получения значительной мощности в экспериментах по
смешению частот нужно каким-либо способом создать условия, при которых
фазы этих двух волн были бы синхронизированы. Это достигается выполнени-
ем условия k 0, получившим название условия фазового синхронизма. Это
условие играет важную роль во многих нелинейных оптических процессах.
Если все три пучка коллинеарны (скалярный синхронизм), то вместо векторного равенства можно использовать скалярное соотношение
k  k  k  k , (5.5)
или
nn n  [n()  n()]  [n()  n()]  0. (5.6)
Очевидно, что для изотропных сред или кристаллов с кубической симметрией,
обладающих нормальной дисперсией (n()  n(), n()), условие (5.6) не может быть выполнено никогда; для его выполнения численные значения в квадратных скобках должны быть разного знака. В случае же одноосных кристаллов путем выбора направления с углом qс и ne(qс) условие синхронизма можно
осуществить для двух типов взаимодействий: если обе основные волны ( и 

) имеют одинаковую поляризацию, то имеет место синхронизм 1-го типа; если
же их поляризации взаимно перпендикулярны, то имеет место синхронизм 2-го
типа. Поэтому в одноосных отрицательных кристаллах возможны два синхронных процесса о  о  е и о  е  е, а в положительных кристаллах  процессы
е  е  о и о  е  о.
Процессы смешения волн в нелинейном кристалле описываются системой
укороченных уравнений для скалярных комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Подробный вывод и анализ этой системы рассматривается далее на
примере частного случая смешения волн  генерации второй гармоники. Энергетическая эффективность генерации волны на комбинационной частоте (  

 ) в существенной мере зависит от так называемых нелинейных коэффици-
ентов. Поэтому кратко обсудим их для одноосных нелинейных кристаллов.
Пусть взаимодействующие волны распространяются под углом q к оси Z в
плоскости, составляющей угол  с осью Х. Тогда проекции напряженности
поля обыкновенной волны с частотой на координатные оси можно записать с
помощью единичного вектора e(sin, cos, 0) в виде
E  Ae, A  Aоexp[i(t  nz/c)]. (5.7)
Аналогичное соотношение можно записать для напряженности необыкновенной волны с частотой 
E  Ae, e(coscosq, sincosq, sinq), A  Aeexp[i(t  nz/c)]. (5.8)
Поле E в кристалле, которое обуславливает его поляризацию во втором порядке, будет суммой трех полей E  E  E  E.
При этом вектор поляризации определяется по формуле (5.28); верхний индекс
порядка поляризации в дальнейшем использовать не будем
Pi()  ijk(; , )Ej(k, )Ek(k, ). (5.9)
Зная компоненты Pi, можно вычислить эффективные амплитуды волны поляризации, распространяющейся в направлении (q, )
Pоэф  eP, Pеэф  eP. (5.10)
Выражения Pэф для четырех возможных процессов 2-го порядка в отрицательных кристаллах имеют вид:
|Peэф|  eiijkejek|Aо|; (о  о  е) (5.11)
|Peэф|  eiijkejek|Aо||Ae|; (о  е  е) (5.12)
Определим эффективный нелинейный коэффициент dэф соответствующего
процесса в одноосном кристалле без поглощения как свертку тензора dijk с единичными векторами поляризации волн dэф  e : d : ee.
Здесь перед тензором d стоит единичный вектор поляризации волны на комбинированной частоте (о или еполяризация), а после  единичные вектора поляризаций основных взаимодействующих о и еволн. Вычисленные свертки
(dэф) для различных кристаллографических классов приведены в табл. 5.2. Аналогичные результаты для положительных одноосных кристаллов приведены в
табл. 5.3. Если в кристалле можно пренебречь дисперсией, то тензор симметричен по всем трем индексам dijk (симметрия Клейнмана). В этом случае dэф приведены в табл.5.4.
Таблица 5.2. Выражения для dэф для отрицательных кристаллов
Кристаллогра-
Процесс
Процесс
фический класс
4и6
422 и 622
4mm и 6mm
6m2
3m
6
3
оое
оее
dsinq
dsinqcosq
0
dsinqcosq
0
dsinq

dcosqsin3
dcos qcos3
dsinq  dcosqsin3
dcosqcos3
cosq(dcos3  dsin3)
cosq(dsin3  dcos3)
cosq(dcos3  dsin3)  cosq(dsin3  dcos3) 
32
dsinq
dsinqcosq

dcosqcos3
dcos qsin3  dsinqcosq
sinq(dcos2  dsin2) (d  d)sinqcosqcos2  (d
4
42m
 d)sinqcosqsin2
(d  d)sinqcosqcos2

 dsinqsin2
Таблица 5.3. Выражения для dэф для положительных кристаллов
Кристаллогра-
Процесс
Процесс
фический класс
4и6
422 и 622
4mm и 6mm
6m2
3m
6
3
еео
оео
 dsin2q
dsinq
0
 dsin2q
0
dsinq

dcos qcos3
 dcosqsin3

dcos qcos3
dsinq  dcosqsin3

cos q(dsin3  dcos3)
cosq(dcos3  dsin3)

cos q(dsin3  dcos3)  cosq(dcos3  dsin3) 
32
dsin2q
dcos qsin3  dsin2q
dsin2qcos2 
dsinq
dcosqsin3
 sinq(dcos2 
4
42m
dsin2qsin2
dsin2qcos2
dsin2)  dsinqsin2
 dsinqsin2

Таблица 5.4 Выражения для dэф с учетом симметрии Клейнмана
Кристаллогра-
Процессы
Процессы
фический класс
4и6
422 и 622
4mm и 6mm
6m2
3m
6
3
о  е  е, е  е  о


0
dcosqcos
dcosqcos3
cosq(dsin3  dcos3)
cosq(dsin3  dcos3)
о  о  е, о  е  о
dsinq
0
dsinq
 dcosqsin3
dsinq  dcosqsin3
cosq(dcos3  dsin3)
cosq(dcos3  dsin3) 
32
dcos qsin3
dsin2qcos2 
dsinq
dcosqsin3
 sinq(dcos2 
4
42m
dsin2qsin2
dsin2qcos2
dsin2)  dsinqsin2
 dsinqsin2

5.3. Уравнения для амплитуд связанных волн
Нелинейно-оптические процессы взаимодействия волн в нелинейных кристаллах (ГВГ, смешение волн и т. д.) описываются обычно системой так называемых «укороченных» уравнений для амплитуд взаимодействующих волн. Далее мы будем использовать укороченные уравнения и обозначения различных
физических величин, следуя 1. Однако прежде чем привести вид системы укороченных уравнений, укажем на основные предположения, при выполнении которых эти уравнения справедливы.
Первое. Процесс генерации второй гармоники будем рассматривать в квазиплосковолновом приближении и без учета дифракционных эффектов, которые
обычно исследуются в квазиоптическом приближении. Это допущение понижает порядок уравнений системы со второго до первого (в частных производных).
Второе. Полагаем, что в процессе нелинейного взаимодействия волн их состояния поляризации не изменяются и соответствуют состояниям поляризации
плоских монохроматических волн в линейной среде. Это предположение позволяет свести систему укороченных уравнений к скалярному виду, тем самым
значительно упрощая ее.
Третье. Нелинейная среда считается слабо анизотропной. При этом в системе укороченных уравнений можно опустить члены, описывающие эффект сноса
необыкновенных волн; анизотропия учитывается лишь в фазовых соотношениях взаимодействующих волн. Данное предположение приводит к замене системы укороченных уравнений первого порядка в частных производных на систему укороченных обыкновенных дифференциальных уравнений, что значительно упрощает аналитическое, если это возможно, и численное исследование данной системы уравнений.
Четвертое. Нелинейная среда предполагается слабо поглощающей  векторы состояний поляризации еi, векторы ki взаимодействующих волн, тензор
нелинейной восприимчивости ijk, а значит, и коэффициенты нелинейной связи
волн i в укороченных уравнениях считаются действительными величинами.
Сами же еi соответствуют линейно поляризованным волнам линейной не-
поглощающей среды. Учет поглощения в этом случае сводится к наличию в
уравнениях укороченной системы только аддитивных линейных членов, которые в отсутствие нелинейности приводят к решениям, описывающим хорошо
известный закон Бугера.
Первое предположение, как правило, в условиях реальных экспериментов
по генерации вторых оптических гармоник выполняется с высокой степенью
точности. Второе и третье предположения будут также хорошо выполняться,
если использовать слабо расходящиеся лазерные пучки накачки и нелинейнооптические элементы, длина которых не превосходит так называемой апертурной длины кристалла, при достижении которой на процесс ГВГ может существенное влияние оказывать апертурный эффект (снос еволн). Четвертое условие хорошо реализуется, если длины волн накачки  и второй гармоники /2
попадают в область прозрачности данного кристалла. Поглощение в этой области для многих используемых в нелинейной оптике кристаллов незначительно
(коэффициент поглощения   0.01 см) и практически не сказывается на процессе генерации второй гармоники при реальных длинах используемых нелинейно-оптических элементов.
Таким образом, при соблюдении указанных ранее предположений скалярные амплитуды квазиплоских волн, участвующих в процессе ГВГ, будем считать зависящими только от продольной координаты z: Ai  Ai (z) (ось координат
Z ортогональна входной и выходной граням нелинейного кристалла, ось Y лежит в главной плоскости кристалла).
Для одноосных немагнитных однородных кристаллов без центра симметрии
и пространственной дисперсии нелинейную поляризацию запишем в виде
PiNL(r,t)  dtdtijk(tt)Ej(r,t  t)Ek(r, t t  t). (5.13)
Поглощение можно учесть посредством введения комплексных линейной и нелинейной восприимчивостей кристалла. Во многих случаях это можно сделать
путем введения коэффициентов поглощения для взаимодействующих волн. В
выражении (5.59) нелинейная поляризация, функция отклика и напряженности
полей являются действительными величинами. Однако для теоретического описания взаимодействующих волн удобно использовать комплексное представление векторов напряженностей полей, сохраняя для них то же самое обозначение.
Вывод «укороченных» уравнений проведем для процесса ГВГ типа
о  е  е в отрицательных кристаллах. В соответствии с первым упрощающим
предположением вектор напряженности поля в кристалле запишем в виде
суперпозиции трех квазиплоских монохроматических волн
E(r, t)  (1/2){E(r)exp(it)  E(r)exp(it)  E(r)exp(i2t) + к. с.}. (5.14)
Кроме того, каждый вектор в (5.14) будем представлять согласно второму
предположению в виде:
E(r)  еA(r)exp(kr), E(r)  еA(r)exp(kr), E(r)  еA(r)exp(kr), (5.15)
где еi  единичные действительные векторы напряженностей полей соответствующих волн в линейной среде, ki  волновые векторы. По сути (5.15) означает, что мы используем приближение плоских монохроматических волн  собственных волн в неограниченной линейной анизотропной среде. Это позволяет
выделить быстро осциллирующую во времени и пространстве часть в функции
E. Предположение об отсутствии преобразования состояния поляризации позволит придать исходному волновому уравнению скалярную форму, а действительность единичных векторов поляризации говорит об отсутствии влияния
поглощения на структуру векторов поля. При необходимости поглощение будем учитывать только через комплексность величин  и . Запись (5.14) соответствует случаю широких волновых пучков (характерный масштаб пространственной модуляции волны a  , где   длина волны) и протяженных
волновых пакетов (v  , где   временной масштаб модуляции, v  скорость
света в веществе).
Волновое уравнение (1.12) описывает все нелинейные процессы. Сначала в
нем надо выразить D и PNL через вектор напряженности электрического поля.
Подставляя (5.14) и (5.15) в (1.9), получаем выражение для вектора линейной
электрической индукции
D  (1/2){A(r)()eexp[i(t  kr)]  A(r)()eexp[i(t  kr)]
 A(r)(2)eexp[i(2tkr)]}, (5.16)
где тензор диэлектрической проницаемости кристалла ()  ()exp(i)d.
Теперь рассмотрим нелинейную поляризацию (5.13) при взаимодействии
трех волн. Подставим (5.14) в (5.13). При перемножении E(r, t  t) на
E(r, t  t) и выполнении интегрирования по времени в выражении для нелинейной поляризации формально появляются девять членов (без комплексно сопряженных), из которых не все ответственны за генерацию второй гармоники. Для
упрощения вычислений введем следующие обозначения:
A  еA(r)exp(kr)  еA(r)exp(kr), B  еA(r)exp(kr),
( )  dtdt(t t)exp[i(t + t)]. (5.17)

В этих обозначениях нелинейную поляризацию можно записать так
PNL(r, t)  (1/4){(2, ) : AAexp(i2t) 
 (, 2) : A*Bexp(it)  (, ) : A*Bexp(it)  к. с.}. (5.18)
Остальные спектральные компоненты нелинейной поляризации на частотах 0, 3
, 4 опущены как не имеющие никакого отношения к рассматриваемому процессу о  е  е при его синхронизации. Спектральная компонента (2, )
определяет нелинейный источник на частоте второй гармоники, (, 2) и (,
) нелинейный источник на основной частоте.
Рассмотрим более подробно свертки, входящие в выражение (5.18). Используя явный вид A и B, находим свертки, выраженные через единичные вектора:
(2, ) : AA  2(2, ) : eeAAexp[i(k  k)r] 
 (2, )[ : eeAexp(i2kr)  : eeAexp(i2kr)],
(, 2) : A*B  (, 2) : eeA*Aexp[i(k  k)r] 
 (, 2) : eeA*Aexp[i(k  k)r], (5.19)
(, ) : A*B  (, ) : eeA*Aexp[i(k  k)r] 
 (, ) : eeA*Aexp[i(k  k)r].
Полученные выражения для линейной электрической индукции и нелинейной поляризации подставим в исходное волновое уравнение (1.12). В этом уравнении дифференциальная операция rotrot действует в принятом приближении
на квазиплоские волны типа eA(r)exp(ikr). С помощью формул векторного
анализа запишем это действие в виде
[[,eAe-ikr]]  e-ikr{[[,eA]]  i[k[A,e]]  i[A[ke]]  [k[ke]]A}. (5.20)
Используя (5.20), волновое уравнение для трех взаимодействующих квазиплоских волн можно переписать так
exp[i(t  kr)]{[[, eA]]  i[k[A, e]]  i[A[ke]] [k[ke]]A 
 (/c)()eA} exp[i(t  kr)]{[[, eA]]  i[k[A, e]]  i[A[ke]] 
[k[ke]]A  (/c)()eA} exp[i(2t  kr)] {[[, eA]]  i[k[A, e]]
i[A[ke]]  [k[ke]]A  (5/c)()eA} (2/c){4(2, ) : (5.21)
: AAexp(i2t)  (, 2) : A*Bexp(it)  (, ) : A*Bexp(it)}.
Приведенное уравнение в случае одноосных отрицательных кристаллов может описывать либо процесс о  о  е, либо о  е  е в зависимости от того,
какой процесс подлежит пространственной синхронизации, приводящей к резкому повышению эффективности нелинейного взаимодействия.
Отметим, что векторы ei и ki соответствуют собственным состояниям поляризации и волновым векторам монохроматических волн линейной среды и
удовлетворяют линейному уравнению
[ki[kiei]]  kei  0, i  1, 2, 3 (5.22)
где k  2/  /c. Уравнение взаимодействующих волн (5.21) можно рассматривать как систему трех уравнений для каждой медленной амплитуды поля.
Умножим (5.21) на eiexp[i(it  kir)] и проведем усреднение получившегося выражения по объемам с размерами, значительно большими всех величин 2|kix 
kjx|, 2|kiy  kjy|,2|kiz  kjz|. Если амплитуды Ai(r) зависят от r настолько слабо,
что
выполнены
неравенства
|(1/Ai)Ai/r|

|
ki  kj|, то после усреднения в левой части уравнения (5.68) останутся члены
с i  j. В случае процесса о  о  е в уравнении (5.21) надо положить A  0 и
считать кристалл вырезанным и ориентированным по отношению к падающей
волне так, чтобы A(0)  0. В результате для этого процесса получаем систему
двух уравнений
e{[[, eA]]  i[k[A, e]]  i[A[ke]]  [k[ke]]A  (/c)()eA}
 (2/c){[e: (, 2) : ee + e: (, ) : ee]  A*Aexp[i(2k  k)r]},
(5.23)
e{[[, eA]]  i[k[A, e]]  i[A[ke]]  [k[ke]]A  (/c)()eA}
 (8/c){[e: (2, ) : eeAexp[i(2k  k)r]}.
Из (5.23) следует, что волновая расстройка равна k  k  2k.
Для процесса о  е  е система состоит уже из трех нелинейных уравнений и
волновая расстройка для этого процесса имеет вид k  k  k  k.
Каждое уравнение для взаимодействующих волн описывает изменение с
расстоянием амплитуды поля на одной частоте в зависимости от амплитуд на
других частотах и от разности фаз между волной нелинейной поляризации и
волной второй гармоники.
Коэффициенты нелинейной связи волн в (5.23) определяются посредством
сверток тензоров (, 2), (, ) и (2, ) с единичными векторами напряженностей полей. Причем свертки тензоров (, 2) и (, ) присутствуют
только в виде сверток суммы тензоров (, 2)  (, ). Поэтому экспериментально невозможно отличить коэффициенты нелинейной связи, обусловленные
одиночными свертками (, 2) и (, ).
Спектральные компоненты (, 2) и (, ) функции отклика  ответственны за нелинейную поляризацию на частоте . Сами отклики связаны с
взаимодействием волн на частотах  и 2. Если дисперсия нелинейной восприимчивости невелика, то естественно считать (, 2)  (, )  ().
Это соотношение используется только в определении соответствующего коэффициента нелинейной связи и ни на что другое не влияет. Аналогично можно
переобозначить (2, )  (2).
5.4 Скалярные укороченные уравнения
Система уравнений (5.23) достаточна сложна. Она учитывает дифракцию
волн и анизотропию среды. Мы же считаем, что в процессе нелинейного взаимодействия волн векторы ei не изменяются. Это позволяет получить систему
трех уравнений для скалярных амплитуд A, A и A. В противном случае система состояла бы из девяти уравнений для трех компонент векторных амплитуд E

(r), E(r) и E(r). Для дальнейшего упрощения системы уравнений (5.23)
рассмотрим вектор Умова-Пойнтинга S(c/8)Re[EH*] квазиплоской волны
E(r, t)  eA(r)exp[i(t  kr)]. В свою очередь вектор H определяется из уравнения Максвелла (1/c)H/t   rotE как
H(r, t)  (ic/){[Ae]  [ke]A}exp[i(t  kr)]. (5.24)
Подставив (5.24) выражение для вектора Умова-Пойнтинга получаем
S  (ic/16){[e[Ae]]A*  [e[A*e]]A}  (c/8)[e[ke]]|A|. (5.25)
Предположим, что вклады членов с A (медленно меняющаяся амплитуда) в
вектор S малы, т.е. |[e[Ae]]A*|  |[e[ke]]||A|.
В этом случае S выражается через скалярную амплитуду вектора электрического поля волны
S  (c/8)[e[ke]]|A|, (5.26)
а магнитное поле волны обладает поляризацией, соответствующей плоской волне H(r, t)  (c/)[ke]A(r)exp[i(t  kr)].
Теперь обратимся к уравнению (5.23) с целью его дальнейшего упрощения.
Первый член во всех трех уравнениях [[,eiAi]], содержащий двойную операцию с , описывает дифракцию соответствующей волны в среде. Если в силу
каких-то причин дифракционными явлениями можно пренебречь, например,
взаимодействующие пучки слаборасходящиеся (слабо сфокусированные), или
характерные длины, на которых проявляется дифракция, значительно превосходят длину нелинейного кристалла, то первыми членами во всех трех уравнениях можно пренебречь. Кроме того, в каждом уравнении сумма двух последних
членов перед знаком равенства в силу (5.20) обращается в нуль, а оставшуюся
комбинацию двух слагаемых, очевидно, можно записать в виде ei[ki[Ai, ei]] 
ei[Ai[kiei]]   2[ei[kiei]]Ai.
Таким образом, для процесса о  о  е в данном приближении система двух
уравнений становится
[e[ke]]A  i(2/c)A*Aexp[i(k)r],
[e[ke]]A  i(5/c)Aexp[i(k)r], (5.27)
где   e: () : ee,   e: () : ee.
Уравнения (5.27) являются системамой уравнений первого порядка в частных производных. Если пренебречь сносом e-волн (апертурным эффектом), то
амплитуды волн можно считать зависящами только от координаты z (третье
предположение вывода укороченных уравнений).
Введем следующее обозначение для z-компоненты векторов [ei[kiei]]
[ei[kiei]]z  kibi  binii/c, i  , 2. (5.28)
В (5.28) ni  показатели преломления соответствующих волн. С учетом этого
обозначения и предположения A(r) A(z) уравнения (5.27) перепишутся в виде
dA/dz  i(2k/bn)A*Aexp[i(k)z], (5.30)
dA/dz  i(k/bn)Aexp[i(k)z].
При отсутствии поглощения из уравнений Максвелла следует, что изменение энергии поля, обусловленное нелинейной поляризацией, дается выражением dU/dt   PNLE/t. Сохранение энергии подразумевает отсутствие систематического изменения энергии поля, т.е. усреднение по времени равно нулю <dU/dt>   <PNLE/t>  0
При наличии поглощения т.е. при ()  *() в полученных уравнениях заменим амплитуды волн без поглощения на амплитуды с поглощением, а производную dA/dz  на dA/dz  A в соответствии с линейным законом Бугера. Коэффициент  равен половине энергетического коэффициента поглощения .
Следовательно, уравнения (5.30) в слабо поглощающих кристаллах приобретают вид
dA/dz  A i(2k/bn)A*Aexp[i(k)z],
dA/dz  A  i(k/bn)Aexp[i(k)z]. (5.31)
В общем случае необходимо еще учесть углы анизотропии волн i между векторами Ei и D (bi = cosi), а также углы i между вектором Умова-Пойнтинга iй
волны и осью Z(Ai(z)  exp(iz/cosi)). В этом случае окончательные выражения укороченных уравнений примут вид
dA/dz  A  iA*Aexp[i(k)z],
dA/dz  A  iAexp[i(k)z], (5.32)
А для процесса о  е  е
dA/dz  A  iA*Aexp[i(k)z],
dA/dz  A  iA*Aexp[i(k)z], (5.33)
dA/dz  A  iAAexp[i(k)z];
где коэффициенты нелинейной связи для процесса о  е  е равны
  2k/(ncoscos),   2k/(ncoscos),   2k/(ncoscos),
а для процесса о  о  е -   2k/[ncoscos], 3  k3/[ncos3cos3].
6. ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
6.1. Интегралы движения для генерации второй гармоники
Используем приближение плоских волн для описания процесса генерации
второй гармоники. Это означает, что скалярные амплитуды квазиплоских волн
считаются зависимыми только от продольной координаты z (ось координат z
ортогональна входной и выходной граням нелинейнооптического элемента):
Ai  Ai(z). Данное предположение приводит к отсутствию в укороченных уравнениях поперечного лапласиана, который в квазиоптическом приближении
описывает дифракционные эффекты.
Приведенный ранее вывод укороченных уравнений дает следующую систему уравнений для скалярных амплитуд Ai(z), описывающих в плосковолновом
приближении процесс ГВГ типа o  o  e с учетом линейного поглощения на
частотах  и 2:
dA/dz  A   iAAexp(ikz),
dA/dz  A   iAexp(ikz). (6.1)
Здесь A  A(z), A  Ae(z)  амплитуды первой и второй гармоник;
k  k  2k, k  ke(2), k  ko(),   o()/2,   e(2)/2; o и e  коэффициенты линейного поглощения на частотах  и 2; ,   коэффициенты нелинейной связи волн, которые даются формулами:
  2k/[n()coscos],   2k/[ne(2, k)coscos], (6.2)
где k  2/  /c  волновое число для вакуума; i  угол, который составляет
соответствующий волновой вектор ki с осью z; i  угол анизотропии для iй
волны (для обыкновенной волны   0);   e():ee,   e(2):ee 
эффективные нелинейные коэффициенты.
В том случае, когда частоты  и 2 попадают в область прозрачности кристалла, в силу пространственно-частотных перестановочных соотношений
выполняется условие Клейнмана   .
Очевидно, что для однозначного решения система уравнений (6.1) должна
быть дополнена граничными условиями:
А(0)  А, А(0)  А. (6.3)
В случае процессов ГВГ обычно полагается (реальная экспериментальная
ситуация), что амплитуда 2й гармоники на входе равна нулю: А  0. Поэтому
для ГВГ будем считать, что граничные условия имеют вид:
А(0)  А, А(0)  А  0. (6.4)
Таким образом, процесс ГВГ в одноосных нелинейных кристаллах типа
о  о  е описывается системой двух связанных нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка с граничными условиями (6.4).
Для численного решения и аналитического анализа удобно от комплексных амплитуд перейти к действительным амплитудам аi(z) и фазам i(z), определив их
соотношениями
Аj(z)  aj(z)exp[ij(z)], j  1, 2 . (6.5)
Подстановка (6.5) в (6.1) приводит к следующей системе уже трех уравнений, эквивалентной (6.1):
da/dz  a  aasin  0,
da/dz  a   asin  0, (6.6)
d/dz  k  (2a  a/a)cos  0,
где а(z), a(z)  соответственно действительные амплитуды волн накачки и ВГ;
(z)  обобщенная фаза, определяемая выражением
 (z)  2(z)   (z)  kz. (6.7)
Система уравнений (6.6) дополняется граничными условиями:
a(0)  a, a(0)  a  0, (0)  . (6.8)
Далее рассмотрение различных аспектов процессов ГВГ типа о  о  е будет проводиться на основе системы уравнений (6.6). Заметим, что, если   ,
то система уравнений (6.6) не имеет аналитического решения. Однако, если
дисперсией коэффициентов поглощения на интервале частот (, 2) можно
пренебречь, что обычно соответствует реально используемым на практике нелинейным кристаллам для получения ГВГ, то система уравнений (6.6) может
быть решена аналитически. Поэтому далее будем полагать:
o()  e(2), (   ). (6.9)
При выполнении условия (6.9) систему уравнений (6.6) можно преобразовать к виду, который имеет место в случае отсутствия поглощения. Для этого
используем следующее преобразование:
ui ()  ai(z)exp(z), z  z(), (z)  [1  exp(z)]/ . (6.10)
Как видно из (6.10), новые амплитуды имеют ту же размерность, что и а i(z);
независимая переменная  имеет также размерность координаты z. Очевидно,
что функция (z) осуществляет отображение полупрямой z  [0, ) в отрезок 
 [0, 1/). Учитывая, что
dai /dz  dui /dexp(2z)  ui exp(z), (6.11)
d/dz  exp( z), (dz/d)(d/dz)  1,
d /dz  (d/d)(d/dz)  (d/d) exp( z), (6.12)
получаем систему уравнений для преобразованных амплитуд:
du/d  uusin  0,
du/d   usin  0, (6.13)
d/d  kexp(z)  (2u  u/u)cos  0.
Граничные условия принимают вид:
u(0)  a(0)  a, u(0)  a(0)  a  0, (0)  . (6.14)
При исследовании системы уравнений (6.6) или эквивалентной ей (6.13)
следует выделить два случая: когда волновая расстройка k  0 и k  0.
При выполнении условия фазового синхронизма (k  0) система уравнений
(6.13) имеет два интеграла движения. Первый интеграл следует из первых двух
уравнений системы: умножая первое уравнение на u, а второе на u и складывая их, находим первый интеграл движения:
I()  u()  u()  const. (6.15)
Этот интеграл можно переписать в виде:
I()  [a(z)  a(z)]exp(2z)  const. (6.16)
Из вида (6.15) (либо (6.16)) следует, что первый интеграл движения носит энергетический характер. Очевидно, что интеграл I существует и в случае
k  0, так как он обусловлен только видом первых двух уравнений и никоим
образом не связан с видом третьего уравнения для обобщенной фазы (z).
Второй интеграл движения обусловлен видом уже всех уравнений системы.
Подставляя в третье уравнение системы (6.13) выражения для u() и u() соответственно из первого и второго уравнений, получаем
d/d  [(2/u) du/d  (1/u) du/d)]ctg  d[ln(u u)]/dctg.
Так как tgd/d   dlncos/d, то находим (d/d)ln(uucos)  0,
откуда и следует второй интеграл системы (6.33) при выполнении условия фазового синхронизма
I()  u()u()cos  const. (6.17)
Таким образом, система уравнений (6.6) при       и k  0 имеет два
интеграла движения:
I(z)  [ a(z)  a(z)]exp(2z)  const,
I(z)  a(z)a(z)cos(z)exp(3z)  const. (6.18)
Интегралы движения I и I могут служить критерием точности численных
расчетов. Из вида интеграла I следуют некоторые важные выводы. Если на границе z    0 хотя бы одна из амплитуд а(0), а(0) обращается в нуль (обычно
это амплитуда 2й гармоники), то I(z)  0, но так как амплитуды а(z) и а(z) не
могут быть тождественно равны нулю на всей длине кристалла, то cos(z)  0,
т. е. (z)   /2.
Итак, при специальном выборе граничных условий имеем
1) а(0)  0, a(0)  0, (z)  /2;
2) а(0)  0, a(0)  0, (0)  /2; (z)  /2,
т. е. обобщенная фаза  (z) в этих случаях сама является интегралом движения.
В случае отсутствия фазового синхронизма k  0, также существует интеграл движения I(z), в который входят лишь амплитудные функции. Получение
интеграла движения, зависящего также и от обобщенной фазы (z), требует
громоздких выкладок, которые приводить не будем. Окончательное выражение
для интеграла I(a(z),a(z), (z)) при наличии поглощения имеет следующий
вид
I(z)  I(z)exp(3z)(k/2)aexp(3z)dz  const,
I(z)  cos(z)a(z)a(z)/  a(z)k/2. (6.19)
Вопрос о существовании интегралов движения укороченных уравнений (6.6)
при наличии дисперсии поглощения (  ) и волновой расстройки
k  0 требует отдельного исследования и здесь не рассматривается.
6.2. Аналитические решения системы укороченных уравнений
Рассмотрим некоторые случаи аналитического решения системы укороченных уравнений (6.6). Как уже указывалось, аналитические решения существуют
при отсутствии поглощения (    0) или его дисперсии. Поэтому положим
    , (o()  e(2)). (6.20)
Кроме того, поскольку решения (6.6) в существенной мере зависят от параметров , k и граничных условий ao, ao и (0), выделим отдельно случаи, когда
волновая расстройка k  0 и k  0.
В случае k  0 вместо (6.6) удобно использовать систему уравнений (6.13)
при k  0
du/d  uusin  0,
du/d   usin  0, (6.21)
d/d  (2u  u/u)cos  0.
Система уравнений (6.21) формально совпадает с системой уравнений, описывающей ГВГ в отсутствие потерь, связанных с линейным поглощением (  
 0). Следовательно, решая эту систему и производя затем обратную замену
переменных (6.10) в конечном результате, можно точно учесть линейное поглощение без дисперсии.
Сначала обсудим качественное поведение решений системы уравнений
(6.21). Ранее было показано, что система уравнений (6.21) имеет два интеграла
движения (6.15) и (6.17). Значения этих интегралов движения выражаются через граничные значения для амплитуд u(0), u(0) и обобщенной фазы (0) на
входной грани нелинейного кристалла. Первый интеграл движения (6.15) удобно переписать в виде
I()  u()  u()  U, (6.22)
где константа U определяется из выражения
U  u(0)  u(0). (6.23)
Исключая с помощью (6.22) из (6.21) амплитуду u(), получаем:
du/d  (U  u)sin,
d/d  (/u)(U  3u)cos. (6.24)
Качественный анализ процесса ГВГ при различных граничных условиях на
входной грани нелинейного кристалла очень удобно проводить с помощью понятия фазового портрета. Для этой цели введем фазовую плоскость, точки которой в полярной системе координат задаются полярным радиусом  амплитудой
второй гармоники u() и азимутальным углом  обобщенной фазой (). При
этом прямоугольные декартовы координаты, очевидно, выражаются через u и
 следующим образом: y  usin, x  ucos. В кристалле на расстоянии z() от
входной грани амплитуда ВГ имеет значение u(), а обобщенная фаза процесса
есть (). Следовательно, каждой точке фазовой плоскости ставятся в соответствие определенные значения амплитуды ВГ и обобщенной фазы. Точка A называется изображающей точкой процесса ГВГ на фазовой плоскости (рис. 6.1).
usin
A
()
Рис. 6.1. Фазовая плоскость для процесса генерации второй гармоники
Распространению взаимодействующих волн в нелинейном кристалле соответствует перемещение изображающей точки по некоторой кривой на фазовой плоскости. Эту кривую называют фазовой траекторией. Множество фазовых траекторий образует фазовый портрет процесса ГВГ.
Рассмотрим фазовый портрет процесса ГВГ при точном соблюдении синхронизма для полубесконечного непоглощающего кристалла (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Фазовый портрет процесса ГВГ в при точном синхронизме
Пусть граничные условия соответствуют точке 0 (u(0)  0). Это означает,
что ВГ на входе нелинейного кристалла отсутствует. Тогда согласно (6.22) име-
ем u(0)  U(/), а из выражения (6.17) для второго интеграла движения получаем
u()u()cos  0. (6.25)
Очевидно, что в данном случае амплитуды u и u не могут быть равными тождественно нулю (u(0) максимальна, а u равна нулю только в точке 0 фазовой
плоскости). Поэтому из (6.25) следует, что фазовая траектория, проходящая через точку 0, описывается уравнением cos  0.
Значение   /2 соответствует отрезку 0A, а   3/2  0Aна рис. 6.2.
Таким образом, фазовая траектория, проходящая через точку 0 фазовой
плоскости, есть отрезок прямой AA. На концах отрезка (в точках A и A) амплитуда ВГ достигает своего максимального значения u  U, а следовательно,
u  0. Предположим теперь, что граничные условия соответствуют точке B и
равны: u  U, (0)  0. Тогда из (6.23) следует u  0; на входе нелинейного кристалла присутствует только вторая гармоника. Поскольку при u   0 и I

  0, то выполняется соотношение (6.25). При этом ни u, ни cos не могут
тождественно обращаться в нуль. Следовательно, u()  0, а из (6.22) получаем
u()  U.
Тогда фазовая траектория, проходящая через точку B, есть окружность радиуса
U. В силу того, что U  u(), данная фазовая траектория является в определенном смысле граничной, т.е. все остальные фазовые траектории при заданном
значении U могут находиться только внутри указанной окружности.
Далее рассмотрим так называемые пространственно стационарные волны,
которые соответствуют решению системы (6.24) при выполнении условий du/d
  0, d/d  0. При этих условиях (6.22) распадается на два соотношения sin
()  0, u()  U/.
На фазовой плоскости этому решению отвечают две точки: u  U/,   0
и u  U/,    (на рис. 6.2 они обозначены как точки C). Эти точки называются фазовыми центрами. Если на входе нелинейного кристалла вторая гармо-
ника оказывается в точке C фазовой плоскости, то она будет оставаться в этой
точке и в дальнейшем. При этом u и u, а также фаза  постоянны по всей длине нелинейного кристалла. Из (6.22) следует, что u  u(2/).
Отметим, что рассмотренные пространственно стационарные волны часто
характеризуются стационарным профилем, распространяющимся в нелинейной
среде без изменения (так называемые солитонные волны или солитоны).
Кроме рассмотренных траекторий все остальные являются замкнутыми, обходящими соответствующий фазовый центр. Эти фазовые траектории отвечают
общим граничным условиям: на входе нелинейного кристалла одновременно
присутствуют и волна накачки, и волна ВГ (u(0)  0, u(0)  0,   /2, 3/2). На
рис. 6.2 они обозначены тонкими линиями (траектории 1, 2, 3). Эти траектории
описывают пространственные пульсации амплитуд u и u.
Толстыми линиями на рис.6.2 показаны фазовые траектории, которые выделяют области фазовой плоскости с разными центрами. Совокупность таких линий (в нашем случае это отрезок AA и окружность радиуса U) называют сепаратрисой (разграничивающей фазовой траекторией), а точки A и Aсепаратрисы  седловыми точками.
Таким образом, анализ фазового портрета процесса ГВГ позволяет понять
качественное поведение решений системы укороченных уравнений даже без
знания для нее точных аналитических или численных решений.
Теперь рассмотрим случаи, когда существуют аналитические решения системы укороченных уравнений.
В случае отсутствия второй гармоники на входе нелинейного непоглощающего кристалла u(0)  0 и, следовательно, cos  0. Пусть изображающая
точка "движется" по участку 0A сепаратрисы, тогда и система уравнений (6.22)
сводится к одному уравнению для амплитуды второй гармоники
du/d  (U  u), (6.26)
с граничным условием u(0)  0.
Решение (6.21), удовлетворяющее (6.22), выражается через гиперболический
тангенс
u()  Uth(U). (6.27)
Учитывая U  u(0)(/), перепишем (6.27) в более удобном виде
u()  u(0)(/)th[()u(0)]. (6.28)
Очевидно, для амплитуды накачки в этом случае справедливо выражение
u()  u(0)/ch[()u(0)]. (6.29)
Поведение решений (6.28) и (6.29) показано на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Зависимость нормированных амплитуд накачки и ВГ от относительной
длины кристалла
Как видно на рис.6.3, эффективная перекачка энергии от волны накачки к
волне ВГ происходит на длине порядка Lнл  [()u(0)], которая называется длиной нелинейного взаимодействия. В рассматриваемом случае процесс
перекачки энергии к ВГ происходит систематически и поэтому необратим. Полная перекачка энергии наступает лишь при   . Но, практически это происходит при длинах кристалла, равных нескольким Lнл.
На фазовом портрете необратимый характер процесса перекачки энергии от
волны накачки к волне ВГ подразумевает движение изображающей точки строго по сепаратрисе 0A. Однако в действительности это движение неустойчиво в
силу различных случайных факторов. Поэтому движение изображающей точки
сбивается с сепаритрисы 0A на одну из близко расположенных к ней замкнутых фазовых траекторий, помеченных на рис. 6.2 пунктирной линией. Сбивание
происходит уже из-за того, что амплитуда ВГ на входной грани нелинейного
кристалла даже при отсутствии падающей волны ВГ практически никогда не
равна нулю. Данное обстоятельство имеет теоретическое обоснование и подтверждено экспериментально присутствием перед входной границей нелинейного кристалла так называемой отраженной волны, которая возникает за счет
излучения ВГ из приграничного слоя нелинейного кристалла. Однако на практике амплитуду ВГ u(0) обычно полагают равной нулю, поскольку она намного
меньше значения амплитуды волны накачки u(0).
Заметим, что если длина кристалла   Lнл, то (6.28) можно разложить в ряд
по безразмерному параметру /Lнл
u()  u(0)(/){(/Lнл) + o[(/Lнл)]}. (6.30)
Первый член этого разложения дает решение для амплитуды ВГ в приближении
заданного поля u()  u(0).
Из (6.30) следует критерий применимости заданного поля: длина кристалла
должна быть значительно меньше длины нелинейного взаимодействия   Lнл.
Для получения аналитического решения при произвольных граничных условиях u(0), u(0) и (0) обратимся ко второму уравнению в системе уравнений
(6.24):
d/du  [(U  3u)/u(U  u)]ctg. (6.31)
Учитывая d   dcos/sin, перепишем (6.31) в виде
 dcos/du  [(U  3u)/u(U  u)]cos. (6.32)
Это уравнение является линейным и однородным уравнением относительно
функции cos. Его решение можно представить так cos  C/[u(U  u)], где
C  постоянная интегрирования, которая выражается через граничные значения
для cos() и u(). Подставляя (6.32) в первое уравнение (6.24), находим
udu/d   [u(U  u)  C]. (6.33)
Здесь знак плюс или минус выбирается в соответствии со знаком sin в (6.24).
Далее вводя обозначения: y  (u/U), x  U, C  C/U и используя их в
(6.33), имеем
dx   [y(1  y)  C]dy. (6.34)
Интегрируя это выражение по y в интервале [0, x], получаем
x   [y(1  y)  C]dy. (6.35)
Выражение (6.35) в неявном виде определяет амплитуду второй гармоники.
Рассмотрим более подробно подынтегральное выражение. Можно убедиться,
что корни кубического уравнения
y(1  y)  C  0 (6.36)
при 0  C  4/27 вещественны и положительны. При таких значениях константы C кубический многочлен можно записать в виде
y(1  y)  C  (y  y)(y  y)(y  y), (6.37)
где y, y и y  корни уравнения (6.36), причем y  y  y. В этом случае интеграл (6.35) запишем так
x   [(y  y)(y  y)(y  y)]dy. (6.38)
Теперь в этом интеграле введем новую переменную (x)  (y  y)/(y  y)
и параметр f  (y  y)/(y  y); в результате получаем

x   [(1  )(1  f)]d. (6.39)
Амплитуда ВГ u(), определяемая интегралом (6.39), выражается через эллиптическую функцию Якоби  эллиптический синус
u()/U  y  (y  y)Sn[U(y  y)(  )], (6.40)
где константа  определяется граничными условиями. В рассмотренном ранее
частном случае u0  0 имеем   0 (C  0, y  0, y  y  1) и выражение
(6.40) переходит в (6.28). С помощью первого интеграла движения (6.22) и
(6.40) определяется амплитуда волны накачки u().
Отметим, что на фазовой плоскости решениям (6.40) соответствуют замкнутые траектории, обходящие тот или иной фазовый центр. Пульсации амплитуд
волн накачки и ВГ носят периодический характер по длине
кристалла и обусловлены общими граничными условиями (u(0)  0, u(0)  0 и
(0)  /2, 3/2). Это непосредственно видно из (6.40), так как эллиптический
синус является периодической функцией по длине кристалла с периодом,
определяемым эллиптическим интегралом 1-го рода.
6.3. Эффективность преобразования во вторую гармонику
Получим выражение для эффективности (КПД) процесса ГВГ, пригодное
как при численном решении системы укороченных уравнений (6.6) с учетом линейного поглощения, так и в случаях существования аналитических решений.
Рассмотрим нормальное падение волны накачки. Будем считать, что коллинеарный фазовый синхронизм типа о  o  е также реализуется при нормальном падении накачки. Это означает, что угол среза кристалла  равен углу синхронизма qc.
В общем случае КПД преобразования  определяется как отношение мощности волны 2й гармоники Р(2) на выходе нелинейного кристалла к мощности Р() волны накачки на входе кристалла   P(2)/P().
Поскольку процесс генерации ВГ рассматривается в плосковолновом приближении, т. е. амплитуды волн считаются одинаковыми в поперечном сечении
пучков на частотах  и 2, а сами пучки неограниченными, поэтому в этом
случае КПД процесса ГВГ можно определить как отношение плотностей мощностей волн ВГ и накачки:
  S(l0, 2)/S(0, ). (6.41)
В формуле (6.41) плотность мощности определяется как модуль вектора
УмоваПойнтинга:
S(z, ')  (c/8)a(z, ')n('), (6.42)
где '  , 2,   индекс поляризации волны.
Отметим также, что в (6.41) S(l0, 2) обозначает плотность мощности волны ВГ непосредственно за выходной гранью кристалла, а S(0, )  плотность
мощности волны накачки перед входной гранью кристалла. Эти обозначения
обусловлены тем, что обычно (при отсутствии просветляющих покрытий на частотах  и 2) плотность мощности терпит разрыв при переходе через границу
раздела сред. Подставляя в (6.41) соответствующие плотности мощности из
(6.42), получаем для КПД:
  a(l0, 2)/a(0, ), (6.43)
т. е. КПД выражается через внешние амплитуды волн ВГ и накачки.
Однако при численном интегрировании системы укороченных уравнений
(6.6) вычисляются внутренние амплитуды волн, поэтому удобнее (6.43) выразить через эти значения амплитуд. С учетом влияния реальных границ кристалла для плотности мощности ВГ можно записать
S(l0, 2)  Te(2)S(l0, 2)  (c/8)a( l )ne(2, q ), (6.44)
а для волны накачки соответственно: S(0, )  T()S(0, ).
Тогда для КПД преобразования получаем формулу
  T()Te(2)ne(2, q )a(l)/n()a(0), (6.45)
где а(0)  амплитуда оволны на частоте накачки , понимаемая как предел
справа. Амплитуда а(0) связана с реально измеряемой плотностью мощности
накачки S(0, ) соотношением
а(0)  {8T()S(0, )/n()c}. (6.46)
Подчеркнем, что значение амплитуды а(0) является как раз граничным
условием для амплитуды оволны а(z) при численном интегрировании системы уравнений (6.6). Коэффициенты пропускания Т() и Тe(2) определяются
по формулам для нормального падения
T()  4n()n()/[n()  n()], (6.47,а)
Te(2)  4ne(2, q )n(2)/[ne(2, q )  n(2)]. (6.47,б)
Показатель преломления ne(2, q) определяется по формуле
ne(2, q )  n(2)ne(2)/{n(2)  [ne(2)  n(2)]cos}. (6.48)
Следует также отметить, что КПД преобразования, определяемый по (6.45),
нужно понимать как КПД преобразования нелинейнооптического элемента.
Если КПД определять по соответствующим внутренним плотностям мощности,
т. е. согласно выражению:
'  ne(2, q )a( l )/n() a(0), (6.49)
то в этом случае нужно говорить о КПД преобразования собственно нелинейно
оптического процесса, протекающего только внутри кристалла. Сравнение
(6.92) и (6.88) дает связь:
  T()Te(2)', (6.50)
из которой вытекает, что  и ' совпадают лишь при идеальном просветлении
торцов кристалла (Т()  Тe(2)  1).
При проведении конкретных расчетов показатель преломления ne(2, q)
можно заменить на главное значение показателя ne(2) ввиду малого двулучепреломления реальных нелинейных кристаллов. Формула (6.48) может использоваться при малых углах падения i, так как в этом случае коэффициенты пропускания мало отличаются от коэффициентов для нормального падения. В этом
случае на КПД значительное влияние оказывает появление волновой расстройки k за счет отклонения падающего пучка от нормали q, если считать, что синхронизм выполняется для нормального падения волны накачки.
Сделаем также замечание об использовании формулы (6.42). При написании
(6.42) предполагается, что кристалл является слабо анизотропным, и поэтому
выражение для вектора УмоваПойнтинга необыкновенной волны ВГ берется в
таком же виде, что и для обыкновенной волны накачки. Это означает, что волновой вектор ke(2) параллелен вектору УмоваПойнтинга Sе(2), т. е. фактически пренебрегают эффектом сноса пучка второй гармоники, что допустимо
при условии, когда апертурная длина кристалла больше геометрической длины
кристалла l  l, (l  a/), где l  длина кристалла, l  апертурная длина, а 
апертура кристаллического элемента,   угол анизотропии для необыкновенной волны ВГ.
6.4. Приближения заданной интенсивности и заданного поля
Ввиду широкого распространения компьютеров, получение решений уравнений в аналитическом виде перестало быть актуальной задачей. Вместе с тем,
всегда полезно иметь замкнутые аналитические выражения, получаемые в рамках определенных приближений. В связи с этим обсудим приближения заданной интенсивности и заданного поля, позволяющие написать достаточно простые формулы для КПД генерации второй гармоники. Эти формулы могут использоваться для сравнения с численными расчетами.
Для получения формул в приближении заданной интенсивности для волны
накачки на частоте  будем исходить из системы укороченных уравнений (6.1).
Дифференцируя их по z и вновь используя исходные уравнения (6.1), получим
dA/dz  (2    ik)dA/dz  (    ik)A  A(|A|   |A| ) 0,
dA/dz  (2    ik)dA/dz {(2  ik)  2 |A|}A  0. (6.51)
Таким образом, исходная система уравнений (6.1) преобразуется в систему 2
связанных нелинейных обыкновенных уравнений, но уже 2го порядка.
Уравнения системы (6.51) легко поддаются линеаризации, если предположить, что |A| является либо константой, либо заданной функцией:
1) |A|  a(0)  const, но   const, A(z)  a(z)exp[i(z)];
2) |A|  f(z)  const и   const.
Обычно под приближением заданной интенсивности накачки понимают следующую ситуацию:
|A|  a(0)  I  const, (z)  const . (6.52)
С учетом (6.52) уравнение для комплексной амплитуды второй гармоники
перепишется в виде однородного уравнения с постоянными коэффициентами:
dA/dz  (2    ik)dA/dz  {(2  ik)  2 I}A  0. (6.53)
Уравнение (6.53) легко решается, например, с помощью метода характеристик и при граничных условиях A(0)  0, dA/dz(0)  i A(0)
для интенсивности 2й гармоники получаем
I(z)  |A(z)|  2I exp[(2  )z]{ch(uz)  cos(vz)}/(u  v). (6.54)
Здесь u и v выражаются через дискриминант D характеристического уравнения
и его фазу :
u  |D|cos(/2); v  |D|sin(/2),
|D|  (X  Y),   arctg(Y/X),
X  (2  )  (k)   8 I , (6.55)
Y   2k(2  ).
Решение (6.54) справедливо, когда |D|  0. Если же X  Y  0, то выражение
(6.54) становится таким:
I(z)  |A(z)|  I z exp[(2  )z]. (6.56)
В результате простых преобразований получаем выражения для КПД
(z)  T()Te(2)2dS()exp[(2  )z]
{ch(uz)  cos(vz)}/{|D|ne(2, q)n()c} (6.57)
При |D|  0 в формуле (6.57) надо сделать предельный переход и в результате
заменить {ch(uz)  cos(vz)}/ |D| на z/2 .
Теперь обсудим приближение заданного поля накачки: A(z)  A(0)  const.
В этом случае вместо системы укороченных уравнений рассматривается только
уравнение для второй гармоники, которое в данном приближении принимает
следующий вид
dA/dz  A   iA(0)exp(ikz). (6.58)
Путем замены функции A(z)  Q(z)exp(z) в (6.58) получаем уравнение
dQ/dz   iA(0)exp[(  ik)z], (6.59)
которое при начальных условиях Q(0)  A(0)  0 имеет простое решение
Q(z)   iA(0){exp[(  ik)z]  1}/(  ik). (6.60)
Используя (6.60), выражение для амплитуды второй гармоники можно записать в таком виде
A(z)   i A(0)exp( z/2)exp( ikz/2)
{exp[(  ik)z/2]  exp[(  ik)z/2]}/(  ik). (6.61)
Формулу для КПД в приближении заданного поля накачки легко получить с
учетом выражения для амплитуды (6.61)
(z)  T()Te(2)2 d S()exp( z)
{ch( z)  cos(k z)}/{[  (k) ]ne(2, q)n()c}. (6.62)
Если же   k  0, то в выражении (6.62) надо сделать замену
{ch( z)  cos(k z)}/[  (k)] на z/2 .
7. ДРУГИЕ НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ
7.1 Генерация суммарной частоты.
Продолжаем рассматривать нелинейные эффекты, связанные с взаимодействием трех волн в среде с квадратичной нелинейностью. Мы рассмотрели
случай, когда две взаимодействующие падающие волны имели одинаковую частоту ω, а в качестве среды мы брали отрицательный одноосный кристалл и на
выходе получали волну на удвоенной частоте. Но, генерация второй гармоники
представляет собой лишь частный случай более общего нелинейного процесса
взаимодействия волн – генерации суммарных и разностных частотах (смешение
волн). Возможны два типа взаимодействия: оо-е, и ое-е, различие этих режимов
и условия генерации для обоих случаев были рассмотрены выше.
Рис.7.1. Схема генерации суммарной или разностной частоты
Теперь рассмотрим оо-е взаимодействие в одноосном кристалле, когда
падающие волны имеют различные частоты ω1 и ω2, а на выходе стремимся получить генерацию на суммарной частоте  3   2  1 . При решение этой задачи
будем пользоваться некоторыми результатами полученными при рассмотрении
эффекта генерации второй гармоники, модифицируя их для этой более общей
задачи. Условиями эффективного взаимодействия в данном случае будут:
 3   2  1 , k 3  k 2  k 1 (7.1)
Если рассматривать коллинеарное взаимодействие то условие на показатели
преломления на различных частотах будет иметь вид:
n( 3 ) 
 2 n( 2 )   2 n( 1 )
(7.1)
3
В случае взаимодействия трех волн плоских волн выражение для нелинейной

части поляризации P
( 2)
выглядит:
(2)
P
3
(2)

EE
i ( t  k r )
, где E  ￥Ai e i i (7.2)
i 1
Оставим только слагаемые отвечающие за эффект генерации суммарной
частоты, и воспользовавшись приближениями плоских, монохроматических,
медленно меняющихся при распространении волн, получим укороченные
уравнения:
dA1

 i 1 1 A2 A3
dz
n(1 )
dA2
2
 i 2
A1 A3 (7.3)
dz
n( 2 )
dA3
3
 i 3
A2 A1
dz
n(3 )
(2)
где  i  2 ljk (i ) ,
Найдем интегралы движения, то есть получим законы сохранения аналогичные
тем, которые были получены при рассмотрении генерации второй гармоники:
I 1  I 2  I 3  I   const , где
Ii 
cn(i )
Ai
2
2
(7.4)
Переходя от интенсивности к плотности потока квантов получаем:
N 1 1  N 2 2  N 3 3  const (7.5)
Из этого соотношения, используя условие  3   2  1 и условие независимости
изменения частот легко получить следующие законы сохранения:
N 1  N 3  const , N 2  N 3  const , N1  N 2  const (7.6)
Причем только два из них являются независимыми. Эти соотношения
называются соотношениями Мэнли-Роу. Они отражают тот факт, что на один
фотон на частоте ω3 приходятся по одному фотону на частоте ω1 и ω2.
Сделаем следующие замены переменных:
1

2
1 2 3
2
 z
  2 I 1 / 2  ( 2 ) (2c)1 / 2 
c
 n(1 )n( 2 )n( 3 ) 
1
U i e i i
 cn( i ) 1  2
 i
 

2

I
i
 

   3   2  1
В новых переменных укороченные уравнения перепишутся, как:
dU 1
 U 3U 2 sin 
dz
dU 2
 U 1U 3 sin  (7.7)
dz
dU 3
 U 1U 2 sin 
dz
d
d
 c1ctg
ln(U 1U 2U 3 ) , где c 1  const
d
d
Из последнего уравнения сразу видно: U 1U 2U 3  const  0 , так как на
входе U 3  0  это достигается, когда cos   0 , т. е.    / 2
Тогда используя то, что sin   1 , получаем решение в виде эллиптического
интеграла Якоби:

U (0) 
U 32 ( )  U 22 (0) sn 2 U 1 (0) , 2  (7.8)
U 1 (0) 

U 2 (0)
Видно, что решение зависит от соотношения U (0)
1
U 2 (0)
В том случае, если U (0) <<1, то:
1
U 32  U 22 (0) sin 2 (U 1 (0) )
U 22  U 22 (0)(1  sin 2 (U 1 (0) )) (7.9)
U 12  U 12 (0)  U 22 (0) sin 2 (U 1 (0) )
Таким образом, в этом случае мы получили, что U 3 << U 1
U 2 (0)
Если же U (0) ~1, то:
1
U 32  U 12 (0)th 2 U 1 (0)  (7.10)
U 12  U 22  U 12 (0) sec h 2 U 1 (0)  (7.11)
В этом случае получаем, что все амплитуды близки.
7.2. Повышение частоты вверх (ап-конверсия)
Одним из практически важных частных случаев генерации излучения
суммарной является ап-конверсия или преобразование частоты вверх.
Физическая интерпретация генерации излучения суммарной частоты заключается в том, что лазерные пучки с частотами  и , взаимодействуя в нелинейном кристалле, генерируют нелинейную поляризацию на суммарной частоте. Эта поляризация служит источником излучения на частоте     .
В общем случае излучение суммарной частоты может происходить во всех
направлениях. Поле излучения зависит от коррелированного по фазе пространственного распределения нелинейной поляризации. Выбором геометрии
эксперимента можно сформировать острый пик излучения в определенном
направлении
фазового
синхронизма,
определяемом
из
условия
k  k  k. Формально, уравнения описывающие этот нелинейный процесс на
языке комплексных амплитуд, имеют тот же вид, что и для любого трехчастотного процесса.
Отличительная черта преобразования частоты вверх  специфическая постановка граничных условий при решении этих связанных нелинейных уравнений. Обычно в этом случае при сложении частот от двух источников с частотами  и  мощность одного из них, например на частоте , значительно превосходит мощность второго источника на частоте  и первоначально излучение на частоте  отсутствует.
Особый интерес к этому нелинейному процессу связан с его возможным
использованием для регистрации слабого инфракрасного излучения () путем
преобразования к частотам видимого диапазона. Для регистрации излучения на
частотах видимого диапазона существуют малошумящие детекторы. Кроме
того, при таком способе регистрации инфракрасного излучения приборы  лазерный источник () и фотоумножитель () работают при комнатной температуре, в то время как для чувствительных инфракрасных детекторов, как правило, необходима температура от 4,2 до 77 K.
Таким образом, преобразователь частоты вверх состоит из мощного лазера накачки, нелинейного кристалла и фотоумножителя. Излучение накачки вводится в кристалл вместе с инфракрасным излучением, которое подлежит регистрации. Оба пучка взаимодействуют в кристалле, и сигнал на суммарной частоте после фильтрации детектируется фотоумножителем.
В приближении, когда dA/dz  0, A(z)  A(0), A(0) 0 и поглощение отсутствует, можно записать выражение для КПД генерации волны на частоте 
  2L2d2|A|/(nnn). (7.12)
Максимальное преобразование с повышением частоты соответствует случаю
превращения всех входных фотонов на частоте  в фотоны с частотой . Мы
не будем останавливаться на различных аспектах регистрации инфракрасного
излучения, связанного с его модовым составом и модами лазера накачки и возникающими при этом вопросами фазового синхронизма. Обратим внимание
только на особенность процесса преобразования частоты вверх, связанную с
преобразованием изображений.
Во многих нелинейно-оптических устройствах должно выполняться
условие скалярного фазового синхронизма k  k  k. В преобразователе
изображений используется векторная форма условия фазового синхронизма. В
этом случае информация об изображении правильно передается от входа на
инфракрасной частоте к излучению на суммарной частоте на выходе
преобразователя. Если предмет считать находящимся на бесконечности, то
информацию об облике предмета можно представить как суперпозицию
плоских волн с различными направлениями векторов k. Другими словами,
информация о пространственном распределении интенсивности на предмете
претерпевает Фурье-преобразование и превращается в информацию об угловом
распределении.
Затем
информация
об
угловом
спектре
предмета
непосредственно перекладывается на излучение суммарной частоты.
7.3 Генерация разностной частоты в терагерцовый диапазон.
Терагерцовый (ТГц) диапазон занимает место между микроволновой и
инфракрасной частью электромагнитного спектра, что соответствует области
частот 1010–1014 Гц. Эта область спектра продолжает оставаться наиболее неосвоенной как в смысле утилизации ее в фундаментальных исследованиях в оптике, так и в большом количестве смежных научных дисциплин и технологических приложений. Необходимость освоения ТГц диапазона обуславливается рядом причин.
Большинство характерных спектральных особенностей различных конденсированных сред (твердые тела, жидкости, биомедицинские ткани, водные
растворы, комплексные макромолекулы), характеристические энергии связи
различных инородных включений в конденсированных средах попадает именно
в ТГц диапазон. Эти особенности могут быть использованы в качестве селективной диагностической специфичности, спектральной специфичности, в раз-
личных применениях ТГц технологии. Это существенным образом отличало бы
ТГц диагностику от существующих методов (рентгеновская, ультразвуковая и
магниторезонансная томографии), где в качестве тестируемой специфичности
используется локальное значение такой усредненной характеристики, как плотность вещества (рентген и ультразвук), концентрация спинов (магниторезонансная томография) и т.п.
ТГц излучение испытывает значительно меньшую эффективность Релеевского рассеяния (-4), нежели излучения инфракрасного и видимого диапазонов. В то же время, ТГц излучение сохраняет большое преимущество над микроволновым диапазоном длин волн в пространственном разрешении, определяемым критерием Аббе. Большое количество сред обладает значительно меньшими коэффициентами поглощения в ТГц диапазоне по сравнению с характеристиками ближнего инфракрасного и видимого излучения.
Свойства спектральной специфичности ТГц диагностики определяют ее
важность с точки зрения различных применений в технологиях безопасности,
биомедицинских технологиях, фармацевтике, нанотехнологиях, микро- и наноэлектронике, мониторинга климата, решения задач астрономии, космических
исследованиях, связи и многих других областях.
Проблема построения практических систем, работающих в ТГц области
спектра, обусловлена рядом факторов. Область частот ТГц диапазона соединяет
две спектральные области с совершенно различными физическими принципами
построения приборов. В области микроволн (частоты меньше 1010 Гц) — электроники — приборы строятся на принципах электронного транспорта носителей заряда. Сам принцип транспорта носителей налагает фундаментальное
ограничение на верхнюю частоту функционирования электронных устройств,
обусловленное временем пролета носителя заряда между электродами и постоянной времени, связанной с размерами и сопротивлением, как самого прибора,
так и контактных элементов. Это принципиально ограничивает применение таких устройств в будущих компьютерах и других важных применениях, требующих проникновения в область ТГц и смежных с ней частот. С другой стороны,
в видимом и инфракрасном диапазоне (частоты больше 1014 Гц), области фотоники, приборы и устройства основаны на квантово-механических принципах —
переходах между активными энергетическими уровнями и явлении симулированного излучения. Так для функционирования как лазера, оптического квантового генератора, так и квантового детектора важным является обеспечение
необходимой разности заселенностей. Определяющее влияние на этот параметр
оказывает средняя тепловая энергия — kT-фактор. В ТГц диапазоне величина
этого параметра превышает энергетические расстояния между активными энергетическими уровнями, что делает весьма проблематичным использование
принципов фотоники для построения твердотельных и полупроводниковых ТГц
систем, функционирующих при комнатной температуре. Даже если и удастся
создать твердотельный лазер ТГц диапазона, работающий при комнатной температуре, создание ТГц квантового детектора представляет собой едва ли
преодолимую задачу из-за воздействия подавляющего фона окружающего теплового излучения. Окружающий фон теплового излучения неизбежно будет
ограничивать пороговые характеристики ТГц детектора. Вследствие этого использование в ТГц диапазоне детектирующих устройств, построенных на принципах фотоники будет требовать криогенных температур, что делает практическое использование малопродуктивным. Существующие другие возможности
реализации источника ТГц излучения с использованием материальных систем,
в которых релаксация инверсной заселенности вследствие kT-фактора менее
эффективна, такие как газовые молекулярные лазеры с оптической накачкой,
или электровакуумные приборы, использующие движение электронов в электрических и магнитных полях (лампы обратной волны) не обладают нужными
спектральными, временными характеристиками и возможностью широкополосной и плавной перестройки частоты излучения. Устройства, подобные лазеру
на свободных электронах или синхротрону, позволяющие получить достаточно
мощное ТГц излучение, являются очень дорогими проектами, как правило, национального значения и масштаба (например, ЛСЭ Института ядерной физики
СО РАН, г. Новосибирск), и, конечно, не могут претендовать на применения,
требующие компактности и мобильности ТГц систем.
Решение проблемы практической утилизации уникальных возможностей
ТГц диапазона относительно недавно проявилось и стало практически реальным с использованием методов и явлений когерентной и нелинейной оптики,
прежде всего генерации разностной частоты. Так, при распространении ультракороткого лазерного импульса длительностью от единиц до несколько десятков
фемтосекунд ( 10-14 c) через нелинейный кристалл выбранной симметрии и состава в результате когерентных биений частотных компонент ультракороткого
импульса удается получить достаточно мощное ТГц излучение (до 100 Вт в
пике).
Большим преимуществом когерентных методов является также и
возможность реализовать очень чувствительный когерентный ТГц детектор,
основанный на динамическом электрооптическом эффекте Покельса или
динамическом электрооптическом эффекте Керра. Использование нелинейных
кристаллов и новых нелинейных материалов, фотопроводящих микроантен и
технологий фемтосекундных лазерных импульсов открывает ряд возможностей
по заимствованию методов микроволновой техники и модификации их к
применениям когерентной широкополосной ТГц технологии. Все это подводит
к уникальной возможности построить устройство, замкнутое на одном
принципе
—
когерентного
нелинейно-оптического
преобразования
и
детектирования ТГц излучения. Более того, эти методы позволяют не просто
детектировать амплитуду излучения, прошедшего или отраженного от объекта,
но и его фазу — тем самым однозначно и одновременно, в ходе одного
измерения, определить все оптические характеристики и параметры объекта.
Отметим некоторые особенности генерации разностных частот. Приближение плоских волн перестает быть справедливым в случае генерации излучения в далеком ИК диапазоне в пределе больших длин волн, поскольку, когда
диаметр пучка накачки становится сравним с длиной волны ТГц излучения, начинает сильно сказываться дифракция.
Так как эффективность преобразования ожидается невысокой из-за малости ω2, то истощением накачки можно пренебречь и считать амплитуду поляризации не зависящей от пройденного расстояния.
Если пренебречь отражениями на границе раздела, предполагая, что
кристалл погружен в безграничную среду, то решение в дальнем поле имеет
известный из классической электродинамики вид:
ik 2 r  r '
2

Pn(r' , 2 )e
E (r, 2 )   2   d 3r '
r  r'
 c  V
, (7.13)
где V – объем взаимодействия полей накачки в нелинейной среде. Зная
Pn(r',ω2), можно найти E(r, ω2). Рассмотрим, например, случай, когда поля накачки можно считать постоянными и равными соответственно E1 (r) и E3 (r)
внутри цилиндра (x² + y²) ≤ a² и равными нулю вне его.
Лазерные пучки создают в кристалле нелинейную поляризацию на разностной частоте, эта поляризация затем выступает в роли источника при генерации разностной частоты. Предположим, что нелинейная поляризация имеет
вид

P (2) ei ( k 2 s z ' 2t )
Pn (r' , ω 2 )  
0
где
при
при
(x
2
(x
2

y ) a

2
2
2
y )a
,
2
,
(7.14)
k 2 s  k3  k1 , используя выражение (7.14), мы можем легко оценить инте-
грал (7.13).
Рис.7.2. Схема для расчета выходной мощности.
Пусть согласно рис.7.2. в дальнем поле
r  ẑr cos  xˆr sin  ,
r'  x̂ ' cosq  yˆ  ' sin q  zˆz ' ,
exp(ik 2 r - r' ) exp(ik 2 r  ik 2 (r  r' /r ))

r - r'
r
Тогда
(7.13)
перепишется
в
виде
2
 ik z '(1 cos   k / k 2 )
 2  (2) ei ( k 2 r  2t ) l / 2
E(r,2 )    P

 dz 'e 2
l / 2
 c 
r
i ( k r  2 t )
2
a
2
 ik 2  'cos q sin  22 (2) e 2
  d '   'dθe
 2 P

r
0
0
c
a


 sin  l  d '  'J 0   ' 
 0
 a 
(7.15)
 
Здесь,   k 2 l / 2(1  cos   k / k 2 ) ,   k 2 a sin  , k  k 2 s  k 2 , а J 0 - функция Бесселя. Имеем
2 l (a )  sin    2 J    
   ( 2)
1
E(r,  2 )   2   эфф
E 1Ε 

 (7.16)


2


 c 
r

 

4
2
2
2 2
2
2
Интегрирование величины с ε(ω2 ) E(r,ω2 ) / 2π по площади приемника дает
полную мощность Р(ω2) излучения в далеком ИК диапазоне, регистрируемую
приемником:
P (2 ) 
 max
2
2
 E(r,2 ) 2r sin d
0
(7.17)
Этот результат легко понять с физической точки зрения. Множитель
 sin  
 2 J1    

 возникает из-за дифракции на круглой апертуре, а множитель 

  
  
2
2
учитывает влияние согласования фаз. В пределе k 2 a  1 , когда эффект дифрак 2J    
ции должен быть пренебрежимо малым, множитель  1  велик лишь при
  
2
2
 1 / k 2 a , а фактор  sin   сводится к обычному фактору фазового согласова  
2
 sin(kl / 2) 
ния 
 . Кроме того, при
 kl / 2 
k 2 a  1 , если детектор имеет большой раз-
мер, так что  max  1 / k 2 a , получаем,
 max
 2 J1    
 sin d  2 /( k 2 a) 2 (7.18)
 
 
0 
2
В этом случае выражение для выходной мощности Р(ω2) совпадает с
выражением, которое следует из приближения бесконечных плоских волн.
7.4. Параметрическое усиление
Квадратично-нелинейные кристаллы могут быть использованы для усиления слабых оптических сигналов. Трехволновое взаимодействие сопровождается генерацией излучения не только на суммарной, но и на разностной частоте,
которая может происходить даже при наличии лишь одного поля накачки на
суммарной частоте. Такой процесс получил название параметрического преобразования. То есть на входе в кристалл мы имеем волну на частоте ω 3, а на выходе две волны на частотах ω1и ω2. В терминах фотонов этот процесс можно
рассматривать как распад фотона с наибольшей частотой на два фотона с меньшими частотами: энергия пучка с большей частотой распределяется между пуч-
ками с меньшей частотой. Следовательно, если слабый сигнал заставляют взаимодействовать с мощной волной накачки в нелинейном кристалле, то волна на
разностной частоте ("холостая" волна) и сигнальная волна будут усиливаться.
Такой нелинейный процесс называется параметрическим усилением.
Таким образом, основная схема параметрического усилителя включает в
себя входную сигнальную волну на частоте , которая падает на нелинейный
кристалл вместе с интенсивной волной накачки на частоте  ( > ). Усиление сигнальной волны с частой  сопровождается генерацией "холостой" волны на разностной частоте     .
Поскольку процесс параметрического усиления является обратным процессу генерации излучения суммарной частоты, то описывающие его основные
уравнения по своей структуре совпадают с уравнениями из п.7.2. Различие этих
двух процессов состоит лишь в разных начальных условиях. Таким образом,
теоретическое описание параметрического усиления тоже начинается с решения трех связанных нелинейных уравнений.
Параметрическое усиление достигает максимума при выполнении условия фазового синхронизма k  0. Учет поглощения приводит к увеличению
порога и уменьшению усиления.
В простейшем случае можно считать, что пучок накачки с частотой  на
длине кристалла L не истощается: dA/dz  0 и, соответственно, A(z)  A(0).
При отсутствии поглощения и k  0 решения для амплитуд сигнальной и "холостой" волн имеют вид
A(L)  A(0)ch(L/Lo),
A(L)  A(0)(k/k)sh(L/Lo), (7.19)
Lo  (nn/8dA).
Отсюда следует, что для случая L/Lo < 1 амплитуды волн в усилителе нарастают как 1 + (L/Lo)/2. Даже при больших плотностях мощности накачки величина
параметрического усиления невелика. Увеличение мощности сигнальной и "холостой" волн происходит за счет волны накачки, т.е. легко показать, что
d(AA*)/dz  d(AA*)/dz  d(AA*)/dz. (7.20)
Решим эту задачу при несколько других условиях, а именно в условиях неточного пространственного синхронизма:
 3   2  1 , k 3  k 2  k1  k (7.21)
Укороченные уравнения при тех же самых приближениях имеют вид:
dA1

 i 1 1 A2 A3e(i kz )
dz
n(1 )
dA2
2
 i 2
A1 A3e(i kz ) (7.22)
dz
n( 2 )
dA3
3
 i 3
A2 A1e(i kz )
dz
n(3 )
Решать эту систему будем в приближении сильной падающей волны.
A (0) A (0)
1
2
Т. е. A (0) , A (0) <<1, значит A3  const , и тогда третье уравнение в системе мож3
3
но не учитывать.
Сделаем следующие замены:
Ai  ci e
i i z
1

, i  1,2 ,  i    k ig  , g  g 2 0  (k ) 2
2

1
2
,
g 02 
412 22 2 2
 A3
k1k2
g – параметр характеризущий нелинейность среды.
При g0>δk, имеем экспоненциальное возрастание.
Следуя, тому же пути решения, что в задаче о генерации суммарной частоты и
проведя аналогичные замены, получим:


U 2 (0)
U 22 ( )  (U 22 (0)  U 12 (0)) sn 2 i U 32 (0)  U 22 (0)  sn 1 (i
, d ), d  (7.23)


U 12 (0)  U 22 (0)
d 2  (U 22 (0)  U 12 (0)) /(U 22 (0)  U 32 (0))  const
Если U 2 (0)  0 , это решение переходит в решение для задачи о генерации разностной частоты.
7.5. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ
Условие самовозбуждения усилителя и превращения его в генератор эквивалентно требованию, чтобы усиление превышало потери. В предыдущем пункте
мы показали, что волна накачки с частотой  через взаимодействие в нелинейном кристалле может привести к одновременному усилению оптических волн
на частотах  и , причем     . Если нелинейный кристалл для увеличения коэффициента усиления поместить внутрь оптического резонатора, который настроен в резонанс на частоте сигнальной или "холостой" волн (или на
обоих частотах), то при некоторой пороговой интенсивности накачки параметрическое усиление будет вызывать одновременную генерацию как сигнальной,
так и "холостой" волн. Пороговая интенсивность для этой генерации соответствует значению, при котором параметрическое усиление в точности компенсирует потери сигнальной и "холостой" волн. Это является физической основой
оптического параметрического генератора. Тот факт, что можно получить перестраиваемое излучение на выходе при неизменном излучении на входе, делает
параметрический генератор более полезным устройством, чем параметрический
усилитель. Практическое значение такого генератора состоит в том, что он может преобразовывать мощность накачки лазера в когерентное излучение на сигнальной и "холостой" частотах.
Параметрический генератор состоит из нелинейного кристалла, находящегося в резонаторе. Для простоты будем считать, что оптический резонатор образован двумя плоскими зеркалами. Обычно используют два типа резонатора. В
двухрезонаторном параметрическом генераторе зеркала имеют высокий коэффициент отражения одновременно на частотах  и , а в однорезонаторном 
только на одной частоте  или . Для волны накачки оба зеркала обычно
делают прозрачными (рис. 7.3).
В отличие от лазера работа параметрического генератора не зависит от резонансных переходов, следовательно, он может быть настроен в широком частотном диапазоне. Частоты волн при этом одновременно удовлетворяют условию
скалярного фазового синхронизма k  k  k или n  n  n и закону
сохранения энергии     . В кристаллах показатели преломления волн n,
n,n3 обычно зависят от ориентации кристалла (для необыкновенных волн),
электрического поля, температуры и давления. С помощью изменения этих параметров можно управлять настройкой выходных частот  и  параметрического генератора.
Рис.7.3. Схемы двухрезонаторных ПГС коллинеарного типа (слева) и неколлинеарного типа (справа).
Если параметрическое усиление за один проход мало, то интенсивность волны накачки можно считать не зависящей от расстояния в резонаторе, т.е. A(z) 
A(0). Частоты и волновые числа в резонаторе приближенно удовлетворяют
условиям собственных волн
  ,   ,       ,
k  n/c  (m  )/L, (7.24)
k  n/c  (m  )/L,
где m и m  положительные целые числа;  и   фазовые набеги на частотах  и  при обходе резонатора вследствие отражений на границах и преломлений; L  длина резонатора. Для простоты полагаем, что длина кристалла совпадает с длиной резонатора.
Волны в резонаторе характеризуются также постоянными затухания Г и Г
на частотах  и . Эти постоянные учитывают поглощение и рассеяние в резонаторе и потери на излучение через зеркала (Ri  коэффициенты отражения).
Они связаны с коэффициентами поглощения на единице длины соотношением
exp(ГiniL/c)  Riexp(iL),
Гi  (c/ni)[i  (2/L)lnRi] (7.25)
.
Для возникновения параметрической генерации пороговая интенсивность
волны накачки должна быть равна (Г  Г)
Iп  [()  Г]{2cd/(nnn)[sin(kL/2)/(kL/2)2]}. (7.26)
Порог параметрической генерации будет минимальным при   0 и k  0.
В стационарном режиме генерации усиление в генераторе находится на
уровне порогового значения, в противном случае выходная мощность будет непрерывно нарастать или упадет до нуля. Поэтому поле волны накачки в резонаторе вследствие ее истощения при параметрическом преобразовании автоматически стабилизируется на уровне, когда коэффициент усиления станет равен
пороговому значению. Поля "холостой" и сигнальной волн нарастают по амплитуде при увеличении энергии накачки. Однако, поскольку они являются
стоячими волнами, их амплитуды постоянны вдоль резонатора. Часть мощности накачки, перекачиваемая в сигнальную и "холостую" волны, проявляется в
виде дополнительных потерь в резонаторе, и которые выходят через зеркала в
виде "холостой" и сигнальной волн.
Одним из серьезных недостатков двухрезонаторного параметрического генератора является его низкая стабильность  небольшое изменение длины резонатора приведет к изменению выходных частот. Действительно, пусть вначале
генератор с длиной резонатора L работает на частотах     mc/nL,  
  mc/nL и      . Сдвиг выходных частот из-за изменения длины
резонатора определяется выражением
  [n/(n  n)  ]L/L  [n/(nn)] L/L. (7.27)
Если принять 10  |n  n|/n, то относительное изменение L/L  10 вызовет
изменение частот более чем на 10 на выходе двухрезонаторного параметрического генератора. Нестабильность такого генератора удается устранить путем
использования резонатора лишь для одной волны. Однако пороговая интенсивность накачки в однорезонаторном генераторе примерно в 100 раз выше, чем в
двухрезонаторном. Поэтому однорезонаторные параметрические генераторы
обычно нуждаются в импульсных лазерах в качестве источников накачки.
7.6. Самофокусировка
Самофокусировка света принадлежит к нелинейным процессам самовоздействия мощных световых волн, возможным в кубично-нелинейных кристаллах и
изотропных средах. За эти эффекты ответственен тензор нелинейной восприимчивости ijkl. Кратко самофокусировку можно назвать эффектом наведения полем линзы. Речь идет об искажении волнового фронта, создаваемого самим световым пучком при его прохождении через нелинейную среду.
Эффекты самовоздействия связаны с зависимостью комплексной диэлектрической проницаемости или комплексного показателя преломления от интенсивности распространяющейся волны. Появление указанной зависимости может быть связано с разнообразными физическими причинами. Электрострикция
в световом поле приводит к появлению давления, изменяющего плотность в об-
ласти, занятой световой волной, а следовательно, и показатель преломления
среды. В жидкости световое поле приводит к ориентации анизотропно поляризующихся молекул за счет взаимодействия с наведенным дипольным моментом. При этом среда становится анизотропной, а средний показатель преломления для ориентирующего поля возрастает. Этот эффект принято называть эффектом Керра. Зависящая от интенсивности световой волны добавка к показателю преломления может быть связана также с нелинейностью электронной поляризации. Наконец, изменение плотности и тем самым показателя преломления
может быть связано с нагревом среды, вызванным диссипацией энергии мощной световой волны.
Многие черты самофокусировки можно описать, не прибегая к детальному рассмотрению физического механизма нелинейности, а ограничиваясь только феноменологическим представлением поляризации среды. Далее среду, в которой распространяется мощный световой пучок, будем считать изотропной
(жидкость или газ).
В общем случае произвольная компонента тензора нелинейной восприимчивости содержит как действительную, так и мнимую части:
ijkl  'ijkl()  i''ijkl(). (7.28)
Действительная часть '() определяет нелинейную добавку к фазовой скорости гармонической волны частоты , а мнимая ('')  нелинейное поглощение.
Они связаны между собой соотношениями КрамерсаКронига. Тензор ijkl имеет отличные от нуля компоненты для всех групп точечной симметрии и изотропных сред.
Рассмотрим одномодовый лазерный пучок с гауссовским поперечным
профилем (a  радиус пучка), который распространяется в среде с показателем
преломления n   n  n|A| внутри пучка и n  n вне пучка (''  0), где n|A|
 наведенное световым полем изменение показателя преломления. Если n по-
ложительно, то для центральной части пучка, имеющей большую интенсивность, показатель преломления будет больше, чем для краев пучка.
Элементарный анализ основных закономерностей, связанных с самофокусировкой, можно провести, рассматривая поведение световых лучей на границе
пучка. Лучи, падающие на границу пучка изнутри, совершают переход из среды, оптически более плотной, в среду, оптически менее плотную (рис. 7.4). Следовательно, при достаточно больших углах  возможен эффект полного внутреннего отражения. Критический угол соответствует лучу, наклон q которого
к оси пучка равен q  arccos[n/(n  n|A|)].
Лучи с q > q выходят наружу, а лучи с q < q возвращаются к оси. В пучке,
фазовый фронт которого на входе в нелинейную среду является плоским, угол
q определяется дифракцией qд  0.61/2an.
Рис.7.4. Лазерный пучок в нелинейной среде
Волновой фронт пучка в нелинейной среде искажается. Относительный
вклад нелинейной рефракции и дифракции в поведение такого пучка можно
оценить, сравнивая углы q и qд. При q < qд пучок расплывается. Однако темп
этого расплывания меньше, чем в линейной среде. Если q  qд (нелинейная рефракция полностью компенсирует дифракционное расплывание), размеры и
форма пучка остаются неизменными при его распространении в нелинейной
среде. Пучок создает для себя своеобразный оптический волновод, по которому
распространяется без расходимости. Этот режим принято называть режимом
самоканалирования волнового пучка. Нетрудно убедиться, что условие q  qд
накладывает требование лишь на полную мощность пучка и величину нелинейности cреды. Действительно,
qд/2  n|A|кр/n, Pкр  c(0.61)/64n, (7.29)
где Pкр  критическая мощность самоканалирующего пучка. Наконец, при q > q
д
(P > Pкр) лучи отклоняются к оси пучка  происходит самофокусировка. В
этом случае нелинейная среда действует как положительная линза. Ее фокусное
расстояние нетрудно оценить, пользуясь формулой (7.29). Вводя дифракционную длину Rд  ka/2   a/qд, из (7.29) получаем, что условие q  qд эквивалентно условию
Rд  (a/2)[n/(n|A|)]  Rн. (7.30)
Величина Rн, имеющая размерность длины, называется эффективной длиной
самофокусировки, поскольку дифракционную расходимость можно трактовать
как результат действия расфокусирующей линзы с фокусным расстоянием Rд. В
этом случае равенство Rд  Rн соответствует обращению фокусного расстояния
системы двух линз в бесконечность (Rф  Rн  Rд). В пучках большой
"сверхкритичной" мощности с достаточной степенью точности Rф  Rн (Rд >>
Rн); поведение пучка хорошо описывается приближением геометрической оптики, а дифракционные эффекты почти не проявляются.
В целом картина самофокусировки выглядит следующим образом. При вхождении пучка в среду, например жидкость, лавинный процесс нелинейного искажения волнового фронта и рост концентрации поля приводят к тому, что пучок резко схлопывается и появляется одна или несколько нитей (движение фокуса). Положение фокуса и фокусное расстояние Rн (рис. 7.4) при этом четко
определены. Пучок будет самофокусироваться до тех пор, пока не начнется какой-либо конкурирующий нелинейный процесс. Таким процессом может быть
вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР), вынужденное рассеяние
МандельштамаБриллюэна (ВРМБ), двухфотонное поглощение и оптический
пробой. Как следует из приведенных рассуждений, при теоретическом описа-
нии самовоздействия пучка с самого начала нельзя пренебрегать дифракционными эффектами.
Для решения нелинейного волнового уравнения вновь воспользуемся методом медленно меняющихся амплитуд и приближением квазимонохроматических волн:
E  (1/2){eA(x, y, z)exp[i(t  kz)] + к. с.}, (7.31)
где   малый параметр, характеризующий отличие пучка от плоской волны E
 (1/2)Eexp[i(t  kz)], которое появляется у него вследствие нелинейности
среды и дифракции. В (7.31) учтены изменения комплексной амплитуды A как
вдоль, так и поперек луча. Изменения поперек луча более быстрые, поскольку
здесь происходит переход в область тени.
Используя n  n  n|A| и считая, что нелинейная поляризация имеет порядок , и ограничиваясь членами первого порядка по , приходим к упрощенному уравнению, описывающему эффект самовоздействия гармонической волны
в кубично-нелинейной среде:
2ikA/z  A  2kn|A|A/n. (7.32)
Здесь   двумерный оператор Лапласа в плоскости, перпендикулярной оси Z.
При n  0 уравнение (7.32) переходит в параболическое уравнение, используемое в приближенной теории дифракции. Следовательно, уравнение (7.32) соответствует так называемому квазиоптическому приближению. Важно подчеркнуть, что (7.32) может описывать самовоздействие волны и в изотропной, и в
анизотропной среде.
Существенно, что исходное нелинейное волновое уравнение (1.12) допускает точное решение в виде монохроматической плоской волны
E  Eexp[i(t  kr)] (7.33)
с линейной или круговой поляризацией. Подстановка (7.32) в (1.12) приводит к
дисперсионному соотношению
k  (/c)(n  2n|E|). (8.33)
Фазовая скорость /k в нелинейной среде с самовоздействием зависит не
только от частоты, но и от амплитуды волны. Если n > 0, фазовая скорость
убывает с увеличением амплитуды. Такую среду называют фокусирующей.
Если же n < 0, то фазовая скорость растет при увеличении амплитуды, и среду
называют дефокусирующей. Самофокусировка возникает и в твердом теле. Ее
результатом может быть трек оптического пробоя. Трек пробоя имеет вид цилиндрического канала с измененным показателем преломления диаметром в
несколько микрон и длиной в несколько сантиметров. Он начинается с характерной звезды пробоя и может прерваться, не доходя до конца образца. Формирование трека сопровождается вспышкой белого света из области канала,
увеличением расходимости прошедшего лазерного луча и появлением короткого импульса ВРМБ назад.
8. ТЕПЛОВОЕ ДЕЙСТВИЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВО.
8.1. Оптический нагрев поглощающей среды.
Из повседневного опыта хорошо известно тепловое воздействие оптического излучения на вещество, сопровождающееся превращением энергии светового
поля в тепло. Так, например, с помощью линз или зеркал концентрируя солнечное излучение можно нагреть поглощающее свет тело до высоких температур.
В современных "солнечных печах" металлы удается нагреть до температур в
несколько тысяч градусов, но при этом, предельно достижимая температура
ограничена законами термодинамики. Тепловое действие солнечного излучения
вполне успешно используется в энергетике. Регистрация теплового воздействия
также может быть положена в основу прямых измерений энергии и мощности
света.
Физика теплового воздействия света на вещество довольно проста. Световая волна возбуждает движение свободных и связанных зарядов в среде. Кинетическая энергия зарядов частично рассеивается при столкновениях зарядов с
другими частицами, при взаимодействии с колебаниями решетки в кристалле и
т. п., превращаясь, в конечном счете, в тепловую энергию. В результате этого
процесса температура среды повышается.
В соответствии с законом сохранения энергии интенсивность световой волны уменьшается по мере увеличения расстояния, пройденного волною в среде,
т. е. распространение света сопровождается его поглощением. В простейшем
случае процесс поглощения бегущей волны описывается законом Бугера-Ламберта.
I ( z )  I 0 e z (8.1)
Величина , имеющая размерность см-1, называется коэффициентом поглощения.
На расстоянии L0=-1, называемом глубиной поглощения, интенсивность света
уменьшается в е раз. Тепловые процессы в поглощающей свет среде описываются уравнением теплопроводности, которое подробно рассматривается в курсах
математической физики. Согласно трехмерному уравнению теплопроводности
величина приращения температуры в некоторой точке среды T(t, х,у,z) может
быть описана следующим образом:
C p
2
2
2
T
T
T
T
  ( 2  2  2 )  (1  R) I 0 e z , (8.2)
t
x
y
z
где  - плотность, Ср — теплоемкость,  - коэффициент теплопроводности, R —
коэффициент отражения от поверхности вещества.
Поглощение света вызывает появление в веществе распределенных источников тепла. Выделение энергии в некоторой точке пространства приводит к росту температуры среды со скоростью, пропорциональной I0/(Cр). Однако, с
этим процессом, конкурирует процесс термодиффузии (растекания тепла), скорость которого пропорциональна
1


, (8.3)
 T  C p L20
где L0 - характерней размер нагреваемой области.
При распространении мощных лазерных пучков возникающие тепловые эффекты оказываются существенными даже в слабо поглощающих средах с коэффициентами поглощения не превышающими величины   102  103 см-1. Уникальные возможности, открываются при использовании теплового действия коротких и ультракоротких лазерных импульсов на сильно поглощающие среды.
Так, для металлов и полупроводников, коэффициенты поглощения велики и
имеют порядок   104-106 см1. Если сфокусировать лазерное излучение на поверхность таких материалов, за время существенно меньшее времени термодиффузии
можно,
на
дистанции
порядка
размера
фокального
пятна
(10-2-10-8 см) расплавить и даже испарить поверхностный слой, получив огромные скорости нагрева и охлаждения вещества, лежащие в диапазоне 109-1010 К/с.
Такого рода воздействие на поверхностный слой вещества находит разнообразные технологические применения.
8.2 Импульсный нагрев поверхности металла лазерным излучением.
Рассмотрим тепловые процессы в поверхностном слое металла, подвергаемого воздействию сфокусированного короткого лазерного импульса, обладающего
полной энергией W0 (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Схема облучения поверхности металла сфокусированным лазерным
пучком. Показаны характерные распределения интенсивности света I и температуры
Т в направлениях вдоль поверхности металла
Для металлов величина коэффициента поглощения слабо зависит от длины
волны и обычно изменяется в пределах 104-106 см-1, следовательно, глубина проникновения света в металл составляет L0-1 10-5 СМ.
По сути дела мы имеем дело с известной из электродинамики глубиной
скин-слоя L0(С/)1/2, определяемого, однако, для оптических частот. В этих
условиях трехмерное уравнение теплопроводности существенно упрощается и
сводится к одномерному уравнению.
Поскольку радиус фокального пятна d0 значительно превышает глубину проникновения света L0, можно пренебречь переносом тепла в плоскости металла
(х,у). Поэтому реальное распределение интенсивности света по слою L0 можно
приближенно заменить прямоугольным. Доля интенсивности падающей волны I0
, перешедшая в тепло, Iпогл = I0 (1 - R). Тогда вместо (2) можно записать
T
  2T
Iпогл (8.4)


t
pc p z 2 L0 pc p
На границе нагретый металл-воздух действуют различные механизмы тепловых потерь, которые приближенно можно описать с помощью формулы Ньютона.
qc = T (T – T0), (8.5)
где qc - поток тепла, Т0 - температура окружающего воздуха, T - коэффициент
тепловых потерь. Для этой величины можно воспользоваться значением T 
Дж/(см2сК). Поток тепла внутрь металла
qM  
T  T0
T

z
L0 (8.6)
для величины  в металле можно взять значение   0,5 Дж/(смсК). Подставляя характерные значения параметров в (2.8), легко убедиться, что
qM  qc. Проанализируем относительную роль процессов локального нагрева и
переноса тепла. Для этого в уравнении (8.6) введем безразмерную координату 
= zL и время q = t/и, где и — длительность лазерного импульса. После замены переменных (Д2.6) преобразуется к виду
T  и  2T  и Iпогл


, (8.7)
q  T  2 L0 pc p
где Т = рсpL02/ - характерное время теплопроводности. Если и < Т, переносом
тепла внутрь металла можно пренебречь. Тогда, пренебрегая процессами термодиффузии, можно вычислить приращение температуры металла к моменту
окончания лазерного импульса просто поделив поглощенную энергию на теплоемкость освещаемой массы металла
T макс 
(1  R )W0
pc pd 2 0 L0
(8.8)
Подставляя в формулу (8.8) характерные значения параметров р = 8 г/см3, сp=
0,4 Дж/(г  К), d0 = 103 см, L0 = 10
5
см, W0 = 1 Дж, R = 0,9, получим Tмакс 109
К. Полученная цифра, однако, непосредственного физического смысла не имеет.
В действительности, еще на более ранних этапах процесса, когда будут достигнуты температуры 103-104 К, начнут меняться теплофизические параметры металла, затем начнется плавление металла, его испарение и т. д. Проведенная
оценка, однако, убедительно показывает, что с помощью лазерного излучения
можно локально и очень эффективно воздействовать на металлы.
Одно из перспективных направлений применения теплового действия лазерного излучения - это поверхностная термообработка металлов, использующая
возможность локального теплового воздействия на участке, подвергаемом износу. При поверхностном лазерном нагреве не возникают нежелательные тепловые деформации деталей, а твердость чугуна и сталей возрастает в 3-5 раз.
Второе направление технологического применения лазеров - это лазерная
сварка различных металлов. Мощные технологические лазеры позволяют сваривать стальной лист толщиной около 20 мм со скоростью порядка 100 м/ч; при
этом достигается высокое качество сварного шва. Дополнительные удобства
предоставляет возможность вести обработку в труднодоступных местах и на
больших расстояниях от источника излучения.
Лазерная резка происходит за счет испарения металла или его плавления
с последующим удалением расплава струей инертного газа. Она особенно целесообразна, когда требуется малая зона термического воздействия и узкий рез. С
помощью лазеров разрезают твердые керамические материалы, сплавы и металлы с защитными покрытиями.
8.3 Лазерный отжиг полупроводников.
Выполненный выше расчет теплового действия света на поверхность металла иллюстрирует возможности быстрого локального нагрева вещества со
скоростью 108 - 1014 К/с. Оказывается, что эта особенность лазерного нагрева
позволяет не только резать или плавить металл, но и индуцировать фазовые
переходы в веществе. В частности, с помощью лазера можно осуществлять импульсный отжиг ионно-имплантированных полупроводников.
Как мы уже убедились, характерной чертой лазерного нагрева вещества
является то, что сравнительно большое количество энергии может поглотиться в
течение очень короткого интервала времени. Поверхность поглощающего материала может быть доведена до точки плавления за время лазерного импульса,
длящегося доли микросекунд. После окончания импульса происходит быстрая
рекристаллизация расплавленного слоя. Временной и пространственный
масштабы нагрева таковы, что диффузия вещества не играет заметной роли в
фазе расплава, поэтому концентрация примесей, внедренных в кристаллическую решетку, в процессе кратковременного расплава может превышать равновесную. В результате облученный участок поверхности приобретает новые свойства.
Пусть прямоугольный лазерный импульс длительностью и и интенсивностью I0 падает на поверхность твердого тела по нормали. Коэффициент температуропроводности =pcp) определяет характерный масштаб LT=(и)1/2, показывающий, на сколько расплывается первоначальный температурный профиль за
время действия импульса. Если глубина L0, на которую проникает световая
энергия, мала по сравнению с характерной длиной температуропроводности, т.
е. L0  LT, то поглощенная энергия Wп = (1 R)I0иd20 полностью пойдет на нагрев слоя вещества толщиной LT, и рост его температуры составит
T=(1 R) I0 и p cp LT) (8.9)
Характерное время остывания в этом случае равно длительности импульса и, т.
е. времени, необходимому для диффузии тепла на расстояние LT = (  и)1/2. Скорости нагрева и охлаждения в этом случае совпадают и равны
T/и = (1 R) I0 p cp LT) (8.10)
Напротив, если глубина проникновения L 0=   много больше длины термодиффузии, т. е. L 0 LT, то при поглощении света формируется характерный
спадающий по экспоненте вглубь вещества температурный профиль с масштабом L0, И рост температуры составит
T(z) = (1 R) I0 и  exp z)/(p cp) (8.11)
Скорость нагрева выражается следующим образом: Tи. Поскольку при
охлаждении тепло должно продиффундировать на глубину L0 = , характерное
время остывания равно 0 = L20, а скорость остывания есть
T/ 0= (1 R) 3 I0 и /(p cp). (8.12)
Практически в большинстве случаев выполняется неравенство LT > L0, и реализуется локальный нагрев. Приведем оценки типичных параметров для кремния
при длине волны излучения  = 0,5 мкм:  = 104 см 1, R = 0,35, pcp = 0,56
Дж/(см3К),  = 0,7 см2/с, температура плавления Тпл, = 1420°С. Типичные характеристики лазерного импульса, необходимого для нагрева поверхностного слоя
кремния до температуры ~ 103 °С, приведены ниже: и = 30 нс, I0 = 1,1*107 Вт/см2, I0
и = 0,33 Дж/см2, LT = и1/2= 1.5 *104 см. При этом скорость нагрева и охлаждения составляет  1011 К/с. Для пикосекундных импульсов длина термодиффузии будет уже меньше глубины поглощения и для получения больших скоро-
стей нагрева и охлаждения следует использовать лазерные импульсы ультрафиолетового диапазона частот.
Быстрое плавление и последующая рекристаллизация полупроводников
при поглощении лазерных импульсов нашли применение для лазерного отжига
ионно-имплантированных полупроводников. Полупроводниковые материалы, используемые в настоящее время в электронике, получают путем внедрения
ионов в кристаллическую решетку чистого полупроводника. При этом ионы имплантируются в толщу полупроводника с помощью ускорителя (характерные
энергии ионов составляют 105 эВ, дозы имплантации 1013 - 1016 ионов/см2, глубина внедрения ионов до 10 см). Ионная бомбардировка вызывает разупорядочение кристаллической решетки в приповерхностном слое. Ее восстановление
обычно осуществляется с помощью длительного термического отжига в течение
десятков минут при температурах в несколько сотен градусов Цельсия. При
этом, однако, первоначальный профиль распределения примеси по глубине
неизбежно расплывается вследствие диффузии.
Оказывается, что с помощью лазерных импульсов микросекундной или наносекундной длительности также можно произвести отжиг ионно-импланти-рованного слоя полупроводника, причем полученная при эпитаксиальной рекристаллизации решетка характеризуется меньшим количеством дефектов, отсутствием расплывания профиля концентрации внедренной примеси в глубину.
Концентрация примесных ионов, внедренных в решетку, для некоторых режимов
оказывается значительно выше достигаемой при термическом отжиге. Импульсный отжиг сделал возможным получение сверхмелких р-п переходов, позволил формировать нужные профили примеси путем изменения энергии, дозы
и вида имплантированных ионов.
Большой научный интерес связан с выявлением роли термических и атермических факторов при лазерном отжиге, в частности, роли плотной (до 1021 см3
) электронно-дырочной плазмы, образующейся в толще полупроводника при
поглощении лазерного импульса с интенсивностью до 109 Вт/см2. Динамика процесса рекристаллизации поверхности изучается обычно с применением линей-
ных оптических методов путем регистрации с высоким временным разрешением
изменения коэффициентов отражения и пропускания пробного лазерного луча
при поглощении на поверхности полупроводника мощного отжигающего импульса. Помимо этого используют регистрацию динамики появления и пространственного распределения по отжигаемому участку спектров спонтанного
комбинационного рассеяния, а также картину дифракции быстрых электронов на
восстановленной решетке. Началось применение нелинейных оптических методов
диагностики состояния поверхности полупроводников при мощном импульсном
воздействии, например путем регистрации оптических гармоник пробного излучения, генерируемых при отражении от отжигаемого участка поверхности полупроводника.
Большинство полученных к настоящему времени экспериментальных данных свидетельствуют в пользу тепловой модели лазерного отжига: при межзонном поглощении излучения в полупроводнике генерируется плотная электроннодырочная плазма, затем вследствие электрон-фононного взаимодействия за время ~ 1012 с энергия от электронной подсистемы передается решетке и происходит ее плавление. Фаза расплава длится 108  10 с и легко регистрируется в
эксперименте по появлению высокого уровня отражения пробного луча. Если
поглощенной энергии достаточно для того, чтобы расплавить на всю глубину
аморфизованный ионной бомбардировкой слой полупроводника, то при охлаждении происходит эпитаксиальная рекристаллизация поверхностного слоя:
восстановленная кристаллическая структура повторяет структуру решетки
подложки, т. ё. исходного монокристалла полупроводника, служащего затравкой
при рекристаллизации. Скорость рекристаллизации по разным данным лежит в
пределах 10-105 см/с. Если энергии импульса недостаточно для расплава всего
аморфизованного слоя, то возникает поликристаллическая структура поверхностного слоя.
В эксперименте, выполненном Говорковым, Шумаем, Рудольфом и Шредером, исследовались начальные стадии плавления поверхности монокристалла
арсенида галлия под действием лазерных импульсов длительностью 100 фс (1
фс = 10-15 с) с помощью регистрации зависимости интенсивности отраженного
пробного импульса и его второй гармоники от времени, прошедшего после возбуждения образца более мощным импульсом накачки.
Поскольку при плавлении материал становится изотропной жидкостью, эффективность генерации второй гармоники при наступлении лазерно-индуцированного фазового перехода должна падать. Это действительно наблюдается в
эксперименте. Однако спад интенсивности второй гармоники происходит
неожиданно быстро — с характерным временем порядка 100 фс. В то же время
коэффициент линейного отражения возрастает до значения, характерного для
расплава данного материала, гораздо медленнее — с характерным временем порядка 1 пс (1 пс = 10 с). Результаты эксперимента показывают, что потеря решеткой дальнего порядка, проявляющаяся в падении интенсивности второй гармоники, происходит значительно быстрее, чем изменение линейных оптических
свойств арсенида галлия. Характерное время ВГ= 100 фс оказывается меньшим,
чем время передачи энергии от электронной подсистемы к решетке, в то время
как характерное время нарастания линейного отражения согласуется с представлением о тепловом плавлении. Эти результаты позволяют предположить
наличие короткоживущей промежуточной неравновесной фазы кристалла с нарушенным дальним порядком, предшествующей плавлению и существующей
при относительно холодной решетке.
8.4. Физические принципы лазерного термоядерного синтеза.
Нагрев мишени, подвергающейся воздействию лазерного излучения, сопровождается возникновением сил теплового происхождения. В мощных лазерных пучках они на много порядков превышают световое давление. Условно их
можно разделить на три группы: конвективные, радиометрические и светореактивные. Конвективные силы связаны с нагревом среды, окружающей облучаемое тело, и последующим возникновением потоков газа или жидкости, которые,
в свою очередь, воздействуют на тело. Радиометрические силы возникают на
молекулярном уровне и наиболее ярко проявляются в разреженных газах. Скорость молекулы после соударения с нагретой поверхностью больше, чем начальная, что и приводит к появлению дополнительного давления, пропорционального
разности квадратных корней из температур поверхности и среды.
Светореактнвное давление рcp возникает в процессе испарения вещества с поверхности облучаемого тела. По величине оно пропорционально скорости истечения ист испаренного вещества и скорости изменения массы единицы поверхности тП :
d
mn
рcp ИСТ dt . (8.13)
Скорость изменения массы можно грубо оценить, разделив интенсивность
поглощенного света I на удельную теплоту парообразования Qп. При этом не
учитывается энергия, затраченная на разогрев вещества до температуры плавления и само плавление, так как она обычно почти на порядок меньше Qп. С
учетом этого замечания запишем формулу (8.13) в виде
рcp   I /QП. (8.14)
ИСТ
С помощью мощных световых импульсов можно получить рср ~ 1012 атм. Обсуждаются возможности использования светореактивного давления для ускорения
микрочастиц и даже для изменения траектории искусственных спутников Земли.
Возможности получения с помощью фокусировки излучения мощных лазерных систем интенсивностей света порядка 1016 Вт/см2, приводящих к быстрому
разогреву вещества и его чрезвычайно сильному сжатию за счет светореактивного давления, стимулировали работы в области лазерного термоядерного синтеза. В основе термоядерного синтеза лежит реакция между ядрами дейтерия и
трития D + Т  4Не + n, в результате которой выделяется энергия около 17
МэВ (1 МэВ = 1,6 *106 эрг). Расчет показывает, что для преодоления куло-
новских сил отталкивания необходимо нагреть смесь дейтерия и трития (термоядерную плазму) до температуры порядка 108 К. Кроме того, нужно, чтобы за
время существования плазмы в ней произошло достаточно большое число единичных актов взаимодействия, и выделившаяся энергия превысила затраченную
на разогрев. Это приводит к критерию Лоусона
п  1014 с/см3, (8.15)
связывающему концентрацию частиц n и время удержания плазмы . Физический смысл этого критерия достаточно ясен: чем больше частиц в единице
объема, тем скорее ион дейтерия встретит ион трития. С другой стороны, чем
дольше удерживается плазма, тем больше времени для поисков партнера по реакции.
В 1962 г. Н. Г. Басов и О. Н. Крохин выдвинули идею быстрого нагрева
плазмы я инициального удержания с помощью мощных лазерных импульсов. В
современных установках лазерного термоядерного синтеза используются сферические мишени диаметром около 100 мкм, симметрично облучаемые со всех сторон (рис. 8.2). Под действием света происходит быстрый разогрев вещества, сопровождаемый испарением поверхности мишени. Возникающее при этом светореактивное давление порождает волну сжатия, распространяющуюся к центру
мишени. В свою очередь, кинетическая энергия ударной волны превращается в
тепло. Все эти процессы разыгрываются за время  ~ 10-9 с и носят характер микровзрыва. Плотность плазмы в центре мишени по теоретическим оценкам возрастает почти в 104 раз относительно исходной.
Рис. 8.2. Схема лазерного термоядерного синтеза
Уже проведены успешные эксперименты по сверхсжатию вещества при всестороннем облучении. Достигнута плотность плазмы около 30 г/см3 при температуре Т ~ 107 К. В России и США созданы сверхмощные лазерные системы на
неодимовом стекле ( = 1,06 мкм) с энергией в импульсе 103-105 Дж. Принципиальная возможность создания опытной термоядерной электростанции возникнет
скорее всего после создания мощных импульсных лазеров с КПД около 10-20%.
На пути к решению проблемы лазерного термоядерного синтеза достигнуты
значительные успехи, но задача в полной мере еще не решена.
9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕРХКОРОТКИХ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ С ВЕЩЕСТВОМ
9.1. Сверхсильные световые поля
Применение сверхкоротких лазерных импульсов для воздействия на вещество, исследования быстропротекающих процессов, в системах передачи информации является одним из магистральных направлений развития современной лазерной физики и техники. Генерация все более коротких импульсов света, предельная концентрация световой энергии во времени позволяет исследовать принципиально новые физические явления.
К настоящему времени долгий путь сокращения временных масштабов
световых импульсов пройден практически до конца: получены импульсы длительностью и = 4,5 фс в видимом диапазоне (всего два периода световых колебаний) и и = 40 фс на длине волны СО2 лазера (10 мкм) - световой импульс
всего лишь в один период колебаний. Стоит вопрос и о генерации импульсов
аттосекундного (1 ас = 10-18с) диапазона длительностей в ультрафиолетоврм
диапазоне
спектра.
Освоение
фемтосекундного
масштаба
времени
(1 фс = 10 с) означает фактически полную реализацию возможностей оптики
в изучении быстропротекающих процессов в веществе. Один период оптиче-
ского колебания - это предельная длительность светового импульса, но одновременно и предельная "скорость" оптического отклика материальной среды.
С помощью интенсивных фемтосекундных импульсов можно создавать
сильно неравновесные состояния для быстро релаксирующих возбуждений
(время релаксации 10-13 - 10-14 с), в частности электронных возбуждений в
многоатомных молекулах, полупроводниках и металлах, наблюдать новые типы
оптически индуцируемых фазовых переходов в веществе. Фемтосекундная оптическая техника позволяет разработать прямые экспериментальные методы
изучения молекулярной динамики сложных (в том числе биологически активных) молекул и конденсированных сред.
С прикладной точки зрения главный итог разработки эффективных источников коротких световых импульсов связан с возможностями реализации предельных скоростей оптической обработки и передачи информации. В последние годы выполнены эксперименты, ярко их демонстрирующие: созданы оптические бистабильные устройства, переключаемые за времена порядка 10-12 с,
элементы волоконно-оптических линий связи, информация в которых переносится с помощью оптических солитонов с длительностью, достигающей
10-13 с.
С другой стороны, переход к фемтосекундным импульсам — это и очередной скачок по шкале интенсивности света. При длительности импульса
и = 100 фс сравнительно небольшой энергии W = 0,1 Дж соответствует мощность уже Р = 1012 Вт. Таким образом, в сравнительно скромных по масштабам
системах удается перейти к уровням мощности, которые еще совсем недавно
удавалось получать только в мультикилоджоульных установках, предназначенных для управляемого термоядерного синтеза.
Благодаря этому совершенно новые экспериментальные средства получила в свое распоряжение нелинейная оптика. В поле сфокусированных фемтосекундных импульсов получены интенсивности света 1021 Вт/см2 и, следовательно, напряженности светового поля достигают 5*1011 В/см. Речь идет, таким образом, о полях, превышающих внутриатомные (Еа = 5*109 В/см для атома водо-
рода). В столь сильных световых полях на первый план выходят новые проблемы нелинейной электронной физики, становятся реальностью прямые эксперименты, в которых можно наблюдать эффекты, предсказываемые нелинейной
квантовой электродинамикой (нелинейное рассеяние света на релятивистских
электронах, рассеяние света на свете в вакууме и т. п.).
На рис 9.1 приведена диаграмма энергия-время. По оси абсцисс отложена
длительность импульсов и, по оси ординат - энергия импульса W, здесь же нанесены уровни равной мощности. Выделенные области параметров сверхкоротких световых импульсов соответствуют новым направлениям в исследовании сверхбыстрых процессов и в нелинейной оптике сверхсильных световых
полей. Перечисленные новые направления физических и прикладных исследований формируют две области на карте энергия-время - спектроскопию сверхбыстрых процессов и нелинейную оптику сверхсильных световых полей
Рис. 9.1. Диаграмма энергия-время.
9.2 Новые технологии базирующиеся на фемтосекундных импульсах
В середине 90-х годов прошлого века произошел прорыв в технике генерации сверхкоротких импульсов света. Были созданы новые лазерные кристаллы, способные генерировать лазерное излучение и обладающие сверхширокой
полосой усиления: титан-сапфир (ширина полосы усиления 3500 см-1), хромфорстерит и другие. Было открыто явление самосинхронизации мод.
В лазере на титан-сапфире удалось реализовать внутрирезонаторную компрессию, при которой фазовая самомодуляция импульса осуществляется непосредственно в активном элементе лазера (за счет керровской нелинейности), а
сжатие с помощью пары стеклянных призм или многослойного диэлектрического зеркала, обладающего отрицательной дисперсией групповой задержки
(глубина проникновения света в такое зеркало зависит от длины волны). Лазеры подобного типа накачиваются непрерывным излучением аргонового лазера
или второй гармоникой лазера на гранате с неодимом. Титан-сапфировый лазер
очень компактен (длина кристалла порядка миллиметра), легко переводится в
режим самосинхронизации мод и генерирует импульсы длительностью 10 фс с
энергией порядка нДж на длине волны 800 нм. Разработаны методы усиления и
преобразования частоты таких импульсов. Рассмотрим теперь некоторые применения фемтосекундных световых импульсов.
На основе фемтосекундных лазеров успешно разрабатываются технологии высокоточной резки и обработки материалов, а также системы трехмерной
оптической памяти. При этом используется то обстоятельство, что воздействие
фемтосекундного светового импульса на вещество может быть сильным, но одновременно локальным, т.е. сосредоточенным в очень маленьком объеме среды. Указанная возможность обусловлена, с одной стороны, малостью энергии
импульса, а с другой стороны высокой интенсивностью света. Это непосредственно видно из формулы
I = W /S , (9.1)
И
связывающей между собой энергию W и длительность  импульса, площадь
И
поперечного сечения пучка S и интенсивность света I. Например, для W = 10
мкДж,  = 10 фс, S = 10-7 см2 получаем I = 1016 Вт/см2. В световом поле такой
И
интенсивности эффективно идут нелинейно-оптические процессы, такие как
двухфотонное поглощение света, оптический пробой и т.п. Однако область
пространства, в которой эти процессы проявляются заметным образом, оказывается весьма малой. Оценим, например, размер области конденсированной
среды, в которой фемтосекундный световой импульс способен вызвать ионизацию атомов. Энергия ионизации атома составляет около 10 эВ, или 1,6 *10-18
Дж. Световой импульс с энергией 10 мкДж способен ионизовать, следовательно, около 5*1012 атомов. Считая, что на один атом приходится объем 3*10-23 см3
(такой объем занимает молекула воды в жидкой фазе), получим объем области
ионизации V = 150 мкм3, что соответствует объему кубика с длиной ребра 5
мкм. Итак, размер области, в которой сфокусированный фемтосекундный световой импульс сильно воздействует на вещество, изменяя его свойства, действительно может быть чрезвычайно малым.
Экспериментальные исследования подтверждают этот вывод. Изучение
оптического пробоя прозрачных диэлектриков в поле сфокусированных фемтосекундных лазерных импульсов показывает, что линейный размер области пробоя может составлять всего лишь несколько микрон. С таким же пространственным разрешением удается воздействовать на молекулы в полимерной матрице, вызывая двухфотонное поглощение света и изменение структуры
молекул. Последний эффект положен в основу разрабатываемых сейчас систем
трехмерной оптической памяти. Плотность записи информации в таких системах может достигать 1012 бит/см. Весьма перспективны также технологические
применения фемтосекундных лазеров, связанные с резкой материалов и обработкой поверхностей.
9.3. Перспективы исследований взаимодействия фемтосекундных импульсов с веществом
Экспериментальная техника, методы и подходы, фемтосекундной лазерной оптики стремительно вторгаются в смежные разделы физики, химию, биологию и технику. Рассмотрим те направления исследований, которые сформировались последнее время и которые представляются особенно многообещающими.
а). Сверхкороткие рентгеновские и электронные импульсы.
Современная техника генерации таких импульсов во многом опирается на
достижения пико- и фемтосекундной оптики. В этих важных как с физической,
так и с прикладной точек зрения исследованиях сделаны только первые шаги;
пока речь идет, конечно, о линейных нестационарных явлениях. Среди возникающих здесь физических задач следует указать на нестационарное динамическое рассеяние рентгеновских лучей и электронов в совершенных кристаллах.
Чрезвычайно информативными обещают быть спектроскопические и структурные исследования, использующие для зондирования вещества короткие рентгеновские импульсы и электронные сгустки.
Уже сообщалось о получении коротких импульсов излучения в диапазоне
длин волн 10-70 нм при фокусировке лазерных импульсов с длительностью 100
фс и интенсивностью 1014 Вт/см2 на танталовую мишень, сходные результаты,
полученны в поле фемтосекундных импульсов эксимерной лазерной системы
при интенсивностях 1017 Вт/см2. Также построены генераторы электронных
сгустков длительностью 20-150 пс, получаемых за счет фотоэмиссии с катода,
освещаемого пикосекундным лазерным импульсом.
Оптически индуцированных рентгеновские импульсы использовались для
спектроскопии сильно возбужденных ионов с временем разрешения 400 пс.
Осуществлен успешный эксперимент по пикосекундной электрохронографии.
Электронограмма тонкой поликристаллической пленки алюминия была получена с временным разрешением 20 пс, таким образом удалось наблюдать быстрый
фазовый переход, индуцированный мощным лазерным импульсом.
Сейчас многие лаборатории занимаются совершенствованием пикосекундных рентгеновских и электронных источников, использующих лазерное
возбуждение. Имеются все основания ожидать здесь быстрого прогресса, однако для создания эффективных спектроскопических и диагностических систем
нужна адекватная регистрирующая аппаратура. Заметим вместе с тем, что прогрессируют и методы получения коротких рентгеновских импульсов, основанные на иных идеях, так предлагаются источники синхротронного излучения с
длительностью импульса порядка 10 пс.
б). Сильные нелинейности, управление светом с помощью света.
Обычно локальный нелинейный отклик среды считается слабым: в средах с квадратичной нелинейностью Е, в средах с кубичной нелинейностью 3Е2. Сильный энергообмен между волнами с различающимися частотами, формирование стационарных нелинейных волн - солитонов, все это результаты проявляющихся на значительных расстояниях накапливающихся взаимодействий и самовоздействий. Вместе с тем в нелинейной оптике уже длительное время обсуждаются проблемы распространения волн в среде с сильным
и быстрым локальным нелинейным откликом. В этой ситуации кардинально
меняется картина нелинейного распространения и в особенности самовоздействия коротких импульсов.
Проявлениями сильной локальной нелинейности, нечетной по полю, могут стать безрезонаторная оптическая бистабильность, возможны, в частности,
так называемые бистабильные солитоны и мультистабильность, стохастическая
автомодуляция импульсов - столь разнообразными и сложными становятся
самовоздействия в этом случае. Пока все эти явления наблюдаются в нелинейных системах с оптической или гибридной обратной связью. Поразительно
многообразной оказывается динамика таких систем. Полное использование
трехмерного характера светового поля в системах с двумерной обратной связью
позволяет наблюдать широкий класс новых явлений - пространственную оптическую бистабильность и мультистабильность, генерацию динамических периодических пространственных структур и оптическую турбулентность. Тесно
примыкают к этим явлениям и интенсивно исследуемые в последнее время поляризационные неустойчивости, мультистабильности и хаос.
Хотя в большинстве случаев эти новые явления наблюдаются в поле непрерывных и квазинепрерывных источников на сравнительно медленных, а потому и сильных, кубичных нелинейностях, несомненный принципиальный и
прикладной интерес представляет переход к сверхкоротким импульсам.
Переключение бистабильных устройств, использующих нелинейно-оптические микрорезонаторы с одномерной обратной связью, осуществляется за
времена порядка 1 пс. Быстрое переключение пространственных структур, двумерное и трехмерное переключение света светом, позволили бы создать сверхбыстродействующие аналоговые оптические компьютеры, оперирующие с нелинейными образами. Все это делает очень актуальными теоретические и экспериментальные исследования пикосекундной динамики нелинейных систем с
обратной связью.
Генерация сверхсильных световых полей, ставшая возможной благодаря
эффективному усилению фемтосекундных импульсов в широкополосных оптических усилителях с высокими мощностями насыщения, открыла совершенно
новые возможности перед нелинейной оптикой. В настоящее время уже
несколько исследовательских групп приступили к систематическим экспериментам при интенсивностях порядка 1020 —1021 Вт/см2 в импульсах, длительности которых изменяются от 10 до 1000 фс. Чтобы понять важность этих достижений для нелинейной оптики, уместно вспомнить значения некоторых параметров, характеризующих фундаментальные процессы взаимодействия лазерного излучения с веществом. Для удобства сравнения с экспериментальными
достижениями выразим их в терминах интенсивностей. Особое значение имеют:
1. Характерная "атомная" единица интенсивности:
Ia =
сe 2
4a04
 1017 Вт/см2, (9.2)
Ia — интенсивность, при которой напряженность светового поля равна кулоновскому полю протона Еа на расстоянии порядка боровского радиуса а0, Еа  5
*109 В/см.
При Е > Ел дискретная структура атомных уровней не проявляется, линейный и нелинейный оптические отклики вещества определяются электронными переходами в сплошном спектре и на смену нелинейной оптике атомов и
молекул приходит нелинейная электронная физика.
2. Интенсивность, приводящая к туннельной ионизации атомов.
При этой интенсивности атом за счет туннелирования электрона ионизуется за
время порядка светового периода. Для /а  1 имеем:
Iт =   a2Ia, (9.3)
где a = Wа/
и Wа — энергия связи внешнего электрона в атоме. При Wа  10
  1 эВ (видимый диапазон оптического спектра) получаем Iт  1015
эВ и
Вт/см2.
3. Порог лавинного оптического пробоя.
Конденсированная среда, не слишком разреженный газ ионизуются, вообще говоря, при интенсивностях света Iпр гораздо более низких не только, чем Iа, но и
чем Iт. Главной причиной ионизации в этом случае становятся процессы лавинного размножения (в процессе столкновений) свободных электронов, набирающих энергию в поле световой волны. В газе пороговая интенсивность лавинного пробоя
2
mcWa (1   2 ст
) 1 N кр
ln
Iпр=
. (9.4)
и N 0
2e 2 ст
Здесь ст — характерное "столкновительное" время, NKp и N0 — критическая (приводящая к пробою) и начальная плотности электронов, и — длительность лазерного импульса. Зависимость Iпр от длительности импульса Iпр и  ~
1/и имеет особое значение для обсуждаемых ниже вопросов. В поле импульса
длительности min, для которого Iпр (min) = Iт реализуется "предельная" прочность
прозрачной среды, определяемая туннельной ионизацией. В этих условиях
можно говорить о реализации предельных возможностей нерезонансной нелинейной оптики конденсированных сред и сравнительно плотных газов.
4. Характерная "релятивистская" интенсивность.
В световом поле, напряженность которого
Е = Ерел = т  с/е, (9.5)
энергия осцилляции электрона становится сравнимой с его энергией покоя. Соответственно "релятивистская" интенсивность
I рел = m2  2с3/4 е2, (9.6)
характеризует границу релятивистской нелинейной оптики свободных электронов. Для частот, соответствующих видимому диапазону оптического спектра,
Iрел  1019 Вт/см2. Отметим, что в уже функционирующих мощных фемтосекундных лазерных системах перечисленные характерные интенсивности света
превзойдены. По крайней мере, три направления исследований представляются
особенно важными.
в) Реализация предельных возможностей нерезонансной нелинейной оптики
прозрачной среды.
В качестве ключевого параметра здесь выступает оптическая прочность
среды. Для наносекундных лазерных импульсов при   a  1 (многофотонное поглощение несущественно) лавинный пробой прозрачных кристаллов и стекол происходит обычно при Iпр ~ 1010 - 1011 Вт/см2; имеются указания о
возможности повышения этой цифры на один-два порядка в специальных условиях.
В соответствии с приведенной выше формулой для Iпр есть все основания
ожидать существенного повышения порога оптического пробоя среды в поле
фемтосекундных импульсов. Грубая теоретическая оценка для   a  1, 
ст
= 0,1 и min = 10 фс дает Iпр  1014 Вт/см2; разумеется, для получения надежных
данных необходим детальный эксперимент. Заметим вместе с тем, что повышение порога пробоя до 1013 - 1014 Вт/см2 может кардинально изменить картину
нелинейных взаимодействий и самовоздействия.
Действительно, уже при вполне реальной быстрой нелинейной поправке
к показателю преломления п2 = 10-11 см2/кВт и при I = 1014 Вт/см2 имеем п2I  п0
такие явления как самофокусировка будут радикально отличаться от хорошо
изученных в средах со слабой нелинейностью.
При интенсивности света I  1014 Вт/ см2 в среде с квадратичной нелинейностью (Е   при   10-7 СГСЭ) возникает ситуация, когда высшие члены в
разложении поляризации по полю, сравнимые и даже превосходящие по величине низшие, начинают доминировать. Если длина нелинейного взаимодействия Lнл= (k  Е)-1 становится меньше когерентной длины Lког  (k)-1, условия
фазового синхронизма уже практически не влияют на эффективность нелинейного взаимодействия.
г) Неравновесные состояния в полупроводниках и металлах, сверхбыстрый нагрев твердотельной плазмы.
Длительность фемтосекундных лазерных импульсов зачастую оказывается меньше времени электрон-фононной релаксации и приближается сейчас, пожалуй, к наиболее короткому времени релаксации в твердом теле — времени
электрон-электронной релаксации. В ряде лабораторий экспериментируют с генераторами импульсов с энергиями порядка 1 мДж и длительностями около 50
фс; последнее позволяет создавать сильно неравновесные состояния в полупроводниках и металлах — состояния, возбуждение и эволюция которых связаны с
рядом новых физических явлений. Следует подчеркнуть, что успех на пути изучения этих новых эффектов определяется не только уровнем разработки генераторов мощных "возбуждающих" фемтосекундных импульсов. В не меньшей
мере необходима и фемтосекундная диагностика неравновесных процессов.
Сейчас, когда речь идет о таких коротких временах, единственная возможность
— использование оптических методов. Надо сказать, что методы фемтосекунд-
ной линейной и особенно нелинейной лазерной диагностики оказались удивительно эффективными даже при исследовании неравновесных процессов в таких традиционно трудных для оптики объектах, как полупроводники в полосе
фундаментального поглощения и металлы. Среди недавних достижений в обсуждаемой области укажем на наблюдение эффектов, которые можно отнести к
"холодному" плавлению решетки полупроводника (для возбуждения и диагностики использовались фемтосекундные импульсы), на эксперименты по генерации сильнонеравновесных электронных ансамблей в металлах.
Переход к мощным фемтосекундным импульсам привел к возникновению нового направления в лазерно-плазменных исследованиях, к изучению быстрых нестационарных процессов нагрева и распада плотной плазмы. В поле
фемтосекундных импульсов можно заведомо пренебречь разлетом; нагрев электронной плазмы в металле происходит при плотности частиц порядка 1021 -1022
см-3. В этих условиях удается нагреть плазму до температур 1-10 кэВ импульсами длительностью и ~ 100 фс со сравнительно небольшой энергией
W 10-2 Дж.
д)Нелинейная электронная физика, нелинейная квантовая электродинамика.
При I > Ia (E > Еа) мы всегда имеем дело с сильно ионизованной средой.
Нелинейный отклик здесь — это нелинейный отклик фемтосекундной лазерной
плазмы. Одним из интереснейших новых эффектов стал проявляющийся в
сверхсильных полях эффект "надпороговой" ионизации атомов. Неожиданно
сильным оказывается нелинейный отклик электрона, рассеивающегося на ионе
в поле сверхсильной световой волны; последнее может привести к генерации
многих хорошо сфазированных интенсивных гармоник, а следовательно, и к генерации сгустков электрического поля длительностью порядка 10-16 – 10-18 с.
Прорыв в область сверхсильных полей снова привлек интерес к возможностям экспериментального наблюдения эффектов нелинейной квантовой электродинамики. Хотя даже в самых смелых прогнозах речь не идет о генерации
световых полей напряженностью Е  1016 В/см (I ~ 1030 Вт/см2), при которых
возможна генерация электронно-позитронных пар в вакууме ("оптический про-
бой вакуума"), столкновение уже доступных интенсивных лазерных пучков с
релятивистскими электронами может привести к наблюдению ряда эффектов,
представляющих принципиальный интерес.
При I > 1019 Вт/см2 возможна реализация нелинейного томсоновского и
нелинейного комптоновского рассеяний. При I > 1023 — 1024 Вт/см2 речь идет
уже о наблюдении черенковского излучения в вакууме. Интереснейшие возможности исследований в фундаментальной физике открывает создание исследовательских комплексов, объединяющих мощные фемтосекундные лазерные
системы и электронные ускорители.
Литература
1. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. «Физическая оптика», М.: МГУ, 2004
2. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. М.: Физмалит,
2004.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.Д. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,
1992.
4. Боpн М., Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1970
5. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. М.: Мир, 1987.
6. Делоне Н.Б. Взаимодействие лазерного излучения с веществом. - М.: Наука,
1989.
7. Маныкин Э.А. Взаимодействие излучения с веществом. М.: МИФИ, 1996.
8. Маймистов А.И., Маныкин Э.А. Взаимодействие излучения с веществом.
Когерентные процессы. М.: МИФИ, 1996.
9. Информационная оптика. Под ред. Евтихова Н.Н. М.: МЭИ, 2000.
10.Звелто О., «Физика лазеров», М.: Мир, 1990
11.Карлов Н.В., «Лекции по квантовой электронике», М.: Наука, 1983
12.Ярив А. Введение в оптическую электронику М.: Выс. школа, 1983.
13.Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика . М.: Мир, 1976.
14.Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики М.: МИСИС,
2000.
15.Ярив А. Квантовая электроника. М.: Сов. радио, 1980.
16.Шен И. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука, 1989.
17.Клышко Д.Н. «Физические основы квантовой электроники», М.: Наука, 1986
18.Бломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966.
19.Федоров Ф.И. Оптика анизотропных сред. М.: Изд. УРСС, 2004.
20.Рошензер Э. Винтер Б. Оптоэлектроника М.: Техносфера, 2006.
21.Малышев В.А. Основы квантовой электроники и лазерной техники М.: Выс.
школа, 2005.