..... J

1
ПРИЛОЖЕНИЯ
Решение. Сумма данных чисел
1
;
П.1. ОСНОВЫ МЕТОДА СТРУКТУРНЫХ ЧИСЕЛ
§
П.1.1. Структурные числа и действия над ними
Структурным числом А
называется
система чисел
А=
... с(]n
ац
натурального
а22
... а2n
атl
С(т2"
ряда:
(П.l.l)
t tJ :; 135 lJ
i f~ ~
$
3
~~
5
4
2
4
2
структурное число
С,
столбцы
которого
получаются
в
результате­
о.бъединения элементов столбцов чисел А и В во всех возможных комбинациях,
исключением
одинаковых
столбцов
С = АВ =
1
J
[
и
столбцов,
содержащих
повторяющиеся
аl а2 аз а] а2 аз а] а2 аз]
Ь] Ь 2 Ь 2 Ь2 Ь з Ь з
Ь] ы1
Ьз
,
киваются.
Пример П.1.2. Вычислить произведение структурных чисел
А=
над матрицами.
(П.l.1)
I~
=
причем все одинаковые столбцы и столбцы с повторяющимися элементами вычер­
·'J. mn
Структурное число по внешнему виду напоминает маТрIlЦУ. Однако сходство­
между матрицей и структурным числом лишь внешнее, поскольку праВl1ла дей­
ствий над структурными числами совершенно отличаются от правил действий
Структурное число
.. В
элементы. Так, если А=[аl а2 аз], В=[Ь 1 Ь 2 Ь з ], то
.....
J
г
а21
А
Произведение структурных чисел. Произведением структурных чисел А и В
называется
за
а12
=
с
Метод структурных чисел относится к топологическим методам. Ниже изла­
гаются основные положения алгебры структурных чисел и приводятся примерьt
их применения для анализа и синтеза линейных пассивных электрических цепей.
рассматриыетсяя как множество столбцов
[~
41
3
и
5 7
В=
J
[2 5 6
3 4 7 .
Решение. Произведение данных чисел
(П.l.2)
'С
Столбцы ak, в свою очередь, представляют собой неупорядоченные множества
чисел наТУРIIЛЬНОГО ряда. Столбцы считаются одинаковыми, если они содержат
одинаковые элементы независимо от их расположения .. Одинаковые столбцы
в структурных числах запрещаются; если в результате каких-либо действий над
структурными числами появляются одинаковые столбцы, то они вычеркиваются.
Структурные числа
считаются
равными, если они содержат одинаковые
столбцы (независимо от порядка расположения столбцов), например:
[
1 1
3 2
.3] = [21 3134] [43 31 2.
1]
=
А В
A=[ala2 ... anA],
1
1
3
4
1
1
3
?
2
2
5
7
2
2
5
2
5
6
6
2
5
6 6
3
4
?
?
3
4
?
других
ассоциативности, дистрибутив­
А +В=В+А;
=
(и не содержащее какнх-либо
(коммутативности,
ности и т. д.):
4
В=[Ь ] b2 ... bl1B]' то
?
Правила действий над структурными числами удовлетворяют основным пра­
вилам элементарной алгебры
АВ=ВА;
= (АВ) С;
А (В + С) = АВ + АС.
А (ВС)
Сумма структурных чисел. Суммой структурных чисел А и В называется
структурное число С, содержащее все столбцы чисел А и В за исключением оди­
наковых столБЦGВ
=
4
столбцов).
Так,
если
(П.l.3)
)
Аналогично числу «иуль» в элементариой алгебре вводится понятие структур­
иого ,:нулевого числа», т. е. числа, не содержащего элемеитов; это число обозиа'1ается
[
]=
О. Очевидно, что
А
Пример П.1.1. Вычислить сумму структурных чисел
[2 3 5]
А= 6 5 7
558
и
В=
7]
[24 26 5.
+ А=О;
(П.l.4)
(П.l.5)
А· А=О.
Геометрическое изображение структурного числа. Пусть дан граф
... ой ,JI;yre
G
и каж­
этого графа соответствует некоторое число натурального ряда, причем
559
различным дугам соответствуют различные числа. Такой граф можно назвать
определенным и рассматривать как геометрическое изображение структурного
множеств
al,
а2, "', ak, .... а п
(где ak -
k-й столбец
числа А), то
структурное
число
числа, столбцы которого определяют все деревья графа а. Так, граф рис. П.!.!, а,
деревья которого приведены на рис. П.1.!, б, будет геометрическим изображением
(П.l.6)
~TPYKTYPHOГO числа
называется дополнительным структурным числом (относительно числа А); оче­
видно, что столбцы числа А соответствуют главным ветвям (ветвям связи)
изображения числа А.
"ример ".1.3. Найти структурное число, дополнительное к числу
A=r~ : ~]
3 5 4 .
~)
:r ~
2
',1
J
4
•
1
'"\
Рис.
П.l.2.
4
Рис. П.!.3. Дуальные графы
Подобные
деревья
Решение. Так как множество М={!.
Рис. П.!.!. Определенный граф и его деревья
l1111
2 3 332
4 4 4 5 3
65665
Структурное число, содержащее один и только один столбец, изображается
деревом. Два дерева называются подобными, если им соответствуют одинако­
вые структурные числа (содержащие по одному столбцу). В частности, равным
то
[41 1]
Ad = 5 2 2
J
7 7 7 77.
2, 3,4.5, 7} ,
7 7 3 •
Обратным геометрическим k30бражением числа А называется граф, все де­
ревья которого определены столбцами дополнительного числа А а. Если граф
G
есть изображение числа А (причем граф G планарный), то изображением числа А
будет граф аа, дуальный графу а. На рис. П.1.3 приведены два дуальных графа,
которым соответствуют структурные числа
А=
числам
[12 31 32].•
Ad
= [3
2,,
1].
Детермвнантная Функция структурного числа. Пусть каждому элементу ан
структурного числа А соответствует некоторое комплексное число Z... ДетерJCuнантной функцией структурного числа А называется функция" обозначаемая
det А и определяемая как
.,.
z
могут соответствовать подобные деревья (рис. П.l.2). Два определенных графа
называются подобными, если их разложения по деревьям содержат только по­
добные деревья. Подобные графы служат геометрическим изображениям равных
структурных чисел. Следовательно, изображением
структурного числа
будет
класс подобных определенных графов.
'
Дополнительное структурное число. Пусть множество всех элементо!! струк­
турного числа А обозначено через М. Если обозначить через al d, az«, ... , a n d
множества элементов, получаемые из М исключением соответственно элементо.
560
detA=
z
det[:~: :~: :::::~ ]
Z.
• . • • ••
аml
а m 2·· ·'1.
=
.
z z ... Z
"'1
а21
"ml
+
mn
"n (т, )
+ Za,.Za
.... ·Za + ... + Zr},Za"'Z" _ = ~ п Z;, . •
m2
ln 2п
mn
)-1 1-1: lJ
19-3624
(П.l.7)
561
Аналогично вводится понятие функции
Пример
".1.4,
det
у
.±
А = j=1 (п
У" 11,. .).
1-1
для любых структурных чисел А 1 и А 2 справедливы равенства
д
дА 1
..
дА2
-(Аl+ А 2)=--+ - - ;
да
да
да
Вычислить детермrинантные функции числа
(П .1.9)
35]
J
4 6
• Необходимо отметить также следующее свойство алгебраической проиэвод­
нои дА/да: обратное изображение структурного числа дА/да совпадает с обрат­
5 1 .
ным изображением числа А, в котором дуга а исключена (рис. П.l.4). Граф, пред-
Решение. Этими функциями будут
det А
=
Z1Z2ZЗ
+ ZЗZ4Z5 + Z5Z6Z1,
det А
=
УIУ2УЗ
+ У3 У4У5 + У5У6Уl.
Z
у
Алгебраическая производная структурного числа. Алгебраической производ­
ной структурного числа А по а называется число А' =JAjJa, получаемое из А
исключением
столбцов.
Пример
столбцов,
не
содержащих
а,
и
вычеркиванием
Рис. п.1.4. Геометрическое изображение структур­
а из остальных
ного
".1.5.
Вычислить производные при
А=
a=l, 2
и
3,
[135]
структурного числа
2 4 6
д1= 3
;
дА
*
А=[:
Решение. Эти производные запишутся как
l2]
[1 5]
Имеет место соотношение:
Ad =
(П.1.8)
Числу дА/д1
"ример П.I.6. Проверить соотношение (П.I.8) для числа
:;] пр, ~
обратным
2
геометрическим
изображением
312]
4 2 3 342 4
5 3 5 4 5 5 5 ,
l:
2 4 2 1 1 3
3 5 4 5 2 4
~].
= [2
4 2 3 2]
453 5 5
= 1.
н, следовательно, обратное изображение (рис. п.l.4, б).
l2 5]
Обратная производная структурного числа. Обратная nроизводная А =БА/Ба
определяется как структурное число, получаемое из А вычеркиванием всех столб­
цов, содержащих а.
"рим ер П.I.7. Вычислить'производные числа
откуда
А
Кроме того,
производных
соответствует дополнительное число
дА = 3 6 '
Решение. Производная дl
его
т. е. изображением числа
д2= 3 6 ;
А ~ r~
и
ставленный на рис. П.l.4, а, служит
3 5 2 .
дА
числа
если
1
t
[153 4]
2
2
при а
= 1, 2,
3.
3 7 6
~
562
=
*
19*
Правила вычисления структурных чисел по графу даны ниже.
563
Одинаковые члены функций det дА/дl и det дА/д4 определяются одинаковыZ
Z
ми столбцами чисел дА/д! и дА/д4 (обведены рамкой). Следовательно, функция
совпадения будет содержать слагаемые ZзZs и Z2Zв. Чтобы выяснить знак этих
слагаемых, нужно исключить дуги
3
и
5,
затем
2
и б; в результате получатся кон­
туры, изображенные на рис. П.l.5, б и в, соответственно. В первом контуре дуги
1 и 4 направлены одинаково, во втором - противоположно, поэтому
Для любых двух структурных чисел А ! и А 2 справедливы следующие соот­
sim (дА/дl, дА/д4)
ношения:
l'
Z
=
ZЗZ5 -
Z2 Z 6'
,
(П.l.10)
5
Кроме того, обратная производная обладает следующим свойством: обратиое,
изображение структурного числа БА/Ба совпадает с обратным
изображение ..
числа А, в котором дуга а закорочена (и исключена).
Рис, П.!,5. К определению функции совпадения
Тяк, "". ",яФя, "ОБРЯЖ'''О.: H~ Р[:' :.l:]a~
!"
&1 '
, , (:~ У =
Аналогично
'
455
§ П.1.1. Анализ электрических цепей методом
[5 2' 3]. '
структурных чисел
Обратное изображение БА/Б1 приведено на рис. П.1.4, в.
Функция совпадеиия. Пусть прямое
(обраТНО,е)
изображение
Расчет оп~еделителя узловых и КОнтурных уравнений. Определитель ""'1' сиете..:
структуриого
мы уравнении узловых потенциалов lJaBeH сумме величин всех деревьев ехемы
числа А содержит дуги а и ~. Функция совпадения структурного числа А обозиа­
чается как
(см. гл. 2). Деревья схемы могут быть найдены на основании следующей теоре­
мы: структурное число А, геометрическое изображение которого задано и имеет
n узлов, равно произведению однострочных структурных чисел P 1P2 ... P n _ t , эле­
менты которых соответствуют дугам,_СХОДЯЩИМСЯ к любым (n -1) узлам изобра­
sim (дА/да., дA/д~)
z
и равна линейной комбинации (~ кqэФФици, ентами
«+1»
или
«-1»)
жения. Таким образом,
одииаковых
членов в функциях det дА/да и det дА/дР; знак каждого слагаемого линейной
Z
'
,
Z
комбинации определяетс~ из рассмотрения прямого (обратного)
у
Справедливость теоремы для простого графа (см., например. рис. П.l.3) оче­
изображения
видна; справеД.ливость теоремы для любого графа может быть доказана методом
числа А. Если после исключения в прямом (обратном) изображении дуг, соответ­
ствующих даниому слагаемому, получается контур. в котором дуги а и
оди­
наково направлены, то слагаемое берется с коэффициентом «-tJ» (при разных
направлениях - с коэффициентом «-1»).
математическоя индукции.
Пример П.l.8. Вычислить число А для графа, изображенного на рис. П.l.5 а
f3
я определитель
Пример П.l.8. Обратное ~зоqра~ение структурного числа
А
1., ", ,.,1 .1, ,,1 ,1.',' 1 1 ,1 2 2 2 2 5 5 5 :
5]
А = [ 4 4 555 '6 6 '6 4 5 6 6 4 6 6
, ! , , ' , ' , " ';{'З'23 ,'~ 2 3 4 3 3 3 4 3 2 3
z
Решение. Производные структурного числа запишутся как:
: :] ;
~I '~I:J.
~: [~ ~ ~ ~
-
S64
3
/
= [!
2
зJ
t
1 11
= [.245
1, Р=4.
~; '= [: : ~ I;/,,~ ~~)
""'1',
' ,
Решение. Из приведенного графа следует, что
Аналогично вводится фу~кция s~m(дА/да, дА/дР).
приведено на рис. П.1.5, а. Пусть а=
Определить sim(aA/aa, дА/дР).
""'1' = det А.
.~
= ~I
1 1
222
4 3 6
12 4
5l
..J
2
г
3 3
4
5
г
!
4
..,
~
3
~~
:J [4 36] =
I 1 r 1 1
4 4 5 5 5
3 6 4 3 6
I
I
f
::: : : t:
112 222
3 3
3
j
5
4
J
~,
565
То же самое число может быть получено из следующих произведений:
А
2 3] [2 4 5] [1 5 6] = [1 2 3] [3 4 6] [1
= [2 4 5] [3 4 6] [1 5 6].
= [1
..!
5 6] =
Zl
+
+
+
как
определитель
схемы,
получаемои
Z1
-
структурное число, изображение кото­
граф CJIужит обратным изображением);
Z - множество сопротивлений ветвей
схемы.
В качестве примера можно доказать формулу (П.l.12). Для заданной схемы
уравнение контурных токов запишется как
n
~Z!jll =
г2г
45 .-,}
56~ ~
$J
56456
3 4]
КТ = /2//1
где
=
+
Ка
=
-Е-
+
+
+
+
Рис. П.l.6. Пассивный четырехполюс­
ник
Так как столбцы числа А <1 определяют дополнения всех деревьев схемы то
столбцы чисел aAd/aa и aAd/a(3 соответствуют тем ветвям схемы, ИСЮIюч~ние
которых превращает схему в один замкнутый контур. Таким образом, одинаковые
столбцы чисел aAd{aa и aAd/a~ отображают ветви схемы, размыкание которых
ры, токами которых будут
12' или /2iJ. •
дополнение L1!1 есть контурный определитель схемы при
исключеннои ветви а= 1. Следовательно, L1 1l равен сумме тех дополнений де­
ревьев, у которых ветвь а= 1 исключена, поэтому
Алгебр~ическое
+
+
+
+
dII=det дАа/да.
Z
det A d
' .
Алгебраическое дополнение L1 12 равно линейной комбинации (с коэффициен­
тами «+1» или «-1») таких дополнений деревьев, у которых ветви а и (3 исклю­
~;
чены; при исключении этих дополнений схема превращается в контур с током
12' или /2iJ. •
(П.l.11)
Таким образом.
sim (дАа/да, дА а/др)
-=z______________
(П .1.18)
(П.l.12)
'1
ПАодстановка (П.l.17) и (П.l.18) в (П.l.l6) приводит к формуле (П.1.12).
налогично могут быть доказаны формулы для КU,
566
(П 1 17)
z
Z
12
определителя
превращает схему в одиночные контуры, содержащие ветви а и ~, т. е. в конту­
+
sim (дАа{да, дАdlд~)
К Т = -1-1 =
соответствующие алге­
положно.
3 6],
--=::z:..-_ _ _ _ _ _
=
-
дополнения
где 12" -токи контуров, содержащих ветви а=1 и ~=2, причем направление
этих токов совпадает с ориентацией ветвей а и ~; /2..,. - токи контуров, содер­
жащих ветви а и (3, причем в этих контурах ветви а и ~ ориентированы противо­
Расчет передаточных и входных функций. Для линейного пассивного четырех­
полюсника (рис. П.l.6) справедливы следующие формулы:
и2
(П.l.15}
3, ... , n.
р.
2. 5][5 4 6][1
+
L1 Il
/2= ~/2'- ~/2f.L'
/::;.К = Zl Z4(Z2
Zз)
ZlZ5 (Z2
ZЗ
Z4)
ZlZ6 (Z2
ZЗ
Z4) +
+Z2Z~З
Z2Z5ZЗ
Z2 Z 6 (ZЗ
Z4)
Z5 Z 4 ZЗ
Z5 Z 6 (Z2
ZЗ
Z4).
+
= 2,
(П .1.16)
'*
откуда
+
и
= "Ч2/д.11 ,
Ток /2 в формуле (П.l.l6)
можно
всегда (при Кl
О) представить как
2 3
+
1;
системы (П.l.l5).
~ ~'~ ~ ~ ~ 1: JI;f f ~ ; J~ I
= [1
L1 12
браические
6 6
Аа
j
=
Тогда
на
5 5
или
(Е. j
О,
1-1
2 5] [4 5 ~] [2 3 4] =
1 1
Щ.l.14)
рого задано графом четырехполюсника (а, следовательно, для числа АС! данный
число А<I, обратное изображение которого задано графом, равно произведению
однострочных структурных чисел Р 1 Р2 ... Р .. , соответствующих всем независимым
контурам обратного изображения; таким образом /::;.К = d,it А а •
Эта теорема
приведенного
z
= - = -.....:=----/1
de! дАа/да
Во всех приведенных формулах А
соответствую­
щего узла с базовым, поэтому paC~MOTpeHHoe правило справедливо и для симметричных алгебраических дополнении.
•
Определитель системы контуриых уравнений равен сумме произведении сопро­
тивлений всех совокупностей ветвей связи (дополнений деревьев). Этот опреде­
литель может быть найден с помощью следующей теоремы: структурное
может быть доказана методом математической индукции.
Прнмер П.l.9. Вычислить
определитель L1K дЛЯ графа,
рис. П.l.5, а.
Решение. Число
z
det ма/оа
z
узловых уравнений
замыканием
(П.l.13)
dеtдАd/да
,и 1
+ У6) + YI Y4 (УЗ + У6 ) + У1 У5 (У4 + УЗ + У6) +
+ Уз + У6) + У3 У2 У6 + У3 У4 У6 + Уз Уs (У4 + У6 )·
Симметричное алгебраическое дополнение опре.l!,елителя
рассчитывается
z
= - = --'-'---/1
Поскольку столбцы структурного числа соответствуют деревьяl'<! схемы, то по
виду числа А можно сразу здпис.ать определитель узловых уравнении:
/::;.1 = YIY2(Y4
~з
У2 У4 У6
У2 У5 (У4
det А а
Е
ZI, Z{.
567
Оример
рис. П.l.7, а.
0.1.10. Определить Кu, KI, Zl И Z/ дЛЯ схемы, приведенной на
Детерминантные функции рассчитываются C;IIeдуЮЩИм образом:
det A d = ZlZ2 (Zз
б)
z
4
+ Z4 + Z5) + Z1Z5 (Zз + Z4) + Z1 Z 6 (Zз + Z4 + Z5) +
+ ZЗZ2 (Z4 + Z5) + ZЗZ5Z4 + ZЗ Z6 (Z4 + Z5) +
+ ZGZ2 (Zз + Z4 + Z5) + Z6Z5 (Zз + Z4) = N;
det aA d/al = Z2 (Zз + Z4 + Z5) + Z5 (Zз + Z4) + Z6 (Zз + Z4 + Z5) = Р;
z
det M d /&1 = ZЗZ2 (Z4 + Z5) + ZЗZ5Z4 + ZЗ Z6 (Z4 + Z5) +
z
+ ZGZ2 (Z5 + Zз + Z4) +Z6 Z 5 (Zз + Z4) = Q.
Рис. П.l.7. К примеру П.l.l0
Решение. Структурное число, обратное изображение которого совпадает­
с графом (рис. П.1.7, б), находится перемножением однострочных чисел; опреде­
YJ
о}
ляющих независимые контуры:
' z!
У,
~U2
• Yz
1,'
Y~
Е
о)
У4
У6
U,~
Рис. П.1.8. К примеру П.l.11
: : : : : : :,1]
4 5 3 4 534
Применяя формулы (ПJ.ll)-(П.1.14), можно J;lОЛУЧИТЬ
~
КU
=
дl
дА d =
д2
[2 2 2
3 4 5
[1 '1 1
3 4 5
[33
I~II~ :!];
/~//1//~ :/];
'~ I
3
4
3 3 3
5
4
ZI = Щ/l
В формулах (П.1.11) -
(П.1.14) используются множества сопротивлений ветвей
схемы; аналогичные формулы могут быть получены с использованием проводи­
мостей:
sim (дА/да, дA/д~)
6 6 6 6 6]
К
и
у
=
о
detA
Все слагаемые функции совпадения взяты со знаком плюс, что следует из ориен­
тации ветвей 1 и 2 в контурах 1-4-2,1-3-5-2.
568
(П.l.19)
-
sim (дА/да, дA/д~)
К1 =
у
-..:...----- Ур •
(П.l.20)
detM/&a
у
дА d/дl и дА d/д2:
+ ZЗZ6 + Z4Z6 + Z S Z6 = М.
У.;
у
Функция совпадения определяется одинаковыми столбцами чисел
z
= N/P;
Z~=Ul//l=Q/P.
Md
ы= 2 2 5 6 6 2 2 2 5 5
4 5 4 4 5 34534.
sim (дАd/дl, дАd /д2) = ZЗZ5
= (M/N)'Z2;
К[ = /2//1 = М/Р;
Производные данного числа можно вычислить как
дА d =
и2/Е
В последних формулах А
дает с заданным графом.
-
структурное число, изображение которого совпа­
Орнмер 0.1.11. Определить КU и
KI
дЛЯ схемы, приведенной на рис. П.l.8, а.
Решение. Структурное число, изображение которого совпадает с заданным
графом (рис. П.1.8, б), находится перемножением однострочных чисел, соответ-
569
ствующих всем узлам, кромебазового:
.лизации цепи весьма общим топологическим способом без каких-либо ограниче­
~~
находить оптимальную цепь (по общему числу элементов, числу индуктивностей,
ний на конфигурацию,
3
~ ~
3
~
5 6]
2 2 3 3 3 444
) 6
с
i
~~
случае
реализации
дика
6 2 5 6
синтеза
М
-=
01
'~I I~I :1
2 3 3
5 6 2 5
и
переда­
Z()(
поясняется
на упрощен­
двухполюсников
(рис.
6 3 4
III
3
4
5
5
[3 333
5
б
6 2
б
5
сопротивления
det Mdj'fJ:z
__z________
det А а
То же сопротивление выражается через проводимости ветвей как
det дА/да
Z = -,,-У- - - ' - detA
6 6 2 6
УЗ У6
у
+ У4УБ =
Входное сопротивление двухполюсника (рис. П.l.9, б)
М.
det А а
Первое слагаемое отрицательно, так как в контуре 1-5-2-4 ветви 1 и 2 ориен­
тированы
противоположно;
второе
слагаемое
1-3-2-6 ветви 1 и 2 ориентированы одинаково.
положительно
det А
у
=
У1 У2 (У5
так как
в
контуре
+ Уз У2 У6 + УЗ У4(У2 + У5 + У6 ) + У5 У2 У6 + УЗ У5 У6 + У5 У4 (У2 + У6 ) =
d~t MJ&l = УЗ У2 У6 + УЗ У4 (У2 + У5 + У6 ) + У2 У:;У6 + У5 УЗ У6 +
= (M/N). Y1;
det дАа/да
(П.1.21 )-(П.l.23) А -
det А
____
у'--
Уа
det
____
(П.l.23)
М/оа
У
структурное число, изображением которого
мах (и, следовательно, для дополнительного числа
N;
У6)=Р.
Ad тот же граф будет обрат­
ным изображением).
Для доказательства выражения (П.l.21) следует записать сопротивление как
Z= Ll~~~/Ll(K),
где ~~~,} ~(")
_
контурный определитель схемы
алгебраическое дополнение этого
при
(П.l.24)
замкнутых
определителя,
т.
е.
входных
зажимах;
определитель
при разомкнутых входных зажимах (разомкнутом первом контуре).
Учитывая, что обратное изображение числа БА/Ба совпадает
= (М/Р)· У2 •
Kj
_ _
служит граф соответствующего двухполюсника при разомкнутых входных зажи­
Окончательно, с учетом (П.1_19), (П.l.20)
КU
z
z
Б формулах
+ У6 ) + У1 УЗ (У2 + У5 + У6) + Y1Y4(Y2 + У5 + У6 ) +
+ У5 У4(У2+
Z=
'
детерминантные функции запишутся как
(П.l.22)
У
Функция совпадения
sim (дА/д], дАjд2) = -
(11.1 .. 21)
z
55]
4 2 3 4 4 .
через
Z=Z~
I~I];
2 4 4
выразить
ветвей:
4
2
[2
[~
д2
входных
11.1.9, а). Входное сопротивление Z Рис. П.l.9. Пассивный двухполюсник
можно
дА
в два этапа:
ных примерах.
Синтез
дl
возможность
GJI[J
точных функций относительно невы­
.сокого порядка. Поэтому ниже мето­
Производные этого числа
дА =
принципиальную
Задача реализации цепи методом структурных чисел решается
244 4
562 5 6
дает
синтез графа и расчет значений параметров всех элементов. Оба эти этапа могут
быть выполнены на цифровой вычис­
.лительноЙ машине_ Число совместно
решаемых уравнений при расчете зна­
~ений
параметров
элементов
цепи
будет довольно значительным даже в
3 3 3 3
~
в частности,
суммарной величине емкости и другим критериям).
~~:t::::J@56J=
111 111 1 1
что,
с
схемы
обратным
изображением числа А, в котором дуга а закорочена и исключена, можно выра­
зить контурный определитель через детерминантную функцию:
§ П.1.3. Синтез электрических цепей методом
структурных
чисел
Ll(K)=Z
Известные методы синтеза пассивных электрических цепей обладают харак­
терными
ограничениями:
прим~нимы
лишь
в
определенных
случаях
и
к схемам. вполне определеннои конфигурации, например, цепочечной,
приводят
мостовой,
Т-образнои и т. д. Применение структурных чисел позволяет решать задачу ре а-
570
d~t QAdjoa.
"z
К.З
(П.l.25)
Кроме того, как отмечалось выше,
Ll(K)
=
detA d •
(П.l.26)
z
571
Таким образом, можно задаваться любым числом т, удовлетвор~ющим ~OOTHO­
Подстановка (П.1.25) и (П.l.26) в (П.1.24) приводит к равенству (П.1.21).
Формула (П.l.22) непосредственно следует из уравнения для входного сопро­
.ивления, выраженного
через
узловой определитель ~(y)
и его
алгебраическое
дополнение ~ i~):
шению (П.1.З4); разумеется, число т должно быть целым. Самыи простои граф
будет при наименьшем т. По структурному ЧИСЛУ А [см. (П.1.29») легко построить
граф.
"
,
'
Далее на
(П.1.27)
поскольку
д(у)
= det А;
ции
det 'БА d joa И det A d ,
z
z
a n+1pn+l
г де сопротивление каждой ветви определяется
А(р)
=
[3(р)
Коэффициенты
+ аnрn + ... + ао + ... + а_ (n+l)р-(n+l)
-.-::.:....:....:.:~----=------~~~-В (р)ьnpn + Ь n_ 1pn-l + ... + ЬО + ... + Ь _nр-n
=
параметров
можно подучить:
у
Аналогично доказывается соотношение (П.1.2З).
При синтезе двухполюсника методом структурных чисел можно использовать
любую из формул (П.l.21)-(П.1.2З). причем методика синтеза не зависит от вида
формулы. Поэтому ниже поясняется применение только одной фОРМУЛh\ (П.1.21).
Пусть задана вещественная положительная функция
А( )
Z (р) = -р-
рассчитать численные значения
равенством (П.l.ЗО). Приравнивая выражения дляZ(р) [см. (П.1.21) и (П.l.28)],
да) = det дА/да.
у
втором этапе следует
элементов схемы. Для этого, согласно (П.1.21), вычисляются в общем виде функ-
Z
(П.l.36)
а.
при одинаковых степенях полиномов
в чисдителе
и знаменателе
левой и правой частей (П.1.З6) должны быть соответственно равны. Следоватедь­
но. получается система из (4n+4) нелинейных уравненl'IЙ:
f n+l
(П.l.28)
(Гl. L1, Сl, •.. ) = а n + 1 ;
Требуется реализовать эту функцию как входное сопротивление двухполюсника.
состоящего из элементов г, L. С.
(П.l.37)
, На первом этапе строят граф двухполюсника (точнее - класс определенных
подобных графов). для чего задаются структурным числом А в виде произведе­
'Р,,(Г1, L
ния однострочных структурных чисел:
A=PIP2 ... P m'
:Произвольный элемент а/; должен входить не более чем в два числа
(Pi.
Р;)
произведения (П.1.29). поскольку каждая дуга графа соединена лишь с двумя
вершинами. Кроме того. числа Р; и Р; должны быть различными. т, е. P,,*PJ
(i. j=l, 2, .... т; i,*j)P/,*'I:.P" (k,*i); в I1РОТИВНОМ случае получится А=О.
k
От числа сомножителей т в произведении (П.l.29) и числа элементов в каж­
дом сомножителе зависит, очевидно. сложность' графа. определяемая числом его
вершин и дуг. Поэтому следует связать число ветвей в и число узлов у цепи
со степенью
n
полинома знаменателя функции (П.l.28).
Пусть i-я ветвь цепи состоит 'из последовательного соединения индуктивно­
.сти L/, резистора Г/ и емкости С/. Тогда сопротивление этой ветви
Zl
= pLi + Ti + P-1Ci1.
(П.l.30)
Степень n знаменателя функции (П.1.28) равна максимальной положительной сте­
пени detAd функции (П.l.21). Так как каждый столбец структурного числа А"
z
-содержит
'Р_ n (Гl.
(П.l.29)
где
ер" ,- некоторые функции Ti, L/, С/.
Правые части уравнений (П.l.З7) можио умножить на любое число k, что
соответствует умножению числителя и знаменатедя функции Z(p) на это число,
{;.
т. е. не изменяет функции. Решение системы (П.1.37)
чения параметров всех элементов электрической цепи.
38,
4n
+ 4.
турного числа А (с тем же т, но ,фугим раздожением на множители; с большим
на 1, 2. '" числом т), а также нового а. Таким образом. получается множество
реализаций функции Z(p).
Оример 0.1.12. Реализовать функцию
(П.l.32)
т=у-l ~(n+4)j3.
8=т
+ n.
+ Зр2 + 2р + 6
2р3 + 3р2 + 7Р + 4
(р
- 2р3
+ З)(р2 + 2)
+ 3р2 + 7Р + 4'
р2+2=О), то обратная функция имеет полюса на мнимой оси. Эти полюса сле­
дует
выделить:
1
Z(p)
(П.l.33)
где Уl
Следовательно. число однострочных структурных чисел в (П.1.29)
число ветвей
р3
(р) =
Решение. Вначале можно реализовать эту функцию методами, изложенными
в гл. 5, чтобы сравнить с методом структурных чисел. Поскольку заданная функ­
ция имеет пару сопряженных нулей на мнимой оси (определяемых уравнением
Из (П.l.З1) и (П.1.32) следует. что
y:;;;..(n+4)j3+1.
число, уравнении...
В частности. ряд значении
(П.l.31)
то должно выполняться соотношение
3в:;;;..
превышает
параметров можно принять равными НV,;tю или любой другой ведичине.
Весь цикл реализации двухполюсника можно повторить ддя нового, струк­
Z
Число коэффициентов ai. Ь ; функции (П.1.28) равно (4n+4), поэтому можно
составить (4n+4) уравнений для определения неизвестных параметров. ПосколJi.
572
Кроме того, есличисдо неизвестных
то необходимо наложить дополнительные условия.
,
ку всего неизвестных параметров
позволяет определ~ть зна­
Следует отметить, что некоторые коэффициенты функции (П.1.28) могут бытьь
равны нулю.
(8 - у+ 1) элементов (по числу ветвей дополнений дерева). то
n=8-у+l,.
Сl'''')= Ь n ;
L1, с1 .... )= Ь __ n '
"
(П.l.34)
=
=
2р3
pi(p2 + 2);
(р
+ 3р2 + 7р + 4 =
+ 3) (р2 + 2)
У2 =
2 (р
_р_
+2
р2
+ 2 (р + 1) =
Р +3
Уl
+ Yz ,
+ l)j(p + 3).
Функция У! реадизуется, очевидно, последовательным соединением индуктин­
ности и емкости. Функция У2 удовлетворяет условиям для ПРОВОДIIМОСТИ
r-L-cxc-
(П.l.35)
20-3624
573
Пусть а=
мы и ее реализация осуществляется в соответствии с равенством
2(р+
тогда
=_I_+_1_=ZЗ+ Z4.
р+3
_
1,
р
2
1)
+1
det ~AdJOl = ZЗZ4
Функция Zз= 1/2, очевидно, представляет собой сопротивление резистора, а функ­
ция
Z4=1/(p+l)
-сопротивление
емкости. Полная реализация функции
параллельного
соединения
Z(p) приведена на рис. П.l.l0.
резистора
и
Z
В соответствии с (П.1.21)
Чтобы применить метод структурных чисел, вначале следует привести задан­
ную функцию к виду (П.1.28). ДЛЯ этого можно умножить числитель и знамена­
Z
тель функции на р-2:
z
(р)
о.р3
=
+ О.р2+ Р + 3 + 2р-l + 6р-2 + о.р-З
О. р2 + 2р + 3 + 7р-! + 4р-2
~---..:.--":....-.::....!-...:.....-.....:-..~--.-:.~-~~-
а)
~-.....;:...-_-
+ Z2Z4 + Z2ZЗ'
(р) =
ZI
ZЗZ 4 + Z2 Z 4 + Z2ZЗ + Z1 Z 4 + ZI ZЗ •
Далее следует принять Z; и= 1-4), согласно равенству (П.l.30), и подставиrь
в предыдущее выражение. В результате функция Z(p) будет представлена в виде
рациональной дроби, причем. коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе
будут выражены через 12 неизвестных (';, L;, C i ; i=I-4). Из соотношения
(П.l.36) в данном случае могут быть записаны 12 уравнений. Поскольку решить
12 уравнений с 12 неизвестными без вычислительной машины очень трудно, доста­
точно показать одно
рис. Пl.l0.
Пусть
Z1 =
из
Р L1
решений, которое приводит к схеме,
+ Р-lс-l
1;
Z
'
Z3 =
2 = '2;
Р
изображенной на
-1с- 1
3;
Тогда
+ P- 1c1 1) х
'4 ('2 + р-1 сз- 1 ) + '2p-1c;1
х
=
'4 (p- 1c;1+ '2 + pLl + P- 1c1 1)+ с;l ('2 + pLl + P-1c1 1)
P(Ll'2'4) + (L 1'4C;1 + 'ZLIC;l) + р-l (c 1 1'Z'4) +
р (L 1'4) + ('4'2 + C3" lLl) + р-l (Г4с3"1 + c11'4 + T2c ;1) +"'+ р-2 (С 1 1 С з- 1 '4 + с11с;l(2)
.......
+ p- Z(с 1 1 с;1)
Z (р)
Рис.
П.l.10. К
П.l.12
Рис.
примеру
Таким О'бразом, у заданной функции
т:;;;"
Пусть
m=2.
П.!.11. Графы двухполюсника
n=2. По соотношению (П.l.34)
(2 + 4)/3 = 2.
Тогда число узлов схемы
g=m+l=3,
число ветвей
=
(pLl
Сравнивая последнее выражение с заданной функцией, можно записать слс.п;ую·
щие уравнения *:
Можно задаться числом А следующего вида:
А
= PIP2 = [1
Так как числа Рl
2][2 3 4]
L 1'2'4=k; ('4+'2)c;I L1 =3k;
=
2]
[ 21 31 41 32 4.
с 1 1 с;1 (Г4
('2
и Р2 соответствуют ветвям, присоединенным к независимым
узлам, что по выбранным числам Р1 и Р2 ~ожно построить граф (рис. П:1.11, а).
Число
Ad =
[34 42324131].
Z
= ZЗZ4 + Z2Z4 + Z2ZЗ + Z1 Z 4 + ZI Z З'
6k;
Ll'4 = 2k; '2'4
+ (4) с;l + C1 1'4 = 7k;
+ C;lLl =
3k;
С 1 1 с з1 = 4k.
Отбрасывая любые три уравнения, можно получить систему из пяти ураUIIСIIНЙ
С пятью неизвестными, например:
Следовательно, детерминантная функция
det A d
+ (2) =
C1 1T2'4=2k;
L 1'2'4 = k;
L1'4 = 2k;
c 1 1'Z'4 = 2k;
C11c3"1 (Г2
+ (4) = 6k;
с 11 с3"1 = 4k,
*
Предварительно числитель и знаменатель функции умножены на одно 11
то же число k.
575
574
откула lIетрудно найти неизвестные:
Решение. Заданная функция приводится к виду (П.l.38), для чего числитель
Г2=1/2 ом, Г4=1 ом, L1=2k
2ft,
и знаменатель умножаются на р-2;
C 1 1 =4k ф-1, с з 1 =1 ф-l.
Два из трех отброшенных уравнений удовлетворяются лишь при k= 1(2, В чем
можно убедиться непосредственной подстановкой найденных величин. Таким
nбоазом, система из восьми уравнений имеет следующее решение:
L]=l
т.
е.
методом
2ft,
чисел
получена
вновь
схема,
m=3,
m=2
приведенная
А
на
задаться числом
А
то получится
4/9
= [1
граф,
о.р2+2р+3+2р-l +р-2'
= [1
2][2 3
4][4 5]
=
.
[~ ~ ~ ~
: : :
~]
45455455,
2 3] [3 4] ,
изображенный
Следовательно, m~2/3+2. Пусть
тогда у=4, в=5. Если задаться числом
рис. П.l.I0.
Если при
р + о + о.р-l
= --~-'----'------=---­
Из последнего выражения определяется n=2.
С 1 =lj2ф, '2=cl/20M, С з =1 ф, Г4=1 ом,
структурных
К (р)
на
рис.
то можно получить граф четырехполюсника (рис. П.l.13). Для этого графа число
П.l.ll, б. На основании этого графа можно по­
лучить схему (рис. П.l.12). Для m>2 задан­
ная функция Z (р) реализуется схемами, у ко­
Т/г
торых в>4, у>3.
Синтез четырехполюсников.
Для
синтеза
четырехполюсников методом структурных чисел
Рис.
П.l.12.
Другое
'Могут быть использованы формулы
(П.1.l1),
(П.l.12), (П.1.19), (П.l.20). Пусть, например,
требуется реализовать функцию
решение
примера П.l.12
Рис. П.1.13. Граф че·
Рис. П.1.14. К при­
меру П.l.13
тырехполюсника
(П.l.38)
как коэффициент передачи напряжения четырехполюсника
(см. рис. П.l.6)
Pi
должны удовлетворять тем же требованиям, что и в случае двухполюсника.
Число сомножителей т определяется следуюшим образом. Сопротивления ветвей
Za
И Z~
а у
-
обычно бывают заданы. Пусть
Za
=г,.,
число узлов четырехполюсника, то число
Zp
3 2 2 2 1
Ad = [: 4 5 4 3 5 4
..
По структурному числу А [см. (П.1.29)] строится граф, причем множители
Пусть а=
1,
=г~. Если в-число ветвей,
неизвестных
параметров
aAdJaa = aAd/al = [5 4 3];
[при
условии, что сопротивление i-й ветви определяется выражением (П.l.30), где
i=l=a, i=l=~] равно 3 (в-2). Это число должно быть не меньше числа коэффи­
циентов функции (П.l.38), т. е.
(П.l.39)
3(в-2):;>4n.
На основании (П.l.ll) для степени n справедливо
образом, из (П.l.31) и (П.l.39) следует, что
равенство
у:;>n/3+3;
т
"1,
=
у -
1 :;> n /3
+ 2.
(П.l.31).
К u (р) = рЗ/(2рЗ
+ 3р2 + 2р + 1)
aAdla~ = дА d/д5
На основании (П.l.ll)
к =
Таким
И
ZЗГ5
= [3
2
1].
можно вычислить
ZЗ Г 5
+ ZЗZ4 + '5Z2 + Z2Z 4 + Z2 ZЗ + 'If5 + 'IZ4 + ГI ZЗ'
(П.l.40)
Если принять Zi. и=2, 3, 4) согласно (П.l.30), то можно составить систему из
( П. 1 .41)
ную систему; достаточно найти решение, полагая
После синтеза графа четырехполюсника определяются числовые значения
Li, Ci путем решения системы нелинейных уравнений, аналогичных (П.1.37).
Пример П.l.13. Синтезировать четыехlIoлюсникK по коэффициенту передачи
напряжения
~J.
~=5. Тогда
-восьми уравнении с девятью неизвестными. Здесь не следует решать такую слож­
Z2 = р- 1 С"21 ; Zз = рL з ; Z4 = р- 1 С"4 1 . При этом
К(р)
.
=
р(L З Г5)
р(L З ГБ+ГI L з)+(L зС4'l
+ L з С"2 1 + Г1 (5) + p-l(Г5С"21 + i1C4'I)+"'-+
... _ - - - - - - - - - + р-2 (С"2 1С4'1
+ Г1 L з) •
576
577
Сравнение последнего выражения с заданной функцией дает
следующие
урав­
нения:
'5Lз = 1; Lз,s + L З '1 = 2; L з С;jl
'5 С 2
Учитывая, что
'1 ='5= 1 ОМ,
1
+ '1 с-4 1 =2;
+ L з с?:l + '1'5 =
1
1
с2 с4
Если обозначить выходной вектор через
У1
3;
У2
(П .2.2)
у=
= 1.
Уm '
из этих уравнений можно получить решение:
а входной вектор (включающий возмущения -
L з = '1 Ul; С2 = С4 = 1 ф.
напряжения и токи источников)
через
Схема четырехполюсника приведена на рис. П.l.l4.
(П.2.3)
q=
П.2. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
qp ,
Метод переменных состояния вначале применялся в теории систем управле­
ния. В последние годы он все шире используется и для анализа электрических
цепей. Основные достоинства метода
его общность
-
то уравнения состояния запишутся в следующем виде:
(он пригоден для линей­
ных цепей с постоянными и переменными во времени параметрами, нелинейных
и коммутирующих цепей), удобство при выполнении расчетов как на аналого­
так и на цифровых вычислительных машинах.
. вых,
§
П.2.1. Предварнтеnьные ПОНЯТИЯ
в общем случае необходимо решить дифференциальное уравнение n-го порядка
(n - порядок цепи). Метод переменных состояния приводит к системе
ний первого порядка, называемой нормальной системой уравнений.
состояния
-
это
величина,
ную в системе, т. е. состояние системы.
+ Bq;
(П.2.4а)
у= Сх
+ Dq,
(П.2.4б)
где А, В, С и D - некоторые матрицы, зависящие от ТОПОJIОГИИ цепи; элементы
векторов х, у и q - функции времени.
§ П.2.2. Составnение уравнений СОСТОЯНИЯ
При анализе переходного процесса электрической цепи обычными методами
Переменная
Х= Ах
характеризующая
Совокупность
n
энергию,
переменных
уравне­
запасен­
состояния
системы в произвольный момент времени дает возможность описать
поведение
системы в будущем. В электрической цепи в качестве переменных состояния вы­
бираются обычно напряжения на емкостях и токи в индуктивностях. Такой выбор
Запись уравнений цепи в форме (П.2.4) вначале иллюстрируется на простом
примере. Пусть требуется составить уравнения состояния схемы (рис. П.2.l) , при
этом ис
и
iL - переменные
состояния.
Тогда,
-
чтобы составить уравнения состояния, необходимо
'с
в соответствии с (П.2.4а) выразить
напряжение
на индуктивности (LdiL/dt)
и ток в емкости
(Cduc/dt)
через
переменные состояния
и
источника тока (входную величину):
ток
с
объясняется тем, что эти переменные непосредственно определяют энергию, запа­
сенную в цепи. I(роме того, обычно начальные условия, необходимые для реше­
ния дифференциальных уравнений, задаются именно как напряжения (или заря­
ды) еМКОСl'ей и токи (или потокосцепления)
индуктивностей. Знание этих
напряжений и токов в момент времени o, а также «возмущений» цепи позволяет
определить все напряжения и токи в любой момент времени t~to.
Однако выбор в качестве переменных состояния напряжений емкостей и
токов индуктивностей необязателен .. Производная от этих напряжений и токов
также может быть переменной состояния. I(роме того, переменными состояния
могут быть и другие напряжения и токи, так же как и их производные.
Далее в качестве переменных состояния (если не будет специальной оговор­
ки) будут выбираться напряжения на емкостях и токи в индуктивностях. Сово­
купность переменных состояния, или вектор состояния, .будет обозначаться чере.з
t
Рис. П.2.l.
Уравнения
1 и 11
(П.2.5а)
законов I(ирхгофа.
Далее в соответствии с (П.2.4б) напряжение u (выходная
выразить через переменные состояния и ток источника тока:
(П .2.1)
где Х; -
578
i-я переменная состояния,
i = 1, 2, ...,
,
n.
= О.и с
dt
di L
1
___
-
1
-L
и=
110
+
_.!5.L
iL
L
Rz
состоя­
цепи
можно
(П.2.5б)
'
можно получить еле-
1
С
R1C
составле­
величина)
+ R 2i L +O-j.
Разделив уравнения (П.2.5а) соответственно на С и L
dt
Хn
R2iL
дующую с'истему уравнений:
du c
х=
записаны на ОСновании
u=
1(
нию
уравнений
ния простой
П [! :LC + О·
11
j.
С
.j;
(П .2.6а)
О
(П.2.6б)
579