В.И. Гончаренко, А.В. Попов, Ю.С. Простов ЭКСПРЕСС РАСЧЁТ ЗОН ДОСЯГАЕМОСТИ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ

В.И. Гончаренко, А.В. Попов, Ю.С. Простов
Московский авиационный институт (государственный технический университет)
ЭКСПРЕСС РАСЧЁТ ЗОН ДОСЯГАЕМОСТИ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ
РАКЕТ И ИХ ОТОБРАЖЕНИЕ*
Зоны досягаемости баллистических ракет (БР), нанесённые на
картографическую подложку, являются удобным и наглядным инструментом
отображения воздушно-космической и геополитической обстановки [1].
В работе предложена методика для оперативной оценки возможных
военных угроз со стороны сопредельных государств, основанная на расчётах и
визуализации зон досягаемости БР.
Зона досягаемости БР с точкой старта, заданной геодезическими
координатами ( СТ , СТ ) , представляет собой множество всех возможных точек
падения головной части (ГЧ) БР C i , определяемых геодезическими
координатами. В связи с тем, что геометрически это множество представляет
собой замкнутую фигуру, задачу можно свести к нахождению границы  этого
множества.
Основным параметром при расчётах зон досягаемости предложено
использовать максимальную дальность полёта БР Lmax – сферическая дальность,
соответствующая максимальному расстоянию, которое может преодолеть БР
без учета вращения Земли [2].
Тогда, принимая Землю за сферу радиусом RЗ [3], множество
  {( i , i )} (без учёта вращения Земли) может быть найдено согласно формуле
(1), полученной с использованием сферической геометрии
cos  i cos i cos  СТ  sin  i sin  СТ  cos
Lmax
.
RЗ
(1)
Однако, для практических приложений необходимо учитывать и
вращение Земли, которое вносит весьма существенные изменения в
конфигурацию множества  . Поскольку эти изменения затрагивают только
составляющую долготы точек падения [2], при заданной угловой скорости
вращения Земли вокруг своей оси  и известном времени нахождения БР в
полёте  , прирост долготы  будет определяться выражением (2)
   (
cos  СТ
 1) .
cos  i
(2)
Для повышения точности нахождения множества  в отдельных
случаях ** целесообразно проводить вычисления с учётом сжатия Земли на
эллипсоидных моделях [3]. Основными параметрами эллипсоида являются
большая полуось (экваториальный радиус) эллипсоида a , малая полуось
(полярный радиус) b и геометрическое (полярное) сжатие f  (a  b) / a . Причём
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-08-00750-а.
** Например, когда речь идёт об анализе принадлежности точки падения
отделяющейся части ступени и т.п. отведённому району падения и сходными по
смыслу ситуациях.
*
для задания модели эллипсоида достаточно указать любые два из трёх
параметров. Для решения поставленной задачи были выбраны наиболее часто
применяемые на сегодняшний день эллипсоидные модели Земли (см. табл.1):
ПЗ-90, WGS84 и IERS96 [4].
Таблица 1
Параметры земных эллипсоидов
Эллипсоид
a, м
1/f
ПЗ-90
WGS84
IERS96
6 378 136,0
298,257839303
6 378 137,0
298,25722356
6 378 136,49
298,25645
Однако применение эллипсоидных моделей Земли требует реализации
более сложных алгоритмов вычислений для нахождения точек множества  . В
таких задачах предложено использовать решение так называемой прямой
задачи Винсента [4].
Прямая задача Винсента заключается в нахождении геодезических
координат (2 , 2 ) точки, отстоящей от некоторой известной с координатами
(1 , 1 ) на эллипсоидном расстоянии S по азимуту Az12 . Тогда множество 
примет вид:
  Ci Ci  F (O, Lmax , Azi ) ,
(3)
где:
Azi – азимут от точки старта O  ( СТ , СТ ) на точку Ci  ( i , i ) , причём
он изменяется от 0 до 360 с некоторым заданным шагом Az ;
F – решение прямой задачи Винсента.
Решение прямой задачи Винсента основано на использовании
численных методов, и решение достаточно быстро сходится.
При выполнении работы был проведен анализ различных проекций
земной поверхности для представления результатов на картографической
основе. Учитывая особенности решаемых задач при оценке БР, были
использованы следующие проекции:
простая цилиндрическая проекция [3], в которой отсутствуют
искажения меридианов, из-за чего в данной проекции искажаются как углы, так
и площади, однако она применяется во многих цифровых геоинформационных
системах (например, Google Maps и Yahoo Maps) в связи с тем, что на карты
такой проекции легко наносить заданные в геодезических координатах точки;
общеземная поперечная цилиндрическая проекция Меркатора [3], в
которой линии локсодромии (прямые линии, пересекающие меридианы под
одним и тем же углом) являются прямыми, в связи с чем она широко
используется в морской навигации и авиации;
равнопромежуточная азимутальная проекция – проекция Постеля [3],
которая используется для карт мелких масштабов, а также для специальных
карт, по которым требуется определять расстояния от одного пункта,
являющегося центральной точкой проекции, до всех других пунктов.
В связи с тем, что характеристики БР значительно разнятся, возникает
необходимость более детального рассмотрения границ их зон досягаемости на
картографической основе, т.е. возникает вопрос: покрывает ли зона
досягаемости данной БР тот или иной объект инфраструктуры.
Для решения этой задачи была разработана методика и
соответствующее программное обеспечение по оцифровке компьютерных
изображений карт в проекции Гаусса-Крюгера [3], которые являются
основными топографическими картами на территории РФ и стран СНГ.
Методика позволяет сопоставить параметры изображения топографической
карты, заданных в цифровом виде, точкам изображения на экране компьютера.
Для сопоставления точкам ( x pr , y pr ) в плоской прямоугольной системе
координат, используемой в проекции Гаусса-Крюгера, точек изображения
( xim , yim ) в системе координат изображения и обратно используются
соответственно выражения (8) и (9):
 x pr   o x   n x cos 

   
 y    o     n sin 
 pr   y   x
 xim   n x cos 
   
 yim    n x sin 
n y sin    xim 
  ;
n y cos    yim 
(4)
1
n y sin    x pr   o x 
  
    .
n y cos    y pr   o y 
(5)
Для нахождения необходимых параметров (для перехода из одной
системы координат в другую): растяжения (nx , n y )T , поворота  и сдвига
(o x , o y ) T – необходимо выбрать три точки на изображении { ( x im1 , y im1 ) , ( xim2 , yim2 ) ,
( xim3 , yim3 ) }, указав их координаты в плоской прямоугольной системе координат
{ ( x pr1 , y pr1 ) , ( x pr 2 , y pr 2 ) , ( x pr 3 , y pr 3 ) }, и воспользоваться следующими выражениями:
 2 (( x pr 2  x pr1 ) 2  ( y pr 2  y pr1 ) 2 )( yim3  yim1 ) 2  (( x pr 3  x pr1 ) 2  ( y pr 3  y pr1 ) 2 )( yim2  yim1 ) 2
n x 
( xim2  xim1 ) 2 ( yim3  yim1 ) 2  ( xim3  xim1 ) 2 ( yim2  yim1 ) 2

;


(( x pr 3  x pr1 ) 2  ( y pr 3  y pr1 ) 2 )( xim2  xim1 ) 2  (( x pr 2  x pr1 ) 2  ( y pr 2  y pr1 ) 2 )( xim3  xim1 ) 2
 n y2 
( xim2  xim1 ) 2 ( yim3  yim1 ) 2  ( xim3  xim1 ) 2 ( yim2  yim1 ) 2

  arctan(
( x pr 2  x pr1 )
n x ( xim 2  xim1 )
)  arctan(
);
n y ( yim 2  yim1 )
( y pr 2  y pr1 )
o x  x pr1  (n x xim1 cos   n y yim1 sin  )
.

o y  y pr1  (n y yim1 cos   n x xim1 sin  )
(6)
(7)
(8)
Данная методика была опробована на топографических картах
территории Ирана и стран центральной Европы. В ходе исследований было
установлено, что погрешность вычислений зависит от выбора точек
изображения: чем дальше их взаимное расположение, тем меньше погрешность
– и для решаемых в работе задач не выходит за рамки допустимой.
Таким образом, в ходе исследований был разработан математический
аппарат, позволяющий решать задачу вычисления расстояния между двумя
точками на Земной поверхности и обратная к ней задача: нахождение точки на
Земной поверхности, лежащей на заданном расстоянии и по заданному азимуту
относительно другой точки. При этом для сферической Земли используется
стандартная сферическая геометрия, а для эллипсоида – численный метод
решения прямой и обратной задач Винсента.
Кроме этого, был разработан программный комплекс для оперативного
расчета зон досягаемости БР на вращающейся и не вращающейся
эллиптической и сферической моделях Земли и их отображения в интересах
проведения экспресс оценок и принятия решений. Программный комплекс
позволяет рассматривать полученные пограничные районы зон досягаемости
детально, т.е. в подробностях рассмотреть покрытие зон досягаемости БР,
учитывая инфраструктуру рассматриваемого района.
Программный комплекс применяется для исследования боевых
возможностей БР Ирана [5]. На рис. 1 представлен результат (в общеземной
проекции Меркатора) расчётов для ракет Шехаб-3 с точками старта вблизи
городов Хамадан и Исфаган.
Рис. 1. Пример результатов расчётов зон досягаемости БР Ирана
Разработанная методика и программный комплекс являются основой
для дальнейших разработок, выходящих за рамки исследования зон
досягаемости ЛА. На основе существующего математического аппарата
предполагается расширение круга решаемых задач, например, расчёт зон
отчуждения для отделяемых частей ракет-носителей.
Библиографический список
1. Василенко В.В., Гончаренко В.И. Разработка программно-информационного
комплекса для визуализации областей земной поверхности, досягаемых
баллистическими ракетами // Вестник компьютерных и информационных технологий,
2010, № 7 (в печати).
2. Гудзовский В.А., Худяков С.Т. Баллистика ракет: Учебное пособие. – М.: МО СССР,
1971.
3. Соловьёв М.Д. Математическая картография. – М.: Недра, 1969.
4. Geocentric Datum of Australia Technical Manual v2.3. ICSM – ISBN 0-9579951-0-5. /
Информационный ресурс http://www.icsm.gov.au/gda/gdatm/gdav2.3.pdf.
5. Характеристики ракет зарубежных стран
/ Информационный ресурс
http://npc.sarov.ru/digest/82002/ appendix7p1.html.