2008 год (180 КБ) - Тульский государственный университет

Тульский государственный университет.
Олимпиада по общей физике (ЕН факультет) 10 февраля 2008 г.
Вариант 1
1. Два разных пластилиновых шарика летели во взаимно перпендикулярных
направлениях со скоростями v1 и v2 и слиплись при столкновении. При этом 50 % их
энергии превратилось в тепло. Определить отношение масс m1 m 2 шариков.
(6 баллов) Решение:
Из закона сохранения импульса следует:  m1v1    m2 v2    m1  m2  v32 . (1.1)
Так как кинетическая энергия системы двух шариков после удара составляет
половину кинетической энергии системы до удара, то с учетом (1.1)
2 2
2
2
2
1  m1v12 m2 v22   m1  m2  v3  m1  m2  v3  m1v1    m2 v2 
. (1.2)





2  2
2 
2
2  m1  m2 
2  m1  m2 
2
2
2
m1 v22

m2 v12
2. Три искусственных спутника вращаются вокруг планеты по круговым орбитам с
радиусами r1 , r 2 , r3 , со скоростями v 1 , v 2 , v 3 , и с периодами T1 , T 2 , T 3
Ответ:
соответственно. Найти отношение радиусов орбит третьего и второго спутников
r3 r2 , если v 2 v1  3 , T 3 T1  0,125 . (6 баллов) Решение:
Из закона динамики равномерного движения по окружности
Mm
r2
найдем соотношение
v2  r  M  const ,
где  – гравитационная постоянная, М – масса планеты.

mv 2
r
(2.1)
r
v2
Из (2.1) следует, что v22  r2  v12  r1  1  2  32  9 .
r2 v12
Запишем закон динамики еще раз по-другому
T2
и получим, что
r3

T12
r2
 m2 r  m
42
 const .
M
r T 
Из (2.2) следует, что 3  3  3   3 
r1  T1 
r3
r1
T32
Mm
23
  0,125 
42
T2
r,
(2.2)
23

1
4
r
r r
r
1
Подводя итог, получим соотношение 3  3  1   9  2, 25 Ответ: 3  2, 25
r2 r1 r2 4
r2
3. Две стенки имеют очень большую массу. Левая стенка
неподвижна, а правая удаляется от неё со скоростью v 1  4 м/с.
Правую стенку догоняет со скоростью v  16 м/с шарик с
очень малой массой m и упруго соударяется с ней. В
начальный момент шарик находился рядом с левой стенкой, а расстояние между
стенками было L = 36 м. Через какое время после удара о правую стенку шарик
вернется в исходную точку? (6 баллов) Решение:
L
36

 3 с. За это
Время движения до удара о правую стенку равно t1 
v  v1 16  4
время расстояние между стенками станет равно L1  L  v1  t1  36  4  3  48 м.
После упругого удара шарик будет двигаться со скоростью
v2  v  2v1  16  8  8 м/с
48
6с
Ответ. t2  6 с
8
4. В результате изобарического расширения и дальнейшего изотермического
процесса над 4 молями гелия совершили работу 1079 Дж. Давление гелия при этом
возросло в 1,5 раза, а его объем не изменился. Какое суммарное тепло получил газ в
этих процессах, если первоначально он имел температуру 300 К? Универсальная
газовая постоянная R  8,31Дж К×моль . (5 баллов) Решение:
Из того факта, что конечный объем уменьшился, следует, что при изотермическом
процессе происходило сжатие газа. Используем 1-е начало ТД:
Q  Q1  Q2  U1  A1  A2  U1  A  U1  A ' ,
Время обратного движения равно t2 
3
R T2  T1  .
2
Используя уравнения состояния идеального газа для начального и конечного
p1V1 p3V3

состояния
,
T1
T3
где A ' = 5380– работа, совершенная над газом, U1 
найдем конечную температуру
pV
T3  3 3 T1  1,5 1 300  450 К
p1V1
Так как T2  T3 (изотермический процесс), найдем суммарное тепло:
3
3
Q  R T2  T1   A '   4  8,31 450  300   1079  6400 Дж
2
2
Ответ: 6400 Дж
5. В закрытом сосуде с клапаном, выпускающим газ при давлении pв  2 105 Па,
находился 1 моль идеального газа при начальном давлении p 0  105 Па. Какая часть
газа (в %) выйдет из сосуда через клапан, если температуру повысить в 3 раза?
(4 балла) Решение:
Если бы газ нагрели в три раза в закрытом сосуде, то его давление увеличилось бы в
3 раза. Так как клапан такого давление не может удержать, то часть газа выйдет
наружу, а давление останется предельно возможным, т.е. р в.
Из уравнений для двух состояний идеального газа найдем соотношение числа молей
p0V  RT0

1 pв 2
 2 
 .
газа после нагревания и до нагревания
pвV   2 RT   2 R  3T0
 3 p0 3
2
от начального количества газа. Из сосуда вышла
3
одна треть первоначального количества или 33,3%
Ответ: 33,3%
6. В замкнутом контуре, состоящем из конденсатора и катушки
индуктивности, происходят электрические колебания (омическим
сопротивлением контура можно пренебречь). При этом максимальный
Это значит, что в сосуде осталось
ток в контуре равен 0,04 А, а максимальный заряд на конденсаторе 10 4 Кл. Чему
равен период электрических колебаний? (3 балла)
Решение:
Из закона сохранения энергии
2
LI max
q2
 max и из формулы Томсона T  2 LC
2
2C
найдем период колебаний:
LC 
2
qmax
2
I max
 T  2
qmax
104
 2
 1,57 102 с
I max
0,04
Ответ: Т = 15,7 мс
7. До замыкания ключа К левый конденсатор с емкостью
C1  1 мкФ был не заряжен, а правый конденсатор с емкостью
C2  C1 4 имел заряд q 0  1 мКл. Какое тепло выделится на
сопротивлении R  1 МОм после замыкания ключа К? (6 баллов) Решение:
После перезарядки на конденсаторах установится одинаковое напряжение
q C
q1 q0  q1

 q1  0 1 .
C1
C2
C1  C2
Тепло, выделившееся в системе, равно разности начальной и конечной энергий
2
q2  q2  q  q  
q02C1
8q 2
системы: Q  0   1  0 1  
 0  1, 6 Дж. Ответ: 1,6 Дж
2C2  2C1
2C2  2C2  C1  C2  5C1


8. Квадратная рамка b  b  1 м2 , проводящие стороны которой
параллельны осям x и y , может скользить без трения по
горизонтальной плоскости xy и первоначально покоится во
внешнем магнитном поле B , направленном вдоль оси z . Величина
индукции этого поля линейно возрастает с ростом координаты x : B   x , где
  1 Тл,   0,3 Тл/м. Найти величину ускорения рамки в тот момент, когда её
отпускают, если масса рамки m  5 г, и по рамке течет ток I  0, 2 А. (4 балла)
Решение:
Силы Ампера, действующие на стороны, параллельные оси х, будут компенсировать
друг друга, Стороны, перпендикулярные оси у находятся в областях с разным
значением индукции магнитного поля, поэтому, хотя силы Ампера, действующие на
них, направлены в разные стороны, они друг друга не скомпенсируют.
Используя закон динамики поступательного движения рамки, найдем ускорение:
FАправ  FА лев  max
Bправ  Bлев
x
b
0,3  0, 2 2
Ib 
Ib 
1  12
m
m
m
0, 005
9. В области между полюсами магнита создано постоянное
магнитное поле B  0, 2 Тл. Вне этой области магнитное поле
отсутствует. Между полюсами магнита со скоростью v  5 м/с
пролетает квадратная проводящая рамка (см.рисунок), ширина
которой a  8 см совпадает с шириной магнита. Нарисуйте
график зависимости ЭДС электромагнитной индукции в рамке от времени и
определите наибольшее и наименьшее значение этой ЭДС. (5 баллов) Решение:
В рамках модели, описанной в задаче, магнитное поле существует только между
полюсами магнита, что означает отсутствие потока сквозь рамку, когда она
находится вне этой области. Как только рамка попадает в область с магнитным
полем, появляется и далее возрастает поток магнитной индукции сквозь поверхность
рамки. Так как магнитный поток равен Ф  BS  B  a  x  B  a  vt и линейно
возрастает
со
временем,
то
по
закону
Фарадея
ЭДС
dФ

  Bav  const  0, 2  0, 08  5  0, 08 В. Знак "–" указывает на направление
dt
индукционного тока, возникающего в рамке. Как только рамка полностью окажется в
a 0, 08
 0, 016 сек,
области магнитного поля через промежуток времени t  
v
5
Bправ Ib  Bлев Ib  max  ax 
поток начинает убывать по закону
Ib 


Ф  B  S  B a 2  a  vt , а значит ЭДС
dФ
  B  a  v  0, 08 В, изменит знак, будучи той же величине. Это ЭДС будет
dt
действовать еще время t  0, 016 сек, пока рамка не выйдет из области действия
поля и магнитный поток сквозь рамку не исчезнет совсем. В этот момент ЭДС станет
равной нулю. Ответ: Максимальная ЭДС = 0,08 В
10. Точечный источник света S находится на удалении
a  30 см от первой из двух одинаковых линз (см.рисунок).
Размер светового пятна на экране Э не зависит от его удаления
b от второй линзы. Чему равно расстояние d между линзами,
если фокусное расстояние каждой линзы f  20 см. (5 баллов)
Решение:
Так как размер светового пятна не изменяется, если двигать экран, то это означает,
что пучок, вышедший из линзы 2 состоит из параллельных луче, которые вышли из
фокуса линзы 2 или из точки, находящейся на расстоянии d  f правее линзы 1.

Используя формулу тонкой линзы
1
1
1

 , найдем расстояние d :
a d f
f
1
1
 20 
 20  60  80 см
1 f 1 a
1 20  1 30
Ответ: 80 см
d f