ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
В. В. БАБАНОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ
УЧЕБНИК
В двух томах
Том 2
Допущено
Научнометодическим советом по механике
Министерства образования и науки Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки «Архитектура»
ÓÄÊ 624.04(075.8)
ÁÁÊ 38.112ÿ73
Á121
Ð å ö å í ç å í ò û:
çàâ. êàôåäðîé èíæåíåðíî-ñòðîèòåëüíûõ äèñöèïëèí Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî
Ãîñóäàðñòâåííîãî àêàäåìè÷åñêîãî èíñòèòóòà æèâîïèñè, ñêóëüïòóðû
è àðõèòåêòóðû èì. È. Â. Ðåïèíà, ïðîô., êàíä. òåõí. íàóê Â. Ä. Êîðêèí
è äîö., êàíä. òåõí. íàóê Å. À. ßêîâëåâ;
äèðåêòîð ÃÏ ÍÈÈ «Ñïåöïðîåêòðåñòàâðàöèÿ» Â. Â. Ôîìèí;
ôåäåðàëüíûé àðõèòåêòîð Ìèíèñòåðñòâà êóëüòóðû è ìàññîâûõ êîììóíèêàöèé
Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè ïî ïàìÿòíèêàì àðõèòåêòóðû Ëåíèíãðàäñêîé îáëàñòè
Â. Â. Êóçüìèí;
çàâ. êàôåäðîé òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè ÍÍÃÀÑÓ, äîö., êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Ã. À. Ìàêîâêèí
Á121
Áàáàíîâ Â. Â.
Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà äëÿ àðõèòåêòîðîâ.  2 ò. Ò. 2 : ó÷åáíèê äëÿ ñòóä. âûñø. ó÷åá. çàâåäåíèé / Â. Â. Áàáàíîâ. — Ì. :
Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2008. — 272 ñ.
ISBN 978-5-7695-2846-0
Êðàòêî èçëîæåíû îñíîâû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè, ñîïðîòèâëåíèÿ
ìàòåðèàëîâ è ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêè. Ðàññìîòðåíû âîïðîñû ðàñ÷åòà ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûõ è ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ ñèñòåì, îñíîâû äèíàìèêè è óñòîé÷èâîñòè ñîîðóæåíèé. Òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë ñîïðîâîæäåí
äîñòàòî÷íûì äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî îñâîåíèÿ ÷èñëîì ïðèìåðîâ. Ñîäåðæèò íåîáõîäèìûé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñïðàâî÷íûé è íîðìàòèâíûé ìàòåðèàë.
Äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé.
ÓÄÊ 624.04(075.8)
ÁÁÊ 38.112ÿ73
Îðèãèíàë-ìàêåò äàííîãî èçäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ
Èçäàòåëüñêîãî öåíòðà «Àêàäåìèÿ», è åãî âîñïðîèçâåäåíèå ëþáûì ñïîñîáîì
áåç ñîãëàñèÿ ïðàâîîáëàäàòåëÿ çàïðåùàåòñÿ
ISBN 978-5-7695-2846-0 (ò. 2)
ISBN 978-5-7695-2832-3
© Áàáàíîâ Â. Â. 2008
© Îáðàçîâàòåëüíî-èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2008
© Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2008
Г Л А В А 11
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ РАСТЯЖЕНИЯ
(СЖАТИЯ) С ИЗГИБОМ
11.1. Определение усилий в статически
определимых расчетных схемах
11.1.1. Балки и рамы
 ñå÷åíèÿõ ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûõ ðàì è áàëîê ñ ëîìàíîé îñüþ
(êîòîðûå òàêæå íàçûâàþò ðàìàìè), êàê ïðàâèëî, êðîìå ïîïåðå÷íîé ñèëû è èçãèáàþùåãî ìîìåíòà, âîçíèêàåò è ïðîäîëüíàÿ ñèëà —
ñæèìàþùàÿ èëè ðàñòÿãèâàþùàÿ.
Ïðè ïîñòðîåíèè ýïþðîâ óñèëèé â ýòèõ ñå÷åíèÿõ ïðàâèëî çíàêîâ äëÿ ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé ñèë îñòàåòñÿ ïðåæíèì, à äëÿ
èçãèáàþùåãî ìîìåíòà åãî îáû÷íî íå èñïîëüçóþò, íî îðäèíàòû
ýïþðà M, êàê è â ïðîñòûõ áàëêàõ, îòêëàäûâàþò ñî ñòîðîíû ðàñòÿíóòûõ âîëîêîí. Îðäèíàòû ýïþðà Q äëÿ ãîðèçîíòàëüíî îðèåíòèðîâàííûõ ñòåðæíåé ïðèíÿòî îòêëàäûâàòü òàê æå, êàê áûëî ïîêàçàíî
â ïîäðàçä. 10.2. Äëÿ îñòàëüíûõ ñòåðæíåé îðäèíàòû ýïþðîâ Q è N
îòêëàäûâàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ÷åðòåæ ðàñ÷åòà áûë íàãëÿäåí, ñ îáÿçàòåëüíûì ïðîñòàâëåíèåì çíàêà óñèëèÿ.
Ïðè äåéñòâèè îðòîãîíàëüíîé íàãðóçêè ýïþð N íà ðàñ÷åòíûõ
ó÷àñòêàõ âñåãäà ïîñòîÿíåí. Îí ìîæåò áûòü ïåðåìåííûì ëèøü â ñëó÷àå äåéñòâèÿ íàãðóçêè, íàïðàâëåííîé ïî îñè ñòåðæíÿ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñèëèé Q, M è N â ñå÷åíèÿõ ðàñ÷åòíîé ñõåìû
èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ñå÷åíèé.
Òàê, äëÿ ñå÷åíèÿ k áàëêè ñ ëîìàíîé îñüþ (ðèñ. 11.1, à) óñèëèÿ
ìîæíî îïðåäåëèòü èç ðàâíîâåñèÿ âåðõíåé èëè íèæíåé îòñå÷åííîé
÷àñòè ðàñ÷åòíîé ñõåìû (ðèñ. 11.1, á). Î÷åâèäíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå
îïðåäåëèòü óñèëèÿ óäîáíåå è ïðîùå, ðàññìîòðåâ ðàâíîâåñèå íèæíåé
÷àñòè.  êà÷åñòâå ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðè ýòîì ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü
ìåñòíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò äëÿ ñòåðæíÿ, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò
ñå÷åíèå k: îñü x íàïðàâëåíà ïî îñè ñòåðæíÿ, à îñü y — ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè. Ýòî ïðàâèëî áóäåì ïðèìåíÿòü è â äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòàõ.
Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü:
å Fóíèç = HA - F1; Nk = å Fõíèç = -VA;
Mk = å M íèç = HA h1 (ðàñòÿíóòû ïðàâûå âîëîêíà).
Qk =
Áàëî÷íûå è ðàìíûå ðàñ÷åòíûå ñõåìû (ñì. ïîäðàçä. 1.5 è 3.2)
ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà îäíîäèñêîâûå è ìíîãîäèñêîâûå, ïîýòîìó ïîðÿäîê îïðåäåëåíèÿ óñèëèé â èõ ñå÷åíèÿõ ñëåäóþùèé.
3
Ðèñ. 11.1
1. Ïðîèçâîäèòñÿ àíàëèç ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè (ñì.
ïîäðàçä. 1.5) è óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîðÿäîê îáðàçîâàíèÿ ðàñ÷åòíîé
ñõåìû.
2. Óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîðÿäîê îïðåäåëåíèÿ ðåàêöèé â ñâÿçÿõ, ñîñòàâëÿþùèõ ðàñ÷åòíóþ ñõåìó îòäåëüíûõ äèñêîâ.
3. Äëÿ êàæäîãî îòäåëüíîãî äèñêà îïðåäåëÿþòñÿ óñèëèÿ â ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèÿõ è ñòðîÿòñÿ ýïþðû Q, M è N ñ ïîñëåäóþùèì (èëè
îäíîâðåìåííûì) èõ îáúåäèíåíèåì â îáùèå ýïþðû óñèëèé äëÿ
âñåé ðàñ÷åòíîé ñõåìû.
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ýïþðîâ óñèëèé äëÿ óêàçàííîãî òèïà ðàñ÷åòíûõ ñõåì.
Ïðèìåð 11.1. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ýïþðû Q, M è N äëÿ áàëêè ñ ëîìàíîé îñüþ (ðèñ. 11.2, à), ðåàêöèè â ñâÿçÿõ êîòîðîé áûëè îïðåäåëåíû â
ïðèìåðå 3.5 (ñì. ðèñ. 3.6).
Ðåøåíèå. 1. Íàçíà÷èì ñå÷åíèÿ, â êîòîðûõ áóäåì îïðåäåëÿòü óñèëèÿ (ðèñ.
11.2, á ).
2. Îïðåäåëèì óñèëèÿ â íàçíà÷åííûõ ñå÷åíèÿõ.
Ó÷àñòîê 1—2: ìåæäó ñå÷åíèÿìè 1 è 2 íàãðóçêà îòñóòñòâóåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ýïþð Q äîëæåí áûòü ïîñòîÿííûì, à ýïþð M — î÷åð÷åí ïî ïðÿìîé. Òàê êàê â ðàñ÷åòíîé ñõåìå ïðèëîæåííàÿ íàãðóçêà ïî îòíîøåíèþ ê
îñÿì ñòåðæíåé îðòîãîíàëüíà, ïðîäîëüíûå ñèëû â ïðåäåëàõ âñåõ ó÷àñòêîâ
áóäóò ïîñòîÿííû.
å Fóë = 0, ñëåäîâàòåëüíî, ýïþð M íà ó÷àñòêå ïîñòîÿííûé.
M1 = M2 = å Ì ë = -16 êÍ × ì.
N1 = N2 = å Fõë = -4 êÍ.
Q1 = Q2 =
Íà ó÷àñòêàõ 3—4 è 5—6 íàãðóçêè ìåæäó ñå÷åíèÿìè òàêæå îòñóòñòâóþò,
ïîòîìó ýïþðû Q íà ýòèõ ó÷àñòêàõ ïîñòîÿííû, à ýïþðû M èìåþò ëèíåéíûé õàðàêòåð.
4
Ðèñ. 11.2
Ó÷àñòîê 3—4:
Q3 = Q4 =
å Fóë = 6 êÍ.
M3 = M2 = -16 êÍ × ì.
M4 = å Ì ë = -16 + 6 × 2 = -4 êÍ × ì.
N3 = N4 = å Fõë = -4 êÍ.
Ó÷àñòîê 5—6:
Q5 = Q6 =
å Fóë = 6 - 12 = -6 êÍ.
M5 = M4 = -4 êÍ × ì.
M6 =
å Ì ë = -16 + 6 × 4 - 12 × 2 = -16 êÍ × ì.
N5 = N6 = N3 = N4 = -4 êÍ.
Ó÷àñòîê 10 —9:
Q10 = Q9 =
å Fóë = 6 êÍ.
å Ì ë = 0 (êðàéíåå ñå÷åíèå êîíñîëè).
M9 = å Ì ë = 6 × 2 = 12 êÍ × ì.
N10 = N9 = å Fõë = 0.
M10 =
Ó÷àñòîê 7—8 : çàãðóæåí ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ýïþð Q äîëæåí èìåòü âèä íàêëîííîé ïðÿìîé , à ýïþð M äîëæåí áûòü î÷åð÷åí ïî êâàäðàòíîé ïàðàáîëå âûïóêëîñòüþ âëåâî.
5
å Fóíèç = 0.
Q7 = å Fóíèç = 2 × 2 = 4 êÍ.
M8 = å Ì íèç = 6 × 2 = 12 êÍ × ì
Q8 =
(ðàñòÿíóòûå âîëîêíà ñïðàâà).
M7 = M6 = å Ì íèç = 6 × 2 + 2 × 2 × 1 =
= 16 êÍ × ì (ðàñòÿíóòûå âîëîêíà
ñïðàâà).
3. Ïî ïîëó÷åííûì çíà÷åíèÿì óñèëèé
ñòðîèì ýïþðû Q, M è N (ðèñ. 11.2, â).
4. Ïðîèçâåäåì âèçóàëüíóþ ïðîâåðêó ïðàâèëüíîñòè ïîñòðîåíèÿ ýïþðîâ óñèëèé íà îñíîâàíèè ïðàâèë, ñôîðìóëèðîâàííûõ â ïîäðàçä. 10.2.
5. Ïðîèçâåäåì ïðîâåðêè ðàâíîâåñèÿ óçëîâ. Äëÿ ýòîãî, ïîñëåäîâàòåëüíî
âûðåçàÿ óçëû ðàñ÷åòíîé ñõåìû, ïðèêëàäûâàåì â ñå÷åíèÿõ, ïîäõîäÿùèõ ê
óçëó, âñå íàéäåííûå óñèëèÿ è âíåøíþþ óçëîâóþ íàãðóçêó, åñëè òàêîâàÿ â
âûðåçàííîì óçëå äåéñòâóåò. Íàïðàâëåíèÿ óñèëèé, äåéñòâóþùèõ â ñå÷åíèÿõ, îïðåäåëÿþòñÿ ïðèíÿòûì ïðàâèëîì çíàêîâ (ñì. ðèñ. 10.4). Äëÿ îáëåã÷åíèÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèé èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ â âûðåçàåìûõ óçëàõ
ðàñòÿíóòûå âîëîêíà ìîæíî îòìåòèòü øòðèõîâîé ëèíèåé (ðèñ. 11.3). Äëÿ
êàæäîãî âûðåçàííîãî óçëà äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ òðè óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ:
Ðèñ. 11.3
å X = 0; å Y = 0; å Móçë = 0.
Íà ðèñ. 11.3, à, á ïîêàçàíî ðàâíîâåñèå ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåãî è íèæíåãî óçëîâ ðàñ÷åòíîé ñõåìû.
Íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 11.1 â äîïîëíåíèå ê ïðàâèëàì ïîñòðîåíèÿ ýïþð óñèëèé, ñôîðìóëèðîâàííûì â ïîäðàçä. 10.2, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû.
1. Íåò íåîáõîäèìîñòè îïðåäåëÿòü èçãèáàþùèå ìîìåíòû â îáîèõ
ñîñåäíèõ ñå÷åíèÿõ íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ, åñëè íà ýòîé ãðàíèöå íå
ïðèëîæåí âíåøíèé ñîñðåäîòî÷åííûé ìîìåíò. Èçãèáàþùèå ìîìåíòû â ýòèõ ñå÷åíèÿõ ðàâíû, òàê êàê îíè ðàñïîëîæåíû äðóã îò äðóãà
íà áåñêîíå÷íî ìàëîì ðàññòîÿíèè, êîòîðîå íå âëèÿåò íà èñêîìóþ
ñóììó ìîìåíòîâ âñåõ ñèë ïî îäíó ñòîðîíó îò ñå÷åíèÿ. Òî æå îòíîñèòñÿ ê ñå÷åíèÿì, ïðèìûêàþùèì ê æåñòêîìó óçëó, îáúåäèíÿþùåìó
äâà ñòåðæíÿ.
2. Ïðè îðòîãîíàëüíîì äåéñòâèè íàãðóçêè íîðìàëüíóþ ñèëó äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü â îäíîì èç ñå÷åíèé ïðÿìîëèíåéíîãî ñòåðæíÿ, òàê êàê îíà ïîñòîÿííà ïî âñåé åãî äëèíå.
3. Èçãèáàþùèå ìîìåíòû çàâåäîìî ðàâíû íóëþ â êðàåâûõ ñå÷åíèÿõ êîíñîëåé ïðè îòñóòñòâèè â íèõ ìîìåíòíîé íàãðóçêè è â ñå÷åíèÿõ, ïðèìûêàþùèõ ê øàðíèðàì.
Ïðèìåð 11.2. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ýïþðû óñèëèé äëÿ ðàìû, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 11.4, à.
Ðåøåíèå. 1. Ïðîèçâåäåì ïðîâåðêó ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè ðàìû.
×èñëî îïîðíûõ ñâÿçåé Cîï = 4, ÷èñëî ïðîñòûõ øàðíèðîâ Ø = 1, ÷èñëî
äèñêîâ Ä = 2.
6
Ðèñ. 11.4
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè ñõåìû (1.4)
âûïîëíÿåòñÿ:
3Ä - 2Ø - Cîï = 3 × 2 - 2 × 1 - 4 = 0.
Îñíîâíûì äèñêîì ðàñ÷åòíîé ñõåìû ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìûé äèñê AC, ïðèêðåïëåííûé ê îñíîâàíèþ â òî÷êå A òðåìÿ ñâÿçÿìè
(ïîëíîå çàùåìëåíèå). Íåèçìåíÿåìîñòü äèñêà ÑB òàêæå îáåñïå÷èâàåòñÿ
òðåìÿ ïðàâèëüíî ðàñïîëîæåííûìè íà ïëîñêîñòè ñâÿçÿìè: äâóìÿ îí ïðèêðåïëåí â òî÷êå Ñ ê íåèçìåíÿåìîìó äèñêó AC, à òðåòüåé ñâÿçüþ â òî÷êå B
ñâÿçàí ñ îñíîâàíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìà, òàê êàê íåèçìåíÿåìû ñîñòàâëÿþùèå åå ýëåìåíòû.
2. Îïðåäåëèì ðåàêöèè â îïîðíûõ ñâÿçÿõ (ðèñ. 11.4, á ):
å X = 0; -HA + 10 = 0, HA = 10 êÍ.
å ÌÑâåðõ = 0; -RB × 4 + 8 × 4 × 2 + 10 × 2 = 0, RB = 21 êÍ.
å Y = 0; -VA + 8 × 4 - 20 + RB = 0, VA = 31 êÍ.
Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà ñ îïðåäåëåííûìè ðåàêöèÿìè â îïîðíûõ ñâÿçÿõ è â
ñâÿçÿõ øàðíèðà Ñ ïðèâåäåíà íà ðèñ. 11.4, â. Îïðåäåëåíèå ðåàêöèé â ñâÿçÿõ
øàðíèðà Ñ íå ïðèâîäèì, òàê êàê èõ íàéòè äîñòàòî÷íî ïðîñòî ïîñëå ðàññå÷åíèÿ ðàñ÷åòíîé ñõåìû èñõîäÿ èç ðàâíîâåñèÿ ëþáîé îòñå÷åííîé ÷àñòè
(óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ å X = 0; å Y = 0). Óäàëÿþò ñâÿçè â øàðíèðå Ñ äëÿ
îáëåã÷åíèÿ îïðåäåëåíèÿ óñèëèé â ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèÿõ.
7
3. Îïðåäåëèì óñèëèÿ â ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèÿõ.
Èç àíàëèçà ðàñ÷åòíîé ñõåìû íà îñíîâàíèè ïðèâåäåííûõ ðàíåå ïðàâèë
ïîñòðîåíèÿ ýïþðîâ ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
• ïðîäîëüíûå ñèëû íà ó÷àñòêàõ 3—4 è 9—10 ðàâíû íóëþ, òàê êàê ñïðàâà îòñóòñòâóåò ãîðèçîíòàëüíàÿ íàãðóçêà;
• èçãèáàþùèå ìîìåíòû â ñå÷åíèÿõ 6, 7 è 10 ðàâíû íóëþ, òàê êàê
ñå÷åíèÿ ïðèìûêàþò ê øàðíèðàì, ãäå îòñóòñòâóåò ìîìåíòíàÿ íàãðóçêà;
èçãèáàþùèé ìîìåíò â ñå÷åíèè 4 íà êðàþ êîíñîëè òàêæå ðàâåí íóëþ;
• èçãèáàþùèå ìîìåíòû â ñå÷åíèÿõ 8 è 9 ðàâíû, òàê êàê ïðèìûêàþò ê
óçëó, ñîåäèíÿþùåìó äâà ñòåðæíÿ;
• ïîïåðå÷íûå ñèëû íà ó÷àñòêàõ 1—2, 3—4, 5—6, 7—8 ïîñòîÿííû, à
ýïþðû èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ íà ýòèõ ó÷àñòêàõ — ïðÿìîëèíåéíû.
Áëàãîäàðÿ ïðîâåäåííîìó àíàëèçó ìîæíî çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé ïðè îïðåäåëåíèè óñèëèé.
Çíà÷åíèÿ ïîïåðå÷íûõ ñèë â ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèÿõ:
å Fóë = 31 êÍ; Q3—4 = å Fóï = 20 êÍ;
Q5—6 = å Fóâåðõ = 10 êÍ; Q7—9 = å Fóï = 10 êÍ;
Q9 = å Fóï = -21 + 8 × 4 = 3 êÍ; Q10 = å Fóï = -21 êÍ.
Q1—2 =
Ðèñ. 11.5
8
Ðèñ. 11.6
Çíà÷åíèÿ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ â ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèÿõ:
å Ì ë = -153 êÍ × ì;
M2 = å Ì ë = -153 + 31 × 3 = -60 êÍ × ì;
M3 = å Ì ï = -20 × 2 = -40 êÍ × ì;
M5 = å Ì âåðõ = 10 × 2 = 20 êÍ × ì (ðàñòÿæåíèå ëåâûõ âîëîêîí);
M8 = å Ì íèç = 10 × 2 = 20 êÍ × ì (ðàñòÿæåíèå ïðàâûõ âîëîêîí).
M1 =
Çíà÷åíèÿ ïðîäîëüíûõ ñèë â ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèÿõ:
N1—2 =
å Fõë = 10 êÍ; N5—8 = å Fõâåðõ = -11 êÍ.
Ïî íàéäåííûì çíà÷åíèÿì óñèëèé ñòðîèì ýïþðû Q, M è N (ðèñ. 11.5, à).
4. Ïðîèçâåäåì âèçóàëüíóþ ïðîâåðêó ïðàâèëüíîñòè ïîñòðîåíèÿ ýïþðîâ
óñèëèé íà îñíîâàíèè ïðàâèë, ñôîðìóëèðîâàííûõ â ïîäðàçä. 10.2.
5. Îïðåäåëèì ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå èçãèáàþùåãî ìîìåíòà íà ó÷àñòêå 9—10.
Âûðåçàííûé èç ðàñ÷åòíîé ñõåìû ó÷àñòîê ïîêàçàí íà ðèñ. 11.5, á:
Q0 = å Fóï = -21 + 8x0 = 0, x0 = 2,625 ì.
Mýêñò =
å Ì ï = 21x0 - 8x00,5x0 = 2,625(21 - 4 × 2,625) = 27,56 êÍ × ì.
6. Ïðîâåðèì ðàâíîâåñèå âåðõíåãî (ðèñ. 11.6, à) è íèæíåãî (ðèñ. 11.6, á )
óçëîâ ðàñ÷åòíîé ñõåìû.
11.1.2. Трехшарнирные арки
Àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò àðîê âêëþ÷àåò â ñåáÿ îïðåäåëåíèå îïîðíûõ ðåàêöèé è âû÷èñëåíèå óñèëèé â ñå÷åíèÿõ. Îïðåäåëåíèå îïîðíûõ ðåàêöèé áûëî ïîäðîáíî îïèñàíî â ïîäðàçä. 3.2.3, òåïåðü ïðèâåäåì ïîðÿäîê ðàñ÷åòà óñèëèé.
Ðàññìîòðèì òðåõøàðíèðíóþ àðêó ñ îïîðàìè íà îäíîì óðîâíå è
äëÿ ñðàâíåíèÿ — ïðîñòóþ áàëêó ñ òåì æå ïðîëåòîì, çàãðóæåííóþ
òîé æå íàãðóçêîé, ÷òî è àðêà (ðèñ. 11.7, à).
Ïðè îïðåäåëåíèè âåðòèêàëüíûõ îïîðíûõ ðåàêöèé â àðêå è áàëêå (ðèñ. 11.7, á ) ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ å MA = 0 è
å MB = 0 ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îíè îäèíàêîâûå:
VA = VAá; VÂ = VÂá.
(11.1)
9
Ðèñ. 11.7
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàñïîðà âîñïîëüçóåìñÿ îäíèì èç óðàâíåíèé (3.8):
å ÌÑë = VA l1 - F1(l1 - a1) - F2(l1 - a2) - F3(l1 - a3) - Hf = 0.
Ïåðâûå ÷åòûðå ñëàãàåìûõ â äàííîé ôîðìóëå ñ ó÷åòîì (11.1)
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âûðàæåíèå äëÿ èçãèáàþùåãî ìîìåíòà ÌÑá â
ñå÷åíèè Ñ ïðîñòîé áàëêè, ÷òî ïîçâîëÿåò çàïèñàòü
H =
M Cá
.
f
(11.2)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñèëèé ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå k ñ
êîîðäèíàòàìè xk è yk è óãëîì íàêëîíà ê ãîðèçîíòó jk (ñì. ðèñ. 11.7, á),
îáðàçîâàííûì êàñàòåëüíîé t ê îñè àðêè â ñå÷åíèè k.
Íà îñíîâàíèè îáùèõ ïðàâèë îïðåäåëåíèÿ óñèëèé â ïðîèçâîëüíîì ñå÷åíèè ñòåðæíåâîé ðàñ÷åòíîé ñõåìû çàïèøåì:
å Ìkë = VA xk - F1(xk - a1) - F2(xk - a2) - Hyk;
Qk = å Fnë = (VA - F1 - F2)cos jk - H sin jk;
Nk = å Fnë = -(VA - F1 - F2)sin jk - H cos jk.
Mk =
(11.3)
(11.4)
(11.5)
 ïîëó÷åííûõ ôîðìóëàõ
VA xk - F1(xk - a1) = Ìká;
(VA - F1 - F2) = Qká.
(11.6)
Âûðàæåíèÿ (11.6) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîîòâåòñòâåííî èçãèáàþùèé ìîìåíò è ïîïåðå÷íóþ ñèëó â ñå÷åíèè k ïðîñòîé áàëêè.
Ïîäñòàâèâ (11.6) â ôîðìóëû (11.3) ¾ (11.5), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ óñèëèé â ïðîèçâîëüíîì ñå÷åíèè òðåõøàðíèðíîé àðêè:
10
Mk = Ìká - Hyk;
(11.7)
Qk = Qká cos jk - H sin jk;
(11.8)
Nk = -(Qká sin jk + H cos jk).
(11.9)
Âûðàæåíèÿ (11.7) ¾ (11.9) ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ýïþðû
óñèëèé â òðåõøàðíèðíûõ àðêàõ êðèâîëèíåéíûå.
Ïðèìåíåíèå ïðèâåäåííûõ ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà àðêè ðàññìîòðèì íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå.
Ïðèìåð 11.3. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ýïþðû óñèëèé äëÿ òðåõøàðíèðíîé àðêè,
èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 11.8, à, îñü êîòîðîé î÷åð÷åíà ïî êâàäðàòíîé ïàðàáîëå
Ðèñ. 11.8
11
4fx
(l - x )
l2
ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â ëåâîé îïîðíîé òî÷êå.
Ðåøåíèå. 1. Îïðåäåëèì ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèé àðêè.
Ïðèìåì øàã ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèé àðêè Dx = 3 ì.
Êîîðäèíàòû ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèé ïðè ïðèíÿòîì øàãå îïðåäåëÿþòñÿ ïî
çàäàííîìó óðàâíåíèþ ïàðàáîëû.
Óãëû íàêëîíà êàñàòåëüíûõ â ðàñ÷åòíûõ ñå÷åíèÿõ íàéäåì ïî èõ òàíãåíñó:
y =
4f
(l - 2 x ).
l2
Òîãäà íåîáõîäèìûå äëÿ ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë (11.8) è (11.9) çíà÷åíèÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé âû÷èñëèì ïî ñëåäóþùèì çàâèñèìîñòÿì:
y ¢ = tg j k =
cos j k =
1
1 + tg 2ϕk
;
sin j k = tg j k cos j k .
Òðåáóåìûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé äëÿ
ðàññìàòðèâàåìîé àðêè ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 11.1.
2. Îïðåäåëèì âåðòèêàëüíûå îïîðíûå ðåàêöèè:
å MA = 0; 20 × 12 × 6 + 60 × 12 + 60 × 18 - VB × 24 = 0, VB = 135 êÍ.
å MB = 0; VA24 - 20 × 12 × 18 - 60 × 12 - 60 × 9 = 0, VA = 225 êÍ.
3. Ïîñòðîèì ýïþðû Q á è M á (ñì. ðèñ. 11.8, à) è îïðåäåëèì áàëî÷íûå
óñèëèÿ äëÿ êàæäîãî ðàñ÷åòíîãî ñå÷åíèÿ.
Ò à á ë è ö à 11.1
Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñå÷åíèé òðåõøàðíèðíîé àðêè
èç ïðèìåðà 11.3
12
Íîìåð
ñå÷åíèÿ
x, ì
y, ì
tg jk
sin jk
cos jk
0
0
0
0,668
0,554
0,832
1
3
1,75
0,500
0,449
0,894
2
6
3,00
0,334
0,317
0,948
3
9
3,75
0,167
0,165
0,986
4
12
4,00
0
0
1,00
5
15
3,75
−0,167
−0,165
0,986
6
18
3,00
−0,334
−0,317
0,948
7
21
1,75
−0,500
−0,449
0,894
8
24
0
−0,668
−0,554
0,832
13
−15
−75
0
−146,25
−135,00
−1 260,00
−1 181,25
−945,00
−551,25
1 260
1 035
810
405
0
4
5
6
7
8
0
−15,00
−75,00
45
33,75
−1 181,25
1 215
3
0
−146,25
44,37
105
45,00
−945,00
990
−120,69
−112,32
−135
−71,10
−127,98
−75
−135
−135
−73,95
−75
99,54
147,51
2
165
33,75
−551,25
187,20
225
585
Qká cos jk
Qká, êÍ
1
0
Mk, êÍ ⋅ ì
0
−Hyk
0
Ìká, êÍ ⋅ ì
0
Íîìåð ñå÷åíèÿ
174,51
141,44
62,19
20,75
28,76
−28,12
−21,97
51,98
99,86
−15,00
−75,00
−7,61
−0,32
6,07
12,69
Qk, êÍ
0
−51,98
−99,86
−141,44
−174,51
−H sin jk
−16,35
−60,62
−23,78
−42,80
−12,38
0
−7,43
−33,29
−74,09
−124,65
−Qká sin jk
Ðåçóëüòàòû îïðåäåëåíèÿ óñèëèé â ñå÷åíèÿõ òðåõøàðíèðíîé àðêè ê ïðèìåðó 11.3
−262,08
−281,61
−298,62
−310,59
−315,00
−310,59
−298,62
−281,61
−262,08
−H cos jk
−278,43
−342,23
−322,40
−341,42
−322,97
−315,00
−318,02
−331,91
−355,70
−386,73
Nk, êÍ
Ò à á ë è ö à 11.2
4. Îïðåäåëèì ðàñïîð â àðêå ïî ôîðìóëå (11.2):
H = 1 260/4 = 315 êÍ.
5. Îïðåäåëèì óñèëèÿ â ñå÷åíèÿõ àðêè ïî ôîðìóëàì (11.7)¾ (11.9).
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ðàññìàòðèâàåìîé àðêè ïðèâåäåíû â òàáë. 11.2 è ïî
äàííûì ýòîé òàáëèöû íà ðèñ. 11.8, á ïîñòðîåíû ýïþðû Q, M è N.
Сравнительный анализ работы трехшарнирной арки
и простой балки
Êàê âèäíî èç ôîðìóë äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñèëèé â ñå÷åíèÿõ àðêè
(11.7) ¾ (11.9), ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîñòîé áàëêîé àðêà îáëàäàåò îïðåäåëåííûìè ïðåèìóùåñòâàìè. Ïðè îäèíàêîâûõ ïðîëåòàõ è íàãðóçêàõ â ñå÷åíèÿõ àðêè èçãèáàþùèå ìîìåíòû ìåíüøå, ÷åì â ïðîñòîé
áàëêå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ ïîïåðå÷íûå
ñå÷åíèÿ àðêè áóäóò ìåíüøèìè, è êîíñòðóêöèÿ â öåëîì ìîæåò áûòü
áîëåå ýêîíîìè÷íîé ïî ðàñõîäó ìàòåðèàëîâ.  òðåõøàðíèðíûõ àðêàõ
ñóùåñòâåííîå óìåíüøåíèå èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ èìååò ìåñòî â
ñðåäíåé ÷àñòè ïðîëåòà, ãäå â áàëêàõ, êàê ïðàâèëî, èçãèáàþùèå
ìîìåíòû äîñòèãàþò íàèáîëüøèõ çíà÷åíèé. Ïîïåðå÷íûå ñèëû â ñå÷åíèÿõ àðêè òàêæå ìåíüøå, ÷åì â ïðîñòîé áàëêå. Ìåíüøèå èçãèáàþùèå ìîìåíòû è ïîïåðå÷íûå ñèëû â àðêàõ îáóñëîâëåíû íàëè÷èåì
ðàñïîðà.  òî æå âðåìÿ íàëè÷èå ðàñïîðà ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â
ñå÷åíèÿõ àðêè ïðîäîëüíûõ ñæèìàþùèõ ñèë. Îäíàêî, êàê ïîêàçàëà
ïðàêòèêà, áîëüøèíñòâî ñòðîèòåëüíûõ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ ëó÷øå ðàáîòàåò íà ñæàòèå, èì íà èçãèá.
Понятие рациональной оси трехшарнирной системы
Òàê êàê áîëüøèíñòâî ñòðîèòåëüíûõ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ ëó÷øå ðàáîòàåò íà ñæàòèå, ÷åì íà èçãèá, î÷åâèäíî, ÷òî íàèáîëåå ýêîíîìè÷íûìè ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàáîòû ìàòåðèàëà áóäóò àðêè,
â êîòîðûõ èçãèáàþùèå ìîìåíòû ìàëû èëè ðàâíû íóëþ è êîòîðûå
íàçûâàþòñÿ àðêàìè ñ ðàöèîíàëüíîé îñüþ î÷åðòàíèÿ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òðåõøàðíèðíóþ àðêó, çàãðóæåííóþ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêîé (ðèñ. 11.9).
Îïîðíûå ðåàêöèè òàêîé àðêè çàïèøåì â âèäå
VA = VB = 0,5ql; H =
M Cá ql 2
=
.
8f
f
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ àðêè ñ êîîðäèíàòàìè (x, y) âûðàæåíèå èçãèáàþùåãî ìîìåíòà áóäåò èìåòü âèä
M(x) = VA x - 0,5qx2 - Hy = 0,5qlx - 0,5qx2 14
ql 2
y.
8f
Ðèñ. 11.9
Ïðèðàâíÿâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ê íóëþ, ïîñëå íåñëîæíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì óðàâíåíèå êâàäðàòíîé ïàðàáîëû
y =
4 fx
(l - x ).
l2
Ðèñ. 11.10
15
Ñëåäîâàòåëüíî, â ïàðàáîëè÷åñêîé àðêå ïðè äåéñòâèè ðàâíîìåðíî
ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêè âî âñåõ ñå÷åíèÿõ èçãèáàþùèå ìîìåíòû
ðàâíû íóëþ, ò. å. äëÿ äàííîãî âèäà íàãðóçêè ïàðàáîëè÷åñêîå î÷åðòàíèå îñè àðêè ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì. Ïðè âåðòèêàëüíîé íàãðóçêå âñå ñå÷åíèÿ òàêîé àðêè ðàáîòàþò òîëüêî íà ñæàòèå.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè äåéñòâèè ðàäèàëüíîé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêè, ðàöèîíàëüíûì áóäåò êðóãîâîå
î÷åðòàíèå àðêè.
 îáùåì ñëó÷àå ðàöèîíàëüíîå î÷åðòàíèå àðêè, çàâèñÿùåå îò
âèäà äåéñòâóþùåé íàãðóçêè, ìîæåò áûòü áîëåå ñëîæíûì è ñîäåðæàòü êàê êðèâîëèíåéíûå ó÷àñòêè îñè, òàê è ëîìàíûå.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðàöèîíàëüíîå î÷åðòàíèå àðêè
èëè òðåõøàðíèðíîé ñèñòåìû äëÿ çàäàííîãî âèäà íàãðóçêè, äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ýïþð èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ M á, âñå åãî îðäèíàòû ðàçäåëèòü íà çíà÷åíèå ðàñïîðà H è «ïåðåâåðíóòü» ïîëó÷åííóþ
êðèâóþ èëè ëîìàíóþ ëèíèþ (ðèñ. 11.10).
11.1.3. Комбинированные расчетные схемы
Êîìáèíèðîâàííûìè ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàñ÷åòíûå ñõåìû, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñî÷åòàíèå ýëåìåíòîâ, ðàáîòàþùèõ â óñëîâèÿõ èçãèáà (áàëêè, àðêè), ñ ýëåìåíòàìè, ðàáîòàþùèìè òîëüêî íà ðàñòÿæåíèå èëè ñæàòèå (ñòåðæíè èëè ÷àñòè ôåðì) (ñì. ðèñ. 1.11, ð è ðèñ. 3.15).
 ñèëó ðàçíîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòîâ êîìáèíèðîâàííûå ðàñ÷åòíûå ñõåìû ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ: íàïðèìåð, áàëî÷íûå ýëåìåíòû, ðàáîòàþùèå â îñíîâíîì íà
èçãèá èëè ñæàòèå, — èç æåëåçîáåòîíà, à öåíòðàëüíî ðàñòÿíóòûå
ýëåìåíòû — èç ìåòàëëà. Ýòî îïðåäåëÿåò ýêîíîìè÷íîñòü è øèðîêîå
èñïîëüçîâàíèå êîìáèíèðîâàííûõ ñèñòåì ïðè ïåðåêðûòèè áîëüøèõ ïðîëåòîâ, îñîáåííî â ìîñòîñòðîåíèè.
Ðàñ÷åò òàêèõ ñèñòåì ïðîèçâîäèòñÿ óæå èçâåñòíûìè ñïîñîáàìè,
â îñíîâå êîòîðûõ ëåæèò ìåòîä ñå÷åíèé.
Îáùèå ïðèíöèïû îïðåäåëåíèÿ óñèëèé â êîìáèíèðîâàííîé ðàñ÷åòíîé ñõåìå ðàññìîòðèì íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå.
Ïðèìåð 11.4. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü óñèëèÿ âî âñåõ ýëåìåíòàõ øïðåíãåëüíîé áàëêè, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 11.11, à.
Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà îáðàçóåòñÿ äâóìÿ ñòåðæíÿìè AC è ÑB, ðàáîòàþùèìè
íà èçãèá, è ñèñòåìîé èç ñåìè ñòåðæíåé, èñïûòûâàþùèõ òîëüêî ïðîäîëüíûå äåôîðìàöèè (øïðåíãåëåé).
Ðåøåíèå. 1. Ïðîèçâåäåì ïðîâåðêó ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè ðàìû.
×èñëî îïîðíûõ ñâÿçåé Cîï = 3, ÷èñëî ïðîñòûõ øàðíèðîâ Ø = 12, ÷èñëî
äèñêîâ D = 9.
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè ñõåìû (1.4)
âûïîëíÿåòñÿ:
3D - 2Ø - Cîï = 3 × 9 - 2 × 12 - 3 = 0.
16
Ðèñ. 11.11
Áàëêà CB è ñòåðæíè 3, 4 â ïðàâîé ÷àñòè ñõåìû îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìûé äèñê ïî ïðèíöèïó òðèàäû. Òî÷íî òàêîé æå äèñê â
ñèëó ñèììåòðèè ðàñ÷åòíîé ñõåìû îáðàçóåòñÿ è â ëåâîé åå ÷àñòè. Ýòè äâà
íåèçìåíÿåìûõ äèñêà ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé òðåìÿ ïðàâèëüíî ðàñïîëîæåííûìè ñâÿçÿìè: äâóìÿ â øàðíèðå Ñ è ëèíåéíîé ñâÿçüþ — çàòÿæêîé
1, ò. å. òàêæå îáðàçóþò åäèíîå ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìîå öåëîå. Ïîëó÷åííîå åäèíîå öåëîå ïðèñîåäèíåíî ê îñíîâàíèþ òðåìÿ îïîðíûìè ñâÿçÿìè, ðàñïîëîæåííûìè ñ âûïîëíåíèåì óñëîâèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìîé.
2. Îïðåäåëèì îïîðíûå ðåàêöèè.
Òàê êàê ãîðèçîíòàëüíàÿ íàãðóçêà íà ðàñ÷åòíóþ ñõåìó îòñóòñòâóåò, ãîðèçîíòàëüíàÿ ðåàêöèÿ â îïîðå À ðàâíà íóëþ. Âåðòèêàëüíûå îïîðíûå ðåàêöèè íàéäåì èç óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ:
å MA = 0; 60 × 2 + 60 × 6 + 60 × 8 - RB × 16 = 0, RB = 60 êÍ;
å MB = 0; RA × 16 - 60 × 14 - 60 × 10 - 60 × 8 = 0, RA = 120 êÍ.
17