Расчеты прочностных характеристик непрерывно

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Нижегородский
государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева» (НГТУ)
Кафедра Материаловедение и технологии новых материалов
Практическая расчетно-графическая работа
Расчеты прочностных характеристик
непрерывно-армированных
композиционных материалов
Составитель Мальцев И.М.
Нижний Новгород 2013
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО НЕПРЕРЫВНО-АРМИРОВАННЫМ КОМПОЗИТАМ
Цель работы: Изучить и приобрести навыки расчетов по непрерывно-армированным композитам,
находящихся в условиях нагружения, несовпадающего с осью арматуры.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Для оценки прочности композиционного материала (КМ) в конструкции, находящейся в сложном
нагруженном состоянии, необходимо знать критерии, устанавливающие допустимые границы
напряжения, в которых материал может работать в заданных условиях без разрушения. Такие критерии
называются критериями предельных состояний. Предельными называются состояния, при которых КМ
переходит от упругого состояния к пластическому или разрушается. В первом случае критерий
предельного состояния называется условием пластичности, во втором – условием прочности.
Для практических расчетов предложены различные критерии прочности и пластичности.
Выбор их зависит от природы материала, степени анизотропности, концепции расчета, имеющегося
объема экспериментальных данных.
Критерии максимальных напряжений
В соответствии с критерием максимальных напряжений разрушение КМ, армированного
параллельными волокнами, ориентированными в одном направлении, происходит при достижении
напряжениями соответствующего предела прочности. Если КМ, волокна которого ориентированы вдоль
оси X, образующей с осью X’ угол θ, находится под напряжениями σx’;σy’ и τx’y’ направление которых не
совпадает с направлениями главных осей симметрии материала X и Y (рис.1, приложение 1). Условие
прочности записывается в виде σx≤ σВхР или σx≤ σВхС; σy≤ σВy р или σy≤ σВyC; τyx≤ τВyx. Если
однонаправленный КМ находится под действием только одного внешнего напряжения σx’, критерии
прочности записываются в виде
σx’≤σВх/ cos2 θ,
(1)
σx’≤σВy/sin2θ,
(2)
σx’≤τВy/(sinθ · cosθ),
(3)
где σ и τ нормальные и сдвиговые напряжения. Прочность однонаправленного композита находят из
выражения
σВхР= σВf · Vf1,2,3+σm’·(1- Vf1,2) ,
Vf1= σВm / σВf ,
(4)
(5)
Vf2= σВm / (σВf + σВm - σf’) ,
V f3 = Vкр.уд.= [1 + σВf - σВm· γf/γm )/( σВm - σf’)]-1,
(6)
(7)
σВх - прочность двухкомпонентного KM в направлении армирования; σВf и σВm - прочность
’
’
материала волокон и матрицы; σm и σf напряжения в матрице и волокнах в момент разрушения волокон и матрицы соответственно; Vf1 и Vf2 - концентрации волокон для пластичной и хрупкой
матрицы соответственно; Vкр.уд.= Vf3 - концентрация волокон, соответствующая такому составу
где
однонаправленного КМ, при котором его удельная прочность при растяжения равна удельной
σВm – справочные величины; γf и γm - плотности
’
’
волокон и матрицы, σm находят графическим способом(рис.2,приложение 1), σf определяют
прочности неармированной матрицы;
σВf
и
экспериментально, но так как удельная прочность волокон должна быть больше удельной прочности
матрицы, обычно
Vf2
приравнивают
Vf3 = Vкр.уд.
Критерий максимальных напряжений, являющийся простейшим, не учитывает взаимодействия
различных компонентов тензора напряжений, однако учитывает различные механизмы разрушения.
Первое неравенство (1) характеризует разрушение КМ от нормальных напряжений, действующих вдоль
оси волокон. При небольших значениях θ (если θ не превышает несколько градусов) увеличение его
приводит к увеличению прочности (рнс.3.1, приложение 1). При некотором критическом значении θ=
θкр1 прочность КМ начинает контролировать вторым механизмом разрушения - в результате сдвига по
плоскостям, параллельным волокнам (рис.3.2). Величина θкр1 определяется из выражения
tg θкр1= τВyx/ σВх,
(8)
τВyx находят из закона Гука, τВyx= G· τxy (9) или по ориентировочному уравнению τВxy=
Gxy· εx·cos 450·sin 450 (10), где τxy и εx сдвиговые и нормальные деформации.
Модуль сдвига для однонаправленного КМ армированного непрерывными волокнами рассчитывают
для одноосного растяжения по формуле
Gxy = Gxz = Gf · Gm·* Gf ·(1- Vf)+ Gm· Vf ],
(11)
Gf и Gm - модули сдвига волокон и матрицы. εx определяют по величине δ и σп - относительному
удлинению и пределу пропорциональности материала матрицы.
При больших значениях θ прочность КМ определяется иретьим видом разрушения (рис.3.3) который
контролируется прочностью КМ в направлении перпендикулярном волокнам. Величина
θкр2,
соответствующая смене второго механизма третьим, определяется из соответствия
tg θкр2= σВy/ τВхy,
(12)
Прочность КМ при поперечном растяжении
σВyР= σmвP/kyσ,
(13)
kyσ= [1- Vf·(1- Em/Ef)]/[1- (4·Vf/π)1/2 ·(1-Em/Ef)]
где
(14)
Vf – концентрация волокон (уравнение 5-7), Em и Ef - модули Юнга матрицы и волокон; σmвP
- прочность материала матрицы при растяжении.
При больших
θкр2, критерием прочности является (2),при θ< θкр1 – (1), а при θкр1< 0< θкр2-
(3).
Критерий максимальных деформаций
Предельное состояние КМ в соответствии с критерием максимальных деформаций наступает при
ε εy или сдвиговыми τxy деформациями величин,
P
С
P
C
соответствующих допустимым деформациям, т.е. при εx≥ℓx или εx≥ ℓx ; εy≥ℓy или εy≥ℓy
;τxy≥ℓxy.
достижении текущими линейными x и
ℓxP, ℓxС – допустимые линейные деформации при растяжении и сжатии вдоль волокон
P
C
(вдоль оси X); ℓy и ℓy – допустимые линейные деформации при растяжении и сжатии
перпендикулярно волокнам (вдоль оси Y); ℓxy – допустимая сдвиговая деформация в плоскости xy.
Здесь
Для одноосного нагружения однонаправленного КМ в пределах упругой деформации условия
прочности следующие:
σх’≤ σВх/( cos2 θ - µxy·sin2θ),
σх’≤ σВy/( sin2 θ - µxy·cos2θ),
µxy= µf· Vf + µm(1- Vf)
(15)
(16)
(18)
Критерий максимальных напряжений используется для расчета прочности однонаправленных КМ с
металлической и полимерной матрицей в условиях одноосного напряженного состояния. Критерий
максимальных деформаций применим для КМ с любыми матрицами.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Выполнение практического задания сводится к решению задачи определения работоспособности
однонаправлено армированного композита в условиях одноосного растяжения напряжением σ под
углом θ к арматуре.
Известными величинами в индивидуальных заданиях являются материалы матрицы и волокон и их
прочностные свойства, величина внешнего напряжения, угод θ и значение нормальной деформации
εx (табл.1, приложение 2).
Номер задания образован из трех групп цифр. Например. 45.80.3. Первая цифра соответствует величине
угла θ в градусах, вторая цифра соответствует значению напряжения в МПа (в примера 80 МПа), третья
цифра соответствует графе исходных данных табл.1 (приложение
3. Задание выдает преподаватель.
2), в данном примере бороалюминий
Порядок выполнения задания
1. Составляют таблицу исходных данных по форме табл.1.
2. Выполняют рис.1 применительно к заданию с нанесением действующих
напряжений и величин угла θ.
3. Используя формулы (4)-(7) определяют прочность двухкомпонентного
КМ в направлении армирования.
4. Используя уравнения (8)-(14) определяют величины θкр1 и θкр1 и,
установив механизм разрушения, выбирают критерий максимальных
напряжений из формул (1)-(3).
5. Используя уравнения (1)-(3) , определяют работоспособность композита
по критерию максимального напряжения.
6. Используя уравнения (15)-(18), определяют достоверность оценки
работоспособности КМ по п.5.
ОФОРМЛЕНИЕ ЗАДАНИЯ
Расчетно-графическое задание оформляется на отдельных листах белой бумаги в рукописном варианте.
На титульном листе указываются названия учебного заведения, кафедры, номер группы, фамилия и
инициалы студента. А так же номер задания. Формат листов А4. Рисунки оформляют на отдельном
листе. Изложение вычислений и текста выполняется в соответствии с последовательностью, указанной в
разделе «Порядок выполнения задания». Вывод о работоспособности композита пишется в конце
задания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карлинос Д.М. Композиционные материалы. Справочник.- Киев:
Наукова думка, 1985.- с.35-39, 64-66, 49-50.
Приложение 1
σ ,
y
τ , ,
x y
,
y
x
σx
y
σx
τxy
σx ,
τxy σx
,
τxy
τx, y
,
σx
τxy
σx
τx, y,
x
τx, y
σx
,
,
,
Рис.1 Схема напряженного состояния в однонаправленном композиционном материале, находящегося
под напряжением
,
,
σx , σy и τx, y,, направление которых не совпадает с осями симметрии x и y.
Приложение 1
σ
σв f
σвm
,
σm
Vf min
vкр
Vf
Рис.2. Концентрационная зависимость прочности однонаправленного волокнистого композита.
,
σm
- прочность матрицы в момент разрушения волокон; σВm и
волокон;
σВf – прочность матрицы и
Vf - концентрация волокон; Vfmin= Vf1= Vf2; Vкр.уд.= Vf3
σв
tg θкр1= τВyx/ σВх
1
tg θкр2= σВy/ τВхy
2
σвm
3
θкр.1
25
45
θкр.2
θ,град
Рис.3 Зависимость прочности однонаправленного волоконного композита от угла θ-угла разориентации
между осью симметрии материала и осями действующей нагрузки.
1- прочность композита контролируется прочностью арматуры;
2- прочность материала определяется механизмом разрушения от
сдвиговых напряжений параллельных волокнам;
3- прочность композита равна прочности матрицы.
Приложение 2
Таблица 1
Номера заданий и исходные данные к расчетно-графической работе
№
зад.
Ef,
ГПа
1
Em ,
МПа
102
20
σm,
МПа
σf,
ГПа
µm
103
µf
εx, м
10-3
Gf ,
ГПа
400
24
2
20
110
0,01
170
2
70
420
80
3,5
18
130
0,01
180
3
350
0,35
125
3,5
17
125
0,02
180
Gm , γm,
МПа г/см3
γf,
г/см
Материа
л
3
0,8·
10 -6
0,8·
10 -6
0,8·
10 -6
0,8
3,3
1,0
2,5
2,7
2,5
стеклопластик
боропластик
бороалюмини
й
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО НЕПРЕРЫВНО-АРМИРОВАННЫМ КОМПОЗИТАМ
Цель работы: изучить и приобрести навыки расчетов по непрерывно армированным композитам,
находящихся в условиях нагружения. несовпадающего с осью арматуры.
Краткие сведения из теории
Для оценки прочности композиционного материала (КМ) в конструкции, находящейся в сложном
нагруженном состоянии, необходимо знать критерии, устанавливающие допустимые границы
напряжений, в которых материал может работать в заданных условиях без разрушения. Такие критерии
называются критериями предельных состояний. Предельными называются состояния, при которых КМ
переходит от упругого состояния к пластическому или разрушается. В первом случае критерий
предельного состояния называется условием пластичности, во втором - условием прочности.
Для практических расчета предложены различные критерии прочности и пластичности. Выбор их
зависит от природы материала, степени анизотропности, концепции расчета, имеющегося объема
экспериментальных данных.
1.
Исходные данные.
Таблица 1 – Исходные данные к расчетно-графической работе
Em,
МПа
102
70
Ef,
ГПа
σm,
МПа
σf,
ГПа
µm µf
103
εx,м
10-3
Gf ,
ГПа
Gm,
МПа
420
80
3,5
18
0,01
180
0,8·
10-6
2.
130
γm,
г/с
м3
1,0
γf,
г/см3
σx,Н Θ,0
Матери
ал
2,5
800
Боропл
астик
45
Расчет прочности двухкомпонентного КМ в направлении армирования
Vf1= σВm / σВf = =0,023;
Vf2= V f3 = Vкр.уд.= [1 + σВf - σВm· γf/γm )/( σВm - σf’)]-1=*(
+
-1
)
= 0,0243;
σВхР= σВf · Vf1,2,3+σm’·(1- Vf1,2) =
МПа
3. Определение θкр1
и θкр2
и выбор критерия максимальных
напряжений
tg θкр1= τВyx/ σВх;
τВxy= Gxy· εx·cos 450·sin 450 ;
Gxy = Gxz = Gf · Gm·[ Gf ·(1- Vf)+ Gm· Vf ]= 180000 · 0,8·10-6·[180000·(10,023)+0,8·10-6·0,023] = 176044 МПа;
τВxy=176044·0,1·10-3· cos 450·sin 450= 8,8 МПа;
tg θкр1= 8,8/ 80,22=0,11;
θкр1=6,280
tg θкр2= σВх /τВxy;
σВyР= σmвP/kyσ;
kyσ= [1- Vf·(1- Em/Ef)]/[1- (4·Vf/π)1/2 ·(1-Em/Ef)]=
σВyР=
*
*
+
+
МПа
tg θкр2=
θкр1=82,620;
Т.к θкр1<θ< θкр2, то критерием прочности является условие
σx’≤ τВy/( sinθ· cosθ).
4. Определение работоспособности композита по критерию максимального
напряжения σx’≤ 8,8/( sin450· cos450)= 17,6 МПа.