Определение массы небесных тел, имеющих спутники

МОУ «Пайгусовская средняя общеобразовательная школа»
Определение массы небесных
тел, имеющих спутники
Работа
учащихся 9А класса
Цели:
zОпределить массы небесных тел,
имеющих спутники, сравнить
полученные результаты с табличными.
Гипотеза:
zОпределим массы небесных тел,
имеющих спутники, используя закон
всемирного тяготения.
Определение массы планеты, у
которой есть спутники
z По закону всемирного тяготения планета
массой М притягивает свой спутник массой
m, находящийся на расстоянии R от центра
планеты, с силой
M ⋅m
F =G
2
R
R
M
m
Определение массы планеты, у
которой есть спутники
z По второму закону Ньютона F = ma
эта сила сообщает спутнику ускорение
F
M ⋅m 1
M
а= =G
⋅ =G 2
2
m
R
m
R
Определение массы планеты, у
которой есть спутники
z Будем считать, что спутник движется по
круговой орбите с радиусом R. Тогда
определяемое ускорение будет равно
центростремительному ускорению спутника
при движении его по орбите
υ2
ацс = ,
r
R
υ
R
M
m
где υ - скорость
движения спутника по
орбите.
Определение массы планеты, у
которой есть спутники
M
а=G 2
R
Мы получили:
ацс =
υ
R
Так как а = ацс , получаем:
M=
υ ⋅R
2
2
G⋅R
=
2
M υ
G 2 =
⇒
R
R
υ ⋅R
2
G
2
Определение массы планеты, у
которой есть спутники
Скорость движения спутника по орбите можно
определить, зная Т – период его обращения
вокруг планеты:
2πR
υ=
T
.
Подставляя это выражение в формулу
получим окончательно:
(
2πR )
M=
⋅ R 4π R
= 2
2
T ⋅G
T ⋅G
2
2
3
M=
υ ⋅R
2
G
,
Определение массы Земли, у которой
есть спутник Луна
Вычислим массу Земли, взяв из справочника
z расстояние от Земли до Луны R = 3,8.108 м,
z период обращения Луны вокруг Земли
Т = 27,3 сут.
Переведем Т в систему СИ
Т = 27,3 сут = (27,3 . 24) ч = (655,2 . 3600)с =
= 23,6.106 с.
Определение массы Земли, у которой
есть спутник Луна
ДАНО:
СИ
R = 3,8.108 м
Т = 27,3 сут 23,6.106 с
М=?
РЕШЕНИЕ:
4π 2 R 3
M= 2
=
T ⋅G
=
(
4 ⋅ 3,14 ⋅ 3,8 ⋅10
2
)
8 3
(23,6 ⋅10 ) ⋅ 6,67 ⋅10
6 2
−11
=
= 5,8 ⋅10 24 кг ≈ 6 ⋅10 24 кг
Ответ: М = 6 . 1024 кг
Определение массы Солнца, считая
спутником Землю
Вычислим массу Солнца, считая (из справочника):
z Земля обращается по круговой орбите
R = 1,5.1011 м,
z период обращения Земли вокруг Солнца
Т = 365,24 сут.
Переведем Т в систему СИ
Т = 365,24 сут = (365,24°. 24 . 3600)с = 31,6 . 106 с.
Определение массы Солнца, считая
спутником Землю
ДАНО:
СИ
R = 1,5.1011 м
Т = 365,24 сут 31,6.106 с
М=?
РЕШЕНИЕ:
4π 2 R 3
M= 2
=
T ⋅G
=
(
)
11 3
4 ⋅ 3,14 ⋅ 1,5 ⋅10
2
(31,6 ⋅10 ) ⋅ 6,67 ⋅10
6 2
−11
≈
≈ 2 ⋅1030 кг
Ответ: М = 2 . 1030 кг
Определение массы Солнца, считая
спутником Марс
Вычислим массу Солнца, считая (из справочника):
z Марс обращается по круговой орбите
R = 2,28.1011 м,
z период обращения Марса вокруг Солнца
Т = 687 сут.
Переведем Т в систему СИ
Т = 687 сут = (687 . 24 . 3600)с = 59,36 . 106 с.
Определение массы Солнца, считая
спутником Марс
ДАНО:
СИ
РЕШЕНИЕ:
R = 2,28.1011 м
2 3
Т = 687 сут
59,36.106с M = 4π R =
T 2 ⋅G
М=?
(
)
=
(59,36 ⋅10 ) ⋅ 6,67 ⋅10
11 3
4 ⋅ 3,14 ⋅ 2,28 ⋅10
2
6 2
−11
≈
≈ 2 ⋅1030 кг
Ответ: М = 2 . 1030 кг
Вывод
z Получили такие результаты:
{ масса Земли . 6.1024 кг
{ масса Солнца (спутник Земля) . 2.1030 кг
{ масса Солнца (спутник Марс) . 2.1030 кг
z Табличные результаты:
{ масса Земли . 6.1024 кг
{ масса Солнца . 2.1030 кг
z Сравнивая полученные результаты с табличными и
учитывая погрешность вычислений делаем вывод,
что предложенный способ вычисления массы
небесных тел, имеющих спутники верен.
Используемые материалы
zКабардин О.Ф. и др. Факультативный
курс физики. 8 кл. Пособие для
учащихся. – М., Просвещение, 1977.
zСовременная универсальная
российская энциклопедия. Большая
энциклопедия Кирилла и Мефодия
2003. – КиМ, 2004, (2 CD-ROM).