очный тур - Олимпиады для школьников

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГАОУ ВПО «Балтийский федеральный университет им. Иммануила Канта»
Олимпиада школьников «Будущее с нами» 2013/2014гг
Очный этап
Математика
7 класс
Общее время выполнения работы – 2 астрономических часа (120мин).
Количество задач – 4.
Общие критерии оценки:
7 баллов ставится за полностью решенную задачу.
6-7 баллов ставится, если решение верное, но имеются небольшие недочеты.
5-6 баллов ставится, если решение в целом верное, но имеются существенные ошибки, не
влияющие на логику рассуждений.
4 балла ставится, если верно рассмотрен один из двух (более сложный) случай, или в
задаче типа «оценка+пример» верно получена оценка.
2-3 балла ставится, если получены вспомогательные утверждения, помогающие при
решении задачи.
1 балл ставится, если рассмотрены отдельные случаи при отсутствии решения.
0 баллов, ставится, если нет продвижений в решении, даже если при этом дан верный
ответ.
Решение школьника не обязано совпадать с предложенными, тогда оно оценивается также
в соответствии указанной выше схемой оценок.
Задание 1. (7 баллов)
Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 11?
Решение:
Пусть N – натуральное число. Если число N2 оканчивается на 11, то при делении на 4 это
число давало бы остаток 3, чего быть не может, поскольку квадрат числа N при делении
на 4 может давать остаток 0, если N – четное, и 1 – если N нечетное.
Ответ: нет
Задание 2. (7 баллов)
Как повесить картину на два гвоздя так, чтобы она упала, как только вынуть любой из
них?
Ответ: например, последовательно обмотать каждый из них веревкой по часовой стрелке,
а затем в том же порядке против часовой стрелки.
Задание 3. (7 баллов)
Будем называть распределение кусков пиццы между несколькими людьми справедливым,
если для любых двух человек последовательности площадей кусков их пицц совпадают.
Как разрезать 9 пицц на 10 человек справедливым образом?
Решение:
9 1 1 1
   .
10 2 3 15
Первые пять пицц разрезаем пополам, следующие три пиццы – каждую натри равные
части, а от девятой пиццы отрезаем треть, а остаток делим на10 равных частей. Таким
образом, каждому человеку достанется половина, треть и одна пятнадцатая часть пиццы.
Задание 4. (7 баллов)
В классе 29 учеников. Аня, Вася и Сергей баллотируются на должность старосты этого
класса. Голосование происходит так, что каждый из учеников дает оценку каждому из
кандидатов по степени своего желания видеть его победителем. После того, как все
проголосовали, учитель сравнивает предпочтения в каждой паре кандидатов: из двух
кандидатов более предпочтительным оказывается тот, которого оценили выше
большинство учеников. Кандидат, который предпочтительнее любого другого кандидата
при сравнении один на один, является победителем на выборах. Можно ли таким образом
выявить победителя при любом результате голосования?
Ответ: нет, например, если голоса распределятся так, как показано на схеме:
Число голосующих
Предпочтения
7
A B C
9
B C  A
13
C  A B
Берем Аню и Сергея: тогда Аню предпочитают 7; Сергея по сравнению с Аней
предпочитают: 9+13=22. Следовательно, Сергей предпочтительнее Ани (С  А) по воле
большинства. Сравнивая попарно аналогичным образом Аню и Васю, затем Васю и
Сергея, получаем: А  В (20 против 9), В  С (16 против 13). Следовательно, мы
пришли к ситуации: А  В  С  А, когда не побеждает ни один из кандидатов.