Математическое открытие делает физик В.В. Пухначев В

Математическое открытие делает физик
В.В. Пухначев
В номере 2 Журнала прикладной механики и технической физики за
1975 год была опубликована статья Дмитрия Викторовича Любимова «О
конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу» [1]. Ее
автору не исполнилось и тридцати лет. Ниже цитируется аннотация статьи.
«В работе изучаются конвективные движения в пористой среде,
заполняющей горизонтальный цилиндр с произвольной формой поперечного
сечения, при подогреве снизу. Методом малого параметра получено
бесконечно много стационарных движений, образующих однопараметрическое семейство. При малых значениях параметра все эти движения
устойчивы относительно малых возмущений. Рассмотрен также случай не
строго вертикального цилиндра. Оказывается, что при этом устойчиво
лишь одно стационарное движение».
К моменту выхода из печати статьи [1] теория ветвления решений
нелинейных уравнений насчитывала не одно десятилетие. Однако явление,
обнаруженное Д.В. Любимовым, не вкладывалось в существующие понятия
этой теории. В частности, обнаруженное им семейство равновесий не было
орбитой действия какой-либо группы симметрий в задаче фильтрационной
конвекции. Эксперимент, выполненный в работе [2], подтвердил наличие
множества стационарных движений вблизи порога устойчивости основного
состояния жидкости.e stationary far the onset of n
Прошло 16 лет, прежде чем появилась статья В.И. Юдовича [3]. В ней
была вскрыта математическая природа появления цикла равновесий в задаче,
рассмотренной Д.В. Любимовым, и заложены основы теории косимметрии,
получившей дальнейшее развитие в работах самого В.И. Юдовича, его
учеников и последователей [7-27].
Согласно [3], косимметрия – векторное поле, ортогональное данному.
Пусть векторное поле задается отображением трехмерного пространства в
себя. Как известно, любой вектор, инвариантный относительно группы
вращений трехмерного пространства, представим в виде произведения
радиус-вектора на произвольную функцию от его модуля. Косимметриями
здесь являются векторные поля в плоскостях, касательных к сферам с
центром в начале координат.
Понятие косимметрии естественным образом обобщается на случай
динамических систем, а также обыкновенных дифференциальных уравнений
в гильбертовом пространстве. Наличие у динамической системы симметрии
или косимметрии порождает наличие ее непрерывных семейств равновесий.
Если динамическая система имеет интегралы, то косимметриями являются их
дифференциалы. Такие голономные косимметрии хорошо известны.
Семейства равновесий в системах с групповой симметрией могут быть
найдены методами теории С.Ли – Л.В. Овсянникова. Решения, принадлежащие одной орбите группы симметрий, неразличимы с точки зрения их
1
устойчивости. Это радикально отличает их от равновесий, порожденных
косимметриями. Простой пример безразличного равновесия механической
системы – положение шарика на дне горизонтального цилиндрического
желоба с бортиками. Деформируем желоб так, чтобы искривленная линия
дна оставалась горизонтальной, а высота бортиков изменялась от сечения к
сечению. Свойство трансляционной инвариантности системы исчезает, но
континуум положений равновесий остается. Однако в исходной ситуации
запас устойчивости равновесного состояния не зависит от положения шарика
на дне желоба, в то время как после деформации это не так. Элементы
семейства равновесий, найденного в задаче конвекции в пористой среде,
также обладают разным запасом устойчивости [5, 19].
Свойство, которое объединяет два семейства равновесий, состоит в
бесконечной коразмерности вырождения соответствующих линеаризованных
операторов. Однако причины неединственности равновесий в системах
симметрией и косимметрией различны: наличие симметрии говорит о
скрытой переопределенности системы, тогда как наличие косимметрии
свидетельствует о ее скрытой недоопределенности. Наглядное представление
данной ситуации дают теорема о неявной функции для косимметрических
уравнений [8] и ее обращение [12].
Алгоритмических способов отыскания нетривиальных косимметрий
пока не найдено. Но если свойство косимметрии обнаружено, оно дает много
полезной информации о поведении динамической системы. К настоящему
времени найден целый ряд примеров как диссипативных, так и
консервативных систем, обладающих косимметриями (конвекция магнитной
и многокомпонентной жидкости в пористой среде [10], модель фазовых
переходов в антиферромагнетиках [11], системы классической механики с
симметричной потенциальной энергией [11], внутренние волны в
двухслойной жидкости [25], динамическая модель взаимодействия трех
популяций [23]).
Свойство косимметрии является весьма хрупким (это заметил еще Д.В.
Любимов [1]). В частности, причиной распада семейства равновесий в
задачах конвекции в пористой среде может быть просачивание жидкости
через стенки каверны [5] или эффект термодиффузии [6]. В конечномерном
случае косимметрия может быть разрушена дискретной симметрией [11].
Пожалуй, наиболее важным отличительным свойством косимметрической
динамической системы является изменчивость спектра устойчивости
семейства ее равновесий [9, 13, 14, 17]. В указанных работах были
обнаружены явления, не наблюдавшиеся в классическом случае
изолированного равновесия: эффект запаздывания рождения цикла при
увеличении параметра надкритичности, наличие сверхкритических
неустойчивых автоколебаний, потеря устойчивости семейства равновесий с
сохранением свойства притяжения. В работах [15, 16] изучена бифуркация
Пуанкаре-Андронова-Хопфа в системах, обладающих не одной, а несколькими косимметриями.
2
Параллельно с развитием теории, разрабатывались численные методы
решения задач, обладающих косимметрией – как спектральные [5, 18-20], так
и конечно-разностные [21-23]. При их реализации важно было обеспечить
косимметрическую структуру соответствующих конечномерных аппроксимаций. В статье [5] предложен способ анализа плоской задачи фильтрационной
конвекции путем приведения системы амплитудных уравнений к нормальной
форме. Последовательное увеличение числа Рэлея приводит к появлению
предельных циклов, ответвляющихся от них квазипериодических режимов и
гомоклинической поверхности, образованной многообразием неустойчивых
периодических орбит. Разрушение этой поверхности порождает фрактальную
структуру в подходящем фазовом пространстве. Статье [5] предшествовала
работа Д.В. Любимова [4], в которой исследовалось влияние граничных
условий на динамику системы при малом отклонении числа Рэлея от
критического значения. Возникающая динамическая система для амплитуд
возмущений функции тока и температуры допускает полное качественное
исследование.
В работе [20] детально исследованы нестационарные режимы
конвекции Дарси в вертикальном прямоугольном контейнере. Показано, что
в зависимости от числа Рэлея и отношения сторон прямоугольника возможны
следующие режимы: рождение устойчивого и неустойчивого периодических
режимов в результате односторонней бифуркации, рождение устойчивого
периодического режима в результате косимметричной бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа, ответвление квазипериодического режима от точки
однопараметрического семейства стационарных режимов и рождение неустойчивых периодических режимов в результате распада гомоклинных
траекторий. Работа [22] посвящена анализу трехмерных конвективных
движений многокомпонентной жидкости в пористом параллелепипеде. Было
обнаружено непрерывное семейства устойчивых стационарных режимов в
относительно тонком параллелепипеде. Когда его высота увеличивается,
устойчивыми остаются лишь несколько режимов этого семейства. Заметим,
что сам факт наличия семейства равновесий в трехмерной задаче конвекции
Дарси априори не очевиден.
Тесная связь между свойством косимметрии и свойством групповой
симметрии в смысле Ли – Овсянникова была обнаружена в [24] для класса
бифуркационных задач с потенциальными операторами. Как оказывается, в
этом случае ключевую роль при анализе уравнений разветвления Ляпунова –
Шмидта играют косимметрические тождества, которым удовлетворяют
инфинитезимальные операторы алгебры Ли допускаемой группы. В скрытой
форме это свойство впервые существенно использовалось при исследовании
разрешимости задачи о стационарных внутренних волнах типа плавного
бора [25], а последующее обобщение указанного подхода дало новый
теоретико-групповой способ понижения размерности уравнений разветвления для бифуркационных задач с некомпактной группой симметрии и
неинвариантным ядром линеаризованной задачи [26, 27].
3
В истории науки нередки случаи, когда ученый делал открытия как в
математике, так и в физике – достаточно вспомнить имена И. Ньютона и
Дж.Г. Стокса. В минувшем столетии математика и физика утвердились как
самостоятельные области знаний (хотя сочетание «физико-математические
науки» сохранилось в номенклатуре ВАК). Однако целый ряд понятий был
введен в научный обиход физиками, и лишь потом они встраивались в
математические теории. Хрестоматийный пример – дельта-функция Дирака,
появившаяся в работах одного из основателей квантовой механики П.А.М.
Дирака более 90 лет назад. Дирак использовал ее как удобный инструмент
для описания сосредоточенных воздействий. Математическая трактовка
дельта-функция как линейного функционала над пространством финитных
бесконечно дифференцируемых функций привела к развитию теории
обобщенных функций (С.Л. Соболев, Л. Шварц, И.М. Гельфанд), нашедшей
многочисленные применения, в том числе и в задачах математической
физики. Можно упомянуть континуальный интеграл (синонимы –
функциональный интеграл, интеграл по траекториям), который фактически
возник в работах М. Смолуховского и А. Эйнштейна по теории броуновского
движения (1906). В развитие теории континуальных интегралов, нашедшей
приложения в квантовой теории поля и теории струн, внесли вклад как
математики, так и физики (Н. Винер, Р. Фейнман, М. Атья, И. Сигал).
Наконец, отметим работу Я.Б. Зельдовича и А.С. Компанейца [28]. В ней был
обнаружен эффект конечной скорости распространения теплового фронта по
нулевому фону в среде, коэффициент теплопроводности которой является
степенной функцией температуры. Это наблюдение двух физиков дало
толчок развитию теории вырождающихся параболических уравнений. Если
заменить в уравнении нелинейной теплопроводности температуру на
плотность политропного газа, движущегося в пористой среде, мы придем к
знаменитому «porous medium equation». Математической теории этого
уравнения и его обобщений посвящена книга Х.Л. Васкеса [29].
Приведенные примеры показывают, как математические находки
физиков ведут к созданию новых разделов математики. Открытие, сделанное
Д.В. Любимовым, занимает достойное место в этом ряду.
Автор выражает признательность Т.П. Любимовой, В.Н. Говорухину,
Н.И. Макаренко и В.Г. Цибулину за помощь при написании статьи.
Литература
[1] Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде,
подогреваемой снизу // ПМТФ. 1975. Т. 16. № 2. С. 131-137.
[2] Глухов А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в
пористой среде вблизи порога неустойчивости равновесия // Докл. АН СССР.
1978. Т. 238. № 3. С. 549-551.
[3] Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных
уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991.
Т. 49. Вып. 5. С. 142-148.
4
[4] Lyubimov D. Dynamic properties of thermal convection in porous
medium. In: «Instabilities in Multiphase Flows». G. Gouesbet and A. Berlement
(Eds.). N.-Y., Plenum Press. 1993. P. 289–295.
[5] Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux B. Co-symmetry breakdown in
problems of thermal convection in porous medium // Physica D. 1995. Vol. 82. P.
398-417.
[6] Lubimov D., Gavrilov K. Lyubimova T. Soret-driven convection in a
porous cavity with perfectly conducting boundaries // Comptes Rendus Acad. Sci.
Paris. Ser. 2B. 2011. Vol. 339. P. 297-302.
[7] Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with
cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment
of it // Chaos. 1995. Vol. 5. No. 2. P. 402-411.
[8] Юдович В.И. Теорема о неявной функции для косимметрических
уравнений // Мат. заметки. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 313-317.
[9] Юдович В.И. О бифуркации рождения цикла из семейства
равновесий динамической системы и ее затягивании // ПММ. 1998. Т. 62. №
1. С. 22-34.
[10] Юдович В.И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной
жидкости в пористой среде // Изв. Вузов. Сев-Кавказ. регион. Естественные
науки. Спец. выпуск «Математическое моделирование». 2001. С. 175-178.
[11] Юдович В.И. Косимметрия и консервативные системы. В книге
«В.И. Юдович. Избранные труды. Т. 3». Ростов-на-Дону, Изд-во ЮФУ. 2009.
С. 177-286.
[12] Куракин Л.Г. Критические случаи устойчивости. Обращение
теоремы о неявной функции для динамических систем с косимметрией //
Мат. заметки. 1998. Т. 63. Вып. 4. С. 572-578.
[13] Куракин Л.Г. Об устойчивости граничных равновесий в системах
с косиммептрией // Сиб. матем. журнал. 2001. Т. 42. № 6. С. 1324-1334.
[14] Куракин Л.Г., Юдович В.И. Бифуркация рождения цикла в
системах с косимметрией // Докл. РАН. 1998. Т. 358. № 3. С. 346-349.
[15] Куракин Л.Г., Юдович В.И. Бифуркация ответвления цикла от
семейства равновесий динамической системы с мультикосимметрией // Диф.
уравнения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1315-1323.
[16] Куракин Л.Г., Юдович В.И. Применение метода Ляпунова-Шмидта в задаче ответвления цикла от семейства равновесий системы с
мультикосимметрией // Сиб. матем. журнал. 2000. Т. 41. № 1. С. 136-149.
[17] Куракин Л.Г., Юдович В.И. О бифуркациях равновесий при
разрушении динамической системы // Сиб. матем. журнал. 2004. Т. 45. № 2.
С. 356-364.
[18] Говорухин В.Н. Численное моделирование потери устойчивости
вторичными стационарными режимами в задаче плоской конвекции Дарси //
Докл. РАН. 1998. Т. 363. № 6. С. 806-808.
[19] Говорухин В.Н. Анализ семейств вторичных стационарных
режимов плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере //
Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 53-62.
5
[20] Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Сценарии возникновения нестационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции // Изв.
РАН. МЖГ. 2006. № 6. С. 125-134.
[21] Karasozen B., Tsybulin V.G. Cosymmetric families of steady states in
Darcy convection and their collision // Physics Letters A. 2004. Vol. 323. P. 67–
76.
[22] Karasozen B., Nemtsev A.D.,Tsybulin V.G. Staggered grids for threedimensional convection of a multicomponent fluid in a porous medium //
Computers and Mathematics with Applications. 2012. Vol. 64. P. 1740-1751.
[23] Frischmuth K., Kovaleva E.S., Tsybulin V.G. Family of equilibria in a
population kinetics model and its collapse // Nonlinear Analysis: Real World 011.
Vol. 12. No. 6. P. 146-155.
[24] Макаренко Н.И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений // Докл. РАН. 1996. Т. 348. № 3. С. 302-304.
[25] Makarenko N.I. Smooth bore in a two-layer fluid // International Series
on Numerical Mathematics. 1992. Vol. 106. P. 195-204.
[26] Makarenko N.I. Equivariant cosymmetry and front solutions of the
Dubreil-Jacotin-Long equation. Part 1: Boussinesq limit // Comptes Rendus Acad.
Sci. Paris, Ser. I. 2003. Vol. 337. No. 11. P. 753-756.
[27] Makarenko N.I. Equivariant cosymmetry and front solutions of the
Dubreil-Jacotin-Long equation. Part 2: Exact solution // Comptes Rendus Acad.
Sci. Paris, Ser. I. 2003. Vol. 337. No. 12. P. 815-818.
[28] Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла
при теплопроводности, зависящей от температуры. «Сборник, посвященный
70-летию академика А.Ф. Иоффе». М., Изд-во АН СССР. 1950. С. 61-67.
[29] Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory.
Oxford Mathematical Monographs. 2006. 602 p.
6