Темы контрольных работ - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ПЛАТОНОВ М. Л.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ – 230400.62 «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ»
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ – «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ
В АДМИНИСТРАТИВНОМ УПРАВЛЕНИИ»
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2011
ПЛАТОНОВ М. Л. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов очной формы обучения по направлению подготовки 230400.62
«Информационные системы и технологии» и профилю подготовки «Информационные
системы и технологии в административном управлении». Тюмень, 2011, 48 стр.
Рабочая программа дисциплины составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО и ООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Алгебра и
геометрия [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Кутрунов В. Н., д. ф.-м. н., профессор, заведующий
кафедрой алгебры и математической логики
© Тюменский государственный университет, 2011
© Платонов М. Л., 2011
2
1.
Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы
алгебры и геометрии.
Работа над материалом учебной дисциплины «Алгебра и геометрия» позволяет
реализовать следующие цели и задачи:
Цели преподавания дисциплины.
Цели преподавания учебной дисциплины
сформулировать следующим образом:






«Алгебра
и
геометрия»
можно
Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в соответствии с
требованиями
государственного
образовательного
стандарта
высшего
профессионального образования и учебному плану по направлению 230400.62
«Информационные системы и технологии».
Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам общей и
линейной алгебры, геометрии;
Формирование теоретических знаний и практических навыков решения задач,
необходимых в дальнейшей учебной и последующей профессиональной
деятельности;
Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта
творческой и исследовательской деятельности, необходимого для решения научных
задач теоретического и прикладного характера;
Повышение интеллектуального уровня;
Формирование
научного
мировоззрения,
математического
мышления,
представлений о значимости математики как части современной человеческой
культуры, в развитии цивилизации, о математике как форме описания и методе
познания действительности.
Задачи изучения дисциплины.
Основными задачами изучения дисциплины являются:






Изучить материал учебной дисциплины;
Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала
учебной дисциплины;
Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и практических задач
различного уровня сложности;
Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов и
результатов;
Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний, широкому их
использованию в практической и будущей профессиональной деятельности.
Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Алгебра и Геометрия» принадлежит к числу дисциплин
математического и естественнонаучного цикла 2-ой базовой части ФГОС ВПО по
направлению 230400.62 «Информационные системы и технологии».
Материал дисциплины «Алгебра и Геометрия» является обязательным
материалом для изучения при подготовке бакалавров по направлению
230400.62 «Информационные системы и технологии» и непосредственно
связан
с
материалами
других
дисциплин
математического
и
естественнонаучного, профессионального циклов таких, как математический
анализ, физика, теория вероятностей и математическая статистика, дискретная
математика.
3
Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения
материала учебной дисциплины «Алгебра и Геометрия», могут быть
использованы во всех видах деятельности в соответствии с федеральным
государственным образовательным стандартом и основной образовательной
программой высшего профессионального образования по направлению
подготовки 230400.62 «Информационные системы и технологии».
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Алгебра и Геометрия” математического и
естественнонаучного цикла по направлению подготовки 230400.62
“Информационные системы и технологии” с квалификацией (степенью)
“бакалавр” в соответствии с целями основной образовательной программы и
задачами профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, должен
обладать следующими компетенциями:
Общекультурными компетенциями:



Владение культурой мышления, способностью к общению, анализу,
восприятию информации, постановкой цели и выбором путей её
достижения, умением логически верно, аргументировано и ясно строить
устную и письменную речь (ОК-1);
Пониманием социальной значимости своей будущей профессии,
обладание высокой мотивацией к выполнению профессиональной
деятельности (ОК-3);
Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин
в профессиональной деятельности, применять методы математического
анализа и моделирования, теоретического и экспериментального
исследования (ОК-10);
Профессиональными компетенциями:

Способность разрабатывать средства реализации информационных
технологий
(методические,
информационные,
математические,
алгоритмические, технические и программные) (ПК-12);
 Готовность использовать математические методы обработки, анализа и
синтеза результатов профессиональных исследований (ПК-26);
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате освоения материала учебной дисциплины «Алгебра и
Геометрия» студент должен
знать:



уметь:

сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные методы алгебры и геометрии.
самостоятельно использовать теоретические и практические знания для решения
задач различных типов и различных уровней сложности, как в рамках изучаемой
дисциплины, так и в других дисциплинах, использующих материалы данной
дисциплины;
анализировать полученные результаты.

владеть:
 символикой изучаемой дисциплины;
 терминологией изучаемой дисциплины;
 навыками практического использования математического аппарата дисциплины

для решения различных задач, возникающих в дальнейшей учебной и
профессиональной деятельности;
навыками научного творчества.
4
2.
Структура и трудоёмкость дисциплины.
Дисциплина изучается в 1-ом семестре. Форма промежуточной аттестации –
экзамен. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 4 зачётных единицы – 144
часа аудиторных занятий, в том числе:
 Лекционных занятий 36 часов (1 зачётная единица);
 Практических занятий 36 часов (1 зачётная единица);
 Самостоятельная работа студента 72 часа (2 зачётные единицы).
3.
Тематический план.
Таблица 1.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
3
8
Итого количество баллов
Из них в активной и
интерактивной форме
Итого часов по теме
2
Самостоятельная
работа студента
1
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
Практические
занятия
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа
(часов)
Лекционные
занятия
№
недели семестра
Тематический план
4
5
6
7
9
1-2
3-4
4
4
8
4
4
8
4
4
8
12
12
24
5-6
4
4
8
16
2
0-7
7-8
4
4
10
18
2
0-10
9-10
4
12
4
12
10
28
18
52
2
6
0-14
0-31
11-12
13-14
15-16
17-18
2
2
6
6
16
36
8
2
2
6
6
16
36
6
4
4
14
14
36
72
8
8
26
26
68
144
2
2
2
2
4
14
0-7
0-9
0-14
0-20
0-50
0-100
1 семестр
Модуль 1.1.
Матрицы и детерминанты
Системы линейных уравнений
Всего по модулю 1.1.
Модуль 1.2.
Линейные пространства и преобразования
линейных пространств
Евклидово пространство и преобразования в
евклидовом пространстве
Основные алгебраические структуры
Всего по модулю 1.2.
Модуль 1.3.
Векторная алгебра на плоскости
Векторная алгебра в пространстве
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Всего по модулю 1.3.
Итого по семестру (часов, баллов):
Из них в интерактивной форме (часов)
0-7
0-12
0-19
5
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Итого количество баллов
Электронный
практикум
Электронные
аттестующие
средства
Электронные
обучающие тесты
тест
коллоквиум
собеседование
№ темы
Информационные системы и
технологии
контрольная работа
Письменные
работы
Устный опрос
1 семестр
Модуль 1.1.
Тема №1.1.1.
Тема №1.1.2.
Всего по модулю 1.1.
Модуль 1.2.
Тема №1.2.1.
Тема №1.2.2.
Тема №1.2.3.
Всего по модулю 1.2.
Модуль 1.3.
Тема №1.3.1.
Тема №1.3.2.
Тема №1.3.3.
Тема №1.3.4.
Всего по модулю 1.3.
Итого
0-1
0-1
0-2
0-1
0-4
0-5
0-1
0-1
0-2
0-1
0-3
0-4
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-7
0-12
0-19
0-1
0-1
0-1
0-3
0-1
0-3
0-5
0-9
0-1
0-1
0-1
0-3
0-1
0-2
0-4
0-7
0-1
0-1
0-1
0-3
0-1
0-1
0-1
0-3
0-1
0-1
0-1
0-3
0-7
0-10
0-14
0-31
0-1
0-1
0-1
0-1
0-6
0-11
0-1
0-2
0-5
0-9
0-11
0-25
0-1
0-1
0-1
0-1
0-6
0-11
0-1
0-2
0-4
0-6
0-9
0-20
0-1
0-1
0-1
0-1
0-6
0-11
0-1
0-1
0-1
0-1
0-6
0-11
0-1
0-1
0-1
0-1
0-6
0-11
0-7
0-9
0-14
0-20
0-50
0-100
Таблица 3.
1.
1.1.
Модуль 1.1.
1.1.1.
Матрицы и детерминанты
1.1.2.
Системы линейных уравнений
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
обязательные
дополнительные
Количество баллов
Модули и темы
Виды СРС
Объём часов
№
Неделя семестра
Планирование самостоятельной работы студента
1 семестр
Модуль 2
Линейные пространства и
преобразования линейных
пространств
Евклидово пространство и
преобразования в евклидовом
пространстве
Основные алгебраические структуры
Модуль 3
Векторная алгебра на плоскости
Векторная алгебра в пространстве
Аналитическая геометрия на
плоскости
Аналитическая геометрия в
пространстве
Проработка лекций
Работа с основной
литературой
3-4
Решение типовых задач
Всего по модулю 1.1.:
1-2
5-6
7-8
Проработка лекций
Работа с основной
литературой
Решение типовых задач
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернетресурсами
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернетресурсами
9-10
Всего по модулю 1.2.:
11-12
13-14
15-16
17-18
Проработка лекций
Работа с основной
литературой
Решение типовых задач
Всего по модулю 1.3.:
ИТОГО:
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернетресурсами
4
0-7
4
0-12
8
0-19
8
0-7
10
0-10
10
28
0-14
0-31
8
8
0-7
0-9
10
0-14
10
0-20
36
72
0-50
0-100
6
5.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3.4.
1.3.3.
+
+
1.3.2.
+
1.3.1.
+
+
+
+
1.2.3.
Математический анализ
Физика
Теория вероятностей и математическая статистика
Дискретная математика
1.2.2.
Наименование дисциплины
1.2.1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1.2.
№
п/п
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
1.1.1.
4.
+
+
Содержание дисциплины.
Тема №1.1.1. Матрицы и детерминанты.
Определение матрицы. Виды матриц. Основные операции над матрицами.
Основные законы алгебры матриц. Понятие о линейной зависимости строк
или столбцов матрицы. Перестановки и транспозиции. Детерминант n-го
порядка. Свойства детерминантов. Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение детерминанта по элементам срок или столбцов.
Тема №1.1.2. Системы линейных уравнений.
Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными. Системы n линейных
уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы. Произвольные системы
линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Метод
Гаусса.
Тема №1.2.1. Линейные пространства и преобразования линейных пространств.
Определение векторного (линейного) пространства. Размерность и базис.
Изоморфизм линейных пространств. Переход к новому базису.
Подпространства линейного пространства. Пересечение и сумма
подпространств. Определение аффинного пространства. Введение
координат в аффинном пространстве. Переход к новой системе координат.
Линейные многообразия. k-мерные плоскости в аффинном пространстве.
Выпуклые множества в аффинном пространстве. Определение и примеры
линейных преобразований. Операции над линейными преобразованиями.
Переход к новому базису. Прямоугольные матрицы. Ранг и дефект
линейного преобразования. Невырожденное линейное преобразование.
Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные
значения линейного преобразования.
Тема №1.2.2. Евклидово пространство и линейные преобразования в
евклидовом пространстве.
Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Ортогональное
дополнение.
Евклидово
(точечно-векторное)
пространство.
Преобразование,
сопряженное
к
данному.
Самосопряжённое
преобразование.
Ортогональное
преобразование.
Произвольное
невырожденное линейное преобразование. Комплексное линейное
пространство.
Тема №1.2.3. Основные алгебраические структуры.
Примеры групп. Определение группы. Группы преобразований. Подгруппа.
Изоморфизм групп. Группы преобразований плоскости. Разложение группы
по подгруппе. Нормальный делитель. Фактор-группа. Нормальные делители
7
группы преобразований евклидовой плоскости и соответствующие им
фактор-группы. Определение кольца и поля. Кольцо полиномов. Поле
комплексных чисел.
Тема №1.3.1. Векторная алгебра на плоскости.
Векторы на плоскости. Основные операции над векторами. Проекции.
Коллинеарные векторы. Координаты вектора относительно базиса.
Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости.
Геометрический смысл линейной зависимости векторов на плоскости.
Аффинная система координат на плоскости. Декартова система координат
на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Деление отрезка в
заданном отношении. Расстояние между точками на плоскости. Скалярное
произведение векторов на плоскости. Угол между векторами.
Тема №1.3.2. Векторная алгебра в пространстве.
Векторы в пространстве. Основные операции над векторами. Проекции.
Коллинеарные векторы. Координаты вектора относительно базиса.
Линейная зависимость и независимость векторов в пространстве.
Геометрический смысл линейной зависимости векторов в пространстве.
Аффинная система координат в пространстве. Декартова система координат
в пространстве. Полярная система координат в пространстве. Деление
отрезка в заданном отношении. Расстояние между точками в пространстве.
Векторное и смешанное произведения векторов в пространстве. Угол между
векторами.
Тема №1.3.3. Аналитическая геометрия на плоскости.
Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой. Уравнения прямой
на плоскости. Расположение двух прямых на плоскости. Частные случаи
общего уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой на
плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Эллипс, гипербола парабола.
Общая теория кривых второго порядка на плоскости
Тема № 1.3.4. Аналитическая геометрия в пространстве.
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в
пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Угол между
плоскостями в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Поверхности
второго порядка в пространстве.
6.
Темы практических занятий.
Тема №1.1.1. Матрицы и детерминанты. Решение практических и теоретических
задач различных типов и уровней сложности.
Определение матрицы. Виды матриц. Основные операции над матрицами.
Основные законы алгебры матриц. Понятие о линейной зависимости строк
или столбцов матрицы. Перестановки и транспозиции. Детерминант n-го
порядка. Свойства детерминантов. Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение детерминанта по элементам срок или столбцов.
Тема №1.1.2. Системы линейных уравнений. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности.
Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными. Системы n линейных
уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы. Произвольные системы
линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Метод
Гаусса.
8
Тема №1.2.1. Линейные пространства и преобразования линейных пространств.
Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней
сложности.
Определение векторного (линейного) пространства. Размерность и базис.
Изоморфизм линейных пространств. Переход к новому базису.
Подпространства линейного пространства. Пересечение и сумма
подпространств. Определение аффинного пространства. Введение
координат в аффинном пространстве. Переход к новой системе координат.
Линейные многообразия. k-мерные плоскости в аффинном пространстве.
Выпуклые множества в аффинном пространстве. Определение и примеры
линейных преобразований. Операции над линейными преобразованиями.
Переход к новому базису. Прямоугольные матрицы. Ранг и дефект
линейного преобразования. Невырожденное линейное преобразование.
Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные
значения линейного преобразования.
Тема №1.2.2. Евклидово пространство и линейные преобразования в
евклидовом пространстве. Решение практических и теоретических задач
различных типов и уровней сложности.
Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Ортогональное
дополнение.
Евклидово
(точечно-векторное)
пространство.
Преобразование,
сопряженное
к
данному.
Самосопряжённое
преобразование.
Ортогональное
преобразование.
Произвольное
невырожденное линейное преобразование. Комплексное линейное
пространство.
Тема №1.2.3. Основные алгебраические структуры. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности. Решение
практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности.
Примеры групп. Определение группы. Группы преобразований. Подгруппа.
Изоморфизм групп. Группы преобразований плоскости. Разложение группы
по подгруппе. Нормальный делитель. Фактор-группа. Нормальные делители
группы преобразований евклидовой плоскости и соответствующие им
фактор-группы. Определение кольца и поля. Кольцо полиномов. Поле
комплексных чисел.
Тема №1.3.1. Векторная алгебра на плоскости. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности.
Векторы на плоскости. Основные операции над векторами. Проекции.
Коллинеарные векторы. Координаты вектора относительно базиса.
Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости.
Геометрический смысл линейной зависимости векторов на плоскости.
Аффинная система координат на плоскости. Декартова система координат
на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Деление отрезка в
заданном отношении. Расстояние между точками на плоскости.
Скалярное произведение векторов на плоскости. Угол между векторами.
Тема №1.3.2. Векторная алгебра в пространстве. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности.
Векторы в пространстве. Основные операции над векторами. Проекции.
Коллинеарные векторы. Координаты вектора относительно базиса.
Линейная зависимость и независимость векторов в пространстве.
Геометрический смысл линейной зависимости векторов в пространстве.
9
Аффинная система координат в пространстве. Декартова система координат
в пространстве. Полярная система координат в пространстве. Деление
отрезка в заданном отношении. Расстояние между точками в пространстве.
Векторное и смешанное произведения векторов в пространстве. Угол между
векторами.
Тема №1.3.3. Аналитическая геометрия на плоскости. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности.
Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой. Уравнения прямой
на плоскости. Расположение двух прямых на плоскости. Частные случаи
общего уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой на
плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Эллипс, гипербола парабола.
Общая теория кривых второго порядка на плоскости
Тема № 1.3.4. Аналитическая геометрия в пространстве. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности.
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в
пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Угол между
плоскостями в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
Поверхности второго порядка в пространстве.
7.
Темы лабораторных работ (лабораторный практикум).
Учебным планом не предусмотрены.
8.
Темы курсовых работ.
Учебным планом не предусмотрены.
9.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
a. Текущая аттестация:
 Контрольные работы. По завершении каждого модуля проводятся контрольные
работы, содержащие задания различных типов и уровней сложности и
способствующие контролю практической составляющей материала дисциплины
(во время аудиторных занятий).
 Коллоквиумы. По завершении каждого модуля проводятся коллоквиумы,
содержащие вопросы различных типов и уровней сложности и способствующие
контролю теоретической составляющей материала дисциплины (во время
внеаудиторных занятий).
 Тестирование (письменное или компьютерное) по темам и модулям дисциплины.
b. Промежуточная аттестация:
 Тестирование по дисциплине;
 Зачёты и экзамен (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения
всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы. Экзамены
оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо,
отлично в соответствии с интервальной шкалой перевода 100-балловой системы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балловой) и традиционной (4-балловой) систем
оценок.
Темы контрольных работ:
1. Матрицы и детерминанты.
2. Системы линейных уравнений.
10
3.
4.
5.
6.
7.
Линейные пространства и преобразования линейных пространств.
Евклидово пространство и преобразования в евклидовых пространствах.
Основные алгебраические структуры.
Векторная алгебра на плоскости и в пространстве.
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Перечень типовых вариантов контрольных работ, тестовых заданий и
упражнений:
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Матрицы и детерминанты»
Выполнить указанные действия над матрицами и найти:
a) Матрицу, получившуюся в результате выполнения арифметических действий;
b) Значение детерминанта этой матрицы, пользуясь теоремой Лапласа или
следствием из неё;
c) При помощи элементарных преобразований привести определитель
результирующей матрицы к треугольному виду.
𝑻
−6
6 −3
0
– 2 −2 −5
0
5
4 −6 −5
−1 −6 −4 −1
7
3 −1 −4
−3 −6
5
2
(‖
‖−‖
‖) × ‖
‖
−1 −2 −1
6
0 −6
5
0
−6
4 −6
2
−6
6 −2
4
6 −3
7
7
−6
1
7
2
(
d) Найти матрицу, обратную к данной матрице:
−4 −4 −3
‖−6 −5 −1‖
1
6 −3
)
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений»
a) Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера:
−𝑥 + 5𝑦 − 5𝑧 = −5
8
{−7𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 =
𝑥 − 7𝑦 − 9𝑧 = −3
b) Найти решение матричного уравнения:
2 −3
4
−2 −3 −1
𝑋 × ‖−9 −9 −3‖ = ‖ 3
6 −2‖
4 −5 −6
1 −8 −5
c) Найти общее и частное решения системы неоднородных линейных уравнений
методом последовательного исключения неизвестных.
Найти общее и фундаментальные решения системы однородных линейных
уравнений, соответствующей неоднородной исходной системе.
Выразить общее решение неоднородной системы через общее решение
однородной системы.
42𝑥1 + 18𝑥2 − 28𝑥3 =
118
−21𝑥1 −
9𝑥2 − 14𝑥3 =
95
{
33𝑥1 + 21𝑥2 + 22𝑥3 = −163
3𝑥1 + 27𝑥2 +
2𝑥3 =
−65
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Векторная алгебра на плоскости и в
пространстве»
11
d) Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит
параллелограмм. Найдите координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐷 в базисе ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐵 , ⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐶 .
e) В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM.
f) Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон.
𝜋
g) Векторы a и b образуют угол 𝜑 = 6 . Зная, что |a|=1 и |b|=2, вычислить
[(a+3b)(3a-b)]2.
h) Доказать, что [[a,b],c]=b(ac)-a(bc).
i) Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1),
В(3,0,1), С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно,
что она лежит на оси ординат.
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в
пространстве»
j) Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной
декартовой системе координат. Найти:
i.
Уравнения сторон треугольника.
ii.
Систему неравенств, определяющую внутреннюю область
треугольника ABC.
iii.
Углы треугольника ABC.
iv. Длину высоты СН.
v.
Уравнение медианы АМ.
vi. Уравнение высоты СН.
vii. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и
высоты СН;
viii. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
ix.
Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно
точки С.
x.
Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой
АВ.
Сделать чертеж.
k) Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат. Найти:
xi.
Уравнения грани АВС.
xii.
Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно
ребру CD.
xiii.
Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
xiv. Объем тетраэдра.
xv. Площадь грани АВС.
xvi. Двугранный угол при ребре СВ.
xvii. Длину высоты, опущенной из вершины D.
xviii. Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
xix.
Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
xx.
Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.
(демонстрационная версия)
12
Тестовые задания для самопроверки по темам «Матрицы и детерминанты» и «Системы
линейных уравнений»
Линейная алгебра - Матрицы
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖
получится матрица …
Варианты ответов:
1
‖ ‖
3
a)
c)
‖−1 8
b)
−3‖
1 2 3
−2 1 −4
‖+‖
‖
−2 4 −5
2 1 3
−1 3
‖
0 5
−1
‖
−2
‖4‖
d)
Линейная алгебра - Матрицы
1
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖2
3
получится матрица …
Варианты ответов:
−2
−2 2
−
‖
‖
4
1 1‖
−5
−4 3
a)
3 −4
‖1
3‖
7 −8
b)
−1 −4
‖ 1
3‖
−1 −2
c)
0
‖ 4‖
−1
d)
‖2‖
Линейная алгебра - Матрицы
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖
матрица …
3
1
‖ × (−3) получится
2 −9
Варианты ответов:
a)
c)
3 1
‖
2 27
b)
−9 −3
‖
2 −9
d)
‖
‖
3
‖
2
‖
−3
‖
27
−9 −3
‖
−6 27
Линейная алгебра - Матрицы
Выполните указанное действие и укажите результат ‖
2 1
1 −3
2
‖ × ‖4 3‖
−4
1 −2
1 2
Варианты ответов:
a)
‖
0
0
‖
−35 −30
c)
‖−45‖
b)
d)
‖
‖
−8 −4
‖
−6 −5
2 −12
2
‖
−4
3 −4
Линейная алгебра - Детерминанты
Значение детерминанта |
3 −5
| равно …
2 −3
13
Варианты ответов:
a)
3
b)
−3
c)
−90
d)
1
Линейная алгебра - Детерминанты
1 −2
3
Значение детерминанта | 3
1 −2| равно …
−1
3
2
Варианты ответов:
a)
46
b)
−46
c)
0
d)
8
Линейная алгебра - Детерминанты
1
3 −1 −2
2
2 −1 −2
Значение детерминанта |
| равно …
−4 −3
2
4
−4 −3
3
3
Варианты ответов:
a)
8
b)
−3
c)
0
d)
3
Линейная алгебра – Матрицы – Обратные матрицы
1
2 −2
К матрице ‖3 −1
4‖ обратной является матрица …
3
1
1
Варианты ответов:
a)
−1 −2
2
‖−3
1 −4‖
−3 −1 −1
b)
−5 −4
6
‖ 9
7 −10‖
6
5
−7
c)
1
3 3
‖ 2 −1 1‖
−2
4 1
d)
−2
2 1
‖ 4 −1 3‖
1
1 3
Линейная алгебра – Системы линейных уравнений
2
Решением матричного уравнения ‖3
2
1 2
4 2
2 4‖ × 𝑋 = ‖6 4
1 3
4 2
4
8‖ является …
6
Варианты ответов:
a)
2 2
‖2 2
2 2
2
2‖
2
c)
‖2‖
14
b)
2
2
‖0
0
d)
0 0
2 0‖
0 2
Линейная алгебра – Системы линейных уравнений
−𝑥
Решением системы линейных уравнений {−7𝑥
𝑥
+ 5𝑦
+ 3𝑦
− 7𝑦
− 5𝑧
+ 5𝑧
− 9𝑧
= −5
= 8 является …
= −3
Варианты ответов:
a)
(−2, 1, 3)
c)
(4, 1, −1)
b)
(1, 4, 3)
d)
(1, 1, 1)
Линейная алгебра – Системы линейных уравнений
−𝑥1
2𝑥
Общее решение системы линейных уравнений { 1
4𝑥1
6𝑥1
Варианты ответов:
{𝑐1 ; 𝑐2 ; 4 − 2𝑐1 − 𝑐2 ; 5 − 3𝑐1 − 𝑐2 }
a)
𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ
{7 − 4𝑐2 − 2𝑐3 ; 𝑐2 ; 𝑐3 ; 9 − 5𝑐2 − 𝑐3 }
b)
𝑐2 , 𝑐3 ∈ ℝ
c)
d)
− 𝑥2 − 𝑥3
+ 3𝑥2 + 𝑥3
+ 𝑥2 − 𝑥3
− 𝑥2 − 3𝑥3
− 𝑥4 = −2
− 𝑥4 = 5
имеет вид …
− 3𝑥4 = 1
− 5𝑥4 = −3
{𝑐1 ; 6 − 3𝑐1 − 2𝑐2 ; 𝑐3 ; 5 − 3𝑐1 − 𝑐2 }
𝑐1 , 𝑐3 ∈ ℝ
{3 − 𝑐3 − 𝑐4 ; 9 − 5𝑐2 − 𝑐3 ; 𝑐3 ; 𝑐4 }
𝑐3 , 𝑐4 ∈ ℝ
(выберите один вариант ответа)
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Упрощение выражения ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 − 𝐵𝐶
𝑃𝑀 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀 приводит его к виду …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
(выберите один вариант ответа)
Если для двух ненулевых векторов 𝑎 и 𝑏⃗ выполняется условие |𝑎 + 𝑏⃗| = |𝑎| + |𝑏⃗|, то это
равносильно условию …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
𝑎 ⊥ 𝑏⃗
2)
𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарные и противоположно
направлены
3)
|𝑎| = |𝑏⃗|
4)
𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарные и сонаправлены
15
(выберите варианты согласно тексту задания)
⃗ . Установите соответствие между элементами двух
Пусть 𝑎 = (−3; −1; 2) и 𝑏⃗ = −𝑖 + 𝑗 + 2𝑘
множеств
1. −3𝑎 + 𝑏⃗
2. −𝑎 − 2𝑏⃗
3. 2𝑎 + 2𝑏⃗
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
⃗
−8𝑗 + 8𝑘
B)
(5; −1; 6)
C)
⃗
−8𝑖 + 8𝑘
D)
(8; 4; −4)
E)
(5; −1; −6)
(выберите несколько вариантов ответа)
Для векторов 𝑎 = (1; 0; −3} и 𝑏⃗ = (−2; 2; −3) справедливы утверждения …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
Векторы 𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарны
2)
Вектор 𝑏⃗ параллелен оси 𝑂𝑥
3)
Вектор 𝑎 перпендикулярен оси 𝑂𝑦
4)
Векторы 𝑎 и 𝑏⃗ перпендикулярны
(выберите несколько вариантов ответа)
Компланарными являются следующие тройки векторов …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
𝑎 = 𝑖 − 𝑗, 𝑏⃗ = 𝑗, 𝑐 = 𝑖 + 𝑗
2)
𝑎 = 𝑖 − 𝑗, 𝑏⃗ = 𝑗, 𝑐 = [𝑖 − 𝑗, 𝑗]
3)
𝑎 = 𝑖 + 𝑗, 𝑏⃗ = 𝑖 + 𝑗, 𝑐 = [𝑖, 𝑗]
4)
𝑎 = 𝑖, 𝑏⃗ = 𝑗, 𝑐 = 𝑖 + 𝑗
(введите ответ)
2
⃗ )(2𝑖 + 𝑘
⃗ ) − (3𝑗 + 𝑘
⃗ ) равно …
Выражение (𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(выберите один вариант ответа)
Векторное произведение векторов 𝑎 = (−3; 6; 𝛼) и 𝑏⃗ = (9; 𝛽; 12) равно нулю, если …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
16
1)
𝛼 = −4, 𝛽 = −18
2)
𝛼 = −4, 𝛽 = 18
3)
𝛼 = 4, 𝛽 = 18
4)
𝛼 = 4, 𝛽 = −18
(выберите один вариант ответа)
⃗ , 𝑏⃗ = 𝜇𝑖 + 𝑗, 𝑐 = 6𝑖 + 3𝑗 равно 3 при 𝜇,
Смешанное произведение векторов 𝑎 = 3𝑖 − 2𝑗 − 𝑘
равном …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
-1
2)
2
3)
1
4)
- 21
(выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между парой векторов 𝑎 и 𝑏⃗ и значением 𝑚, при котором они
коллинеарны
⃗ , 𝑏⃗ = (1; 1` ; 𝑚)
1. 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗 − 𝑘
2
2.
3.
⃗
𝑎 = (𝑚; −1; 3), 𝑏⃗ = 2𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘
𝑎 = (2; 𝑚; −6), 𝑏⃗ = (−1; 2; 3)
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
𝑚=
1
2
C)
𝑚 = −4
E)
𝑚 = −1
B)
𝑚=1
D)
𝑚=−
1
2
(выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между парой векторов 𝑎 и 𝑏⃗ и значением 𝑘, при котором они
ортогональны
1. 𝑎 = (2; 1; 𝑘), 𝑏⃗ = (3; 11; 2)
2. 𝑎 = (1; 𝑘; 3), 𝑏⃗ = (2; 1; 1)
3. 𝑎 = (1; −1; −1), 𝑏⃗ = (𝑘; 3; −2)
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
𝑘=
5
2
B)
𝑘 = −5
C)
𝑘=1
D)
𝑘 = −1
E)
𝑘=5
17
(выберите один вариант ответа)
Даны две смежные вершины куба 𝐴(3; 7; 2): и 𝐵(−1; 4; 2). Тогда объем этого куба равен…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
125
2)
5
3)
5√5
4)
25
(выберите один вариант ответа)
Координаты вектора 𝑎 равны …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
(выберите один вариант ответа)
В прямоугольной системе координат на плоскости даны точки M(a,b) и N(b,a), причём
(a>b>0). Сравнивая расстояния от этих точек до начала координат O, получаем, что …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
|𝑀𝑂| = |𝑁𝑂|
2)
|𝑀𝑂| < |𝑁𝑂|
3)
|𝑀𝑂| > |𝑁𝑂|
4)
𝑎 × |𝑀𝑂| = 𝑏 × |𝑁𝑂|
(выберите несколько вариантов ответа)
Дана координатная ось. Правильными утверждениями являются…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
координаты двух точек координатной оси,
1)
лежащих по разные стороны от начала
отсчета, всегда имеют разные знаки
2)
начало координат может лежать на
отрезке, соединяющем две точки
координатной оси, имеющие
отрицательные координаты
из двух различных точек на координатной
оси, имеющих отрицательные
4)
координата точки на оси равна
расстоянию от этой точки до начала
3)
18
координаты, дальше от начала координат
лежит точка, имеющая меньшую
координату
отсчета
(выберите несколько вариантов ответа)
𝑎
Даны две точки на координатной оси: 𝑀(𝑎) и 𝑁 (2 ), где 𝑎 - отрицательное число. Правильными
утверждениями являются …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
При любом значении 𝑎 точка 𝑁 лежит
«справа» от точки 𝑀
2)
Начало координат может лежать между
точками 𝑀 и 𝑁
3)
Точка 𝑀 лежит дальше от начала
координат, чем точка 𝑁
4)
Точки 𝑀 и 𝑁 могут совпадать при
некотором значении 𝑎
(выберите несколько вариантов ответа)
На плоскости введены прямоугольная и полярная системы координат, причем положительная
полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть (𝑥𝑀 ; 𝑦𝑀 ) – декартовы, а (𝜌𝑀 ; 𝜑𝑀 ) – полярные
координаты точки M. Правильными утверждениями являются…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
(выберите один вариант ответа)
Точка 𝑀 с декартовыми координатами (2; 2) имеет полярные координаты …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
𝜋
(2√2; )
4
𝜋
(√2; )
4
1)
3)
2)
4)
𝜋
(2; )
4
𝜋
(−2√2; )
4
(выберите один вариант ответа)
Уравнение 𝜌 sin 𝜑 = 𝑏 в декартовых координатах имеет вид …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
𝑥2 + 𝑦2 = 9
2)
𝑥=𝑏
19
3)
𝑥+𝑦 =𝑏
4)
𝑦=𝑏
(выберите один вариант ответа)
Уравнение линии (𝑥 2 + 𝑦 2 )3 = 3𝑥 в полярных координатах 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑥 имеет
вид …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
(выберите несколько вариантов ответа)
Пара векторов, образующих базис на плоскости, изображена на рисунках …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
5)
(выберите один вариант ответа)
Если система векторов 𝑎 = (−1; −2) и 𝑏⃗ = (3; 𝛼) образует базис на плоскости, то …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
3)
𝛼 обязательно положительно
2)
4)
𝛼 может быть любым действительным
числом
20
(выберите несколько вариантов ответа)
Пара векторов, образующих базис на плоскости, имеют координаты …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
𝑎 = {1; 4} и 𝑏⃗ = {0; 4}
2)
𝑎 = {2; 2} и 𝑏⃗ = {2; −2}
3)
𝑎 = {6; 4} и 𝑏⃗ = {3; 2}
4)
𝑎 = {−1; −1} и 𝑏⃗ = {2; 2}
(выберите один вариант ответа)
Точка 𝐶(7; −7) – середина отрезка 𝐴𝐵. Тогда координаты точек 𝐴 и 𝐵 могут быть равны …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
𝐴(13; −1), 𝐵(1; −13)
2)
𝐴(5; −9), 𝐵(9; −5)
3)
𝐴(2; −3), 𝐵(16; −17)
4)
𝐴(6; −6), 𝐵(8; −8)
(введите ответ)
Даны точки 𝐴(−7; 3) и 𝐵(3; 5). Тогда сумма координат середины отрезка AB равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(выберите один вариант ответа)
Если |𝑎| = 7, |𝑏⃗| = 7 и 𝑎 ⊥ 𝑏⃗, то скалярное произведение (𝑎 + 2𝑏⃗)(4𝑏⃗ − 𝑎) равно …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
31
2)
0
3)
53
4)
62
(выберите один вариант ответа)
Если |𝑎| = 𝜆, |𝑏⃗| = 7 и скалярное произведение 𝑎𝑏⃗ = −10, то векторы 𝑎 и 𝑏⃗ образуют угол
в 120∘ при 𝜆 равном …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
−4
2)
4
3)
−2
4)
−25
(введите ответ)
21
Даны графики прямых:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(выберите один вариант ответа)
Вектор 𝑛⃗ = (𝑝; 6) перпендикулярен прямой 3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0. Тогда значение p равно …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
-9
2)
-4
3)
4
4)
9
(введите ответ)
Произведение угловых коэффициентов прямых 2𝑥 − 3𝑦 − 9 = 0, 9𝑥 − 𝑦 + 15 = 0 равно …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между уравнением прямой и её угловым коэффициентом
1.
2.
3.
3𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0
2𝑦 + 3 = 0
3𝑥 − 5 = 0
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
C)
E)
3
4
3
−
4
B)
3
D)
не существует
0
22
(выберите один вариант ответа)
График прямой линии, заданной уравнением 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0, имеет вид
Правильным утверждением является…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
(выберите один вариант ответа)
Прямая на плоскости задана уравнением
прямая не проходит через …
, причем
. Тогда эта
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
четвертую четверть
2)
первую четверть
3)
вторую четверть
4)
третью четверть
(выберите варианты согласно тексту задания)
Укажите правильное соответствие между уравнениями и типами уравнений прямой на плоскости.
1. 2𝑥 − 5𝑦 − 9 = 0
2. 𝑦 = −3𝑥 + 7
3. 𝑥 = 6
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
уравнение прямой с угловым
коэффициентом
B)
уравнение прямой, параллельной оси
ординат
C)
уравнение прямой в отрезках на осях
D)
уравнение прямой, параллельной оси
абсцисс
E)
общее уравнение прямой
(выберите варианты согласно тексту задания)
23
Укажите правильное соответствие между уравнениями и типами уравнений прямой на плоскости
1. 𝑦 = −3𝑥 + 7
𝑥
𝑦
2. 4 + 5 = 1
3. 𝑥 = −2
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
уравнение прямой, параллельной оси
абсцисс
B)
уравнение прямой с угловым
коэффициентом
C)
уравнение прямой в отрезках на осях
D)
общее уравнение прямой
E)
уравнение прямой, параллельной оси
ординат
(выберите варианты согласно тексту задания)
Укажите правильное соответствие между общим уравнением прямой и ее уравнением в отрезках.
1. 3𝑥 − 6𝑦 + 18 = 0
2. 7𝑥 − 6𝑦 + 18 = 0
3. −3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
𝑥 𝑦
A)
+ =1
3 7
𝑥 𝑦
C)
− =1
4 3
𝑥 𝑦
E)
− + =1
6 3
B)
D)
𝑥 𝑦
+ =1
4 3
𝑥 𝑦
− =1
6 3
(выберите один вариант ответа)
Расстояние от точки 𝐴(1; 2) до прямой 3𝑥 = 4𝑦 равно …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1
5
1)
1
2)
2
3)
2
5
4)
2√2
(выберите несколько вариантов ответа)
Прямая, проходящая через две точки 𝐴(1; 1) и 𝐵(3,4), параллельна прямым …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
24
3)
4)
(выберите несколько вариантов ответа)
Среди прямых 𝑙1 : 𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0, 𝑙2 : 2𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0, 𝑙3 : 2𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0, 𝑙4 : − 2𝑥 + 6𝑦 − 5 = 0
параллельными являются …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
и
2)
и
3)
и
4)
и
(выберите несколько вариантов ответа)
Тройка векторов, образующих базис в пространстве, изображена на рисунках …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
(введите ответ)
Дан отрезок 𝐵𝐶, соединяющий точки 𝐵(2; 4; 3) и 𝐶(−3; −1; 3). Тогда третья координата
точки 𝐴, делящей отрезок 𝐵𝐶 в отношении 𝐵𝐴: 𝐴𝐶 = 2: 3, равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
25
(выберите один вариант ответа)
Даны точки 𝐴(1; −3; 4) и 𝐵(−1; −2; 3). Тогда координаты точки 𝑀, симметричной точке 𝐵
относительно точки 𝐴, равны ….
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
(выберите один вариант ответа)
В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с абсциссами разных знаков.
Тогда этот отрезок обязательно пересекает …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
Ось абсцисс
2)
Плоскость 𝑂𝑦𝑧
3)
Плоскость 𝑂𝑥𝑧
4)
Плоскость 𝑂𝑥𝑦
(выберите один вариант ответа)
𝑥−1
𝑦+3
𝑧
Вектор 𝑠 = (𝑝; 6; −3) параллелен прямой 3 = 2 = −1. Тогда значение p равно …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
9
2)
18
3)
-5
4)
5
(введите ответ)
Если плоскость 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 5𝑧 − 9 = 0 проходит через точку 𝑇(2; −2; 3), то разность 𝐴 − 𝐵
коэффициентов равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(выберите один вариант ответа)
Нормальный вектор плоскости 𝑥 − 4𝑦 − 8𝑧 − 3 = 0 имеет координаты …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
(1; −4; 8)
2)
(1; −4; −8)
3)
(−4; −8; −3)
4)
(1; −4; −3)
26
(выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве
1. 4 − 5𝑥 = 0
2. 2 + 7𝑦 = 0
3. 3𝑦 + 8𝑧 + 4 = 0
4. 𝑥 + 4𝑦 = 0
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
Проходит через ось 𝑧
B)
Параллельна плоскости 𝑦𝑂𝑧
C)
Параллельна плоскости 𝑥𝑂𝑦
D)
Параллельна оси 𝑥
E)
Параллельна плоскости 𝑥𝑂𝑧
(выберите один вариант ответа)
Окружность задана уравнением:
утверждениями являются …
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅 2 .
Тогда
правильными
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
точка с координатами (𝑎 − 0,6𝑅; 𝑏 +
0,8𝑅) лежит на окружности
2)
если 𝑎 = 0, то центр окружности лежит
на оси абсцисс
3)
если 0 < 𝑎 < 𝑅, то окружность
пересекается с осью абсцисс
4)
если 0 > 𝑎 > 𝑏, то центр окружности
лежит в третьей четверти
(выберите один вариант ответа)
Радиус окружности, заданной уравнением 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0, равен …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
5
2)
3
3)
2
4)
4
( введите ответ)
𝑥2
𝑦2
Расстояние между фокусами эллипса 25 + 16 = 1 равно …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(выберите один вариант ответа)
𝑥2
𝑦2
Уравнение 36 − 25 = 1 на плоскости определяет …
27
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
гиперболу
2)
эллипс
3)
параболу
4)
пару прямых
(введите вариант ответа)
Вещественная полуось гиперболы, заданной 4𝑥 2 − 9𝑦 2 = 36, равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(введите ответ)
𝑥2
𝑦2
Расстояние между фокусами гиперболы 576 − 49 = 1 равно …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
(выберите несколько вариантов ответа)
Среди уравнений кривых укажите уравнения гиперболы.
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
(𝑥 + 2)2 − (𝑦 − 1)2 = 16
2)
𝑦2 = 𝑥2 − 9
3)
𝑥2 𝑦2
−
=1
25 16
4)
𝑥 2 = 25 − 𝑦 2
(выберите один вариант ответа)
Ордината вершины параболы 𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1
2
1)
−
3)
1
2)
0
4)
(выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между кривой второго порядка и ее уравнением.
1. Парабола
2. Эллипс
3. Гипербола
28
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
𝑦 2 = 4𝑥
A)
B)
C)
D)
(выберите варианты согласно тексту задания)
Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1. (𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 2)2 = 64
2. 𝑥 2 + 4𝑦 = 16
3. 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4
4.
𝑥2
9
−
𝑦2
9
=1
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
гипербола
B)
парабола
C)
окружность
D)
эллипс
(выберите один вариант ответа)
Центр сферы,
координаты …
заданной
уравнением
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 + 5 =0,
имеет
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
(2; −4; −4)
2)
(1; −2; −2)
3)
(−2; 4; 4)
4)
(−1; 2; 2)
(выберите несколько вариантов ответа)
Если 𝑂(−1; −5; 3) – центр сферы, то её уравнение может иметь вид …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 + 10𝑦 + 𝑧 2 − 6𝑧 + 10 = 0
2)
𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 + 10𝑦 + 𝑧 2 − 6𝑧 − 1 = 0
3)
𝑥 2 − 𝑥 + 𝑦 2 − 5𝑦 + 𝑧 2 + 3𝑧 − 1 = 0
4)
𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 + 10𝑦 + 𝑧 2 − 6𝑧 + 10 = 0
(выберите один вариант ответа)
Дано уравнение сферы (𝑥 − 6)2 + 𝑦 2 + 4𝑦 + 𝑧 2 − 6𝑧 − 40 = 0. Тогда её центр имеет
координаты …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
29
3)
4)
(выберите один вариант ответа)
Радиус сферы, заданной уравнением 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 − 22 = 0, равен …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
5
2)
3
3)
2
4)
4
(выберите один вариант ответа)
Поверхность, определяемая уравнением
𝑥2
𝑦2
+ 64 +
100
𝑧2
4
= 1, является …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
эллиптическим цилиндром
2)
эллипсоидом
3)
конусом
4)
сферой
(выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между изображением поверхности и ее каноническим уравнением.
1.
2.
3.
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
B)
𝑥2 𝑦2
+
= 2𝑧
𝑎2 𝑏 2
C)
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑎2 𝑏 2
D)
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
− =0
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
(введите ответ)
Сумма координат центра эллипсоида 2(𝑥 + 1)2 + 𝑦 2 + (𝑧 − 1)2 = 1 равна …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
30
(выберите несколько вариантов ответа)
𝑥2
𝑦2
Уравнение 𝑧 = 2𝑝 + 2𝑞 определяет гиперболический параболоид, если …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
𝑝 < 0, 𝑞 < 0
2)
𝑝𝑞 > 0
3)
𝑝 > 0, 𝑞 < 0
4)
𝑝 < 0, 𝑞 > 0
(выберите варианты согласно тексту задания)
Укажите правильное соответствие между уравнениями и определяемыми ими поверхностями в
пространстве.
1. 2𝑥 2 − 3𝑦 2 + 𝑧 2 = 0;
2. 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 𝑧 = 0;
3. 2𝑥 2 − 3𝑦 2 − 𝑧 = 0.
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
A)
эллиптический параболоид
B)
гиперболический параболоид
C)
однополостный гиперболоид
D)
эллипсоид
E)
коническая поверхность
Перечень теоретических вопросов к коллоквиумам по алгебре.
a) Вопросы к коллоквиуму по теме №1.1.1.:
1. Что называется матрицей размера m×n?
2. Что называется элементами матрицы?
3. Как обозначается элемент, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце
матрицы?
4. Какая матрица называется квадратной?
5. Что называется порядком квадратной матрицы?
6. Какая матрица называется нулевой?
7. Какая матрица называется диагональной?
8. Какая матрица называется единичной?
9. Какие матрицы называются равными?
10. Что называется суммой двух матриц?
11. Можно ли складывать матрицы разных размеров?
12. Что называется суммой k матриц, k∈ℕ, k≥2?
13. Что называется произведением числа на матрицу?
14. Какая матрица называется противоположной к данной матрице?
15. Что называется разностью двух матриц?
16. Какие операции над матрицами называются линейными?
17. Каковы свойства линейных операций над матрицами?
18. В каком случае можно одну матрицу умножить на другую?
19. Что называется произведением одной матрицы на другую?
20. Каковы должны быть размеры матриц A, B и C, чтобы существовало
произведение (AB)C?
21. Что называется произведением k матриц, k∈ℕ, k>2?
22. В каком случае существуют произведения AB и BA?
23. Пусть существуют произведения AB и BA. Справедливо ли равенство AB=BA?
31
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
Возможно ли равенство AB=O, если A и B – ненулевые матрицы?
Каковы свойства произведения матриц?
В каком случае существует произведение AA?
Что называется целой положительной степенью квадратной матрицы?
Что называется нулевой степенью квадратной матрицы?
Что называется первой степенью квадратной матрицы?
Что называется многочленом от квадратной матрицы?
В каком случае квадратная матрица называется корнем многочлена 𝑃(𝑥) =
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ?
Какая матрица называется транспонированной к данной матрице?
Какая операция называется транспонированием матрицы?
Пусть матрица имеет размер m×n. Каков будет размер матрицы
транспонированной к ней?
Пусть A=(aij). Указать номера строки и столбца на пересечении которых стоит
элемент aij матрицы A в матрице AT?
Какими свойствами обладает операция транспонирования?
Что называется детерминантом (определителем) матрицы n-ого порядка?
Перечислить основные свойства детерминантов?
Доказать свойство detA=detAT непосредственным вычислением детерминантов,
если A – матрица третьего порядка?
Что называется минором порядка k матрицы Am×n?
Какие значения может принимать число k – порядок минора матрицы Am×n?
Что называется минором, дополнительным к данному минору?
Каких размеров должна быть матрица, существует понятие минора?
Для любого ли минора порядка k в матрице Am×n существует дополнительный к
нему минор?
Что называется алгебраическим дополнением манора матрицы?
Что называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы прядка n?
Сформулировать теорему Лапласа.
Сформулировать следствия из теоремы Лапласа.
Какая матрица называется обратной к данной матрице?
Какая матрица называется невырожденной (неособенной)?
Какая матрица называется вырожденной (особенной)?
Доказать, что произведение двух невырожденных матриц есть невырожденная
матрица.
Пусть AB — вырожденная матрица. Всегда ли можно утверждать, что хотя бы
одна из перемножаемых матриц вырожденная?
Для какой матрицы существует обратная матрица?
Доказать, что для невырожденной матрицы обратная матрица единственная?
Пусть detA0. Записать формулу, по которой находиться матрица, обратная
матрице A=(aij), i,j=1,2,…,n.
Пусть A и B — невырожденные матрицы и α0. Доказать справедливость
следующих свойств:
1
a) 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 = 𝑑𝑒𝑡𝐴;
b) (𝐴−1 )−1 = 𝐴;
−1
c) (𝐴𝑘 ) = (𝐴−1 )𝑘 ;
d) (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 .
b) Вопросы к коллоквиуму по теме №1.1.2.:
58.
59.
60.
61.
Что называется рангом матрицы?
В каком случае ранг квадратной матрицы порядка n равен n?
Ранг матрицы равен r. Чему равен ранг матрицы транспонированной к данной?
Какие преобразования матрицы называют элементарными?
32
62. Матрица B получена из матрицы A при помощи элементарных преобразований.
Чему равен ранг:
a) Матрицы B, если ранг матрицы A равен r;
b) Матрицы A, если ранг матрицы B равен r?
63. Что называется базисным минором матрицы? В каком случае некоторая строка
является линейной комбинацией других k строк этой матрицы?
64. В каком случае k (k>1) строк матрицы называются линейно независимыми?
65. Какие строки и столбцы матрицы называются базисными?
66. Сформулировать теорему о базисном миноре матрицы.
67. Что можно сказать о числе базисных миноров матрицы ранга r?
68. Какой минор матрицы называется минором, окаймляющим ее минор порядка
k?
69. Чему равно максимальное число линейно независимых строк (столбцов)
матрицы?
70. Какая система уравнений называется линейной?
71. Что называется основной матрицей системы и расширенной матрицей системы
m линейных уравнений с n неизвестными?
72. Пусть дана система линейных уравнений
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
.
{ 21 1
… … … … … …
…
… …
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Записать ее в матричном виде
73. .Что называется решением m линейных уравнений с n неизвестными?
74. Какая система линейных уравнений называется совместной?
75. Какая система линейных уравнений называется несовместной?
76. Какая система линейных уравнений называется определенной?
77. Какая система линейных уравнений называется неопределенной?
78. Написать формулы Крамера.
79. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли (критерий совместности
системы).
80. В каком случае система линейных уравнений имеет единственное решение?
81. Пусть AX=B — система n линейных уравнений с n неизвестными и detA=0. Что
можно сказать о решении такой системы?
82. Какие неизвестные совместной системы линейных уравнений называются
базисными и какие – свободными?
83. Сколько базисных неизвестных может иметь система линейных уравнений?
84. Сколько свободных неизвестных может иметь совместная система линейных
уравнений?
85. Какая система линейных уравнений называется однородной?
86. Какое решение однородной системы называется тривиальным?
87. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?
88. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы однородная
система линейных уравнений имела только тривиальное решение.
89. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы однородная
система линейных уравнений имела нетривиальное решение.
90. Что называется фундаментальной системой решений однородной системы
линейных уравнений?
91. При каком условии однородная система линейных уравнений имеет
фундаментальную систему решений?
92. Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной
системы линейных уравнений?
93. Сколько фундаментальных систем решений может иметь однородная система
линейных уравнений?
33
94.
95.
96.
97.
Какая система фундаментальных решений называется нормированной?
Что называется прямым ходом метода Гаусса?
Что называется обратным ходом метода Гаусса?
Каково множество решений системы, если прямой ход метода Гаусса приводит
матрицу системы к треугольному виду, и все элементы главной диагонали
отличны от нуля?
98. Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы
после k-ого хода метода Гаусса содержит строку, все элементы которой, кроме
последнего, равны нулю?
99. Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы
после k-ого хода метода Гаусса содержит строку, в которой имеется ненулевой
элемент, а все остальные элементы, включая последний, равны нулю?
100. Что называется аргументом комплексного числа?
101. Будет ли комплексное число нулём, если его аргумент равен нулю?
102. Что такое аффикс комплексного числа?
103. Действительная часть комплексного числа
104. Комплексная плоскость
105. Комплексные числа
106. Корни из единицы
107. Мнимая единица
108. Мнимая ось
109. Мнимая часть комплексного числа
110. Модуль комплексного числа
111. Сформулировать Основная теорема алгебры комплексных чисел
112. Первообразный корень из единицы
113. Сопряженные комплексные числа
114. Тригонометрическая форма комплексного числа
115. Формула Муавра
116. Абсолютно неприводимый многочлен
117. Алгебраическое число
118. Алгоритм деления с остатком
119. Алгоритм Евклида
120. Вес члена многочлена
121. Взаимно простые многочлены
122. Высший член многочлена
123. Границы корней многочлена
124. Делитель многочлена
125. Дискриминант
126. Значение многочлена
127. Интерполяционная формула Лагранжа
128. Квадратное уравнение
129. Кольцо многочленов
130. Кольцо многочленов над кольцом
131. Корень многочлена
132. Кратный корень многочлена
133. Критерий Эйзенштейна
134. Кубическое уравнение
135. Лексикографическая запись многочлена
136. Лемма Гаусса
137. Лемма Даламбера
138. Лемма о возрастании модуля многочлена
139. Лемма Гаусса о модуле старшего члена
140. Многочлен
141. Многочлен нулевой степени
34
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
Многочлен от нескольких неизвестных
Наибольший общий делитель
Неприводимый многочлен
Несократимая рациональная дробь
Общий делитель многочленов
Однородный многочлен
Основная теорема о рациональных дробях
Основная теорема о симметрических многочленах
Остаток от деления многочленов
Отделение корней многочлена
Поле рациональных дробей
Правильная рациональная дробь
Приводимый многочлен
Примитивный многочлен
Произведение многочленов
Производная многочлена
Простейшая рациональная дробь
Простой корень многочлена
Простой множитель многочлена
Равенство многочленов
Разложение многочлена на линейные множители
Рациональная дробь
Степень многочлена от нескольких неизвестных
Сумма многочленов
Теорема единственности для рациональных дробей
Формула Кардано
Формулы Виета
Перечень теоретических вопросов к экзамену по алгебре и
геометрии.
a) Перечень вопросов по алгебре:
1. Абелева группа
2. Аддитивная группа кольца
3. Алгебраическая операция
4. Алгебраическое дополнение
5. Аффинное пространство
6. База пространства
7. Вектор
8. Векторное пространство
9. Вырожденная матрица
10. Вырожденное линейное преобразование неизвестных
11. Главная диагональ матрицы
12. Главные миноры квадратичной формы
13. Гомоморфизм
14. Группа
15. Движение
16. Действительная квадратичная форма
17. Действительные числа
18. Деление матриц
19. Делитель единицы
20. Делитель нуля
21. Детерминант
35
22. Дефект линейного преобразования
23. Диагональная форма числовой матрицы
24. Дополнительный минор
25. Евклидово пространство
26. Единица группы
27. Единица поля
28. Единичная матрица
29. Единичный вектор
30. Задание линейного преобразования матрицей
31. Закон инерции
32. Изоморфизм групп
33. Изоморфизм евклидовых пространств
34. Изоморфизм колец
35. Изоморфизм линейных пространств
36. Инвариантность подпространства
37. Инварианты
38. Инверсия
39. Исключение неизвестного из системы уравнений
40. Канонический вид квадратичной формы
41. Квадратичная форма
42. Квадратная матрица
43. Кватернионы
44. Кольцо
45. Комплексная квадратичная форма
46. Коммутативная группа
47. Комплексное линейное пространство
48. Компоненты вектора
49. Конечная группа
50. Конечное кольцо (поле)
51. Конечномерное пространство
52. Кососимметрический определитель
53. Кососимметрическая функция
54. Кратное элемента аддитивной группы
55. Кратное элемента кольца
56. Линейная зависимость векторов
57. Линейная комбинация векторов
58. Линейная комбинация строк матрицы
59. Линейная форма
60. Линейное подпространство
61. Линейное преобразование линейного пространства
62. Линейное преобразование неизвестных
63. Линейное пространство
64. Линейное уравнение
65. Максимальная линейно независимая система векторов
66. Матрица
67. Матрица квадратичной формы
68. Матрица линейного преобразования
69. Матрица перехода
70. Матричный корень уравнения
71. Матричный полином
36
72. Метод Гаусса
73. Метод Горнера
74. Метод линейной интерполяции
75. Минимальный многочлен линейного преобразования
76. Минор
77. Мультипликативная группа поля
78. Невырожденная квадратная матрица
79. Невырожденная квадратичная форма
80. Невырожденное линейное преобразование неизвестных
81. Невырожденное линейное преобразование пространства
82. Некоммутативная группа
83. Некоммутативное кольцо
84. Неопределенная квадратичная форма
85. Неопределенная система линейных уравнений
86. Несовместная система линейных уравнений
87. Несчетное множество
88. Нечетная перестановка
89. Нечетная подстановка
90. Нормальный вид квадратичной формы
91. Нормированный вектор
92. Нулевая матрица
93. Нулевая степень элемента группы
94. Нулевое кратное элемента кольца
95. Нулевое подпространство
96. Нулевое преобразование линейного пространства
97. Нулевое решение
98. Нулевой вектор
99. Нуль кольца
100. Область значений линейного преобразования
101. Образ вектора при преобразовании
102. Образ пространства
103. Обратная матрица
104. Обратная операция
105. Обратное линейное преобразование
106. Обратный элемент в группе
107. Обратный элемент в поле
108. Общее решение системы линейных уравнений
109. Однородное уравнение
110. Определенная система линейных уравнений
111. Определитель
112. Определитель системы линейных уравнений
113. Ортогональная база
114. Ортогональная матрица
115. Ортогональное преобразование евклидова пространства
116. Ортогональное преобразование неизвестных
117. Ортогональные векторы
118. Ортонормированная база
119. Основная теорема о квадратичных формах
120. Основная теорема о линейной зависимости
121. Отрицательно определенная квадратичная форма
37
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
Отрицательные кратные элемента кольца
Отрицательные степени элемента группы
Отрицательные степени элемента поля
Отрицательный индекс инерции
Пара квадратичных форм
Пересечение подпространств
Перестановка
Подгруппа
Подполе
Подстановка
Поле
Поле разложения многочлена
Полиномиальные матрицы
Положительно определенная квадратичная форма
Положительный индекс инерции
Полуопределенная квадратичная форма
Порождение подгруппы элементами
Порядок конечной группы
Порядок элемента группы
Правила вычисления ранга матрицы
Правило Крамера
Преобразование пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Приведенная система линейных уравнений
Присоединение элемента к полю
Присоединенная матрица
Произведение вектора на число
Произведение линейного преобразования на число
Произведение линейных преобразований
Произведение матриц
Произведение матрицы на число
Пропорциональные векторы
Простой спектр линейного преобразования
Простой элемент кольца
Противоположный вектор
Противоположный элемент в кольце
Процесс ортогонализации
Прямоугольная матрица
Разложение определителя по строке
Размерность линейного пространства
Ранг квадратичной формы
Ранг линейного преобразования
Ранг матрицы
Ранг произведения матриц
Ранг системы векторов
Распадающаяся квадратичная форма
Расширенная матрица системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений
Свободные неизвестные
Симметрическая матриц
38
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
Симметрическое преобразование евклидова пространства
Система линейных уравнений
Система чисел Кэли
Скалярная матрица
Скалярное произведение
Сложение матриц
Собственное значение
Собственный вектор
Совместная система линейных уравнений
Спектр линейного преобразования
Степень элемента группы
Степень элемента кольца
Степенные суммы
Сумма векторов
Сумма линейных преобразований
Сумма матриц
Счетное множеств
Теорема Гамильтона-Кэли
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема Лапласа
Теорема об умножении определителей
Тождественная подстановка
Тождественное линейное преобразование неизвестных
Тождественное линейное преобразование пространства
Транспозиция
Транспонирование матрицы
Умножение матриц
Унитарное пространство
Формула Тейлора
Фундаментальная система решений
Характеристика поля
Характеристическая матрица
Характеристические корни линейного преобразования
Характеристические корни матрицы
Характеристический определитель
Характеристический многочлен
Целые числа
Цикл
Циклическая группа
Частное от деления многочленов
Частное элементов поля
Четная перестановка
Четная подстановка
Числовая матрица
Числовое кольцо
Числовое поле
Член определителя
Эквивалентные системы векторов
Элементарные преобразования числовой матрицы
Элементы матрицы
39
222.
223.
224.
Ядро гомоморфизма
Ядро линейного преобразования
Как определяется операция умножения элемента множества V на число
α∈ℝ (внешняя операция)? Что называется произведением числа α∈ℝ на
элемент x∈V?
225. Что называется вещественным линейным пространством?
226. Какое линейное пространство называется комплексным?
227. Что называется арифметическим действительным пространством? Как оно
обозначается?
228. Что называется разностью x-y элементов x и y пространства V?
229. Какое множество V1 элементов линейного пространства называется
подпространством пространства V?
230. Что называется линейной комбинацией векторов x1, x2, …, xn? Что
называется коэффициентами линейной комбинации векторов?
231. Какая линейная комбинация векторов называется тривиальной и какая —
нетривиальной?
232. Какая система векторов называется линейно независимой?
233. Какая система векторов называется линейно зависимой?
234. Что называется размерностью линейного пространства? Как обозначается
размерность линейного пространства?
235. Что называется базисом n-мерного пространства?
236. Указать размерность и базис линейного пространства, если известно, что в
этом пространстве существует n линейно независимых векторов e1, e2, …, en и
любой вектор этого пространства линейно выражается через e1, e2, …, en.
237. Что называется разложением вектора линейного пространства по базису e1,
e2, …, en этого пространства?
238. Что называется координатами вектора линейного пространства в базисе e1,
e2, …, en этого пространства?
239. Чему равны координаты нулевого вектора в произвольном базисе
линейного пространства?
240. Пусть два вектора равны между собой. Как связаны их координаты в одном
и том же базисе?
241. Даны координаты двух векторов в некотором базисе. Чему равны
координаты суммы векторов в этом же базисе?
242. Даны координаты вектора в некотором базисе. Чему равны координаты
произведения вектора на число в том же базисе?
243. Что называется матрицей системы векторов e1, e2, …, en?
244. Как определить, является ли система m векторов n-мерного линейного
пространства линейно независимой, если известны координаты векторов в
некотором базисе?
245. Как определить, образует ли система n векторов n-мерного линейного
пространства базис этого пространства, если известны координаты векторов в
некотором базисе?
246. Что называется матрицей перехода от одного базиса к другому?
247. Всякая ли матрица порядка n может быть матрицей перехода от одного
базиса к другому в n-мерном пространстве?
248. Пусть T – матрица перехода от базиса e1, e2, …, en линейного пространства V
к базису e1´, e2´, …, en´ того же пространства. Какова матрица перехода от базиса
e1´, e2´, …, en´ к базису e1, e2, …, en?
249. Записать формулы преобразования координат вектора, если известна
матрица T перехода от базиса e1, e2, …, en к базису e1´, e2´, …, en´.
40
250.
Что называется скалярным произведением векторов в вещественном
линейном пространстве?
251. Что называется скалярным квадратом вектора?
252. Что называется евклидовым пространством?
253. Как определяются базис и размерность евклидова пространства?
254. Записать в евклидовом пространстве неравенство Коши-Буняковского. Для
каких векторов неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство?
255. Что называется нормой (длиной) вектора линейного пространства? Какое
линейное пространство называется нормированным?
256. Каким равенством можно определить норму (длину) вектора в евклидовом
пространстве?
257. Что называется углом между ненулевыми векторами евклидова
пространства?
258. Какие два вектора евклидова пространства называются ортогональными?
259. Какая система векторов евклидова пространства называется
ортогональной?
260. В каком случае ортогональная система векторов линейно независима?
261. Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется
ортогональным?
262. Какой вектор евклидова пространства называется нормированным или
единичным?
263. Что называется нормированием данного вектора?
264. Какая система векторов называется ортонормированной?
265. Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется
ортонормированным?
266. Что называется ортогонализацией данного вектора?
267. Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение
векторов через их координаты в ортонормированном базисе.
268. Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора через его
координаты в ортонормированном базисе?
269. Что называется скалярным произведением векторов в комплексном
линейном пространстве?
270. Что называется унитарным пространством?
271. Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение
векторов через их координаты в ортонормированном базисе унитарного
пространства?
272. Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора через его
координаты в ортонормированном базисе унитарного пространства?
273. Что называется оператором, действующим из линейного пространства V в
линейное пространствоW (отображение пространства V в пространство W)?
274. Что называется оператором пространства V?
275. Что называется образом и прообразом вектора?
276. Какие операторы называются равными?
277. Какой оператор называется линейным?
278. Какой оператор пространства V называется тождественным?
279. Что называется матрицей линейного оператора пространства V в данном
базисе?
280. Записать формулу для определения в базисе e1, e2, …, en координат образа
вектора x, если известны координаты вектора x и матрица A оператора в этом
базисе?
281. Что называется ядром линейного оператора?
41
282.
283.
284.
285.
286.
287.
Как обозначается ядро линейного оператора?
Что называется образом (областью значений) линейного оператора?
Как обозначается образ линейного оператора?
Что называется рангом оператора?
Что называется дефектом оператора?
Пусть A – матрица линейного оператора f:V→V, где V – линейное
вещественное пространство размерности n. Как найти:
a. Ранг и дефект оператора f?
b. Ядро и образ оператора f?
288. Что называется суммой двух операторов?
289. Является ли сумма двух линейных операторов линейным оператором?
290. Операторы f и g заданы в некотором базисе соответственно матрицами A и
B. Чему равна матрица оператора f+g в этом же базисе?
291. Что называется произведением двух операторов?
292. Является ли произведение двух линейных операторов линейным
оператором?
293. Какой линейный оператор называется невырожденным?
294. Какой линейный оператор называется вырожденным?
295. Какие линейные операторы называются взаимно обратными?
296. Какой линейный оператор называется обратным данному линейному
оператору?
297. Какой линейный оператор имеет обратный?
298. Невырожденный оператор в некотором базисе задан матрицей. Чему равна
в этом же базисе матрица обратного оператора к данному?
299. Что называется собственным вектором и собственным значением
линейного оператора?
300. Что называется характеристическим уравнением линейного оператора?
301. Что называется характеристическими числами линейного оператора?
302. Что называется спектром линейного оператора?
303. Какой спектр линейного оператора называется простым?
304. Как найти собственные значения линейного оператора, если известна
матрица этого оператора в некотором базисе?
305. Как найти собственные векторы линейного оператора, если известна
матрица этого оператора в некотором базисе?
306. Пусть λ – собственное значение линейного оператора n-мерного
пространства, A – матрица данного линейного оператора в некотором базисе.
Чему равно максимальное число линейно независимых векторов этого
оператора с собственным числом λ?
307. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы в пространстве
размерности n существовал базис, состоящий из собственных векторов
линейного оператора?
308. Пусть e1, e2, …, en – базис пространства, состоящий из собственных векторов
линейного оператора. Записать матрицу линейного оператора в этом базисе.
309. Какая вещественная матрица называется ортогональной?
310. Каково необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы?
311. Чему равен определитель ортогональной матрицы?
312. Может ли невырожденная матрица быть ортогональной?
313. Пусть матрицы A и B – ортогональные матрицы одинакового порядка.
Является ли матрица AB ортогональной?
314. Пусть A – ортогональная матрица. Является ли ортогональной матрица:
a. AT.
42
b. A-1.
315. Является
ли
ортогональной
матрица
перехода
от
одного
ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису?
316. Какой линейный оператор называется ортогональным?
317. Каково необходимое и достаточное условие ортогональности оператора?
318. Перечислить основные свойства ортогональных операторов.
319. Какой оператор называется сопряженным данному оператору?
320. Какие операторы называются взаимно сопряженными?
321. Как связаны между собой в ортонормированном базисе матрицы взаимно
сопряженных операторов евклидова пространства?
322. Перечислить основные свойства сопряженного оператора евклидова
пространства.
323. Какой оператор называется самосопряженным (симметрическим)?
324. Какой вид имеет матрица самосопряженного оператора евклидова
пространства в ортонормированном базисе?
325. Каким условием связаны собственные векторы самосопряженного
оператора евклидова пространства, соответствующие различным собственным
значениям?
326. Может ли комплексное число быть характеристическим числом
самосопряженного оператора евклидова пространства?
327. Сформулировать
теорему
о
полноте
собственных
векторов
самосопряженного оператора евклидова пространства.
328. Сформулировать свойства самосопряженного оператора, следующие из
теоремы о полноте собственных векторов самосопряженного оператора
евклидова пространства.
329. Что называется квадратичной формой n переменных x1, x2, …, xn?
330. Какая квадратичная форма называется вещественной?
331. Что называется матрицей квадратичной формы?
332. Что называется рангом квадратичной формы?
333. Какая квадратичная форма называется невырожденной?
334. Как записать квадратичную форму n переменных x1, x2, …, xn в матричном
виде?
335. Какая квадратичная форма называется канонической?
336. Какой вид имеет матрица канонической квадратичной формы?
337. В каком случае говорят, что квадратичная форма приводится к
каноническому виду?
338. Всякая ли квадратичная форма приводится к каноническому виду?
339. В чем суть метода Лагранжа приведения квадратичной формы к
каноническому виду?
340. Какие миноры матрицы называются главными миноры матрицы?
341. В каком случае применим метод Якоби приведения квадратичной формы к
каноническому виду?
342. Какой вид имеет невырожденное преобразование (оператор), приводящее
методом Якоби к каноническому виду квадратичную форму, главные миноры
матрицы которой отличны от нуля?
343. Единственным ли образом определяется канонической вид для данной
квадратичной формы?
344. В чем заключается закон инерции квадратичных форм?
345. Изменится ли ранг квадратичной формы при невырожденном линейном
преобразовании?
43
346.
Всякую ли квадратичную форму можно привести методом Лагранжа к
каноническому виду?
b) Перечень вопросов по геометрии:
347. Сложение векторов.
348. Умножение вектора на число.
349. Координаты на прямой.
350. Линейная зависимость векторов.
351. Геометрический смысл линейной зависимости.
352. Базис и координаты вектора.
353. Аффинная система координат, репер. Деление направленного
отрезка в данном отношении.
354. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол
и направленный угол (на плоскости) между векторами.
355. Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы и
реперы.
356. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические
координаты в пространстве.
357. Преобразование аффинных координат вектора и точки.
358. Ортогональные матрицы. Преобразование прямоугольных координат
вектора и точки.
359. Ориентации плоскости и пространства. Ориентированные площади и
объем параллелепипеда.
360. Векторное и смешанное произведение векторов.
361. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические
уравнения прямой и плоскости.
362. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух
переменных.
363. Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных.
364. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости.
365. Собственные и несобственные пучки прямых на плоскости и
плоскостей в пространстве.
366. Разбиение плоскости прямой и пространства плоскостью.
367. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до
прямой.
368. Угол между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.
369. Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы.
370. Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к
каноническому виду.
371. Виды линий второго порядка.
372. Теоремы единственности для линий второго порядка.
373. Пучок линий второго порядка.
374. Алгебраические линии и поверхности.
375. Распадающиеся линии и поверхности.
376. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения.
377. Эллипсоиды.
378. Гиперболоиды.
379. Параболоиды.
380. Прямолинейные образующие поверхностей.
44
381. Приведение многочлена второго порядка от трех переменных к
каноническому виду.
382. Виды поверхностей второго порядка.
383. Асимптотические направления линий и поверхностей второго
порядка.
384. Центры линий и поверхностей второго порядка.
385. Сопряженные направления и сопряженные диаметры линий второго
порядка. Диаметральные плоскости поверхностей второго порядка.
386. Особые направления.
387. Преобразование векторов при аффинном преобразовании.
388. Основные свойства аффинных преобразований, формулы аффинного
преобразования.
389. Сохранение отношения площадей и объемов при аффинных
преобразованиях. Изометрические преобразования и движения.
390. Классификация движений плоскости.
391. Подобие и гомотетия. Аффинная классификация линий и
поверхностей второго порядка.
392. Метрическая классификация линий и поверхностей второго порядка.
393. Центры линий второго порядка.
394. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка.
395. Пополненная плоскость и связка.
396. Однородные координаты на проективной плоскости.
397. Уравнение прямой в однородных координатах.
398. Теорема Дезарга. Проективные системы координат.
399. Проективные преобразования.
400. Линии второго порядка в однородных координатах.
401. Проективная и проективно-аффинная классификация линий второго
порядка.
10. Образовательные технологии.
a. Аудиторные занятия:
 лекционные
и
практические
занятия
(коллоквиумы,
семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к
каждому практическому занятию.
 активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме,
компьютерные симуляции, компьютерное моделирование и практический
анализ результатов, работа студенческих исследовательских групп, вузовские и
межвузовские видеоконференции).
b. Внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и
уровня сложности, подготовка к аудиторным занятиям, подготовка к
коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов,
подготовка индивидуальных заданий: докладов, сообщений, эссе, рефератов,
решение задач, выполнение самостоятельных и контрольных работ,
подготовка ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю
успеваемости и промежуточной аттестации);
 индивидуальные консультации.
45
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и
проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями обучения
(различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного обучения,
дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные
информационные технологии обучения (самостоятельное изучение студентами учебных
материалов в электронной форме, выполнение студентами электронных практикумов, различные
демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении
части теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а
также современные информационные технологии обучения (системы поиска информации, работа
с учебно-методическими материалами, размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное практическое
занятие, работа в малых группах, групповая дискуссия, практические занятия в диалоговом
режиме, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной
форме.
11. Учебно-методическое
дисциплины.
и
информационное
обеспечение
a) Основная литература.
Алгебра
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Дёгтев А. Н. Алгебра и логика: Учебное пособие. – Тюмень: Изд-во Тюменского
государственного университета, 2000.
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. 3-е изд.,
стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2004.
Кострикин А. И. Введение в алгебру: учебник для ун-тов по
спец."Математика","Прикладная математика" / А. И. Кострикин. – М.:
Физматлит, 2000.
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. / Под ред. А.И. Кострикина: Учебник
для вузов. - изд. 3-е, испр. и доп. – М.: Физматлит, 2001.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры: учебник для студ. вузов, обуч. по спец.
«Математика», «Прикладная математика»./ А. Г. Курош – 17-е изд., стер. – СПб.:
«Лань», 2008.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры – 5-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2009.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие для
вузов / И. В. Проскуряков – 10-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2007.
Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс матеатической
логики. – М.: Физматлит, 2002.
Фадеев Д. К., Лекции по алгебре – 5-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2010.
Фаддеев Д. К. Задачи по высшей алгебре: Учебное пособие для студ. вузов, обуч.
по мат. спец./. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. – 16-е изд., стер.. –-СПб.: «Лань»,
2007. – 288 с. – (Учебники для вузов Математика).
Шнеперман Л. Б., Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие.
3-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2008 – 224 с. – (Учебники для вузов. Специальная
литература).
Геометрия
b) Основная литература
12.
13.
П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии, М.: Наука, 1968.
В.В.Федорчук, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.:
Энас, 2003.
46
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
П.С.Моденов, А.С.Пархоменко, Сборник задач по аналитической
геометрии, М., 2005 (изд-е стер.).
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматгиз, 2001.
(134 экз).
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1978.
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- М.: Наука, 1978.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – СПб.:
СпецЛитература, 1998.
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –
СПб.: Лань, 2003.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
c) Дополнительная литература.
Алгебра
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Апатенок Р. Ф, Маркина А. М., Попова Н. В., Хейнман В. Б. Элементы линейной
алгебры: учебное пособие для студ. инженерно-технических спец-ей вузов /
под общ. ред. Р. Ф. Апатенок – Минск: “Вышэйшая школа”, 1977.
Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Cборник задач по линейной
алгебре и аналитической геометрии: учебное пособие для студ. инженернотехнических спец-ей вузов / под ред. В. Т. Воднева – Минск: «Вышейшая
школа», 1990.
Александров П. С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
Алуксандров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
Бутузов В. Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах: учеб. пособие для студ.
вузов / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин; ред. В. Ф. Бутузов. -2-е изд.,
испр. – М.: Физматлит, 2002.
ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976; СПб.: Лань, 2003.
Воеводин В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие / В. В. Воеводин. – 4-е изд.,
стер. – СПб.: «Лань», 2008.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: КДУ; Добросвет, 2007.
Икрамов Х. Д. Задачник по линейной алгебре: учеб. пособие / Х. Д. Икрамов;
ред. В. В. Воеводин. – 2-е изд., испр. – СПб.: «Лань», 2006. – 230 с. – (Лучшие
классические учебники. Математика).
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник
для вузов. – М.: Физматлит, 2001.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М.: «Наука», 1965.
Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.
Учебник для вузов. – М.: Наука, 1970.
Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. – М.:
«Мир», 2000.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Учебник для вузов: в 3-х ч. – М.:
Физматлит, 2001.
Кострикин А. И. Введение в алгебру: учебник для ун-тов по
спец."Математика","Прикладная математика"/ А. И. Кострикин. – М.:
Физматлит, 2000.
Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967.
Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978.
Ленг С. Алгебра. – М.: 1968.
Скорняков Л. А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1986.
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. – М.: «Наука», 1996.
Прасолов В. В. Многочлены. – М.: МЦНМО, 2000.
47
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия,
1988.
Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: Мир, 1979.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства. – М.: Физматгиз, 1963.
Холл М. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – М.: «Мир», 1989.
Пакеты прикладных программ Mathematica, MathCad, Maple, MATLAB.
Геометрия
Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1. – СПб.:
СпецЛитертура, 1997.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Просвещение, 1986.
Франгулов С.А., Совертков П.И., Фадеева А.А., Ходот Т.Г. Сборник задач
по геометрии. – М.: Просвещение, 2002.
d) Программное обеспечение и интернет-ресурсы.
32.
33.
34.
35.
http://www.tmnlib.ru
http://lib.mexmat.ru
http://tonbext.tonb.ru
http://www.fepo.ru
12. Технические
средства
и
материально-техническое
обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том числе,
оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютерам с
пакетами прикладных программ Microsoft Office, Maple, Matlab, MathCad.
48