Разбор задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады

РАЗБОР ЗАДАЧ
МУНИЦИПАЛЬНОГО ЭТАПА
ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ
ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ
Лепчинский Михаил Германович,
кандидат физ.-мат. наук
Челябинск, 2014
Задача 11.1
• Коля, Петя и Вася играют в настольный теннис «навылет»: игрок,
проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему
в ней. В итоге оказалось, что Коля сыграл 8 партий, Петя – 17.
Сколько партий сыграл Вася?
Главный вопрос:
А сколько всего было партий?
Задача 11.2
• Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из
них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?
Ответ «ДА»:
Необходимо привести пример или доказательство существования.
Ответ «НЕТ»:
Необходимо привести доказательство отсутствия примера.
Альтернативный вариант вопроса.
Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из
них НЕ имеет корень, а сумма любых двух из них имеет корень?
Задача 11.3
• Три острых угла вместе составляют прямой угол. Докажите, что
сумма косинусов этих трех углов больше суммы их синусов.
Ключевые соображения:
1) Формулы приведения
2) Свойства синуса и косинуса
Дополнительный вопрос.
А насколько сильно, всё-таки, отличаются эти две суммы?
Задача 11.4
• В окружности хорда 𝑃𝑄 проходит через середину хорды 𝐴𝐵,
и
перпендикулярна диаметру 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝑃 = 1.
Основные подходы к решению:
1) Геометрические рассуждения (свойства, теоремы, соотношения)
2) Метод координат
Задача 11.5
• Докажите,
что для произвольных целых чисел 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛
произведение всех разностей вида 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 , делится на
произведение всех разностей вида 𝑖 − 𝑗, где 𝑛 ≥ 𝑖 > 𝑗 ≥ 1.
Наводящий вопрос.
На какое количество нулей заканчивается число 2014! ?
Задача 10.1
• Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном
порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он
имеет два положительных корня, а если в другом – два
отрицательных?
Ответ «ДА»: привести пример или доказательство существования.
Ответ «НЕТ»: привести доказательство отсутствия примера.
Самая полезная школьная теорема о корнях многочлена
Теорема Виета
Задача 10.2
• Докажите, что натуральные числа от 1 до 𝑛² можно разбить на 𝑛
групп по 𝑛 чисел так, что суммы чисел в каждой группе будут
одинаковыми .
a) 𝑛 = 100, б) 𝑛 = 101
Ответ «ДА»: привести пример или доказательство существования.
Ответ «НЕТ»: привести доказательство отсутствия примера.
Задача 10.3
• В неравнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 < 𝐴𝐶)
на стороне
𝐴𝐶 отметили точку 𝐸 так что 𝐶𝐸 = 𝐴𝐵. Пусть 𝐾 – середина 𝐵𝐶, 𝑀 –
середина 𝐴𝐸. Найти угол ∠𝐾𝑀𝐸, если ∠𝐵𝐴𝐶 = 40°.
Путь к решению:
1) угадать ответ с помощью построения точного чертежа
2) подвести рассуждения к полученному ответу
Задача 10.4
• На доске написали в ряд (в порядке возрастания) все целые
числа от 0 до 2014. Затем под каждой парой соседних чисел
написали их сумму. С полученной строчкой чисел проделали ту
же операцию, и т.д. – пока не получилась строчка из одного
числа. Докажите, что это число делится на 2014.
Дельный совет:
Если сразу не видите идею решения задачи с большими числами,
то попытайтесь посмотреть закономерности на маленьких числах
Задача 10.5
• В клетках шахматной доски расставлены натуральные числа от 1
до 64 , причем каждое число встречается ровно один раз.
Докажите, что найдутся две соседние (по стороне) клетки, числа
в которых отличаются не менее, чем на 5.
Один из самых мощных методов, используемых в доказательствах
Метод от противного
Задача 9.1
• Найдите сумму квадратов корней уравнения
𝑥2 + 𝑥
2
− 100 𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 0.
Пути решения:
1) Найти явно все корни и посчитать сумму квадратов
2) Воспользоваться самой полезной теоремой о корнях!
Альтернативные вопросы:
1) Найдите сумму корней уравнения.
2) Найдите сумму кубов корней уравнения.
Задача 9.2
натуральным числом разрешается проделывать такие
операции: 1) приписывать в конце цифру 0; 2) приписывать в
конце цифру 4; 3) разделить на 2 (если число четно). Как из числа
2, выполнив несколько операций, получить число 2014.
• C
Дельный совет:
Иногда полезно делать всё наоборот.
Задача 9.3
• Существуют ли такие целые числа 𝑚 и 𝑛, что
𝑚8
2015 = 9
𝑛
Ответ «ДА»:
Необходимо привести пример или доказательство существования.
Ответ «НЕТ»:
Необходимо привести доказательство отсутствия примера.
Задача 9.4
• Дан четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямые 𝐷𝐴 и 𝐶𝐵 пересекаются в
точке 𝐸 , а прямые 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 − в точке 𝐹 . Известно, что
биссектрисы углов 𝐵𝐸𝐴 и 𝐵𝐹𝐶 перпендикулярны. Докажите, что
вокруг 𝐴𝐵𝐶𝐷 можно описать окружность.
Признаки вписанного четырехугольника.
1. Сумма противоположных углов
2. Углы, опирающиеся на одну сторону
Задача 9.5
• Имеются стакан, кружка и кофейник объёмом 200, 300 и 400мл
соответственно. В кружке 200мл кофе и 6г сахара, в кофейнике –
300 мл кофе и 12 г сахара, стакан пуст. Можно ли с помощью
переливаний добиться того, что в кружке и кофейнике оказалось по
9г сахара?
Полезные соображения:
1) Объем кофе в ёмкостях всегда измеряется сотнями миллилитров
2) От смешения двух «несладких» смесей не может получиться
«сладкая»
Есть чашка молока и чашка кофе. Из первой чашки перелили чайную
ложку молока в кофе, а затем из чашки кофе перелили такое же
количество получившейся смеси обратно в молоко. Чего теперь
больше: молока в кофе или кофе в молоке, и почему?
Задача 8.1
• Часы показывают ровно 12 часов. Через какое время минутная
стрелка снова догонит часовую?
Задача 8.2
• Через вершину 𝐷 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена прямая,
отсекающая 1/𝑛-ю часть от стороны 𝐴𝐵, считая от вершины 𝐴.
Какую часть от диагонали 𝐴𝐶 отсекает та же прямая?
Задача 8.4
• На столе лежат 7 карточек. За один ход разрешается перевернуть
любые пять. Какое наименьшее число ходов необходимо
совершить, чтобы перевернуть все карточки?
Задача 8.5
• На доске написано несколько чисел. Учитель попросил Мишу
поделить каждое из чисел на сумму остальных. У Мити было другое
задание: делить квадрат каждого числа на сумму остальных чисел.
Сумма чисел, полученных Мишей, оказалась равной 1. Какой может
быть сумма чисел, вычисленных Митей?