Текст_работы_Сигаева_Синотоваx

КОНКУРС ПРОЕКТНЫХ И ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
УЧАЩИХСЯ «ГОРИЗОНТЫ ОТКРЫТИЙ»-2014
Анализ методов решения оптимизационных задач
Авторы: Синотова Мария Вячеславовна
Сигаева Ксения Фёдоровна,
ученицы 10 «Б» ГБОУ гимназии №1409
Руководители: Максимова Елена
Викторовна, учитель математики ГБОУ
гимназии №1409
Бойко Эльвира Николаевна, учитель
информатики ГБОУ гимназии №1409
г. Москва, 2014
Содержание
1.Введение____________________________________________________3
2. Глава I. Понятие о линейном программировании.__________________________5
3. Глава II. Задача №1. Графический метод и надстройка «Поиск решения»_______6
4. Глава II. Задача №2. Симплекс-метод и «Поиск решения»___________________13
5. Глава III. Исследование результатов опроса различных возрастных групп _____19
6. Заключение__________________________________________________________22
7. Библиография________________________________________________________23
2
Введение
Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда достижение
некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом. В таких
случаях
приходится находить наилучший способ. В зависимости от выбранных
критериев понятие «наилучший» может быть выражено
затрат, максимум
скорости, прибыли и т.д. Поэтому
количественно — минимум
возможна
постановка
математических задач нахождения оптимального результата, так как принципиальных
различий в отыскании наименьшего или наибольшего значения нет. Такие задачи
называют оптимизационными задачами.
Актуальность работы: изучая математику в школе, в том числе и на
факультативных занятиях, мы пришли к выводу, что многие математические методы
решения оптимизационных задач сложны для школьников 9-11 классов, поэтому мы
стали искать более быстрые и понятные методы решения оптимизационных задач.
Гипотеза: мы утверждаем, что учащиеся старших классов, не имеющие высшего
математического образования, могут решать оптимизационные задачи.
Цель работы: при исследовании и получении оптимальных результатов решения
производственных задач,
выявить наиболее приемлемые методы решения для
учащихся старших классов.
Задачи:
1. Научиться решать оптимизационные задачи разными методами:
a. графическим методом;
b. компьютерным моделированием с помощью прикладной программы
MS Excel.
c. симплекс-методом.
Новизна проекта: в курсе математики и информатики 9-11 классов очень мало
времени отводиться на решение оптимизационных задач. Как правило, рассматривается
только один способ решения. Наша работа подробно описывает три способа решения
подобных задач и выявляет наиболее быстрый и простой способ.
Оптимальный результат находится в результате процесса, называемого процессом
оптимизации. Весь процесс решения задачи
представляется в виде следующих
этапов:
1.
Изучение объекта. При этом требуется
понять
происходящий
процесс,
определить необходимые параметры.
2.
3
Описательное моделирование — установление
и словесная фиксация
основных связей и зависимостей между характеристиками процесса с точки зрения
оптимизируемого критерия.
3.
Математическое
формальный
моделирование -
математический
соответствующей
язык. Все
перевод описательной
условия
записываются
модели на
в
виде
системы ограничений (уравнения или неравенства). Критерий
записывается в виде функции, которую обычно называют целевой. Решение задачи
оптимизации состоит в отыскании на множестве решений системы ограничений
максимального или минимального значения целевой функции.
4.
Выбор метода решения задачи.
5.
Выбор или написание программы для решения задачи с помощью
компьютера.
6.
Анализ полученного решения. Проверяется соответствие полученного решения
построенной математической модели. В результате такого анализа в модель могут быть
внесены изменения или уточнения, после чего весь разобранный процесс повторяется.
Модель считается построенной и завершенной, если она с достаточной точностью
характеризует деятельность объекта по выбранному критерию.
4
Глава I. Понятие о линейном программировании
Линейное
программирование
–
это
наука
исследования
и
наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные
наложены
линейные
ограничения.
Таким
образом,
задачи
отыскания
которой
линейного
программирования относятся к задачам на поиск условного экстремума функции.
К методам решения подобных задач относят:
1. графический методы;
2. симплекс- метод;
3. компьютерное моделирование с помощью ЭВМ.
Прикладная программа MS Excel предлагает мощный инструмент для решения
оптимизационных задач, то есть таких задач, в которых необходимо найти
экстремальное значение (минимум или максимум) некоторой функции, называемой
целевой, при заданных ограничениях (ограничения - это условия, которые
накладываются на используемые ресурсы для производства продукции).
5
Глава II. Задача №1. Графический метод и надстройка Excel - «Поиск решения»
Содержательная постановка задачи
1.
Существуют производственные площади (цех, занимающий 2880 м2). Необходимо в
этом цеху разместить два типа станков для производства ж/б (железобетонных) изделий
для строительства объемноблочных и крупнопанельных жилых домов. Общий бюджет
3 млн. руб. Первый тип, для изготовление объемных блоков (ОБД (объемноблочное
домостроение)),стоимостью 500 тыс. руб., занимает 800 м2 и выпускает 150 изделий в
смену. Аналогичные характеристики станка второго типа, выпускающего панели для
крупнопанельного домостроения составляют соответственно 600 тыс. руб., 1000 м2 и
210 изделий в смену.
Найти оптимальный вариант приобретения станков, обеспечивающий максимальное
производство
изделий
и
определить
какой
тип
домостроения
(ОБД
или
крупнопанельное) выгоднее.
2. Математическая постановка задачи.
Пусть х – количество станков первого типа.
y – количество станков второго типа.
Это параметры, значение которых требуется определить.
Тогда получаем целевую функцию:
F=150*x+210*y
И ограничения:
500*х+600*у<=3000
800*х+1000*у<=2880
Кроме того количество станков не может быть отрицательным, также количество
станков должно измеряться в целых числах:
x>=0, y>=0, x;y – Z
Необходимо найти значения параметрам, удовлетворяющее ограничениям, при
которых целевая функция будет max.
1. Методы решения задачи:
Опишем два метода решения:
I.
геометрический (графический) метод;
II. решение с помощью надстройки Excel – Поиск решений.
I.
6
Запишем все получившиеся условия:
или
Построим график в программе «Живая геометрия», удовлетворяющий этой системе
уравнений:
Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этой системе
неравенств, представляет собой многоугольник. Искомые значения х и у, при которых
значение целевой функции будет максимальным, должны содержаться в этом
многоугольнике:
Имеем целевую функцию F=150*x+210*y, построим её. Количество станков должны
быть выбраны так, чтобы целевая функция была максимальной. Теперь легко
догадаться, как сместить эту прямую, чтобы деталей оказалась наибольшее количество.
Построенную прямую надо сместить параллельно самой себе так, чтобы она отсекла от
оси ординат наибольший отрезок и имела хотя бы одну общую точку с построенной
областью. Прямая пересекла многоугольник в точке А с координатами А(2;1).. Этой
точкой являются В(1;2)
7
После подстановки значений точек А(2;1) и В(1;2) значение функции становится 510
и 570 деталей соответственно. Т.к. нам нужно максимальное значение функции ,а это
570, то мы выбираем точку В(1;2).
Ответ: число станков первого типа х=1, число станков второго типа у=2.
II.
Представим второй способ решения задачи с помощью прикладной программы
MS Excel 2007 и встроенной надстройки «Поиск решений».
Поиск
решений
является
надстройкой,
которая
позволяет
решать
задачи
оптимизационного моделирования. Процедура поиска решения позволяет найти
оптимальное значение формулы, которая называется целевой. Чтобы сузить множество
значений, используемых в модели, применяются ограничения.
Математическая
постановка
задачи
приведена
выше.
Целевая
функция
и
ограничения остаются неизменны. Приведу следующие разделы решения задачи:

компьютерная модель - оптимизационное моделирование в Excel:
1.
Ячейки B6,B7 выделить под искомые параметры число станков первого
типа Х, число второго типа -Y.
2.
В C17 ввести формулу целевой функции =E6*B6+E7*B7
3.
В A17 ввести формулу вычисления стоимости, которая будет затрачена на
покупку станков: =B6*C6+B7*C7
8
4.
В B17 ввести формулу вычисления площади, которая потребуется для
станков: =B6*D6+B7*D7

исследование модели:
Программа Поиск решения вызывается из главного меню: Данные | Поиск
решения. Если она не найдена, то производим следующие действия: Настройка панели
быстрого доступа | Другие команды | Надстройки | , выделяем «поиск решения» |
Перейти | Ставим галочку на «поиске решения» и ОК.
5.
Открываем диалоговое окно Поиск решения
В поле Установить целевую ячейку указываем адрес ячейки, в которой находится
формула для расчёта целевой функции (ячейка С17). Ниже указываем тип оптимизации
(поиск максимума или минимума). В поле Изменяя ячейки отмечаем адреса ячеек, где
находятся независимые переменные задачи (В6 и В7).
6.
9
Для того чтобы ввести ограничения нужно нажать на кнопку Добавить.
Появляется диалоговое окно Добавление ограничения.
В левое поле вводим адрес ячейки, где находятся ограничения (или диапазон ячеек), в
центральном
поле
выбираем
знак
операции
отношения
(а
также
задаём
целочисленность или бинарность переменных), в правом поле задаём адрес ячейки (или
диапазон адресов), где находятся правые части ограничений. Вместо адресов в правой
части можно просто задать числовые значения.
Нажатием клавиши Добавить переходим в режим добавления следующего
ограничения, нажатием клавиши ОК заканчиваем ввод ограничений.
Теперь, если необходимо, в поле Ограничения окна Поиск решения можно
выбирать какие-либо ограничения и редактировать их или удалять.
10
7. Запускаем процесс вычислений нажатием кнопки Выполнить.
Ответ: заданным ограничением удовлетворяют следующий парк станков: 1 –
первого типа, 2 – второго типа; при этом будет изготовлено максимальное
количество деталей – 570 деталей.
11
Задача №2. Симплекс-метод и «Поиск решения»
1.
Содержательная постановка задачи
Компании N требуется перевезти груз и города А в город В. Срок — 1 неделя,
бюджет — 500.000 рублей. Из города А в город В можно перевезти груз при помощи
автотранспорта, самолета и поезда. Автомобиль едет 35 часов, поезд — 20 часов, и
самолет летит 3 часа. Однако при транспортировке поездом в городе А необходимо
довезти на автотранспорте до вокзала и в городе В — от вокзала. Время в пути — 2
часа, 1 поезд = 100 машин. А при транспортировке самолетом в городе А также
требуется довезти до аэропорта, и в городе В — от аэропорта. Время в пути — 1 час, 1
самолет = 10 машин. На каждой перегрузке с транспорта на транспорт тратится 1 час.
Стоимость перевозки 1 машины груза: на автомобиле — 1500 руб., на поезде — 1350
руб., на самолете — 3100 руб. найти оптимальный способ транспортировки (т. е.
максимизировать количество перевезенного груза).
2.
Математическая постановка задачи
Пусть x1 - количество автомобилей
х2 - количество поездов
х3 - количество самолетов
это параметры, значения которых требуется определить.
Тогда поучаем целевую функцию:
И ее ограничения:
Кроме того, количество транспорта не может быть отрицательным, также
количество транспорта должно измеряться в целых числах:
Необходимо найти значения параметров, удовлетворяющие ограничениям, при
которых целевая функция будет максимальной.
3. Методы решения задачи
Опишем два метода решения задачи:
I. Симплекс-метод
II.
12
Метод с помощью надстройки Excel – Поиск решений.
I. Cимплекс-метод
Графический метод без особого труда позволяет решать задачи линейного
программирования
с двумя
переменными.
Сложнее
решать
задачи
с
тремя
переменными и невозможно при n>3. Решение таких задач требует применения
аналитических методов. Одним их которых, является симплекс-метод. Симплекс-метод
может быть интерпретирован геометрически как движение по соседним угловым
точкам многогранника решений. Точки называются соседними, если они расположены
на одном ребре.
Следовательно, количество итераций симплекс-метода зависит от выбора
исходного базисного плана и количества угловых точек, встречающихся при движении
от исходного плана к оптимальному.
Основу алгоритма симплекс-метода составляет последовательность шагов,
реализующая описанный выше переход от одного базисного плана к другому и
приводящая либо к оптимальному решению, либо к выводу о том, что задача решений
не имеет.
Прежде чем решать задачу линейного программирования симплекс-методом, ее
необходимо привести к канонической форме. После этого выделяют переменные,
которые присутствуют только в одном уравнении с коэффициентом единица, и
принимают их в качестве базисных. Если в ограничении такую переменную выделить
нельзя, то вводят искусственную базисную переменную. Затем определяют исходный
базисный план и значение целевой функции для этого плана.
Так как в задаче №2 три переменные, решим ее симплекс-методом. Для табличных
расчетов воспользуемся прикладной программой MS Excel.
Введем три базисные переменные y1, y2, y3, y1≥0, y2≥0, y3≥0.
Тогда три свободные переменные x1, x2, x3, x1≥0, x2≥0, x3≥0.
Приведем к каноническому виду задачу, то есть когда система ограничений
представлена в виде равенств.
Рассмотрим первое базисное решение (опорный план), в котором свободные
переменные равны нулю.
13
Приведем задачу к жордановской форме следующим образом:
Построим симплекс-таблицу №1.
x1
-x2
-x3
1
y1
35
22
5
168
y2
1500
285000
46000
500000
f
-1
-100
-10
0
Находим разрешающий коэффициент:
минимальный коэффициент в целевой функции (кроме последнего 0):
значит, второй столбец разрешающий;
минимальное частное, получающееся при делении положительного значения в
столбце свободных членов на положительные коэффициенты при неизвестных в
разрешающем столбце:
Итак, разрешающий элемент находится на пересечении второй строки и второго
столбца и равен 135000.
Далее выполняется шаг метода модифицированных жордановских исключений
(далее м.ж.и.).
Алгоритм:
1.
разрешающий элемент
2.
остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий
элемент:
14
заменяется обратной величиной:
остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий
3.
элемент и меняют знаки:
все остальные элементы таблицы вычисляются по формулам (правило
4.
прямоугольника):
В результате одного м.ж.и. одна базисная переменная переходит наверх таблицы, а на ее
место ставится соответствующая свободная переменная, следовательно, поменяются
местами x2 и y2
Построим симплекс-таблицу №2
C
-x1
-y2
-x3
1
y1
34,8
-0.00007
1,4
129.4
x2
0.005
0.000003
0,16
1,7
f
-0.4
0.0003
6,14
175,4
Б
Следовательно, второй опорный план
Однако в f-строке есть отрицательный элемент (-0.4), значит, второй опорный
план не является оптимальным.
15
Находим третье базисное решение: разрешающим будет второй столбец и вторая
строка. Разрешающий элемент
Выполняем шаг м.ж.и.
Построим симплекс-таблицу №3.
C
-y1
-y2
-x3
1
x1
0.02
-0.000002
0.04
3,7
x2
-0.0001
0.000003
4,4
1,6
f
0.01
0.0002
6,15
176.8
Б
Итак, третий опорный план:
II.
Поиск
Решение с помощью надстройки Excel – Поиск решений.
решений
является
надстройкой,
которая
позволяет
решать
задачи
оптимизационного моделирования. Процедура поиска решения позволяет найти
оптимальное значение формулы, которая называется целевой. Чтобы сузить множество
значений, используемых в модели, применяются ограничения.
Математическая
постановка
задачи
приведена
выше.
Целевая
функция
и
ограничения остаются неизменны. Приведу следующие разделы решения задачи:

компьютерная модель - оптимизационное моделирование в Excel:
II.1.
Ячейки B5, B6, B7 выделить под искомые параметры: число
транспорта каждого типа: автомобили – x1, поезда – x2, самолеты – x3
2. C15 ввести формулу целевой функции =(B5+F6*B6+F7*B7)*B2
3. В A15 ввести формулу вычисления времени, которое будет затрачено на
перевозку: =D5*B5+(D6+E6)*B6+(D7+E7)*B7
4. В
B15
ввести
формулу
вычисления
стоимости
всей
перевозки
=C5*B5+(C6*F6+C5*F6)*B6+(C7*F7+C5*F7)*B7

исследование модели:
Программа Поиск решения вызывается из главного меню: Данные | Поиск
16
решения. Если она не найдена, то необходимо совершить следующие действия:
Настройка панели быстрого доступа | Другие команды | Надстройки | , выделяем «поиск
решения» | Перейти | , ставим галочку на «поиске решения» и ОК.
Открываем диалоговое окно Поиск решения
В поле Установить целевую ячейку указываем адрес ячейки, в которой
находится формула для расчёта целевой функции (ячейка С15). Ниже указываем
тип оптимизации (поиск максимума или минимума).В поле Изменяя ячейки
отмечаем адреса ячеек, где находятся независимые переменные задачи (В6 и В7).
Для того чтобы ввести ограничения нужно нажать на кнопку Добавить. Появляется
диалоговое окно Добавление ограничения.
17
В левое поле вводим адрес ячейки, где находятся ограничения (или диапазон ячеек),
в центральном поле выбираем знак операции отношения (а также задаём
целочисленность или бинарность переменных), в правом поле задаём адрес ячейки (или
диапазон адресов), где находятся правые части ограничений. Вместо адресов в правой
части можно просто задать числовые значения.
Нажатием клавиши Добавить переходим в режим добавления следующего
ограничения, нажатием клавиши ОК заканчиваем ввод ограничений.
Теперь, если необходимо, в поле Ограничения окна Поиск решения можно
выбирать какие-либо ограничения и редактировать их или удалять.
Запускаем процесс вычислений нажатием кнопки Выполнить.
Ответ: чтобы переправить и города А в город В максимальное количество
груза за неделю с бюджет в 500000 рублей нужно использовать 3 автомобиля, 1
поезд и 4 самолета.
18
Глава III. Исследование результатов опроса различных возрастных групп
Мы провели занятия на уроках информатики в ГБОУ гимназии №1409 с
обучающимися 9-11 классов.
Мы взяли 3 класса: 9,10,11 - по 20 человек в каждом. Каждую группу мы обучали
всем 3-м методам в течении 6-и уроков. В итоге у нас получилось, что графический
метод мы объясняли 2 урока, Excel 1 урок, а симплекс-метод 3 урока. После этого мы
предложили контрольную задачу. Выбор метода решения оставался за учащимися.
В гистограмме №1 приведены результаты выбора метода решения.
Гистограмма №1
Выбор метода решения
9 классы
10 классы
11 классы
18
15
12
8
4
0
Графический метод
0
MS Excel
2
1
Симплекс-метод
Как видно из гистограммы метод поиск решений предпочли 45 человек из 60,
графический метод выбрали 12 человек и симплекс - метод – 3.
Вторая гистограмма показывает качество выполнения контрольной задачи с
указанием метода решения задачи.
Метод решения
Всего работ
контрольной задачи
19
Качество выполнения,
человек
Графический метод
12
7
MS Excel
45
37
Симплекс-метод
3
1
Качество выполнения, %
2%
16%
Графический метод
MS Excel
82%
Симплекс-метод
На основе проведенного исследования мы сделали вывод, что наиболее
оптимальным способом решения оптимизационных задач для школьника 9-11 классов
является метод «Поиск решений» прикладной программы MS Excel.
20
Заключение
В XXI веке все более значимым становится информатизация прикладного
математического образования. В связи с этим актуальными становятся вопросы
повышения эффективности прикладной математической подготовки на основе
внедрения информационных и телекоммуникационных технологий.
Использование средств информатизации предоставляет возможность свести
исследование реального объекта к решению математической задачи, используя при этом
разработанный математический аппарат в сочетании с достоинствами информационной
и телекоммуникационной техники.
Многие математические пакеты и компьютерные системы могут рассматриваться
как средства обучения прикладной математике, с помощью которых возможно не только
вооружение требуемыми знаниями, но и развитие творческой познавательной
самостоятельности, повышение мотивации к изучению и использованию современных
методов математической обработки и вычислений.
Нам было интересно исследовать задачи, т. к. нужны были знания трех наук:
математики, информатики и экономики. Поставленные задачи выполнены, а также
изучены разные методы решения задач линейного программирования. Данная работа
может служить пособием для самостоятельного изучения учащимися решения
оптимизационных задач.
Дальнейшее развитие проекта мы видим в практическом применении изученных
методов.
21
Список литературы
1.
Горбунова Р. И., Макаров С. И., Мищенко М. В., Сизиков А. П., Уфимцева Л. И.,
Фомин В. И., Чупрынов Б. П., Черкасова Т. Н. Экономико-математические
методы и модели, «КноРус», 2007
2.
Барабенко Т. И., Барабаш С. Б. Методы приятия управленческих решений «СО
РАН», 2006
3.
Смирнова И. М., Смирнов В. А. Многоугольники-М., «Мнемозина», 2007г.
4.
Миньков С.Л.
EXCEL. Лабораторный практикум, «Томский межвузовский
центр дистанционного образования», 2000г.
5.
Амелина Н. И., Мачулина Л. А., Чердынцева М. И. Практикум по электронным
таблицам в экономике, «Экспертное бюро», 2000г.
6.
Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика, «Маркетинг»,
2002г.
22