1. Интерференция света

1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Пермский государственный технический университет
Н.А. Вдовин, Н.А. Харламова
ФИЗИКА
Часть III
ОПТИКА. АТОМНАЯ ФИЗИКА
Под общей редакцией
доктора технических наук профессора А.И. Цаплина
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия для студентов
заочного отделения всех специальностей
Пермь 2006
2
УДК 53(0758)
ББК 22.3
В 25
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент Д.В. Баяндин,
(Пермский государственный технический университет);
доктор физико-математических наук, профессор Е.Л. Тарунин
(Пермский государственный университет).
Вдовин Н.А., Харламова Н.А.
В 25 Физика: Учеб. пособие. Часть III. Оптика. Атомная физика. / Под общ. ред.
А.И. Цаплина; Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2006. – 100 с.
Приведен теоретический материал для самостоятельного изучения физики, включающий в себя основные сведения из теории и вопросы для самоконтроля. Предназначено для
студентов заочного отделения всех специальностей.
УДК 53(0758)
ББК 22.3
 Пермский государственный
технический университет, 2006
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………………
1. Интерференция света………………………………………………………
1.1. Электромагнитная волна на границе раздела сред…………………..
1.2. Интерференция света и условия ее наблюдения. Когерентные источники света ………………………………………………………
1.3. Интерференция света в тонких пленках ………………………........
1.4. Применение интерференции света. Интерферометры………………
Вопросы для самоконтроля…………………………………………..
2. Дифракция…………………………………………………………………
2.1. Явление дифракции света. Условия ее наблюдения. Принцип
Гюйгенса-Френеля.……………………………………………………
2.2. Метод зон Френеля. Прямолинейность распространения света……
2.3. Дифракция на простейших преградах………………………………..
Вопросы для самоконтроля…………………………………………..
3. Поляризация света…………………………………………………………
3.1. Естественный и поляризованный свет……………………………….
3.2. Методы получения поляризованного света. Закон Брюстера………
3.3. Анализ поляризованного света. Закон Малюса……………………..
3.4. Интерференция поляризованного света. …………………………….
3.5. Применение поляризованного света…………………………………
Вопросы для самоконтроля………………………………………......
4. Квантовые свойства света………………………………………………….
4.1. Тепловое излучение и его характеристики…………………………..
4.2. Законы теплового излучения …………………………………………
4.3. Оптическая пирометрия……………………………………………….
4.4. Законы фотоэлектрического эффекта. Уравнение Эйнштейна…….
4.5. Практическое применение фотоэффекта…………………………….
4.6. Фотоны. Масса и импульс фотона……………………………………
4.7. Давление света…………………………………………………………
4.8. Эффект Комптона……………………………………………………..
4.9. Двойственная корпускулярно-волновая природа света…………….
Вопросы для самоконтроля…………………………………………..
5. Атомная физика. Элементы квантовой физики…………………………..
5.1. Модели атома. Спектры излучения атомов водорода……………….
5.2. Постулаты Бора………………………………………………………..
5.3. Волновые свойства вещества. Гипотеза де Бройля. Принцип
неопределенности……………………………………………………..
5.4. Волновая функция и уравнения Шредингера………………………
5.5. Квантовомеханическое описание состояния электрона в атоме.
Принцип Паули. Структура электронных оболочек атома………...
5.6. Вынужденное излучение. Лазеры…………………………………….
стр.
5
9
9
10
14
18
20
22
22
23
24
35
37
37
38
43
44
46
49
51
51
53
57
58
62
63
64
65
68
68
71
71
73
76
78
80
82
4
Вопросы для самоконтроля…………………………………………... 85
6. Атомное ядро. Элементарные частицы…………………………………... 86
6.1. Характеристики атомного ядра. Размер, состав и заряд атомного
ядра……………………………………………………………………. 86
6.2. Дефект массы и энергия связи ядра…………………………………. 87
6.3. Ядерные силы…………………………………………………………. 88
6.4. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада………………….. 89
6.5. Элементарные частицы……………………………………………….
91
6.6. Элементы космологии………………………………………………… 96
Вопросы для самоконтроля………………………………………….. 97
Литература………………………………………………………………… 98
Приложение. Шкала электромагнитных волн………………………….. 100
ВВЕДЕНИЕ
Оптика  учение о свете (от греческого  Optike  зрительный), раздел
физики, в котором изучаются процессы излучения и распространения электромагнитных волн (света) и явления, наблюдаемые при взаимодействии света с
веществом.
Оптика относится к таким наукам, первоначальные представления о которых возникли в глубокой древности. Прямолинейность распространения света была известна народам Месопотамии за 5 тысяч лет до н.э., и это свойство
использовалось в древнем Египте при строительных работах (430 г. до н.э).
Платон установил законы прямолинейного распространения и отражения света,
Аристотель (350 г. до н.э.) и Птолемей (70-147 гг. н.э.) изучали преломление
света. Архимеду (287-212 гг. н.э.) приписывают сожжение неприятельского
флота лучами солнечного света при помощи системы вогнутых зеркал.
Следующий важный шаг развития оптики был сделан лишь много веков
спустя, когда были открыты законы преломления. В средние века хорошо были
известны эмпирические правила построения изображений, даваемых линзами.
В 13 веке появились очки, в 16 – микроскоп, в 17 веке – телескоп и связанные с
ними открытия в биологии, астрономии, физике. В это время было завершено
построение фундамента оптики.
Важнейшим вопросом в оптике с древних времен был вопрос о природе
света. Что такое свет? В 17 веке были открыты дифракция, интерференция и
двойное лучепреломление, не поддающиеся истолкованию в рамках геометрической оптики. Голландский ученый Х. Гюйгенс сформулировал фундаментальный принцип волновой оптики, опираясь на который дал волновое истолкование законов отражения и преломления, а также объяснил двойное лучепреломление. Сформулировав фундаментальный принцип волновой оптики, Гюйгенс, однако, не разработал последовательную волновую теорию света, которая
5
могла бы противостоять воззрениям Ньютона, поэтому корпускулярная «теория
истечения» сохраняла господствующее положение в оптике до начала 19 века.
Волновые представления Гюйгенса часто противопоставляют взглядам Ньютона на свет как поток частиц (корпускул). Это не совсем справедливо, так как
Ньютон также обратил внимание на периодичность световых явлений и допускал возможность волновой их интерпретации, но отдавал предпочтение корпускулярной концепции света, считая его потоком частиц.
Победа волновой оптики связана с работами английского ученого Т.Юнга
и французского ученого О.Френеля. Френель, используя принцип Гюйгенса,
дал удовлетворительное волновое объяснение многочисленных дифракционных
явлений. В это же время была сформулирована важная идея о поперечности
световых колебаний. Все известные к тому времени оптические явления получили волновую интерпретацию. Вместе с тем свет представляли как упругие
поперечные колебания эфира.
В 1848 году открытие английским физиком М. Фарадеем вращения плоскости поляризации света в магнитном поле стало первым указанием на непосредственную связь электромагнетизма с оптикой. Английский физик Д. К.
Максвелл, основываясь на открытии Фарадея, пришел к выводу, что свет есть
электромагнитные волны, а не упругие волны эфира. Максвелл теоретически
показал, а немецкий физик Г.Герц подтвердил экспериментально в 1888 г., что
изменения электромагнитного поля распространяются в вакууме со скоростью
света.
Несмотря на успехи электродинамической теории, выяснилось, что она
явно недостаточна для описания процессов испускания и поглощения света веществом. Возникло представление о веществе как о совокупности осцилляторов
(осциллятор – физическая система, совершающая колебания). Рассматривая эту
проблему, немецкий физик М.Планк пришел к выводу (1900 г.), что элементарная колебательная система (электрон, атом, молекула) отдает и получает волновую энергию не непрерывно, а порциями, квантами. Построение электромагнитной теории света и дополнение электронной теорией взаимодействия света
и вещества явилось крупнейшим этапом развития оптики. Работы Планка и
Эйнштейна, который приписал квантам света кроме энергии также импульс и
массу, вернули оптике черты корпускулярных представлений. Исходя из этих
представлений, были сформулированы законы теплового излучения, природа
которого оказалась такой же, как и у оптического излучения. В 1899 году русским ученым П.Н.Лебедевым было измерено давление света.
По современным представлениям свет  это сложное явление: в одних
случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых
частиц (фотонов). Волновые либо корпускулярные свойства света проявляются
в зависимости от конкретных условий. Так, при распространении света в пространстве и при взаимодействии световых потоков проявляются волновые
свойства света, при взаимодействии света с веществом (атомами, элементарными частицами)  квантовые свойства. Волновая природа света подтверждается в
явлениях интерференции, дифракции, поляризации, квантовая - в явлениях теп-
6

E
Е
Е0

H
Н0
Н

V

Рис. 1.
Схематичное представление электромагнитной волны
лового излучения, фотоэффекта (впервые исследован русским ученым Столетовым), давлении света, эффекте Комптона и др.
В современной оптике квантовые представления не противопоставляются волновым, а сочетаются на идейной основе квантовой механики и квантовой
электродинамики, развитой в трудах Н.Бора (Дания), М.Борна и В.Гейзенберга
(Германия), В.Паули (Швейцария), Э.Шредингера (Австрия), английского физика П.Дирака, Э.Ферми (США), советских ученых Л.Д.Ландау и В.А.Фока.
Как было показано в теории Максвелла, свет  это электромагнитная вол
на,
в
которой
векторы
напряженностей
электрического
и
магнитного
полей
и
Е

Н колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях, перпендикулярных
направлению распространения волны (рис. 1). Несмотря на то, что электромагнитная волна представляет собой колебания электрического и магнитного полей, как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются электрическим полем. Поэтому в
дальнейшем мы будем говорить только об электрических колебаниях в электромагнитной волне.
Волновая теория света базируется на принципе X. Гюйгенса: каждая точка,
до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих
волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени (рис. 2).
Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Волновой поверхностью –
геометрическое место точек, имеющих одинаковую фазу.
Каков механизм излучения света? Свет испускается возбужденным атомом при его переходе из возбужденного состояния в нормальное (невозбужденное). Продолжительность процесса излучения света атомом оценивается
временем τ = 10 –8 с. Затем, спустя некоторый промежуток времени, атом может вновь возбудиться и начать излучать свет. Такое прерывистое излучение
света атомами (например, при нагревании) в виде отдельных кратковременных
импульсов  цугов электромагнитных волн  характерно для любого источника
7
света. Каждый цуг волн имеет ограниченную протяженность l в пространстве,
связанную с конечной длительностью τ
его излучения и скоростью распространения света. Так, например, в вакууме
протяженность цуга волн l = с∙τ; l = 3
∙108 м/с ∙ 10-8с = 3 м. Цуги, испущенные
разными атомами и даже одним и тем же
атомом, различаются длиной волны λ,
частотой ν и ориентацией
плоскости ко
лебаний вектора Е в пространстве.
С точки зрения квантовой теории
излучение электромагнитного поля происходит не непрерывно, а дискретно определенными порциями - квантами
(фотонами), энергия которых ε определяется частотой излучения ν :
S1
S2
S3
S
S4
S5
S6
Фронт
волны
Рис. 2.
Иллюстрация принципа Гюйгенса
 ф  h ,
(1)
где h = 6,6 ∙ 10-34 Дж∙c  постоянная Планка.
Свет не только излучается, но распространяется и поглощается в пространстве порциями - квантами, которые проявляют свойства частиц.
В соответствии с теорией относительности, которая установила связь
массы и энергии
Е = mc2,
(2)
можно определить массу и импульс фотонa:
mф 
h
c2
рф 
,
h h
 .
c 
(3)
(4)
Формулы (1), (3) и (4) связывают корпускулярные (квантовые) характеристики излучения с волновыми. Массу, энергию, импульс фотона - с частотой
его колебания и длиной волны.
Таким образом, свет представляет собой единство противоположных видов движения  волнового (электромагнитного) и корпускулярного (квантового), т.е., по современным представлениям, свет имеет двойственную корпуску-
8
лярно-волновую природу. На уровне макромира корпускулярное и волновое
движения четко разграничены: одно дело  движение брошенного вверх камня,
другое  движение морской волны. На уровне микромира четкое разграничение волновых и корпускулярных свойств отсутствует. Микрообъекты
(фотоны, электроны, протоны, нейтроны и т.д.) не являются ни чистыми корпускулами, ни чистыми волнами: корпускулярные и волновые свойства объединяются в рамках единого микрообъекта.
1. Интерференция света
1.1. Электромагнитная волна на границе раздела сред
При прохождении электромагнитной волны через границу раздела сред
происходит ее отражение и преломление.
Закон отражения: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим
лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке
падения. Угол падения равен углу отражения, i1  i1 (рис.1.1).
i1
i1
B
i1
n1
1
2
A
n2
i2
C
D
i2
Рис. 1.1. Схема отражения и преломления
света
Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр,
проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред
sin i1 n2

 n21 ,
(1.1)
sin i2 n1
где n21  относительный показатель преломления второй среды относительно
первой.
Для установления причин преломления запишем для треугольников ABC
и ACD (см. рис. 1.1) соотношения: ВС = AC sin i1, AD = AC sin i2, тогда отношение BC/AD = sin i1/sin i2. C учетом времени перехода фронта волны t и скоро-
9
стей ее распространения v1 и v2 соответственно в средах 1 и 2 имеем BC = v1t и
AD = v2t, откуда
v1 sin i1 n2


 n21 .
v2 sin i2 n1
(1.2)
Таким образом, свет преломляется из-за различной скорости волн в разных средах. Абсолютный показатель преломления среды n показывает, во сколько раз
скорость света в среде меньше, чем скорость света в вакууме: n = c/v.
В соответствии с электромагнитной природой скорость света и показатель преломления зависят от электромагнитных свойств среды (ее диэлектрической 0 и магнитной 0 проницаемости)
v
v1
1
2
v2<v
1
c
c
; n    0 0 .
v
 0 0
(1.3)
При прохождении волны через границу
раздела сред (рис. 1.2) изменяется длина волны. Действительно, при v2 < v1 (v1 = c) для
первой среды с = , для второй среды v =
, тогда
c 
v 

и     .
v 
c n
Рис. 1.2.
Схема прохождения волны
через границу раздела сред
На отрезки AD и BC (см. рис. 1.1) укладывается одно и то же количество волн.
Рассмотрим изменение плоской бегущей волны при переходе в другую
среду. В вакууме
2


E  E0 cos  t 
x  0  ,



в среде
2


E   E0 cos  t 
x  0   E0 cos



2


nx  0  ,
 t 



т.е. фаза волны зависит не от координаты x, а от оптической длины пути nx.
10
n2 <
n1
2
1
Рис. 1.3.
Схема отражения волны
на границе раздела сред
При отражении волны от границы раздела
сред, когда волна проходит из оптически более
плотной среды 1 в оптически менее плотную
среду 2 (n1 > n2) оптическая разность хода двух
лучей L = nx = = 0. При отражении от оптически более плотной среды (рис. 1.3) фаза
скачком меняется на , а L  на /2, т.е. происходит потеря полуволны.
1.2. Интерференция света и условия её наблюдения.
Когерентные источники света
При наложении волн в пространстве имеет место явление интерференции,
заключающееся в том, что в одних местах волны усиливают друг друга, а в других ослабляют. Результаты такого сложения имеют общие закономерности
независимо от природы волнового процесса.
Интерференцией света называется пространственное перераспределение
энергии светового излучения при наложении двух или нескольких световых
волн, в результате чего в одних местах возникают максимумы (светлые пятна),
а в других  минимумы (темные пятна) интенсивности света.
Повседневный опыт убеждает нас в том, что обычные источники света
(например, лампочки накаливания) явления интерференции не дают. В чём
причина этого? Какими должны быть источники световых волн, чтобы возникало явление интерференции?
Необходимым условием интерференции волн является их когерентность,
т.е. согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Условию когерентности удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты ( = const).
Реальные световые волны не являются строго монохроматическими. В
силу фундаментальных физических причин излучение всегда имеет статистический характер. Атомы светового источника излучают независимо друг от друга
в случайные моменты времени, и излучение каждого атома длится очень короткое время (τ ≤ 10–8 с). Результирующее излучение источника в каждый момент
времени состоит из вкладов огромного числа атомов. Через время порядка τ вся
совокупность излучающих атомов обновляется. Поэтому суммарное излучение
будет иметь другую амплитуду и, что особенно важно, другую фазу. Фаза волны, излучаемой реальным источником света, остается приблизительно постоянной только на интервалах времени порядка τ.
Прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов называется волновым цугом. Средняя продолжительность одного цуга
называется временем когерентности τког. В соответствии с условием временной
когерентности время когерентности не может превышать время излучения:
11
τког< τ .
(1.4)
При распространении волны фаза колебаний сохраняется только за время
когерентности, за это время волна распространяется в вакууме на расстояние lког = сτког – длины когерентности (длины цуга). Длина когерентности lког
есть расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерентность. В соответствии с условием пространственной когерентности
оптическая разность хода не может превышать длину когерентности:
L < lког
(1.5)
Волны, испускаемые двумя независимыми источниками света (даже двумя независимыми атомами), не когерентны, так как разность фаз между излучением этих источников хаотически изменяется каждые 10-8с. Это приводит к
усреднению интенсивности в каждой точке пространства. Следовательно, некогерентные лучи не создают устойчивой, неизменной во времени интерференционной картины.
Более того, поскольку цуги волн,
излучаемые одним и тем же атомом в
Э
разные моменты времени ( ∆ t > 10-8 с),
отличаются частотой и фазой, то, очеВ
видно, интерференция произойдет
S1
только при встрече волн, образуемых
S
из одного и того же цуга.
S2
С
Основная трудность в осуществлении явления интерференции света заключается в получении когерентных
световых волн. Как было объяснено
Рис. 1.4.
выше, для этого непригодны излучения
Схема интерференции
не только двух различных макроскопипо методу Юнга
ческих источников света (исключение
составляют лазеры), но и различных атомов одного и того же источника. Поэтому остается лишь одна возможность - каким-либо способом разделить свет,
излучаемый каждым источником, на две группы волн, которые в силу общности происхождения должны быть когерентными и при наложении будут интерферировать. Отсюда все методы получения когерентных источников света сводятся к одной идее  разделению одного пучка от источника на две части и
дальнейшему их сведению в одну точку. Практически это можно осуществить с
помощью щелей (метод Юнга), зеркал (метод зеркал Френеля), преломляющих
тел (метод бипризмы Френеля) и т.д.
В качестве примера рассмотрим метод Юнга. Источником света служит
ярко освещенная щель S (рис.1.1), от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S1 и S2, параллельные щели S. Таким образом, щели
S1 и S2 играют роль когерентных источников. Интерференционная картина
12
(область ВС) наблюдается на экране Э, расl1
положенном на некотором расстоянии паралM
лельно S1 и S2. Юнгу принадлежит первое
S1
наблюдение явления интерференции.
l2
Интерференционная
картина
на
экране (см. рис. 1.4) имеет вид полос, параллельных щели. Если источник S излучает S2
Δ
монохроматический свет (одного цвета 
Э
l
одинаковой частоты ν), то интерференционная картина представляет собой чеРис. 1.5.
редование светлых и темных полос  это
Схема хода лучей
максимумы и минимумы интерференции.
От чего зависит результат интерференции в любой точке экрана? В каких
случаях волны будут гасить друг друга, в каких – усиливать?
Рассмотрим два случая:
1) свет распространяется в вакууме (n0 = 1);
2) свет распространяется в средах с разными показателями преломления
(n1 ≠ n2 ≠ 1).
1. Пусть оба когерентных луча от источников S1 и S2 проходят пути l1 и l2
до встречи в т. М экрана в вакууме (рис. 1.5). В этой случае l1 и l2 - геометрические пути лучей. Рассчитаем результат наложения двух синусоидальных когерентных волн в произвольной точке M экрана. Сделаем это для электрического

вектора E (не следует забывать о том, что в однородной среде интенсивность
света пропорциональна квадрату амплитуды вектора напряженности I ≈ E2).
Колебания, приходящие в точку М от источников S1 и S2, описываются
уравнениями:

2
E1  E01sin( t 
l1 ) ,
0

2
E2  E02sin (t 
l2 ) ,
0
(1.6)
где λ0  длина волны в вакууме.
По принципу суперпозиции волн амплитуда результирующего колебания
в т. М определяется формулой
E0 
для интенсивностей
2
2
E01
 E02
 2E01E02cos 1  2 
(1.7)
13
I  I1  I 2  2 I1 I 2 cos1   2  ,
где
1   t 
2
l1
0
и
2   t 
2
l2 
0
(1.8)
фазы складываемых колебаний.
Из выражения (1.7) следует, что величина амплитуды результирующего
колебания Е0, а, значит и интенсивности, зависит только от разности фаз (φ1–φ2)
складываемых колебаний.
Итак, волны называются когерентными, если в произвольной точке их
встречи разность фаз колебаний остается постоянной во времени.
При этом возможны два предельных варианта.
а) (φ1  φ2) = ±2kπ (k = 0, 1, 2, ...),
cos (φ1 – φ2) = 1; Е0 = Е01 + Е02 ; I  I1  I 2  2 I1 I 2 ,
(1.9)
т.е. амплитуда и интенсивность результирующего колебания максимальна (в
случае E01=E02 E0 =2E01,, a I = 4I01).
Из уравнений (1.6) находим разность фаз
1   2 
2
l 2  l1   2 l ,
0
0
(1.10)
где Δl = (l2 – l1 )  геометрическая разность хода волн от источников S1 и S2 до
т. M экрана (см. рис. 1.5).
Из формул (1.9) и (1.10) следует, что условие интерференционного максимума
l  2k
0
,
2
где k  порядок интерференционного максимума (k = 0, 1, 2, …,
наблюдают максимум в центре экрана).
б) (φ1 – φ2) = ± (2k + 1)π (k = 0, 1, 2, ...),
cos (φ1 – φ2) = – 1; Е0 = Е01 – Е02 ; I  I1  I 2  2 I1 I 2 ,
(1.11)
при k = 0
(1.12)
14
т.е. амплитуда результирующего колебания, а, следовательно, и интенсивность
– минимальна (в случае E01= E02 E0 = 0 и I = 0).
Из формул (1.10) и (1.11) следует условие интерференционного минимума

l  2k  1 0 ,
(1.13)
2
где k – порядок интерференционного минимума.
2. Если когерентные лучи проходят свои пути до точки М в разных средах: первый – путь l1 в среде с показателем преломления n1 , второй – путь l2, в
среде с показателем преломления n2, то условия образования максимумов и минимумов интерференции будут зависеть не от геометрической разности хода
Δl = (l2 – l1 ), а от оптической разности хода
ΔL = L2 – L1 = l2n2 – l1n1,
(1.14)
где L1, и L2 – оптические пути лучей 1 и 2, L1= l1 п1;
разность фаз складываемых волн
  1   2  
L2= l2n2. В этом случае
2
2
2
l 2 n2  l1 n1   2 L ,
L2 
L1 
2
1
0
0
(1.15)
где с – скорость света в вакууме, v – скорость света в среде; λ – длина волны,
λ = v/;  – частота. Для вакуума λ0 = с/, а для среды с показателем преломления n λ = λ0/n.
Приравняв поочередно (1.11) и (1.12) к (1.15), получим условие интерференционных максимумов:

L  2k 0 ,
(1.16)
2
и интерференционных минимумов:
L  (2k  1)
где k = 0, 1, 2, 3, … .
0
,
2
(1.17)
15
Итак, в тех местах на экране, до которых в оптической разности хода лучей укладывается четное число полуволн, колебания, приходящие от обоих источников, складываются, амплитуда удваивается, а интенсивность возрастает в
4 раза. В тех местах экрана, до которых в оптической разности хода укладывается нечетное число полуволн, колебания приходят в противоположной фазе и
полностью гасят друг друга.
П р и м е ч а н и я:
1. Из формулы (1.15) обнаруживается связь между разностью фаз и
оптической разностью хода:
2
 
L .
0
2. Монохроматическим называют излучение одной длины волны λ = соnst
(точнее узкого интервала длин волн). Такой свет воспринимается как одноцветный. Белый свет представлен набором длин волн от фиолетового до красного.
Если источник S излучает свет не монохроматический, а белый, то интерференционные максимумы имеют вид радужных полос (кроме центрального максимума, где k = 0). Это объясняется тем, что условие максимума интерференции (1.16) для данной длины волны выполняется только в определенной точке
экрана. Поэтому белый свет в результате интерференции разлагается в интерференционный спектр. В центре интерференционной картины, где k = 0, результат интерференции не зависит от длины волны λ .
Результат расчета интерференционной картины от двух когерентных источников можно привести на примере опыта Юнга. Щели S1 и S2 (рис. 1.6)
находятся на расстоянии d друг от
M
друга и являются когерентными
источниками света. Интерференl1
S1
ция наблюдается в произвольной
x
точке M экрана, расположенного
d/2
l2
параллельно обеим щелям на расd
стоянии L , причем L >> d . Начало
0
d/2
отсчета выбрано в т. О экрана,
расположенной симметрично отl
S2
L
Э
носительно щелей S1 и S2 .
Интенсивность в любой точРис. 1.6.
ке М экрана, лежащей на расстояСхема к расчету
интерференционной картины
нии х от точки 0, определяется
16
разностью хода Δ l = l2  l1 ( см. рис. 1.6).
Максимумы интенсивности будут наблюдаться при
xmax = ± kLλ0/d (k = 0, 1, 2, ...),
(1.18)
минимумы интенсивности – при
xmin = ±(2k+1)Lλ0/2d (k = 0, 1, 2, ...).
(1.19)
Расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами,
называемое шириной интерференционной полосы,
Δx = Lλ0/d .
(1.20)
Из формулы (1.20) видно, что ширина интерференционной полосы Δх не
зависит от порядка интерференции (величины k) и является постоянной для
данных L , d. и λ0 . По измеренным значениям L , d. и λ0 , используя (1.20), можно экспериментально определить длину световой волны λ0 .
1.2. Интерференция света в тонких пленках
Интерференцию света можно наблюдать не только в лабораторных условиях с помощью специальных установок и приборов, но и в естественных условиях. Так, легко наблюдать радужную окраску мыльных пленок, тонких пленок
нефти и минерального масла на поверхности воды, оксидных пленок на поверхности закаленных стальных деталей (цвета побежалости). Все эти явления
обусловлены интерференцией света в тонких прозрачных пленках, возникающей в результате наложения когерентных волн, возникающих при отражении
от верхней и нижней поверхностей пленки.
Исследование интерференции в тонких пленках позволяет определять
ряд практически важных величин – толщину пленки, её показатель преломления, температуру нагрева под закалку деталей, длину волны излучения и т.д.
Схема возникновения интерференции света в отраженном свете показана
на рис. 1.7. На пленку толщиной d падает плоская монохроматическая волна
(λ0 = соnst) под углом i. Предположим, что по обе стороны от пленки с показателем преломления n находится одна и та же среда (например, воздух с показателем преломления n0 =1).
Рассмотрим один луч, падающий на верхнюю поверхность пленки. На
поверхности пленки в точке О падающий луч разделится на два: первый (1) –
отразится от верхней поверхности пленки, второй (2) – преломится. Преломленный луч, дойдя до точки С, частично преломится в воздух, а частично отразится
и пойдет к точке В.
17
1
Э
А
n0
=1
n
i
i
О
i
2
В
r
r
r
d
С
Рис. 1.7.
Схема к расчету интерференции в тонких пленках
В этой точке он вновь частично отразится в пленку и частично преломится, выйдя в воздух под углом i. Лучи 1 и 2, образовавшиеся в результате
отражения от верхней и нижней поверхностей пленки, когерентны. Если на их
пути поставить собирательную линзу (глаз), то лучи сойдутся в одной из точек
М фокальной плоскости, образуя на экране Э интерференционную картину
(интерференция в отраженном свете).
Результат интерференции в точке М определится оптической разностью
хода лучей 1 и 2. Оптическую разность хода эти лучи набирают от точки О до
плоскости АВ , являвшейся фронтом вторичных (отраженных) лучей. Фронт АВ
перпендикулярен лучам 1 и 2.
Итак, оптическая разность хода лучей 1 и 2
 

L  OC  CB n   OA  0 n0 ,
2 

(1.21)
где п – показатель преломления пленки; n0 – показатель преломления воздуха,
n0= 1; а λ0/2 – длина полуволны, потерянной при отражении луча 1 в точке
О от границы раздела с оптически более плотной средой (n > n0).
Используя выражение (1.21) для оптической разности хода, условия
максимумов и минимумов интерференции, а также закон преломления, получим:
2d n 2  sin 2 i  2k  1
0
,
2
(1.22)
18
где k = 0, 1, 2, … (в этом случае отраженные лучи будут максимально усилены,
т.е. наблюдается максимум интерференции);
2d n 2  sin 2 i  2k 
0
,
2
(1.23)
(в этом случае наблюдается наибольшее ослабление отраженных лучей –
минимум интерференции).
При освещении пленки белым светом она окрашивается в какой-либо
определенный цвет, длина волны которого удовлетворяет максимуму интерференции. Следовательно, по цвету пленки можно оценивать её толщину.
Интерференция наблюдается также и в проходящем свете. Оптическая
разность хода (ΔL) для проходящего света отличается от ее значения для отраженного света на λ0/2. Следовательно, максимуму интерференции в отраженном свете для данной длины волны соответствует минимум интерференции в
проходящем, т.е. в отраженном и проходящем свете пленка окрашивается в дополнительные (до белого) цвета.
Возможность ослабления отраженного света вследствие интерференции в
тонких пленках широко используется в современных оптических приборах (фотоаппаратах, биноклях, перископах, микроскопах и т.д.) для улучшения их качества. Способ получения высокоотражающих покрытий и улучшения качества
оптических приборов получил название «просветления оптики».
Прохождение света через каждую преломляющую поверхность линзы,
например, через границу стекло  воздух, сопровождается отражением ~ 4 %
падающего потока (при показателе преломления стекла n = 1,5). Так как современные объективы содержат большое количество линз, потери светового
потока из-за отражений велики. В результате интенсивность прошедшего света ослабляется, и светосила оптического прибора уменьшается. Кроме того,
отражение от поверхностей линз приводит к возникновению бликов, что,
например, в военной технике, демаскирует местонахождение прибора. Для
устранения указанных недостатков осуществляют так называемое просветление
оптики. С этой целью на поверхности линз наносят тонкие пленки с показателем преломления, меньшим показателя преломления материала линз (1< n <
nст). При отражении света от границ раздела воздух  пленка и пленка  стекло
возникает интерференция когерентных лучей 1 и 2 (рис. 1.8).
Толщину пленки d и показатели преломления стекла nст и пленки ппл
подбирают так, чтобы при интерференции в отраженном свете лучи 1 и 2 гасили друг друга. Для этого их оптическая разность хода должна удовлетворять
условию (1.17). Так как потери полуволн происходят на обеих поверхностях
пленки, и свет падает нормально (угол падения i = 0), условие минимума в отраженном свете запишется так:
19
2dnпл  ( 2k  1 )
0
, (1.24)
2
где 2d · nпл - оптическая разность
хода лучей 1 и 2. Толщину пленки выбирают минимальной (k= 0).
Тогда
d
0
.
4nпл
(1.25)
1,2
1
2
n0=1
d
nпл
nст
Рис. 1.8.
Схема интерференции при отражении
света на границах раздела сред
Так как добиться одновременного
гашения всех длин волн спектра невозможно, то это обычно делается для зеленого цвета (λ0 = 550 нм), к которому человеческий глаз наиболее чувствителен
(в спектре излучения Солнца эти лучи имеют наибольшую интенсивность).
В отраженном свете объективы с просветленной оптикой кажутся окрашенными в красно-фиолетовый цвет. Это, разумеется, несколько искажает цветопередачу в изображении. Для улучшения характеристик просветляющего покрытия его делают из нескольких слоев, что «просветляет» оптические стекла
более равномерно по всему спектру.
При изучении интерференции света в тонких пленках различают полосы
равного наклона и равной толщины.
Из выражений (1.22, 1.23) следует, что для данных λ0 , d, и п каждому углу
падения лучей соответствует своя интерференционная полоса. Интерференционные линии, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами
равного наклона.
Если пленка имеет переменную толщину d ≠ соnst, а λ0 , n и i неизменны,
то на экране возникает система интерференционных полос, называемых полосами равной толщины. Каждая из полос возникает за счет отражения от мест
пленки, имеющих одинаковую толщину.
Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны R (рис. 1.9). В этом случае свет
падает нормально на плоскую поверхность линзы. При наложении лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей воздушного клина, возникают интерференционные полосы равной толщины, имеющие вид концентрических
окружностей (кольца Ньютона).
20
R
В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны λ0/2
при отражении от плоскопараллельной пластинки):

L  2d  0 ,
2
где d – ширина зазора. Из рис. 1.9 следует,
что
d
r
Рис. 1.9.
Схема интерференции
«кольца Ньютона»
R2 = r2 + (R – d)2 ,
где R – радиус кривизны линзы; r – радиус
кольца Ньютона (все точки кольца соответствуют одинаковой толщине d зазора). Учитывая, что d << R, получим d = r2/2R. Следовательно,
r 2 0
.
(1.26)
L 

R
2
Приравняв (1.26) к условиям максимума и минимума (1.22) и (1.23), получим
выражения радиусов светлых и темных колец Ньютона в отраженном свете:
R
для светлых колец
(1.27)
rkсв  2k  1 0 ,
2
для темных колец
rkт  kR 0 , k = 0, 1, 2, 3, …
(1.28)
Система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. В белом свете интерференционная картина изменяется: каждая светлая полоса превращается в спектр.
Кольца Ньютона можно наблюдать и в проходящем свете. При этом максимумы интерференции в отраженном свете соответствуют минимумам в проходящем и наоборот.
Измеряя радиусы колец Ньютона, можно определить λ0 (зная радиус кривизны линзы R ) или R (зная λ0 ).
Правильная форма колец Ньютона легко искажается при всяких, даже незначительных, дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней
поверхности пластины. Поэтому наблюдение формы колец Ньютона позволяет
осуществить быстрый и весьма точный контроль качества шлифовки линз и
плоских пластин, а также близость поверхности линзы к сферической форме.
21
Последнее очень важно при изготовлении стекол для очков и линз большого
диаметра для телескопов.
1.3. Применение явления интерференции света. Интерферометры
Интерференционная картина очень чувствительна к разности хода
интерферирующих волн: ничтожно малое изменение разности хода вызывает заметное смещение интерференционных полос на экране. На этом основано устройство интерферометров – приборов, служащих для точного
(прецизионного) измерения длин, углов, показателей преломления и плотности прозрачных сред и т.д. В промышленности интерферометры широко
используются для контроля чистоты обработки поверхностей металлических деталей (с точностью до 0,01 мкм).
Все интерферометры основаны на одном и том же принципе – делении
одного луча на два когерентных – и различаются лишь конструктивно.
М2
Интерферометр
Майкельсона.
Упрощенная схема этого интерферометра
представлена на рис. 1.10. Монохроматический свет от источника S падает под
2
углом 45° на плоскопараллельную стекР2
1
0
лянную пластинку Р1. Сторона пластин1
2
ки, удаленная от S , посеребренная и поМ1
лупрозрачная, разделяет луч на две части:
Р1
луч 1 – отражается от посеребренного
слоя и луч 2 – проходит через него. Луч
S
1 отражается от зеркала M1 и, возвращаясь обратно, вновь проходит через плаРис. 1.10.
стинку P1 (луч 1'). Луч 2 идет к зеркалу
Схема
интерферометра
Майкельсона
М2 , отражается от него, возвращается обратно и отражается от пластинки Р1 в т.
О (луч 2'). Так как луч 1 проходит пластинку Р1 дважды, то для компенсации
возникающей разности хода на пути луча 2 ставится прозрачная пластинка P2
(точно такая же, как и P1).
Лучи 1′ и 2′ когерентны, следовательно, наблюдается интерференция, результат которой будет зависеть от оптической разности хода луча 1 от точки 0
до зеркала М1 и луча 2 от точки 0 до зеркала М2. При перемещении одного из
зеркал на расстояние λ0/4 разность хода обоих лучей изменится на λ0/2 и произойдет смена освещенности зрительного поля (смена максимумов и минимумов). Следовательно, по изменению интерференционной картины можно судить о малом перемещении одного из зеркал. Поэтому интерферометр Майкельсона применяется для точных (~ 10-9 м) измерений длин: сравнения и проверки точности изготовления технических эталонов длины, изменения длины
тела при нагревании (интерференционный дилатометр). Применяя интерферо-
22
метр, Майкельсон (американский физик) впервые сравнил международный эталон метра с длиной световой волны. Самый известный эксперимент, выполненный Майкельсоном (совместно с Морли) в 1887 г., ставил целью обнаружить
зависимость скорости света от скорости движения инерциальной системы координат. В результате было установлено, что скорость света одинакова во всех
инерциальных системах, что послужило экспериментальным обоснованием для
создания специальной теории относительности Эйнштейна.
Советский физик академик В.П. Линник использовал принцип действия
интерферометра Майкельсона для создания микроинтерферометра (комбинация
интерферометра и микроскопа), служащего для контроля чистоты обработки
поверхности металлических изделий. Таким образом, интерферометр Линника
является прибором, предназначенным для визуальной оценки, измерения и фотографирования высот микронеровностей поверхности вплоть до 14-го класса
чистоты поверхности.
Другим, очень чувствительным оптическим прибором является интерферометр Рэлея. Он применяется для определения незначительных изменений показателя преломления прозрачных сред в зависимости от давления, температуры, примесей, концентрации раствора и т.д. Интерферометр Рэлея позволяет
измерять изменение показателя преломления c очень высокой точностью – Δn
~ 10-6 .
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое свет с точки зрения современной волновой теории?
2. Какими явлениями подтверждается волновая природа света?
3. Какие физические величины характеризуют световую волну?
4. Перечислите и дайте определение пространственных характеристик
световой волны.
5. Сформулируйте принцип Гюйгенса.
6. Какой световой луч называется монохроматическим?
7. Что такое "белый свет"?
8. Приведите примеры источников белого света; монохроматического
света.
9. В чем заключается явление интерференции света?
10. Необходимые условия возникновения явления интерференции света.
11. Какие световые лучи называются когерентными?
12. Можно ли наблюдать интерференцию от естественных источников
света (например, двух лампочек)? Если нет, то почему?
13. На каком принципе основаны все методы получения когерентных источников света? Перечислите методы получения когерентных источников света.
14. В чем заключается метод Юнга для получения когерентных источников света?
23
15. Что такое геометрическая длина пути светового луча, оптическая
длина пути луча?
16. Какие величины являются определяющими для результата интерференции от двух когерентных источников света?
17. Какова зависимость разности фаз от оптической разности хода двух
интерферирующих световых лучей?
18. При каких условиях наблюдаются максимумы и минимумы интерференции света (выразить через разность фаз и через оптическую разность
хода)?
19. Чем отличаются интерференционные картины, полученные от источников монохроматического и белого света? Чем объясняется это различие?
20. Как изменяется фаза колебаний при отражении луча: а) от среды оптически более плотной; б) от среды оптически менее плотной? Как это учитывается при определении оптической разности хода двух когерентных лучей?
21. Какие приборы называются интерферометрами?
22. Какие величины можно измерять с помощью интерферометров?
23. Чем объясняется явление интерференции в тонких пленках?
24. Чем объясняется окрашивание пленок при наблюдении их в отраженном (проходящем) естественном свете?
25. Что такое "просветление оптики"? Где применяется это явление?
26. Что такое "кольца” Ньютона?
27. Изобразите схему получения "колец Ньютона".
28. Какие физические величины определяются методом "колец Ньютона"?
29. Какие физические величины можно измерить, наблюдая интерференцию света в тонких пленках?
2. ДИФРАКЦИЯ
2.1. Явление дифракции света. Условия ее наблюдения.
Принцип Гюйгенса – Френеля
В геометрической оптике широко пользуются понятием светового луча,
т.е. узкого пучка света, распространяющегося прямолинейно. Границы тени на
экране за непрозрачным препятствием определяются лучами света, которые
проходят мимо препятствия, касаясь краев его поверхности.
В то же время прямолинейность распространения света не столь очевидна
с позиций волновой теории Гюйгенса. Иначе говоря, волны должны огибать
препятствия. Это происходит при освещении небольших непрозрачных препятствий или при прохождении света сквозь достаточно узкие щели и отверстия. В
этом случае на экране, установленном позади препятствий или отверстий, вме-
24
сто четко разграниченных областей света и тени наблюдается система максимумов и минимумов освещенности.
Все явления, связанные с огибанием световыми волнами препятствий и
проникновением света в область геометрической тени, носят название дифракции света. Слово дифракция происходит от латинского слова diffractus  преломленный.
В более широком смысле дифракцией называют совокупность явлений,
наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями
и связанных с отклонениями его распространения от законов геометрической
оптики.
Дифракционные явления присущи всем волновым процессам, но особенно отчетливо проявляются лишь в тех случаях, когда длины волн излучений сопоставимы с размерами препятствий. Так, звуковые волны хорошо слышны за
углом дома, т.е. звуковая волна его огибает. Для наблюдения же дифракции
световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено
малостью длин световых волн (λ<1 мкм).
Как объяснить огибание световыми волнами препятствий и появление
системы максимумов и минимумов освещенности вместо размытого изображения препятствия на экране? По принципу Гюйгенса каждая точка волновой
поверхности является источником вторичных волн, распространяющихся вперед по всем направлениям, в том числе и в область геометрической тени препятствия. По идее Френеля появление максимумов и минимумов интенсивности является результатом интерференции лучей от большого числа вторичных
(когерентных) источников (принципа Гюйгенса – Френеля).
Более подробно сущность принципа Гюйгенса – Френеля можно изложить так. Всю волновую поверхность S, возбуждаемую каким-либо источником
S0 , можно разбить на малые участки с равными площадями S , которые являются системой вторичных источников, дающих вторичные волны. Эти участки
волновой поверхности конечных размеров, играющие роль самостоятельных
вторичных источников, получили название зон Френеля. Поэтому, поставив на
пути волн непрозрачную преграду с малым отверстием, получим в отверстии
фиктивный источник, излучающий вторичную волну, распространяющуюся
также и в область геометрической тени. Вторичные источники когерентны
между собой и могут интерферировать. Мощности излучения всех вторичных
источников  участков волновой поверхности с одинаковыми площадями одинаковы. Каждый вторичный источник (с площадью S) излучает пре
имущественно в направлении внешней нормали n к волновой поверхности в
этой точке. Амплитуда вторичных волн уменьшается с увеличением угла α

между направлением на интересующую нас точку и нормалью n к S .
Амплитуда равна нулю при α = π/2. Чем больше расстояние от вторичного источника до точки (в которой наблюдают результат дифракции), тем меньше амплитуда.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.
25
2.2. Метод зон Френеля. Прямолинейность распространения света
Метод Френеля объясняет прямолинейность распространения света в
свободной от препятствий однородной среде. Чтобы показать это, рассмотрим
действие сферической световой волны от точечного источника S0 в произвольной точке пространства Р (рис.2.1). Волновая поверхность симметрична относительно прямой S0P .
Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности. Она разбивается на кольцевые зоны ∆S (см. рис.2.1), построенные так, что
расстояния от краев соседних зон до точки P отличаются на  2 ( длина световой волны в той среде, в которой распространяется волна). Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон, противоположны
по фазе, так как разность хода от этих зон до точки Р равна  2 . При наложении эти колебания взаимно ослабляют друг друга. Результирующая амплитуда
в точке Р выразится суммой:
А = А1 – А2 + А3 – А4 + …
(2.1)
Величина амплитуды Аk зависит от площади ∆Sk k-й зоны и угла αk между
внешней нормалью к поверхности зоны и прямой, направленной из этой точки
в точку Р .

n

b
b+/2
k
b+2
/2
S0
P
S
b+4
/2
b+3
/2
Рис. 2.1.
Схема формирования зон Френеля
Можно показать, что площадь ∆S не зависит от номера зоны. Площади
всех зон Френеля равновелики и мощности излучения вторичных источников
одинаковы. Вместе с тем с увеличением k возрастает угол αk между нормалью к
поверхности и направлением в точку Р, что приводит к уменьшению интенсивности излучения kй зоны в данном направлении, т.е. к уменьшению амплитуды Аk по сравнению с амплитудами предыдущих зон. Амплитуда Аk уменьшается также вследствие увеличения расстояния от зоны до точки Р с ростом α.
26
В итоге
А1  А2  А3  А4  .....  Aк  ....
Вследствие большого числа зон убывание Аk носит монотонный характер
и приближенно можно считать, что
A  Ak 1
Ak  k -1
.
(2.2)
2
Переписав (2.I) в виде:
A
A  A
A 
A1  A1

 A2  3    3  A4  5   ...,
2  2
2   2
2 
(2.3)
обнаруживаем, что согласно (2.2) выражения в скобках равны нулю и уравнение (2.1) приводится к виду A  A1 2 .
Полученный результат означает, что, колебания, вызываемые в точке Р
полностью открытой сферической волновой поверхностью, имеют такую же
амплитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны Френеля. Следовательно, свет от источника S0 в точку Р распространяется в пределах очень узкого прямого канала, т.е. прямолинейно. Расчеты показывают,
что при радиусе сферической волновой поверхности S, равном r0 = 0,1 м, и
7
длине световой волны   5  10 м радиус центральной зоны Френеля порядка
1,610-4 м, т.е. в результате интерференции уничтожается действие всех зон,
кроме первой.
2.3. Дифракция на простейших преградах
Различают два случая дифракции: дифракцию Френеля (дифракция в расходящихся лучах) и дифракцию Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах). Рассмотрим несколько примеров дифракции Френеля от простейших преград.
Дифракция на круглом отверстии
27
Пусть волна от источника S0 встречает на пути непрозрачный экран с
круглым отверстием ВС (рис. 2.2). Результат дифракции наблюдается на экране
Э, параллельном плоскости отверстия. Определим дифракционный эффект в
точке Р экрана, расположенной против центра отверстия. Для этого достаточно
построить на открытой части волновой поверхности ВС зоны Френеля из точки
C
Э
S0
I
I
P
B
k  четk  нечетное
ное
Рис. 2.2.
Схема дифракции на круглом отверстии
Р . Если в отверстии ВС укладывается k зон Френеля, то амплитуда А результирующих колебаний в точке Р зависит от четности или нечетности числа k , а
также от того, насколько велико абсолютное значение этого числа. Действительно, из (2.1) вытекает, что в точке Р амплитуда суммарного колебания
A
A  A
A 
A1  A1

 A2  3    3  A4  5   ...,
2  2
2   2
2 
или, учитывая (2.2) и тот факт, что амплитуды двух соседних зон мало отличаются по величине и можно считать Ak-1  Аk , имеем
A
A1 Ak

,
2
2
(2.4)
где плюс соответствует нечетному числу зон k, укладывающихся на отверстии,
а минус  четному. При небольшом числе зон k амплитуда Аk мало отличается
от А1 . Тогда результат дифракции в точке Р зависит от четности k : при нечетном k наблюдается максимум дифракции, при четном k – минимум. Максимумы и минимумы будут тем больше отличаться друг от друга, чем ближе Аk к
А1, т.е. чем меньше k. Если отверстие открывает только центральную зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна А1 . Она в два раза больше той, которая
28
имеет место при полностью открытом волновом фронте, а интенсивность в
этом случае в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды.
При неограниченном увеличении числа зон k амплитуда Аk
стремится к нулю (Аk << А1). Никакой интерференционной картины
на экране не будет - свет в этом случае практически распространяется
так же, как и при отсутствии экрана с отверстием, т.е. прямолинейно.
Отсюда вытекает вывод о том, что следствия из волновых представлений и представлений о прямолинейном распространении света
начинают совпадать тогда, когда число открытых зон велико.
Итак, колебания от четных и нечетных зон Френеля взаимно ослабляют
друг друга. Следовательно, интенсивность света можно увеличить во много раз,
если изготовить сложный экран - так называемую зонную пластинку (стеклянную пластинку с непрозрачным покрытием), которая закрывает все четные (или
нечетные) зоны Френеля. Зонная пластинка действует подобно собирательной
линзе. Волновой фронт, профильтрованный через зонную пластинку, дает в
точке Р (см. рис. 2.1) результирующую амплитуду, выражаемую соотношением
А = А1 + А3 + А5 + …,
или
А = А2 + А4 + А6 + …
т.е. значительно
поверхности.
большую,
чем
при
полностью
открытой
волновой
Ещё больший эффект получится, если каким-либо образом изменить фазы волн, приходящих от соседних зон. Этого можно достичь, изготовив ступенчатую зонную пластинку. Эта пластинка изменяет фазы колебаний от соседних
зон на противоположные, и соседние зоны вместо того, чтобы ослаблять, усиливают друг друга. По сравнению с зонной пластинкой она увеличивает амплитуду колебаний в два раза, а интенсивность  в четыре раза. Такая пластинка
называется «фазовой зонной пластинкой». После фазовой зонной пластинки
амплитуда суммарной волны
А = А1 + А2 + А3 + А4 + … .
Дифракция на круглом диске
При размещении между источником S0 и экраном круглого непрозрачного диска CB закрывается одна или несколько первых зон Френеля (рис.2.3). Если диск закроет k зон Френеля, то в точке Р амплитуда суммарной волны:
29
Ak 1  Ak 1
A 

 Ak  2  Ck 3  Э...
2
2 
 2
S0
и, так как выражения в скобках можно
P
принять равными нулю, аналогично
B
(2.3) получаем:
A
A  k1 .
2
Рис. 2.3.
A  Ak 1  Ak  2  Ak 3  ... 
I
Схема дифракции на круглом диске
Таким образом, в случае круглого непрозрачного диска в центре картины (точка Р ) при любом (как четном, так и нечетном) k получается светлое
пятно.
Если диск закрывает лишь часть первой зоны Френеля, тень на экране отсутствует, освещенность во всех точках такая же, как и при отсутствии преграды. Интенсивность центрального максимума ослабевает при увеличении размеров диска (Ak+1 << A1 ). Если диск закрывает много зон Френеля, интенсивность
света в области геометрической тени практически всюду равна нулю и лишь
вблизи границ наблюдается слабая интерференционная картина. В этом случае
можно пренебречь явлением дифракции и пользоваться законом прямолинейного распространения света.
Дифракция Фраунгофера
До сих пор мы имели дело c дифракцией в расходящихся лучах сферической волны. С практической и теоретической точек зрения очень важно рассмотреть случай дифракции в параллельных лучах (плоская волна). Этот вид
дифракции был изучен немецким физиком И.Фраунгофером. Поэтому дифракция в параллельных лучах получила название дифракции Фраунгофера.
Дифракция Фраунгофера наблюдается в том случае, когда источник света
и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызывающего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить на практике, достаточно источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину наблюдать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием. При прохождении света через отверстие неизменной
формы и размеров результат дифракции Фраунгофера изменяется только в зависимости от изменения спектрального состава излучения, даваемого источником S0 . Поэтому дифракционные явления в параллельных лучах могут использоваться для спектрального анализа излучения исследуемых веществ. Этим не
ограничивается практическая важность дифракции Фраунгофера. Дело в том,
что дифракционная картина возникает всегда, когда световой пучок ограничивается отверстием, поэтому теорию дифракции следует применять при изучении действия оптических приборов.
30
Дифракция на одной щели
Практически щель представляется прямоугольным отверстием, длина которого знаа
чительно больше ширины а. Свет дифрагирует вправо и влево от щели (рис 2.4.), поx
E
F
x
этому дифракционная картина (полоска с
максимумами и минимумами) на экране
D

L
симметрична относительно точки С0.
О
В соответствии c принципом Гюйгенса
- Френеля точки щели являются вторичными
источниками волн, колеблющимися в одной
x
фазе, так как плоскость щели совпадает с
С Со С-
Э
волновой поверхностью падающей волны.
Пучок параллельных лучей (плоская
Рис. 2.4.
волна) проходит через отверстие в непроСхема дифракции на одной
зрачном экране (щель). Линза L собирает все
щели
лучи, прошедшие через отверстие, в различных точках своей фокальной плоскости, где
расположен экран наблюдения.
Лучи, дифрагирующие под одним углом,
линза L собирает в одной точке фокальной плоскости.
Разобьем площадь щели на зоны Френеля (ряд узких полосок равной ширины, параллельных образующей щели). Построим зоны Френеля для точки
Сφ. Оптические длины путей от DF до точки Сφ одинаковы. Сколько полудлин
волн  2 укладывается в отрезке ED, cтолько зон Френеля разместится на ширине щели а. Вследствие дифракции световые лучи отклоняются от прямолинейного распространения на углы φ ( 0 < φ > π/2 ). Это отклонение симметрично относительно осевой линии ОС0 вправо и влево (на рис.2.4 точки С+φ и С-φ),
причем разность хода от соседних зон равна λ /2 . Тогда результат дифракции в
точке С-φ определится числом зон Френеля, укладывающихся в щели для данной точки.
Если число зон четное (z = 2k), в точке С-φ наблюдается минимум дифракции, если z  нечетное (z = 2k +1), в точке С-φ наблюдается максимум дифракции. Число зон Френеля, укладывающихся на щели FE , определяется тем,
сколько раз в отрезке ED содержится λ/2, т.е. z = ED/(λ/2) . Отрезок ED, выраженный через ширину щели а и угол дифракции φ, запишется как ED = а sin φ.
В итоге для максимумов дифракции получаем условие

asin  2k  1 ,
2
(2.5)
31
для минимумов дифракции
I

Io
asin  2k  ,
2
(2.6)
где k = 1, 2, 3, ...  целые числа.
Величина k, принимающая значения чисел натурального ряда,
называется порядком дифракционного максимума. Знаки "+" и "–" в
формулах (2.5) и (2.6) соответРис. 2.5.
ствуют лучам света, дифрагируюРаспределение интенсивности
щим на щели под углами +φ и –φ.
света2λпри дифракции
одной щели
λ 0 λ на 2λ


В направлении φ = 0 наблюдается
a
a
sin 
a
a
самый интенсивный центральный
максимум нулевого порядка, ибо колебания от всех зон Френеля приходят в
точку С0 в одной фазе. На рис. 2.5 приведена кривая распределения интенсивности света в функции sin φ при дифракции на одной щели.
Вид дифракционной картины существенно зависит от того, каким светом
освещается щель: монохроматическим или белым. В случае монохроматического света дифракционная картина на экране представляет собой простое
чередование светлых и темных полос.
В случае белого света, как это видно из формул (2.5), (2.6), положение
центрального максимума (φ = 0) не зависит от длины волны и, следовательно,
является общим для всех длин волн. Он имеет вид белой полосы с радужной
окраской по краям, что соответствует выполнению условия a sin φ = ± λ/2 для
разных длин волн (на ширине щели укладывается одна зона Френеля). Дифракционные максимумы первого, второго и т.д. порядков представляют собой дифракционные спектры, обращенные к центру фиолетовой частью [φ = arc sin (2k
+1)λ/2а]. Интенсивность дифракционных максимумов по мере удаления от центра экрана быстро убывает. Расчеты показывают, что интенсивности центрального и последующих максимумов относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : ... ,
т.е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме.
Дифракция на дифракционной решетке
Рассмотрим дифракцию на одномерной дифракционной решетке, так как
этот вид дифракции находит широкое применение во многих методах спектрального анализа.
Дифракционная решетка представляет собой систему большого числа
одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной
плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине.
Изготавливается путем нанесения параллельных штрихов на поверхность стекла с помощью делительных машин. Эти места являются, таким образом, практически непрозрачными промежутками между неповрежденными частями пла-
32
C

E F
D

x
а в
d
L2
Э
C
Co
Рис. 2.6.
Схема дифракции на решетке
стинки, которые играют роль щелей. Число
штрихов на 1 мм определяется областью спектра исследуемого излучения – от 300 мкм в
инфракрасной области до 1200 мкм – в ультрафиолетовой).
Итак, имеется система из N параллельных щелей с шириной каждой цели a и расстоянием между соседними щелями b (рис. 2.6).
Сумма a + b = d называется периодом, или постоянной дифракционной решетки. На решетку нормально падает плоская монохроматическая волна. Требуется исследовать интенсивность света, распространяющегося в направлении, составляющем угол φ с нормалью к пло-
скости решетки.
Кроме распределения интенсивности света вследствие дифракции на
каждой щели, нужно учесть интерференцию между N пучками (перераспределение световой энергии за счет интерференции волн от N щелей  когерентных источников). Очевидно, минимумы будут на прежних местах, ибо
условие минимума дифракции для всех щелей одинаково. Эти минимумы называются главными минимумами. Они соответствуют таким углам φ , для которых Аφ = 0, т.е. свет от разных частей каждой щели полностью гасится. В этом
направлении ни одна щель не дает света. Условие главных минимумов
asin   2k  2 совпадает с условием (2.6).
К главным минимумам, создаваемым каждой щелью в отдельности, добавляются минимумы, возникающие в результате интерференции света, прошедшего через различные щели. Появляются добавочные минимумы в областях
дифракционных максимумов. Внешне это проявляется в том, что широкие полосы, создаваемые одной узкой щелью, покрываются рядом более тонких полос, вызванных интерференцией лучей, исходящих от разных щелей: первой и
второй, первой и третьей и т.д. Чем больше щелей, тем больше добавочных минимумов может возникнуть. Так как общий световой поток остается неизменным, происходит усиление световых потоков около направлений, удовлетворявших условиям максимумов при интерференции от разных щелей за счет
уменьшения световой энергии в других направлениях. На рис. 2.7 для примера
показано распределение интенсивности света и расположение максимумов и
минимумов в случае двух щелей.
Воспользуемся методом Френеля. В одном и том же направлении все
щели излучают свет совершенно одинаково. Результат интерференции зависит
от оптической разности хода в сходственных точках двух соседних щелей до
точки С-φ, на экране. Для всех сходственных точек эта разность хода одинакова
и равна d sin φ. Если
33
I
sin

sin 

2λ
a

λ
a
λ
a
0
2λ
a
Рис. 2.7.
Распределение интенсивности света после дифракционной решетки
dsin   2k

,
2
(2.7)
колебания от соседних щелей взаимно усиливают друг друга, и в точке С-φ
наблюдается максимум дифракции. Амплитуда суммарного колебания в этих
точках экрана максимальна:
Аmax ≈ NAφ,
где Aφ  амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом φ.
Интенсивность главного максимума
I max  N 2 A2  N 2 I  ,
(2.8)
поэтому формула (2.7) определяет положение главных максимумов интенсивности. Число k дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка один и расположен в точке С0; максимумов первого, второго и т.д. порядков по два и расположены они симметрично относительно С0 , на что указывает
знак "±".
Кроме главных максимумов, имеется большое число более слабых побочных максимумов, разделенных добавочными минимумами. Побочные максимумы значительно слабее главных максимумов. Расчет показывает, что интенсивность побочных максимумов не превышает 1/23 интенсивности ближайшего главного максимума. В главных максимумах амплитуда суммарного колебания в N раз, а интенсивность в N2 раз больше, чем в соответствующем месте
дает одна щель. Увеличение максимумов происходит также за счет того, что в
случае решетки отдельные яркие главные максимумы разделены темными областями добавочных минимумов и очень слабых побочных максимумов. В итоге происходит резкое сужение, дифракционных максимумов (пропорционально
34
~ 1/N), которые становятся тонкими и яркими. Такие яркие линии, четко локализованные в пространстве, легко обнаруживаются и могут быть использованы
для спектроскопических исследований.
По мере удаления от центра экрана интенсивность дифракционных максимумов убывает (увеличивается расстояние от источников). Поэтому не удается наблюдать все возможные дифракционные максимумы.
Заметим, что количество дифракционных максимумов, даваемых решеткой по одну сторону от центра экрана, определяется условием φ = π/2  максимальный угол дифракции; sin φ < 1, откуда с учетом (2.8)
k max 
d
.

(2.9)
При этом не следует забывать, что k  целое число.
Положение главных максимумов зависит от длины волны λ. Поэтому при
освещении дифракционной решетки белым светом все максимумы, кроме центрального (k = 0), разложатся в спектр, обращенный фиолетовым концом к центру дифракционной картины. Таким образом, дифракционная решетка может
служить для исследования спектрального состава света, т.е. для определения
частот (или длин волн) и интенсивности всех его монохроматических компонент. Применяемые для этих целей приборы называются дифракционными
спектрографами, если исследуемый спектр регистрируется с помощью фотопластинки, и дифракционными спектроскопами, если спектр наблюдается визуально.
Угловая дисперсия дифракционной решетки
Качество дифракционной решетки определяется двумя характеристиками: угловой дисперсией (D) и разрешающей силой (разрешающей способностью R).
ДР
L
 

+

Рис. 2.8.
Схема к характеристикам
дифракционной решетки
Основное назначение дифракционной
решетки  установление длины волны исследуемого излучения. Так как положение
спектральных линий задается углом, определяющим направление лучей (см. уравнение
(2.7)), целесообразно ввести угловую дисперсию D:
D

,

(2.10)
где ∆φ  угловое расстояние между спек-
35
тральными линиями, отличающимися по длине волны на ∆λ (рис.2.8); D  угловое расстояние между двумя линиями, отличающимися по длине волны на
о
о
1 А (1 А =10-10 м).
Дифференцируя (2.7) слева по φ, а справа по λ, находим, что
d cos   d  k d , откуда
k
D
.
d cos 
Чем меньше период решетки d и чем выше порядок спектра k , тем больше угловая дисперсия. В пределах небольших углов (cos φ ~1 ) можно положить
D
k
.
d
(2.11)
Из выражения (2.11) следует, что угловая дисперсия прямо пропорциональна порядку дифракции k и обратно пропорциональна расстоянию между
соседними штрихами (периодом решетки) d . Следовательно, для увеличения
дисперсии необходимо увеличивать число штрихов на единицу длины. Этим
объясняется необходимость изготавливать дифракционные решетки с возможно
большим числом штрихов на 1 мм ее ширины.
Разрешающая сила дифракционной решетки
Большая дисперсия оптических приборов (в том числе дифракционной
решетки) является необходимым, но не
достаточным условием для раздельного
наблюдения двух близлежащих линий. В
зависимости от крутизны кривой интенсивности соседние максимумы длин
волн λ1 и λ2 могут наблюдаться как два
самостоятельных или как один максимум. Как видно из рис. 2.9, при одинаковой угловой дисперсии линий λ1 и λ2
возможность их разрешения (раздельно1 2
1 2
го восприятия) различна. Так, на рис. 2.9
слева минимум между линиями λ1 и λ2 ,
Рис. 2.9. Схемы к определению
отсутствует, и эти линии не различаются
разрешающей способности
решетки
как самостоятельные, а на рис. 2.9
справа имеются наблюдаемые минимумы между линиями λ1 и λ2.
36
Чтобы охарактеризовать способность прибора при данной дисперсии различать две близлежащие линии, вводится понятие разрешающей силы R. Для
количественной характеристики этого понятия нужно ввести критерий разрешения. Согласно Рэлею, две близлежащие спектральные линии с равными интенсивностями и симметричными одинаковыми контурами разрешимы, если
максимум одной длины волны λ1, совпадает с минимумом другой и наоборот.
При удовлетворении этого условия интенсивность «провала» между максимумами составляет 80 % интенсивности каждой линии, что является достаточным
для раздельного наблюдения линий λ1 и λ2. Нарушение критерия Рэлея приводит к наблюдению одной линии вместо двух.
Если разность длин волн | λ2 – λ1 | между двумя соседними максимумами,
для которых выполняется критерий Рэлея, обозначить через ∆λ , а среднюю
длину волны, соответствующую центру провала между максимумами, – через λ,
то в качестве количественной характеристики разрешающей силы можно взять
величину

.
(2.12)
R

Таким образом, разрешающей силой R дифракционной решетки называется величина, обратная минимальной разности длин волн ∆λ (взятой около некоторой длины волны λ), которые разделены (разрешены) данной решеткой.
Согласно условию Рэлея, а также (2.7) разрешение линий имеет место при
R = k N,
(2.12)
где k  порядок дифракционного максимума; N  общее число щелей решетки.
Из выражения (2.12) видно, что чем больше число щелей решетки N , тем
больше её разрешающая сила (разрешающая способность). При заданном числе
щелей R увеличивается при переходе к спектрам высших порядков. Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей способностью (до 2105 ).
Дифракция на пространственной решетке
Дифракция света наблюдается не только на плоской одномерной решетке,
но и на двумерной решетке (штрихи нанесены во взаимно перпендикулярных
направлениях) в одной и той же плоскости. Но наибольший практический интерес представляет дифракция на пространственных (трехмерных) решетках. В
качестве пространственных дифракционных решеток могут быть использованы
кристаллические тела (например, монокристаллы), так как в них неоднородности (атомы, ионы) регулярно повторяются в трех направлениях (рис. 2.10). Этот
случай дифракции привел Лауэ (1912 г.) к открытию метода исследования кристаллов при помощи дифракции рентгеновских лучей.
37
1
1
2
2
А


C
А
 
В
d
F
E
D
В
Рис. 2.10.
Схема к расчету дифракции
рентгеновских лучей в кристаллах
Действительно, для того, чтобы решетка могла эффективно разложить излучение в спектр, её постоянная d должна быть по порядку величины примерно
такой же, как и длина волны λ. Для оптической области излучения  это решетка c периодом d  10-6 м. В природе существуют естественные пространственные структуры с периодом  10-10 м. Это кристаллы, у которых атомы, ионы или
молекулы расположены упорядоченно и образуют пространственную периодическую структуру, напоминающую дифракционную решетку. Период кристаллической решетки соизмерим с длинами волн рентгеновской области спектра.
Просвечивая кристаллы рентгеновскими лучами, можно определить период
кристаллической решетки с помощью явления дифракции на пространственной
структуре. Таким образом, был разработан структурный анализ кристаллических образований. С другой стороны, метод Лауэ дал возможность определять
длину волны рентгеновских лучей, если известна кристаллическая структура
той решетки, которая служит дифракционной. Метод явился основой спектроскопии рентгеновских лучей, позволяющей установить важнейшие особенности строения атома.
В 1913 году русский физик Г.В. Вульф и англичанин У.Л. Брэгг предложили простой метод расчета дифракции рентгеновских лучей в кристаллах.
Направления, в которых получаются дифракционные максимумы, определяются условием:
2d  sin   k ,
(2.13)
где d – период структуры,  – угол скольжения падающих лучей.
Метод позволяет исследовать спектральный состав рентгеновского излучения, если известны расстояния между отражающими плоскостями АА и ВВ
кристалла (рентгеновская спектроскопия). И, наоборот, изучать структуру кри-
38
сталлов (определять расстояние между плоскостями, тип кристаллической решетки и т.д.), если известна длина волны монохроматического рентгеновского
излучения (рентгеноструктурный анализ).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. В чем заключается явление дифракции света?
2. При каких условиях наблюдается дифракция света?
3. Сущность принципа Гюйгенса - Френеля.
4. Сущность метода зон Френеля. Что такое зона Френеля?
5. Как c помощью метода зон Френеля объясняется прямолинейное распространение света?
6. При каких условиях возникает дифракция Френеля?
7. При каких условиях возникает дифракция Фраунгофера?
8. Условия образования максимумов и минимумов при дифракции от
одной щели. Что означает величина k в формулах максимумов и минимумов
дифракции?
9. Изобразите графически распределение интенсивности света на экране
при дифракции на одной щели. Дайте пояснения.
10. Какой вид имеют дифракционные максимумы при освещении щели:
а) монохроматическим светом, б) белым светом? Дайте пояснения.
11. Какое устройство называется дифракционной решеткой?
12. Перечислите характеристики дифракционной решетки.
13. Что называют периодом (постоянной) дифракционной решетки? Как
вычислить период дифракционной решетки, зная число штрихов на единицу
длины?
14. Какую величину называют угловой дисперсией дифракционной решетки? Как увеличить угловую дисперсию дифракционной решетки?
15. Какую величину называют разрешающей силой (разрешающей способностью) дифракционной решетки? Как увеличить разрешающую способность дифракционной решетки?
16. Напишите условия образования главных максимумов и главных минимумов при дифракции на дифракционной решетке.
17. В чем преимущества дифракционной решетки перед щелью?
18. От каких параметров зависит яркость и ширина дифракционного максимума при дифракции на решетке? От чего зависит общее число дифракционных максимумов, полученных на экране за решеткой?
19. Сущность спектрального анализа. Какие характеристики определяются с его помощью?
20. Где применяется явление дифракции рентгеновских лучей? Какие
физические характеристики определяются с помощью этого явления?
39
3. ПОЛЯРИЗАЦИЯ
3.1. Естественный и поляризованный свет
Явление поляризации света  это третье (после интерференции и дифракции) явление, подтверждающее волновую природу света. Но в отличие от
предыдущих явлений оно присуще только поперечным волнам.
Как было показано в теории Максвелла, свет  это электромагнитная волна,
 в которой векторы напряжённостей электрического и магнитного полей
E , H взаимно перпендикулярны и расположены перпендикулярно вектору

V
скорости
распространения
волны
(перпендикулярно лучу). Векторы
 

E , H и v образуют правовинтовую систему (рис. 1).
Электромагнитная волна представляет собой колебания электрического и
магнитного полей. Физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и
другие действия света на вещество вызываются электрическим полем. Поэтому

в дальнейшем мы будем говорить только о световом векторе E . Плоскость, в
которой происходят колебания этого вектора, называется плоскостью поляризации.
Излучение светящегося тела представляет собой волны, испускаемые его
атомами. Каждый атом в процессе излучения испускает цуг волн, причем в

каждом цуге плоскость колебаний вектора E ориентирована в пространстве
случайным образом. Цуги волн излучаются многими атомами в одном направлении. Накладываясь друг на друга, они образуют световую волну, в которой

колебания светового вектора E различных направлений представлены с равной вероятностью. Такой свет называется естественным. Следовательно, в есте
ственном свете колебания вектора E различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Если смотреть навстречу естественному лучу, то

мы увидим «звездочку» из векторов E , лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению распространения луча (рис. 3.1, а).
40
Свет,
в
котором
направления колебаний упо


E
рядочены каким-либо обраE
E
зом, называется поляризованным светом. Свет, в котором

колебания E одного направления преобладают над колебаниями других направлеа
б
в
ний, называется частично
поляризованным светом (рис.
Рис. 3.1.
3.1, в). Свет, в котором век
Схемы представления естественного (а), плоскотор E колеблется в одной
(б) и частично (в) поляризованного света
определенной
плоскости,
называется плоскополяризованным (или линейнополяризованным) (рис.3.1, б).

Упорядоченность может заключаться в том, что вектор E поворачивается вокруг луча, одновременно пульсируя по величине. В результате конец век
тора E описывает эллипс. Такой свет называется эллиптически поляризован
ным. Если конец вектора E описывает окружность, свет называется поляризованным по кругу (циркулярно-поляризованным).
Глаз человека не отличает естественный свет от поляризованного. Зрительное ощущение вызывает только интенсивность света I.
Интенсивностью световой волны называется величина I, численно равная
энергии, которую переносит волна за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны. Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитудного

2
значения напряженности электрического поля E , т.е. I ~ E . За меру степени поляризации световой волны принимают выражение:
P
I max  I min
I max  I min ,
(3.1)
где Imax и Imin  максимальная и минимальная интенсивности света, соответ
ствующие двум взаимно перпендикулярным составляющим вектора E ; Р 
степень поляризации. Для естественного света Imax = Imin и Р = 0, для плоскополяризованного Imin = 0 и Р = 1. Полностью поляризованный свет в природе
встречается редко, чаще  частично поляризованный. Поляризованный свет
широко применяется на практике.
41
3.2. Методы получения поляризованного света. Закон Брюстера
Устройства, служащие для преобразования естественного или частично
поляризованного света в плоско-поляризованный свет, называются поляризаторами. Их действие основывается на использовании поляризации света при
отражении и преломлении света на границе раздела двух прозрачных изотропных диэлектриков, либо на явлении двойного лучепреломления в одноосных
кристаллах.
Поляризация света при отражении от поверхности диэлектрика
Если угол падения луча света на поверхность диэлектрика (например,
стекла) не равен нулю, то отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания вектора

E , перпендикулярные к плоскости падения (на рис. 3.2 следы векторов изоб
ражены точками). В преломленном луче преобладают колебания вектора E ,
параллельные плоскости падения луча (на рис. 3.2 изображены стрелками).
В естественном падающем
луче интенсивность колебаний различных направлений одинакова.
iБ
Энергия этих колебаний одинакова.
n1
Она распределяется между отраженной и преломленной волной.
/2
n2
Однако степень поляризации оказывается различной в отраженном и
преломленном лучах и зависит от
r
угла падения лучей и показателя
преломления диэлектрика. Шотландский физик Д. Брюстер устаноРис. 3.2. Схема поляризации
вил, что при угле падения iБ , назыотраженного и преломленного лучей
ваемом углом Брюстера, отражённый луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, перпендикулярные плоскости падения).
Преломленный же луч при угле падения iБ оказывается частично поляризованным (в нем преобладают колебания, лежащие в плоскости падения луча). Угол
Брюстера удовлетворяет соотношению, называемому законом Брюстера
tgiБ = n21 ,
(3.2)
где n21 = n2/n1  показатель преломления второй среды относительно первой.
Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный
и преломленный лучи взаимно перпендикулярны (i + r = π/2). Действительно,
из закона преломления света следует, что
42
sin i
sin r

sin i
 
sin   i 
2 

sin i
cos i
 tg i  n21 .
Таким образом, стеклянная пластинка или любой другой изотропный диэлектрик могут служить поляризаторами, если на них падает луч естественного
света под углом Брюстера.
Степень поляризации преломленного света может быть значительно повышена. Для этого вместо одной пластинки пользуются системой одинаковых
стеклянных пластинок, расположенных друг за другом так, что свет, выходящий из первой пластинки, падает под углом Брюстера на вторую, из второй - на
третью и т.д. Такая система пластин, называемая стеклянной стопой, позволяет
путем многократных отражений и преломлений добиться того, чтобы свет,
прошедший сквозь стопу, был практически полностью поляризован. Так,
например, если для одной стеклянной пластинки степень поляризации преломленного луча составляет ~ 15 %, то после преломления на стопе из 8  10 пластинок вышедший свет оказывается практически полностью поляризованным
(Р ≈1).
Поляризация при двойном лучепреломлении
До сих пор мы изучали явление преломления света в изотропных средах,
т.е. в таких, физические свойства которых, в том числе и скорость распространения света, во всех направлениях одинаковы. В анизотропных средах преломление света происходит значительно сложнее.
Анизотропными называются среды, физические свойства которых зависят от направления. Все кристаллические вещества анизотропные.
В прозрачных кристаллах (кроме кристаллов кубической симметрии, которые оптически изотропные) преломленный луч пространственно разделяется
на два луча. Это явление называется двойным лучепреломлением. Впервые
двойное лучепреломление было обнаружено датским ученым Э. Бартолином на
кристаллах исландского шпата  CaCO3.
Рассмотрим некоторые закономерности явления двойного лучепреломления в кристаллах исландского шпата, обладающих ромбоэдрической структурой.
43
В кристалле исландского шпата имеется
единственное
направление
(направление ав, рис. 3.3), вдоль котоа
рого двойного лучепреломления не
наблюдается. Это направление называется оптической осью кристалла.
в
Любая прямая, проходящая параллельно данному направлению aв,
о
является оптической осью кристалла.
Меняя направление луча, падаe
ющего на поверхность кристалла,
можно убедиться в том, что пространРис. 3.3.
ственного разделения падающего луча
Схема двойного лучепреломления
на два не происходит в двух случаях:
в кристалле
луч падает параллельно оптической
оси (рис. 3.4, а) и перпендикулярно
оптической оси (рис. 3.4, б). Во всех иных случаях падения луча на кристалл
происходит пространственное разделение луча, даже при перпендикулярном
падении луча на поверхность кристалла (рис. 3.4, в).
Луч, являющийся продолжением падающего (см. рис. 3.4, б, в), называется обыкновенным лучом (обозначается буквой о), отклоняющийся луч (см.
рис. 3.4, в)  необыкновенным (обозначается, буквой е).
Обыкновенный и необыкновенный лучи имеют следующие свойства.
1. Обыкновенный и необыкновенный лучи имеют одинаковую интенсивность Iо = Ie , равную Iест/2 (Iест - интенсивность падающего на кристалл естественного луча).
а
а
Iест
Iест
Iест
Iест
о
в
а
е
б
е
в
о
в
Рис. 3.4. Схемы пространственного разделения луча
2. Оба луча, обыкновенный и необыкновенный, полностью поляризованы
во взаимно перпендикулярных плоскостях.
3. Обыкновенный луч подчиняется закону преломления света. Он лежит в
одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, восстановленным к
поверхности кристалла в точке падения луча. Для этого луча при любом угле
падения соблюдается закон преломления
44
sin i
 no  const .
sin r
Необыкновенный луч не лежит в плоскости падения луча и не подчиняется закону преломления. При изменении угла падения луча на кристалл для необыкновенного луча
sin i
 nе  const .
sin r
Даже при нормальном падении луча на кристалл необыкновенный луч преломляется (см. рис. 3.4, в).
4. Пространственное разделение луча внутри кристалла обусловлено анизотропией  различием скоростей распространения света по разным направле

ниям vo  ve . Это приводит к различию показателей преломления: no  ne .
5. Если свет падает перпендикулярно оптической оси кристалла (см. рис.
3.4, б), то, не разделяясь пространственно, он фактически делится на два луча 
обыкновенный и необыкновенный: лучи идут по одному направлению, но с
разными скоростями.
6. Обыкновенный и необыкновенный лучи остаются пространственно
разделенными и после выхода из кристалла: они распространяются параллельно друг другу и параллельно падающему лучу.
7. После выхода из кристалла, если не принимать во внимание поляризацию во взаимно перпендикулярных плоскостях, обыкновенный и необыкновенный лучи ничем не отличаются друг от друга.
8. Обыкновенный и необыкновенный лучи по-разному поглощаются в
некоторых кристаллах. Это явление носит название дихроизма.
Очень сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл турмалина (минерала сложного состава). В нем обыкновенный луч практически полностью поглощается на глубине 1 мм. Таким же свойством обладает поляроид целлулоидная пленка, в которую введено большое количество одинаково ориентированных кристалликов сульфата йодистого хинина. В этих кристалликах
размером ~ 0,1 мм один из лучей полностью поглощается.
Следовательно, турмалин и поляроид вследствие дихроизма могут быть
использованы в качестве поляризаторов.
45
Призма Николя
Самым распространенным на практике способом получения поляризованных лучей с помощью двойного лучепреломления является призма Николя (У. Николь  шотландский физик) или просто николь.
Призма Николя представляет собой двойную призму из исландского шпата (рис. 3.5), склеенную вдоль линии АВ канадским бальзамом (стеклообразным
веществом, добываемым из канадской пихты). На николь падает луч естественного света с интенсивностью I. В призме он раздваивается на два луча  обыкновенный ( no  1,66 ) и необыкновенный (ne = 1,52).
Так как ne < nкан.бальзам < nо, то слой канадского бальзама оптически менее
плотен, чем исландский шпат для обыкновенного луча и оптически более плотен для необыкновенного луча. Обыкновенный луч падает на поверхность канадского бальзама под углом, большим предельного, и, претерпев полное внутреннее отражение, поглощается в оправе призмы. Необыкновенный луч свободно проходит через слой канадского бальзама и выходит из призмы параллельно падающему лучу. Таким образом, николь преобразует естественный
А
900
Iест
е
680
В
Рис. 3.5. Ход лучей в призме Николя
свет в плоско-поляризованный.
46
3.3. Анализ поляризованного света. Закон Малюса
Важно не только получить поляризованный свет, но и суметь определять
степень его поляризации, а в случае плоскополяризованного света  ориентацию плоскости поляризации в пространстве. Приборы, служащие для исследования поляризованного света, называются анализаторами. В качестве анализаторов используются те же устройства, что и устройства для получения плоскополяризованного света (призма Николя, поляроиды, стеклянная стопа, турмалин и т.д.).
Тот факт, что кристалл (например турмалин) дает возможность получить
поляризованный луч из естественного, говорит о том, что в кристалле суще
ствуют определенные плоскости «пропускания» вектора E . На рис. 3.6 у поля-
I0
IП
I0
IП

EП
IА

EA
а

EП
I А =0
б

I0
в
IП

EП

EA
II АА
Рис. 3.6.
Схемы получения и анализа поляризованного света
ризатора П эти плоскости изображены в виде системы параллельных линий (на

рис. 3.6 плоскости пропускания вектора E параллельны плоскости чертежа).
Рассмотрим прохождение света через систему поляризатор  анализатор.
Пусть на поляризатор П падает естественный луч интенсивностью I. Из поляризатора, как было сказано ранее, выйдет плоскополяризованный свет с интенсивностью
IП  I0 2 .
(3.3)
47
Для исследования этого луча ставим на его пути анализатор А. При вращении анализатора вокруг луча интенсивность прошедшего через него света
изменяется от Imax = IA (рис. 3.6, а) до Imin = 0 (рис. 3.6, б). Если плоскости про
пускания E поляризатора и анализатора параллельны друг другу, то свет, выходящий из поляризатора, полностью проходит через анализатор; если плоскости пропускания анализатора перпендикулярны плоскостям пропускания поляризатора (П и А скрещены), то свет через эту систему не пройдет.
Расположение направлений пропускания поляризатора и анализатора, под
некоторым углом  ( 0     2 ) , дает лишь частичную интенсивность света
на выходе из анализатора.

E
Пусть П  амплитуда электрического вектора плоскополяризованного
света, вышедшего из поляризатора (рис. 3.6, в). На входе в анализатор этот свет
разложится на две волны, поляризованные соответственно в плоскости пропус

E
E
кания анализатора – е и в перпендикулярной ей плоскости – о . Амплитуды


E
E
векторов е и о соответственно равны:
Ee  EПcos 
;
Eo  EПsin  .
(3.4)
Первая волна полностью пройдет через анализатор, а вторая поглотится в нем.
Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды век
тора | E |, то интенсивность света, прошедшего соответственно через анализатор и поляризатор, запишется так:
I A  I Пcos 2 ;
Ie 
1
I 0cos 2 .
2
(3.5)
Соотношение (3.5) носит название закона Малюса: интенсивность света,
прошедшего через анализатор IA, равна интенсивности света, прошедшего через
поляризатор IП, умноженной на квадрат косинуса угла α между плоскостями
пропускания поляризатора и анализатора.
3.4. Интерференция поляризованного света
Явление поляризации света находит применение при анализе упругих
напряжений, возникающих в деформированных деталях. Для этого изготавливают прозрачный шаблон детали и, подвергая его рабочим нагрузкам (сжатию,
растяжению), помещают между поляризатором и анализатором. Изучая распределение интенсивности света после анализатора, получают сведения о напряжениях, возникающих в различных точках детали. В этом методе используется
явление интерференции поляризованных лучей. Рассмотрим интерференцию
поляризованных лучей.
48
Явление интерференции возникает только в случае: 1) если лучи коге
рентны; 2) если плоскость колебаний вектора E у них одна и та же (поляризованы в одной плоскости).
Не всегда два луча от одного и того же источника света когерентны. Так,
обыкновенный и необыкновенный лучи, возникающие при двойном лучепреломлении из естественного света, некогерентны. Это объясняется тем, что естественный свет представляет собой набор плоскополяризованных волн со все
возможными ориентациями вектора E относительно луча. Эти элементарные
волны соответствуют излучениям независимых различных атомов – источников
света, которые заведомо некогерентны друг с другом. При расщеплении луча
естественного света на обыкновенный и необыкновенный в среде распространяются два луча, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. А
так как каждый атом испускает плоскополяризованную волну, обыкновенный и
необыкновенный лучи образуются излучением разных атомов и некогерентны.
Иначе обстоит дело, если на поляризатор падает поляризованный луч.
Оказывается, что и в этом случае падающий свет претерпевает двойное лучепреломление. Но теперь обыкновенный и необыкновенный лучи когерентны,
ибо рождаются одним и тем же атомом. Обыкновенный и необыкновенный лучи, возникающие из плоско-поляризованного света, когерентны.
Когерентные обыкновенный и необыкновенный лучи поляризованы во
взаимно перпендикулярных плоскостях. При наложении двух когерентных лучей, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, никакой
интерференционной картины наблюдаться не будет. Интерференция возникает
только в том случае, если колебания векторов Ē1 и Ē2 взаимодействующих лучей совершаются вдоль одного и того же направления. Колебания двух лучей,
поляризованных первоначально во взаимно перпендикулярных направлениях,
можно свести в одну плоскость, пропустив обыкновенный и необыкновенный
лучи через анализатор. Анализатор устанавливают так, что его плоскость пропускания не совпадает с плоскостью колебаний этих лучей.
Еще в начале прошлого столетия было обнаружено, что оптически изотропное твердое тело под влиянием механической деформации становится оптически анизотропным. Например, при одностороннем сжатии или растяжении
стеклянная пластинка приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая
ось которого совпадает с направлением сжатия или растяжения. Разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении,
перпендикулярном оптической оси, пропорциональна нормальному напряжению σ
nо – nе = χ1 σ,
(3.6)
где χ1  коэффициент, зависящий от свойств вещества.
Если прозрачную изотропную пластинку подвергнуть растяжению, то
она приобретет свойства одноосного двоякопреломляющего кристалла. При
размещении ее между поляризатором и анализатором, плоскости пропускания
которых повернуты на угол α друг относительно друга, поляризованный луч
49
претерпевает в ней двойное лучепреломление. В этом случае обыкновенный и
необыкновенный лучи (о и е) распространяются внутри пластинки, не разделяясь, но с различой скоростью.
При прохождении через пластинку между лучами возникает оптическая
разность хода
L  no  ne d ,
(3.7)
где d  толщина пластинки.
Лучи о и е, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях,


падают на анализатор. Колебания векторов E1 и E2 лучей о и е после прохождения через анализатор будут лежать в одной плоскости. Следовательно,
эти два луча интерферируют с оптической разностью хода ΔL (формула (3.7)).
3.5. Применение поляризованного света
Фотоупругость
Оптическая разность хода ΔL, возникающая в разных точках деформированной пластинки, зависит от разности показателей преломления (nо–nе), которая, в свою очередь, зависит от величины напряжения σ в этой точке (формула
3.6).
Таким образом, условие максимума интерференции в любой точке пластинки запишется следующим образом:
L  no  ne  d  d  2k
Отсюда можно найти:


.
2
k
,
d
где k  порядок интерференционной полосы.
При наблюдении деформированной пластинки в монохроматическом свете на ее поверхности видна система темных и светлых полос. Каждая светлая
полоса  геометрическое место точек, имеющих одинаковое напряжение σ =
const. При освещении пластинки белым светом она приобретает причудливую
разноцветную окраску. Каждая интерференционная линия одного цвета (изохромата) соответствует при этом одинаково деформированным местам пластинки.
Следовательно, по расположению интерференционных полос можно судить о распределении напряжений и их величине внутри пластинки. На этом
основывается оптический метод исследования напряжений. Для этой цели изготавливают модели из плексигласа, целлулоида или другого прозрачного изо-
50
тропного вещества, измеряют на них напряжения, а затем делают соответствующий пересчет на проектируемую конструкцию.
Ячейка Керра
Возникновение двойного лучепреломления в газах, жидкостях и в аморфных твердых телах (диэлектриках) под воздействием сильного однородного
электрического поля называется эффектом Керра. Это явление впервые было
обнаружено шотландским физиком Д. Керром в 1875 году.
Схема установки для исследования эффекта Керра в жидкостях изображена на
рис. 3.8. Установка состоит из ячейки Керра, помещенной между скрещенными
поляризатором и анализатором. Ячейка Керра представляет собой сосуд с жидкостью, в которую введены пластины конденсатора. При подаче на пластины
напряжения между ними возникает практически однородное электрическое поле. Под его действием жидкость приобретает свойства одноосного кристалла с
оптической осью, ориентированной вдоль поля.
Возникающая разность показателей преломления (no  ne ) пропорциональна квадрату напряженности поля Е:
+
IА
IП
–
Рис. 3.7. Схема ячейки Керра
no  ne   2 E 2 ,
(3.8)
где 2 – коэффициент пропорциональности.
На пути l (длина пластины конденсатора) между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает оптическая разность хода
L  no  ne l   2 lE 2  B 0 lE 2 ,
(3.9)
где В  постоянная Керра, зависящая от природы вещества, его температуры и
длины волны света в вакууме.
51
Эффект Керра объясняется различной поляризуемостью молекул вещества по различным направлениям. Это явление практически безинерционно, т.е.
переход вещества из изотропного состояния в анизотропное при включении поля (и обратно) происходит приблизительно за 10-10 с. Поэтому ячейка Керра
служит идеальным световым затвором и применяется в быстропротекающих
процессах (в звукозаписи, воспроизводстве звука, скоростной фото- и киносъемке и т.д.), в оптической локации, связи и т.д.
Вращение плоскости поляризации
Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вращать плоскость поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. К таким веществам принадлежат твердые тела (кварц, сахар, киноварь), чистые жидкости (скипидар, никотин, винная кислота) и растворы оптически активных веществ (сахара, спирта и т.д.).
Вращение плоскости поляризации можно наблюдать на следующем опыте. Если между скрещенными поляризатором и анализатором, не пропускающими свет, поместить оптически активное вещество (например, кювету с раствором сахара), то поле зрения анализатора просветляется. При повороте анализатора на угол φ можно вновь получить темное поле зрения. Следовательно,
φ - угол, на который оптически активное вещество поворачивает плоскость поляризации света, вышедшего из поляризатора.
В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути
света в растворе l и концентрации активного вещества С:
  [ 0 ] Cl ,
(3.10)
где [φ0]  величина, называемая удельным вращением. Удельное вращение
численно равно углу поворота плоскости поляризации света слоем раствора оптически активного вещества единичной толщины при единичной концентрации
раствора. Оно зависит от природы вещества, температуры и длины волны света
в вакууме.
В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях угол φ поворота
плоскости поляризации света пропорционален толщине слоя вещества, пройденного светом:
φ = [φ0]l.
(3.11)
Коэффициент φ0, численно равный углу поворота плоскости поляризации
света слоем оптически активного вещества единичной толщины, называется
удельным вращением.
Оптически активные вещества в зависимости от направления вращения
плоскости поляризации подразделяются на право  и левовращающие (враще-
52
ние по часовой стрелке или против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего навстречу лучу).
Явление вращения плоскости поляризации в растворах (формула (3.12))
лежит в основе сертификации продуктов. Это явление используется, например,
для точного определения концентрации растворов оптически активных веществ
(поляриметрия).
Оптически неактивные вещества приобретает способность вращать плоскость поляризации под действием магнитного поля. Это явление было обнаружено М. Фарадеем и получило название эффекта Фарадея. Этот эффект имеет
огромное значение для науки, так как в нем обнаруживается связь между оптическими и электромагнитными процессами.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое свет с точки зрения волновой теории?
2. К какому типу волн (продольным иди поперечным) относится световая волна?
3. Какие световые лучи называют: а) естественными; б) поляризованными; в) частично поляризованными? г) плоско-поляризованными; д) эллиптически поляризованными; в) поляризованными по кругу?
4. Что называют интенсивностью световой волны? От каких величин и
как она зависит?
5. Какую величину называют степенью поляризации светового луча?
6. Чему равна степень поляризации: а) естественного луча; б) плоско
поляризованного луча?
7. Перечислите способы получения поляризованного света.
8. Какой прибор называется поляризатором, анализатором?
9. Изобразите расположение лучей в случае получения плоскополяризованного света при отражении от диэлектрика. Какой из лучей в этой
схеме: а) естественный; б) частично поляризованный;
в) плоскополяризованный?
10. При каком соотношении углов падения и преломления светового луча наблюдается полная поляризация света при отражении от диэлектрика?
11. Сформулируйте закон Брюстера.
12. Какой прибор называется стеклянной стопой? Каково его назначение?
13. Какие среды называются: а) изотропными; б) анизотропными?
14. В чем заключается явление двойного лучепреломления и как оно
объясняется?
15. Какое направление в кристалле называется оптической осью?
16. Как называются лучи, образующиеся при двойном лучепреломлении?
Почему они так называются?
17. В чем проявляется сходство обыкновенного и необыкновенного лучей?
53
18. В чем различие обыкновенного и необыкновенного лучей?
19. Сохраняются ли все различия в свойствах у обыкновенного и необыкновенного лучей после выхода из кристалла?
20. В чем сущность явления дихроизма световых лучей?
21. Изобразите схему, с помощью которой можно исследовать поляризацию луча.
22. Сформулируйте закон Малюса.
23. Каковы условия возникновения явления интерференции поляризованных лучей?
24. Как изменяются свойства прозрачной изотропной пластинки после
деформации?
25. Как используется явление интерференции при анализе упругих
напряжений?
26. Каково устройство и назначение "ячейки Керра"?
27. В чем сущность явления вращения плоскости поляризации?
28. Какие вещества называются оптически активными? Приведите примеры таких веществ.
29. От каких величин и как зависит угол поворота плоскости поляризации: а) в растворах оптически активных веществ; б) в твердых телах и чистых
жидкостях?
30. Каково физическое содержание величины, называемой "удельным
вращением"?
31. В чем заключается эффект Фарадея?
54
4. Квантовые свойства света
4.1. Тепловое излучение и его характеристики
Тепловым излучением называется испускание электромагнитных волн
нагретыми телами за счет их внутренней энергии. Тепловое излучение свойственно всем телам при температуре выше 0 К и имеет сплошной спектр частот. При этом излучение всех длин волн обусловлено колебаниями электрических зарядов, входящих в состав вещества, т.е. ионов и электронов. Колебания
ионов дает излучение с низкими частотами (инфракрасное) вследствие их значительной массы. Движение электронов, входящих в состав атомов или молекул, создает высокочастотное излучение (видимое и ультрафиолетовое).
Излучение сопровождается потерей энергии телом. Пополнение энергии может
осуществляться различными способами. Все виды излучений, возбуждаемые за
счет какого-либо вида энергии, кроме тепловой (химической реакции, освещения, электрического разряда и т.д.), объединяются под общим названием люминесценции. При тепловом излучении энергия пополняется за счет нагревания
тела.
Тепловое излучение  единственный вид излучения, который является
равновесным. Все другие виды излучений – неравновесные. Поясним это на
примере. Пусть нагретое (излучающее) тело помещено в полость, ограниченную идеально отражающей оболочкой. За счет излучения температура тела
уменьшается. Но тело одновременно с излучением получает обратно часть этой
энергии, отражаемой от полости. В результате непрерывного обмена энергией
между телом и излучением через некоторое время наступит равновесие, т.е. тело в единицу времени будет столько же поглощать энергии, сколько и излучать.
При этом температура тела не будет изменяться. Допустим, что равновесие по
какой-либо причине нарушено, и тело излучает в единицу времени энергии
больше, чем поглощает (или наоборот). Тогда температура тела начнет понижаться (или повышаться). В результате будет уменьшаться (или возрастать) количество излучаемой в единицу времени телом энергии, пока, наконец, не установится равновесное состояние системы тело-излучение.
Пусть в полость помещено тело, содержащее фосфор. Это тело дает добавочное (к тепловому) люминесцентное излучение за счет химического процесса
окисления фосфора. Люминесцентное излучение продолжается до полного
окисления фосфора, причем оно не сопровождается пополнением энергии
извне. Следовательно, люминесценция – неравновесное излучение.
Тепловое или равновесное излучение подчиняется определенным общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. Однако прежде чем
перейти к рассмотрению законов теплового излучения, необходимо ввести его
основные характеристики.
Рассмотрим основные характеристики теплового излучения.
Поток излучения Фе  физическая величина, равная количеству энергии,
излучаемой нагретым телом со всей поверхности в единицу времени:
55
Фе 
dW
dt
[Дж/c= Вт ] .
(4.1)
Энергетическая светимость (излучательность) тела RT - энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади нагретого тела во всем интервале
длин волн ( 0 < < ∞ ). Энергетическая светимость связана с потоком излучения
формулой:
dФ e d 2W
RT 

[Вт/м2].
(4.2)
dS
dSdt
Поток излучения и энергетическая светимость – функции температуры.
Излучение нагретого тела при данной температуре Т состоит из волн различной длины (или частоты), причем волны разных длин несут отличающуюся
друг от друга энергию. Поэтому в различных частях спектра излучения энергия,
приходящаяся на единичный интервал длин волн, различна. Следовательно,
должна существовать функция распределения, отражающая зависимость энергии излучения от длины волны, около которой взят этот единичный интервал.
Такой функцией является спектральная плотность энергетической светимости
(излучательности) r,T. Это величина, численно равная энергии, излучаемой
нагретым телом в единицу времени с единицы площади и приходящаяся на
единичный интервал длин волн, взятый около заданной длины волны.
Энергетическая светимость RT, являющаяся интегральной характеристикой излучения, связана со спектральной плотностью энергетической светимости соотношением
r ,T 
dRT
d
 Вт 
 3 .
м 
(4.3)
Из соотношения (4.3) можно найти энергетическую светимость (формула связи
между энергетической светимостью и лучеиспускательной способностью):

RT   r ,T d .
(4.4)
0
Индекс “T” у RT и r,T подчеркивает зависимость этих величин от температуры.
Так как длина волны и частота связаны известным соотношением  = c/,
спектральные характеристики излучения можно характеризовать также и частотой. Тогда участку спектра d будет соответствовать интервал частот d.
Любое тело не только излучает, но и частично поглощает падающую на
него энергию, то есть все тела способны в той или иной степени обмениваться
энергией (теплообмен излучением). Спектральной характеристикой поглоще-
56
ния является поглощательная способность a,T. Поглощательная способность
(коэффициент поглощения) тела а,T  безразмерная физическая величина, показывающая, какая доля энергии, падающей в единицу времени на единицу поверхности тела в интервале длин волн от  до +d, им поглощается:
a ,T 
dWпогл
.
dWпад
(4.5)
Опыт показывает, что r,T и a,T твердых тел зависят не только от длины
волны и температуры, но и от химического состава тела и состояния его поверхности.
По определению a,T не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего падающее на него излучение всех длин волн, a,T = 1. Такое тело называется абсолютно черным. Для тела, полностью отражающего
упавшее на него излучение всех длин волн, a,T = 0. Такое тело называется абсолютно белым. Тело, для которого поглощательная способность одинакова
для всех длин волн и зависит только от температуры, называют серым: a,T = aT
= const.
В природе не существует абсолютно черных тел. Но можно найти тела,
очень близкие по своим свойствам к абсолютно черным телам (сажа, черный
бархат). Наиболее совершенной моделью абсолютно черного тела может служить небольшое отверстие в непрозрачной стенке замкнутой плоскости (рис. 4.1). Луч света, попадающий внутрь полости через отверстие, претерпевает многократные отражения от стенок полости, поглощается
ими и практически полностью остается внутри
полости.
Модель абсолютно черного тела позволяет
понять, почему узкий вход в пещеру или открыРис. 4.1.
тые окна домов снаружи кажутся черными, хотя
Схема модели
внутри достаточно светло. По этой же причине
абсолютно черного тела
ворсистые ткани обладают большей поглощательной способностью, чем гладкие.
4.2. Законы теплового излучения
Между спектральной плотностью энергетической светимости и поглощательной способностью любого тела имеется связь, которая выражается соотношением:
 r ,T 
 r ,T 




 ...  r,T .
(4.6)
a 


  ,T 1 тела  a ,T  2 тела
57
(Здесь и далее характеристики, отмеченные звездочкой, относятся к абсолютно
черному телу). Соотношение (4.6) называется законом Кирхгофа, а r*,T - универсальной функцией Кирхгофа. Этот закон формулируется следующим образом: отношение спектральной плотности энергетической светимости любого
тела к его поглощательной способности при данной длине волны и температуре
является величиной постоянной для всех тел и равной спектральной плотности
энергетической светимости абсолютно черного тела r*,T при той же температуре и длине волны (так как a*,T = 1).
Из закона Кирхгофа следует, что чем больше тело поглощает, тем больше
оно излучает энергии, то есть спектральная плотность энергетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при тех же значениях 
и Т, так как a,T  1. Так, например, если раскаленную белую чашку с черным
рисунком быстро достать из печи в светлой комнате, то сначала темный рисунок светится ярче белого фона. После охлаждения, когда собственное излучение чашки становится исчезающе малым, вновь становится видным темный
узор на белом фоне.
Кроме того, из закона Кирхгофа следует, что если тело не поглощает
электромагнитные волны какой-то частоты, то оно их и не излучает, так как при
a,T = 0, r,T = 0.
Из закона Кирхгофа видно, что основной задачей при описании теплового
излучения являлось нахождение зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от температуры и длины волны
(частоты), так как она универсальна для всех тел. Интерес представляет и зависимость энергетической светимости R*T от температуры.
Зависимость функции R*T от температуры была получена Д.Стефаном
(1879 г.) из анализа экспериментальных данных, а затем Л.Больцманом (1884 г.)
 теоретическим путем. Эти ученые установили, что энергетическая светимость
абсолютно черного тела пропорциональна его абсолютной температуре в четвертой степени:
RT   T 4 ,
(4.7)
где  = 5,6710-8 Вт/(м2К4)  постоянная Стефана-Больцмана (найденная экспериментально). Формула (4.7) носит название закона Стефана  Больцмана.
Значительно сложнее оказалась задача отыскания универсальной функции Кирхгофа, то есть зависимости r*,T от длины волны и температуры. Попытка получить теоретически вид функции r*,T на основе представлений классической физики не увенчалась успехом. Экспериментально же была получена
система кривых (рис. 4.2), дающих распределения r*,T по длинам волн при
фиксированных температурах (Т = const). Исследование хода кривых на рис. 4.2
устанавливает следующие закономерности.
58
r,T
Т>6000 K
Т=6000 K
Т=4000 K
Т=3500 K
Т=1000 K

Ультрафиолетовое
излучение
max
Инфракрасное
излучение
Рис. 4.2.
Температурная и спектральная зависимости универсальной
функции Кирхгофа. Выделена область видимого излучения.
1. Зависимость r*,T от длины волны изображается непрерывной кривой,
обращающейся в нуль при малых и больших длинах волн.
2. Энергия излучения абсолютно черного тела распределена по длинам
волн неравномерно: кривая имеет ярко выраженный максимум.
3. По мере повышения температуры тела максимум кривой смещается в
область коротких длин волн.
4. Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, равна энергетической
светимости абсолютно черного тела R*T .
Зависимость длины волны max , соответствующей максимуму функции
*
r ,T от температуры, устанавливающая смещение max в коротковолновый диапазон длин волн при увеличении температуры тела была установлена немецким
физиком В.Вином (1893 г.) и получила название закона смещения Вина:
 max 
b1
,
T
(4.8)
где b1 = 2,910-3 мK  постоянная Вина.
Закон смещения Вина, таким образом, устанавливает: длина волны, на
которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре этого тела.
Этот закон объясняет, почему доля энергии, приходящейся на видимые
лучи, возрастает, и свечение тела при нагревании переходит от красного к белому калению.
59
Аналитически установить вид функции r*,T долгое время не удавалось.
Только в 1900 году немецкий физик Макс Планк предположил, что энергия излучения испускается телом не непрерывно в виде волн, а отдельными порциями
– квантами. Энергия одного кванта:
ε = hν ,
(4.9)
где   частота излучения, а h = 6,6210-34 [Джс] – константа, получившая
название постоянной Планка.
Исходя из этого предположения, М. Планк получил распределение для
спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела:

 ,T
r
2hc 2


5
1
e
hc
λkT
1
,
(4.10)
где   длина волны излучения, c = 3108 м/с  скорость света, k =1,3810-23
Дж/К  постоянная Больцмана. Выражение (4.10) получило название формулы
Планка для функции распределения r*,T .
Из формулы Планка можно получить все законы теплового излучения.
Действительно, интегрируя r*,T по всем длинам волн от 0 до , получим значение энергетической светимости абсолютно черного тела R*T (площади под
кривой r*,T =f()):

R   r,T d  σТ 4 .

T
(4.11)
0
Полученное выражение совпадает с законом Стефана – Больцмана (4.7).
Взяв производную по  от функции Планка (4.10) и приравняв её к нулю,
найдем положение максимума этой функции:
dr,T
d
 0,
 max 
b1
,
T
(4.12)
Полученное выражение совпадает с законом смещения Вина (4.8).
Если подставить в формулу Планка (4.10) значение длины волны max
=b1/Т, то получим выражение, определяющее зависимость между значением
максимальной спектральной плотности энергетической светимости и температурой
r 

 ,T max
 b2T 5 ,
b2 = 1,2910-5 Вт/(м3K5),
(4.13)
60
и называемое вторым законом Вина. Этот закон гласит: максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре пропорционально абсолютной температуре этого
тела в пятой степени.
Таким образом, формула Планка хорошо согласуется с экспериментальными данными, а также содержит в себе все законы теплового излучения. Кроме того, она позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения.
Выдвижением гипотезы о дискретности излучения М.Планк заложил основы квантовой теории.
4.3. Оптическая пирометрия
Законы теплового излучения используются для измерения температуры
раскаленных и самосветящихся тел, удаленных от наблюдателя (например,
звезд), когда нельзя пользоваться обычными методами (термометрами, термопарами). В этих случаях можно судить о температуре тела только по его излучению.
Совокупность методов измерения высоких температур, основанных на
использовании зависимости спектральной плотности энергетической светимости, или энергетической светимости исследуемого тела от температуры, называется оптической пирометрией, а приборы, применяемые для этой цели, называются оптическими пирометрами.
В качестве примера рассмотрим принцип работы оптического пирометра
с исчезающей нитью.
На фоне исследуемого нагретого тела размещают нить (ленточку) лампы
накаливания. Нить рассматривают на фоне излучающего нагретого тела. Изменяя ток накала нити, добиваются, чтобы яркости тела и нити были одинаковыми (нить становится неразличимой на фоне тела). Это происходит при равенстве температур излучающего тела и нити. Если проградуировать прибор,
связав силу тока, проходящего через нить, с её температурой, можно получить
удобный способ измерения температур.
Примером использования излучения черного тела является оценка поверхностной температуры Солнца, которое вполне можно считать абсолютно
черным телом. Область максимального излучения Солнца приходится на длину
волны max = 480 нм, поэтому по формуле Вина можно найти температуру поверхности Солнца, называемую цветовой температурой (Тц = 5800 К). Использование закона Стефана  Больцмана (4.7) позволяет по энергии излучения абсолютно черного тела определить его энергетическую температуру
Tэ  4 RT  .
Закон Кирхгофа позволяет производить анализ слоев вещества, испускающих свет (если слои достаточно горячи) или поглощающих проходящий свет
(если слои холодны). Зная, какой спектр отвечает тому или иному веществу (а
61
все атомные или молекулярные спектры индивидуальны), можно по спектрам
испускания или поглощения судить о химическом составе тела. Этот способ
послужил основой широко используемого спектрального исследования веществ. Так, с помощью спектрального анализа был открыт на Солнце гелий, а
астрономы убедились в том, что в состав небесных тел входят те же вещества,
которые встречаются и на Земле.
Свечение раскаленных тел используется для создания ламп накаливания,
дуговых ламп.
4.4. Законы фотоэлектрического эффекта. Уравнение Эйнштейна
Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу излучения абсолютно черного тела, получила дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта. Это
явление было открыто в 1887 году Г. Герцем, который, облучая ультрафиолетовыми лучами находящиеся под напряжением электроды, наблюдал ускорение
процесса разряда. Позднее было установлено, что причиной данного явления
служит появление при облучении свободных электронов.
Явление испускания электронов веществом под действием света было
названо фотоэффектом.
В 1888-1890 годах А.Г. Столетов провел систематическое исследование
фотоэффекта.
Принципиальная схема для
исследования фотоэффекта приведена на рис. 4.3. Два электрода в ваА
К
куумной трубке подключены к батарее Б так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только
G
значение, но и знак подаваемого на
V
электроды напряжения. Ток, возникающий при освещении катода моR
нохроматическим светом (через
кварцевое окошечко), измеряется
Б
включенным в цепь гальванометром
G.
Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил
Рис. 4.3.
Схема исследования фотоэффекта
следующие свойства фотоэффекта:
1) под действием света вещество теряет только отрицательные заряды;
2) наиболее эффективное действие оказывают ультрафиолетовые лучи;
3) фотоэффект практически безынерционен, т.е. промежуток времени
между моментом освещения и началом разрядки ничтожно мал.
Приведенная на рис. 4.3 экспериментальная установка позволяет получить вольт-амперные характеристики фотоэффекта – зависимости фототока I
62
(поток электронов, испускаемых катодом под действием
I
света) от напряжения U
Ф2>Ф1
между электродами при разIн2
личных световых потоках (
Ф1
Ф1  Ф2 ) и постоянной чаIн1
стоте света  (рис. 4.4).
При изучении вольтU
–U
амперных
характеристик
Uз
было установлено следуюТормозящее
Ускоряющее
щее.
напряжение
напряжение
1. Фототок возникает
не только при U = 0, но и
Рис. 4.4.
при U < 0, причем фототок
Вольт-амперная характеристика фотоэффекта
отличен от нуля до строго
определенного для данного
катода отрицательного значения U = Uз  так называемого задерживающего
потенциала. Величина Uз не зависит от светового потока (совпадение начальных точек обеих кривых).
2. Пологий ход кривых указывает на то, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. При напряжении U = Uз сила фототока равна нулю, т.е. ни одному из электронов, даже обладающему при вылете из катода
наибольшим значением скорости vmax не удается преодолеть задерживающее
поле и достигнуть анода. Поэтому можно записать, что
me v max
 eU з .
2
(4.14)
Таким образом, измерив Uз, можно определить максимальную скорость
электронов vmax.
При некотором напряжении фототок достигает определенного значения
Iн, которое при дальнейшем увеличении U не изменяется  фототок достигает
насыщения. Сила фототока насыщения Iн определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени, следовательно, пропорциональна световому потоку Ф.
Другая серия опытов, проведенная П.И. Лукирским и С.С.Прилежаевым,
состояла в снятии вольт-амперных характеристик при различных частотах , но
при постоянном значении светового потока Ф = const (рис. 4.5). Анализ кривых
рис. 4.5 показывает, что:
1) величина задерживающего потенциала Uз пропорциональна частоте
падающего света, следовательно, максимальная скорость вылетевших из катода
фотоэлектронов зависит только от частоты света и не зависит от величины светового потока;
63
2) существует такая частота
света кр, при которой скорость
1 > 2 > 3
электронов
равна нулю, так
1
как Uз = 0. При всех   кр фотоФ=const
2
тока не будет.
На основании обобщения
3
полученных экспериментальных
данных были сформулированы
Uз3 Uз2 Uз1 0
U
три закона фотоэффекта:
1. При фиксированной частоте падающего света ( = const)
сила фототока насыщения Iн
Рис. 4.5.
прямо пропорциональна падаюВольт - амперная характеристика
щему на катод световому потоку
фотоэффекта при различных частотах
Ф.
2. Максимальная кинетическая энергия вырванных светом электронов (максимальная скорость электрона
vmax) растет с ростом частоты падающего света и не зависит от светового потока.
3. Фотоэффект не возникает, если частота света меньше некоторой характерной для каждого металла величины кр, называемой "красной границей" фотоэффекта. Частота кр зависит от химической природы вещества и состояния
его поверхности.
С точки зрения волновой теории света объяснить законы фотоэффекта
невозможно. Действительно, согласно этой теории электроны должны постепенно накапливать энергию, "раскачиваясь" в электрическом поле световой
волны, и этот процесс должен зависеть от амплитуды световой волны (светового потока). Соответствующие расчеты дают время "раскачки" порядка нескольких минут. Этот вывод противоречит безынерционности фотоэффекта и независимости энергии вырванных электронов от светового потока (второй закон
фотоэффекта). Кроме того, совершенно непонятно существование минимальной частоты света, необходимой для возникновения фотоэффекта, так как согласно волновой теории свет любой частоты, но достаточно большой интенсивности (пропорциональной световому потоку Ф) должен был бы вырывать электроны из металла.
В 1905 году А.Эйнштейн, опираясь на работы М.Планка по излучению
нагретых тел, предложил квантовую теорию фотоэффекта.
В основу этой теории положено две идеи.
1. Свет не только излучается, но также распространяется в пространстве и
поглощается веществам в виде отдельных порций энергии  квантов (см. формулу (5.1)). Следовательно, распространение электромагнитного излучения
нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных квантов, движущихся со скоростью
I
64
распространения света в вакууме c. Эти кванты электромагнитного излучения
были названы световыми частицами фотонами.
2. Процесс поглощения света веществом сводится к тому, что фотоны передают всю свою энергию электронам вещества, причем каждый квант поглощается только одним электроном.
Таким образом, процесс поглощения света происходит прерывно как в
пространстве, так и во времени.
Эти идеи Эйнштейна легли в основу квантовой теории света, которая
позволила успешно объяснить законы фотоэффекта и многие другие оптические явления, не укладывающиеся в рамки классической электромагнитной
теории.
Основываясь на вышеизложенных идеях и применив к фотоэффекту закон сохранения энергии, Эйнштейн предложил уравнение, которое устанавливает связь между энергией кванта h , возбуждающего фотоэффект, работой А
(работа выхода), которая затрачивается на выход электрона из металла, и мак2
симальной кинетической энергией вылетающего электрона me v 2 .
Уравнение Эйнштейна имеет следующий вид:
h  Aвых
2
me vmax

,
2
(4.15)
где Авых  работа выхода (наименьшая энергия, которую необходимо сообщить электрону для того, чтобы удалить его из твердого или жидкого тела в вакуум, зависит от природы и состояния поверхности металла).
Уравнение (5.2) объясняет все свойства и законы фотоэффекта. Действительно:
1) безинерционность фотоэффекта объясняется тем, что передача энергии
при столкновении фотона с электроном происходит почти мгновенно;
2) по Эйнштейну каждый квант поглощается только одним электроном,
поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально числу поглощенных фотонов, т.е. световому потоку (первый закон фотоэффекта);
3) из уравнения (4.15) непосредственно следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона линейно возрастает с увеличением частоты
падающего излучения и не зависит от величины светового потока (числа фотонов), так как ни работа выхода А, ни частота излучения  от светового потока
не зависят;
4) формула (4.15) показывает, что существует некоторая минимальная частота света кр, необходимая для возникновения фотоэффекта (кинетическая
2
энергия фотоэлектронов равна нулю ( me vmax 2  0 )).
В этих условиях
 кр 
Авых
h
или
 кр 
hc
,
Aвых
(4.16)
65
т.е. фотоэффект имеет "красную границу" (этот термин подчеркивает невозможность возбуждения эффекта при частоте, меньшей кр). Так как "красная
граница" определяется работой выхода электрона из металла, она зависит лишь
от химической природы вещества и состояния его поверхности.
"Красная граница" фотоэффекта  кр  Aвых h соответствует фотонам,
энергии которых „хватает“ только на работу выхода. Если энергия фотона
больше, чем работа выхода: h > Авых, то электроны получают кинетическую
2
/2 . При подаче на анод отрицательного (запирающего) потенэнергию m e v max
циала электроны будут тормозиться и при некотором значении U = Uз электроны не достигнут анода (фототок прекратится).
Величина задерживающего потенциала определяется из условия (4.15).
Подставив (4.15) в (4.16) и поделив полученное равенство на заряд электрона е,
получим
h
A
U з    вых .
(4.17)
e
e
Uз

A
e

0
кр
С
Рис. 4.6

Таким образом, величина задерживающего
потенциала не зависит от светового потока, а зависит только от частоты падающего
света.
Работу выхода электрона из данного
металла А и постоянную Планка h можно
определить, построив график зависимости
Uз от частоты падающего света  (рис. 4.6).
Как видно из рис. 4.6 и формулы
(4.16), tg = h e и отрезок 0С , отсекаемый на оси потенциала, дает – А/е.
4.5. Практическое применение фотоэффекта
В зависимости от судьбы электронов, поглотивших энергию светового
фотона, различают три основных вида фотоэффекта: внешний фотоэффект
(рассмотрен нами выше), внутренний и вентильный фотоэффекты.
Внутренний фотоэффект (или фотопроводимость)  это явление увеличения электропроводности полупроводников и диэлектриков под влиянием
освещения.
Вентильный фотоэффект (или фотоэффект в запирающем слое) – это
явление возникновения ЭДС при освещении контакта двух разных полупроводников (р и п  типа) или полупроводника и металла в отсутствие внешнего
электрического поля.
66
Изучение явления фотоэффекта сыграло большую роль не только в науке
для установления правильного взгляда на природу света, но и в практической
деятельности человека.
Приборы, действие которых основано на явлении фотоэффекта (любого
вида), называются фотоэлементами. Фотоэлементы являются основной частью
в конструкциях фотореле, имеющих широчайшее применение для целей автоматизации, сигнализации, телеуправления, а также в звуковом кино и телевидении. Кроме того, фотореле применяются: для предохранения от травматизма
при работе на штампах, прессах; для охраны сейфов и помещений; для счета
массовой продукции, движущейся по конвейеру; в автоматических маяках; в
фотоэкспонометрах, применяемых в фотографии, и люксметрах, измеряющих
освещенность помещений, и т.д.
Исключительный интерес представляет вентильный фотоэффект, при котором происходит непосредственное преобразование световой энергии в электрическую без всяких вспомогательных механизмов. Вентильный фотоэффект
наблюдается в рп переходах, с которыми мы познакомились при изучении полупроводниковых выпрямителей.
Рассмотрим механизм действия
вентильного фотоэлемента (рис. 4.7).
I
На границе двух полупроводников р и
п типа существует рп переход с
р
направлением электрического поля в

нем от п к р полупроводнику.
G
E
Если на рполупроводник напраn
вить свет, то освобожденные им свяR
занные электроны начнут двигаться в
направлении силы,
действующей со

стороны поля Е , т.е. из робласти в
Рис. 4.7.
Схема
вентильного
фотоэлемента
побласть.
В
результате
в
пполупроводнике образуется избыток
электронов, а в рполупроводнике – избыток дырок. Эти электроны и дырки собираются на противоположных поверхностях фотоэлемента, поэтому между ними образуется фото-ЭДС, и во
внешней цепи возникает ток I. Сила фототока растет прямо пропорционально
увеличению светового потока. КПД вентильного фотоэлемента определяется
отношением получаемой электроэнергии к падающей на фотоэлемент энергии
излучения (КПД достигает 20%). Батарея вентильных фотоэлементов, преобразующих солнечный свет в электрический ток, называется солнечной батареей.
Солнечные батареи питают радиоаппаратуру космических кораблей и искусственных спутников Земли.
67
4.6. Фотоны. Масса и импульс фотона
Согласно квантовым гипотезам Планка и Эйнштейна свет испускается,
распространяется и поглощается дискретными порциями – квантами. Фотоэлектрический процесс выглядит так, как если бы световая энергия переносилась отдельными частицами, причем каждая такая частица, попадая в атом,
передает ему свою энергию полностью, что несовместимо с понятием волны.
Свет представляет собой поток отдельных частиц  фотонов.
До сих пор при объяснении квантовых оптических явлений использовалась одна характеристика фотона  его энергия: ε = h .
Помимо энергии фотон обладает массой и импульсом. Массу фотона
можно найти из формулы, выражающей связь массы и энергии в теории относительности:
E = mc2,
εф = hν,
hν = mc2,
откуда
mф 
h
c
2
.
(4.18)
Масса фотона существенно отличается от массы макроскопических тел и
других элементарных частиц (электронов, протонов, нейтронов и др.). Это отличие состоит в том, что фотон не обладает массой покоя m0. Если считать, что
фотон обладает массой покоя и движется со скоростью с, применение формулы, выражающей зависимость массы от скорости
m
m0
1  v / c 2
приводит к абсурду ( m =  ). Таким образом, покоящихся фотонов не существует.
Импульс фотона (в соответствии с (4.18) и формулой  = c/)
p ф  mф с 
h h
 .
c 
(4.19)
Итак, все три корпускулярные характеристики фотона (как частицы) mф ,
ф и рф связаны с волновой характеристикой света  его частотой  (или длиной волны  ).
68
4.7. Давление света
Одним из экспериментальных подтверждений наличия у фотонов массы и
импульса является существование светового давления. Мысль о том, что свет
при встрече с телами должен оказывать на них давление, была высказана ещё
немецким астрономом И.Кеплером в XVII веке.
С точки зрения теории фотонов давление света на поверхность происходит в результате передачи импульса при поглощении и отражении света поверхностью.
Рассчитаем давление, оказываемое на плоскую поверхность падающим
нормально монохроматическим световым потоком с частотой . Пусть в единицу времени на единицу площади тела падает N фотонов. При коэффициенте отражения  (коэффициент отражения равен отношению энергии отраженной к
энергии падающей) света от поверхности тела N фотонов отразится, а (1–)N –
поглотится. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс
pф  h c , а каждый отраженный передает импульс pф   pф  2h c .
Используя второй закон Ньютона и формулу давления, можно получить
формулу для давления света. Давление света р на поверхность равно импульсу,
который передают единице поверхности N фотонов в 1 секунду:



Ft  mv  ;
p

pF S ;
mv
h
h
1  N  1   h N ,
 2 N 
t  S
c
c
c
где hN = Eф  энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в
единицу времени.
В итоге давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность:
p
Eф
c
1    w 1   ,
(4.20)
где w  Eф c – объемная плотность энергии излучения.
Световое давление ничтожно мало. Так, прямые солнечные лучи в яркий
день оказывают при полном поглощении давление 410-7 Н/м2. Благодаря столь
малой величине, заметить световое давление трудно.
Впервые экспериментально световое давление на твердые тела было обнаружено и измерено русским физиком П.Н. Лебедевым в 1901 году. В 1908 году Лебедев решил ещё более трудную задачу  экспериментально обнаружил и
измерил световое давление на газы. Эта работа подтвердила правильность гипотезы русского астронома Ф.А. Бредихина об образовании кометных хвостов:
69
тот факт, что кометные хвосты всегда отклонены от Солнца, объясняется световым давлением.
Несмотря на малое значение светового давления, с ним приходится считаться. Так, неравномерное освещение искусственных спутников Земли приводит в некоторых случаях к возникновению нежелательных вращающих моментов, что приходится учитывать при расчете условий полета космических аппаратов. Световое давление играет большую роль в эволюции горячих звезд, так
как препятствует сжатию звезды под действием гравитационных сил.
4.8. Эффект Комптона
Рассмотренный выше фотоэлектрический эффект показывает, что взаимодействие света с веществом происходит путем передачи энергии фотона.
Наличие светового давления свидетельствует о передаче импульса фотона. Однако наиболее полно и ярко корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона.
В 1923 году американский физик А. Комптон, исследуя рассеяние
монохроматических рентгеновских лучей веществами с легкими атомами (парафином, бором и др.), обнаружил, что в составе рассеянного излучения наряду
с излучением первоначальной длины волны наблюдается также излучение более длинных волн.
РТ
Схема опыта Комптона предD D1
ставлена на рис. 4.8. Монохроматичесрассеиватель (кристалл)
кое рентгеновское излучение с длиной
волны , испускаемое рентгеновской

трубкой (РТ), проходит через диафрагмы D и D1 и в виде узкого пучка падает
на рассеиватель. Рассеянные лучи анализируются с помощью спектрографа
спектрограф
рентгеновских лучей.
Попытки
объяснить
эффект
Рис. 4.8.
Комптона c волновой точки зрения
Схема опыта Комптона
оказались безуспешными. Тогда для
его объяснения была использована
квантовая теория (взаимодействием
световых фотонов с электронами вещества). Совпадение теоретических результатов с опытными данными подтвердило правильность квантовой теории.
Если при объяснении фотоэффекта достаточно было закона сохранения
энергии, а при объяснении механизма светового давления закона сохранения
импульса, то эффект Комптона для своего объяснения требует применения двух
законов сохранения (энергии и импульса).
Изложим кратко квантовую теорию явления Комптона. Будем рассматривать взаимодействие рентгеновского излучения с веществом как процесс столк-
70
новения рентгеновских фотонов со
свободными электронами по законам упругого столкновения. Исmv
пользуем законы сохранения энерh/c
h/c
гии и импульса.
Пусть на покоящийся элек
трон с массой m0 и энергией покоя
e
2
m0c падает рентгеновский фотон с
h/c
энергией h (рис. 4.9). В результате упругого столкновения электрон
приобретает импульс, равный mv,
Рис. 4.9. Расчетная схема
и его полная энергия становится
равной mc2 . Фотон, столкнувшись
с электроном, передает ему часть
своей энергии и импульса и изменяет направление движения (рассеивается) на
угол .
Уменьшение энергии фотона означает уменьшение частоты (увеличение
длины волны) рассеянного излучения.
Пусть импульс и энергия рассеянного фотона равны соответственно h/c
и h.
В соответствии с законом сохранения энергии суммарная энергия фотона
и электрона до удара и после удара остается неизменной:
h  m0 c 2  h   mc 2 . (4.21)
Энергия электрона находится в обозначениях рис. 4.9 по теореме косинусов
h2
 h 
 h  
(mv)     
  2 2  cos ,
 c 
 c 
c
2
2
2
(4.22)
где v  скорость электрона.
Масса движущегося электрона m связана с его скоростью v соотношением:
m0
m
(4.23)
1  (v 2 / c 2 )
После преобразований получим:
   
h
m0 c 2
 1  cos .
71
Переходя от частоты к длине волны  
      
с
,    c , имеем:


h
1  cos  2h sin 2  .
m0 c
m0 c
2
(4.24)
Выражение (4.24) является формулой Комптона, полученной им экспериментально. Подстановка значений h , m0 и с дает величину  е  h m0 c  = 2,426
пм, называемую комптоновской длиной волны электрона.
Эффект Комптона наблюдается не только на электронах, но и на других
заряженных частицах, например, протонах. Однако ввиду большой массы протона его отдача ощущается лишь при рассеянии фотонов очень больших энергий.
Если электрон сильно связан c атомом, как это имеет место для внутренних электронов, то фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом, и в этом случае длина волны  рассеянного излучения не будет отличаться от длины волны  падающего излучения.
4.9. Двойственная корпускулярно-волновая природа света
Свет (и любое другое электромагнитное излучение  радиоволны, инфракрасное и ультрафиолетовое излучения, рентгеновские лучи, лучи) обнаруживает удивительное единство, казалось бы, взаимно исключающих свойств 
непрерывность (волны) и дискретность (фотоны), которые взаимно дополняют
друг друга. Действительно, такие явления, как интерференция, дифракция, поляризация света и другие убедительно подтверждают волновую (электромагнитную) природу света. С другой стороны, излучение абсолютно черного тела,
фотоэффект, световое давление, эффект Комптона служат доказательством
квантовых (корпускулярных) представлений о свете, как о потоке фотонов.
Одновременное существование у света волновых и квантовых свойств,
естественно, ставит вопрос об их сочетании и взаимозависимости. Оказывается,
волновые и корпускулярные свойства света не исключают, а, наоборот, взаимно
дополняют друг друга. Эта взаимосвязь отражается и в уравнениях, связывающих величины, характеризующие корпускулярные свойства электромагнитного
излучения (энергия ф , масса mф, импульс рф фотона) и его волновые свойства
(частота или длина волны):
 ф  h;
pф 
h h
 ;
c 
mф 
h
c2
.
Итак, свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Современная физика убеди-
72
тельно доказывает ошибочность всех попыток противопоставить друг другу
волновые и квантовые свойства света. Свет представляет собой диалектическое
единство этих двух свойств, Причем в проявлении этих противоположных
свойств света имеется определенная закономерность: с уменьшением длины
волны (увеличением частоты) всё более отчетливо проявляются квантовые
свойства света, а с увеличением длины волны (уменьшением частоты) основную роль играют его волновые свойства. Таким образом, если "перемещаться"
по шкале электромагнитных волн в сторону более коротких (от радиоволн до
лучей), то волновые свойства электромагнитного излучения будут постепенно уступать место всё более отчетливо проявляющимся квантовым свойствам.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какое излучение называется тепловым? Какова его природа (почему
тепловое излучение отнесено к разделу оптики)?
2. Чем отличается тепловое излучение от других видов излучений?
3. Какие физические величины служат характеристиками теплового излучения?
4. Напишите определительные формулы и дайте словесное определение
следующих физических величин: а) поток излучения, б) энергетическая светимость (излучательность) тела, в) спектральная плотность энергетической светимости тела (излучательная способность), г) поглощательная способность (коэффициент поглощения) тела.
5. От каких параметров зависят характеристики теплового излучения?
6. Какова взаимосвязь между энергетической светимостью и спектральной плотностью энергетической светимости?
7. Какое тело называется: а) абсолютно черным, б) абсолютно белым?
8. Запишите математически и сформулируйте закон Кирхгофа.
9. Какое тело поглощает больше энергии  абсолютно черное или любое другое (при равных условиях)?
10. Какое тело ярче светится при нагревании  белое или абсолютно черное (при одинаковых температурах)?
11. Какой вид имеет кривая распределения энергии в спектре излучения
абсолютно черного тела? Какие величины отложены на осях координат?
12. Каковы особенности кривой распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела?
13. Какой физической величине равна площадь под кривой распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела?
14. Напишите и сформулируйте: а) закон Стефана – Больцмана; б) закон
смещения Вина; в) второй закон Вина. Что понимают под max в законе смещения Вина?
15. Каково физическое содержание (r*,T)max во втором законе Вина?
16. В чем заключается гипотеза Планка, объясняющая законы теплового
излучения?
73
17. Что называется оптической пирометрией?
18. Что понимают под внешним фотоэлектрическим эффектом?
19. Каковы основные свойства внешнего фотоэффекта?
20. Какой вид имеют вольт-амперные характеристики внешнего фотоэффекта: при  = const ; при Ф = соnst ?
21. Какой ток называют фототоком насыщения? От чего зависит его величина?
22. Какую разность потенциалов называют задерживающей разностью
потенциалов? От чего она зависит?
23. Что понимают под "красной границей" фотоэффекта?
24. Что такое “работа выхода“, от чего она зависит?
25. В чем суть идей Эйнштейна, дополняющих и развивающих квантовую теорию Планка?
26. Запишите математически и сформулируйте словесно уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.
27. Сформулируйте законы внешнего фотоэффекта.
28. Как теория Эйнштейна объясняет эти законы, а именно: а) силу фототока насыщения, б) зависимость скорости фотоэлектронов от частоты падающего света, в) существование "красной границы" фотоэффекта?
29. Какие виды фотоэффекта Вы знаете? В чем они заключаются?
30. Каково применение фотоэффекта в науке и технике?
31. Что такое фотон?
32. Чему равны: а) энергия, б) масса, в) импульс фотона?
33. Чем фотон отличается от других элементарных частиц?
34. Как объясняется световое давление с позиций квантовой теории света?
35. Кто и когда впервые обнаружил и измерил световое давление?
36. Запишите формулу светового давления. Каково физическое содержание величин, входящих в эту формулу?
37. На какую из поверхностей свет оказывает большее давление: на белую или черную? Почему?
38. Какова роль светового давления в объяснении космических процессов?
39. В чем состоит сущность эффекта Комптона?
40. Запишите формулу Комптона для рассеяния рентгеновских лучей на
свободных электронах. Каково физическое содержание величин, входящих в
эту формулу?
41. В чем состоит корпускулярно-волновая природа света?
42. Что такое свет с точки зрения квантовой теории?
43. Какие физические величины характеризуют свойства световой частицы  фотона?
44. Какими явлениями подтверждается квантовая природа света?
45. В каких оптических явлениях свет обнаруживает: а) волновые, б)
квантовые свойства?
74
46. Как изменяются свойства электромагнитных волн при "перемещении" вдоль шкалы частот?
47. Каковы источники испускания электромагнитных волн при "перемещении" вдоль шкалы частот?
5. Атомная физика. Элементы квантовой физики
5.1. Модели атома. Спектры излучения атомов водорода
Еще в античные времена возникло представление об атомах как неделимых мельчайших частицах вещества («атомос»  неразложимый). К началу
XVIII в. существование атомов было доказано, но атомы по-прежнему считались неделимыми. В 1869 г. Д. И. Менделеев разработал Периодическую систему элементов, отражающую единую природу атомов. Напрашивался вывод
о том, что атом имеет сложное строение. Когда было доказано, что электрон
является составной частью любого атома, встал вопрос о строении атома. Результаты исследований свойств электрона и радиоактивности позволили строить конкретные модели атома.
Первая модель атома принадлежит Дж. Томсону (1903 г.). Согласно этой
модели атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка 10-10 м, внутри которого около своих положений
равновесия колеблются электроны; отрицательный суммарный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что атом устроен иначе. Это открытие принадлежит английскому физику Резерфорду. Он исследовал прохождение
αчастиц в веществе через золотую фольгу толщиной примерно 1 мкм. α–
частицы  положительно заряженные частицы с зарядом 2е- и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Проходя через фольгу, основная их
часть незначительно отклонилась (согласно предложенной Томсоном модели
атома). Но совершенно неожиданно оказалось, что примерно 1 частица из
20000 возвращается назад в сторону источника. Легкие электроны не могут существенно изменить движение тяжелых и быстрых частиц. Значительное отклонение α–частиц обусловлено тем, что они наталкиваются на тяжелую частицу с положительным зарядом. Объем этой тяжелой частицы очень мал по
сравнению с объемом атома, так как сильно отклоняются лишь немногие α–
частицы. Чтобы объяснить результаты опытов Резерфорд в 1911 г. предложил
принципиально новую модель атома, напоминающую по строению Солнечную
систему - планетарную (ядерную) модель атома. Согласно этой модели положительно заряженная часть атома не распределена по всему его объему, а сосредоточена в чрезвычайно малом объеме  ядре атома (размер – 10-15 … 10-14
м). Вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер
элемента в системе Менделеева, е  элементарный заряд), по замкнутым орби-
75
6562,8A
4861,3A
4340,5
A
4101,7A
там движутся электроны, подобно планетам вокруг Солнца, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов. В
атоме действуют электрические (кулоновские) силы.
Электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r (с центростремительным ускорением). Согласно классической электродинамике ускоренно движущийся электрон должен непрерывно излучать электромагнитные
волны, терять энергию на излучение и упасть на ядро. Однако этого не происходит. Другая трудность состояла в следующем: если принять, что частота излучаемого электроном света равна частоте колебаний электрона в атоме (или
числу оборотов в одну секунду), то излучаемый свет по мере приближения
электрона к ядру должен непрерывно изменять свою частоту. Соответственно
спектр излучаемого света должен быть сплошным (в нем должны присутствовать все частоты). Но это противоречит опыту. Атом излучает волны вполне
определенных частот, типичных для данного химического элемента, и характеризуется спектром, состоящим из отдельных спектральных линий – линейчатым спектром (рис. 5.1).
H
Hβ
Hγ
Hδ
H∞
Рис. 5.1. Серия Бальмера в спектре атома водорода
Исследования спектров излучения разреженных газов (т. е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ определенный
линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп
близко расположенных линий. Самым изученным является спектр наиболее
простого атома — атома водорода. Линии объединены в группы, которые принято называть сериями (на рис. 5.1 дана серия Бальмера в спектре атома водорода, длины волн указаны в ангстремах). Расстояние между линиями уменьшается с увеличением длины волны.
Швейцарский ученый И. Бальмер (1885 г.) подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:
76
1
1 
 1
 R 2  2  ,

n 
2
(n = 3, 4, 5, …),
(5.1)
где R = 1,10·107 м-1  постоянная Ридберга. Так как частота  = c/, то эта формула может быть представлена для частот. В дальнейшем были обнаружены серии линий в ультрафиолетовой и инфракрасной области спектра. Все серии
линий в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера:
1 
 1
  Rc 2  2  ,
n 
m
(5.2)
где m имеет в каждой данной серии постоянное значение, т =1, 2, 3, 4, 5, 6
(определяет серию), п принимает целочисленные значения начиная с (т+1)
(определяет отдельные линии этой серии).
Таким образом, в рамках модели атома Резерфорда не могли быть объяснены устойчивость атома и линейчатые спектры его излучения. Противоречия
модели Резерфорда оказалось возможным разрешить, лишь отказавшись от ряда привычных представлений классической физики.
Датский физик Нильс Бор в 1913 г. предпринял смелую попытку объяснить результаты анализа спектра атома водорода. Это была первая попытка построить качественно новую (квантовую) теорию атома.
5.2. Постулаты Бора
Предположение Бора заключалось в том, что классическая электромагнитная теория просто неприменима к электрону, движущемуся вокруг ядра. Он
предположил, что два члена в формуле Бальмера представляют собой полные
энергии электрона на двух «разрешенных» орбитах в атоме водорода. Если
R
умножить обе части формулы Бальмера на h и ввести обозначения E п  hc 2 ,
n
то можно написать
hν = En – Em.
Бор предположил, что энергия электрона не теряется на излучение, когда он движется по любой из разрешенных орбит.
Электрон излучает энергию только тогда, когда он совершает переход
между двумя разрешенными орбитами.
Энергия испущенного фотона в точности равна разности энергий электрона на этих орбитах.
Чтобы доказать правильность этих предположений, Бор попытался вычислить энергии этих состояний. Оказалось, что можно получить ряд дискрет-
77
ных разрешенных значений энергии «на орбитах» только при том предположении, что момент импульса квантуется, т.е. меняется скачком. В итоге в основу
своей теории Бор положил два постулата.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых
он не излучает энергию. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по
стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию
mevrn = nħ , (n = 1, 2, 3, …),
(5.3)
где me  масса электрона, v  его скорость на n-й орбите. Стационарные состояния соответствуют дискретному (прерывному) ряду дозволенных значений
энергии En.
Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной
стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией
hν = En  Em
(5.4)
Энергия фотона равна разности энергий соответствующих стационарных состояний (Еn и Еm — соответственно энергии стационарных состояний атома до
и после излучения (поглощения)). При Em<En происходит излучение фотона
(переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией. При Еm>Еn  его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту.
Набор возможных дискретных частот ν =(En  Em)/h квантовых переходов
и определяет линейчатый спектр атома. Величина n называется главным квантовым числом.
Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем – систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и
одного электрона (например, ионы Не+, Li2+).
Решая совместно уравнение второго закона Ньютона для электрона
Fk = man,
me v 2
Zee

,
r
40 r 2
(5.5)
(где mе и v  масса и скорость электрона на орбите радиуса r; ε0  электрическая
постоянная; Fk – кулоновская сила) и уравнение (5.3), получим выражение для
радиуса n-й стационарной орбиты:
78
rn  n 2
 2 4
me Ze
0
2
,
где n = 1, 2, 3, ... .
(5.6)
Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при n =1,
называемый первым боровским радиусом (r1 = а), равен
r1  a 
 2 4 0
2
 0,528  10 10 м  52,8 пм .
me e
Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из
его кинетической энергии (mv2 /2) и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра (qφ = –Ze2/(4πε0r)
me v 2
Ze 2
1 Ze 2
,
E


2
4 0 r
2 4 0 r
(5.7)
me v 2 1 2
 Ze / (40 r ) ).
(при этом учли, что
2
2
Подставляя квантованные для радиуса n-й стационарной орбиты значения
(5.6) в (5.7), получим, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:
1 Z 2 me e 4
En   2
,
n 8h 2  02
(n = 1, 2, 3, …),
(5.8)
где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.
Из формулы (5.8) следует, что энергетические состояния атома образуют
последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от
значения n. Целое число n в выражении (5.8), определяющее энергетические
уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с n >1 являются возбужденными. Энергетический уровень, соответствующий основному
состоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем; все остальные
уровни являются возбужденными.
Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z = 1), согласно формуле (5.8), возможные уровни энергии. Энергия
атома водорода с увеличением n возрастает, и энергетические уровни сближаются. Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (E1= –
13,55 эВ) при n = 1 и максимальной (Emax = 0) при n = ∞. Следовательно, значение Emax = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона).
79
Е, эВ
0,00
n
∞
5
4
3
0,84
1,50
2
Серия
Бальмера
3,38
Согласно второму постулату Бора
(5.3), при переходе атома водорода (Z =
1) из стационарного состояния n в стационарное состояние т с меньшей энергией испускается квант
me e 4  1
1
h  E n  E m   2 2  2  2
8h  0  n
m

,

откуда частота излучения
me e 4  1
1 
1 
 1
  3 2  2  2   R 2  2  (5.9)
8h  0  m
n 
n 
m
Серия Лаймана
13,55
Подставляя в формулу (5.9) m =
1 и n = 2, 3, 4, ..., получим группу линий,
Рис. 5.2
образующих серию Лаймана и соответствующих переходам электронов с возбужденных уровней (n = 2, 3, 4, ...) на основной (m = l). Аналогично, при подстановке т = 2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений n = 3, 4, 5, 6, 7 получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри (часть из них схематически представлена на рис. 5.2).
Теория Бора была первым шагом в создании квантовой механики. Дальнейшее развитие атомной физики показало справедливость постулатов Бора не
только для атомов, но и для других микроскопических систем – для молекул и
атомных ядер. Эта часть теории Бора сохранилась при дальнейшем развитии
квантовой теории. Иначе обстоит дело с моделью атом Бора, основанной на
рассмотрении движения электрона в атоме по законам классической механики
при наложении дополнительных условий квантования. Вскоре выяснилось, что
электронам присущи свойства, не согласующиеся с представлением о планетарном их движении.
1
5.3. Волновые свойства вещества. Гипотеза де Бройля.
Принцип неопределенности
Объяснение фотоэффекта и экспериментов Комптона по рассеянию фотонов продемонстрировали, что электромагнитное излучение обладает свойствами частиц. Возник вопрос о свойствах других известных частиц. Если свет
играет двойственную роль (частиц и волн), то, может быть, и электрон (как и
другие известные частицы) ведет себя подобно волне? В 1924 г. французский
физик Луи Виктор де Бройль выдвинул предположение, что наряду с корпускулярным поведением волн должно обнаруживаться волновое поведение частиц.
80
Чтобы описать волну, нужно задать ее длину. Известно, что импульс фотона связан с его длиной волны соотношением
p
E h h

 ,
c
c 

или
h
.
p
Де Бройль предположил, что точно тем же соотношением должна определяться длина волны, отвечающая движению частицы вещества. Длина волны
де Бройля:
h
(5.10)
Б  .
p
Не прошло и трех лет со времени появления гипотезы де Бройля, как волновые свойства электрона были обнаружены в экспериментах по дифракции
электронного потока на кристаллах (в качестве дифракционных решеток). Позже были обнаружены волновые свойства у других частиц, а также у атомов и
ионов.
Применять классические соображения к объектам частица-волна и отдельным событиям микромира стало невозможно. В связи с этим немецкий физик Вернер Гейзенберг пришел к мысли о том, что в природе должен существовать общий принцип, ограничивающий возможности любых экспериментов
(невозможно, например, точно определить положение и скорость такой частицы-волны в пространстве). Этот принцип, сформулированный в 1927 г., получил название принципа неопределенности.
Гейзенбергом получены соотношения, количественно выражающие эту
неопределенность:
x  p x  h ,
E  t  h
.
(5.11)
Смысл первого выражения состоит в том, что, чем более точно локализована микрочастица, тем с меньшей точностью мы знаем ее импульс. И наоборот, если мы определяем с высокой точностью импульс (скорость) частицы
(электрона, например), то такое измерение лишает нас возможности точно
узнать, где находится частица после измерения. Согласно классической теории,
частица в каждый момент занимает вполне определенное положение и имеет
точно определенную скорость движения. Попытаемся применить эти представления к элементарной частице электрону.
Локализуем электрон в одном измерении. Для этого пропустим пучок
электронов через узкую щель. Неопределенность положения электрона равна
ширине щели. При прохождении через щель электронные волны дифрагируют,
образуя на экране дифракционную картину. Неизвестно, в какое место экрана
попадет отдельный электрон. Дифракция вносит неопределенность в значение
81
импульса отдельного электрона. Второе соотношение можно проиллюстрировать следующим примером. Атом излучает фотон в течение примерно 10 –9 с.
Неопределенность в энергии фотона: E  h t  4 10 6 эВ .
Идея де Бройля послужила исходным пунктом квантовой механики, созданной в 1926 - 1927 г. трудами В. Гейзенберга, М. Борна, Э. Шредингера, и П.
Дирака.
5.4. Волновая функция и уравнение Шредингера
Наличие волновых свойств у микрочастиц сделало невозможным трактовку их как механических частиц. Уравнения движения Ньютона, описывающие движение макрочастиц, непригодны для описания движения микрочастиц. Теория, описывающая движение микрочастиц, должна учитывать все их
свойства, корпускулярные и волновые.
Де Бройль, предположивший наличие волновых свойств у частиц, , такой
теории не создал. Он не нашел уравнения, которое явилось бы для микрочастиц
тем, чем является уравнение Ньютона для макроскопических тел. Такое уравнение было найдено Шредингером в 1926 г. Так же как и уравнение Ньютона,
уравнение Шредингера не выводится. Оно постулируется, и его правильность
определяется тем, в какой мере его применение подтверждается результатами
опыта. Уравнение Шредингера, определяющее поведение микрочастицы, коренным образом отличается от уравнения Ньютона. Уравнение Ньютона определяет координаты и скорости микрочастиц как функцию времени. Уравнение
Шредингера определяет не непосредственно координаты и скорости частиц, а
их волновую функцию  как функцию координат и времени. Уравнение сходно с тем, которое описывает распространение механических волн:


  U  i
.
2m
t
(5.12)
Константы ћ и m, входящие в уравнение Шредингера, представляют собой постоянную Планка (   h 2 ) и массу частицы,   оператор Лапласа.
Результат действия этого оператора на некоторую функцию представляет собой
сумму вторых частных производных этой функции по координатам:
 2  2  2
 
 2  2
x 2
y
z
(5.13)
82
Функция будет принимать то или иное значение в зависимости от внешних условий. Внешние условия – это силы, действующие на микрочастицу,
представлены потенциальной функцией U ( x, y, z, t ).
Шредингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию,
которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» 
(пси-функция).
Каковы свойства волновой функции?
1. Квадрат амплитуды волновой функции является мерой вероятности
нахождения частицы в данном месте. Так как волновая функция  дана в комплексном виде, то квадрат амплитудного значения волновой функции определится как произведение Ψ∙Ψ*, где Ψ*  сопряженное значение функции . Поэтому вероятность (d) нахождения частицы в объеме dV может быть записана
так
dη = Ψ∙Ψ*∙dV.
(5.14)
2. Так как существование рассматриваемой частицы является достоверным, т.е. частица где-то в пространстве обязательно находится, то интеграл от
d, взятый по всему пространству, должен быть равен единице.
 

 dV 1 .
(5.15)
Интеграл берется по всему пространству. Это соотношение называется условием нормировки.
3. В силу физических свойств микрочастиц (конечного значения величины вероятности нахождения их в данном месте, определенного значения этой
величины в данных условиях и др.) волновая функция должна удовлетворять
еще и ряду ограничительных условий. Функция  должна быть во всем объеме
конечной, однозначной и непрерывной.
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то энергия
U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом
случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя, один из
которых зависит только от координат, другой – только от времени:
i ( E )t
 ( x , y , z ,t )  ( x , y , z )  e  .
(5.16)
Здесь Е – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной.
Подстановка (5.16) в уравнение Шредингера (5.12) приводит к дифференциальному уравнению, определяющему функцию ψ(x, y, z).
83
 
2m
E  U   0 .
2
(5.17)
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (5.17) имеют решения, удовлетворяющие вышеуказанным условиям, не при
любых значениях параметра (т.е. энергии Е), а лишь при некоторых избранных.
Решение уравнения показало, что ряд дискретных значений энергии «разрешенных орбит» в точности соответствуют энергии в теории Бора, но электронные «орбиты» в данном случае отсутствовали. Вместо этого каждому энергетическому состоянию соответствовала волновая функция, которая описывала амплитуду электронной волны в любой точке окрестности ядра. Квадрат этой амплитуды пропорционален вероятности нахождения электрона в данной точке.
Согласно квантовому представлению для электрона существует лишь
электронная плотность вероятности в виде облака, симметрично расположенного около ядра. Электрон не находится на каком - то точно определенном расстоянии от ядра, не существует электронных «орбит», а вместо этого имеется
размытое электронное распределение рис. 5.3. Можно указать лишь вероятность того, что электрон находится на данном расстоянии от ядра.
n=1, l=0
1s
n=2, l=0
2s
n=2,
l=1, ml=0
2p
n=2,
l=1, ml=1
2p
Рис. 5.3. Распределения электронов
Волновая функция зависит от трех квантовых чисел: главного (n), орбитального (или азимутального) l и магнитного (m)  ψ(х, у, z, t)n,l,m .
Квантовые числа были впервые введены в физику для описания найденных эмпирически закономерностей атомных спектров, однако смысл квантовых
чисел и связанной с ними дискретности некоторых физических величин, характеризующих поведение микрочастиц, был раскрыт лишь квантовой механикой.
5.5. Квантовомеханическое описание состояния электрона в атоме.
Принцип Паули. Структура электронных оболочек атома
При исследовании спектров испускания щелочных металлов были обнаружены линии, которые не позволяла рассчитать теория Бора. Немецкий теоре-
84
тик Арнольд Зоммерфельд предположил, что энергия данного состояния зависит в некоторой степени от момента импульса электрона при движении по эллиптическим орбитам разной формы. Для характеристики орбитального момента импульса вводится новое квантовое число l, l = 0, 1, 2, ...., n–1. Орбитальный
момент импульса по-прежнему квантуется, принимая теперь значения
L
l (l  1) , т.е. не зависит от главного квантового числа n.
Однако в случае более сложных электронных систем возникли непреодолимые трудности. Если атом поместить в магнитное поле, то некоторые спектральные линии, представляющие собой синглеты (одиночные линии), превращаются в мультиплеты (дублеты, триплеты и т.д.). Этот эффект, обнаруженный
в 1896 году, называемый эффектом Зеемана, можно объяснить только с помощью дополнительной гипотезы, вводя еще одно квантовое число. В рамках теории Бора делается допущение, что проекция момента импульса на направление
поля квантуется, т.е. если определяется проекция момента импульса на направление поля, всегда получается число, кратное ћ
LZ = mћ,
где m = l, l–1, ..., 0, …., –l. Вследствие этого энергетический уровень расщепляется на подуровни.
В интерпретации атомных спектров оставалось еще много необъясненных фактов. Оставалось неясным, почему некоторые спектральные линии, которые согласно ожиданиям должны быть синглетами, в действительности оказывались дублетами. Некоторые зеемановские мультиплеты оказались аномальными и содержали большее число линий.
В 1925 г. было высказано предположение о том, что оба эффекта свидетельствуют о наличии у электрона собственных момента импульса и магнитного момента, помимо тех, которые обусловлены орбитальным движением. С
классической точки зрения можно представить электрон в виде вращающегося
заряженного шарика. Вращающийся заряд эквивалентен крошечному круговому току (собственный магнитный момент). Механическое вращение создает
момент импульса. Эта классическая модель теряет смысл в рамках квантовой
теории (эти величины являются внутренними свойствами электрона подобно
заряду и массе). Тем не менее, это представление весьма удобно и им часто
пользуются. Собственный момент импульса электрона называют спином.
Спин – векторная величина

S  S S  1  ,
(5.18)
в которой S – спиновое квантовое число, имеющее только одно значение S =
1/2. Поэтому существуют только две разрешенные проекции на выбранное
направление SZ = mSћ; mS = +1/2, 1/2.
85
Итак, состояние электрона определяют четыре квантовых числа
n, l , m, ms .
Квантовая механика, созданная Шредингером, Гейзенбергом и другими
успешно объяснила спектр атома водорода и других одноэлектронных систем.
Введение спина позволило разрешить некоторые трудности, но не объяснило во
всех деталях строение атомов, содержащих большое число электронов. Известно, что при переходе от элемента к элементу число атомных электронов меняется регулярным образом. Многие физические и химические свойства также
меняются периодически. Элементы расположены в периодической таблице
Д..И. Менделеева группами и периодами. В связи с этим предположили, что
электроны в атоме располагаются слоями или оболочками. Каждая оболочка
заполняется целиком у инертного газа, так, что электроны, которые могут
участвовать в химических реакциях, у этих элементов отсутствуют. Элементы
первой группы, соответствующие началу заполнения оболочки, имеют один валентный электрон.
Ключ к решению проблемы оболочечной структуры атома был найден
Паули в 1925 г. На каждой оболочке находится ограниченное число электронов. Паули считал, что такое ограничение должно иметь фундаментальную
причину и сформулировал следующий принцип (принцип запрета или принцип
Паули).
Принцип Паули: в атоме (как и в любой квантовой системе) не может существовать двух электронов с одинаковым набором квантовых чисел.
Согласно этому принципу, в каждом электронном состоянии в атоме может находиться только один электрон. Если данное состояние уже занято, то
последующий электрон, входя в состав атома, вынужден занимать другое состояние.
Чему равно число состояний электрона в атоме? Рассмотрим несколько
основных состояний нейтральных атомов. Пусть Z электронов в атоме расположены так, что полная энергия системы минимальна. При наименьшем значении главного квантового числа n = 1 возможно значение орбитального квантового числа только l = 0, и магнитного – m = 0. При этом возможны два состояния спинового квантового числа mS = +1/2, mS = –1/2. Поэтому в состоянии с n
= 1 могут находиться два электрона, и первая оболочка оказывается заполненной. Она называется Коболочкой. Обычно электронам с одним и тем же квантовым числом дают буквенные обозначения. Коболочка полностью заполнена
у гелия (Z = 2). Чтобы образовать литий (Z = 3) надо добавить третий электрон
в состоянии с n = 2 и начать заполнять L–оболочку. L–оболочка содержит всего 8 возможных электронных состояний и отвечает восьми элементам от Z = 3
(литий), до Z = 10 (неон – инертный газ). Однако при заполнении третьей оболочки начинает играть роль другой эффект. На удаленные от ядра электроны
действует заряд меньший, чем +Zе, т.к. внутренние электроны частично экранируют ядро.
86
Сочетание принципа Паули и эффекта экранирования заряда ядра внутренними электронами полностью объясняет структуру электронных оболочек
атома.
5.6. Вынужденное излучение. Лазеры
Атомы могут излучать самопроизвольно (спонтанно), но процесс излучения может быть и вынужденным. В первом случае падающий фотон с энергией
h возбуждает атом, переводя электрон в состояние с более высокой энергией.
Электрон возвращается в основное состояние и испускает фотон с энергией h
(рис. 5.4). В случае вынужденного излучения падающий фотон с энергией h
попадает на атом, уже находящийся в возбужденном состоянии. Фотон стимулирует высвечивание. Возникают два фотона (рис. 5.5) с энергией h, которые
движутся в одном направлении и находятся в одной фазе. Таким образом, фотоны усиливают друг друга. Это является главной особенностью вынужденного
87
h
h
h
B
B
A
A
Возбуждение
h
Высвечивание
Рис. 5.4.
Схема возбуждения атома и испускания фотона
h
Падающее
излучение
Падающее +
вынужденное
излучение
Рис. 5.5. Схема вынужденного излучения
излучения. Каждый испущенный фотон может в свою очередь стимулировать
испускание фотонов другими атомами, так что система в целом может почти
разом излучить всю энергию возбуждения в виде сгустка фотонов, находящихся в фазе друг с другом. Различие спонтанного и вынужденного излучения заключается в том, что в первом случае фотоны излучаются в случайных направлениях с разными фазами. При вынужденном излучении фотоны испускаются
почти одновременно и в одной фазе. При создании лазера решали две главные
проблемы, во-первых, «накачать» энергию в систему атомов так, чтобы большое число атомов находилось в возбужденном состоянии, и, во-вторых, добить-
88
ся того, чтобы большинство фотонов испускалось в одном направлении. Для
решения этих задач весьма подходящим оказалось одно свойство кристаллов
рубина. Энергетические уровни рубина представляют собой не тонкие линии, а
Е3
Е2
Е1
hν
hν
o
Фотоны красного света (6934 A )
Е0
Основное состояние
Рис. 5.6. Схема энергетических переходов в лазере
довольно широкие полосы (рис. 5.6).
Белый свет от источника оптической накачки содержит большое число
фотонов с энергиями внутри полос. Излучение накачки (стрелки, направленные
вверх) возбуждает электрон в две энергетические полосы Е2 и Е3. Затем происходит спонтанный переход в состояние Е1. Лазерным будет переход Е1–Е0. Соответствующее излучение лежит в красной части спектра. Кристаллу рубина
придают форму цилиндра со строго параллельными гранями. Одно основание
цилиндра посеребрено и представляет собой зеркало. Другое – покрыто серебром лишь частично, некоторая доля излучения может пройти через него. Испущенные фотоны отражаются такими параллельными зеркалами и накапливаются. Направленный пучок образуется фотонами, вылетающими через частично
отражающий торец рубинового цилиндра.
Для лазерного излучения характерны следующие особенности:
o
1) строгая монохроматичность ( Δλ  0,1 A );
2) высокая временная и пространственная когерентность;
3) большая плотность потока энергии;
4) малое угловое расхождение в пучке.
Применения лазеров многообразны, это использование пучков света с
высокой плотностью мощности для механической обработки и сварки, применение в медицине в качестве бескровных скальпелей. Лазерные локаторы позволяют контролировать распределение загрязнений в атмосфере, температуру и
89
другие параметры. С появлением лазеров связаны новые разделы физики: нелинейная оптика и голография. Возникла лазерная спектроскопия, лазерная химия (химические превращения под воздействием лазерного излучения).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Как устроен атом?
2. Постулаты Бора.
3. Как происходит излучение видимого света атомом?
4. Как происходит излучение рентгеновских лучей атомом?
5. Как происходит излучение   квантов атомом?
6. Какой процесс описывает обобщенная формула Бальмера? Что обозначают  , n , m в этой формуле?
7. Что такое «спектр испускания», «спектр поглощения»?
8. В чем состоит существо гипотезы де Бройля? Какими опытами подтверждается гипотеза де Бройля?
9. Почему поведение микрочастицы описывают волновой функцией?
10. От чего зависит вид волновой функции?
11. Какие ограничения накладывают на волновую функцию и как эти
ограничения отражают особенности поведения микрочастицы?
12. Почему принцип Паули называют «принципом запрета»?
13. Какой принцип и особенность влияния электронов друг на друга полностью объясняют структуру электронных оболочек атома?
14. Почему соотношение Гейзенберга называют принципом неопределенности?
15. Почему понятия координаты и импульса не могут быть применены к
микроскопическим объектам?
16. Что означает выражение «величина дискретна», или «квантуется»?
17. Что такое индуцированное, или вынужденное излучение?
18. Практическое применение лазеров?
6. Атомное ядро. Элементарные частицы
6.1. Характеристики атомного ядра.
Размер, состав и заряд атомного ядра
Атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его
электронов. Атомные ядра имеют размеры примерно 10 -14… 10 -15 м (линейные
размеры атома – 10-10 м).
Атомное ядро состоит из элементарных частиц  протонов и нейтронов.
Протонно-нейтронная модель ядра была предложена российским физиком Д. Д.
Иваненко, а впоследствии развита В. Гейзенбергом.
90
Протон (р) имеет положительный заряд, равный заряду электрона, и массу покоя тp= 1,6726∙10-27 кг  1836 me, где me  масса электрона. Нейтрон (n) 
нейтральная частица с массой покоя mn= 1,6749∙10-27 кг  1839 тe,. Массу протонов и нейтронов часто выражают в других единицах – в атомных единицах
12
массы (а.е.м., единица массы, равная 1/12 массы атома углерода 6 C ). Массы
протона и нейтрона равны приблизительно одной атомной единице массы.
Протоны и нейтроны называются нуклонами (от лат. nucleus  ядро). Общее
число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А).
Радиусы ядер возрастают с увеличением массового числа в соответствии
с соотношением R = 1,4 А1/310-13 см.
Эксперименты показывают, что ядра не имеют резких границ. В центре
ядра существует определенная плотность ядерного вещества, и она постепенно
уменьшается до нуля с увеличением расстояния от центра. Из-за отсутствия
четко определенной границы ядра его «радиус» определяется как расстояние от
центра, на котором плотность ядерного вещества уменьшается в два раза.
Среднее распределение плотности материи для большинства ядер оказывается
не просто сферическим. Большинство ядер деформировано. Часто ядра имеют
форму вытянутых или сплющенных эллипсоидов
Атомное ядро характеризуется зарядом Ze, где Z  зарядовое число ядра,
равное числу протонов в ядре и совпадающее с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов Менделеева.
A
Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: Z X , где X
 символ химического элемента, Z  атомный номер (число протонов в ядре), А
 массовое число (число нуклонов в ядре). Массовое число А приблизительно
равно массе ядра в атомных единицах массы.
Так как атом нейтрален, то заряд ядра Z определяет и число электронов в
атоме. От числа электронов зависит их распределение по состояниям в атоме.
Заряд ядра определяет специфику данного химического элемента, т. е. определяет число электронов в атоме, конфигурацию их электронных оболочек, величину и характер внутриатомного электрического поля.
Ядра с одинаковыми зарядовыми числами Z, но с разными массовыми
числами А (т. е. с разными числами нейтронов N = A – Z), называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z – изобарами. Например, водород
(Z = l) имеет три изотопа: 11 Н – протий (Z = l, N = 0), 21 Н – дейтерий (Z = l, N =
1), 31 Н – тритий (Z = l, N = 2), олово – десять изотопов и т. д. В подавляющем
большинстве случаев изотопы одного и того же химического элемента обладают одинаковыми химическими и почти одинаковыми физическими свойствами.
91
Квантовая теория строго ограничивает
значения энергий, которыми могут обладать
составные части ядер. Совокупности протонов
и нейтронов в ядрах могут находиться только
в определенных дискретных энергетических
состояниях, характерных для данного изотопа.
Когда электрон переходит из более высокого в более низкое энергетическое состояние, разность энергий излучается в виде фотона. Энергия этих фотонов имеет порядок нескольких электронвольт. Для ядер энергии
уровней лежат в интервале примерно от 1 до
10 МэВ. При переходах между этими уровнями испускаются фотоны очень больших энергий (γ–кванты). Для иллюстрации таких переходов на рис. 6.1 приведены пять первых
Е, МэВ
3,58
2,15
1,74
0,72
10
уровней энергии ядра 5 B . Вертикальными
линиями указаны наблюдаемые переходы.
Например, γквант с энергией 1,43 МэВ испускается при переходе ядра из состояния с
энергией 3,58 МэВ в состояние с энергией 2,15
МэВ.
Рис. 6.1.
Уровни энергии
и наблюдаемые переходы
для ядра атома бора
6.2. Дефект массы и энергия связи ядра
Исследования показывают, что атомные ядра являются устойчивыми образованиями. Это означает, что в ядре между нуклонами существует определенная связь.
Массу ядер очень точно можно определить с помощью масс-спектрометров  измерительных приборов, разделяющих с помощью электрических
и магнитных полей пучки заряженных частиц (обычно ионов) с разными удельными зарядами q/m. Масс-спектрометрические измерения показали, что масса
ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов.
Величина
 m = [Zmp + (А–Z)mn] – mя,
(6.1)
называется дефектом массы ядра. На эту величину уменьшается масса всех
нуклонов при образовании из них атомного ядра.
Согласно соотношению Эйнштейна между массой и энергией
E=mc2
(6.2)
всякому изменению массы должно соответствовать изменение энергии. Следовательно, при образовании ядра должна выделяться определенная энергия. Из
92
закона сохранения энергии вытекает и обратное: для разделения ядра на составные части необходимо затратить такое же количество энергии, которое выделяется при его образовании. Энергия, которую необходимо затратить, чтобы
расщепить ядро на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра.
Поэтому в соответствии с формулами (6.1– 6.2) энергия связи нуклонов в
ядре имеет вид
Есв =[ [Zmp + (А–Z)mn] – mя ] c2,
(6.3)
где тp, тn, тя  соответственно массы протона, нейтрона и ядра.
В таблицах обычно приводятся не массы ядер тя, а массы т атомов. Поэтому для энергии связи ядра пользуются формулой
Есв = [ZmН + (A – Z)mn – m] c2,
(6.4)
где mН  масса атома водорода.
6.3. Ядерные силы
Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами.
С помощью экспериментальных данных по рассеянию нуклонов на ядрах,
ядерным превращениям и т. д. доказано, что ядерные силы намного превышают
гравитационные, электрические и магнитные взаимодействия и не сводятся к
ним. Ядерные силы относятся к классу так называемых сильных взаимодействий.
Перечислим основные свойства ядерных сил:
1) ядерные силы являются силами притяжения;
2) ядерные силы являются короткодействующими – их действие проявляется только на расстояниях примерно 10-15 м. При увеличении расстояния
между нуклонами ядерные силы быстро уменьшаются до нуля, а при расстояниях, меньших их радиуса действия, оказываются примерно в 100 раз больше
кулоновских сил, действующих между протонами на том же расстоянии;
3) ядерным силам свойственна зарядовая независимость: ядерные силы,
действующие между двумя протонами, или двумя нейтронами, или, наконец,
между протоном и нейтроном, одинаковы по величине. Отсюда следует, что
ядерные силы имеют неэлектрическую природу;
4) ядерным силам свойственно насыщение, т. е. каждый нуклон в ядре
взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов.
Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи нуклонов в ядре (если не учитывать легкие ядра) при увеличении числа нуклонов не растет, а остается приблизительно постоянной;
93
5) ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Например, протон и нейтрон образуют дейтрон (ядро изотопа
2
1 H) только при условии параллельной ориентации их спинов;
6) ядерные силы не являются центральными, т. е. действующими по линии, соединяющей центры взаимодействующих нуклонов.
6.4. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада
Французский физик А. Беккерель (1852  1908) в 1896 г. при изучении
люминесценции солей урана случайно обнаружил самопроизвольное испускание ими излучения неизвестной природы, которое действовало на фотопластинку, ионизировало воздух, проникало сквозь тонкие металлические пластинки,
вызывало люминесценцию ряда веществ. Продолжая исследование этого явления, супруги Кюри  Мария и Пьер  обнаружили, что такое излучение свойственно не только урану, но и многим другим тяжелым элементам, таким, как
торий и актиний. Удалось выделить два новых элемента  носителя беккерелев226
ского излучения: полоний 210
84 Рo и радий 88 Ra.
Обнаруженное излучение было названо радиоактивным, а само явление 
испускание радиоактивного излучения  радиоактивностью. Дальнейшие опыты показали, что на характер радиоактивного излучения препарата не оказывают влияния вид химического соединения, агрегатное состояние, механическое
давление, температура, электрические и магнитные поля, т. е. все те воздействия, которые могли бы привести к изменению состояния электронной оболочки
атома. Следовательно, радиоактивные свойства элемента обусловлены лишь
структурой его ядра.
В настоящее время под радиоактивностью понимают способность некоторых атомных ядер самопроизвольно (спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием различных видов радиоактивных излучений и элементарных
частиц. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским, возникающее ядро  дочерним.
Радиоактивность подразделяется на естественную (наблюдается у неустойчивых изотопов, существующих в природе) и искусственную (наблюдается у изотопов, полученных посредством ядерных реакций). Принципиального
различия между этими двумя типами радиоактивности нет, так как законы радиоактивного превращения в обоих случаях одинаковы.
Радиоактивное излучение бывает трех типов: α, β, γ–излучение. α–
излучение представляет собой поток ядер гелия: заряд α–частицы равен +2е, а
масса совпадает с массой ядра изотопа гелия 42 He. α–частица отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает высокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью (например, поглощается слоем алюминия толщиной примерно 0,05 мм).
β–излучение представляет собой поток быстрых электронов. β–частица
отклоняется электрическим и магнитным полями, ее ионизирующая способность значительно меньше (примерно на два порядка), а проникающая способ-
94
ность гораздо больше, чем у α–частиц (поглощается слоем алюминия толщиной
примерно 2 мм).
β–излучение сильно рассеивается в веществе (зависит не только от вещества, но и от размеров и формы тел, на которые β–излучение падает).
γ–излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с чрезвычайно малой длиной волны  <10-10 м и вследствие этого – ярко выраженными корпускулярными свойствами, т. е. является потоком частиц
γ–квантов (фотонов). γ–излучение не отклоняется электрическим и магнитным
полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень
большой проникающей способностью (например, проходит через слой свинца
толщиной 5 см), при прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию.
Теория радиоактивного распада строится на предположении о том, что
распад является спонтанным процессом, подчиняющимся законам статистики.
Так как отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга,
то можно считать, что число ядер dN, распавшихся в среднем за интервал времени от t до t+dt, пропорционально промежутку времени dt и числу N нераспавшихся ядер к моменту времени t:
dN = –λNdt,
(6.5)
где λ  постоянная для данного радиоактивного вещества величина, называемая
постоянной радиоактивного распада; знак минус указывает, что общее число
радиоактивных ядер в процессе распада уменьшается. Разделив переменные и
интегрируя
dN
 dt
N
N

t
dN
N N   0 dt
0
 ln
N
 t ,
N0
получим
N  N 0 e  t ,
(6.6)
где N0  начальное число нераспавшихся ядер в момент времени t = 0; N  число нераспавшихся ядер в момент времени t. Формула (6.6) выражает закон радиоактивного распада, согласно которому число нераспавшихся ядер убывает
со временем по экспоненциальному закону.
Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две величины: период полураспада T1/2 и среднее время жизни τ радиоактивного ядра.
Период полураспада T1/2  время, за которое исходное число радиоактивных
ядер в среднем уменьшается вдвое. Тогда, согласно (6.6)
N0
 N 0 e T1 / 2 ,
2
откуда
95
ln 2 0,693

.


T1 / 2 
Периоды полураспада для естественно-радиоактивных элементов колеблются от десятимиллионных долей секунды до многих миллиардов лет.
Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна t|dN| =  Ntdt. Проинтегрировав это выражение по всем возможным t (т.е. от 0 до  ) и разделив на
начальное число ядер N 0 , получим среднее время жизни τ радиоактивного ядра:



1
1
1

Ntdt 
N 0tet dt    tet dt  .


N0 0
N0 0

0
Таким образом, среднее время жизни τ радиоактивного ядра есть величина, обратная постоянной радиоактивного распада  .
Радиоактивный распад происходит в соответствии с так называемыми
правилами смещения, позволяющими установить, какое ядро возникает в результате распада данного материнского ядра.
Правила смещения:
где
A
Z X
для αраспада,
A
A4
4
Z X  Z  2 Y  2 He ,
(6.7)
для βраспада,
A
A
0
Z X  Z 1Y  1 e ,
(6.8)
 материнское ядро; Y  символ дочернего ядра;
4
2 He
 ядро гелия
(αчастица); 10 e  символическое обозначение электрона (заряд его равен е, а
массовое число – нулю). Правила смещения являются ничем иным, как следствием двух законов, выполняющихся при радиоактивных распадах, – закона
сохранения электрического заряда и закона сохранения массового числа: сумма
зарядов (массовых чисел) возникающих ядер и частиц равна заряду (массовому
числу) исходного ядра. Возникающие в результате радиоактивного распада ядра могут быть, в свою очередь, радиоактивными. Это приводит к возникновению цепочки или ряда радиоактивных превращений, заканчивающихся стабильным элементом. Совокупность элементов, образующих такую цепочку,
называется радиоактивным семейством.
6.5. Элементарные частицы
В начале 30-х годов ХХ столетия физика нашла приемлемое описание
строения вещества на основе четырех типов элементарных частиц – протонов,
нейтронов, электронов и фотонов. Добавление пятой частицы – нейтрино – позволило объяснить также процессы радиоактивного распада. Казалось, что
названные элементарные частицы являются первокирпичиками мироздания.
96
Но эта кажущаяся простота вскоре исчезла. Вскоре был обнаружен позитрон. В 1936 г. среди продуктов взаимодействия космических лучей с веществом был открыт первый мезон. После этого удалось наблюдать мезоны иной
природы, а также другие необычные частицы. Эти частицы рождались под действием космических лучей довольно редко. Однако после того, как были построены ускорители, позволяющие получать частицы больших энергий, удалось открыть более 300 новых частиц.
Что же тогда понимать под словом "элементарная"? "Элементарная" 
логический антипод "сложной". Элементарные частицы  значит первичные,
далее неразложимые частицы, из которых состоит вся материя. К сороковым
годам был известен уже ряд превращений "элементарных" частиц. Число частиц продолжает расти. Большая их часть нестабильна. Среди десятков известных микрочастиц всего несколько устойчивых, неспособных к самопроизвольным превращениям. Не является ли устойчивость по отношению к самопроизвольным превращениям признаком элементарности?
Ядро дейтерия (дейтрон) состоит из протона и нейтрона. Как частица,
дейтрон совершенно устойчив. В то же время составная часть дейтрона,
нейтрон, радиоактивен, т.е. неустойчив. Этот пример показывает, что понятия устойчивости и элементарности  не тождественны. В современной физике
термин «Элементарные частицы» обычно употребляется для наименования
большой группы мельчайших частиц материи (которые не являются атомами, или атомными ядрами).
Все элементарные частицы обладают исключительно малыми массами и
27
размерами. У большинства из них масса порядка массы протона  1,6 10 кг
(заметно меньше лишь масса электрона 0,9  10 31 кг ). Микроскопические размеры
и массы элементарных частиц обусловливают квантовые закономерности их
поведения. Наиболее важное квантовое свойство всех элементарных частиц –
способность рождаться и уничтожаться (испускаться и поглощаться) при взаимодействии с другими частицами.
Известны четыре типа различных по своей природе взаимодействий
между частицами: гравитационное, электромагнитное, ядерное, а также взаимодействие во всех процессах с участием нейтрино. Каковы особенности четырех перечисленных видов взаимодействия?
Наиболее сильным является взаимодействие между ядерными частицами
("ядерные силы"). Это взаимодействие принято называть сильным. Уже отмечалось, что ядерные силы действуют лишь при весьма малых расстояниях между
частицами: радиус действия порядка 10-13 см.
Следующим по величине является электромагнитное взаимодействие.
Оно меньше сильного на два порядка. Но с расстоянием оно меняется медленнее, как 1/r2, так что радиус действия электромагнитных сил бесконечен.
Далее следует взаимодействие, обусловленное участием в реакциях
нейтрино. По порядку величины эти взаимодействия меньше сильных взаимодействий в 1014 раз. Эти взаимодействия принято называть слабыми. По-
97
видимому, радиус действия здесь такой же, как и в случае сильного взаимодействия.
Самое малое из известных взаимодействии – гравитационное. Оно
меньше сильного на 39 порядков  в 1039 раз! С расстоянием гравитационные
силы убывают столь же медленно, как и электромагнитные, так что их радиус
действия также бесконечен.
В космосе основная роль принадлежит гравитационным взаимодействиям, т.к. радиус действия сильных и слабых взаимодействий ничтожен. Электромагнитные взаимодействия играют ограниченную роль потому, что электрические заряды противоположных знаков стремятся к образованию
нейтральных систем. Гравитационные силы  всегда силы притяжения. Их
нельзя скомпенсировать силой обратного знака, от них нельзя экранироваться.
Отсюда  их доминирующая роль в космосе.
Величине сил взаимодействия соответствует и время, необходимое для
осуществления реакции, обусловленной этим взаимодействием. Так процессы,
обусловленные сильным взаимодействием, требуют времени порядка 10 -23 сек.
(успевает произойти реакция при столкновении частиц больших энергий).
Время, необходимое для осуществления процесса, обусловленного электромагнитным взаимодействием, требует ~10-21 сек., слабым взаимодействием ~10-9
сек. В реакциях, обусловленных взаимодействиями частиц, гравитационные
силы практически никакой роли не играют.
Перечисленные взаимодействия имеют, по-видимому, разную природу, т.
е. не сводятся одно к другому. В настоящее время нет возможности судить, исчерпывают ли указанные взаимодействия все имеющиеся в природе.
Класс элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии,
называется адронами (протон, нейтрон и др.). Класс частиц, не обладающих
сильным взаимодействием, называется лептонами. К лептонам относятся электрон, мюон, нейтрино, тяжелый лептон и соответствующие им античастицы.
Античастицы, совокупность элементарных частиц, имеющих те же значения
масс и прочих физических характеристик, что и их «двойники», но отличающиеся от них знаком некоторых характеристик взаимодействий (например,
электрического заряда, магнитного момента): электрон и позитрон, нейтрино и
антинейтрино. По современным представлениям нейтрино и антинейтрино отличаются друг от друга одной из квантовых характеристик – спиральностью,
определяемой как проекция спина частицы на направления ее движения (импульс). У нейтрино спин S ориентирован антипараллельно импульсу Р, т.е.
направления Р и S образуют левый винт и нейтрино обладает левой спиральностью (рис. 6.2). У антинейтрино эти направления образуют правый винт, т.е.
антинейтрино обладает правой спиральностью.
При столкновении частицы и античастицы они могут взаимно уничтожиться  "аннигилировать". На рис. 6.3 изображен процесс аннигиляции электрона и позитрона с возникновением двух гамма-квантов. При этом соблюдаются все известные законы сохранения  энергии, импульса, момента импульса,
закон сохранения зарядов. Для рождения пары электрон  позитрон необходи-
98
мо израсходовать энергию, не меньшую суммы собственных энергий этих частиц, т.е. ~ 106 эВ. При аннигиляции такой пары эта энергия отдается либо с порождаемым при аннигиляции излучением, либо распределяется среди других частиц.
Из закона сохранения заряда
следует, что заряженная частица не
может возникнуть без того, чтобы
не возникла другая с зарядами обратных знаков (чтобы суммарный



P
P
S
h
е+
е–
Нейтрино

S
Антинейтрино
h
Рис. 6.2.
Начало процесса
Конец процесса
Схемы нейтрино и антинейтрино
Рис. 6.3.
Схема процесса аннигиляции электрона и позитрона
заряд всей системы частиц не менялся). Примером такой реакции является реакция превращения нейтрона в протон с одновременным образованием электрона и вылетом нейтрино
n  11 p 
1
0
0
1
e  00 ~νe
.
(6.9)
Электрический заряд при этом превращении сохраняется. Точно так же сохраняется он при превращении фотона в пару электрон позитрон или при рождении такой же пары в результате столкновения двух электронов.
Существует гипотеза, что все элементарные частицы являются комбинациями трех основных частиц, называемых кварками, и их античастиц. В свободном состоянии кварки не были обнаружены (несмотря на многочисленные
их поиски на ускорителях высоких энергий, в космических лучах и окружающей среде).
Невозможно описать свойства и превращения микрочастиц без какойлибо их систематизации. Систематизации, построенной на основе строгой теории, нет.
Две основные группы элементарных частиц составляют сильно взаимодействующие (адроны) и слабо взаимодействующие (лептоны) частицы. Адроны делятся на мезоны и барионы. Барионы подразделяются на нуклоны и гипе-
99
роны. К лептонам относятся электроны, мюоны и нейтрино. Ниже приведены
величины, с помощью которых систематизируют микрочастицы.
1. Массовое или барионное число А. Многочисленные факты, наблюдаемые в процессе деления ядер, рождения пары нуклон и антинуклон, позволяют
утверждать, что в любом процессе число нуклонов остается постоянным. Всем
барионам приписывают число А = +1, каждой античастице А = –1. Закон сохранения барионного заряда выполняется точно во всех ядерных процессах. Кратными значениями барионного числа обладают сложные частицы. У всех мезонов и лептонов барионное число равно нулю.
2. Электрический заряд q представляет собой число единиц электрического заряда (в единицах положительного заряда протона), присущего частице.
3. Изотопический спин (не имеет отношения к реальному спину). Силы,
действующие между нуклонами в ядре, почти не зависят от типа нуклонов, т.е.
ядерные взаимодействия рр, рn и nn одинаковы. Эта симметрия ядерных сил
приводит к сохранению величины, называемой изотопическим спином. Изоспин сохраняется в сильных взаимодействиях и не сохраняется в процессах, вызванных электромагнитным и слабым взаимодействием.
4. Странность. Чтобы объяснить, почему не происходят некоторые процессы с участием адронов М. Гелл-Манн и К. Нишиджима в 1953 г. предложили ввести новое квантовое число, которое они назвали странностью. Странность стабильных адронов лежит в пределах от –3 до +3 (целые числа). Странность лептонов не определена. В сильных взаимодействиях странность сохраняется.
5. Спин. Характеризует спиновый момент импульса.
6. Четность. Внутреннее свойство частицы, связанное с ее симметрией
по отношению к правому и левому. До недавнего времени физики полагали,
что различия между правым и левым нет. Впоследствии оказалось, что они
неравноценны для всех процессов слабого взаимодействия – что было одним из
наиболее удивительных открытий в физике.
В классической физике вещество и физическое поле противопоставлялись
друг другу как два вида материи. Вещество слагается из элементарных частиц,
это вид материи, обладающей массой покоя. У вещества структура дискретна, у
поля непрерывна. Но квантовая физика привела к нивелированию этого представления. В классической физике полагается, что на частицы действуют силовые поля – гравитационное и электромагнитное. Других полей классическая
физика не знала. В квантовой физике за полями видят истинных переносчиков
взаимодействия – кванты этих полей, т.е. частицы. Для классических полей это
гравитоны и фотоны. Когда поля достаточно сильны и квантов много, мы перестаем различать их как отдельные частицы, и воспринимаем как поле. Носителями сильных взаимодействий являются глюоны. С другой стороны, любая
микрочастица (элемент вещества) обладает двойственной корпускулярноволновой природой.
6.6. Элементы космологии
100
Космология – это учение о Вселенной. Предметом космологии является
изучение истории Вселенной, ее строения и эволюции. Космология тесно связана с общей теорией относительности, так как во Вселенной приходится иметь
дело с большими расстояниями, высокими скоростями и огромными массами.
Основная трудность состоит в том, что в лаборатории нельзя провести детальный контролируемый космологический эксперимент — приходится изучать
объекты, которые лежат на фантастических расстояниях от нас, и на которые
мы никак не можем влиять. Выводы космологии основываются на законах физики, данных астрономии, философских принципах. Важнейшим философским
постулатом является положение, согласно которому законы физики (природы)
установленные (чаще всего) на основе опытов на планете Земля, могут быть
экстраполированы на всю Вселенную.
Эйнштейн показал, что общая теория относительности может объяснить
существование статической Вселенной, т. е. Вселенной, которая не изменяется
со временем (идея Аристотеля о вечной не изменяющейся Вселенной). В то
время казалось, что Вселенная статическая, и этот результат получил всеобщее
признание. Однако в 1923 г. советским ученым А. А. Фридманом была создана
теория расширяющейся Вселенной, а в 1929 г Хаббл обнаружил, что в космосе
«все разбегается», Вселенная расширяется. По современным представлениям
галактики разбегаются со скоростями, пропорциональными расстояниям до
них.
Предположение об образовании Вселенной в результате гигантского
взрыва (теория большого взрыва) было впервые высказано Г. Гамовым в 1948
году. Согласно этой теории, примерно 1010 лет назад (спустя всего одну сотую
секунды после «начала»), все вещество и вся энергия современной Вселенной
были сконцентрированы в одном сгустке с плотностью свыше 10 25 г/см3 (в
триллионы раз выше плотности воды) и температурой свыше 10 16 К. В этих
условиях не могли существовать ни ядра, ни тем более атомы. Чудовищное радиационное давление внутри сгустка привело к его необычайно быстрому расширению — «большому взрыву». Через несколько минут расширение Вселенной и ее охлаждение достигли такой степени, что стало возможным образование ядер. Пространство было заполнено облаком из раскаленных газов и ослепляющим светом. Свет, излученный первоначальным газовым облаком, все еще
«бродит» во Вселенной. Претерпев сильные изменения, он сейчас заметен в виде микроволнового фона – «реликтового излучения».
Все элементы Вселенной образовались в результате ядерных реакций в
первые моменты после большого взрыва. Через миллиард лет началось образование галактик, звезд и стабильного вещества в современном виде. Звезды не
рассеяны во вселенной равномерно, а сгруппированы в отдельные «острова» галактики. Каждая галактика включает в себя в среднем более 100 млрд. Звезд,
а также межзвездный газ и межзвездную пыль. Галактики обычно имеют форму
спирали или эллипса. Диаметр их может достигать 105 световых лет. Млечный
путь представляет собой одну такую галактику, ту самую «Галактику», которая
101
включает в себя (в качестве незначительной периферийной звезды) и наше
Солнце.
В настоящее время Вселенная расширяется, но будет ли это расширение
продолжаться бесконечно, так что в пределе плотность вещества во Вселенной
станет бесконечно малой? Общая теория относительности дает определенный
ответ на этот вопрос. Согласно этой теории, существует некоторая критическая
масса Вселенной. Если действительная масса Вселенной меньше критической,
гравитационного притяжения вещества во Вселенной будет недостаточно, чтобы остановить расширение, и оно будет продолжаться бесконечно. С другой
стороны, если действительная масса Вселенной превосходит критическую, гравитационное притяжение, в конечном счете, замедлит расширение, приостановит его и затем приведет к сжатию. В этом случае Вселенную ожидает коллапс,
в результате которого вновь образуется сгусток. Все будет готово для нового
большого взрыва и нового расширения. Таким образом, Вселенная должна
пульсировать между состояниями максимального расширения и коллапса.
Содержит ли Вселенная достаточную массу (в форме вещества и энергии)
для того, чтобы стала возможной ее пульсация? Приблизительное количество
вещества в звездах, галактических пыли и газе можно оценить различными способами. Можно оценить также энергию излучения звезд, магнитных полей в
космическом пространстве, движения облаков газа, космических лучей и
нейтрино. Все это, вместе взятое, оказывается меньше критической массы. В
вычислениях существует, однако, большая неопределенность, поскольку мы не
знаем количества вещества в межгалактическом пространстве.
Мы не знаем сколько-нибудь точно массу, или размеры Вселенной. Мы
не знаем, будет ли наблюдаемое расширение Вселенной продолжаться бесконечно или, в конце концов, прекратится и сменится сжатием. Мы не знаем, существует ли во Вселенной в каких-либо значительных количествах антивещество. Существуют ли антигалактики? Мы не знаем природы квазаров, излучающих гигантскую энергию. Мы знаем слишком мало о деталях эволюции звезд.
Мы очень мало знаем о происхождении Вселенной, хотя имеющиеся данные
указывают на то, что ее расширение – это результат происшедшего около 10
миллиардов лет назад чудовищного взрыва, мощь которого невозможно себе
представить. Но откуда взялось это гигантское количество изначальной энергии?
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Из чего состоит атомное ядро?
2. Что такое нуклоны? Какие силы действуют между нуклонами?
3. Что такое «дефект массы»? Энергия связи?
4. Что такое естественная радиоактивность?
5. Какие величины входят в закон радиоактивного распада?
6. Что такое элементарные частицы?
102
Литература
1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие. –7 изд., испр.-М.: Высшая
школа, 2001.  542 с.
2. Детлаф А.А. Курс физики: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр. и
доп. – М.: Высш. шк., 1999. – 718 с.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1977, т.1; 1978, т.II
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.1, Механика – М.: Наука,1974
5. Иродов И. Е., Основные законы механики – М.: Высшая школа, 1985
6. Чертов А.Г. Задачник по физике для втузов. – 4-е изд., испр. – М.: Интеграл –
Пресс, 1988. – 544 с.
7. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики: Учебное пособие. –11 изд., перераб.  М.: Наука.  Физматлит, 1985. –384 с.