Задачи по теме Базис и размерность линейного пространства

Базис и размерность линейного пространства.
Координаты вектора в данном базисе.
Система векторов a1 ,..., an линейного пространства L называется максимальной
линейно независимой системой в L , если она линейно независима, а при добавлении к ней
любого вектора из L становится линейно зависимой. Линейное пространство L
называется конечномерным, если в нем можно найти хотя бы одну конечную
максимальную линейно независимую систему векторов. Всякая максимальная линейно
независимая система векторов конечномерного линейного пространства называется его
базисом. Если L линейное пространство над полем P , то его нулевой вектор 0 сам
составляет линейное пространство над полем P . Это линейное пространство обозначается
О и называется нулевым линейным пространством. Поскольку нулевое линейное
пространство состоит из одного нулевого вектора, то в нем нет линейно независимых
векторов, и нет максимальной линейно независимой системы векторов. Нулевое линейное
пространство не имеет базиса. Для базисов линейного пространства имеют место
следующие утверждения:
1. Все базисы состоят из одного и того же числа векторов.
Если число векторов в базисе линейного пространства L равно n , то линейное
пространство называется n - мерным и обозначают Ln, а число n называется
размерностью линейного пространства. Нулевое линейное пространство не имеет базиса.
Оно называется линейным пространством размерности 0.
2. Всякая система из n линейно независимых векторов n -мерного линейного
пространства является его базисом, а любая система, содержащая n  1 вектор, линейно
зависима, любая линейно независимая система состоит не более чем из n векторов.
3. Всякая линейно независимая система векторов n -мерного линейного
пространства L , n  1 , содержится в некотором базисе L .
4. Всякую линейно независимую систему векторов n -мерного линейного
пространства L , n  1 , можно дополнить до базиса L .
5. Если a1 ,..., an базис линейного пространства L , то любой вектор b  L можно
разложить по базису, т.е. представить в виде b  1a1  ..  n an . Это разложение для b
единственно. Коэффициенты 1 ,..., n называются координатами вектора b в базисе
a1 ,..., an .
n
Пример 1. Доказать, что многочлены 1, x,..., x cоставляют базис пространства Pn(x)
Указать размерность этого пространства и координаты многочлена а0+а1х+…+аnxn в этом
базисе.
n
Решение. Система многочленов 1, x,..., x является линейно независимой, так как
f0∙1+f1∙x+…+fn∙xn = 0 в том и только в том случае, когда f0 = f1 =…= fn= 0. Если к этой
системе многочленов добавить любой многочлен вида  ( x)  a0  a1x  ...  an x n из Pn(x), то
получим линейно зависимую систему, так как многочлен  (x) является линейной
n
комбинацией многочленов 1, x,..., x .
Действительно,  ( x)  a0  a1x  ...a n xn a0 1  a1  x  ... an xn . Следовательно, система
n
многочленов 1, x,..., x является базисом линейного пространства Pn(x), размерность его
равна n+1. Координатами многочлена a0  a1x  ... an x n в этом базисе являются числа
a0 , a1 ,..., an .
1
 0 1
 0 0
 1 0
0 0
, E3  

, E 2  
, E4  
 0 0
 0 1
 0 0
 1 0
Пример 2. Доказать, что матрицы E1  
составляют базис линейного действительного пространства M2 матриц второго порядка
 2  3
 в этом базисе.
Указать размерность пространства M2. Найти координаты вектора 
0 4 
Решение. Согласно определению нужно доказать, что система векторов E1, E2, E3, E4
линейно независима и любая матрица из M2 является их линейной комбинацией. Система
a
b
 может быть
E1, E2, E3, E4 линейно независима. Так как произвольная матрица 
c d
a b
 1 0  0 1  0 0
 0 0
  a
  b
  c
  d 
 , то E1, E2, E3, E4
c d
 0 0  0 0  1 0
 0 1
представлена в виде: 
составляют базис пространства M2 и размерность его равна 4.
 2  3


Координаты
вектора
есть
2,
0 4 
−3,
0,
4,
т.к.
 1 0
 0 1  0 0  0 0
 2  3  2 0   0  3  0 0   0 0 
   3
  0
  4
 .

  
  
  
  
   2
 0 0
 0 0  0 0  0 1
 0 4   0 0  0 0   0 0  0 4
Пример 3. Пусть е1,…,еn базис пространства L. Каждому вектору х  L поставим в
соответствие строку его координат хе в этом базисе х  хе  (1,...,  n ). Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) векторы х1,..., хs тогда и только тогда линейно зависимы (независимы), когда их
координатные строки x1e , , xse линейно зависимы (независимы);
2) если вектор u линейно выражается через систему х1,, хs , т.е. u  1x1    s xs , то
это же верно для строк ue , x1e , , xse , причем ue  1x1e    s xse и обратно;
3) ранг системы векторов x1 , , xs равен рангу системы их строк
x1e  (11 ,...,1n ),..., xse  ( s1 ,..., sn ) .
Замечание 1. Приведённые утверждения в примере 3 можно сформулировать и для
столбцов, т.е. если каждому вектору х  L поставить в соответствие столбец его координат
Т
хе в этом базисе х  хе  ( 1 ,...,  n ) .
Замечание 2. Понятие базиса системы векторов и ее ранга вводится аналогично.
Если a1,..., as – некоторая система векторов из L, то всякая ее максимальная линейно
независимая подсистема называется базисом этой системы. Оказывается, все базисы
системы векторов содержат одно и то же число векторов. Число векторов, составляющих
базис системы векторов, называется ее рангом.
Пример 4. Найти базис и ранг системы многочленов 3t 2  2t  1 , 4t 2  3t  2 ,
3t 2  2t  3 , t 2  t  1 , 4t 2  3t  4 .
Решение. Согласно приведённым в предыдущей задаче утверждениям составим
матрицу, строки которой являются координатными строками данных многочленов. Так
1

2

как эта матрица имеет вид A   3
1

4
2
3
2
1
3
3

4
3  и ее миноры M  1  0 , M 2  1 2  1  0 ,

1
2 3
1

4
2
1 2 3
M 3  2 3 4  2  0 , то ранг этой матрицы равен 3. Следовательно, ранг системы
3 2 3
координатных строк, а потому и ранг системы многочленов равен 3. Один из базисов
составляют те многочлены, координатные строки которых вошли в минор М3, т.е.
3t 2  2t  1 , 4t 2  3t  2 , 3t 2  2t  3 .
Пример 5. Показать, что в линейном n -мерном пространстве L критерием линейной
независимости n векторов служит отличие от нуля определителя, составленного из
координатных строк этих векторов.
Решение. Пусть x1 ,..., xn – векторы из L , а (11,...1n ),..., ( n1 ,... nn ) – их координатные
строки. Составим матрицу
 11.......... 1n 


A   .......... .........  .
 .......... .. 
nn 
 n1
Так как эта матрица квадратная и ее строки линейно независимы, то A  0 .
Проводя рассуждения в обратном порядке, мы приходим к следующему
заключению: если определитель порядка n , составленный из координатных строк
векторов из L , отличен от нуля, то система этих векторов линейно независима.
Пример 6. Доказать, что многочлены 2, 1  x, x 2  x  1 составляют
пространства P2 ( x) . Найти координаты вектора 3х2−х−3 в этом базисе.
Решение. Составим определитель из координатных строк этих векторов
базис
2 0 0
1  1 0  2  0.
1 1 1
Так как этот определитель отличен от нуля, то система векторов 2, 1  x, x 2  x  1
линейно независима. Так как пространство имеет размерность 3, то всякая линейно
независимая система из трех векторов составляет базис. Поэтому 2, 1  x, x 2  x  1 – базис
пространства
P2 ( x)
Найдем
координаты
вектора
3x 2  x  3
в
этом
базисе:
3x 2  x  3  1  2  2 (1  x)  3 ( x 2  x  1) . Приравниваем коэффициенты при одинаковых
степенях неизвестного
3  3,

 2  3  1,
   2    3
1
2
 3
Решая систему, получаем 1  1 , 2  2 , 3  3 – координаты многочлена
3x 2  x  3 в базисе 2,1  x, x 2  x  1 .
Задачи для самостоятельного решения (в аудитории).
1.
2.
Доказать, что система векторов x1  (1,2,3,..., n) , x2  (0,2,3,..., n) ,…, xn  (0,0,0,..., n)
является базисом пространства An.
Доказать, что множество симметрических матриц третьего порядка с
действительными элементами образует линейное действительное пространство.
Найдите его размерность и базис.
3
3.
4.
5.
Доказать, что множество многочленов P4(x) образует линейное пространство.
Найдите его размерность и базис.
 a1 0

Доказать, что множество матриц вида  0 a2
0 0

0

0  , a1 , a 2 , a3 – действительные
a3 
числа, образует линейное действительное пространство. Найти его размерность и
базис.
В пространстве A4 найти два различных базиса, имеющих общие векторы
e1  (1,1,0,0), e2  (0,0,1,1).
6.
7.
Доказать, что множество всех решений произвольной линейной системы
однородных уравнений образует линейное пространство. Указать его базис и
размерность.
Проверить, что система многочленов 1, t  1, t 2  1, t 3  1 составляет базис
пространства P3 ( x) . Найти координаты многочлена 1  t 2  2t 3 в этом базисе.
8.
Доказать, что система векторов e1  (0,0,1), e2  (0,1,1), e3  (1,1,1) является базисом
пространства A3 . Найти координаты вектора (1, 3, 6) в этом базисе.
9.
Найти ранг системы векторов a1  (2,1,1, 1), a2  (1, 2,1, 1), a3  (4, 1,1, 1) и записать
все ее базисы.
В системе векторов a1  (1,1,1), a2  (2,1,3), a3  (0,1,1), a4  (3,1,3), a5  (1,1,1) найти
какой-нибудь базис. Через него линейно выразить все векторы системы.
В каком случае система векторов обладает единственным базисом?
Сколько базисов имеет система векторов a1 ,..., ak , ak 1 ранга k , содержащая
пропорциональные векторы, отличные от нуля?
Дана система векторов a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , где a1  (1, 2,1), a2  (2,1, 2), a3  (3,1,1),
a4  (1,1,1), a5  (4, 2, 2). Найти все базисы системы, содержащие вектор a1.
Доказать, что любую линейно независимую подсистему системы векторов a1 ,..., am
можно дополнить до базиса этой системы.
Доказать, что координаты вектора в базисе определяются однозначно.
Доказать, что все базисы данной системы векторов содержат одинаковое число
векторов.
Данная система векторов имеет ранг r. Доказать, что любая ее линейно
независимая подсистема из r векторов образует базис этой системы.
Найти все базисы системы векторов a1  (1, 2,3, 4), a2  (2, 4,1,5), a3  (3, 6, 4,9).
Разложить векторы системы по какому-либо ее базису.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
4