Типовые задания для специальности: Численные методы «Прикладная математика и информатика»

Типовые задания для специальности:
«Прикладная математика и информатика»
Численные методы
1.
4 x1

 x1

x2
 2
 3 x2
 1
1
x 0    .
 2
Провести один шаг метода простой итерации. Оценить погрешность полученного приближения. Сделать заключение о сходимости метода.
Решение.
Воспользуемся методом Якоби для приведения системы к виду, удобному для
итераций ( x  Bx  c )

 x1

 x2

1
x2
4
1
 x1
3
 



1
2
1
3
Здесь
1

 0  
4,
B
  1 0 
 3

1
 
c  2
 1 
3
Применим расчетную формулу метода простой итерации. В результате получаем
1 0 1
x2   0
4
2
1
1
x12   x10   0
3
3
x11  
Оценим погрешность найденного приближения x1 . Проведем необходимые вычисления
1 1 1
B   max  ,   , x1  x 0
 4 3 3

 max 1, 2  2 .
Следовательно,
x1  x 0

1
 3  2  1.
1
1
3
Поскольку B   1, то метод простой итерации сходится.
2.
Дана таблица значений функции f (x )
xi
1
2
3
fi
0
2
5
Записать интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
Решение.
В данном случае n  2 . Воспользуемся формулой вычисления выражения L2 ( x) .
L2 ( x)  0 
( x  2)( x  3)
( x  1)( x  3)
( x  1)( x  2) 1 2 1
 2
 5
 x  x  1.
(1  2)(1  3)
(2  1)( 2  3)
(3  1)(3  2) 2
2
3.
Для функции f ( x)  x 2 вычислить приближенное значение определенного интеграла
4
I   f ( x)dx
0
с помощью формулы левых прямоугольников, выбирая число узлов интегрирования
n  8 . Оценить погрешность численного интегрирования.
Решение.
Понятно, что здесь a  0 , b  4 . Вычислим шаг интегрирования
h
ba 1
 .
n
2
Составим таблицу значений функции f (x )
xi
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
fi
0
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
Воспользуемся формулой левых прямоугольников
I
1
 (0  0.25  1  2.25  4  6.25  9  12.25)  17.5 .
2
Теперь оценим погрешность численного интегрирования
R
h(b  a )
max f ( x) .
a  x b
n
Проведем необходимые вычисления
f ( x)  2 x , max 2 x  8 .
0 x4
Тогда
R
4
8  8.
22
Дифференциальные уравнения
1. y  2 y  2 y  xe x ; y (0)  y (0)  0
Решение:
2  2  2  0 1,2  1  i
yО.О.  e x ( c1 cos x  c2 sin x )
2 y ч = e x ( Ax  B)
2 y  ч = e x (  Ax  B  A)
1 y  ч = e x ( Ax  B  2 A)
x
xo
2А-2А+А=1
2В+2В+2А-В-2А=0
y  e x ( c1 cos x  c2 sin x  x )
y  e x ( c1 cos x  c2 sin x  x  c1 sin x  c2 cos x  1)
0  c1
c1  0

 y  e x ( x  sin x )

0   c1  c2  1
c2  1
2
2. x y  2 y
Решение:
x 3 y  2 xy   0
x  et , yx  e t yt , yxx  e 2 t ( ytt  yt )
yttt  e 3t ( yttt  3ytt  2 yt )
e3t e 3t ( y   3y   2 y )  2 et e t y   0
y   3y   2 y  2 y   0
y   3y   0
3  32  0 1,2  0 3  3
y (1)  c1  c2 t  c3e3t
y ( x )  c1  c2 ln x  c3x 3
x  2 y  3x
3. 
 y  y  2 x
Решение:
y 
y

x  

x

2
y

3
x


2 2
 2 x  y  y  


 y  y  2 x
 x  y  y

2 2
y 
y
3 y 3 y
   2y 

 y  
y  4 y  3 y  3 y
2 2
2
2
y  2 y  y  0 2  2  1  0 1,2  1

А=1
В=0
 y  e t ( c1  c2 t )


c2

t 
x  e   2  c2 t 

 1  1 1


4. x  Ax
A  1
1  1


 2  1 0
y  e t ( c2  c1  c2 t )
Решение:
det A  E   0, 1  1, 2  2, 3  1.
1 0
0


I  0 2
0


 0 0  1
AS  SI 
1  1
1  s1 s2 s3   s1 s2 s3   1


 

 1
1  1   s4 s5 s6    s4 s5 s6   0


 

0  s7 s8 s9   s7 s8 s9   0
2  1
s1  s4  s7  s1

s1  s4  s7  s4
2 s  s
 s7
 1 4
s2  s5  s8  2 s2

s2  s5  s8  2 s5
2 s  s
 2 s8
 2 5
s3  s6  s9   s3

s3  s6  s9   s6
2 s  s
  s9
 3 6
 1 1  1


S  1 0 3  ,


1 1 5 
 x   et
   t
 y   e
   t
 z  e
s4  s7

s1  s7
0

0

0  1
0
2
 s1  s4  s7  1
 s2  s5  s8  0
s2  1


  s2  s5  s8  0  s5  0
2 s  s  2 s  0
s  1
8
 2 5
8
2 s3  s6  s9  0
s3  1


  s3  2 s6  s9  0  s6  3
3s  s
s  5
0
 3 6
9
 1 1  1  et 0 0   et
 


(t )  Se It   1 0 3  0 e2 t 0   et


 
 1 1 5   0 0 e  t   et
 e  t   c1 
 
0 3e  t   c2 
 
e2 t 5e  t   c3 
e2 t
Методы оптимизации
1. Найти решение задачи линейного программирования
 e t 

0 3e  t 

e2 t 5e  t 
e2 t
2x 1  3x 2  2 x3  3x 4  min;
2 x1  x 2  x3  x 4  2,
 x1  3x 2  x3  x 4  1,
xi  0, i  1,2,3,4.
2. Решить задачу линейного программирования. Используя теорию двойственности,
доказать правильность полученного решения
 4x 1  4 x3  x 4  max;
2 x1  x 2  x3  x 4  2,
 x1  3x 2  x3  1,
xi  0, i  1,2,3,4.
3. Проверить на оптимальность заданные точки
x12  x 22  x1 x3  min
x1  2 x2  2 x3  3
3x1  x2  x3  4
xi  0,
i  1,2,3.
x1  (1,0,1), x 2  (1,1,0), x 3  (0,0,3 / 2)
4. Решить задачу графически. Используя теорему Куна-Таккера доказать правильность
полученного решения
f ( x)  x1  x2  min
x12  x22  4
x1  x2  1
5. Найти оптимальное управление. Является ли принцип максимума Л.С. Понтрягина
достаточным условием оптимальности в задаче? Обосновать ответ.
x1  x2 x1 (0)  1
x 2  x1  u 2 x2 (0)  1
 1  u (t )  1, t  [0,1]
J (u)  x1 (1)  x2 (1)  min
6. Найти оптимальное управление. Является ли принцип максимума Л.С. Понтрягина
достаточным условием оптимальности в задаче? Обосновать ответ.
x1   x2  u12 x1 (0)  0
x 2  x1  2u2 x2 (0)  1
u1 (t )   1,0,2, 1  u 2 (t )  2, t  [0,  ]

J (u )  x2 ( )   u 2 (t )dt  min
0
7. Найти допустимые экстремали в задаче вариационного исчисления
2
J(x)   ( x 2 6xt )dt  min;
0
x(0)  0, x(2)  8.
Уравнения математической физики
1.Определить тип уравнения:
U xx  2U xy  2U yy  2U yz  2U zz  0 .
2. Привести к каноническому виду и выполнить упрощение группы
младших производных
8U xx  6U xy  U yy  U x  3U y  U  0 .
3. Найти общее решение уравнения:
U xx  2U xy  8U yy  0 .
4. Решить задачу Коши:
U xx  2(1  2 x)U xy  4 x(1  x)U yy  2U y  0
U
x 0
 y, U x
x 0
 2,
y 
5. Решить смешанную задачу:
U t  U xx  4U x  x  4t  1  e 2 x cos 2 x
U
x 0
 t, U
x 1
 2t , U
t 0
0
Теория вероятностей и математическая статистика.
1. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей
xi
pi
0
1
p1
p2
x
0,4
Известно, что МХ=1, DX=0,8.
Найти значения p1 , p2 , x и вычислить P X  x  5p1 .
2. Случайная величина Х имеет плотность вероятности вида
f (x )  ax
( 0  x  b)
Известно, что МХ=2.
Найти значения постоянных a и b , записать выражения для функции
распределения F(x) и вычислить P X  MX  DX  .
3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид
bx 4
F ( x )  ax 
4
(0  x  1)
Известно, что МХ=0,5.
Найти значения постоянных a и b , записать выражения для плотности
вероятности f(x) и вычислить P X  MX  DX  .
4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и
без возвращения извлекаются 3 шара. Случайная величина Х - число
белых шаров в выборке. Составить закон распределения случайной
величины Х и вычислить МХ и DX.
5. Шесть раз бросается правильная монета. Случайная величина Х модуль разности числа появлений герба и числа появлений цифры в
данном эксперименте. Составить закон распределения величины Х и
вычислить МХ.
6. Случайная величина Х распределена по показательному закону с
параметром  . Найти плотность распределения случайной величины
Y  X 2 , вычислить P{Y  MX }.
7. Найти оценку максимального правдоподобия параметра  по выборке
x1 , x2 , , xn объема n из нормально распределенной генеральной
совокупности с известным математическим ожиданием a  0 .
Математический анализ
1. Найти предел:
5x  1  4
.
x  x 2  2 x  15
lim
2. Продифференцировать функцию:
3. Найти неопределенный интеграл:
y  (ctgx3 ) ln x .

4
x 1  x 1
dx .
x 1 1
4. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры
Ф вокруг оси Ох:
Ф : 2 y  x2 , 2x  2 y  3  0 .
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  z ( x, y )
в замкнутой
D , ограниченной заданными линиями z  4( x  y)  x 2  y 2 ,
D : x  2y  4 , x  2y  4, x  0 .
области
6. Вычислить двойной интеграл:

S
dx  dy
a x y
2
2
2
,
S : x2  y2  a2 ,
x 2  y 2  ay , x  0 , y  0 .
z2
1
sin
z 2 z  1 z 3 dz .
7. Вычислить интеграл:
8. Доказать, что заданный линейный функционал на пространстве
является непрерывным и найти его норму:
0
1
1
0
C 1,1
f ( x)   t 2  x(t )dt   t  x(t )dt .
Дискретная математика
1. Даны формулы:
F1  A  B, F2  ( A  B), F3  ( A  B), F4  A  B
а) доказуемы ли секвенции
F1 | F3 , F1 | F4 , F4 | F1 ?
б) постройте вывод секвенции
F4 | F2
в) являются ли допустимыми правила вывода
   |     | 
,
?
   |     | 
г) докажите, что является допустимым правило вывода
 | 
.
 | 
2. Даны булевы функции
f1  (0001101 ), f 2  x  ( y  z ), f 3  (00000001 ).
а) для всех функций найти сднф, скнф, полином Жегалкина;
б) можно ли из множества { f1 , f 2 , f 3 } выделить подмножество, которое является
полной системой булевых функций. Для тех подмножеств, которые не являются
полными системами, указать функции, добавление которых достаточно для того,
чтобы система стала полной.
Аналитическая геометрия
I. Векторная алгебра
Пример 1. В треугольнике PQR
совпадающий с биссектрисой PM.
PQ  m;
PR = n. Найти вектор,
Решение. Вектор QR  n  m. Основание М биссектрисы делит отрезок QR
на части x и 1-x, пропорциональные сторонам: x \ (1-x) =| m | \ | n | . Получаем
QM  x( n  m ). Подставив значение х, вычисленное из предыдущего
соотношения, получаем PM 
m | n | n | m |
|m||n|
.
Пример 2. Найти координаты вектора биссектрисы РМ треугольника с
вершинами Р (4, 0, -1), Q (3, -2, -3), K(6, 3, 5).
Ответ: PM  (0.1; -0.5; 0.4).
Пример 3. Доказать, что векторы a (1; -2; 2), b (2; -1; 3), c (1,1,2)
образуют базис и найти координаты вектора d (3; -7; 5) в этом базисе.
Решение. Векторы линейно независимы, так как det( a , b, c )0. Положим
d   a   b   c. Подставив координаты, получаем систему уравнений с
решением =2, =1, =-1; d (2, 1, -1) в базисе { a , b, c }.
Пример 4. Вывести формулу векторной ортогональной проекции вектора АВ на
направление АС и найти вектор высоты h  KB в треугольнике с вершинами А
(3, 1, 4), В (4, 3, 2), С (4, 0, -2).
Решение. Обозначим AK   AC . Вектор KB  AB   AC ортогонален
AC , если ( KB , AC )=0. Находим  и получаем

( AC , AB )
( AC , AB )
AK  pr AB = AC
 AC
.
2
AC
( AC , AC )
AC

1
В треугольнике KB  AB  pr AB = (-27, -87, 10).
AC 38
Пример 5. Вектор c представлен в виде c = g + h , где g компланарен
векторам a и b , h  a , b . Вывести формулу ортогональной составляющей
h.
[ a, b]
Решение. Введем единичный вектор
. Рассматривая
| [ a, b] |
параллелепипед с рёбрами a , b , c , получаем, что длина вектора высоты
(a, b, c)
(a, b, c)
.
| h |=
. Тогда h  [a, b]
| [ a, b] |
| [ a, b] | 2
Пример 6. Найти вектор высоты H  KD тетраэдра с вершинами А (2, 1,
0), В (3, 3, 2), С (2, 2, 3), D (7, -1, 0).
Ответ: H  [ AB, AC ]
( AB, AC , AD )
| [ AB, AC ] | 2
 (4,3,1).
Пример 7. Найти множество векторов, ортогональных векторам a (2, -1,
3), b (1, -2, 0).
Ответ: Искомый вектор c || [a, b] : { c (2, , -)}, R.
Тренировочные задачи
1. В правильном шестиугольнике ABCDEF AB  a , BC  b . Найти
векторы малых диагоналей.
2. В треугольнике AC  a, AB  b. Найти векторы высоты BK , медианы
BL, биссектрисы BM .
3. Найти составляющие c = g + h , где g компланарен векторам a и b ,
4.
5.
6.
7.
h  a , b , если даны a (2, 3, -3), b (2, 5, -3), c (5, 1, -1).
Найти вершины параллелограмма, если даны середины E (5, 1, 3)AB, H (6, 0, -2)AC и центр М (2, -2, -1).
Найти объем, высоту Н=DK, площадь и высоту h=CL основания
АВС тетраэдра с вершинами А (2, -1, 3), В (3, 3, 1), С (5, -5, -1), D (6,
-1, 16).
Записать формулы преобразования координат, если дано новое
начало О* (1, -2) и угол поворота =150. Найти старые координаты
точки, если её новые координаты (2 2 , 0).
В треугольнике с вершинами А (0, 1, 3), В (1, -1, 5), С (1, -3, 11) найти
координаты векторов высоты AK , медианы AL , биссектрисы AM .
II. Прямая на плоскости
Пример 1. Записать все виды уравнений прямой по точке М (2, 5) и
направляющему вектору e (3, -1).
Решение. Если M – радиус-вектор текущей точки М прямой, то векторное
уравнение имеет вид: M = 2i+5j+t (3i-j) или, кратко, M = (2, 5)+ t (3,-1).
Отсюда получаем остальные виды:
 x  2  3t ,
параметрические: 
 y  5  t,
x2 y5
каноническое:

,
3
1
общее: x+3y-17=0,
x  3 y  17
нормальное:
=0.
10
Пример 2. Выделить неравенствами тот угол между прямыми
3x  4 y  7  0, 8x  6 y  13  0, в котором лежит точка М (1, 2). Найти
уравнение биссектрисы этого угла.
Решение. Находим нормальные уравнения:
3x  4 y  7
8 x  6 y  13
1)
2)
 0,
0
5
 10
3x  4 y  7
8 x  6 y  13
4
 > 0,  2 
и отклонения  1 
5
5
 10
M
0

M0
9
<0.
10
Искомый угол определяется условиями  1 >0,  2 <0, наложенными на
точку М (x, y), или неравенствами 3x  4 y  7 >0, 8x  6 y  13 >0.
Уравнение биссектрисы выделяется условием  1   2 . Получаем
уравнение 14 x  2 y  1  0.
Тренировочные задачи
2 x  7 y  27  0,
4 x  3 y  1  0,
1. По сторонам а)
b)
c)
5x  12 y  7  0. Найти: 1) вершины треугольника, 2) угол А, 3)
высоту BK ,
4) уравнение BK , 5) уравнение медианы CL,
6) уравнение биссектрисы внутреннего угла А,
7) уравнение
прямой ВS || b.
2. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М1 (3, 0) под
углом 600 к прямой x  3 y  0. Найти площадь, образовавшегося
треугольника и уравнения прямых, проходящих через вершины М2,
М3 параллельно оси ОХ.
3. Выделить неравенствами область треугольника с вершинами А (2, 1), В (3, 1), С (4, 2).
III. Плоскость и прямая в пространстве
Пример 1. Записать уравнение плоскости, параллельной оси OZ и
проходящей через точки М1 (2, 1, 3), М2 (0, 2, 1).
Решение. По направляющему вектору k (0, 0, 1) оси OZ и вектору
M 1 M 2 (-2, 1, -2) получаем искомое уравнение ( M 1 – радиус-вектор данной
x2 2 0
точки): det | M  M 1 , M 1 M 2 , k | 0,  y  1 1 0  0 ,  x  2 y  4  0.
z 3 2 1
Удобнее использовать второй способ. Сначала найти вектор,
i
j k
ортогональный плоскости: N  [ M 1 M 2 , k ]   2 1  2 ,  N (1, 2, 0),
0 0 1
A( x  x1 )  B( y  y1 )  C ( z  z1 )  0, 
затем записать уравнение
x  2 y  4  0.
2 x  y  z  3  0,
Пример 2. Найти точку пересечения и угол прямой 
с
x

2
y

2
z

1

0

плоскостью 3x  3 y  2 z  1  0.
Решение. Получаем систему из трех уравнений. Если определитель
системы 0, имеем единственную точку пересечения. Если =0, но ранг
расширенной матрицы равен трем, система несовместна, прямая
параллельна плоскости; если система имеет два независимых уравнения,
прямая принадлежит плоскости.
Для тренировки решим задачу иначе. Прямая задана как линия
пересечения плоскостей с ортогональными векторами N 1 (2, -1, -1),
поэтому
направляющий
вектор
прямой
i
j
k
e(m, n, p )  [ N 1 , N 2 ]  2  1  1 , e (4, 3, 5).
1 2 2
Частное решение (для целочисленности решения берем x=y) М0(5, 5, 8) и
вектор e дают векторное и параметрические уравнения прямой:
 x  5  4t ,

= (5, 5, 8) +t (4, 3, 5),   y  5  3t ,
М
 z  8  5t.

N 2 (1,
2,
-2),
Подставляя в уравнение плоскости, получаем t = -1; точка пересечения
(1, 2, 3). Находим угол между прямой и плоскостью из соотношения:
(e, N )
11
sin   

.
| e || N |
50 22
x  1 y  2 z  3  x  z  1  0,


, 
2
3
2
2 x  2 y  z  0
параллельны и найти уравнение общей плоскости.
Пример 3. Доказать, что прямые
 x  z  1  0,
Решение. Так как 
то N 1 (1, 0, -1), N 2 (2, -2, 1). Можно
2
x

2
y

z

0
,

найти направляющий вектор e 2 = [ N1 , N 2 ] и проверить е 2   е1 , но проще
проверить, что (e1 , N 1 )  0, (e1 , N 2 )  0. Это обеспечивает параллельность.
Если найти точку М2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) второй прямой, то уравнение плоскости
можно записать по точке М2 и вектору N  [e1 , M 1 M 2 ] (см. пример 1), но
в данном случае проще взять уравнение пучка x  z  1   (2 x  2 y  z )  0
плоскостей, проходящих через вторую прямую и потребовать, чтобы точка
М1 (1, 2, 3) удовлетворяла уравнению; получаем =1. Значит общая
плоскость 3x  2 y  3z  1  0.
x  4 y  3 z  2 x  5 y 1 z 1


,


2
0
1
3
2
4
пересекаются и найти уравнение общего перпендикуляра.
Пример 4. Доказать, что прямые
Решение. Запишем уравнения данных прямых в параметрическом виде:
 x  4  2t ,
 x  5  3q,


 y  3,
 y  1  2q,
z  2  t,
 z  1  2q.


Решим подсистему двух уравнений из системы:
4  2t  5  3q,
 3  1  2q,
2  t  1  2q.
Полученные t 0 , q 0 подставим в третье уравнение. Если система совместна,
прямые пересекаются. Получаем точку пересечения М0 (4  2t 0 ,3,2  t 0 ) .
Найдем вектор e = [e1 , e 2 ] и запишем, например, векторное уравнение
M  M 0   e.
Случай несовместности (непересечения прямых) рассмотрим в следующем
примере.
Пример 5. Доказать, что прямые P  M 1  t e1 , Q  M 2  qe 2 не
пересекаются и найти уравнение общего перпендикуляра.
Решение. Конкретных данных нет, поэтому составим алгоритм решения.
1. Проверяем условие ( M 1 M 2 , e1 , e 2 )  0. В случае ( M 1 M 2 , e1 , e 2 )  0
прямые не пересекаются.
2. Берем произвольный вектор PQ  M 2  M 1  t e1  qe 2 и требуем,
чтобы он был перпендикулярен направляющим векторам:
( PQ, e1 )  0,


( PQ, e 2 )  0,
2
t e1  q(e1 , e2 )  ( M 2  M 1 , e1 ),
2
t (e1 , e2 )  qe2  ( M 2  M 1 , e2 ).
Находим решения t 0 , q 0 , определяющие основания P0  M 1  t 0 e1 ,
Q0  M 2  q 0 e 2 общего перпендикуляра на данных прямых.
3. По точкам P0 ( x' , y ' , z ' ) , Q0 ( x" , y" , z" ) записываем уравнения
прямой, например, канонические
x  x' y  y ' z  z '


.
x" x' y" y ' z" z '
Тренировочные задачи
1. Найти расстояние между прямыми
 x  2 y  z  1  0,
x 1 y  2
z


, 
2
3
 1 y  z  0
и расстояние от точки М0(2, 1, 5) до первой прямой.
 x  y  2  0,
x4 y2

 z  1, 
2
2
x  2z  5  0
параллельны и найти расстояние между ними.
x 1 y  2 z 1 x  2 y  2 z
3. Доказать, что прямые


,


2
3
3
1
1
2
пересекаются. Найти угол между прямыми и уравнение их
плоскости.
2. Доказать, что прямые
IV. Линии второго порядка
Пример 1. Записать каноническое уравнение по его директрисам x  
50
3
3
и эксцентриситету   .
5
c 3
 < 1, то линия является
a 5
a
a2
эллипсом. Уравнения директрис x   можно записать в виде x  
.

c
a 2 50
c 3
b 2  a 2  c 2 , решая которую,
Получаем систему
 ,
 ,
c
3
a 5
y2
x2
получаем a  10, b  8, c  6 и каноническое уравнение

 1.
100 64
Решение. Так как эксцентриситет  
Пример 2. Найти уравнения парабол, софокусных с гиперболой
x2 y2

 1.
16
9
y2 x2
Решение. Записав уравнение в виде

 1, видим, что
9 16
действительная ось гиперболы лежит на оси ОУ и фокусы F1,2 (0, c). Так
как у гиперболы наибольший из a, b, c отрезок с, то имеем связь
b 2  с 2  a 2  с=5,
F1,2 (0, 5). У параболы, имеющей общие фокусы
с гиперболой, уравнение будет в данном случае иметь вид x 2  2 px. Фокус
p
параболы F(0, ), поэтому получаем p  10 и уравнения двух парабол
2
2
x  20 y.
Пример 3. Записать каноническое уравнение линии по полярному
p
.

1   cos
Решение. Для эллипса и гиперболы p 
b2
. Получаем систему
a
c
b2
,   , b 2  a 2  c 2 при <1, b 2  с 2  a 2 при >1. Решаем и
p
a
a
x2 y2
записываем каноническое уравнение эллипса или гиперболы 2  2  1 .
a
b
2
При  = 1 записываем уравнение y  2 px. Дано уравнение
25
25
12
. Запишем его в виде  
и получаем систему

13
12  13 cos
1  cos
12
c 13
b 2 25
b 2  с 2  a 2 , определяющую гиперболу
,
   >1,

a 12
a 12
2
2
y
x

 1.
144 25
Пример 4. Найти уравнения касательных к кривой
параллельных (перпендикулярных) прямой Ax  By  C  6.
x2
a2

y2
b2
 1,
Решение. Уравнение касательной в точке М 0 (x0, y0), лежащей на эллипсе
xx 0 yy 0
 2 0
или
гиперболе,
определяет
параллельную
a2
b
x0
y0
(перпендикулярную)
прямую
y
 x0

 2 A  ( 20 ) B  0  . Добавляем
b
a

получаем точку касания М 0 (x0, y0)
Аналогично решается задача для
которой имеет вид yy1  p( x  x 0 ).
к
x0 2
данной,
y0 2
если
a2   b2
A
B
 2  1 и, решив систему,
a2
b
и конкретные уравнения касательных.
параболы, уравнение касательной к
Пример 5. На эллипсе
2 x  3 y  25  0.
x2 y2

 1 найти точку, ближайшую к прямой
18
8
xx 0 yy 0

 1 и получаем
18
8
из условия параллельности и принадлежности точки касания эллипсу
систему:
x0
y0
x0 2 y 0 2

,

 1, с решением М 1 (-3, 2), М 2 (3, -2).
16  18 8  (3)
18
8
Приводим уравнение данной прямой к нормальному виду и находим
4x  3y  2
37
. Искомая точка М 1 (-3, 2).
d1 
 13 , d 2 
 13 M
13
Решение. Записываем уравнение касательной
1
Алгебра
20
1  i 3 
 .
1. Вычислить: 
1

i


2.
3.
4.
5.
Ответ: 2 9 (1  i 3 ).
Выписать первообразные корни из единицы степени 12.
3 i
 .
Ответ: 
2
2
Найти наибольший общий делитель полиномов: x 5  x 4  x 3  2 x  1
и 3x 4  2 x 3  x 2  2 x  2 .
Ответ: x 2  1.
Построить полином по заданной таблице значений:
x 1 2 3 4
y 2 1 4 3
4
65
Ответ:  x 3  10 x 2  x  15.
3
3
Определить А и В так, чтобы трехчлен Ax 4  Bx 3  1 делился на
x  12 .
Ответ: А =3, В =-4.
6. Найти декремент и определить четность подстановки
1 2 3 ... 3n  2 3n  1 3n 

.
 4 5 6 ... 1
2 3 


Ответ: d  3(n  1), четность подстановки противоположна четности
числа
n.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
150
7. Найти А , где A  
.
 3 5 4 6 9 7 1 10 8 2 


150
Ответ: А =Е.
1 2
8. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей 
.
3 4
2b 
a
Ответ: 
, где a, b – любые числа.
 3b a  3b 
7 
2 5


4 .
9. Найти обратную матрицу для матрицы A   6 3
 5  2  3


1
1 
 1


Ответ:   38 41  34 .
 27  29 24 


1 2  3
 1  3 0




10.Решить матричное уравнение:  3 2  4   X  10 2 7 .
2 1 0 
10 7 8 




6 4 5


Ответ:  2 1 2 .
 3 3 3


a0
1
0
0
a1
x
1
0
a2
0
x
1
11.Вычислить определитель:




an1
0
0
0
an
0
0
0
Ответ: Разложив по первому столбцу получим:
a0 x n  a1 x n1    an .
...
...
...
...
...
...
0
0
0

x
0
0
0
0
.

1
x
12.Вычислить определитель:
2
2
2

2
n
2
2
2

n 1
2






2
2
3

2
2
2
2
2

2
2
1
2
2
.

2
2
n 2 n  2
(1) 2
Ответ:
 2  (n  2)! Отняв вторую строку от остальных и
разложив по предпоследнему столбцу, получим ответ.
2
1
13. Вычислить определитель: 0

0
Ответ: n  1.
1
2
1

0
0
1
2

0





0
0
0 .

2
2 x1  2 x2  x3  x4  4,
4 x  3 x  x  2 x  6,
 1
2
3
4
14. Решить систему линейных уравнений: 
8 x1  5 x2  3 x3  4 x4  12,
3 x1  3 x2  2 x3  2 x4  6.
Ответ: x1  x2  1, x3  x4  1.
15. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для
 x1  2 x2  4 x3  3 x4  0,
3 x  5 x  6 x  4 x  0,
 1
2
3
4
системы уравнений: 
4 x1  5 x2  2 x3  3 x4  0,
3 x1  8 x2  24 x3  19 x4  0.
Ответ:
x1 x2 x3 x4
x1  8x3  7 x4 , x2  6 x3  5x4 ;
8 -6 1 0
-7 5 0 1
16. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное
2 x1  3x2  5 x3  7 x4  1,

решение системы уравнений: 4 x1  6 x2  2 x3  3x4  2,
2 x  3x  11x  15 x  1.
2
3
4
 1
Ответ: x3  22 x1  33х2  11,
x4  16 x1  24 x2  8;
x1  2, x2  1, x3  x4  0.
5  1
1 3


2

1

3
4


17.Найти ранг матрица: 
. Ответ: 3.
5 1 1 7 


9
1 
7 7
 3 1 1 4



4
10
1


18.Найти значения , при которых матрица 
имеет
1 7 17 3 


2
2
4
3


наименьший ранг. Чему равен ранг при найденных  и чему он равен
при других значениях ? Ответ: при =0 ранг равен 2 и при 0 он
равен 3.
19.Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом и
найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:
е1 =(1, 2, 1), е2 =(2, 3, 3), е3 =(3, 7, 1); е1 =(3, 1, 4), e 2 =(5, 2, 1),
e3 =(1, 1, -6).
x1  27 x1  71x2  41x3 ;
x2  9 x1  20 x2  9 x3 ;
Ответ:
x2  4 x1  12 x2  8 x3 .
20.Найти размерность s суммы и d пересечения линейных
подпространств L1 и L2, где L1натянуто на векторы а1 =(1, 2, 0, 1),
а 2 =(1, 1, 1, 0), а L2 – на векторы b1 = (1, 0, 1, 0), b2 =(1, 3, 0, 1).
Ответ: s=3, d=1.
21.Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств L1 и
L2, где L1натянуто на векторы а1 =(1, 2, 1), а 2 =(1, 1, -1), а3 =(1, 3, 3),
а L2 – на векторы b1 = (2, 3, -1), b2 =(1, 2, 2), b3 =(1, 1, -3).
Ответ: L1: а1 , а 2 , b1 и L2: с =2 а1 + а 2 = b1 + b2 .
22.Линейное преобразование  в базисе е1 , е2 , е3 имеет матрицу
 15  11 5 


 20  15 8  . Найти его матрицу в базисе f1  2e1  3e2  e3 ,
 8  7 6


f 2  3e1  4e2
1 0

Ответ:  0 2
0 0

 e3 , f 3  e1  2e2  2e3 .
0

0 .
3 
23.Найти собственные значения и собственные векторы линейных
преобразований, заданные в некотором базисе матрицей:
 0 1 0



4
4
0

.
  2 1 2


2
2
Ответ: 1=2=3=2; с1 (1, 2, 0)+ с2 (0, 0, 1), где с1  с2  0.
  1 3  1


24.Можно ли матрицу   3 5  1
некоторого линейного
 3 3 1 


преобразования привести к диагональному виду путем перехода к
новому базису. Если можно, то найти этот базис и соответствующую
ему матрицу.
1 0 0


Ответ: Да. а1 =(1, 1, 1), а 2 =(1, 1, 0), а3 =(1, 0, -3);  0 2 0 .
 0 0 2


25.Найти жорданов базис и жорданову форму АJ преобразования,
3 2  3 


заданного матрицей  4 10  12  .
3 6  7 


 2 1 0


Ответ: f1 =(1, 4, 3), f 2 =(1, 0, 0), f 3 =(3, 0, 1); АJ =  0 2 0 .
 0 0 2


3 2  5 


26.Выяснить, подобны ли между собой матрицы: А=  2 6  10  и
1 2  3 


 6 20  34 


В=  6 32  51 .
 4 20  32 


Ответ: Да, так как у них одинаковые жордановы формы.
27.Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на
данную систему векторов: а1 =(1, 2, 2, -1), а 2 =(1, 1, -5, 3), а3 =(3, 2,
8, -7).
Ответ: b1 = (1, 2, 2, -1), b2 =(2, 3, -3, 2), b3 =(2, -1, -1, -2); применить
процесс ортогонализации.
28.Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую z
вектора x =(4, -1, -3, 4) на линейное подпространство L, натянутое на
векторы а1 =(1, 1, 1, 1), а 2 =(1, 2, 2, -1), а3 =(1, 0, 0, 3).
Ответ: y  3a1  2a2 =(1, -1, -1, 5), z=(3, 0, -2, -1).
29.Пусть е1 , е2 – ортонормированный базис плоскости и линейное
преобразование  в базисе f1  e1 ; f 2  e1  e2 имеет матрицу
1 2 

. Найти матрицу сопряженного преобразования   в том же
1  1
базисе f1 , f 2 .
6 
3
Ответ: 
.

1

3


30.Найти
нормальный
вид
2
2
2
x1  2 x2  x3  2 x1 x2  4 x1 x3  2 x2 x3 .
квадратичной
формы:
2
2
2
Ответ: y1  y 2  y3 .
31.Найти все значения параметра , при которых положительно
2
2
2
определена квадратичная форма: 2 x1  x2  3x3  2x1 x2  2 x1 x3 .
Ответ:  <
5
.
3
20
1  i 3 
 .
32.Вычислить: 
1

i


Ответ: 2 9 (1  i 3 ).
33.Выписать первообразные корни из единицы степени 12.
3 i
 .
Ответ: 
2
2
34.Найти наибольший общий делитель полиномов: x 5  x 4  x 3  2 x  1
и 3x 4  2 x 3  x 2  2 x  2 .
Ответ: x 2  1.
35.Построить полином по заданной таблице значений:
x 1 2 3 4
y 2 1 4 3
4
65
Ответ:  x 3  10 x 2  x  15.
3
3
36.Определить А и В так, чтобы трехчлен Ax 4  Bx 3  1 делился на
x  12 .
Ответ: А =3, В =-4.
37.Найти декремент и определить четность подстановки
1 2 3 ... 3n  2 3n  1 3n 

.
 4 5 6 ... 1
2 3 


Ответ: d  3(n  1), четность подстановки противоположна четности
числа
n.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
150
38.Найти А , где A  
.
 3 5 4 6 9 7 1 10 8 2 


150
Ответ: А =Е.
1 2
39.Найти все матрицы, перестановочные с матрицей 
.
3 4
2b 
a
Ответ: 
, где a, b – любые числа.
 3b a  3b 
7 
2 5


4 .
40.Найти обратную матрицу для матрицы A   6 3
 5  2  3


1
1 
 1


Ответ:   38 41  34 .
 27  29 24 


1 2  3
 1  3 0




41.Решить матричное уравнение:  3 2  4   X  10 2 7 .
2 1 0 
10 7 8 




6 4 5


Ответ:  2 1 2 .
 3 3 3


a0
1
0
0
a1
x
1
0
a2
0
x
1
42.Вычислить определитель:




an1
0
0
0
an
0
0
0
Ответ: Разложив по первому столбцу получим:
a0 x n  a1 x n1    an .
...
...
...
...
...
...
0
0
0

x
0
0
0
0
.

1
x
43.Вычислить определитель:
2
2
2

2
n
2
2
2

n 1
2






2
2
3

2
2
2
2
2

2
2
1
2
2
.

2
2
n 2 n  2
(1) 2
Ответ:
 2  (n  2)! Отняв вторую строку от остальных и
разложив по предпоследнему столбцу, получим ответ.
2
1
44. Вычислить определитель: 0

0
Ответ: n  1.
1
2
1

0
0
1
2

0





0
0
0 .

2
2 x1  2 x2  x3  x4  4,
4 x  3 x  x  2 x  6,
 1
2
3
4
45. Решить систему линейных уравнений: 
8 x1  5 x2  3 x3  4 x4  12,
3 x1  3 x2  2 x3  2 x4  6.
Ответ: x1  x2  1, x3  x4  1.
46. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для
 x1  2 x2  4 x3  3 x4  0,
3 x  5 x  6 x  4 x  0,
 1
2
3
4
системы уравнений: 
4 x1  5 x2  2 x3  3 x4  0,
3 x1  8 x2  24 x3  19 x4  0.
Ответ:
x1 x2 x3 x4
x1  8x3  7 x4 , x2  6 x3  5x4 ;
8 -6 1 0
-7 5 0 1
47. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное
2 x1  3x2  5 x3  7 x4  1,

решение системы уравнений: 4 x1  6 x2  2 x3  3x4  2,
2 x  3x  11x  15 x  1.
2
3
4
 1
Ответ: x3  22 x1  33х2  11,
x4  16 x1  24 x2  8;
x1  2, x2  1, x3  x4  0.
5  1
1 3


2

1

3
4


48.Найти ранг матрица: 
. Ответ: 3.
5 1 1 7 


9
1 
7 7
 3 1 1 4



4
10
1


49.Найти значения , при которых матрица 
имеет
1 7 17 3 


2
2
4
3


наименьший ранг. Чему равен ранг при найденных  и чему он равен
при других значениях ? Ответ: при =0 ранг равен 2 и при 0 он
равен 3.
50.Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом и
найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:
е1 =(1, 2, 1), е2 =(2, 3, 3), е3 =(3, 7, 1); е1 =(3, 1, 4), e 2 =(5, 2, 1),
e3 =(1, 1, -6).
x1  27 x1  71x2  41x3 ;
x2  9 x1  20 x2  9 x3 ;
Ответ:
x2  4 x1  12 x2  8 x3 .
51.Найти размерность s суммы и d пересечения линейных
подпространств L1 и L2, где L1натянуто на векторы а1 =(1, 2, 0, 1),
а 2 =(1, 1, 1, 0), а L2 – на векторы b1 = (1, 0, 1, 0), b2 =(1, 3, 0, 1).
Ответ: s=3, d=1.
52.Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств L1 и
L2, где L1натянуто на векторы а1 =(1, 2, 1), а 2 =(1, 1, -1), а3 =(1, 3, 3),
а L2 – на векторы b1 = (2, 3, -1), b2 =(1, 2, 2), b3 =(1, 1, -3).
Ответ: L1: а1 , а 2 , b1 и L2: с =2 а1 + а 2 = b1 + b2 .
53.Линейное преобразование  в базисе е1 , е2 , е3 имеет матрицу
 15  11 5 


 20  15 8  . Найти его матрицу в базисе f1  2e1  3e2  e3 ,
 8  7 6


f 2  3e1  4e2
1 0

Ответ:  0 2
0 0

 e3 , f 3  e1  2e2  2e3 .
0

0 .
3 
54.Найти собственные значения и собственные векторы линейных
преобразований, заданные в некотором базисе матрицей:
 0 1 0



4
4
0

.
  2 1 2


2
2
Ответ: 1=2=3=2; с1 (1, 2, 0)+ с2 (0, 0, 1), где с1  с2  0.
  1 3  1


55.Можно ли матрицу   3 5  1
некоторого линейного
 3 3 1 


преобразования привести к диагональному виду путем перехода к
новому базису. Если можно, то найти этот базис и соответствующую
ему матрицу.
1 0 0


Ответ: Да. а1 =(1, 1, 1), а 2 =(1, 1, 0), а3 =(1, 0, -3);  0 2 0 .
 0 0 2


56.Найти жорданов базис и жорданову форму АJ преобразования,
3 2  3 


заданного матрицей  4 10  12  .
3 6  7 


 2 1 0


Ответ: f1 =(1, 4, 3), f 2 =(1, 0, 0), f 3 =(3, 0, 1); АJ =  0 2 0 .
 0 0 2


3 2  5 


57.Выяснить, подобны ли между собой матрицы: А=  2 6  10  и
1 2  3 


 6 20  34 


В=  6 32  51 .
 4 20  32 


Ответ: Да, так как у них одинаковые жордановы формы.
58.Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на
данную систему векторов: а1 =(1, 2, 2, -1), а 2 =(1, 1, -5, 3), а3 =(3, 2,
8, -7).
Ответ: b1 = (1, 2, 2, -1), b2 =(2, 3, -3, 2), b3 =(2, -1, -1, -2); применить
процесс ортогонализации.
59.Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую z
вектора x =(4, -1, -3, 4) на линейное подпространство L, натянутое на
векторы а1 =(1, 1, 1, 1), а 2 =(1, 2, 2, -1), а3 =(1, 0, 0, 3).
Ответ: y  3a1  2a2 =(1, -1, -1, 5), z=(3, 0, -2, -1).
60.Пусть е1 , е2 – ортонормированный базис плоскости и линейное
преобразование  в базисе f1  e1 ; f 2  e1  e2 имеет матрицу
1 2 

. Найти матрицу сопряженного преобразования   в том же
1  1
базисе f1 , f 2 .
6 
3
Ответ: 
.

1

3


61.Найти
нормальный
вид
2
2
2
x1  2 x2  x3  2 x1 x2  4 x1 x3  2 x2 x3 .
квадратичной
формы:
2
2
2
Ответ: y1  y 2  y3 .
62.Найти все значения параметра , при которых положительно
2
2
2
определена квадратичная форма: 2 x1  x2  3x3  2x1 x2  2 x1 x3 .
Ответ:  <
5
.
3