Математика - Томский государственный университет

1
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
в магистратуру по направлению 01.04.01 Математика
I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Различные подходы к построению теории вещественных чисел. Полнота, компактность и
связность множества . [Ф] том1, Введение; [ИСС] том1,гл.2; пар.1-6, [З1] гл.2, пар. 1
2. Полные метрические пространства. [Ш 1 ч 3 ]12.2, 12.22, 12.23.
3. Свойства непрерывных отображений компактных множеств. [P] 4.5 - 4.17.
4. Формула Тейлора для вещественной функции вещественного аргумента. Различные формы
остаточного члена.[K1] пар. 12, 13, [K2], 37.5, 37.6 [З 1] , гл.5, 3.2, 4.4, гл. 6, 3.3.
5. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Признаки сравнения. Признаки Коши,
Даламбера, Дирихле, Лейбница, интегральный признак. [K2], 34.1-34.13, [Ф] том 2, пп 365-68,
376-377, 381-384.
6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема Тейлора. Радиус сходимости и круг сходимости.
[K2] 37.1, 37.2.
7. Построение меры Лебега в  n. [Кл] гл 3, пар 1-3.
8. Определение и свойства интеграла Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком
интеграла Лебега. [P] гл. 10,[Кл] гл 5, пар.2, 3.
9. Интеграл Римана [К1],пар.27 [З1] гл.6, пар.1,2
10. Основные операции анализа над функциональными рядами. [К2] 36.1-36.4, [ИCC], том 2,
гл. 2, пар. 3,4.
11. Дифференциал отображения из  m в  n. Производная матрица ( матрица Якоби).
Основные правила дифференцирования. Теорема о смешанных производных. [З1] гл. 8, пар.
2,3, [К2] 41.6, 41.7.
12. Замена переменных в кратном интеграле. [З2] гл. 9, пар.5.
13. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. [К1] 33.1-33.6[К2] пар.53, 54.154.3[З1] гл.6, пар. 5.
14. Внешние дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях в  3.
Формулы Грина, Гаусса, Остроградского, Стокса. [З2] гл. 12, 13 Интеграл Лебега. [Кл] гл 5,
пар.2, 3.
Литература
1. (K1) Кудрявцев Л.Д.Курс математического анализа.T.1,1988,(K2), т. 2, (K3) т. 3.
2. (31) Зорич В. А. Математический анализ, ч.1,1981; (32) ч. 2, 1984.
3. (Ш1) Шилов Г. Е. Математический анализ, функции одного переменного. Ч.3, 1970.
4. (Р) Рудин У. Основы математического анализа. 1976.
5. (Кл) Клементьев З. И. Курс лекций по теoрии функций действительного переменного, 1978.
6. (Ф) Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1,2,3.
7. (ИСС) Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Т. 1, 1985.
II. АЛГЕБРА
1. Теорема Лапласа и её следствия. Теорема об определителе произведения
матриц. Матрицы и операции над ними. Определители порядка n и их
свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о произведении
минора на его алгебраическое дополнение. Обратная матрица. Алгоритм
нахождения обратной матрицы.
2. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о размерности пространства
решений однородной системы линейных уравнений. Системы линейных
уравнений. Теорема Крамера. Формулы Крамера. Построение общего решения
системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
3. Теорема о замене. Теорема о размерности суммы подпространств.
Линейные пространства над полем. Линейно зависимые и линейно
1
2
независимые системы векторов. Базисы и размерность пространства.
Пространство векторов-строк. Изоморфизм линейных пространств.
Подпространства.
4. Теорема Лагранжа об индексе подгруппы и её следствия. Теоремы о
подгруппах и факторгруппах циклических групп. Определение группы,
примеры групп. Подгруппы, примеры подгрупп, критерий подгруппы.
Теорема Кэли. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе.
Циклические группы. Конечные и бесконечные циклические группы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Литература
Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 1975.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, 1956.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре, 1984.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия, 1980.
Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры, 1983.
Скорняков Л.А. Элементы алгебры, 1980.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть1: Основы алгебры, часть2:
Линейная алгебра, часть3: Основные структуры алгебры, 2000.
III. ГЕОМЕТРИЯ
1. Полная классификация плоских кривых 2-го порядка
Метрические инварианты кривых 2-го порядка. Приведение к каноническому виду уравнений
кривых 2-го порядка при помощи инвариантов. Классификация кривых 2-го порядка. \1\, гл. ХVI,
п. 2-4.
2. Репер Френе пространственной кривой
Касательная и нормаль кривой. Кривизна кривой. Построение репера Френе. Деривационные
формулы репера Френе. Кручение кривой. \3\, гл. IV, §§ 38-41; \5\, гл.4, §§ 1-4.
3. Исследование формы поверхности с помощью нормальных сечений
Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна нормального сечения. Главные кривизны.
Формула Эйлера. Полная и средняя кривизна поверхности. Три типа точек на поверхности. \3\, гл.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.
2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.
3. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии.
4. Постников М.М. Гладкие многообразия.
5. Щербаков Р.Н., Лучинин А.А. Краткий курс дифференциальной геометрии.
2
3
IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Общая теория уравнений
Геометрическая интерпретация уравнения у   f  x , y . Поле направлений. Изоклины.
Интегральные линии. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для
уравнения у   f  x , y  и для нормальной системы. Метод последовательных приближений.
Примеры.
[1] Гл. 3 §§11, 12, 14, Гл.4 §31; [2] Гл. 2 §1; [3] Гл. 2 §§ 1-4.
2. Линейные дифференциальные уравнения и системы
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейных уравнений и
систем. Линейная независимость решений. Фундаментальная система решений. Определитель
Вронского. Формула Лиувилля – Остроградского. Общее решение однородной линейной
системы. Общее решение неоднородной линейной системы. Метод вариации произвольных
постоянных.
[1] Гл. 5 §§ 33, 39, 40; [2] Гл. 5 §§1-3; [3] Гл. 5 §§ 1-4.
3. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного
уравнения и однородной линейной системы. Методы Лагранжа и неопределенных
коэффициентов для нахождения частного решения [1] Гл. 6 §45; Гл. 2 §§ 7, 8, 14; [2] Гл. 6; [3]
Гл. 5 §§ 5-7; Гл. 7 §§1-3; Гл. 11 §§ 1, 2.
4. Теория устойчивости
Автономные системы. Общие свойства. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая
устойчивость. Фазовая плоскость однородной линейной системы. Простейшие типы точек
покоя.
[3] Гл. 9 §§ 1-4; Гл. 10 § 1;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1970.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.
Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.
Дополнительная
Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука,
1980. 231 с.
Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1955.
V. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Интегрирование функции комплексного переменного по кусочно-гладкой кривой
Интегрирование по замкнутым кривым: интегральная теорема Коши, интегральная формула
Коши, основная теорема Коши о вычетах, формула для интеграла от логарифмической
производной. Основная теорема алгебры многочленов.
[1] гл.IV, Гл. VIII §§ 1,2.
2. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора, в ряд Лорана
3
4
Разложение голоморфной в круге функции в степенной ряд. Множество и круг сходимости
ряда. Разложение голоморфной в кольце (в окрестности изолированной особой точки) функции
в ряд Лорана. [1] Гл.V §§ 1 – 5. Гл. VI §§ 1 – 3. Гл. VIII § 6.
3. Конформные отображения плоских областей
Понятие конформности в точке и в области. Теорема Римана о существовании и
единственности конформного отображения односвязной области на круг(без доказательства).
[1] гл.X.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Литература
Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. Томск. ун-т, 2002.
Дополнительная
Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного. – М.:
Высшая школа, 1984.
Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного. – М.: Наука, 1975 (и последующие издания).
Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1991.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1967
(и последующие издания).
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т. I и II. М.: Наука, 1976.
VI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Темы по теории вероятностей и математической статистике в программу государственного
экзамена для бакалавров
1. Вероятностная модель эксперимента с конечным или счетным числом исходов.
Колмогоровское вероятностное пространство. Условные вероятности, независимость событий.
Случайная величина, её функция распределения и числовые характеристики. Независимость
случайных величин. Некоторые типы распределения случайной величины и их характеристики.
2. Предельные теоремы для схемы Бернулли: теорема Пуассона, локальная и интегральная
теоремы Муавра-Лапласа. Последовательности случайных величин. Закон больших чисел.
Неравенство Чебышёва. Теорема Пуассона, теорема Бернулли, теорема Маркова Центральная
предельна теорема для последовательности независимых одинаково распределенных случайных
величин. Теорема Ляпунова. Характеристическая функция одномерной случайной величины и её
основные свойства
3. Основные статистические модели и задачи статистического анализа. Выборка и
вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Оценивание параметров
распределения.
Свойства
статистических
оценок:
состоятельность,
несмещенность,
эффективность. Статистика хи-квадрат, статистика Стьюдента. Достаточные статистики. Теорема
факторизации. Методы получения точечных оценок. Интервальные оценки, их свойства. Понятие
асимптотической нормальности последовательности случайных величин.
4. Проверка статистических гипотез. Критерий отношения правдоподобия, лемма НейманаПирсона. Свойства статистических критериев. Равномерно наиболее мощные критерии.Критерий
Стьюдента, критерий Фишера и другие параметрические критерии. Непараметрические критерии
проверки статистических гипотез: критерий знаков, Критерий «хи-квадрат» К.Пирсона, критерий
Колмогорова, критерий Смирнова и другие. Линейная регрессия с гауссовыми
ошибкаминаблюдений; метод наименьших квадратов и его свойства.
4
5
Литература
1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей Любое издание, начиная с 1988 года.
2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М. “Наука”, 1982.
3. Ивченко В. А., Медведев Г. И. Математическая статистика, М. 1985.
VII. ТОПОЛОГИЯ
1. Топологические пространства. Открытые и замкнутые множества. Окрестности. Задание
топологии на языке окрестностей. Подпространства. [1] §1.1-1.2, [2] гл. 1 §1.
2. Непрерывные отображения. Описание непрерывности на языке окрестностей, открытых и
замкнутых множеств. Гомеоморфизмы. [1] §1,4, [2] гл. §3.
3. Xаусдорфовы, регулярные и нормальные пространства. Теорема Урысона. Вполне
регулярные пространства. Теорема Титце-Урысона. [1] § 1.5, [2] гл. 3 §§ 1,2.
4. Компактные пространства. Свойства компактных пространств. Теорема Тихонова. [1] § 3.1,
[2] гл. 3 §3.
5. Связные пространства и связные множества в топологических пространствах. [2] гл. 3 §5.
Литература
1. Р. Энгелькинг. Общая топология. – М.: Мир, 1986.
2. Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.
VIII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Нормированные и банаховы пространства. Примеры: C[a,b],с0, lp, Lp[a,b]. Неравенства
Гельдера и Минковского. [4] §1; [1] стр. 52-55; [2] гл. 1 §5, гл. 2 §1.
2. Линейные ограниченные операторы и функционалы. Сопряженные пространства. Описание
сопряженных пространств: (c0)*, (lp)*, (Lp[a,b]))*. Сопряженные операторы. [1] гл. 4 §1,2; [4] §§
2, 3, 9.
3. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. [3] гл. 3 §1, 4; [4] §§12 ,13.
4. Теорема Бэра и теорема Банаха об обратном операторе. Теорема Банаха-Штейнгауза. [1]
стр. 70-71, 224-227, стр. 41, 115-123; [4] §§3, 7.
5. Ортонормированные системы и ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Теорема
Гильберта-Шмидта. [1] Гл. 3 §4, §6; [3] гл. 3 § 4.
Литература
1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.
2. Л. . Люстерник, В. И. Соболев. Краткий курс функционального анализа ,1982.
3. А. А.Кирилов, А. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. Наука ,1979.
4. Г. В. Сибиряков. Введение в теорию пространств Банаха. Изд-во ТГУ, 1982.
IX. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
1. Приведение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка к канонической форме в
точке. Локальная классификация уравнений с двумя неизвестными переменными Типы
уравнений.
2. Уравнения колебаний струны.
3. Интегральное представление гладких функций. Свойства гармонических функций.
4. Основные (пробные) функции.
5. Обобщенные функции (распределения).
6. Прямое произведение обобщенных функций.
7. Сверка обобщенных функций.
8. Преобразование Фурье основных и обобщенных функций.
9. Фундаментальные решения.
10. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора.
11. Фундаментальное решение оператора теплопроводности.
5
6
12. Фундаментальное решение волнового оператора.
13. Фундаментальное решение эллиптического оператора.
Литература
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. – М.: 1976.
В.С. Владимиров. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука. 1976.
С.В. Михлин. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа. 1977.
С.Л. Соболев. Уравнения математической физики. – М.: Наука. 1992.
X. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Общая постановка задачи интерполирования многочленами. Теорема о существовании и
единственности обобщенного интерполяционного многочлена.
Интерполяция функций сплайнами. Линейный сплайн. Кубический сплайн на C2 [a,b].
Квадратурные формулы интерполяционного типа наивысшей алгебраической степени
точности. Существование и единственность.
Теоремы о сходимости двухслойного стационарного метода простой итерации для
решения систем линейных алгебраических уравнений.
Метод Эйлера и его модификации для приближенного решения задачи Коши для ОДУ.
Литература
1. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М., 1989.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1960.
3. Меркулова Н. Н., Михайлов М. Д.. Методы приближенных вычислений. Ч. 1, 2, 3. Томск,
2007-2010.
4. Берцун В. Н. Сплайны сеточных функций. Томск, 2007.
5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
6. Крылов В. И. и др. Вычислительные методы. Т.2. М, 1977.
7. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений т.I,II. М .1966.
8. Калиткин Н. Н. Численные методы М., 1978.
9. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Наука, 2008.
10. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1980.
6