В) теорему Пуассона Г) формулу умножения вероятностей 4

Сборник тестовых заданий с ответами по дисциплинам,
преподающимся на факультете ПМ-ПУ.
Оглавление
Специальность 010501:
Алгебра. Составитель – Утешев А.Ю.
Геометрия. Составители Еремеев В.В., Коровкин М.В., Погожев С.В.
Основы дискретной математики. Составитель – Просолупов Е.В.
Дифференциальные уравнения. Составитель – Жабко А.П., Котина Е.Д., Чижова О.Н.
Методы оптимизации (Теория управления – 1 семестр). Составитель – Веремей Е.И.
Теория вероятностей и математическая статистика. Составители: Буре В.М., Свиркин
М.В., Парилина Е.М.
Теория вероятностей и математическая статистика. Составитель – Шмыров А.С.
Физика. Теоретическая механика. Составители: Бабаджанянц Л.К., Пупышев Ю.А.,
Пупышева Ю.Ю.
Направление 010400 (010500):
Алгебра. Составитель – Утешев А.Ю.
Геометрия. Составители Еремеев В.В., Коровкин М.В., Погожев С.В.
Основы дискретной математики. Составитель – Просолупов Е.В.
Дифференциальные уравнения. Составитель – Жабко А.П., Котина Е.Д., Чижова О.Н.
Математическое программирование. Составитель – Петросян Л.А.
Методы оптимизации (Вариационное исчисление). Составитель – Веремей Е.И.
Теория вероятностей и математическая статистика. Составители: Буре В.М., Свиркин
М.В., Парилина Е.М.
Теория вероятностей и математическая статистика. Составитель – Шмыров А.С.
Физика. Теоретическая механика. Составители: Бабаджанянц Л.К., Пупышев Ю.А.,
Пупышева Ю.Ю.
Направление 010300 (010400 ИТ)
Алгебра. Составитель – Утешев А.Ю.
Геометрия. Составители Еремеев В.В., Коровкин М.В., Погожев С.В.
(В составе куса «Алгебра и геометрия»)
Основы дискретной математики. Составитель – Просолупов Е.В.
Дифференциальные уравнения. Составитель – Жабко А.П., Котина Е.Д., Чижова О.Н.
Теория вероятностей и математическая статистика. Составители: Буре В.М., Свиркин
М.В., Парилина Е.М.
Теория вероятностей и математическая статистика. Составитель – Шмыров А.С.
Направление 010900 (010600)
Алгебра. Составитель – Утешев А.Ю.
Геометрия. Составители Еремеев В.В., Коровкин М.В., Погожев С.В.
(В составе куса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»)
Дифференциальные уравнения. Составитель – Жабко А.П., Котина Е.Д., Чижова О.Н.
Теория вероятностей и математическая статистика. Составители: Буре В.М., Свиркин
М.В., Парилина Е.М.
Теория игр и исследование операций. Составитель – Петросян Л.А.
Физика. Теоретическая механика. Составители: Бабаджанянц Л.К., Пупышев Ю.А.,
Пупышева Ю.Ю.
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЯ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 010300
«Фундаментальные информатика и информационные технологии» (010400
«Информационные технологии») (бакалавриат), 010900 (010600) «Прикладные математика и
физика» (бакалавриат)
АЛГЕБРА
Блок общих математических и естественно-научных дисциплин (ЕН),
федеральный компонент
Программа составлена: д.ф.-м.н., профессором А.Ю.Утешевым, к.ф.-м.н., доцентом
Е.А.Калининой (Санкт-Петербургский государственный университет)
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор А.М.Камачкин
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
1. Решить сравнение 9345x  36 (mod 2106).
а) x  606 (mod 702), б) x =606, в) x  426 (mod 3115).
2. Вычислить sin  1  sin  2  icos  1  cos  2 n .
а) 2 n (sin( 1   2 ) / 2) n [cos n(1   2 ) / 2  i sin( 1   2 ) / 2] ,
б) 2 n (sin( 1   2 ) / 2) n [cos n(1   2 ) / 2  i sin( 1   2 ) / 2] ,
в) 2 n (sin( 1   2 ) / 2) n [cos n(1   2 ) / 2  i sin( 1   2 ) / 2] .
3. Найти Н.О.Д.(x 2 -1,x 3 +1).
а) x , б) x  1 , в) x  1 .
4. Если все корни полинома f  R[x] вещественны, то корни его производных f (1) (x), …,
f ( n 1) (x)
а) чисто мнимые, б) вещественные, в) могут быть как вещественными, так и
комплексными.
5. Вычислить
 2 3 

 1
2
3


  E 
3 2 1 
 3  2  1
 0 1 

1

 j  k 

3
3
j , k 1

T
  j  k (mod 3) j ,k 1 .
3
 1  15 
 11


а) 20, б)   20 11 20  , в) обратная матрица не существует.
 0
 13  17 

6. Сколько элементов надо задать, чтобы однозначно определить симметричную
матрицу порядка n?
а) n(n  1) / 2 , б) n 2 , в) n(n  1) / 2 .
7.Указать все элементы кососимметричной матрицы
1



 2
0
а)   1
 2

3 .
 33
1 2
0 3 , б)
 3 0
1 2
1
  1 1 3 , в)


 2  3 1
 0 1  2
 1 0 3 .


 2 3 0 
8. Для квадратной матрицы A
матрицы A+A T и A-A T будут соответственно
а) симметричными, б) ганкелевой и теплицевой, в) симметричной и
кососимметричной.
9.Вычислить
1
7
1 5
 4
 3
4 0  6

.
 11 8
2 9


 12  10 0 8 
29
 14
20 
 28
 96
 70  48  117 1


а)
, б)
 581 1029 587 949  593


 131  39  29 
 78
96
 581 78 
 28
 29  70 1029  131

  1 , в) обратной
 14  48 587  39  593


 20  117 949  29 
матрицы не существует.
10. Алгоритм шифрования Rijndael, используемый в мобильной телефонии, имеет в
одной из стадий следующее преобразование байтов
 y0   1
  
 y1   1
 y  1
 2 
 y3   1
y 
 4  1
 y5   0
  
 y6   0
 y  0
 7 
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1  x0   1 
   
1  x1   1 
1  x 2   0 
   
1  x3   0 
(mod 2).
 
0  x 4   0 
0  x5   1 
   
0  x6   1 
1  x7   1 
Найти обратное преобразование.
0  y 0   0 
   
1  y1   0 
0  y 2   1 
   
0  y 3   1 
(mod 2) ,
 
1  y 4   1 
0  y 5   0 
   
1  y 6   0 
0  y 7   0 
б) y0  y1  y 2  y3  y 4  y5  y6  y7  1 ,
0

0
1

0
а) 
0
1

0
1

1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0

1
0

1
в) 
0
0

1
0

0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1  y 0   0 
   
0  y1   0 
1  y 2   1 
   
0  y 3   1 
(mod 2) .
 
0  y 4   1 
1  y 5   0 
   
0  y 6   0 
0  y 7   0 
11. Входит ли в определитель 7-го порядка произведение a71a17a26a62a53a35a44?
Если входит, то с каким знаком?
а) не входит, б) входит со знаком “минус”, в) входит со знаком “плюс”.
12. Пользуясь только определением, вычислить определитель
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
3
1
2
.
3
4
а) –1, б) 1, в) 0.
13. Вычислить циркулянт
1
n
n 1
...
2
2
1
n
...
3
3 ...
n
2 ... n  1
1 ... n  2 .
...
4 ...
1
а) 0, б) (1) n
n n 1 (n  1)
n n 1 (n  1)
, в) (1) n 1
.
2
2
14. Вычислить определитель
6 11 6 0 ... 0 0
1 6 11 6 ... 0 0
0 1 6 11 ... 0 0
.

 

0 0 0 0 ... 6 11
0 0 0 0 ... 1 6 nn
а)
1
29 n
3n  9
3n2  1
3 .
 2 n 2 , б)
 2 n  2 , в)   11  2 n 
2
2
2
2
15. Вычислить определитель порядка n, элементы которого заданы условиями
aij = min(i,j).
а) (1) n1 n , б) n , в) (1) n n .
16. Вычислить определитель методом выделения линейных множителей
1
1
1
1 2 x
1
1
1
3 x

1
1
1

1

1

1 .


 n 1 x
а) ( x  1)( x  2)  ( x  n) , б) (1) n ( x  1)( x  2)( x  n) , в) (2  x)(3  x)  (n  1  x) .
17. 1) det(-A) равен…;
2) определитель кососимметричной матрицы нечетного порядка равен …;
3) det (1) j  k a jk  j ,k 1 равен…
n
а) 1) det A ; 2) –1; 3) - deta jk nj ,k 1 ,
б) 1) (1) n det A ; 2) 0; 3) deta jk nj ,k 1 ,
в) 1) - det A ; 2) 0; 3) - deta jk nj ,k 1 .
18. Верно ли равенство det(A+B)=detA+detB для любых квадратных матриц A и B?
а) верно, б) неверно, в) верно, если матрицы одного порядка.
19. Найти ранг матриц по методу элементарных преобразований
17
93
а) 
94

18
51
25
27
53
27 31 
14 121
, б)
15 120

28 30 
3
7 1 2
 8 5
 4 6 7
9 11 12

 3 0 1
2 7 1.


15 11 9 13 19 15
17 10 2  5 6 3
а) 2 и 3, б) 4 и 3, в) 3 и 5.
20. Найти ранг матрицы
 1 1 1 1
 1  1 1 1

 в зависимости от значений параметра  .
 1 1  1 1


 1 1 1  1
а) 1 при   1 , 3 при   1 , б) 1 при   1 , 2 при   2 , 4 при   1 ,2,
в) 1 при   1 , 4 при   1 .
21. С помощью метода Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную
форму x 1 x 2 . Указать получившийся канонический вид
а) y12  y 22 , б) y12  y 22 , в) y12 .
22. Квадратичная форма f тогда и только тогда является положительно определенной,
когда ее матрица
а) представима в виде A=C T C, где C – невырожденная вещественная матрица,
б) представима в виде A=C T C, где C – треугольная вещественная матрица,
в) представима в виде A=C T C, где C – ортогональная матрица.
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
1. а) x  606 (mod 702)
2. в) 2 n (sin( 1   2 ) / 2) n [cos n(1   2 ) / 2  i sin( 1   2 ) / 2] .
3. в) x  1 .
4. б) вещественные
 1  15 
 11


5. б)   20 11 20 
 0
 13  17 

6. а) n(n  1) / 2
1 2
0

7. а)   1 0 3
 2  3 0
8. в) симметричной и кососимметричной.
29
 14
20 
 28
 96
 70  48  117 1

9. а) 
.
 581 1029 587 949  593


 131  39  29 
 78
0

1
0

1
10. в) 
0
0

1
0

0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1  y 0   0 
   
0  y1   0 
1  y 2   1 
   
0  y 3   1 
(mod 2) .
 
0  y 4   1 
1  y 5   0 
   
0  y 6   0 
0  y 7   0 
11. б) входит со знаком “минус”
12. в) 0.
n n 1 (n  1)
.
2
1
 2 n2 .
13. в) (1) n 1
3n2
2
15. а) (1) n1 n .
16. б) (1) n ( x  1)( x  2)( x  n)
14. б)
17. б) 1) (-1) n det A ; 2) 0; 3) deta jk nj ,k 1 .
18. б) неверно.
19. в) 3 и 5.
20. в) 1 при   1 , 4 при   1 .
21. б) y12  y 22 .
22. а) представима в виде A=C T C, где C – невырожденная вещественная матрица,
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЯ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 010300
«Фундаментальные информатика и информационные технологии» (010400
«Информационные технологии») (бакалавриат), 010900 (010600) «Прикладные математика и
физика» (бакалавриат)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Программа составлена: д.ф.-м.н., профессором А.П.Жабко, к.ф.-м.н. доцентом Е.Д.Котиной, к.ф.-м.н. доцентом О. Н.Чижовой (Санкт-Петербургский
государственный университет)
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор А.М.Камачкин
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
1. Интегрирующим множителем для уравнения (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 == 0 является
функция:
а) µ(𝑥) = 𝑒 2𝑥 ;
б) µ(𝑥) = 𝑒 =2𝑥 ;
в) µ(𝑥) = 𝑒 𝑥 .
2. Уравнение 𝑀(𝑥; 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥; 𝑦)𝑑𝑦 = 0
дифференциалах тогда и только тогда, когда:
a)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
б)
𝜕𝑀
в)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝜕𝑥
+
−
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑦
является
уравнением
= 0;
= 0;
= 0.
3. Для уравнения 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = (𝑥 2 + 1)𝑦 −
1⁄
3
функция 𝑦 ≡ 0
а) является частным решением;
б) является особым решением;
в) не является решением.
4. Функция 𝜓(𝑥; 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 является интегралом уравнения
а) 𝑦𝑑𝑥 − (𝑥 3 𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0;
б) 𝑦𝑑𝑥 − (4𝑥 2 𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0;
в
полных
в) 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0.
5. Задача Коши 𝑦 ′ = 3𝑦
2⁄
3 ; 𝑦 (1)
=0
а) имеет единственное решение;
б) имеет не единственное решение;
в) не имеет решений.
6. Уравнение 𝑦 ′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥)𝑦 𝑛
а) не имеет особых решений;
б) имеет особое решение при 𝑛 > 1;
в) имеет особое решение при 𝑛 ∈ (0; 1).
7. Решение задачи Коши 𝑦 ′ = 𝑦 2 ; 𝑦(1) = 1
а) определено при всех значениях 𝑥;
б) не продолжимо правее точки 𝑥 = 2;
в) не продолжимо правее точки 𝑥 = 3.
8. Общее решение уравнения 𝑦′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) имеет вид:
а) 𝑦 = 𝑒 − ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 (𝐶 + ∫ 𝑒 ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 𝑏(𝑥)𝑑𝑥);
б) 𝑦 = 𝑒 ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 (𝐶 + ∫ 𝑒 − ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 𝑏(𝑥)𝑑𝑥);
в) 𝑦 = 𝑒 ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 (𝐶 + ∫ 𝑒 ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 𝑏(𝑥)𝑑𝑥).
9. Геометрическое место точек минимума решений уравнения 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет вид:
а) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0;
𝜕𝑓
б) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0;
𝜕𝑓
в)
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+
𝑑𝑓
𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
> 0,
< 0,
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.
10. Огибающая семейства интегральных кривых уравнения 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0 является
для этого уравнения:
а) общим решением;
б) частным решением;
в) особым решением.
11. Фундаментальная система решений уравнения 𝑦′′ + 4𝑦 = 0 есть:
а) 𝑦1 = cos(2𝑥) ; 𝑦2 = sin(2𝑥) ;
б) 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 ; 𝑦2 = 𝑒 −2𝑥 ;
в) 𝑦1 = cos(2𝑥) ; 𝑦2 = xcos(2𝑥).
12. Все решения уравнения 𝑦 ′′ + 7𝑦 ′ + 12𝑦 = 0 при 𝑥 → +∞
а) неограничены;
б) стремятся к нулю;
в) остаются ограниченными, но не стремятся к нулю.
13. Частное решение уравнения 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = sin(𝑥) имеет вид:
а) 𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝑥);
б) 𝑥(𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝑥));
в) 𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥).
12. Фундаментальная матрица системы уравнений 𝑥̇ = 𝐴(𝑡 )𝑥 в случае ЛаппоДанилевского имеет вид:
а) 𝑌 (𝑡 ) = 𝑒 𝐴(𝑡) ∫ 𝐴(𝑡)𝑑𝑡 ;
б) 𝑌 (𝑡 ) = 𝑒 𝐴(𝑡) ;
в) 𝑌 (𝑡 ) = 𝑒 ∫ 𝐴(𝑡)𝑑𝑡 .
15. Общее решение системы уравнений 𝑥̇ = 𝐴(𝑡 )𝑥 + 𝐹 (𝑡 )
матрицей 𝑌 (𝑡) имеет вид:
а) 𝑥 (𝑡; 𝐶 ) = 𝑌 −1 (𝑡 )(𝐶 + ∫ 𝑌(𝑡 )𝐹 (𝑡 )𝑑𝑡);
б) 𝑥 (𝑡; 𝐶 ) = 𝑌(𝑡 )(𝐶 + ∫ 𝑌 −1 (𝑡)𝑑𝑡𝐹(𝑡));
в) 𝑥 (𝑡; 𝐶 ) = 𝑌(𝑡 )(𝐶 + ∫ 𝑌 −1 (𝑡 )𝐹(𝑡 )𝑑𝑡).
16. Для системы уравнений
с фундаментальной
{
𝑥̇ = 𝑥 − 𝑦,
𝑦̇ = 2𝑥 + 3𝑦.
начало координат есть положение равновесия типа:
а) фокус;
б) узел;
в) центр.
17. Система уравнений
{
𝑥̇ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦,
𝑦̇ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦.
имеет единственное положения равновесия, если:
а) 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ≠ 0;
б) 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0;
в) 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 .
18. Матрица 𝑒 𝐴𝑡 → 0 при 𝑡 → +∞ тогда и только тогда, когда собственные числа
матрицы A находятся:
а) в правой открытой полуплоскости комплексной плоскости;
б) в левой открытой полуплоскости комплексной плоскости;
в) в единичном круге.
19. Решение системы уравнений:
{
𝑥̇ = 𝑥𝑦 3 ,
𝑦̇ = 𝑥 3 𝑦.
а) имеет три производные по 𝑡;
б) голоморфно относительно 𝑡;
в) имеет четыре производные по 𝑡.
20. Уравнение 𝑥̈ + 4𝑥 = cos(𝑎𝑡 ) + sin(𝑎2 𝑡) имеет периодическое решение при
а) 𝑎 ≠ 4;
б) 𝑎 ≠ 2;
в) 𝑎 ≠ 0 .
𝜋
21. Краевая задача 𝑦 ′′ + 𝑦 = 1, 𝑦(0) = 0, 𝑦 ( ) = 0
2
а) не имеет решений;
б) имеет два решения;
в) имеет одно решение.
22. Для того, чтобы все решения системы уравнений 𝑥̇ = 𝐴(𝑡 )𝑥 с периодической
матрицей 𝐴(𝑡) стремились к нулю при 𝑡 → +∞, её мультипликаторы должны
находиться
а) в единичном круге;
б) в левой полуплоскости;
в) в правой полуплоскости.
23. Система уравнений
{
𝑥̇ = ln(5 − 𝑦 2 ) ,
𝑦̇ = 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑦 .
имеет
а) одно положение равновесия;
б) два положения равновесия;
в) четыре положения равновесия.
24. Система 𝑥̇ = 𝐴(𝑡 )𝑥 с периодической матрицей 𝐴(𝑡) преобразованием Ляпунова
приводится:
а) к стационарной линейной системе;
б) к линейной неоднородной системе;
в) к нелинейной системе.
25. Для системы уравнений
{
Функции
𝑥+𝑦
𝑥+𝑍
= 𝜓1 (𝑥, 𝑦) и
𝑧− 𝑦
𝑥+𝑦
𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥,
𝑧𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑧.
= 𝜓2 (𝑥, 𝑦).
а) являются зависимыми интегралами;
б) являются независимыми интегралами;
в) не являются интегралами.
26. Система уравнений
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
𝑥−𝑧 𝑦−𝑥 𝑧−𝑦
записана:
а) в нормальной форме;
б) в дифференциалах;
в) в симметрической форме.
27. Интегралы 𝜓1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) и 𝜓2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) системы уравнений
{
𝑦̇ = 𝑓1 (𝑥, 𝑦, 𝑧),
𝑧̇ = 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑧).
независимы тогда и только тогда, когда определитель Якоби
𝜕𝜓1
|| 𝜕𝑥
𝜕𝜓2
𝜕𝑥
𝜕𝜓1
𝜕𝑦 |
𝜕𝜓2 |
𝜕𝑦
а) тождественно равен нулю;
б) отличен от нуля;
в) тождественно равен произвольной константе.
28. Полная производная от функции 𝜓(𝑥, 𝑦) в силу уравнения
𝑦 ′ = 𝑓 (𝑥; 𝑦)
имеет вид:
а)
𝑑𝜓
б)
𝑑𝜓
|
𝑑𝑥 (∗)
|
𝑑𝑥 (∗)
=
=
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦);
𝑓(𝑥, 𝑦) +
𝜕𝜓
𝜕𝑦
;
(*)
в)
𝑑𝜓
|
𝑑𝑥 (∗)
𝜕𝜓
=(
𝜕𝑥
+
𝜕𝜓
𝜕𝑦
) 𝑓(𝑥, 𝑦).
29. Общее решение уравнения 𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) ) зависит от:
а) 𝑛 − 1 произвольной постоянной;
б) 𝑛 произвольных постоянных;
в) произвольной функции.
30. Задача Коши для уравнения 𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) ) содержит:
а) 𝑛 − 1 начальное условие;
б) 𝑛 начальных условий;
в) одно начальное условие.
Ответы к тестам:
1. а), 2. б), 3. в), 4. в), 5. б), 6. в), 7. б), 8. а), 9. а), 10. в), 11. а), 12. б), 13. а), 14. в), 15.
в), 16. а), 17. в), 18. б), 19. б), 20. б), 21. в), 22. а), 23. б), 24. а),
25. а), 26. в), 27. б), 28. а), 29. б), 30. б)
НАПРАВЛЕНИЕ 010400 (010500) «Прикладная математика и информатика»
(бакалавриат)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Программа составлена д.ф.-м.н., профессором Петросяном Л.А., к.ф.-м.н., доцентом
Зенкевичем Н.А. (Санкт-Петербургский государственный университет.)
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент
Кузютин Д.В
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
Выберите правильный ответ
̅̅̅̅̅̅
1. Рассмотрим 𝑥 ∈ 𝑀, 𝑀 = {𝑥|𝑔𝑖 (𝑥) ≥ 0, 𝑖 = 1,
𝑚 },
возможным направлением в точке 𝑥, если
вектор
𝑑 ≠ 0
называется
a)существует 𝜎 ≥ 0, такое что 𝑥 + 𝜏𝑑 ∈ 𝑀, ∀𝜏 ∈ [0, 𝜎)
b)существует 𝜎 > 0, такое что 𝑥 + 𝜏𝑑 ∈ 𝑀, ∀𝜏 ∈ [0, 𝜎)
c) не существует 𝜎 > 0, такое что 𝑥 + 𝜏𝑑 ∈ 𝑀, ∀𝜏 ∈ [0, 𝜎)
2. Найти решение задачи о капиталовложениях
10
15
20
25
20
25
30
35
30
35
40
45
40
45
50
55
50
60
60
65
a)70, b)60, c)80
3. Предположения, при которых условия Куна-Таккера являются достаточными.
a) ∇𝑓 (𝑥 ∗ )𝑑 ≤ 0, ∀𝑑 ∈ 𝐷 (𝑥 ∗ ), 𝐷 (𝑥 ∗ ) – множество возможных направлений.
b) функции 𝑓 (𝑥), 𝑔𝑖 (𝑥) – выпуклые
c) функции 𝑓 (𝑥), 𝑔𝑖 (𝑥) – вогнутые
4. Не является задачей нелинейного программирования:
a) max 𝑓 (𝑥), b)
𝑔(𝑥)≥0
max
𝐴𝑥≤0
𝑥≥0,𝑥−целые
𝑓 (𝑥), c)
max
𝑥∈𝑀
̅̅̅̅̅}
𝑀={𝑥|𝑔𝑖 (𝑥)=0, 𝑖=1,𝑚
𝑓 (𝑥 ).
5. Что является решением данной задачи о кратчайшем пути:
a)3 b)4 c)5
6. Условиями Куна-Таккера являются следующие условия:
𝑔𝑖 (𝑥) ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
a) {∃ 𝑙 = (𝜆1 , … , 𝜆𝑚 ) ≥ 0 такое что 𝛻𝑓(𝑥) + ∑𝑚
𝑖=1 𝛻𝑔𝑖 (𝑥 ) = 0
𝜆𝑖 𝑔𝑖 (𝑥) = 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
b) {
c) {
𝑔𝑖 (𝑥) ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
𝜆𝑖 𝑔𝑖 (𝑥) = 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
∃ 𝑙 = (𝜆1 , … , 𝜆𝑚 ) ≥ 0 такое что 𝛻𝑓(𝑥) + ∑𝑚
𝑖=1 𝛻𝑔𝑖 (𝑥 ) = 0
𝜆𝑖 𝑔𝑖 (𝑥) = 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
7. Уравнение Беллмана может быть записано в виде:
a) 𝐹𝑛 (𝑝) = max[𝑓1 (𝑝, 𝑞1 ) + 𝐹𝑛−1 (𝑇(𝑝, 𝑞1 ))]
𝑞1 ∈𝑄
𝑝 ∈ 𝑃 – состояния системы 𝑋, 𝑞𝑖 ∈ 𝑄 – управления системы.
b) 𝐹𝑛 (𝑝) = max[𝑓1 (𝑝, 𝑞1 ) + 𝐹𝑛−1 (𝑇(𝑝, 𝑞1 ))]
𝑞1 ∈𝑄
при граничном условии 𝐹0 (𝑝) = 𝑓𝑛+1 (𝑝)
𝑝 ∈ 𝑃 – состояния системы 𝑋, 𝑞𝑖 ∈ 𝑄 – управления системы.
c) 𝐹𝑛 (𝑝) = max[𝐹𝑛−1 (𝑇(𝑝, 𝑞1 )], 𝐹0 (𝑝) = 𝑓𝑛+1 (𝑝)
𝑞1 ∈𝑄
𝑝 ∈ 𝑃 – состояния системы 𝑋, 𝑞𝑖 ∈ 𝑄 – управления системы.
8. Функциональное уравнение для задачи на быстродействие:
a)
𝑇 𝑘 (𝑗) = min[𝑡𝑖𝑗 + 𝑇 𝑘−1 (𝑗)],
𝑗
𝑇 𝑘 (𝑀) = 0.
Где 𝑇 𝑘 (𝑗) – минимальное время перехода из вершины 𝑖 в вершину 𝑀, используя не
более 𝑘 промежуточных вершин.
b)
𝑇 𝑘 (𝑗) = min[𝑡𝑖𝑗 + 𝑇 𝑘−1 (𝑗)].
𝑗
Где 𝑇 𝑘 (𝑗) – минимальное время перехода из вершины 𝑖 в вершину 𝑀, используя не
более 𝑘 промежуточных вершин.
c)
𝑇 𝑘 (𝑗) = min[𝑡𝑖𝑗 + 𝑇 𝑘−1 (𝑗)],
𝑗
𝑇 𝑘 (𝑀) = 1.
Где 𝑇 𝑘 (𝑗) – минимальное время перехода из вершины 𝑖 в вершину 𝑀, используя не
более 𝑘 промежуточных вершин.
9. Функция ℎ является вогнутой на заданном выпуклом множестве 𝐶, если
a) из 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐶 следует, что
ℎ[𝜃𝑥 1 + (𝑙 − 𝜃)𝑥 2 ] ≥ ℎ(𝑥 1 ) + ℎ(𝑥 2 )
для любого 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 1.
c) из 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐶 следует, что
ℎ[𝜃𝑥 1 + (𝑙 − 𝜃)𝑥 2 ] ≥ 𝜃ℎ(𝑥 1 ) + (𝑙 − 𝜃)ℎ(𝑥 2 )
для любого 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 1.
Ответы:
1. б), 2. , 3. с), 4. б), 5. б), 6. а), 7. б), 8. а), 9. с).
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЕ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат)
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ (вариационное исчисление)
Программа составлена д.ф.-м.н., профессором Е.И. Веремеем и к.ф.-м.н., доцентом
Н.А. Жабко (Санкт-Петербургский государственный университет).
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор
В.Ф. Демьянов
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
1. Пусть G  C 1[a, b] – множество функций x(t ) одной вещественной переменной,
непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] . Определите, какой из
функционалов, заданных на этом множестве, является линейным:
b
a) J ( x)   x 2 (t )dt ,
a
b
b) J ( x)   x(t )  x' (t ) dt ,
a
c) J ( x)  max x(t ) .
t[ a ,b ]
2. Выберите пару кривых, которые являются  - близкими в смысле первого
порядка близости, если принять   0.1 :
cos nt
и x2 (t )  0 для любого положительного целого числа n  100
n
на промежутке 0,  ,
cos nt
b) x1 (t )  2 и x2 (t )  0 для любого положительного целого числа n  10
n
на промежутке 0,  ,
1
t
c) x1 (t )  cos и x2 (t )  0 для любого положительного целого числа n  100
n
n
на промежутке 0,  .
a) x1 (t ) 
2
3. Функционал


J ( x)   tx(t )  x 2 (t ) dt ,
заданный в пространстве
G  C 1[0,2] ,
0
является сильно дифференцируемым
a) только в точке x  t , t  [0,2] пространства G ,
b) только в точке x  sin t , t  [0,2] пространства G ,
c) в любой точке пространства G .
4. Определите, какой из функционалов представляет собой первую вариацию
2
функционала J ( x)    tx 3  xx '2  dt , заданного в пространстве G  C1[0, 2] :
0
2


a)  J    3tx 2  x '2   x  2 xx '  x ' dt ,
0
2
b)  J    3tx 2 x  2 x '  x ' dt ,
0
2


c)  J   2 xx '  x   3tx 2  x '2   x ' dt ,
0
где  x – приращение аргумента x подынтегральной функции,  x ' – приращение
аргумента x ' подынтегральной функции.
5. Если функция x0 (t ) в простейшей основной задаче вариационного исчисления,
удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера, то можно утверждать,
что
a) она является экстремалью,
b) она обеспечивает слабый относительный экстремум интегрального
функционала,
c) она обеспечивает сильный относительный экстремум интегрального
функционала.
6. Выберите функцию, которая является допустимой экстремалью в простейшей
1
основной задаче для заданного функционала J ( x)   sin( x' 2 (t )) dt и краевых
0
условий x(0)  0 , x(1)  e  1 :
a) x0 (t )  e  1t ,
b) x0 (t )  2t ,
c) x0 (t )  e t  1 .
7. Установите, на какой из функций может достигать экстремума функционал
b
J ( x)   x' 2 (t )dt в вариационной задаче с незакрепленной правой границей
0
x(0)  0 , x(b)  1  b :
a) x0 (t )  2t ,
b) x0 (t )  0 ,
c) x0 (t )  2t .
8. Определите, на какой из функций, непрерывных на промежутке [0,3] и
удовлетворяющих граничным условиям x(0)  0 , x(3)  4 , достигает своего
3
наименьшего значения интегральный функционал J ( x)   x' 2 2  x'2 dt :
0
4
3
4
b) x0 (t )  t 2 ,
9
0, t  0,1,
c) x0 (t )  
2t  2, t  1,3.
a) x 0 (t )  t ,
9. Если допустимая экстремаль x(t ) удовлетворяет условию Лежандра, то
a) она является точкой слабого относительного минимума интегрального
функционала,
b) она является точкой сильного относительного минимума интегрального
функционала,
c) нельзя утверждать, что она является точкой экстремума интегрального
функционала.
10. Допустимая экстремаль x(t )  t , t  [0,1] , соответствующая функционалу
1
J ( x)   x' 2 1dt ,
0
a) является точкой слабого относительного минимума функционала,
b) является точкой слабого относительного максимума функционала,
c) не является точкой слабого экстремума функционала.
1
11. Допустимая экстремаль x(t )   et  et 2  e2  1 , t  [0,1] , соответствующая
1


функционалу J ( x)   x' 2  x 2 dt ,
0
a) является точкой сильного относительного минимума функционала,
b) является точкой сильного относительного максимума функционала,
c) не является точкой сильного экстремума функционала.
12. Определите, какое из однопараметрических семейств образует центральное поле
экстремалей в некоторой области, в которое может быть включена дуга
 
экстремали x0 (t )  0 , соединяющая точки A  0,0 и B   ,0  и
4


соответствующая функционалу J ( x)   x 2 (t )  x' 2 (t ) dt :
4
0
a) x(t ,  )   sin t ,
b) x(t ,  )   cos t ,
c) x(t ,  )  t .
13. Установите, какая из векторных функций x1
1
6
1
6
x2  , удовлетворяющих краевым
условиям x1 (0)  0 , x2 (0)  0 , x1 (1)  , x 2 (1)  , может обеспечивать экстремум


x'12
2

 x' 22 dt :
функционала J ( x)    tx1  t x2 
2

0
2
t
t
a) x1  , x2  ,
6
6
3
t
t4 t2
t
b) x1  , x2    ,
24 6 24
6
3
t
t4 t
c) x1  , x2   .
6
24 8
1
14. Выберите функцию, которая может доставлять экстремум функционалу
1


J ( x)   2tx1  2tx2  x'12  x' 22 dt при наличии связи x1  2 x2  0 и для заданных
0
граничных условий x1 (0)  0 , x2 (0)  0 , x1 (1)  0 , x2 (1)  0 :
a) x1  t 2  t , x2  2  t 2  t  ,




1 3
1
t  t , x1 
t  t3 ,
15
30
1 3
1
c) x1   t  t  , x1   t  t 3  ,
30
30
b) x1 
15. Выберите функцию, на которой может достигать экстремума функционал
1
J ( x)   x' (t )dt при заданном ограничении
2
0
1
 txdt  1
и граничных условиях
0
x(0)  1 , x (1)  0 :
35
39
a) x 0 (t )   t 3  t  1 ,
4
4
b) x0 (t )  t  1 ,
7
10
c) x 0 (t )   t 3  t  1 .
3
3
16. Выберите тип задач построения оптимального программного управления, к
которому
можно
отнести
задачу
с
функционалом
качества
1


J ( x)   u 2 (t )  2 x(t )u (t ) dt 2 x(1) :
0
a) задача Лагранжа,
b) задач Майера,
c) задача Больца.
17. Установите, какое управление является оптимальным по быстродействию при
заданном ограничении u(t )  1 для системы линейных уравнений
 0 0  2
1
 0
x   u , x(0)    , x(T )    :
x  
1 0 1
 0
  1
1, t  [0,  ],
a) u (t )  
 1, t  ( , T ],
 1, t  [0,  ],
1, t  ( , T ],
b) u (t )  
t , t  [0,  ],
 t , t  ( , T ],
c) u (t )  
где  и T некоторые положительные вещественные числа.
18. Определите, какое из управлений для объекта управления, заданного
дифференциальными
уравнениями
является
x1  x1u  x2 ,
x 2  x2 u  x1 ,
2
оптимальным в смысле демпфирования функции V  x1  2 x1 x2 при заданном
ограничении u(t )  1 :
a) u (t )  1 ,
b) u(t )  sign ( x12  2 x1 x2 ) ,
c) u(t )  sign ( x22  x1 x2 ) .
19. Какой из функционалов может достигать минимума для объекта управления,
заданного дифференциальным уравнением x  u с начальным условием x (0)  1 ,
и управления u(t )  et 1  e1t  e  e 1  :
1
1
a) J ( x)   x(t )  u (t ) 2 dt ,
0
b) J ( x)   x 2 (t )  u 2 (t ) dt ,
1
0
1
c) J ( x)   u 2 (t )dt .
0
Ответы:
1. b), 2. с), 3. с), 4. a), 5. a), 6. a), 7. b), 8. с), 9. с), 10. a), 11. a), 12. a), 13. с), 14. b),
15. a), 16. с), 17. a), 18. b), 19. b).
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЯ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 010300
«Фундаментальные информатика и информационные технологии» (010400
«Информационные технологии») (бакалавриат), 010900 (010600) «Прикладные математика и
физика» (бакалавриат)
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Программа составлена:
доцентом, к.ф.-м.н. В.М. Буре,
доцентом, к.ф.-м.н. М.В. Свиркиным,
ассистентом, к.ф.-м.н. Е.М. Парилиной
(Санкт-Петербургский государственный университет).
Рецензент: доктор физ-мат. наук, профессор
Колпак Е.П.
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
Часть 1. Теория вероятностей
1) Максимальное значение произведения вероятностей противоположных событий
равно:
А) 0.5
Б) 0.25
В) 1
Г) 0.54
2) Вероятность выпадения хотя бы одного герба при троекратном подбрасывании
симметричной монеты равна:
А) 1/2
Б) 3/4
В) 7/8
Г) 1/8
3) Если вероятность успеха в схеме Бернулли постоянна и мала, а число испытаний
велико и произведение квадрата вероятности на число испытаний близко к нулю, то
для нахождения вероятности того, что в этой серии испытаний произойдет
фиксированное число успехов, следует использовать
А) классическое определение вероятности
Б) локальную теорему Муавра-Лапласа
В) теорему Пуассона
Г) формулу умножения вероятностей
4) Если дисперсия случайной величины X равна 2, то дисперсия случайной величины
Y 2X 1равна
А) 4
Б) 7
В) 8
Г) 9
5) Если математическое ожидание случайной величины X равно 1, то математическое
ожидание случайной величины Y 2X 1равно
А) 5
Б) 7
В) 1
Г) 3
6) Парный коэффициент корреляции r ( X , Y ) изменяется в пределах
А) 0r(X,Y)1
Б) 1r(X,Y)1


r
(X
,Y
)

В) 
Г) 0r(X,Y)
7) Парный коэффициент корреляции равен –1. Это означает
А) наличие нелинейной функциональной связи;
Б) отсутствие связи;
В) положительную линейную связь;
Г) отрицательную линейную связь.
8) Случайные величины с конечными вторыми моментами взаимно независимы. Это
означает, что
А) парный коэффициент корреляции равен 2;
Б) парный коэффициент корреляции равен 1;
В) парный коэффициент корреляции равен 0;
Г) парный коэффициент корреляции равен –1.
9) Дисперсия случайной величины равна нулю. Это означает, что
А) случайная величина распределена по закону Пуассона;
Б) случайная величина распределена по закону Вейбулла;
В) распределение случайной величины абсолютно непрерывно;
Г) случайная величина вырождена.
10)Случайная величина принимает любое фиксированное значение с вероятностью
равной нулю. Это означает, что
А) случайная величина вырождена;
Б) случайная величина распределена по закону Пуассона;
В) распределение случайной величины дискретно;
Г) функция распределения случайной величины непрерывна на числовой
прямой.
Часть 2. Математическая статистика
11) Несмещенной оценкой математического ожидания является статистика
n
(x x)

2
А)
S2 i1
i
n
n
(x x)

3
Б)
i
i
1
M
3
n
n
В)
x
x
x 1
i
n
n
(x x)

4
Г)
i
i
1
M
4
n
12) Несмещенной оценкой дисперсии является статистика
n
(x x)

2
А)
i
S2 i1
n1
n
(x x)

3
Б)
i
1
M
3
i
n
n
В)
x
x
x 1
i
n
n
(x x)

4
Г)
i
1
M
4
i
n
13) Ошибка первого рода –
А) Гипотеза Н 0 верна и ее принимают согласно критерию;
Б) Гипотеза Н 0 верна и ее отвергают согласно критерию;
В) Гипотеза Н 0 не верна и ее отвергают согласно критерию;
Г) Гипотеза Н 0 не верна и ее принимают согласно критерию.
14) Мощностью критерия –
А) вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в
критическую область, если верна гипотеза H 0 ;
Б) вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в
критическую область, если верна гипотеза H 1 ;
В) вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в область
принятия гипотезы, если верна гипотеза H 0 ;
Г) вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в область
принятия гипотезы, если верна гипотеза H 1 .
15) При проверке гипотезы H 0 :    0 следует выбрать правостороннюю критическую
область,
А) если H1 :  0;
Б) если H1 : 0;
В) если H1 : 0.
*
16) Пусть статистика  n имеет нормальное распределение. Тогда условием для расчета
значения  кр - границы правосторонней критической области, является
*
(n
кр);
А) P

*
(n

кр) ;
Б) P
2
( кр);
В) P
*
n

*
(n

кр) .
Г) P
2
17) При построении доверительного интервала для математического ожидания
нормального распределения, когда дисперсия известна, используется статистика
x 
n;
А)

n
(x x)

2
Б)
S2 i1
i
n1
n
(x x)

3
В)
i
i
1
M
3
n
n
Г)
x
x
x 1
i
n
18) При построении доверительного интервала для математического ожидания
нормального распределения, когда дисперсия неизвестна, используется статистика
x 
n;
А)
S
n
(x x)

2
Б)
S2 i1
i
n1
n
(x x)

3
В)
i
1
M
3
i
n
n
Г)
x
x
x 1
i
n
19) При построении доверительного интервала для дисперсии нормального
распределения по выборке объема n , когда математическое ожидание неизвестно,
используется статистика, распределенная по закону
А) Стьюдента с n степенями свободы;
Б) Фишера-Снедекора;
В) Пуассона;
Г) хи-квадрат с n  1 степенью свободы.
20) При построении доверительного интервала для математического ожидания
нормального распределения по выборке объема n , когда дисперсия неизвестна,
используется статистика, распределенная по закону
А) Стьюдента с n степенями свободы;
Б) Фишера-Снедекора;
В) Пуассона;
Г) хи-квадрат с n  1 степенью свободы.
Ответы:
1. Б), 2. В), 3. В), 4. В), 5. Г), 6. Б), 7. Г), 8. В), 9. Г), 10. Г), 11. В), 12. А), 13. Б),
14. Б), 15. Б), 16. В), 17. А), 18. А), 19. Г), 20. нет правильного ответа
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЕ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат)
ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Программа составлена д.ф.-м.н., профессором Петросяном Л.А., к.ф.-м.н., доцентом
Зенкевичем Н.А. (Санкт-Петербургский государственный университет.)
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент
Кузютин Д.В.
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
Выберите правильный ответ
1. Невозможно в задаче линейного программирования:
a)точно одно решение
b) точно 2 решения
c) бесконечное множество решений
2. Базисным решеним системы линейных уравнений называется:
a)Неотрицательное решение 𝑥 = (𝜀1 , … , 𝜀𝑛 ) системы
𝑛
1, 𝑚.
∑ 𝜀𝑗 𝑎𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
𝑗=1
которое зависит от такого множества 𝑆(𝑆 – подмножества индексов {1, . . . , 𝑛}, такое
что 𝜀𝑗 ≠ 0, 𝑗 ∈ 𝑆) что векторы 𝑎𝑗 для 𝑗 ∈ 𝑆, независимы.
b) Неотрицательное решение 𝑥 = (𝜀1 , … , 𝜀𝑛 ) системы
𝑛
∑ 𝜀𝑗 𝑎𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚.
𝑗=1
которое зависит от такого множества 𝑆(𝑆 – подмножества индексов {1, . . . , 𝑛}, такое
что 𝜀𝑗 ≠ 0, 𝑗 ∈ 𝑆) что векторы 𝑎𝑗 для 𝑗 ∈ 𝑆, зависимы.
с) Решение 𝑥 = (𝜀1 , … , 𝜀𝑛 ) системы
𝑛
∑ 𝜀𝑗 𝑎𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚.
𝑗=1
которое зависит от такого множества 𝑆(𝑆 – подмножества индексов {1, . . . , 𝑛}, такое
что 𝜀𝑗 ≠ 0, 𝑗 ∈ 𝑆) что векторы 𝑎𝑗 для 𝑗 ∈ 𝑆, зависимы.
3. Базисным оптимальным решением задачи линейного программирования называется:
a) вектор 𝑥 = (𝜀1 , … , 𝜀𝑛 ) который является базисным решением системы ограничений
𝑥𝐴 = 𝑏
и при этом на нем достигается максимальное или минимальное значение.
b) вектор 𝑥 = (𝜀1 , … , 𝜀𝑛 ) на котором достигается максимальное или минимальное
значение задачи линейно программирования.
с) оптимальный вектор 𝑥 = (𝜀1 , … , 𝜀𝑛 ) который является базисным решением системы
ограничений
𝑥𝐴 = 𝑏.
4. Выберите правильное значение матричной игры:
2
(
3
4
)
5
a) 5/4
b) 5/2
c) 7/2
5. В какой из матричных игр, представленных ниже, существует равновесие в чистых
стратегиях.
1 3
а) (
),
4 2
b) (
1 2
),
4 3
1 2
с) (
).
3 4
6. Какие из матричных игр имеют решение в смешанных стратегиях:
1 0 3
1 2 3
a) (0 1 2), b) (2 1 3), c) Обе игры
3 0 1
3 2 1
7. Выберите правильное значение игры
a) 𝑣 = 113, b) 𝑣 = 213, c) 𝑣 = 212
8. В каких играх не существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях
(2,2) (0,0)
(1, −1) (−1,1)
(4,4) (0,5)
a) (
), b) (
), c) (
)
(0,0) (1,1)
(−1,1) (1, −1)
(5,0) (3,3)
9. Выберите конечную игру
a) ”Дилемма заключенного“
b) ”Одновременная игра преследования на плоскости“
c) ”Шумная дуэль“
10. Какая из представленных игр является биматричной
(1,4) (0,0)
(1) (3)
5 0 5 10
a) (
), b) (
)(
), c) (
)
(0,0) (4,1)
(−1) (0)
10 3 0 3
11. Выберите кооперативную игру:
(1,4) (0,0)
a) (
)
(0,0) (4,1)
b) ”Оборона города“
c) 𝑁 = {1, 2, 3}, 𝑣(∅) = 𝑣(1) = 𝑣(2) = 𝑣(3) = 0, 𝑣(1, 2) = 𝑐1 , 𝑣(1, 3) = 𝑐2 ,
𝑣(2, 3) = 𝑐3 , 𝑣(1, 2, 3) = 1, 0 ≤ 𝑐𝑖 ≤ 1, 𝑖 = 1, 2, 3.
12. Что является дележом кооперативной игры
𝑁 = {1, 2, 3},
𝑣(1) = 𝑣(2) = 𝑣(3) = 1,
𝑣(1, 2) = 4, 𝑣(1, 3) = 4,
𝑣(2, 3) = 4, 𝑣(𝑁) = 7:
a) 𝛼 ∗ = (1; 3; 3), b) 𝛼 ∗ = (2,5; 2; 0,5), c) 𝛼 ∗ = (2; 1; 1).
13. Какой дележ принадлежит С-ядру кооперативной игры
𝑁 = {1, 2, 3},
𝑣(1) = 𝑣(2) = 𝑣(3) = 1, 𝑣(1, 2) = 3, 5,
𝑣(2, 3) = 3,
𝑣(𝑁) = 4:
𝑣(1, 3) = 2, 5,
a) 𝛼 ∗ = (2; 2; 1),
b) 𝛼 ∗ = (2,5; 2; 0,5),
c) 𝛼 ∗ = (0,5; 2; 1).
14. В биматричной игре (𝐴, 𝐵) = (
(5,5)
(6,0)
(0,6)
) существует:
(4,4)
a)Ситуации равновесия по Нэшу 𝑁 𝐸 = {(1, 1); (2, 2)}, Парето оптимальные ситуации
𝑃 𝑂 = {(1, 1); (2, 2)}
b)Ситуации равновесия по Нэшу 𝑁 𝐸 = {(1, 1); (2, 2)}, Парето оптимальные ситуации
𝑃 𝑂 = {(1, 1)}
c)Ситуации равновесия по Нэшу 𝑁 𝐸 = {(2, 2)}, Парето оптимальные ситуации 𝑃 𝑂 =
{(1, 1); (1, 2); (2, 1)}
15. Найдите все доминируемые стратегии в биматричной игре
(4,4)
(𝐴, 𝐵) = ((1,2)
(2,7)
(2,0)
(1,1)
(3,5)
(7,2)
(5,3))
(6,6)
a)Первый игрок: 1 ≻ 2 или 3 ≻ 2; 1 ≻ 3; Второй игрок: 1 ≻ 2 или 3 ≻ 2; 1 ≻ 3.
b)Первый игрок: 2 ≻ 1 или 2 ≻ 3; 3 ≻ 1; Второй игрок: 2 ≻ 1 или 2 ≻ 3; 3 ≻ 1.
c)Первый игрок: 2 ≻ 1 или 3 ≻ 2; 3 ≻ 1; Второй игрок: 2 ≻ 1 или 2 ≻ 3; 1 ≻ 3.
16. какая из представленных матриц a), b), c) не является допустимым решением
транспортной задачи:
𝑎 = (10, 20, 30, 40),
a)
𝑏 = (20, 40, 40),
5
𝑐 = (4
0
3 2 1
2 3 6)
2 1 3
5
10
3
2
1
2
3
6
10
4
30
0
2
10
1
3
40
b)
5
3
2
1
20
4
2
3
20
0
6
20
2
10
1
3
2
1
3
6
30
c)
5
3
10
4
10
2
10
0
10
2
1
20
3
30
17. Оптимальное назначение в задаче о назначениях
5
1
2
3
2
1
4
1
2
5*
1
2
3
2
1*
4
1*
2
5*
1
2
3
2*
1
4
1
2*
5
1
2*
3
2*
1
4*
1
2
a)
b)
c)
18. Найти максимальную мощность потока
a) 3 b)2 c)4
19. Найти пропускную способность сечения
a) 1 b)2 c)3
Ответы:
1. b), 2. a), 3. а), с), 4. c), 5. b), 6. c), 7. c), 8. b), 9. а), 10. a), b), 11. c), 12. a), 13. b), 14. c),
15. a), 16. с), 17. b), 18. b), 19. b)
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЯ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 010900
(010600) «Прикладные математика и физика» (бакалавриат)
ФИЗИКА. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Программа составлена: д.ф.-м. н., профессором Бабаджанянцем Л.К., к.ф.-м.н,
доцентом Пупышевым Ю.А., к.ф.-м.н, доцентом Пупышевой Ю.Ю. (СанктПетербургский государственный университет)
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор
Квитко А.Н.
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
Тесты основаны на материале лекций и используются как возможные дополнительные вопросы на зачете и экзамене. Могут служить также материалом для
самопроверки. От студента требуется не только указать правильный ва-риант ответа,
но и обосновать его. На решение и обоснование теста отводится пять минут.
1. Два репера аффинного пространства связаны матрицей 𝐴. Какое из условий
(а),(б),(в) является необходимым и достаточным для того, чтобы эти базисы были
одинаково ориентированы?
(а) ∃ 𝐴−1 ,
(б) det 𝐴 > 0,
(в) det 𝐴 < 0.
2. Ортонормальный репер жестко связан с движущимся в аффинном
пространстве твердым телом. Два положения этого репера, соответствующие
некоторым двум положениям тела, связаны матрицей 𝐴. Какое из утверждений
(а),(б),(в) является истинным?
(а) det 𝐴 = −1,
(б) det 𝐴 = 0,
(в) det 𝐴 = +1.
3. Какой из вариантов реперов (а),(б),(в) имеет ту же ориентацию, что и репер
(𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ )?
(а) (𝑂1 , −𝑖⃗, −𝑗⃗, −𝑘⃗⃗ ),
(б) (𝑂, 𝑗⃗ × 𝑖⃗, 𝑘⃗⃗ × 𝑗⃗, 𝑖⃗ × 𝑘⃗⃗ ),
(в) (𝑂1 , 𝑖⃗ × 𝑗⃗, 𝑗⃗ × 𝑘⃗⃗ , 𝑘⃗⃗ × 𝑖⃗).
4. Пусть 𝐽 --- матрица Якоби отображения, задающего криволинейную систему
координат в 𝑅3 . Какое из условий (а),(б),(в) обеспечивает линейную независимость
векторов, образующих локальные базисы этой криволинейной системы координат?
(а) det 𝐽 > 0,
(б) det 𝐽 = 0,
(в) det 𝐽 ≤ 0.
5. Как изменятся направление нормали и ориентация натурального базиса, если
точка будет двигаться по той же траектории в обратном направлении?
(а) не изменятся,
(б) изменятся на противоположные,
(в) изменится только ориентация базиса.
6. Как изменятся направления нормали и бинормали натурального базиса, если
точка будет двигаться по той же траектории в обратном направлении?
(а) не изменятся,
(б) изменятся на противоположные,
(в) изменится только направление бинормали.
7. Какой из наборов (а),(б),(в) координатных кривых, проходящих через точку 𝑀
пространства 𝑅3 соответствует цилиндрической системе координат?
(а) луч прямой,окружность,прямая,
(б) луч прямой,окружность,окружность,
(в) прямая, прямая, прямая.
8. Декартовы координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 точек связаны с их криволинейными
координатами 𝜉, 𝜂, 𝜁 формулами 𝑥 = 𝜉 2 , 𝑦 = 2𝜂 2 , 𝑧 = −3𝜁 2 . Частями каких кривых
являются координатные линии соответствующей криволинейной системы координат?
(а) прямых,
(б) эллипсов,
(в) гипербол.
9. Декартовы координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 точек относительно репера (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ ) связаны с
их криволинейными координатами 𝜉, 𝜂, 𝜁 при 𝜉 > 0, 𝜂 > 0, 𝜁 < 0 формулами 𝑥 =
𝜉 2 , 𝑦 = 𝜂 2 , 𝑧 = −𝜁 2 . Какая из троек (а),(б),(в) является локальным базисом
соответствующей криволинейной системы координат?
(а) (𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ ),
(б) (𝑖⃗, 𝑗⃗, −𝑘⃗⃗ ),
(в) (−𝑖⃗, −𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ ).
10. В репере (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ ) точка имеет координаты (1,2,3). Какие у нее координаты
в репере (𝑂, 𝑗⃗ × 𝑖⃗, 𝑘⃗⃗ × 𝑗⃗, 𝑖⃗ × 𝑘⃗⃗ )?
(а) (1,2,3),
(б) (−3, −1, −2),
(в) (2,6,3).
11. Движение точки относительно декартовой системы 𝑂𝑥𝑦𝑧 определяется
формулами 𝑥 = −𝑎1 sin 𝑐1 𝑡 + 𝑏1 cos 𝑐1 𝑡, 𝑦 = 𝑎2 sin 𝑐2 𝑡 − 𝑏2 cos 𝑐2 𝑡, 𝑧 = 𝑐3 𝑡 2 , где
𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 --- вещественные постоянные, а 𝑡 ∈ 𝑅 --- время. Чему равна величина ее
ускорения?
(а) √𝑎1 𝑐12 𝑥 2 + 𝑎2 𝑐22 𝑦 2 + 4𝑐32 ,
(б) √𝑐14 𝑥 2 + 𝑐24 𝑦 2 + 4𝑐32 ,
(в) √𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑦 2 + 4𝑐32 .
12. Движение точки относительно декартовой системы 𝑂𝑥𝑦𝑧 определяется
формулами 𝑥 = 𝑎 sin 𝑏𝑡 + 𝑐, 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑡 − 𝑑, 𝑧 = −1, где 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐, 𝑑 --вещественные постоянные, а 𝑡 ∈ 𝑅 --- время. Чему равна кривизна ее траектории?
(а) 1/𝑎,
(б) 𝑏/𝑎,
(в) 1/𝑏.
13. Какова траектория точки, если ее радиус-вектор 𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑡) удовлетворяет
условиям: 𝑟⃗̇ = 𝑟⃗, 𝑟⃗(0) ≠ ⃗0⃗ ?
(а) луч прямой,
(б) прямая,
(в) точка.
14. Точка 𝑂′ движущегося поступательно твердого тела описала окружность с
центром в неподвижной точке 𝑂 . Какой при этом путь по сравнению с точкой 𝑂′
прошла точка 𝑀 тела, находившаяся в начальный момент вне этой окружности?
(а) меньший,
(б) такой же,
(в) больший.
15. Твердое тело --- равносторонний треугольник 𝐴𝐵𝐶 движется в проходящей
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
через его три вершины неподвижной плоскости так, что ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵, 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵 = 𝐴𝐶 . Чему равна
скорость ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝐶 вершины 𝐶?
(а) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ,
(б) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴,
⃗
(в) 0⃗.
16. Плоский диск катится по прямой. Каково уравнение кривой на диске, все
точки которой имеют одинаковую по величине скорость?
(а) отрезки параболы с центром в точке касания,
(б) отрезки окружности с центром в точке касания,
(в) отрезки эллипса с центром в центре диска.
17. Центр катящегося по прямой диска движется равномерно. По некоторому
диаметру этого диска движется точка с постоянной по величине скоростью (со сменой
направления движения на концах диаметра). Чему должно быть равно отношение
величины скорости центра диска к величине скорости точки по диаметру, чтобы после
полного оборота диска точка прошла полный диаметр?
(а) 1/𝜋,
(б) 1,
(в) 𝜋.
18. Центр катящегося по дороге (не обязательно прямолинейной) колеса
движется с постоянной по величине скоростью. По некоторому диаметру этого колеса
движется точка также с постоянной по величине скоростью (со сменой направления
движения на концах диаметра). Чему должно быть равно отношение величины
скорости центра колеса к величине скорости точки по диаметру, чтобы после 𝑘 полных
оборотов колеса точка прошла путь равный 𝑚 диаметров?
(а) 𝑚𝜋/𝑘,
(б) 𝑘/𝑚,
(в) 𝑘𝜋/𝑚.
19. Центр твердого тела--шара движется с угловой скоростью 𝜔
⃗⃗ по окружности
так, что ближайшей к центру этой окружности точкой тела всегда остается точка 𝑊.
Чему равна проекция угловой скорости твердого тела на вектор 𝜔
⃗⃗?
(а) −𝜔
⃗⃗,
(б) ⃗0⃗,
(в) 𝜔
⃗⃗.
20. Три не лежащие на одной прямой положения точки, движущейся в
центральном силовом поле в трехмерном пространстве, определяются своими радиусвекторами ⃗⃗⃗⃗,
𝑟1 ⃗⃗⃗⃗,
𝑟2 ⃗⃗⃗⃗.
𝑟3 Какому из условий удовлетворяет радиус-вектор любого
положения 𝑟⃗ этой точки?
⃗⃗,
(а) (𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 ) × [(𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗
𝑟2 ) × (𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗
𝑟3 )] = 0
(б) (𝑟⃗ − ⃗𝑟⃗)
𝑟1 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟2 ) × (⃗⃗⃗⃗
𝑟2 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟3 )] = ⃗0⃗, 𝑗 = 1,2,3,
𝑗 × [(⃗⃗⃗⃗
(в) (𝑟⃗ − ⃗𝑟⃗)
𝑟1 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟2 ) × (⃗⃗⃗⃗
𝑟2 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟3 )] = 0, 𝑗 = 1,2,3.
𝑗 ∙ [(⃗⃗⃗⃗
21. Материальная точка массы 𝑚 движется под действием постоянной силы 𝐹⃗ .
Ее положения в моменты 𝑡 = 0 и 𝑡 = 1 определяются своими радиус-векторами ⃗⃗⃗⃗,
𝑟0 ⃗⃗⃗⃗.
𝑟1
Чему равен радиус-вектор ее положения при 𝑡 = 2?
(а) 2𝑟⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝐹⃗ /𝑚,
(б) 2𝑟⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 − 𝐹⃗ /𝑚,
(в) 2𝑟⃗⃗⃗⃗0 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 + 𝐹⃗ /𝑚.
22. Материальные точки с массами 𝑚1 , … , 𝑚𝑁 движутся все с одним и тем же

постоянным ускорением 𝑤
⃗⃗⃗ w , а радиус-вектор ⃗⃗⃗(𝑡)
𝑟𝑐
их центра масс удовлетворяет
условиям ⃗⃗⃗
𝑟𝑐 (0) = ⃗0⃗, ⃗⃗⃗
𝑟𝑐̇ (0) = ⃗0⃗. Чему равен радиус-вектор ⃗⃗⃗
𝑟𝑐 (𝑡 )?
1⁄𝑚1 +⋯+1⁄𝑚𝑁 2
(а) ⃗⃗⃗
𝑟𝑐 (𝑡 ) =
𝑡 𝑤
⃗⃗⃗,
2(𝑚1 +⋯+𝑚𝑁 )
⃗⃗,
(б) 0
1
(в) ⃗⃗⃗
𝑟𝑐 (𝑡 ) = 𝑡 2 𝑤
⃗⃗⃗.
2
23. Как связаны между собой утверждения, что силовое поле потенциальное и
что оно центральное?
(а) центральное поле потенциально,
(б) потенциальное поле центрально,
(в) никак не связаны.
24. Как связаны между собой теорема об изменении главного вектора
количества движения механической системы и теорема о движении ее центра масс?
(а) это две формулировки одного и того же утверждения,
(б) из первой следует вторая, но не наоборот,
(в) из второй следует первая, но не наоборот.
25. Какое число независимых первых интегралов можно получить как следствие
теорем об изменении количества движения, момента количества движения и
кинетической энергии механической системы из 𝑛 ≥ 2 материальных точек,
движущихся под действием взаимного притяжения по закону Ньютона?
(а) 7,
(б) 9,
(в) 10.
26. Как зависят уравнения Лагранжа II рода от обобщенных ускорений?
(а) линейно,
(б) квадратично,
(в) не зависят.
27. Какое из преобразований приводит систему уравнений Лагранжа II рода к
системе уравнений Гамильтона того же порядка?
(а) Галилея,
(б) Лежандра,
(в) Дирака.
28. Каким должно быть силовое поле, чтобы к уравнениям Лагранжа II рода
можно было применить преобразование Лежандра?
(а) однородным,
(б) центральным,
(в) потенциальным.
29. На сколько единиц можно понизить порядок системы уравнений движения
механической системы, если ее функция Лагранжа не зависит от 𝑘 обобщенных
координат?
(а) 𝑘 − 1,
(б) 𝑘,
(в) 2𝑘.
30. Какой механический смысл имеет функция Гамильтона 𝐻, не зависящая
явно от времени?
(а) 𝐻 -- интеграл механической энергии,
(б) 𝐻 -- потенциальная энергия,
(в) 𝐻 -- решение уравнения Гамильтона-Якоби.
31. Что позволяет найти теорема Якоби?
(а) общее решение уравнений Гамильтона,
(б) общее решение уравнения Гамильтона-Якоби,
(в) полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
32. Сколько степеней свободы в пространственном движении имеет система из
четырех стержней, связанных в четырехугольник четырьмя сферическими шарнирами?
(а) 6,
(б) 8,
(в) 10.
33. Почему в системе углов Эйлера 𝜑 (угол ротации), 𝜓 (угол прецессии), 𝜃
(угол нутации) для последнего недопустимы значения 0 и 𝜋?
(а) при этих значениях 𝜃 получается 𝜑 = 𝜓 = 0,
(б) при этих значениях 𝜃 получается 𝜑 = 𝜓 = 𝜋,
(в) при этих значениях 𝜃 не определена линия узлов.
34. Стержень 𝐴𝐵, закрепленный сферическим шарниром в точке 𝐴 и имеющий
шарик, прикрепленный к нему в точке 𝐵, можно рассмотреть как твердое тело 𝐴𝐵 или
как сферический математический маятник длины |𝐴𝐵|. Чему равно число степений
свободы это 𝑆1 и маятника 𝑆2 ?
(а) 𝑆1 = 3, 𝑆2 = 3;
(б) 𝑆1 = 3, 𝑆2 = 2;
(в) 𝑆1 = 2, 𝑆2 = 2.
Ключ:
1б, 2в, 3а, 4а, 5в, 6в, 7а, 8а, 9б, 10б, 11б, 12в, 13а, 14б, 15б, 16б, 17в, 18в, 19в, 20в, 21а,
22в, 23а, 24а, 25в, 26а, 27б, 28в, 29в, 20а, 31а, 32б, 33в, 34б.
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЯ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 010300
«Фундаментальные информатика и информационные технологии» (010400
«Информационные технологии») (бакалавриат), 010900 (010600) «Прикладные математика и
физика» (бакалавриат)
ГЕОМЕТРИЯ
Программа составлена:
к.ф.-м.н., доцентом В. В. Еремеевым,
к.ф.-м.н. доцентом М. В. Коровкиным,
к.ф.-м.н. доцентом С. В. Погожевым
(Санкт-Петербургский государственный университет).
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор
Е. И. Веремей
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
   
1. Если a  b  c  0 , то векторы обладают свойствами:
а) векторы ненулевые; б) векторы линейно зависимы; в) векторы линейно независимы;
г) ни один ответ не является правильным.
 
 

 

 
 

 

2. Если (a , c )  (b , c )  0, c  0, a  b , то векторы обладают свойствами:
  
а) векторы ненулевые; б) векторы компланарные; в) векторы a  b и c коллинеарные;
  
г) векторы a  b и c перпендикулярны.
3. Если [a , c ]  [b , c ]  0, c  0, a  b , то векторы обладают свойствами:
  
а) векторы нулевые; б) векторы компланарные; в) векторы a  b и c коллинеарные;
  
г) векторы a  b и c перпендикулярны.
  
  
 
 

4. Если (a , c , d )  (b , c , d )  0, [c , d ]  0, a  b , то векторы обладают свойствами:

  
   
а) векторы нулевые; б) векторы a , b , c , d компланарные; в) векторы a  b , c и d
   
компланарные; г) векторы a  b , c , d перпендикулярны.



5. Вектора a  {1,1}, b  {0,1}, c  {1, 0} образуют базис.
а) нет; б) да, так как они линейно независимы; в) да, так как любые два из них линейно
независимы.



6. Вектора a  {1,1, 0}, b  {0,1,  1}, c  {1, 0,  1} образуют базис.
а) нет; б) да, так как они линейно независимы; в) да, так как они линейно зависимы.




7. Вектора a  {1,1,1}, b  {1,1,  1}, c  {1, 0,  1}, d  {1,0,2} образуют базис.
а) нет; б) да, так как они линейно независимы; в) да, так как любые три из них линейно
независимы.
8. Прямоугольная система координат Ox ' y ' получена из системы координат Oxy
поворотом на угол  против часовой стрелки. Координаты базисных векторов в
исходной системе координат Oxy :



а) i '  (cos , sin ), j '  ( sin , cos ) ;


в) i '  ( cos , sin ), j '  (sin , cos ) .

б) i '  (cos , sin ), j '  (sin , cos ) ;
9. Уравнение прямой, проходящей через точки A(1,0,0) , B (0,1,0) :
а) x  1  t , y  t , z  0 ; б) x  1  t , y  1  t , z  0 ; в) x  1  t , y  1  t , z  t .
10. Точка пересечения прямой l : x  1  t , y  2  t , z  t с плоскостью  , имеющей
уравнение x  y  z  4 :
а) (1,1,  1) ; б) (2, 2,  1) ; в) ( 2, 3,  1) ; г) нет правильного ответа.
11.
Уравнение
плоскости, проходящей
x  1, y  2  t , z  2  t имеет вид:
через
точку
A(2,3,0)
и
прямую
а) x  y  z  4  0 ; б) x  3 y  3z  11  0 ; в) x  3 y  z  11  0 .
12. Даны две точки A(3,1, 5) и B(5, 4, 2) и плоскость 2 x  4 y  z  14  0 . Данная
плоскость пересекает отрезок AB :
а) да, плоскость пересекает отрезок AB ; б) плоскость пересекает продолжение отрезка
за точку А; в) плоскость пересекает продолжение отрезка за точку В.
13. Ортогональная проекция точки A(1,3,5) на прямую 2 x  y  z  1  0 , 3 x  y  2 z  3  0 :
а) (2,1, 4) ; б) (2,  1,  1) ; в) (3 ,1,  2) ; г) (1, 3, 5) .
14. Уравнение биссекторных плоскостей двугранных углов между двумя плоскостями
7 x  y  6  0, 3x  5 y  4 z  1  0 имеет вид:
4 x  4 y  4 z  7  0, 10 x  6 y  4 z  5  0 ;
x  y  z  7  0, 5 x  3 y  2 z  5  0 ;
а)
б)
в) 2 x  2 y  2 z  9  0, 5 x  3 y  2 z  5  0 ; г) 2 x  2 y  2 z  7  0,10 x  6 y  2 z  5  0 .
15. Геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная
величина разности до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная равная 2а < 2c, где 2c — расстояние между фокусами, это:
а) парабола; б) гипербола; в) эллипс; г) два луча, исходящих из фокусов.
x2 y2

 1. Уравнение равносторонней гиперболы, имеющей с этим
16. Дан эллипс
16 8
эллипсом общие фокальные хорды:
а) x2 – y2 = 4; б) x2 – y2 = 2; в) x2 + y2 = 4; г) x2 + y2 = 2.
17. Уравнение эллипсоида, плоскости симметрии которого совпадают с
координатными плоскостями, если он проходит через точку (1, 1, 3) и окружность
x2 + y2 + z2 = 9, z = x.
а) x2 +4y2 + 3z2 = 32; б) 5x2 +4y2 + 3z2 = 36; в) 5x2 +4y2 + z2 = 18; г) 5x2 – 4y2 + 3z2 = 28.
 
  


18. Годографом векторной функции r (t )  at 2  b t  c , где a , b , c — постоянные
  
векторы, причем a  b  0 , является:
а) гипербола; б) парабола; с) эллипс; д) прямая линия.
19. Главная нормаль кривой x = cost, y = sint, z = t, параллельная плоскости
x – y + 3z – 1 = 0:
а) x  y  0, z   6 ; б) x  y  0, z   4 ; в) x  y  0, z   3 .

20. Дана поверхность r (u, v)  {u  v, u  v, uv} . Точки A(3, 5, –4) и B(1, 3, 2):
а) точка А не принадлежит; точка В принадлежит б) точка А принадлежит; точка В не
принадлежит; в) обе точки не принадлежат; в) обе точки принадлежат.
21. Уравнение плоскости минимальной размерности, проходящей через прямую 1:
1 = 1 + , 2 = 2, 3 = –1 + 2, 4 = –, параллельно плоскости 2: 1 + 3 + 4 = 1,
1 – 2 + 24 = 2:
а) 31 – 22 + 3 + 54 + 2 = 0; б) 1 + 2 + 3 + 34 – 2 = 0; в) 21 – 2 + 24 = 0.
22. Если, базис линейного подпространства L: a1 = (3, 2, 1, 0), a2 = (1, –1, 2, 2),
a3 = (2, 2, 2, 1), то общее уравнение линейного подпространства:
а) 1 – 2 – 3 = 0; б) 51 – 32 – 44 = 0; в) 1 + 32 – 93 + 104 = 0.
Ответы к вопросам тестирования:
1) б; 2) г; 3) б, в; 4) в; 5) а; 6) а; 7) а; 8) а; 9) а; 10) в; 11) б; 12) б; 13) а; 14) а; 15)
б; 16) а; 17) б; 18) б; 19) б; 20) б; 21) а; 22) в.
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЯ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 010300
«Фундаментальные информатика и информационные технологии» (010400
«Информационные технологии») (бакалавриат), 010900 (010600) «Прикладные математика и
физика» (бакалавриат)
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Программа составлена д.ф.-м.н., профессором А.С. Шмыровым и
к.ф.-м.н., с.н.с. В.А. Шмыровым (Санкт-Петербургский государственный
университет).
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор
Ю.А. Сушков
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
Раздел I. Вероятностные пространства.
1. Пространство элементарных событий есть
а) совокупность интересующих нас исходов
б) совокупность всевозможных исходов
в) достоверное событие
2. Пустое множество принадлежит алгебре событий и является
а) элементарным событием
б) невозможным событием
в) достоверным событием
3. Вероятность – это
а) вектор
б) мера
в) оператор
4. Независимые события
а) принадлежат разным алгебрам событий
б) имеют пустое пересечение
в) подчиняются правилу умножения вероятностей
5. Геометрическая вероятность вводится
а) в схеме Бернулли
б) в эксперименте «игла Бюффона»
в) в урновой модели
6. Вероятности появления заданного числа благоприятных исходов в схеме Бернулли
описываются
а) геометрическим распределением
б) биноминальным распределением
в) равномерным распределением на отрезке
Раздел II. Случайные величины.
1. Случайная величина есть
а) число
б) функция элементарных событий
в) функция событий
2. Функция распределения случайной величины есть
а) функция элементарных событий
б) функция одного действительного переменного
в) функция многих действительных переменных
3. Математического ожидания не существует у случайной величины
а) равномерно распределенной на отрезке
б) распределенной по Коши
в) имеющей нормальное распределение
4. Закон больших чисел выводится из неравенства Чебышева при условии
существования у случайной величины
а) конечного математического ожидания
б) конечного второго момента
в) плотности
5. Распределение вероятностей случайного вектора есть
а) функция элементарных событий
б) вероятностная мера, определенная на борелевских подмножествах евклидового
пространства
в) вероятностная мера на борелевской прямой
Раздел III. Характеристические функции.
1. Характеристическая функция случайной величины есть
а) аналитическая функция комплексного переменного
б) комплекснозначная функция действительного переменного
в) действительная функция комплексного переменного
2. Если характеристическая функция случайной величины имеет производную в точке
нуль, то
а) случайная величина имеет плотность
б) случайная величина имеет конечное математическое ожидание
в) случайная величина имеет конечный момент второго порядка
3. Характеристическая функция нормального стандартного распределения равна
а) e

t2
2
б) eit
в) 1
4. Зная характеристическую функцию можно определить функцию распределения
а) непрерывной случайной величины
б) произвольной случайной величины
в) простой случайной величины
Раздел IV. Последовательности случайных величин.
1. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности влечет
а) сходимость с вероятностью единица
б) сходимость в среднем квадратичном
в) сходимость по распределению
2. Усиленный закон больших чисел устанавливает сходимость
а) по вероятности
б) почти наверное
в) по распределению
3. Имеется последовательность независимых невырожденных одинаково
распределенных случайных величин. Для того, чтобы последовательность функций
распределения нормированных сумм сходилась к нормальной стандартной функции
распределения достаточно, чтобы
а) случайные величины имели конечное математическое ожидание
б) случайные величины имели второй конечный момент
в) случайные величины имели плотность
4. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных
величин имеет следствием
а) закон больших чисел
б) теорему Муавра – Лапласа
в) теорему Пуассона
Раздел V. Теория распределений.
1. Распределение  2 относится к семейству
а) нормальных распределений
б)  -распределений
в) B -распределений
2. Чтобы задать многомерное нормальное распределение достаточно знать
а) вектор математических ожиданий
б) матрицу ковариаций
в) характеристическую функцию
3. Теорема Зубова об аппроксимации справедлива для
а) простых случайных величин
б) непрерывных случайных величин
в) дискретных случайных величин
Ответы:
Раздел I: 1.б, 2.б, 3.б, 4.в, 5.б, 6.б.
Раздел II: 1.б, 2.б, 3.б, 4.б, 5.б.
Раздел III: 1.б, 2.б, 3.а, 4.б
Раздел IV: 1.в, 2.б, 3.б, 4.б
Раздел V: 1.б, 2.в, 3.б
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010500 «Прикладная математика и информатика», НАПРАВЛЕНИЯ
010400 (010500) «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 010300
«Фундаментальные информатика и информационные технологии» (010400
«Информационные технологии») (бакалавриат)
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Программа составлена к.ф.-м.н, доцентом Е.В. Просолуповым
(Санкт-Петербургский государственный университет).
Вопросы тестирования
1. Какая из приведенных ниже иллюстраций соответствует перестановке
( 1 2 3 4 5 6 7)
( 4 2 7 1 3 6 5)
2.
a.
b.
c.
d.
e.
Если для любых x,y из X из xρy и yρx следует x = y, то такое отношение ρ называется:
рефлексивным
иррефлексивным
симметричным
антисимметричным
транзитивным
3.
a.
b.
c.
d.
Если для любых x из X выполняется xρx, то такое отношение ρ называется:
рефлексивным
иррефлексивным
симметричным
антисимметричным
e. транзитивным
4.
a.
b.
c.
d.
e.
Если ни для каких x из X не выполняется xρx, то такое отношение ρ называется:
рефлексивным
иррефлексивным
симметричным
антисимметричным
транзитивным
5.
a.
b.
c.
d.
e.
Если для любых x,y из X из xρy следует yρx, то такое отношение ρ называется:
рефлексивным
иррефлексивным
симметричным
антисимметричным
транзитивным
6.
a.
b.
c.
d.
e.
Если для любых x,y из X из xρy и yρz следует xρz, то такое отношение ρ называется:
рефлексивным
иррефлексивным
симметричным
антисимметричным
транзитивным
7.
a.
b.
c.
d.
e.
Инъективная функция {1,...,n}→{1,...,n} называется
сочетание
размещение
мультимножество
перестановка
ни один из вариантов
8. Какое из равенств показывает, что для любого конечного множества мощность
множества всех его нечетных подмножеств равна мощности множества всех его
четных подмножеств?
9. Пусть f есть функция из X в Y. Если выполняется, что для любого элемента y из Y
существует x из X такой, что y=f(x), то функция f
a. инъективна
b. биективна
c. сюръективна
d. транзитивна
10. Бинарное отношение ρ на множестве X называется отношением эквивалентности,
если оно:
a. транзитивно и антисимметрично
b. иррефлексивно и транзитивно
c. рефлексивно и транзитивно
d. рефлексивно, симметрично и транзитивно
e. симметрично и транзитивно
11. Бинарное отношение ρ на множестве X называется отношением порядка, если оно:
a. транзитивно и антисимметрично
b. иррефлексивно и транзитивно
c. рефлексивно и транзитивно
d. рефлексивно, симметрично и транзитивно
e. симметрично и транзитивно
12. Пусть ρ отношение порядка. Если любые неравные элементы x и y множества X
сравнимы в смысле отношения ρ, то это отношение называется:
a. отношение линейного порядка
b. отношение частичного порядка
c. отношение строгого порядка
13. Пусть n и k - натуральные числа. Количество решений уравнения x1+x2+…+xk = n, на
неотрицательных целых числах вычисляется по формуле:
14. Пусть n и k - натуральные числа. Количество решений неравенства
x1 +x2 + … + xk ≤ n, на неотрицательных целых числах вычисляется по формуле:
15. Что необходимо и достаточно для полноты системы?
a. чтобы P лежала полностью во всех классах T0, T1, S,M,L
b. чтобы P лежала только в классах T0, S ,L
c. чтобы P лежала только в классе T0
d. чтобы P не лежала полностью ни в одном из классов T0, T1, S, M, L
e. нет верного ответа
16. Функция f(x1, x2,..., xn) не зависит существенно от xn, если
a. для любых x1, ..., xn-1 выполняется f(x1, x2, ..., xn-1, 1) = ¬ f(x1, x2, ..., xn-1, 0)
b. для любых x1, ..., xn-1 выполняется f(x1, x2, ..., xn-1, 1) = f(x1, x2, ..., xn-1, 0)
c. существует набор значений x1, ..., xn-1, для которого выполняется
f(x1, x2, ..., xn-1, 1) = ¬ f(x1, x2, ..., xn-1, 0)
d. существует набор значений x1, ..., xn-1, для которого выполняется
f(x1, x2, ..., xn-1, 1) = f(x1, x2, ..., xn-1, 0)
17. Функция F, заданная таблицей, не зависит существенно от переменных:
a.
b.
c.
d.
e.
x
y
z
y,z
функция зависит существенно от всех переменных
18. Найдите СКНФ функции f(x,y,z), заданной следующими значениями f=(1,1,0,0,0,1,1,0)
19. Найдите СДНФ функции f(x,y,z), заданной следующими значениями f=(1,1,0,1,1,1,1,1)
20. Из предложенных ниже вариантов значений функции f выберите верный
a. f=(11011010)
b.
c.
d.
e.
f=(00100101)
f=(11000101)
f=(00111010)
другое
21. Когда высказывание B называют логическим следствием высказывания A
22. Когда говорят, что высказывание А логически эквивалентно высказыванию B
23. Формула A называется выполнимой в интерпретации I, если
24. Формула A называется истинной в интерпретации I, если
25. Формула A называется выполнимой, если
26. Формула A называется ложной в интерпретации I, если
27. Формула A называется логически общезначимой, если
28. Формула A называется противоречием, если
29. Что утверждает теорема о полноте исчисления высказываний
30. Какие из следующих схем рассуждений являются логическими законами
a. 3 и 4
b. 1 и 6
c. 1, 3 и 4
d. 1, 5 и 6
e. 2 и 5
f. 2, 5 и 6
g. ни одно
h. все
31. Сколько аксиом в формальной теории исчисление высказываний?
a. 3
b. 5
c. аксиом вообще нет
d. несчетное число
e. счетное число
32. Какие из нижеперечисленных задач являются алгоритмически неразрешимыми
1. Задача о клике
2. Задача о невыполнимости
3. Задача о 2-выполнимости
4. Задача о 3-выполнимости
5. Задача о вершинном покрытии
6. Проблема остановки машины Тьюринга
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2и6
2и3
3и4
1, 4 и 5
только 2
только 3
только 4
только 6
33. Какие из нижеперечисленных задач не лежат в классе NP
1. Задача о клике
2. Задача о невыполнимости
3. Задача о 2-выполнимости
4. Задача о 3-выполнимости
5. Задача о вершинном покрытии
6. Проблема остановки машины Тьюринга
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2и6
2и3
3и4
1, 4 и 5
только 2
только 3
только 4
только 6
34. Какие из нижеперечисленных задач являются NP-полными
1. Задача о клике
2. Задача о невыполнимости
3. Задача о 2-выполнимости
4. Задача о 3-выполнимости
5. Задача о вершинном покрытии
6. Проблема остановки машины Тьюринга
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2и6
2и3
3и4
1, 4 и 5
только 2
только 3
только 4
только 6
35. Какие из нижеперечисленных задач лежит в классе P
1. Задача о клике
2. Задача о невыполнимости
3. Задача о 2-выполнимости
4. Задача о 3-выполнимости
5. Задача о вершинном покрытии
6. Проблема остановки машины Тьюринга
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2и6
2и3
3и4
1, 4 и 5
только 2
только 3
только 4
только 6
36. P --- класс задач в форме распознавания свойств, для которых
a. существует детерминированный полиномиальный алгоритм решения
b. не существует детерминированный полиномиальный алгоритм решения
c. существует недетерминированный полиномиальный алгоритм решения
d. не существует недетерминированный полиномиальный алгоритм решения
e. существует эквивалентная машина Тьюринга
f. не существует эквивалентной машины Тьюринга
37. NP --- класс задач в форме распознавания свойств, для которых
a. существует детерминированный полиномиальный алгоритм решения
b. не существует детерминированный полиномиальный алгоритм решения
c. существует недетерминированный полиномиальный алгоритм решения
d. не существует недетерминированный полиномиальный алгоритм решения
e. существует эквивалентная машина Тьюринга
f. не существует эквивалентной машины Тьюринга
38. Если известно, что задача S1 сводится за полиномиальное время к задаче S2, то какие
из следующих высказываний верны:
1. Если задача S1 решается за полиномиальное время, то и задача S2 решается за
полиномиальное время
2. Если задача S2 решается за полиномиальное время, то и задача S1 решается за
полиномиальное время
3. Если задача S1 не решается за полиномиальное время, то и задача S2 не решается за
полиномиальное время
4. Если задача S2 не решается за полиномиальное время, то и задача S1 не решается за
полиномиальное время
5. Задачи S1 и S2 решаются или не решаются за полиномиальное время одновременно
6. Задача S1 решается за полиномиальное время независимо от S2
7. Задача S2 решается за полиномиальное время независимо от S1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
только 2
только 5
только 6
только 7
1и3
1и4
2и3
2и4
39. Функция f: N0→N0, которая может быть реализована на машине Тьюринга,
называется
a. алгоритмической
b. вычислимой
c. биективной
d. разрешимой
e. функцией Тьюринга
40. В чем состоит проблема соотношения между классами P и NP:
41. Определить, какое выражение соответствует рисунку
a.
b.
c.
d.
e.
Ни один из вариантов
1)
2)
3)
4)
42. Определить, какое выражение соответствует рисунку
a. Ни один из вариантов
b.
c.
d.
e.
1)
2)
3)
4)
43. Обыкновенным графом называется
a. общий случай графа с петлями и кратными ребрами
b. граф с кратными ребрами, но без петель
c. неориентированный граф без петель и кратных ребер
d. ориентированный граф с кратными ребрами, но без петель
e. ориентированный граф без кратных ребер и максимум одной петлей у каждой вершины
f. ни один из предложенных вариантов
44. Графом Бержа называется
a. общий случай графа с петлями и кратными ребрами
b. граф с кратными ребрами, но без петель
c. неориентированный граф без петель и кратных ребер
d. ориентированный граф с кратными ребрами, но без петель
e. ориентированный граф без кратных ребер и максимум одной петлей у каждой вершины
f. Ни один из предложенных вариантов
45. Что такое дерево?
a. неориентированный граф без петель и кратных ребер
b. ориентированный граф без циклов
c. связный граф, не содержащий циклов
d. граф, у которого нет кратных ребер и петель
e. граф, у которого могут быть ориентированные и неориентированные ребра
46. Какому графу соответствует матрица смежности на рисунке?
47. Какому графу соответствует матрица смежности на рисунке?
48. Под какой буквой на рисунке изображен полный граф?
49. Под какой буквой на рисунке изображено дерево?
50. Под какой буквой на рисунке изображен цикл?
51. Под какой буквой на рисунке изображен гиперграф?
52. Какой из графов на рисунке имеет кратные ребра?
53. Какой из графов на рисунке имеет петли?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
1) и 5)
1)
2)
3)
4)
5)
54. Какой из графов на рисунке является деревом?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3) и 4)
1)
2)
3)
4)
5)
55. Какой из графов на рисунке является полным графом?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
1) и 2)
2)
2) и 3)
3)
4)
5)
56. Какой из графов на рисунке является дополнительным к графу *?
57. Какой из представленных ниже графов соответствует графу G=G1×G2?
58. Каков будет вес минимального остовного дерева графа изображенного на рисунке?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
17
20
22
25
30
32
Ответы:
1. b, 2. d, 3. a, 4. b, 5. c, 6. e, 7. d, 8. c, 9. c, 10. d, 11. a, 12. a, 13. c, 14. b, 15. d, 16. b, 17. b, 18. b, 19. d,
20. a, 21. b, 22. f, 23. a, 24. f, 25. c, 26. d, 27. g, 28. e, 29. c, 30. e, 31. e, 32. h, 33. a, 34. d, 35. f, 36. a, 37.
c, 38. g, 39. b, 40. c, 41. a, 42. b, 43. c, 44. e, 45. c, 46. b, 47. a, 48. b, 49. e, 50. c, 51. a, 52. d, 53. b, 54. a,
55. c, 56. a, 57. b, 58. b.