ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ

RMS DPI 2006-1-50-0
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ
МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ И РОСТА КРИСТАЛЛОВ
Кривовичев С.В.
Санкт-Петербургский государственный университет
skrivovi@mail.ru
Согласование теории роста кристаллов с кристаллохимией
представляет собой одну из наиболее актуальных проблем современной
кристаллографии. Тогда как теория роста является по сути теорией
динамических процессов, кристаллохимия исследует структуру в ее
статическом состоянии. За 90 лет существования кристаллохимии как
дисциплины
было
собрано
громадное
количество
данных,
характеризующих разнообразие структур минералов и неорганических
соединений. Вместе с тем, эти данные касаются главным образом деталей
устройства структуры и мало говорят о моделях их образования.
Существуют лишь весьма общие математические модели. Например,
локальный критерий правильности системы точек указывает на условия
возникновения правильной системы в том случае, когда каждая точка
системы равно окружена внутри сферы определенного радиуса. Однако,
каждому кристаллохимику известно, что в большинстве случаев
кристаллические структуры состоят из множества правильных систем, и
эти правильные системы взаимосвязаны посредством химических связей
между атомами. Кроме того, остаются необъясненными такие факты, как
существование
политипов,
одномерно-неупорядоченных
и
модулированных структур и т.п.
Для моделирования структуры и роста кристаллов может быть
успешно использована теория клеточных автоматов. Сам принцип
воспроизводства периодической структуры на границе кристалл-среда
указывает на некоторую автоматическую цикличность этого процесса.
Поверхность кристалла работает как циклическая программа: завершая
последний этап, кристалл «запускает» программу сначала – до тех пор,
пока по каким-нибудь причинам не произойдет сбой или программа
остановится.
Теория клеточных автоматов была предложена Дж. фон Нейманом
для изучения воспроизводства биологических объектов [1] и впоследствии
нашла свое применение в игре Дж. Конвея «Life». Совсем недавно
создатель программного комплекса «Mathematica» Стивен Вольфрам
опубликовал книгу «New Kind of Science» [2], в которой высказал весьма
амбициозное положение о том, что практически все системы (да и сама
Вселенная в целом) могут быть смоделированы посредством клеточных
автоматов. Оставляя в стороне чрезмерную претенциозность этой идеи,
141
можно выделить в ней рациональное зерно – многие природные системы
дискретны и «работают» в пошаговом режиме, установленном через
заданную совокупность кодов, которые частно напоминают коды
компьютерной программы (например, последовательность аминокислот в
геноме).
Для достаточно простых структур минералов теория клеточных
автоматов была впервые применена нами в работах [3,4]. В качестве
примера была выбрана группа минералов, представленная структурными
типами пентландита, джерфишерита и бартонита. Структуры этих
минералов построены из кубических кластеров, объединенных в
трехмерные постройки, последовательное образование которых может
быть смоделировано клеточными автоматами.
Работа
клеточного
автомата
определяется
следующими
необходимыми параметрами: (а) заданное пространство работы (матрица),
состоящее из дискретных ячеек; ячейки могут принимать одно из
конечного набора дискретных значений (например, 0 или 1, белый или
черный); (б) начальные условия – состояние матрицы в нулевой момент
времени; (в) правило (или код) обновления процесса в следующий момент
времени. Основным компонентом автомата следует признать именно его
код, генерирующий структуру с определенным устройством. Как показал
Вольфрам [4], очень часто для образования весьма сложных структур
необходим достаточно простой код, надо просто уметь его «угадать».
Переходя к минералам и неорганическим соединениям, надо
отметить достаточную простоту их устройства по сравнению с
биологическими структурами. Можно думать, что существует конечный
набор простых «неорганических» кодов, взаимодействие между которыми
приводит к образованию видимого разнообразия структур. Для выделения
этих кодов необходимо исследовать широкий спектр соединений, что, к
счастью, во многом уже осуществлено. Как правило, существующие
классификационные схемы эксплуатируют некоторые формальные
(математические) модели (например, теорию графов [5]) что также
облегчает задачу. Маловероятно, что каждая структура задается своим
особым кодом, несводимым к более простым кодам – скорее всего, новый
код образуется за счет пересечения элементов более простых кодов. Само
это пересечение, по-видимому, может быть когерентным и некогерентным
(последнее порождает несоразмерно модулированные структуры).
Интересно было бы также бросить взгляд на структуру самих кодов
– как и компьютерные программы, они должны состоять из связанных
блоков. По всей видимости, связи между блоками могут быть слабыми или
сильными, что может приводить к сбоям – переходам от политипа к
политипу и образованию неупорядоченных структур.
Наконец, важным вопросом является происхождение кодов.
Несмотря на то, что они определяются непосредственно матрицей, на
которой они «работают» (электронная структура атомов и особенности
142
химической связи), по сути они представляют собой формальные
математические
структуры
и,
таким
образом,
определяются
непосредственно свойствами пространства и времени. Программа
постройки структуры (собственно говоря, программа атомномолекулярного роста кристаллов) образуется посредством компиляции
нескольких кодов, причем физико-химические условия определяют выбор
начальных кодов и сам процесс компиляции, тогда как сами коды заданы
«извне». Очевидно, что информационная насыщенность неорганических
кодов значительно ниже, чем для биологических систем.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (06-05-97000р_спб_а) и «Развитие научного потенциала высшей школы» (РНП
2.1.1.3077).
1. Neumann, J. von Celebral Mechanisms in Behaviour: the Hixon Symposium, edited
by L. A. Jeffress, pp. 1-32. 1951. New York: Wiley.
2. Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, Inc. 2002.
3. Krivovichev S.V. Crystal structures and cellular automata // Acta Crystallographica.
2004. Vol. A60. P. 257-262.
4. Krivovichev S.V. Topology of microporous structures // Rev. Mineral. Geochem.
2005. Vol. 57. P. 17-68.
5. Krivovichev S.V. Combinatorial topology of inorganic oxysalts: 0-, 1- and 2dimensional units with corner-sharing between coordination polyhedra // Crystallogr. Rev.
2004. Vol. 10. P. 185-232.
143