Учебное пособие по теме "Корни и степени"

1
Тема 2. Корни, степени и логарифмы
Аннотация: Учебное пособие разработано в соответствии с Рабочей программой
общеобразовательной учебной дисциплины ОДП.10 Математика.
Учебное пособие содержит:
 теоретический материал;
 практический материал для освоения основных, предусмотренных стандартом, умений и
накопления опыта в использовании приобретенных знаний и умений в практической
деятельности и повседневной жизни;
 контрольные вопросы и задания.
2.1. Степени и корни
С множествами натуральных, целых и рациональных чисел можно производить операции
сложения, умножения и деления. Рассмотрим теперь операции возведение в степень и
извлечение корня.
Определение. Степенью п числа а ( n N , a R ) называется произведение a a a ... a ,
n раз
которое обозначается a n . a1  a a 0  1
Определение: Степенью числа а с целым отрицательным показателем называется число
1
1
, an 
a n 
an
a n
 
n
Свойства степеней: am  an  am  n , am : an  am  n , a m  a m  n ,  a  b n  a n  bn ,
n an
a
   n
b
b
Определение: Корнем п-ой степени из числа а называется число b, такое, что bn  a . Корень п
-ой степени из числа а обозначается п а .
 
к п
a na пк
a  n к a , п а  а к ,
Свойства корней n-ой степени: n ab  n a  n b , n 
,
b nb
п  к т к п т
а
 а , 0 a b na  nb
m
n
Определение: a n  a m
n  N, m  Z
1.Сложение и вычитание корней. Чтобы произвести сложение и вычитание корней, сначала
корни приводят к простейшему виду, а затем выполняют приведение подобных членов
2
Пример № 1
5 125  48  75  2 125  3 12  245  5 25  5  16  3  25  3  2 25  5  3 4  3  49  5 
 5  5 5  4 3  5 3  2  5 5  3  2 3  7 5  25 5  10 5  7 5  4 3  5 3  6 3 
8 57 3
2. Умножение и деление корней.
• Произведение корней с одинаковыми показателями равно корню той же степени из произведения
подкоренных выражений. n a  n b  n a  b
• Частное от деления корней с одинаковыми показателями равно корню той же степени из частного
na
a
от деления подкоренных выражений.
n
nb
b
• Если показатели корней различны, то сначала нужно привести их к общему показателю, а затем
произвести умножение и деление.
• Если корни имеют коэффициенты, то их перемножают или делят отдельно и результат пишут перед
общим корнем
Пример № 2. 3 24  3 9  3 24  9  3 8  3  9  3 8  27  3 8  3 27  2  3  6
Пример № 3. 4
Пример № 4.
4 16
16
2


4
0, 0625 4 0, 0625 0,5
1
1
1
8  3 32   4  2  3  16  2   2  2  3  4  2  12  22  12  2  24
2
2
2
Пример № 5.
2 3
6 3 4 2 3 4 6 3 4 2 3 4 5 4
2 3 5 4
4 a b : 4 c  n  a b : c  n  a b  a b  4 a b a b 
c 2  n3
a5  b4 4 c 2  n3 4 a5  b4 4 c 2  n3 4 c6  n3
c 2  n3  c6  n3
7 7
4 3 4 3
3 3
3 3 2
4 a  b  4 a  a  b  b  a  b  4 a  b  a  b  4 a  b  п  a  b 4 a3  b3  п2
c8  n6
c 4  c 4  n4  n2 c 2  n
n2
c2  n
n 2  п2
c 2  n2
3.Возведение корней в степень. При возведении корня в степень нужно возвести в эту степень
подкоренное выражение, а показатель степени оставить без изменения. Если корень имеет
коэффициент, то его отдельно возводят в эту степень и результат возведения записывают как
коэффициент при самом корне.
Пример № 6.
3
6
5
3
 5 2 3 
5 a 2b3  5 a6b9  5 a  5 a  a  a 5 a  a 5 a  b  a 5 a  b  a 5 ab 4.Уничт
a
b





b9
b5  b4 b b4 b b4  b b b5
b2
ожение иррациональности в знаменателе дроби. Для этого нужно знаменатель и числитель дроби
умножить на такое выражение, которое в произведении со знаменателем дает рациональное
выражение в знаменателе.


3
Пример № 7.
3
6 2

3
6 2

6 2
6 2

 6  2  3 6  2  3
2
2
62
 6   2
3
6 2

4
5.Извлечение корня из корня. При извлечении корня из под корня показатели корней перемножают,
а подкоренное выражение оставляют без изменения. Если корень имеет коэффициент, то обычно до
извлечения из данного корня нового корня вводят коэффициент под знак радикала данного корня
Пример № 8. Преобразуйте выражение: 3 3х4 х2 у3  3 4 34  х4  х2  у3  12 81  х6  у3
 
3 bn2
bn2
a3  x12  b  n2 21
4
3
4
7
7
3
3
21
Пример № 9. ax

a  x


 a  x10  b  n2
a2 x2
a2 x2
a2  x2
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ:
1.
2.
Сформулируйте свойства возведения в степень с натуральным показателем.
Сформулируйте свойства извлечения корня из числа.
3.
4.
5.
Как определяется степень числа с рациональным показателем? Чему равно а п ?
Дайте определение степени числа а с целым отрицательным показателем.
Как выполняется операция извлечения корня из корня?
т
Задания для самостоятельного решения:
1

1
 4

1
1. Найдите значение выражения:   81 
 16

2
2. Упростить выражение:
5
х 3  х 3
3
х5
3. Освободится от иррациональности в знаменателе:


4. Выполнить действия: 3 4  2 2  2 2  3 4
1
5 3

5. Представить выражение в виде корня одной степени:
1
6. Вычислить:  
4

1
2
1
1
4 3 4 8
2 2т п
1
 25 2  812  125 2
7*. Найти значение выражения:
а)
а 1
а 1 1

а 1
1 а 1
при а 
1
4
б)
2а 0,5
1

при а=16
а  4 а 0, 5  2