Правая часть особая

1) Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям
y (0) = 0 ,
y′′ − 5 y′ + 6 y = x2 − x ,
y′ ( 0 ) = 1 9 .
- линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального
вида. Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего
однородного уравнения и частного решения y неоднородного уравнения: y = yˆ + y .
*
*
► Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
y′′ − 5 y′ + 6 y = 0
2
Характеристическое уравнение k − 5k + 6 = 0 имеет корни действительные и различные k1 = 2 , k2 = 3 .
Следовательно, общее решение однородного уравнения [1, стр. 357, случай 1]
yˆ = C1 ⋅ e2 x + C2 ⋅ e3 x
► В случае, если правая часть ДУ с постоянными коэффициентами имеет специальный вид, частное
*
решение y неоднородного уравнения может быть найдено более простым способом: методом
неопределённых коэффициентов [1, стр. 362].
Правая часть ДУ имеет вид [1, стр. 362, случай 1]
f ( x ) = Pn ( x ) ⋅ e αx
поэтому частное решение ищем в виде
y * = x r ⋅ Q n ( x ) ⋅ e αx
где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения,
n - порядок многочлена Pn ( x ) ,
Q n ( x ) - многочлен степени n , записанный с неопределёнными коэффициентами,
т.е.
(
)
y* = x 0 ⋅ A ⋅ x2 + B ⋅ x + C ⋅ e0⋅x = A ⋅ x2 + B ⋅ x + C
Тогда
( y* )′ = 2 A ⋅ x + B
( y* )′′ = 2 A
*
* ′
* ′′
Подставив y , ( y ) , ( y ) в исходное уравнение, получим
2 A − 5 ⋅ ( 2 Ax + B ) + 6 ⋅ ( Ax2 + Bx + C ) = x2 − x
x2 ⋅ 6 A + x ⋅ ( −10 A + 6 B ) + ( 2 A − 5B + 6C ) = x2 − x
и вычислим коэффициенты A , B и C :
⎧ 6A = 1
⎧ A=1 6
⎪
⎪
→
⎨ − 10 A + 6 B = −1
⎨ B =1 9
⎪ 2 A − 5B + 6C = 0
⎪ C = 1 27
⎩
⎩
Частное решение данного уравнения имеет вид
1
1
1
y * = ⋅ x2 + ⋅ x +
6
9
27
и, cледовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
1
1
1
y = yˆ + y* = C1 ⋅ e2 x + C2 ⋅ e3 x + ⋅ x2 + ⋅ x +
6
9
27
1 ► Найдём константы C1 и C2 , соответствующие данным начальным условиям y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 1 9 .
1
1
y′ = 2C1 ⋅ e2 x + 3C2 ⋅ e3 x + ⋅ x +
3
9
0
=
C
+
C
+
1
27
⎧
1
2
⎨
⎩ 1 9 = 2C1 + 3C2 + 1 9
⎧ C1 = − 1 9
⎨
⎩ C2 = 2 27
Так что частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, имеет вид:
1
2
1
1
1
y = − ⋅ e2 x + ⋅ e3 x + ⋅ x2 + ⋅ x +
9
27
6
9
27
Решение в Maple 12:
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2007.
2) Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′ + 2 y′ + y = x .
- линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального
вида. Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего
однородного уравнения и частного решения y неоднородного уравнения: y = yˆ + y .
*
*
► Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
y′′ + 2 y′ + y = 0
2
Характеристическое уравнение k + 2k + 1 = 0 имеет корни действительные и одинаковые k1 , 2 = −1 .
Следовательно, общее решение однородного уравнения [1, стр. 357, случай 2]
yˆ = C1 ⋅ e − x + C2 ⋅ x e − x
► В случае, если правая часть ДУ с постоянными коэффициентами имеет специальный вид, частное
*
решение y неоднородного уравнения может быть найдено более простым способом: методом
неопределённых коэффициентов [1, стр. 362].
Правая часть ДУ имеет вид [1, стр. 362, случай 1]
f ( x ) = Pn ( x ) ⋅ e αx
поэтому частное решение ищем в виде
y * = x r ⋅ Q n ( x ) ⋅ e αx
где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения,
n - порядок многочлена Pn ( x ) ,
Q n ( x ) - многочлен степени n , записанный с неопределёнными коэффициентами,
2 т.е.
y* = x 0 ⋅ ( A ⋅ x + B ) ⋅ e0⋅x = Ax + B
Тогда
( y* )′ = A
( y* )′′ = 0
*
Подставив y ,
( y* )′ , ( y* )′′ в исходное уравнение, получим
2 A + Ax + B ≡ x
и вычислим коэффициенты
⎧ A=1
⎨
⎩ 2A + B = 0
→
A и B:
⎧ A=1
⎨
⎩ B = −2
Частное решение данного уравнения имеет вид
y* = x − 2
и, cледовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
y = yˆ + y* = C1 ⋅ e − x + C2 ⋅ x e − x + x − 2
Решение в Maple 12:
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2007.
3) Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′ − 4 y′ + 8 y = e x ( 3 sin x + 5 cos x )
- это линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального
вида. Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего
однородного уравнения и частного решения y неоднородного уравнения: y = yˆ + y .
*
*
► Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
y′′ − 4 y′ + 8 y = 0
2
Его характеристическое уравнение k − 4 k + 8 = 0 имеет корни комплексные сопряжённые k 1 , 2 = 2 ± 2 i .
Следовательно, общее решение однородного уравнения [1, стр. 358, случай 3]
yˆ = C 1e2 x cos ( 2 x ) + C 2e2 x sin ( 2 x )
► Рассматривая правую часть исходного ДУ как имеющую особый вид, частное решение ДУ найдём
методом неопределённых коэффициентов.
Правая часть ДУ имеет вид [1, стр. 363, случай 2]
(
f ( x ) = eαx ⋅ Pn ( x ) ⋅ cos β x + Q m ( x ) ⋅ sin β x
)
поэтому частное решение ищем в виде
y* = x r ⋅ eαx ⋅ ( M l ( x ) ⋅ cos β x + Nl ( x ) ⋅ sin β x )
3 где
r - число, равное кратности α + βi как корня характеристического уравнения,
n - порядок многочлена Pn ( x ) , m - порядок многочлена Q m ( x ) ,
M l ( x ) и Nl ( x ) - многочлены степени l с неопределёнными коэффициентами,
l - наивысшая степень многочленов Pn ( x ) и Q m ( x ) , т.е. l = max ( n , m ) .
т.е.
y* = x 0 ⋅ e x ⋅ ( A ⋅ cos x + B ⋅ sin x ) = e x ⋅ ( A ⋅ cos x + B ⋅ sin x )
Тогда
( y* )′ = e x ⋅ ( ( A + B ) ⋅ cos x + ( − A + B ) ⋅ sin x )
( y* )′′ = 2e x ⋅ ( B ⋅ cos x − A ⋅ sin x )
*
Подставив y ,
( y* )′ , ( y* )′′ в исходное уравнение, получим
2e x ⋅ ( B ⋅ cos x − A ⋅ sin x ) − 4 ⋅ e x ⋅ ( ( A + B ) ⋅ cos x + ( − A + B ) ⋅ sin x ) + 8 ⋅ e x ⋅ ( A ⋅ cos x + B ⋅ sin x ) =
= e x ( 3 sin x + 5 cos x )
2 ⋅ ( B ⋅ cos x − A ⋅ sin x ) − 4 ⋅ ( ( A + B ) ⋅ cos x + ( − A + B ) ⋅ sin x ) + 8 ⋅ ( A ⋅ cos x + B ⋅ sin x ) = 3 sin x + 5 cos x
( 4 A − 2B ) ⋅ cos x + (2 A + 4 B ) ⋅ sin x = 3 sin x + 5 cos x
⎧ 4 A − 2B = 5
⎨
⎩ 2A + 4B = 3
⎧ A = 13 10
⎨
⎩ B = 1 10
Поэтому частное решение имеет вид
y* =
ex
⋅ (13 cos x + sin x )
10
а общее решение исходного уравнения
y = yˆ + y* = C 1e2 x cos ( 2 x ) + C 2e2 x sin ( 2 x ) +
ex
⋅ (13 cos x + sin x )
10
Решение в Maple 11:
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2007.
4