представление быстроубывающих функций каноническим

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЫСТРОУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ
КАНОНИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ МАСЛОВА И
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ С ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
C. Ю. ДОБРОХОТОВ, Б. ТИРОЦЦИ, А.И. ШАФАРЕВИЧ
Аннотация.
1. Основная формула.
Пусть µ – малый положительный параметр, а V (y), y ∈ R2 – гладкая функция,
∂V
убывают
убывающая на бесконечности как 1/|y|k , k ≥ 1, причем производные ∂y
j
x
k+1
как 1/|y|
. Функция V ( µ ) локализована в окрестности нуля. Центральный
результат работы – наблюдение, согласно которому функция V ( µx ) может быть
представлена в виде интеграла по вспомогательной переменной ρ от канонического
оператора Маслова с “квазиклассическим” параметром h = µ/ρ, определенном
на лагранжевом многообразии Λ20 , и действующим на функцию f , связанную
с V . Именно, мы покажем, что
r
Z
¢
x
µC0 ¡ −i π ∞ µ/ρ √
(1.1)
V( )=
ρṼ(ρn(ψ)dρ + O(µ).
Re e 4
K Λ2
0
µ
2π
0
Здесь
µ
n(ψ) =
¶
cos(ψ)
,
sin(ψ)
лагранжево многообразие
Λ20 = {p = n(ψ), x = C0 n(ψ)α},
(1.2)
C0 – произвольная положительная константа, α ∈ R, ψ ∈ S = [0, 2π) – координаты
на Λ20 , а KΛh2 – канонический оператор Маслова c формой площади dα ∧ dψ и
0
отмеченной точкой, лежащей на окружности α = 0; Ṽ0 обозначает преобразование
Фурье функции V0 (y).
Такое представление очень удобно для конструкции асимптотических решений
задачи Коши с локализованными начальными условиями линейных гиперболических
систем. Отметим, что стандартное представление функции V0 ( µx ) в виде канонического
оператора на линейном лагранжевом многообразии x = 0 мало помогает при
описании таких решений, поскольку такое линейное многообразие содержит
точку p = 0, в которой символ соответствующего оператора теряет гладкость.
В следующих пунктах мы напомним определения объектов из (1.1) и приведем
доказательство этой формулы.
1
2
C. Ю. ДОБРОХОТОВ, Б. ТИРОЦЦИ, А.И. ШАФАРЕВИЧ
2. Лагранжево многообразие Λ20 и функции на нем.
2.1. Свойства Λ20 . 1. Инвариантность. Ясно, что Λ20 – двумерное лагранжево
многообразие, диффеоморфное цилиндру. Отметим, что оно может быть получено
сдвигом окружности
S 1 = {p = n(ψ), x = 0}
вдоль траекторий гамильтоновой системы с гамильтонианом H0 = |p|C0 :
[
α
Λ20 =
gH
S1.
0
−∞<α<∞
t
gH
0
обозначает фазовый поток соответствующей гамильтоновой
Здесь, как обычно,
системы
p
ẋ =
C0 , ṗ = 0, p|t=0 = n(ψ), x = |t=0 = 0.
|p|
t
Координата α играет роль времени t, т.е. для каждой точки (ψ, α) ∈ Λ20 gH
0 (ψ, α) =
(ψ, α + t).
2. Цикл особенностей проекции на плоскость p = 0 и класс Маслова.
Проекция многообразия Λ20 на плоскость p = 0 устроена следующим следующим
образом. Над каждой точкой плоскости, кроме нуля, расположено две точки
цилиндра Λ20 , причем дифференциал проекции в этих точках отличен от нуля.
Над нулем висит окружность α = 0, в точках которой ранг дифференциала
падает на единицу; это – цикл особенностей. Ясно, что, поскольку любой цикл
на Λ20 можно сдвинуть так, что он не будет пересекать цикл особенностей,
класс Маслова многообразия Λ20 равен нулю (другими словами, индекс Маслова
любой замкнутой кривой равен нулю).
3. Форма действия. Поскольку базисный цикл на Λ20 можно выбрать
лежащим в плоскости x = 0, интеграл от формы действия (p, dx) по любой
замкнутой кривой равен нулю и эта форма точна: (p, dx) = d(C0 α).
2.2. Карты на Λ20 и якобианы. 1. Канонические карты. Выберем канонические
карты на Λ20 следующим образом. Каждая карта гомеоморфна полосе и представляет
собой декартово произведение прямой α ∈ R на дугу окружности. Карта Ω1
соответствует дуге − π4 − ζ < ψ < π4 + ζ, карта Ω2 – дуге π4 − ζ < ψ < 3π
4 + ζ, ,
3π
5π
5π
карта Ω3 – дуге 4 − ζ < ψ < 4 + ζ и, наконец, карта Ω4 – дуге 4 − ζ < ψ <
7π
4 + ζ. Здесь и далее ζ – достаточно малое положительное число. В качестве
канонических координат в картах Ω1 , Ω3 выберем x1 , p2 , а в картах Ω2 , Ω4 –
x2 , p1 .
2. Форма площади. Форма площади в канонических координатах выглядит
так
1
1
1
dα ∧ dψ =
2 dp1 ∧ dx2 = C cos2 ψ dx1 ∧ dp2 = C α dx1 ∧ dx2 .
C0 sin ψ
0
0
3. Разбиение единицы. Обозначим через ej разбиение единицы, подчиненное
покрытию Ωj ; это – четыре функции на Λ20 , обладающие свойствами
X
ej = 1.
supp ej (ψ) ∈ ΩIj ,
j
Нам также понадобится срезающая функция e0 (α), e0 (α) = 1 при |α| < δ/2, и
e0 (α) = 0 при |α| > δ, где δ > 0 достаточно мало.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЫСТРОУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ КАНОНИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ МАСЛОВА И АСИМПТОТИ
4. Функция источника. Функция V (y) порождает функцию на Λ20 следующего
вида
(2.1)
f (ρ, ψ) =
√
ρṼ (ρn(ψ)).
Произведение f (ρ, ψ)e0 (α) определяет финитную функцию на Λ20 .
5. Частичное h-преобразование Фурье. Напомним, что в конструкции
канонического оператора участвуют операторы преобразования Фурье по части
переменных:
[Fp−h
χ(p1 , x2 )](x1 , x2 )
1 →x1
√ Z −∞
ip1 x1
i
=√
χ(p1 , x2 )e h dp1 ,
2πh −∞
[Fp−h
χ(x1 , p2 )](x1 , x2 )
2 →x2
√ Z −∞
ip2 x2
i
=√
χ(x1 , p2 )e h dp2 .
2πh −∞
и
Здесь
√
iπ
i=e4.
2.3. Канонический оператор Маслова на Λ20 . Канонический оператор определен
следующией формулой
X
j=1,3
KΛh2 [f ] ≡
R
0
exp(i( (p, dx)
p
Fp−h
{
2 →x2
(1,0)
|J
(2.2)
X
+ x2 p2 )/h)
(ψ, α)|
f (ρ, ψ)ej (ψ)|ψ=ψj (x1 ,p2 ),α=αj (x1 ,p2 ) }+
R
exp(i( (p, dx) + x1 p1 )/h)
q
Fp−h
{
f (ρ, ψ)ej (ψ)|ψ=ψj (p1 ,x2 ),α=α(p1 ,x2 ) }
1 →x1
(0,2)
j=2,4
|Jj (ψ, α)|
≡
√ Z +∞
R
exp(i( (p, dx) + x2 p2 )/h)
i
√
p
f (ρ, ψ)ej (ψ)|ψ=ψj (x1 ,p2 ),α=αj (x1 ,p2 ) dp2 +
2πh −∞
|J (1,0) (ψ, α)|
j=1,3
√ Z +∞
R
X
exp(i( (p, dx) + x1 p1 )/h)
i
√
q
f (ρ, ψ)ej (ψ)|ψ=ψj (p1 ,x2 ),α=α(p1 ,x2 ) dp1 ≡
(0,2)
2πh −∞
j=2,4
|Jj (ψ, α)|
2
X Z +∞ exp i(C0 α cos ψ+x2 p2 )
i
h
√
f (ρ, ψ)ej (ψ)|ψ=ψj (x1 ,p2 ),α=αj (x1 ,p2 ) dp2 +
{
| sin ψ|
2πhC0 j=1,3 −∞
X
(2.3)
X Z
j=2,4
+∞
−∞
2
exp ( i(C0 α sinh ψ+x1 p1 )
f (ρ, ψ)ej (ψ)|ψ=ψj (p1 ,x2 ),α=α(p1 ,x2 ) dp1 }.
| cos ψ|
4
C. Ю. ДОБРОХОТОВ, Б. ТИРОЦЦИ, А.И. ШАФАРЕВИЧ
Сделаем в интегралах замену переменных по формулам p2 = sin ψ, p1 = cos ψ.
Получим
KΛh2 [f ] =
0
X Z
2π
i
i(C0 α cos2 ψ + x2 sin ψ)
√
{
exp
f (ρ, ψ)ej (ψ)|α=αj (x1 ,sin ψ) dψ+
h
2πhC0 j=1,3 0
X Z 2π
i(C0 α sin2 ψ + x1 cos ψ)
exp (
f (ρ, ψ)ej (ψ)|α=α(cos ψ,x2 ) dψ} = according to (??) =
h
j=2,4 0
√
Z 2π
4
X
i
i(x1 cos ψ + x2 sin ψ)
√
f (ρ, ψ)
ej (ψ)dψ =
exp
h
2πhC0 0
j=1
Z 2π
i(x1 cos ψ + x2 sin ψ)
i
√
exp
(2.4)
{
f (ρ, ψ)dψ}
h
2πhC0 0
Полагая h = µ/ρ и используя (2.1), получаем
Z 2π
iρ
iρhx, n(ψ)i
ρ/µ
Ṽ (ρn(ψ))dψ
KΛ2 [f ] = √
exp
0
µ
2πµC0 0
и
√
√
Z ∞
Z ∞ Z 2π
x
i
2πi
iρhx, n(ψ)i
ρ/µ
Ṽ (ρn(ψ))dψdρ = √
V( )
KΛ2 [f ]dρ = √
exp
0
µ
2πµC0 0
µC0 µ
0
0
Таким образом, доказана
Теорема 2.1. Пусть Λ20 – лагранжево многообразие (1.2) и f (ρ, ψ) определено
в (2.1). Тогда справедливо равенство (1.1).
2.4. Локализация функции на Λ. Функция V ( µx ) локализована вблизи начала
координат. Используя это обстоятельство, можно ограничиться рассмотрением
не всего многообразия Λ20 , а только окрестности кривой Γ0 = {p = n(ψ), x =
0, ψ ∈ S1 }. Другими словами, функцию f (ρ, ψ) можно заменить на финитную
функцию на Λ20 f (ρ, ψ)e(|α|), где
(2.5)
e(z) = {1 for 0 ≤ z ≤ δ/2 and 0 for z ≥ δ}.
Лемма 2.2. Пусть V (y) убывает быстрее любой степени |y|−k при |y| → ∞,
k > 0. Тогда
(2.6)
x
V( )=
µ
r
µC0
2πi
Z
0
∞
KΛh2 [f (ρ, ψ)e(|α|)]|h= µρ dρ + O(µ2 ).
0
Доказательство. Представим f в виде f = f e + f (1 − e) и оценим вклад
от второго слагаемого в формулу(1.1). Заметим, что носитель функции 1 −
e не пересекается с циклом особенностей Λ20 , поэтому результат применения
канонического оператора к этой фунцкии mod O(µ) совпадает с функцией
r
Z ∞
iρ|x|
iρ|x|
µC0 1
x
x √
(e µ Ṽ (ρ ) + e µ Ṽ (−ρ )) ρ(1 − e(|α|))dρ.
2πi |x| 0
|x|
|x|
Теперь утверждение леммы вытекает из очевидной оценки
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЫСТРОУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ КАНОНИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ МАСЛОВА И АСИМПТОТИ
Z
Z
iρ
µ ∞
√
√
u(ρ) ρd(e µ ) =
e u(ρ) ρdρ =
i 0
0
Z
∂
µ ∞ iρ
√
=−
eµ
(u(ρ) ρ)dρ = O(µ),
i 0
∂ρ
справедливой для любой быстро убывающей функции u(ρ).
∞
iρ
µ
¤