Тема 4. Основы нечеткой логики: определение функции

Тема 4. Основы нечеткой логики: определение функции принадлежности;
прямой и косвенные методы построения функций принадлежности. Операции
над нечеткими множествами: операция равенства и доминирования; операция
объединения, операция пересечения; операция разности(2 часа)
Нечёткое множество описывается его функцией принадлежности. Степень
принадлежности элемента к нечёткому множеству определяется функцией
принадлежности.
Для
определения
и
представления
нечёткого
множества
используются функции принадлежности нескольких классов: кусочно-линейные, z –
образные, s – образные, п – образные, которые, в свою очередь, имеют различные
формы и могут быть заданы следующими аналитическими выражениями.
Треугольная функция. Треугольная функция принадлежности в общем виде
задаётся аналитическим выражением вида:
0,

xa,
f ( x; a, b, c)   b  a

c  x ,
c  b
0,

xa 

a xb 

,
b xc 

c  x 
(4.1)
где a, b, c – некоторые числовые параметры, упорядоченные отношением a ≤ b ≤ c и
принимающие произвольные действительные значения. Функция принадлежности
порождает нормальное выпуклое унимодальное нечёткое множество с носителем –
(а, с), границами (а, с) / {b}, ядром {b} и модой b.
Трапециевидная функция. Трапециевидная функция принадлежности в общем
виде может быть задана аналитически следующим выражением:
xa
0,
xa

, a xb
b  a
fT ( x; a, b, c, d )  1,
b xc
d  x

, cxd
d c
0,
dx






,





(4.2)
где a, b, c, d – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением a ≤ b ≤ c ≤ d. Функция
принадлежности порождает нормальное выпуклое нечёткое множество с носителем
– интервалом (а, d), границами (а, b)  (c, d), ядром {b, c}.
Z – образная функция. График функции представлен z – образной кривой,
сама функция также называется сплайн – функцией и общем случае аналитически
задаётся следующим выражением:
1,

1 1
xa 
f Z ( x; a, b,)    cos 
 ,
1
ba 
2 2
0,
x <a


a  x  b  ,

x >b 
(4.3)
где a, b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a < b. Сплайн – функция
также может быть задана аналитическим выражением вида:
1,

2
1  2  x  a  ,



ba 
f Z ( x; a, b,)  
2
2
 b x 
2  b  a  ,

 
0,
xa


a b
a <x 
2 
,
ab
<x<b 
2

b  x 
(4.4)
где a, b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a < b.
S – образная функция.S – образная функция принадлежности в общем виде
может быть задана аналитически следующим выражением:
0,

1 1
 x b 
f S ( x; a, b,)    cos 
 ,
1
ba 
2 2
1,
x <a


a  x  b  ,

x >b 
(4.5)
где a, b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a < b. Сплайн – функция
может быть задана аналитическим выражением вида:
0,

2
2  x  a  ,
  b  a 
f S ( x; a, b,)  
2
2
b x


1
2
ba ,




1,
xa


a b
a <x 
2 
,
ab
<x<b 
2

b  x 
(4.6)
где a, b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a < b. Данные функции
принадлежности порождают нормальные выпуклые нечёткие множества с ядром
[b, +) и носителем (а, +).
П – образная функция.П – образная функция принадлежности характеризуется
формой кривой, представляющей сглаженную трапецию и в общем случае задается
аналитически следующим выражением:
fП(x; a, b, c, d) = fS(x; a, b)  fZ(x; c, d),
(4.7)
где a, b, c, d – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные
действительные значения и упорядоченные отношением: a ≤ b ≤ c ≤ d, а знак «  »
обозначает арифметическое произведение значений соответствующих функций.
Этот тип функций принадлежности порождает нормальные выпуклые
нечёткие множества с носителем (a, d) и ядром [b, c].
Методы построения функции принадлежности. Наиболее распространенными
методами построения функций принадлежности являются прямые (метод прямого
оценивания) и косвенные (обратный метод оценивания) методы. При использовании
прямого метода построения каждому x  Х экспертом задаётся значение функции
принадлежности µA(x).
Прямой метод построения удобен при решении задач, для которых свойства
физических величин могут быть измерены, например, скорость, время, расстояние,
давление и т.д. Задание абсолютно точных значений функций принадлежности не
требуется, достаточно определить тип функции принадлежности и характерные
значения множества. При необходимости более точного определения функции
принадлежности можно воспользоваться последующим анализом результатов для
коррекции нечёткой модели.
Косвенные методы построения функций принадлежности используются при
решении задач, для которых свойства физических величин не могут быть измерены.
Наибольшее распространение среди косвенных методов получил метод попарных
сравнений или парных соотношений. При известных значениях функции
принадлежности µA(xi), где i =  (1,2, …, n) попарные сравнения соответствующих
элементов носителя нечёткого множества A можно представить в виде матрицы A с
элементами aij. При этом элементы матрицы A равны:
aij = µA(xi) / µA(xj).
(4.8)
Операции равенства и доминирования. Нечеткое множество A = {<x, µA(x)>}
считается равным нечеткому множеству В = {<x, µВ(x)>}, если их функции
принадлежности принимают равные значения на всем универсуме Х, т.е.
µA(x) = µВ(x) для любого x  Х.Равенство множеств в данном случае записывается
какA = В.
Еще
одним
простейшим
отношением
является
понятие
нечеткого
подмножества или нечеткого доминирования.
Таким образом, нечеткое множество A = {<x, µA(x)>} является нечетким
подмножеством нечеткого множества В = {<x, µВ(x)>} тогда и только тогда, когда
значения
функции
принадлежности
первого
множества
не
превосходят
соответствующих значений функции принадлежности второго, т.е. µA(x) ≤ µВ(x) для
любого x  Х.
Так же как и для обычных множеств, для обозначения нечеткого
подмножества используется символ «». При этом в случае A  В часто говорят, что
нечеткое множество В доминирует нечеткое множество A, а нечеткое множество A
содержится в нечетком множестве В.
Нечеткое доминирование или факт включения элементов одного нечеткого
множества в другое нечеткое множество можно изобразить графически в декартовой
системе координат на плоскости. С этой целью изобразим прямоугольную систему
координат, на оси абсцисс которой в том или ином порядке расположим элементы
универсума Х, а на оси ординат соответствующие им значения функции
принадлежности рассматриваемого нечеткого множества, как показано на рис. 4.1.
Операция объединения
Объединением двух нечетких множеств А и В называется некоторое нечеткое
множество С, заданное на этом же универсуме Хco следующей функцией
принадлежности:
µС(x) = max{µA(x), µВ(x)>}.
(4.9)
Рисунок 4.1 Варианты отношения доминирования A  В двух нечетких множеств
Операция объединения нечетких множеств обозначается знаком «». Таким
образом, в нашем случае результат операции объединения двух нечетких множеств
записывается в виде: С = A  B и, следовательно, С = {<x, µС(x)>} – нечеткое
множество с функцией принадлежности µС(x), определяемой по формуле (4.9).
Операцию
объединением
объединения
(связано
с
также
называют
логической
max-объединением
операцией
«ИЛИ»),
т.е.
или
-
функцию
принадлежности можно записать в виде µС(x) = µA(x)  µВ(x) для любого x  Х.
При этом знак «»используется в качестве синонима операции максимума.
Поскольку в практике нечеткого моделирования эта операция используется
наиболее часто, в дальнейшем, говоря об объединении нечетких множеств, если
явно не указано другое, мы будем иметь в виду их mах-объединение (объединение).Операция mах-объединения нечетких множеств также корректна в
том смысле, что она сохраняет свое определение для случая обычных множеств.
В качестве примера могут быть взяты конечные нечеткие множества А и В.
Конечное нечеткое множество А, представляющее в некотором контексте
свойство «небольшое натуральное число», равно:
А = {<1, 1,0>, <2, 1,0>, <3, 0,9>, <4, 0,8>, <5, 0,6>, <6, 0,5>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,1>}.
Конечное нечеткое множество В, представляющее в некотором контексте
свойство «натуральное число, приближенно равное двум», равно:
В = {<1, 0,5>, <2, 1,0>, <3, 0,6>, <4, 0,4>, <5, 0,2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}.
Тогда нечеткое множество С как результат операции объединения С =  B
будет равно:
С = {<1, 1,0>, <2, 1,0>, <3, 0,9>, <4, 0,8>, <5, 0,6>, <6, 0,5>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,1>}.
Результат операции объединения двух и большего числа нечетких множеств,
заданных на одном и том же универсуме Х, можно изобразить графически в
дeкapтовой системе координат на плоскости.
Для
случая
объединения
двух
нечетких
множеств
A  B,
заданных
различными функциями принадлежности, результат операции изображен на рис. 4.2.
Рисунок 4.2 Представление операции объединения двух нечетких множеств
В качестве задачи для самостоятельного контроля предлагается определить
нечеткое множество С как результат операции объединения двух нечетких
множеств A и B. При этом конечное нечеткое множество А, равно:
А = {<1, 1,0>, <2, 1,0>, <3, 0,9>, <4, 0,9>, <5, 0,8>, <6, 0,7>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,1>}.
Конечное нечеткое множество В равно:
В = {<1, 0,9>, <2, 1,0>, <3, 0,7>, <4, 0,6>, <5, 0,2>, <6, 0,1>, <7, 0,3>, <8, 0,1>,
<9, 0,2>}.
Операция пересечения. Пересечением двух нечетких множествА и В
называется некоторое нечеткое множество D, заданное на этом же универсуме Хco
следующей функцией принадлежности:
µD(x) = min{µA(x), µВ(x)>}.
(4.10)
Операция пересечения нечетких множеств обозначается знаком «». Таким
образом, в нашем случае результат операции пересечения двух нечетких множеств
записывается в виде: D = A  B и следовательно D = {<x, µD(x)>} – нечеткое
множество с функцией принадлежности µD(x), определяемой по формуле (4.10).
Операцию
пересечения
также
называют
min-пересечением
или
-
пересечением (связано с логической операцией «И»), т.е. функцию принадлежности
можно записать в виде µD(x) = µA(x)

µВ(x) для любого x  Х.
В качестве примера могут быть взяты конечные нечеткие множества А и В.
Конечное нечеткое множество А, представляющее в некотором контексте
свойство «небольшое натуральное число», равно:
А = {<1, 1,0>, <2, 1,0>, <3, 0,9>, <4, 0,8>, <5, 0,6>, <6, 0,5>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,1>}.
Конечное нечеткое множество В, представляющее в некотором контексте
свойство «натуральное число, приближенно равное двум», равно:
В = {<1, 0,5>, <2, 1,0>, <3, 0,6>, <4, 0,4>, <5, 0,2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}.
Тогда нечеткое множество D как результат операции пересечения D = A  B
будет равно:
D = {<1, 0,5>, <2, 1,0>, <3, 0,6>, <4, 0,4>, <5, 0,2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}.
Результат операции пересечения двух и большего числа нечетких множеств,
заданных на одном и том же универсуме Х, также можно изобразить графически в
декартовой системе координат на плоскости. Этот способ особенно удобен для
визуализации операций с бесконечными нечеткими множествами. В данном случае
каждое
из
нечетких
множеств
изображается
соответствующей
функцией
принадлежности, а функция принадлежности результата операции пересечения
изображается утолщенной линией. Для дополнительной наглядности область,
расположенная
ниже
значений
результирующей
функции
принадлежности,
изображается затемненной.
Для случая пересечения двух нечетких множеств AB, заданных различными
функциями принадлежности, результат операции изображен на рис. 4.3.
Операция разности. Разностью двух нечетких множеств А и В называется
некоторое нечеткое множество E, заданное на этом же универсуме Хco следующей
функцией принадлежности:
µE(x) = max{µA(x)-µВ(x), 0>}.
(4.11)
Знак максимума обозначает операцию арифметической разности двух чисел.
Операция разности нечетких множеств обозначается знаком «\».
В качестве примера могут быть взяты конечные нечеткие множества А и В.
Рисунок 4.3 Пересечение двух нечетких множеств AB, заданных различными
функциями принадлежности
Конечное нечеткое множество А, представляющее в некотором контексте
свойство «небольшое натуральное число», равно:
А = {<1, 1,0>, <2, 1,0>, <3, 0,9>, <4, 0,8>, <5, 0,6>, <6, 0,5>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,1>}.
Конечное нечеткое множество В, представляющее в некотором контексте
свойство «натуральное число, приближенно равное двум», равно:
В = {<1, 0,5>, <2, 1,0>, <3, 0,6>, <4, 0,4>, <5, 0,2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}.
Тогда разность A\B будет равна:
A\B = {<1, 0,5>, <2, 0>, <3, 0,3>, <4, 0,4>, <5, 0,4>, <6, 0,5>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,1>}.
Результат операции разности двух нечетких множеств А и В, заданных на
одном и том же универсуме Х различными функциями принадлежности, изображен
на рис. 4.4.
Рисунок 4.4 Результат операции разности двух нечетких множеств, заданных
различными функциями принадлежности
В качестве задачи для самостоятельного контроля предлагается:
- определить нечеткое множество D как результат операции пересечения двух
нечетких множеств A и B. При этом конечное нечеткое множество А, равно:
А = {<1, 0,4>, <2, 0,2>, <3, 0,4>, <4, 0,9>, <5, 0,8>, <6, 0,7>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,2>}. Конечное нечеткое множествоВ, равно: В = {<1, 0,7>, <2, 1,0>, <3, 1,0>,
<4, 1,0>, <5, 1,0>, <6, 0,2>, <7, 0,6>, <8, 0,1>, <9, 0,1>}.
- определить нечеткое множество E как результат операции разности двух
нечетких множеств A и B (A\B). При этом конечное нечеткое множествоА, равно:
А = {<1, 1,0>, <2, 1,0>, <3, 0,9>, <4, 0,8>, <5, 0,6>, <6, 0,5>, <7, 0,4>, <8, 0,2>,
<9, 0,1>}. Конечное нечеткое множествоВ, равно: В = {<1, 0,7>, <2, 0,9>, <3, 0,6>,
<4, 0,7>, <5, 0,2>, <6, 0>, <7, 0,1>, <8, 0,1>, <9, 0>}.
Вопросы для самоконтроля.
1. Каково назначение функции принадлежности нечеткого множества?
2. Приведите и объясните вид треугольной функции принадлежности.
3. Приведите и объясните вид трапецевидной функции принадлежности.
4. Приведите и объясните вид z – образной функции принадлежности.
5. Приведите и объясните вид S – образной функции принадлежности.
6. Приведите и объясните вид П – образной функции принадлежности.
7. Определите действия экспертов при построении функций принадлежности
прямым методом.
8. Определите действия экспертов при построении функций принадлежности
косвенным методом.
9. Определение операции равенства и доминирования.
10. Определение операции объединения.
11. Определение операции пересечения.
12. Определение операции разности.