введение в анализ 1 часть функции

IV ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§1 Функция
1.1 Основные характеристики функций, обратная функция, графики элементарных функций
Понятие функции. При изучении природных и технических процессов исследователи сталкиваются с величинами. Те, которые сохраняют одно и то же численное значение, называются постоянными, а
другие могут принимать различные численные значения и называются
переменными. Примерами постоянных величин могут служить температура кипения воды при нормальном давлении, скорость тела, движущегося равномерно и прямолинейно. Скорость камня, брошенного вверх,
есть переменная величина: сначала она уменьшается, и, когда камень
достигает наивысшей точки полета, скорость его становится равной нулю, затем начинается свободное падение под действием силы тяжести, и
скорость камня увеличивается.
В практических задачах изменение переменной величины обычно
связано с изменением одной или нескольких других переменных величин. Например, путь, пройденный телом с постоянной скоростью, прямо пропорционален времени движения: s  t  v . Этой формулой выражена зависимость переменной s − пути, пройденного телом, от переменной t − времени движения. Очевидно, что переменные s и t не могут
принимать произвольные значения независимо друг от друга. Придав
определенное значение переменной t, мы тем самым единственным образом определим значение переменной s.
Определение 1. Если каждому значению, которое может принять
переменная x, по некоторому правилу (или закону) ставится в соответствие одно определенное значение переменной y, то говорят, что задана
однозначная функция от x, и обозначают y  f ( x) .
Например, y  sin( x), y  cos( x), y  log 2 ( x), y  e x .
Используются и другие обозначения функции, например,
f :x
f ( x), y  φ( x) , y  ( x) и т.п.
Переменная x, называется независимой переменной или аргументом.
Множество всех значений аргумента x, для которых функция
y  f ( x) определена, называется областью определения этой функции и
5
обозначается D( f ) . Множество всех значений переменной y , называют
областью значений функции y  f ( x) и обозначается E ( f ) .
Если элементами D( f ) и E ( f ) являются числа, то функция называется числовой. Мы будем изучать числовые функции.
Значение функции y  f ( x) при x  a записывают f (a) и называют значением функции в точке x  a .
Пример. Найти область определения функции y  4  x 2 . Эта
функция имеет смысл, если 4  x 2  0 . Отсюда x 2  4 или x  2 . Следовательно, область определения данной функции есть сегмент  2,2 .
Множество значений этой функции есть сегмент [0, 2].
Значения функции:
x  0 , f (0)  4  02  2 ;
x  2 , f (0)  4  22  0 .
1.2 Способы задания функции
Функция задана, если задана зависимость y  f ( x) .
Аналитический способ − это задание функции при помощи формул. Например, y  2 x, y  x  1, y  lg( x), y  sin( x), y  x 2 .
Если уравнение, с помощью которого задается функция, не разрешено относительно y , то функция называется неявной. Когда такое решение возможно, неявная функция может быть приведена к явной форме, т.е. к виду y  f ( x) . Например, уравнение 2 x  3 y  5  0 можно
рассматривать как неявно задающее функцию. Решив его относительно
5  2x
.
y , мы получим ту же функцию, но уже в явном виде: y 
3
Отметим, что при аналитическом способе задания функции встречаются случаи, когда функция задана не одной, а несколькими формулами, например,
 x 2 , если x  0
.
y

x
,
если
x

0

Табличный способ − это способ задания функции при помощи таблицы. Примерами такого задания являются таблицы тригонометрических функций, логарифмов и т.п. Табличный способ задания функции
широко используется в различного рода экспериментах и наблюдениях.
Таблицы просты в обращении, для нахождения значения функции не
6
надо производить вычисления. Недостатком табличного способа является то, что функция задается не для всех значений аргумента.
Графический способ. Графиком функции y  f ( x) называется
множество точек ( x, y) плоскости Oxy , координаты которых связаны
соотношением y  f ( x) . Само равенство y  f ( x) называется уравнением этого графика.
С построением графиков мы уже встречались. Например, графиком
функции y  2 x является прямая.
Говорят, что функция задана графически, если на плоскости имеется ее график. Заметим, что если начерчен график функции y  f ( x) , то
для нахождения значения y  f ( x0 ) , отвечающего какому-нибудь заданному значению x0 , надо отложить это значение x0 по оси абсцисс и
из полученной точки восставить перпендикуляр до пересечения с графиком. Длина этого перпендикуляра, взятая с соответствующим знаком,
и равна f ( x0 ) .
Рис.30.
Преимуществом графического способа задания функции по сравнению с аналитическим и табличным является его наглядность. Графический способ задания функции используется при работе различных самопишущих приборов. В медицине, например, работа сердца анализируется с помощью кардиографа.
Словесный способ задания встречается реже других. Если функция
описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле:
f ( x)  1 , если x − рациональное число, f ( x)  0 , если x − иррациональное число.
7
Неявное и параметрическое задание функции.
Формула y  f ( x) определяет явный способ задания функции.
Однако часто приходится использовать неявное задание функции.
Пусть функция определена на множестве D . Тогда, если каждое
значение x  D и соответствующее ему значение y удовлетворяют некоторому F ( x, y )  0 , то говорят, что эта функция задана неявно уравнением F ( x, y )  0 . Сама функция в этом случае называется неявной
функцией.
Графиком уравнения F ( x, y )  0 называется множество всех точек
координатной плоскости Oxy , координаты которых удовлетворяют
этому уравнению.
Пусть на некотором множестве X  R заданы две функции
x  x(t ) и y  y (t ) . Тогда множество всех точек на плоскости Oxy с координатами  x(t ), y (t )  , где t  R , называется кривой, заданной параметрически.
Основные характеристики функции.
1. Функция y  f ( x) , определенная на множестве D , называется
четной, если для любого x  D выполняются условия  x  D и
f (  x)  f ( x) ; нечетной, если для любого x  D выполняются условия
 x  D и f ( x)   f ( x) .
2. Пусть функция y  f ( x) определена на множестве D и пусть
D1  D . Если для любых значений x1 , x2  D1 из неравенства x1  x2 следует неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется возрастающей
на множестве D1 ; f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется неубывающей
на множестве D1 ; f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется убывающей на
множестве D1 ; f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется невозрастающей
на множестве D1 . Возрастающие, неубывающие, убывающие, невозрастающие функции на множестве D1 называются монотонными на
этом множестве.
3. Функция y  f ( x) , определенная на множестве D , называется
Ограниченной на этом множестве, если существует такое число M  0 ,
что для всех x  D выполняется неравенство f ( x )  M . График ограниченно функции лежит между прямыми y   M и y  M .
8
Рис.
4. Функция y  f ( x) , определенная на множестве D , называется периодической на этом множестве, если существует такое число T  0 , что
при каждом x  D значение  x  T   D и f ( x  T )  f ( x) . Число T
называется периодом функции. Наименьший положительный период −
это основной период.
1.3 Обзор элементарных функций и их графиков
1. Рациональная функция
Рациональная
функция
определяется
многочленом
вида
2
n
y  a0  a1x  a2 x  ...  an x ( a0 , a1, a2 , an − постоянные числа, называемые коэффициентами многочлена; n − натуральное число, называемое
степенью многочлена) − целая рациональная функция. Эта функция
определена при всех значениях x.
Пример. Рассмотрим линейную функцию y  kx  b . Ее график −
прямая линия. При b  0 линейная функция y  kx выражает прямо
пропорциональную зависимость y от x. В этом случае ее график проходит через начало координат.
2. Дробно-рациональная функция.
Эта функция, называемая еще рациональной дробью, определяется
как отношение двух многочленов:
a0  a1 x  a2 x 2  ...  am x m
.
y
b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n
Она определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Дробно− рациональной функцией является,
k
например, функция y  , выражающая обратно пропорциональную заx
висимость между x и y. Ее график есть равносторонняя гипербола
(рис.32).
9
Рис. 31.
3. Степенная функция
Степенная функция − это функция вида y  x , где  − действительное число. Она определена при всех значениях x, если  − натуральное число; при всех x, не равных нулю, если  − целое отрицательное число; и при всех x  0 , если  − произвольное действительное
число.
Пример. Рассмотрим функцию y  ax 2 . График этой функции −
парабола (рис.33).
Рис. 32.
10
Если  
1
, где q − натуральное число, то степенная функция приq
мет вид y  x . (Символ
называют корнем степени q или радикалом.)
q
Функция y  x определена при всех неотрицательных x, если q−
четное, и при всех x, если q − нечетное.
Пример. y  x . График этой функции (рис.33.) − верхняя ветвь
q
q
параболы y 2  x .
Рис.33.
4. Показательная функция
Функция вида y  a x , где a  0 и a  1, называется показательной.
Она определена при всех x. Ее график изображен на рис. 34.
Рис.34.
5. Логарифмическая функция.
Функция вида y  log a x , где a  0 и a  1, называется логарифмической. Она определена при x  0 . Ее график изображен на рис.35.
11
Рис.35.
6. Обратная функция
Между степенной функцией и радикалом, а также между показательной и логарифмической функциями существует связь.
Пусть задана функция y  f ( x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению y  E соответствует единственное значение x  D , то определена функция x  ( y) с областью
определения E и множеством значений D. Такая функция ( y ) называется обратной к функции f ( x) .
1
Пример. Функция x  y является обратной по отношению к
2
функции y  2 x .
Предполагая, что уравнение y  kx  b разрешено относительно x,
получаем явное выражение обратной функции x  ( y) .
Пример. Двузначная функция x   y является обратной по отношению к функции y  x 2 . Если условиться для корня брать лишь его
арифметическое значение, то обратная функция будет однозначной.
Очевидно, что если x  ( y) есть функция, обратная к y  f ( x) , то
и функция y  f ( x) будет обратной по отношению к функции x  ( y) ,
т.е. эти функции являются взаимно обратными.
Иногда придерживаются стандартных обозначений: под x понимают независимую переменную, а под y − функцию, т.е. зависимую переменную. В таком случае обратную функцию следует писать в виде
y  ( x) . Например, можно говорить, что функции y  2 x и y  log2 ( x)
являются взаимно обратными, (рис.36).
12
Рис.36.
Чтобы из графика данной функции y  f ( x) получить график обратной ей функции y  ( x) , очевидно, достаточно первый график симметрично отобразить относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
7. Тригонометрические функции
Функции y  sin( x), y  cos( x) определены для всех x. Они являются периодическими с периодом T  2 , т.е. при изменении аргумента
на число, кратное 2 , значение функции остается прежним, т.е.
f ( x)  f ( x  2k ) . Кроме того, функция y  sin( x) нечетная, т.е.
sin( x)   sin( x) , y  cos( x) четная, т.е. cos( x)  cos( x) . Графики этих
функций изображены на рисунках 37- 40.
Рис. 37.
Рис.38.
13
Функция y  tg( x) не определена только в точках, где cos( x)  0 ,
2k  1
т.е. в точках x 
 , (k  0, 1, 2...) , а функция y  ctg( x) не
2
определена только в точках, где sin( x)  0 , т.е. в точках
x  k , (k  0, 1, 2,...) . При этом y  tg( x) и y  ctg( x) − нечетные
функции. Графики функций y  tg( x) и y  ctg( x) , имеющие период
T   , изображены на рис.39 и рис. 40.
Рис.39.
Рис.40.
Отметим, что в тригонометрических функциях переменная x обычно выражается в радианах.
8. Обратные тригонометрические функции
14

,
2
синус которой равен x, т.е. x  sin( y) . Область определения этой функции − сегмент x  1 , а ее график изображен на рис.41.
Функция y  arcsin( x) , здесь y − переменная из сегмента y 
Рис.41.
Функция y  arcсos( x) означает, что x  cos( y) , причем 1  x  1 и
0  y   . График y  arcсos( x) изображен на рис.42.
Рис.42.
Функция y  arctg( x) есть переменная, тангенс которой равен x, т.е.

x  tg( y) , причем x − любое и y  − (рис. 43), а функция y  arcctg( x)
2
есть переменная, для которой x  ctg( y) , где x − любое и 0  y  
(рис.44).
15
Рис.43.
Рис.44.
9. Сложная функция
Пусть переменная y зависит от переменной u , которая в свою очередь зависит от переменной x, т.е. y  f (u), u  ( x) . Тогда при изменении x будет меняться u, а значит и y. Таким образом, у является
функцией зависящей от x: y  f  u ( x)  . Эта функция называется сложной функцией (или функцией от функции), переменная u называется
промежуточной переменной. Указанную сложную функцию называют
также суперпозицией функций f и  .
Пример. Если y  sin(u) , а u  x 2 , то y  sin( x 2 ) есть сложная
функция независимой переменной x .
Функции степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, постоянная (константа) называются основными элементарными функциями.
Всякая функция, которая получается из основных элементарных
функций путем конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления), называется
элементарной функцией.
Например, рассмотренные выше целая рациональная и дробнорациональная функции будут элементарными функциями.
Пример. Гармонические колебания. В природе и технике часто
происходят явления и процессы, повторяющиеся периодически, например, колебание маятника, переменный ток, электромагнитные колебания и др.
16
Рассмотрим простейший вид колебаний, так называемое гармоническое колебание
y  Asin(t ) ,
где A и  − положительные постоянные.
График функции y  A  sin(  t ) изображен на рис.45.
Рис.45.
Коэффициент A, представляющий наибольшую величину, которую
может принимать y, называют амплитудой колебания, а  − частотой
колебания. Функция y  Asin(t ) является периодической, с периодом
2
2
: в точках t  k  , k  0, 1, 2,... значения y − одни и те же. Если


2
считать, что t − время, то период T 
показывает время, в течение

2
которого совершается одно колебание. Поэтому  
− колебаний,
T
совершенное за время 2 .
График гармонического колебания (см. рис.45) называется простой гармоникой.
Однако далеко не всегда периодическое явление описывается простой гармоникой. Многие из таких явлений есть результат сложения нескольких простых гармоник, который называется сложным гармоническим колебанием, а его график - сложной гармоникой
17
Рис. 46.
На рис.46 изображена сложная гармоника y  sin t  sin 2t − результат сложения двух простых гармоник y  sin t и y  sin 2t .
18