Èñïîëüçîâàíèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè íàíåñåíèÿ òîíêèõ ïëåíîê êàðáèäà êðåìíèÿ Àâåðèíà Ò. À. Èíñòèòóò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ, Íîâîñèáèðñê; ata@osmf.sscc.ru Ñîâðåìåííûå òåõíè÷åñêèå ðåøåíèÿ âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ ôèçèêè ñâÿçàíû ñ íåîáõîäèìîñòüþ ÷èñëåííîãî àíàëèçà áûñòðîïðîòåêàþùèõ ïðîöåññîâ â ñèëüíîíåðàâíîâåñíûõ ñðåäàõ. Èçó÷åíèå ìåõàíèçìîâ ôîðìèðîâàíèÿ ïîêðûòèé êàðáèäà êðåìíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àêòóàëüíóþ çàäà÷ó ýêñïåðèìåíòàëüíîé è âû÷èñëèòåëüíîé ôèçèêè [1,2]. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ãåòåðîãåííîé êîíäåíñàöèè ïàðîâ êàðáèäà êðåìíèÿ îïèñûâàåòñÿ êâàçèëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ [3]. Ýâîëþöèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ìîæåò áûòü îïèñàíà ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà ìîæåò çàâèñåòü îò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ. Ïðè÷åì î÷åíü ÷àñòî ýòà çàâèñèìîñòü íå ìîæåò áûòü ïåðåíåñåíà â êîýôôèöèåíòû.  ñòàòüå ïðåäëîæåí ÷èñëåííûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ÑÄÓ, êîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìåðà, îïðåäåëÿþùàÿ ïóàññîíîâñêóþ ìåðó, çàâèñèò îò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ. Ìîäåëü ãåòåðîãåííîé êîíäåíñàöèè ïàðîâ êàðáèäà êðåìíèÿ.  ðàáîòå [3] îïèñàíà ìîäåëü ãåòåðîãåííîé êîíäåíñàöèè ïàðîâ êàðáèäà êðåìíèÿ. Êëàñòåð çàðîäûøà êàðáèäà êðåìíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê áðîóíîâñêàÿ ÷àñòèöà ïåðåìåííîé ìàññû Mg (t), êîòîðàÿ ìîæåò èçìåíèòü ñâîå ïîëîæåíèå íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ çàðîäûøåé äðóã ñ äðóãîì è ñ äåôåêòàìè ðåøåòêè. Óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà-Ôåëëåðà äëÿ ýâîëþöèè ðàçìåðà êëàñòåðà èìååò âèä [3]: h i h i Ââåäåíèå. ∂∆Φ(g,r,t) ∂ Dg (g, t) ∂fr∂g(g,t) 1 ∂ Dg (g, t)fr (g, t) ∂g ∂fr (g, t) = + + Sα − Q, ∂t ∂g kT ∂g (1) ∂fr (g, t) |g=2 = 0, fr (g, t)|g<2 = 0, ∂t Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà-Ñìîëóõîâñêîãî äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà çàðîäûøà (ñ ìàññîé çàðîäûøà Mg (t)) ïî êîîðäèíàòàì, ïîëó÷åííîå èç óðàâíåíèÿ (1), çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: h i h i ∂fg (g,t) F (r,t) ∂ D (g, t) ∂ f (r, t) r g ∂r Mg γ ∂fg (r, t) = − (2) ∂t ∂r ∂r fr (g, 0) = f0g , fg (r, 0) = f0r , fg (r, t)x=xlef t = fg (r, t)x=xright , fg (r, t)y=ylef t = fg (r, t)y=yright . Çäåñü Sα (fα ) - ôóíêöèÿ èñòî÷íèêà ìîíîìåðîâ "ïàðà"; fr (g, t) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàðîäûøåé ïî ðàçìåðàì â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè r = (x, y) íà ïîâåðõíîñòè; g - ÷èñëî àòîìîâ â êëàñòåðå, Dg = Dg0 g 2/3 - êîýôôèöèåíò äèôôóçèè â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðîâ; ∆Φ(g, r, t) - òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë îáðàçîâàíèÿ çàðîäûøà (èëè ýíåðãèÿ Ãèááñà); fg (r, t) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàðîäûøåé ïî êîîðäèíàòàì ïîâåðõíîñòè, ãäå r -ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ êëàñòåðà îòíîñèòåëüíî îðòîãîíàëüíîé p ñèñòåìû êîîðäèíàò r = x2 + y 2 . 1  ðàáîòå [3] äëÿ óðàâíåíèé (1)-(2) (â ñëó÷àå Sα = Q = 0) ïîëó÷åíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ÑÄÓ ÷èñëåííûì ìåòîäîì èç [4], äëÿ êàæäîé i-é òðàåêòîðèè ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷àþò â ìîìåíò âðåìåíè tn : ðàçìåð êëàñòåðà gn è åãî êîîðäèíàòû (xn , yn ). Ïðè íåêîòîðîì óòî÷íåíèè ìîäåëè, ïðè ó÷åòå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé êàðáîíèçàöèè [2], â óðàâíåíèå (1) äîáàâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûé ÷ëåí Sα 6= 0.  ðåçóëüòàòå, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ÑÄÓ áóäåò ñîäåðæàòü ïóàññîíîâñêóþ ñîñòàâëÿþùóþ, çàâèñÿùóþ îò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Íèæå áóäåò ïîñòðîåí ÷èñëåííûé ìåòîä äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì, èñïîëüçóþùèé ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ [5]. Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïóàññîíîâñêîé ñî- Çàäà÷à Êîøè äëÿ ñèñòåì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé èìååò âèä: Z t nW Z t X Y(t) = Y(t0 ) + a(Y, τ )dτ + σ·j (Y, τ )dwj (τ )+ (3) ñòàâëÿþùåé. 0 Z tZ 0 j=1 0 c(Y(τ − ), τ, θ)ν(dθ × dτ ), t ∈ [0, T ], Γ ãäå Y(t) - ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ðàçìåðíîñòè nY ; W(t) - nW -ìåðíûé ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ; ν ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà íà Γ×[0, T ] ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ìåðîé Π, çàäàííàÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèåé π(θ, t, Y); a(Y, t) è c(Y, t, θ)- nY -ìåðíûå âåêòîð-ôóíêöèè; σ(Y, t) - ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçìåðà nY × nW ; σ·j (Y, t) - j - é ñòîëáåö ìàòðèöû σ ; Y0 - ñëó÷àéíûé âåêòîð íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé. Òàê êàê ðåøåíèåì ÑÄÓ (3) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûé ñïðàâà ïðîöåññ áåç ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà, òî Y(t− ) îáîçíà÷àåò çíà÷åíèå ðåøåíèÿ â òî÷êå t ñëåâà. Åñëè ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó W(t) â (3) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Èòî, òî ÑÄÓ (3) ÿâëÿþòñÿ ÑÄÓ Èòî, åñëè ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó W(t) â (3) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Ñòðàòîíîâè÷à, òî ÑÄÓ (3) ÿâëÿþòñÿ ÑÄÓ Ñòðàòîíîâè÷à. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìåðà Π, çàäàþùàÿ ïóàññîíîâñêóþ ñëó÷àéíóþ ìåðó ν , îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ π ñëåäóþùèì îáðàçîì: Z − Π(B, t, Y(t )) = π(θ, t, Y(t− ))dθ, B ∈ Γ. (4) B Îáîçíà÷èì ôóíêöèè Z µ(t, Y) = π(θ, t, Y)dθ, h(θ, t, Y) = π(θ, t, Y)/µ(t, Y), (5) Γ õàðàêòåðèçóþùèå ïóàññîíîâñêóþ ñëó÷àéíóþ ìåðó ν . Åñëè âñå ýëåìåíòû ôóíêöèè a(Y, t) äèôôåðåíöèðóåìû, à âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû σ(Y, t) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî Y, òî äëÿ ïðîöåññà Y, óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèþ (3) ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ p(t0 , Y0 , t, Y) êàê ôóíêöèÿ t è Y óäîâëåòâîðÿåò ïðÿìîìó óðàâíåíèþ Êîëìîãîðîâà [6] ∂p = Kt,Y [p] ∂t 2 (6) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì lim p(t0 , Y0 , t, Y) = δ(Y − Y0 ). t→t0 Îïåðàòîð Kt,Y [·] îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì Kt,Y [·] = Lt,Y [·] + Mt,Y [·], 1 ∂2 ∂ ai (Y, t)p(Y) + σil σjl (Y, t)p(Y) , ∂yi 2 ∂yi ∂yj Z p(Z) δ Y − Z − c(Z, t, θ) − δ(Y − Z) π(θ, t, Z)dθdZ. (7) Lt,Y [p(Y)] = − (8) Z (9) Mt,Y [p(Y)] = RnY Γ Îïåðàòîðû K , L, M íàçûâàþò ïðÿìûìè ïðîèçâîäÿùèìè îïåðàòîðàìè ïðîöåññà Y (çàìåòèì, ÷òî äâîéíûå èíäåêñû ïîäðàçóìåâàþò ñóììèðîâàíèå ïî íèì). Îáðàòíûå ïðîèçâîäÿùèå îïåðàòîðû K ∗ , L∗ , M ∗ ïðîöåññà Y èìåþò âèä: ∗ ∗ Kt,Y [·] = L∗t,Y [·] + Mt,Y [·], ∂ 2 p(Y) ∂p(Y) 1 + σil σjl (Y, t)) , ∂yi 2 ∂yi ∂yj Z ∗ Mt,Y [p(Y)] = p(Y + c(Y, t, θ)) − p(Y) π(θ, t, Y)dθ. L∗t,Y [p(Y)] = ai (Y, t) (10) (11) (12) Γ Ñ ïîìîùüþ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêè ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå è îáðàòíûå îïåðàòîðû ñîïðÿæåíû ìåæäó ñîáîé, ò.å. äëÿ ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè V ïðîñòðàíñòâà S , â êîòîðîé ýëåìåíòû ôóíêöèè a(Y, t) äèôôåðåíöèðóåìû, ýëåìåíòû ìàòðèöû σ(Y, t) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî Y, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: Z Z ∗ p(Y)Kt,Y [u(Y)]dY, (13) u(Y)Kt,Y [p(Y)]dY = V V ãäå u(Y) è p(Y) ïðîèçâîëüíûå ñêàëÿðíûå ôóíêöèè, èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà âìåñòå ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè ðàâíà íóëþ íà ãðàíèöå îáëàñòè V . Àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÑÄÓ ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé.  ðàáîòå [4] áûë îïèñàí àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÑÄÓ ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé, êîãäà ôóíêöèÿ π(θ, t, Y), çàäàþùàÿ ïóàññîíîâñêóþ ìåðó, íå çàâèñåëà îò Y. Ìû îáîáùèì åãî íà ñëó÷àé, êîãäà åñòü çàâèñèìîñòü îò Y. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìåðà êîíå÷íà è µ(t, Y) ≤ Π̄, t ∈ [0, T ], Y ∈ RnY . (14) Òîãäà íà îñíîâå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÑÄÓ [4] è ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäà "ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ"[5] ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì. Àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÑÄÓ ñ ïóàññîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé (??): 0) k := 0. Ïóñòü â ìîìåíò tk âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ðàâåí Y(tk ) = Yk . 1) ìîäåëèðóåì âñïîìîãàòåëüíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó α1 - ðàâíîìåðíóþ íà èíòåðâàëå (0,1) è ïîëàãàåì z = 1, s = 1; 3 2) ìîäåëèðóåì âîçìîæíûé ìîìåíò ñêà÷êà tk+1 = tk +τ : ãäå τ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ p(x) = Π̄ ∗ exp(−Π̄x), êîòîðàÿ ìîäåëèðóþòñÿ ïî ôîðìóëå [7] τ = −lnα/Π̄, ãäå α (0,1) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíîìåðíàÿ íà èíòåðâàëå (0,1); 3) åñëè tk+1 ≥ T , òî tk+1 = T è s := 0; 4) íà èíòåðâàëå [tk , tk+1 ] ðåøàåì óðàâíåíèå dY(t) = a(Y, t)dt + nW X σ·j (Y, t))dwj (t), Y(tk ) = Yk (15) j=1 ëþáûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ ÑÄÓ (15) [4] è íàõîäèì Yk+1 âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè tk+1 ; 5) åñëè s = 0, òî STOP, èíà÷å z := z ∗ (1 − âîçìîæíîñòè ñêà÷êà: åñëè 1 − α1 > z, µ(tk+1 ,Yk+1 ) ) Π̄ è ïðîâåðÿåì óñëîâèå òî ñêà÷îê ïðîèçîøåë è èäåì íà 5à), èíà÷å èäåì íà 6) 5a) ìîäåëèðóåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó θ ñ ïëîòíîñòüþ p(x) = π(x,tk+1 ,Yk+1 ) ; µ(tk+1 ,Yk+1 ) 5b) âû÷èñëÿåì Yk+1 = Yk+1 + c(Yk+1 , tk+1 , θ); 6) k := k + 1 è èäåì íà 1). Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêòû 090100798, 110100282). ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 1. Silicon carbide. A review of fundamental questions and application to current device technology/ Eds W. J. Choyke, H. M. Matsunami, G. Pensl. Akademie, Berlin (1998). V. I, II. 2. Êóêóøêèí Ñ. À., Îñèïîâ À. Â. Íîâûé ìåòîä òâåðäîôàçíîé ýïèòàêñèè êàðáèäà êðåìíèÿ íà êðåìíèè: ìîäåëü è ýêñïåðèìåíò. Ôèçèêà òâåðäîãî òåëà, 2008, ò. 50, âûï. 7, ñ. 1188-1195. 3.Çìèåâñêàÿ Ã.È., Áîíäàðåâà À.Ë. Îñòðîâêè òîíêîé ïëåíêè ïîëóïðîâîäíèêà è ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò // Ïîâåðõíîñòü. Ðåíòãåíîâñêèå, ñèíõðîòðîííûå è íåéòðîííûå èññëåäîâàíèÿ, 2010, ¹ 10, ñ. 50-58. 4. Artemiev S. S., Averina T. A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Dierential Equations. VSP, Utrecht, The Netherlands, 1997. (176 p.) 5. Àâåðèíà Ò.À., Ìèõàéëîâ Ã.À. Àëãîðèòìû òî÷íîãî è ïðèáëèæåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïóàññîíîâñêèõ àíñàìáëåé // Æ.âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. 2010, ò.50, N 6, ññ. 1005-1016 6. Ïàðàåâ Þ.È. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ äèíàìèêó ïðîöåññîâ óïðâëåíèÿ è ôèëüòðàöèè. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1976. (184 ñ.) 7. Ìèõàéëîâ Ã. À., Âîéòèøåê À. Â. ×èñëåííîå ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Èçä. öåíòð Àêàäåìèÿ, 2006. 4