Моделирование гидродинамических режимов

реклама
Модели идеального смешения и идеального
вытеснения
Все многообразие взаимодействующих диффузионных и
тепловых
потоков
пребывания
учетом
можно
математических
идеального
с
распределения
формализовать
моделей:
в
идеального
вытеснения,
по
времени
виде
типовых
перемешивания,
диффузионной,
ячеечной,
циркуляционной и комбинированной. Перечисленные типовые
модели отвечают следующим требованиям:
1)
отражают
основные
физические
закономерности
реального потока в рассматриваемых условиях;
2) являются достаточно простыми;
3)
позволяют
экспериментально
или
теоретически
определять параметры модели;
4)
дают
возможность
их
использования
для
расчета
конкретных процессов.
Рис. 1. Функции отклика для модели идеального смешения: 1 - метод
вымывания (метод импульсного введения индикатора); 2 - метод
ступенчатого введения индикатора
Модель идеального смешения соответствует аппарату, в
котором
поступающее
в
него
вещество
мгновенно
1
распределяется
по
всему
объему
аппарата.
Концентрация
вещества в любой точке аппарата равна концентрации на
выходе из него.
Уравнение модели идеального смешения записывается в
виде:
(1)
где Свх - концентрация вещества на входе; С – концентрация
вещества в аппарате и на выходе из аппарата; V – объем
аппарата; v - объемный расход потока через аппарат.
Отклик
модели
идеального
смешения
на
входное
возмущение для метода вымывания соответствует убывающей
экспоненциальной зависимости с начальной концентрацией Сн
(кривая 1 на рис. 1):
(2)
При импульсном возмущении уравнение имеет аналогичный
вид, так как введенный индикатор в количестве g мгновенно
распределяется по всему объему и начинается его вымывание.
Начальная
концентрация
при
этом
равна
Сн
=
g/V.
Соответственно изменение концентрации на выходе потока из
аппарата описывается уравнением (2) (кривая 1 на рис. 1).
При ступенчатом введении индикатора со скачкообразным
изменением концентрации в момент времени t = 0 от С = 0 до С
= Свх функция отклика принимает вид
(3)
(кривая 2 на рис. 1).
Передаточная
функция
аппарата
идеального
смешения
определяется с помощью преобразования по Лапласу исходного
уравнения модели и имеет вид
2
3
4
Граничные
материального
условия
баланса
могут
на
быть
концах
заданы
аппарата
из
условия
(условия
по
Данквертсу). Рассмотрим левый конец аппарата, в который
поступает поток с некоторой средней скоростью u (рис. 3.13).
5
Рис. 14. Схема потоков у правого конца аппарата
Сумма потоков вещества, подходящих к границе х = 0,
должна быть равна потоку вещества, отходящего от границы.
Тогда получим
(89)
или
(90)
Для правого конца аппарата (рис. 14) имеем
(91)
На практике часто принимают С ≈ Свых. С учетом этого
граничное условие (91) примет вид
(92)
Условия (90), (92) называются граничными условиями по
Данквертсу.
Двухпараметрическая
модель.
В
этой
модели
учитывается перемешивание потока в продольном и радиальном
направлениях, причем модель характеризуется коэффициентом
продольного (DL) и радиального (DR) перемешивания. При этом
принимается, что величины DL и DR не изменяются по длине и
сечению аппарата, а скорость постоянна.
6
При условии движения потока в аппарате цилиндрической
формы радиуса R с постоянной по длине и сечению скоростью
уравнение двухпараметрической модели имеет вид:
Для малых отклонений от потока идеального вытеснения,
что часто наблюдается в трубчатых реакторах, С-кривые хорошо
аппроксимируются нормальным гауссовским распределением, и
связь
между
σ2
дисперсией
и
коэффициентом
обратной
диффузии дается уравнением:
σ 2 =2
D L⋅L
ω3
При более жестких условиях применяют формулу:
2

σ =2⋅
D L⋅L
ω
3
−
D 2L
ω
4
   
⋅ 1−exp −
ω⋅L
DL
3.5. Ячеечная модель
Вывод основных уравнений модели. Рассматриваемая
модель,
впервые
предложенная
для
каскада
реакторов
с
мешалками, является одной из наиболее простых. В этом случае
аппарат состоит из ряда последовательно соединенных ячеек,
через которые проходит поток вещества (рис. 20).
Сделаем
следующие
допущения:
1)
в
каждой
ячейке
осуществляется идеальное перемешивание; 2) между ячейками
отсутствует обратное перемешивание. Параметром ячеечной
модели,
количественно
характеризующим
продольное
перемешивание, служит число ячеек полного перемешивания N.
С увеличением N структура потока приближается к модели
полного вытеснения, а с уменьшением N – к модели идеального
смешения.
7
Запишем уравнения сохранения массы для каждой из ячеек
(для простоты предположим, что ячейки имеют одинаковый
объем Vя):
(270)
Рис. 20. Схема ячеечной модели: v - расход вещества через аппарат;
Свх - концентрация на входе
8
9
10
11
12
Скачать