Вестник Московского университета. Серия УДК 3. Физика. Астрономия. 2001. No 1 13 530.145 ЭФФЕКТИВНЫЙ ЛАГРАНЖИАН ДЛЯ ОПИСАНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ МАГНИТНОГО И ХРОМОМАГНИТНОГО ПОЛЕЙ В. Ч. Жуковский, В. В. Худяков, А. С. Разумовский (кафедра теоретической физики) E-mail: thl 80@phys.msu.su Рассмотрен вклад в поляризацию вакуума кварков, взаимодействующих с интерферирующими электромагнитным и неабелевым фоновым калибровочным полями в SU ( 3) модели квантовой хромодинамики. Для случая интерференции магнитного поля Н и хромомагнитного поля В в од­ нопетлевом приближении вычислен эффективный л:агранжиан, являющийся обобщением лагранжиана Гейзенберга-Эйлера квантовой электродинамики ~1 точно учитывающий вклад полей Н и В. личина интерференционного вклада в эффективный Введение В последнее время большое число работ посвяща­ ется исследованию вакуума и вакуумных эффектов в различных моделях квантовых неабелевых полей. лагранжиан. Обсуждается возможность применения усреднения по вакуумным полям стохастической модели вакуума Однако, несмотря на все усилия продвинуться в этом 1. направлении, точные результаты возможно получить с использованием [1]. Интерференция произвольных постоянных полей лишь в ограниченном числе задач. В большинстве ряд по какому-либо малому параметру теории, и Рассмотрим динамику фермионов на фоне кон­ денсата калибровочных полей группы SU(3) х U(l). лишь иногда удается вычислить непертурбативные В этом случае дираковский лагранжиан имеет вид случаев результат получается в виде разложения в слагаемые. В результате до сих пор структура ва­ куума калибровочных моделей остается далеко не ясной. Предложены различные модели вакуума, ко­ торые позволяют получить некоторое представление и содержит удлиненную производную о его строении и с той или иной точностью оценить -ieAµ - величины физических эффектов, связанных с его не­ товой группы SU(3). Мы пренебрегаем флукту­ ациями калибровочных полей на фоне внешне­ тривиальной природой. Так, одной из наиболее ха­ рактерных черт вакуума КХД является наличие в нем го длинноволновых случайных флуктуаций глюонного -а поля. Эти особенности легли в основу стохастической модели вакуума, рассмотренной, например, в рабо­ те [1]. Настоящая статья посвящена дальнейшему изучению структуры вакуума с использованием мо­ дели постоянного фонового поля, которая позволяет описать некоторые наиболее характерные особен­ ности вакуума, связанные с его непертурбативной природой. В настоящей статье вначале приводится и ана­ лизируется полученный в работе [2] (см. также [3]) эффективный лагранжиан рассматриваемой модели интерферирующих абелева и неабелева полей, за­ писанный в виде интегрального представления как функция инвариантов электромагнитного и глюон­ ного полей. Далее в однопетлевом приближении определяется точное выражение для эффективного лагранжиана типа Гейзенберга-Эйлера для случая интерференции абелева магнитного поля Н и хромо­ магнитного поля В цветовой группы исследуется возможность разложения SU(3). Затем полученного результата в ряд по степеням малого параметра, про­ igB~Ta. поля Здесь дµАv F µv = -а -а Gµv = дµВv - дvВµ - та дvАµ дµ Dµ = генераторы - - цве- и поля конденсата Ь -Ь-с + gfa свµВv. В дальнейшем предполагается, что эти калибровочные поля являют­ ся ковариантно постоянными, т. е. удлиненная про­ изводная коммутирует с тензорами калибровочных полей: [Dµ, Fа,в] =О, [Dµ, Gа,в] =О. Как известно = J d4 ;i; [4], эффективное действие ГА = Lл калибровочного поля А, отвечающее од­ нопетлевому лагранжиану [,А , записывается в виде iГ А = ln { det [(i/µ D µ - m) (i/µ дµ - m )- 1 ] } . Здесь второй множитель под знаком детерминанта устраняет вклад нейтральных фермионов, не взаимо­ действующих с калибровочным полем. При вычислении удобно использовать эффективного лагранжиана инварианты калибровочного поля 'Т .L.1 т тµv = 2.г µv.г , где :Fµv = eF µv 'Т .L.2 = Е а,8--у8 т т .г а,в.г --уа , + gC:vтa. порционального обратной величине напряженности Опуская подробные вычисления с привлечением фонового хромомагнитного поля, и оценивается ве- метода собственного времени Фока-Швингера, кота- Вестник Московского университета. Серия 14 рые приведены в работе запишем сразу оконча­ [2], тельное выражение для эффективного лагранжиана: СХ) ds 1 / Lл=--r -е 87r2 -im2s х ввели (~vI1 +iI2) + cos (~vI1 -iI2) 1] - cos (~vI1 -iI2) + + gBA./2), Легко видеть, что ' (1) нижнем пределе. Для регуляризации данной расхо­ димости выделим расходящуюся часть в отдельное слагаемое: СХ) единица входит с обратным знаком. Этот факт сле­ r дует считать опечаткой, поскольку все дальнейшие - Ldiv - m4 / S7r 2 получены на основе правильного [2] маг­ (1) статьи [2] в пределе I2 =О. интеграл в (2) расходится на где trc означает след по цветовым индексам. В рабо­ те [2] в соответствующую формулу под знаком следа результаты в напряженности лагранжиана I1=4(еН (~vI1 +iI2) безразмерные нитного и хромомагнитного полей h = eH/m 2 , Ь = gB/(2m 2). Последнее выражение (2) мо­ ленного о i'I2 s 2 cos trc [ 2 4 cos мы 2001. No 1 жет быть получено и непосредственно из исправ­ х sЗ где Физика. Астрономия. 3. + 32Ь2) . ds -s(h2 ---; е (3) о выражения для эффективного лагранжиана. Интерференция магнитного и хромомагнитного 2. полей Эта расходимость естественным образом устра­ няется при помощи перехода к перенормированным Рассмотрим частный случай интерференции чис­ зарядам и напряженностям полей er, gr Hr, Br: то магнитного и хромомагнитного полей в модели х U(l) и рассчитаем эффективный лагранжи­ ан более простым способом. А именно потенциалы SU(3) СХ) (1 -__:_:__ / н2r = н2 калибровочных полей выберем в следующем виде: ds e-s) 47r2 S ' о -а Аµ= Hx1gµ2, АЗ Вµ= Bx1gµ22дg, е2 = е2 r где метрический тензор, g µv - - Гелл-Манна, Н и В ,\ з m 2 ' о напряженности магнитного в2r = в2 квадрированное уравнение Дирака - S матрица и хромомагнитного полей соответственно. Используя [П2 21= _!_e-s d )-1 (1- _е_ 47r2 СХ) (1 - L 247r 2 / ds e-s) S ' о + ~17µv (eFµv + gGµv)] 'ljJ =О, 2 1= __!_d e-s )-1 ( g2 = g2 l _ _ g_ r 247r 2 находим энергетический спектр возбуждений ферми­ S о онов: После такой перенормировки, равносильной вычи­ 2, с: 2 л =leH+gB~1(2n+1-17)+k~+m 2 п, танию расходящегося вклада ,а- эффективный ла­ (3), гранжиан вычисляется точно. Комбинируя несколько n=0,1,2 ... , где kз - 17=±1, Л={-1,0,1}, табличных интегралов проекция импульса на третью пространст­ [5], можно вывести следующее выражение: венную ось. Суммируя этот спектр по дискретным квантовым числам и интегрируя по kз , =-е-х с учетом кратности вырождения энергетических уровней по­ ~ (а) 1 = лучаем эффективное действие в следующем виде: ГА= - п,Л,<Т о а cth ах =-ln(2a) (3 аз 1 - - - о gВЛ/21 1= ds2 х '°' ( / d4x) leH + 2 L.J 47r 2 х ( 2 -а+ х 1) 2 1 2 -а х 3 + аз ) dx = 1 - 3 4 (4) s х ехр {-s [leH + gВЛ/21(2п+ 1+17) + m 2]}. После небольших преобразований получаем эффек­ тивный лагранжиан где ( СХ) 4 m Lл=-81!"2 L Л=-1,0,1 / 0 (z, J - 1 2 (-функция Римана [5]. Таким об­ разом, регуляризованный эффективный лагранжиан ds ~e-sx х {(h+Лb)cth[s(h+Лb)]- ~}, принимает вид (2) m4 LA = - 87r2 [~(Ь + h) + ~(lb - hl) + ~(h)]. (5) Вестник Московского университета. Серия Если в выражении положить Ь (2) Физика. Астрономия. 3. = О и отбро­ сить суммирование по цветам, то [,А переходит в В работе дель вакуума хорошо известный в электродинамике лагранжиан нение Гейзенберга-Эйлера. Используя выражение лению можно записать явное выражение для (4), легко 15 2001. No 1 [2] использовалась стохастическая мо­ [1]. С этой целью использовалось усред­ хромомагнитного поля по гауссову распреде­ лагранжиа­ на Гейзенберга-Эйлера, точно учитывающее вклад внешнего поля. 3. Разложение по слабому электромагнитному -3 (gBa)2] 3 а ) х ехр ( d (g В ) . [ 2 g 2 Ва2 G полю Разложим эффективный потенциал в ряд по слабо­ му магнитному полю еН ~ m 2 . Тогда, используя (2), для слагаемого порядка h4 получим 7;:: 1е-х х Liн = - [ - 3 cth(bx ) о 31 + 4 cth(bx ) 2 - 30 4 нивается в пределах где + 18Ь 2 + 6Ь 3 + 1 4Ь 4 - нельзя (39) в 2 - оце­ что и используется [2]). Такая оценка (8), поэтому нам представляется, что применение стохастического + 2 cth(bx )) ] dx. Ф(l, -Jь) 6Ь 5 приме­ Jg B · В фактически соответствует разложению усреднения в работе [2] было произведено некор­ ректно. Заключение (7) 1 10- 4 -10- 3 , при оценке интеграла (см. (6) 1 интегрирование В работе [2] величина параметра m 2 / Последний интеграл можно вычислить точно: 1 х [ - 45 гауссово нять к разложению (8), поскольку интегрирование ПО d3 (g Ба) В (9) ведется В пределах ОТ 0 ДО 00, В то время как (8) справедливо только при gB ~ m 2 . + + Ьх(3 cth(bx ) 5 - - 5 cth(bx ) 3 Однако (9) Таким образом, в рамках подхода, основанного на применении метода точных решений в модели посто­ янного поля для описания глюонного фонового поля, Ф(2, -Jь)] 48Ь 6 мы получили оценку вклада интерференции абелева ' и неабелева калибровочных полей в эффективный лагранжиан. При этом в случае чисто электромаг­ Ф(п, х) = dп d dxn Ф(х) и Ф(х) = dx ln[Г(x)] - известная пси-функция. получить, раскладывая нитного поля для эффективного лагранжиана удается получить явное выражение через (-функцию и ее Идентичный ответ можно производную. Представляет интерес дальнейшее раз­ h, витие данного подхода для исследования воздействия (5) в ряд по параметру малому по сравнению с Ь . внешних электромагнитных и вакуумных калибро­ Разложение (7) в ряд Тейлора по степеням ь- 1 при Ь---+ оо (gB ~ m 2 ) дает вочных полей на распространение света с учетом их Liн = - ~:~ 4 1 [- 4 5 + 1:ь2 - 6~3 + 4~4 + 0 ( ь 5)] 1 (8) Первое слагаемое в квадратных скобках соответству­ ет чистой электродинамике при наличии внешнего магнитного поля, а второе слагаемое, пропорцио­ нальное ь- 2 , в рамках сделанных нами предположе­ ний представляет собой малую поправку за счет хро­ момагнитного поля. Следует отметить, что в случае интерференции электрического и хромомагнитного полей на Ь. соответствующая поправка пропорциональ­ флуктуирующего характера. Литература 1. Симонов Ю.А. 11 УФН. 1996. 166, №4. С. 337. 2. Elze Н.-Тh., Mйller В., Rafelski J. E-print Archive: hep-ph/9811372. 3. Rafelski J., Elze Н.-Тh. E-print Archive: hep-ph/9806389. 4. Соколов А.А" Тернов И.М" Жуковский В. Ч., Борисов А.В. Калибровочные поля. М.: Изд-во Моск. ун-та , 1986. 5. Прудников А.П., Брычков Ю.А" Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. Поступила в редакцию 21.06.00