Глава 10 Поверхности второго порядка

Глава 10 Поверхности второго порядка
Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения
которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго
порядка.
10.1 Цилиндрические поверхности
Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности,
образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая
z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта
линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости
от уравнения направляющих:
1)
x2
a2
y2
b2
1 - эллиптический цилиндр.
2)
x2
a2
y2
b2
1 - гиперболический цилиндр.
2) x2 = 2py – параболический цилиндр.
10.2 Поверхности вращения
Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся
вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью
вращения d.
Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет
вид: F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.
Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,
F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:
1)
2)
3)
4)
x2
y2
z2
c2
1 - эллипсоид вращения
y2
z2
c2
1 - однополостный гиперболоид вращения
y2
z2
c2
1 - двуполостный гиперболоид вращения
a2
x2
a2
x2
a2
x2
y2
p
2 z - параболоид вращения
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше
поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы
которых рассмотрены ниже:
Сфера: ( x a) 2 ( y b) 2 ( z c) 2
Трехосный эллипсоид:
x2
a2
y2
b2
r2
z2
c2
1
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.
Однополостный гиперболоид:
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1
Двуполостный гиперболоид:
x2
Эллиптический параболоид:
p
x2
a2
y2
q
y2
b2
z2
c2
1
2 z , где p
x2
Гиперболический параболоид:
p
y2
q
2z
0, q
0
Конус второго порядка:
x2
a2
y2
b2
z2
c2
0